OTIMIZAÇÃO E MELHORAMENTO EXERGOECONÔMICO DE SISTEMAS TÉRMICOS MODELADOS EM UM SIMULADOR DE PROCESSOS UTILIZANDO MÉTODOS DE BUSCA DIRETA E ESTOCÁSTICO

OTIMIZAÇÃO E MELHORAMENTO EXERGOECONÔMICO DE SISTEMAS TÉRMICOS MODELADOS EM UM SIMULADOR DE PROCESSOS UTILIZANDO

MÉTODOS DE BUSCA DIRETA E ESTOCÁSTICO

Alexandre dos Santos Cordeiro

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Aprovada por:

________________________________________________ Prof. Manuel Ernani de Carvalho Cruz, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Antonio André Novotny, D.Sc.

________________________________________________ Dr. Leonardo dos Santos Reis Vieira, D.Sc.

CORDEIRO, ALEXANDRE DOS SANTOS Otimização e Melhoramento Exergoeconômico de Sistemas Térmicos Modelados em um Simulador de Processos Utilizando Métodos de Busca Direta e Estocástico [Rio de Janeiro] 2007

XIV, 147 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Mecânica, 2007)

Dissertação – Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Otimização de Sistemas Térmicos 2. Análise Exergoeconômica

3. Método de Powell 4. Algoritmos Genéticos

Agradecimentos

Nas próximas linhas expresso meus sinceros agradecimentos a pessoas que contribuíram de maneira significativa para a conclusão desta importante etapa em minha vida.

Aos meus pais, Paulo e Ana Maria, pelo exemplo, carinho e apoio que sempre me deram. A eles e a minha irmã, Viviane, pelo incentivo constante em todas as fases de desenvolvimento deste trabalho.

À minha namorada, Carol, pela compreensão nos sábados dedicados à dissertação e pela paciência em me ouvir falar sobre o assunto.

Ao professor e orientador Manuel Ernani, pela orientação segura e precisa, fundamentais à elaboração e conclusão deste trabalho, e pelo incentivo através do interesse demonstrado pelo assunto.

Ao engenheiro Leonardo Vieira, cujo trabalho motivou e forneceu bases sólidas para o desenvolvimento desta dissertação. Agradeço também pela disponibilidade em prestar esclarecimentos e pelos conselhos para desenvolvimento do trabalho.

Aos professores da COPPE, que através das disciplinas ministradas transmitiram o conhecimento necessário ao desenvolvimento deste trabalho.

Aos amigos do Laboratório de Transmissão e Tecnologia do Calor (LTTC). Em especial aos amigos Daniel Carvalho e Rodolfo Heitor, com os quais foi possível enfrentar os desafios impostos pelas disciplinas do mestrado com ânimo e bom humor.

Aos demais amigos, que embora não tenham sido citados, de alguma maneira contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho.

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

OTIMIZAÇÃO E MELHORAMENTO EXERGOECONÔMICO DE SISTEMAS TÉRMICOS MODELADOS EM UM SIMULADOR DE PROCESSOS UTILIZANDO

MÉTODOS DE BUSCA DIRETA E ESTOCÁSTICO

Alexandre dos Santos Cordeiro Março/2007

Orientador: Manuel Ernani de Carvalho Cruz Programa: Engenharia Mecânica

Este trabalho apresenta a otimização matemática e o melhoramento exergoeconômico de sistemas térmicos modelados em um simulador de processos termodinâmicos utilizando o método de busca direta de Powell e um algoritmo estocástico do tipo genético.

A metodologia exergoeconômica proposta originalmente por VIEIRA (2003) é utilizada neste trabalho. Esta metodologia define, a cada iteração, as variáveis de decisão que devem ser modificadas para cada componente do sistema térmico a partir das análises exergética e econômica do sistema. O objetivo da metodologia é obter um conjunto de valores para as variáveis de decisão para o qual o custo operacional do sistema térmico esteja próximo do mínimo matemático, demandando um menor tempo computacional do que seria necessário para a otimização matemática. Os sistemas térmicos aqui analisados são sistemas de cogeração, ideais para avaliações exergoeconômicas. Foram selecionados para análise o Sistema CGAM, reconhecido como ‘benchmark’ para avaliação de metodologias exergoeconômicas, e um sistema denominado Sistema Complexo. A utilização do simulador de processos termodinâmicos tem o objetivo de eliminar a necessidade de implementação computacional dos modelos físicos e termodinâmicos dos sistemas térmicos analisados.

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

OPTIMIZATION AND EXERGOECONOMIC IMPROVEMENT OF THERMAL SYSTEMS MODELED IN A PROCESS SIMULATOR USING DIRECT SEARCH

AND STOCHASTIC METHODS

Alexandre dos Santos Cordeiro March/2007

Advisor: Manuel Ernani de Carvalho Cruz Department: Mechanical Engineering

This work presents the mathematical optimization and the exergoeconomic improvement of thermal systems modeled in a thermodynamic process simulator using Powell’s direct search method and a stochastic algorithm of genetic type.

The exergoeconomic methodology proposed originally by VIEIRA (2003) is used in this work. This methodology defines, for each iteration, the decision variables which should be modified for each component of the thermal system by means of exergetic and economic analyses of the system. The objective of the methodology is to obtain a set of values for the decision variables, for which the operational cost of the thermal system is close to the mathematical minimum, demanding less computational time than would be necessary for the mathematical optimization. The thermal systems analyzed here are cogeneration systems, which are ideal for exergoeconomic evaluation. The CGAM system, recognized as a benchmark for the evaluation of exergoeconomic methodologies, and a system called the Complex System, have been selected for analysis. The use of a thermodynamic process simulator has the objective of eliminating the need for computational implementation of the physical and thermodynamical models of the analyzed thermal systems.

ÍNDICE

Capítulo 1 – Introdução 1

1.1 Motivação 1

1.2 Otimização e Melhoramento de Sistemas Térmicos 2

1.2.1 Otimização Matemática Convencional 2

1.2.2 Otimização Matemática Integrada 3

1.2.3 Melhoramento Exergoeconômico 4

1.2.4 Melhoramento Exergoeconômico Integrado 4

1.2.5 Algoritmos de Otimização 4

1.3 Objetivos 5

1.4 Organização deste Trabalho 6

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 8

2.1 Exergoeconomia 8

2.2 Métodos de Busca Direta 11

2.3 Métodos Estocásticos 13

Capítulo 3 – Método de Powell 17

3.1 Métodos de Busca 17

3.2 Taxa de Convergência 17

3.3 Método de Powell 18

3.3.1 Descrição do Método de Powell 19

3.4 Método de Powell Modificado 20

3.4.1 Descrição do Método de Powell Modificado 21

3.5 Sugestões ao Método de Powell 22

3.6 Busca Unidimensional 22

3.7 Algoritmo Utilizado neste Trabalho 25

Capítulo 4 – Algoritmos Genéticos 26

4.1 Introdução 26

4.2 Codificação dos Indivíduos 28

4.2.2 Codificação Real 28

4.3 Operadores Genéticos 29

4.3.1 Operador Seleção 29

4.3.2 Operador Cruzamento 30

4.3.3 Operador Mutação 34

4.4 Parâmetros dos Algoritmos Genéticos 35

4.4.1 Tamanho da População 35

4.4.2 Número de Gerações 36

4.4.3 Probabilidade de Cruzamento 36

4.4.4 Probabilidade de Mutação 36

4.5 Algoritmo Utilizado neste Trabalho 37

Capítulo 5 – Metodologia Exergoeconômica Iterativa 38

5.1 Introdução 38

5.2 Etapas da Metodologia Exergoeconômica Iterativa 39

5.2.1 Etapa 1 – Análise Exergoeconômica 39

5.2.2 Etapa 2 – Análise da Influência das Variáveis de Decisão 43

5.2.3 Etapa 3 – Classificação dos Componentes do Sistema 43

5.2.4 Etapa 4 – Identificação do Custo Predominante 44

5.2.5 Etapa 5 – Seleção das Variáveis de Decisão 44

5.2.6 Etapa 6 – Otimização dos Componentes 46

Capítulo 6 – Sistemas Térmicos 47

6.1 Introdução 47

6.2 Sistema CGAM 47

6.3 Sistema Complexo 50

6.4 Simulador de Processos Termodinâmicos 53

6.5 Modelo Econômico 57

6.5.1 Modelo Econômico Original 59

6.5.2 Modelo Econômico Modificado 64

6.6 Problemas Analisados 66

Capítulo 7 – Resultados 67

7.2 Sistema CGAM 67

7.2.1 Método de Powell 68

7.2.2 Algoritmo Genético 72

7.2.3 Comparação dos Resultados 76

7.3 Sistema Complexo 78

7.3.1 Método de Powell 80

7.3.2 Algoritmo Genético 84

7.3.3 Comparação dos Resultados 91

7.4 Tempo Computacional 95

Capítulo 8 – Conclusões 96

Referências Bibliográficas 101

Apêndice A – Resultados do Melhoramento Exergoeconômico do Sistema CGAM Utilizando o Método de Powell 108

Apêndice B – Resultados do Melhoramento Exergoeconômico do Sistema CGAM Utilizando Algoritmo Genético 114

Apêndice C – Resultados do Melhoramento Exergoeconômico do Sistema Complexo Utilizando o Método de Powell 117

Apêndice D – Resultados do Melhoramento Exergoeconômico do Sistema Complexo Utilizando Algoritmo Genético 131

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura Título Página

4.1 Codificação binária de um cromossomo com quatro genes. 28 4.2 Codificação real de um cromossomo com quatro genes. 29

4.3 Operador cruzamento simples. 31

4.4 Operador cruzamento simples com dois pontos de corte. 32

4.5 Operador cruzamento uniforme. 33

4.6 Operador cruzamento com média aritmética. 33 4.7 Operador mutação para indivíduo com codificação binária. 34 4.8 Operador mutação para indivíduo com codificação real. 35 5.1 Representação esquemática de fluxos de exergia na entrada e

na saída de um componente genérico. 41

6.1 Sistema CGAM. 48

6.2 Representação esquemática do Sistema Complexo (obtida de

VIEIRA (2003)). 50

6.3 Representação esquemática da integração entre Excel e IPSEpro. 54 6.4 Representação do Sistema CGAM no simulador IPSEpro. 55 6.5 Representação do Sistema Complexo no simulador IPSEpro. 55 7.1 Comparação entre as Alternativas 1 e 2 e a otimização matemática

para o Caso 1 do Sistema CGAM utilizando o método de Powell. 70 7.2 Comparação entre as Alternativas 1 e 2 e a otimização matemática

para o Caso 2 do Sistema CGAM utilizando o método de Powell. 71 7.3 Comparação entre as Alternativas 1 e 2 e a otimização matemática

para o Caso 1 do Sistema CGAM utilizando o algoritmo genético. 74 7.4 Comparação entre as Alternativas 1 e 2 e a otimização matemática

para o Caso 2 do Sistema CGAM utilizando o algoritmo genético. 75 7.5 Comparação entre as Alternativas 1 e 2 e a otimização matemática

para o Caso 1 do Sistema Complexo utilizando o método de Powell. 82 7.6 Comparação entre as Alternativas 1 e 2 e a otimização matemática

para o Caso 2 do Sistema Complexo utilizando o método de Powell. 83 7.7 Comparação entre as Alternativas 1 e 2 e a otimização matemática

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela Título Página

4.9 Classificação dos fluxos de exergia do componente da Figura 5.1. 42 6.1 Valores limites adotados para as variáveis de decisão do

problema CGAM. 49

6.2 Variáveis de decisão do problema de otimização do Sistema

Complexo. 52

6.3 Constantes utilizadas nas expressões de custo de aquisição dos

componentes do sistema CGAM. 61

6.4 Constantes das equações modificadas para o Sistema CGAM. 65 6.5 Constantes das equações modificadas para o Sistema Complexo. 65 7.1 Valores iniciais das variáveis de decisão e da função objetivo

para o Caso 1 do Sistema CGAM. 68 7.2 Valores iniciais das variáveis de decisão e da função objetivo

para o Caso 2 do Sistema CGAM. 68 7.3 Resultados obtidos com o método de Powell para o Sistema

CGAM. 69

7.4 Valores dos parâmetros genéticos para a otimização matemática

do Sistema CGAM. 72

7.5 Valores dos parâmetros genéticos para o melhoramento

exergoeconômico do Sistema CGAM. 72 7.6 Resultados obtidos com o algoritmo genético para o Sistema

CGAM. 73

7.7 Comparação entre os resultados obtidos neste trabalho, por

VIEIRA (2003) e por MOTHCI (2005) para o Sistema CGAM. 77 7.8 Valores inicias das variáveis de decisão e da função objetivo

para o Caso 1 do Sistema Complexo. 79 7.9 Valores inicias das variáveis de decisão e da função objetivo

para o Caso 2 do Sistema Complexo. 80 7.10 Resultados obtidos com o método de Powell para o Sistema

7.11 Variação da função objetivo em função do tamanho da população

para 30 gerações. 84

7.12 Variação da função objetivo em função do número de gerações

para 80 indivíduos. 85

7.13 Valores dos parâmetros genéticos para a otimização matemática

do Sistema Complexo. 85

7.14 Variação da função objetivo em função do tamanho da população

para 3 gerações. 86

7.15 Variação da função objetivo em função do número de gerações

para 50 indivíduos. 86

7.16 Valores dos parâmetros genéticos para o melhoramento

exergoeconômico do Sistema Complexo. 87 7.17 Resultados obtidos com o algoritmo genético para o Sistema

Complexo. 88

7.18 Comparação entre os resultados obtidos neste trabalho e por

VIEIRA (2003) para o Caso 1 do Sistema Complexo. 92 7.19 Comparação entre os resultados obtidos neste trabalho e por

VIEIRA (2003) para o Caso 2 do Sistema Complexo. 93 7.20 Tempo computacional médio (em minutos) para otimização

matemática e melhoramento exergoeconômico do Sistema CGAM. 95 7.21 Tempo computacional médio (em minutos) para otimização

matemática e melhoramento exergoeconômico do Sistema

Complexo. 95

Capítulo 1 – Introdução

1.1. Motivação

Nas últimas décadas tem-se observado um crescimento significativo na demanda por energia devido ao desenvolvimento sócio-econômico dos países e ao aumento da população mundial. Historicamente, a matriz energética mundial tem-se mostrado fortemente fundamentada na utilização de combustíveis fósseis como o petróleo e o carvão, ou seja, recursos naturais não renováveis e, portanto, finitos. Esta ausência de diversificação quanto aos combustíveis utilizados em larga escala verifica-se ainda hoje, embora tenha-se observado recentemente um aumento nos incentivos à pesquisa e ao desenvolvimento de fontes de energia alternativas ao petróleo como energia eólica e solar. Em virtude do atual modelo da matriz energética, a crescente demanda por energia contrapõe-se às limitações dos recursos naturais não renováveis e apresenta o problema do impacto ambiental. Evidências científicas indicam que a geração de energia a partir da queima de combustíveis fósseis ocasiona graves conseqüências ao meio ambiente como efeito estufa e inversões térmicas.

Na década de 1960, o trabalho de TRIBUS e EVANS (1962) deu origem ao conceito de Termoeconomia, que possibilita relacionar em um só estudo aspectos termodinâmicos e econômicos de um sistema térmico. Desta forma, as equações de custo de geração dos produtos de um sistema térmico podem ser expressas em termos das variáveis termodinâmicas deste sistema. Posteriormente, o trabalho de TSATSARONIS (1993) apresentou o conceito de Exergoeconomia, que consiste na combinação de conceitos da termodinâmica e da economia utilizando a propriedade exergia através da segunda lei da termodinâmica. A exergoeconomia permite analisar a estrutura de formação dos custos de geração dos produtos de um sistema térmico através de uma análise exergética e econômica deste sistema.

térmicos representativos de centrais termelétricas e plantas de cogeração, ou seja, sistemas térmicos destinados à geração de energia.

Conjugada ao desenvolvimento de técnicas para geração de energia de forma mais eficiente tem-se a aplicação de algoritmos matemáticos ao problema de otimização de sistemas térmicos. A aplicação desses algoritmos ao problema de otimização de sistemas térmicos tem como objetivo determinar o conjunto de valores das variáveis de decisão para o qual o custo de geração dos produtos deste sistema é mínimo. Recentemente, VIEIRA (2003) desenvolveu uma metodologia exergoeconômica para o melhoramento de sistemas térmicos passível de implementação computacional.

Apesar dos recentes avanços das técnicas de otimização e melhoramento exergoeconômico de sistemas térmicos, ainda não há uma metodologia consolidada para a solução de todos os problemas de redução do custo de geração dos produtos de sistemas térmicos, com o conseqüente aumento da eficiência de utilização dos recursos energéticos disponíveis.

1.2. Otimização e Melhoramento de Sistemas Térmicos

Nesta seção, tem-se uma breve descrição dos termos otimização de sistemas térmicos e melhoramento de sistemas térmicos presentes neste e nos capítulos subseqüentes. Deve-se notar que a descrição apresentada não constitui uma definição formal desses termos, mas tem o objetivo de esclarecer o significado dos termos otimização e melhoramento no contexto deste trabalho.

1.2.1. Otimização Matemática Convencional

determinar o grupo de valores para as variáveis de decisão para o qual a função objetivo apresenta valor mínimo.

Neste trabalho, a otimização matemática convencional de um sistema térmico consiste da aplicação de um algoritmo de otimização matemática ao problema de otimização deste sistema formado pelas equações explícitas dos modelos físico, termodinâmico e econômico. Na otimização matemática todas as variáveis de decisão do problema de otimização do sistema térmico são manipuladas simultaneamente pelo algoritmo de otimização.

1.2.2. Otimização Matemática Integrada

A aplicação do algoritmo matemático ao problema de otimização do sistema térmico implica na alteração dos valores das variáveis de decisão a cada iteração do algoritmo. Para o cálculo da função objetivo após a alteração de qualquer uma das variáveis de decisão é necessário resolver novamente o sistema de equações resultante da aplicação dos balanços de massa, energia e exergia ao sistema térmico. Para resolver este sistema de equações têm-se duas opções:

a. implementação computacional das equações e utilização de uma rotina para solução deste sistema de equações;

b. utilização de um simulador de processos termodinâmicos.

Na otimização matemática convencional adota-se a alternativa (a), enquanto que na otimização matemática integrada a alternativa (b) é adotada.

1.2.3. Melhoramento Exergoeconômico

Conforme apresentado nas seções (1.2.1) e (1.2.2), na otimização matemática tem-se como objetivo determinar os valores das variáveis de decisão para os quais a função objetivo apresenta valor mínimo em todo seu domínio.

O melhoramento exergoeconômico consiste em determinar os valores das variáveis de decisão para os quais tem-se uma redução significativa no valor da função objetivo em relação ao seu valor inicial. Portanto, no melhoramento exergoeconômico não há um compromisso em atingir o ótimo matemático.

Embora não se tenha como meta a obtenção do ótimo matemático, no melhoramento exergoeconômico também faz-se necessário a aplicação de um algoritmo de otimização matemática. Porém, o algoritmo de otimização é aplicado a sub-grupos das variáveis de decisão selecionadas através de uma análise exergoeconômica do sistema térmico. Uma vez que no melhoramento exergoeconômico não necessariamente todas as variáveis de decisão são selecionadas para a otimização em cada iteração, espera-se que ocorra uma redução no tempo computacional em comparação com a otimização matemática.

1.2.4. Melhoramento Exergoeconômico Integrado

De maneira semelhante à distinção estabelecida entre a otimização matemática convencional e a otimização matemática integrada, no melhoramento exergoeconômico integrado utiliza-se um simulador de processos para modelagem e solução do sistema de equações resultantes da aplicação dos balanços de massa, energia e exergia ao sistema térmico.

1.2.5. Algoritmos de Otimização

1.3. Objetivos

Motivado pelo interesse no desenvolvimento de técnicas para geração mais eficiente de energia, neste trabalho tem-se como objetivos principais: (i) avaliar o desempenho de algoritmos de otimização pertencentes às classes dos métodos de busca direta e estocásticos aplicados aos problemas de otimização matemática integrada e melhoramento exergoeconômico integrado de sistemas térmicos; (ii) avaliar o desempenho da metodologia exergoeconômica iterativa proposta por VIEIRA (2003) relativamente aquele da otimização matemática integrada de sistemas térmicos.

Para tanto, como método de busca direta selecionou-se o método de POWELL (1964) e como método estocástico utilizou-se um algoritmo genético. Para ambos não é necessário o cômputo de derivadas da função objetivo, sendo esta uma característica desejável para os problemas de otimização e melhoramento de sistemas térmicos, por não ser sempre possível a determinação do gradiente e por simplificar a implementação computacional. Testes realizados por HIMMELBLAU (1972) indicam o método de Powell como o de melhor desempenho entre os métodos de busca direta. Dentre os métodos estocásticos, os algoritmos genéticos têm apresentado robustez quando aplicados a diversos problemas de otimização de engenharia.

Os sistemas térmicos analisados são sistemas de cogeração e foram denominados neste trabalho por Sistema CGAM e Sistema Complexo. O objetivo de analisar estes dois sistemas térmicos deve-se ao fato de que o Sistema CGAM (VALERO et al., 1994), formado por cinco componentes, é reconhecido como um sistema de referência para avaliação de metodologias exergoeconômicas e o Sistema Complexo, formado por vinte e quatro componentes, foi utilizado por VIEIRA (2003), sendo representativo de uma instalação industrial convencional.

A metodologia exergoeconômica adotada foi a proposta por VIEIRA (2003), composta por critérios qualitativos e quantitativos de modo a classificar hierarquicamente os componentes de sistemas térmicos e selecionar as variáveis de decisão a serem modificadas para cada um destes componentes.

Os resultados obtidos foram comparados com resultados presentes nos trabalhos de VIEIRA (2003) e MOTHCI (2005).

1.4. Organização deste Trabalho

Este capítulo apresenta de forma sucinta os assuntos que motivaram o desenvolvimento deste trabalho, uma descrição dos termos otimização e melhoramento presentes neste e nos próximos capítulos e os objetivos que pretende-se atingir.

No capítulo 2 é apresentado um resumo de trabalhos relacionados aos principais assuntos pertinentes a este trabalho, ou seja, exergoeconomia, método de Powell e algoritmos genéticos. De forma a facilitar a compreensão, estes tópicos foram separados em seções.

O capítulo 3 descreve o método originalmente proposto por POWELL (1964) para minimização de funções de várias variáveis, bem como as modificações propostas pelo próprio autor ao seu método original. O capítulo contém referência aos trabalhos de outros autores que propuseram alterações ao método proposto originalmente por Powell. O capítulo apresenta ainda referência a métodos de busca unidimensional, sendo descrito em detalhes o algoritmo de busca unidimensional utilizado neste trabalho.

O capítulo 4 é destinado aos algoritmos genéticos com seções específicas destinadas a cada um dos seguintes temas: codificação dos indivíduos, operadores genéticos e parâmetros dos algoritmos genéticos. A seção final deste capítulo descreve o algoritmo genético implementado neste trabalho.

As Alternativas 1 e 2 da metodologia exergoeconômica iterativa para o melhoramento de sistemas térmicos proposta por VIEIRA (2003) são apresentadas no capítulo 5. Cada uma das seis etapas da metodologia exergoeconômica está apresentada em seção específica.

O capítulo 6 apresenta a descrição dos sistemas térmicos analisados neste trabalho, ou seja, Sistema CGAM e Sistema Complexo. O capítulo apresenta também o modelo econômico adotado para ambos os sistemas térmicos e uma breve descrição do simulador de processos termodinâmicos IPSEpro.

obtidos por MOTHCI (2005) e VIEIRA (2003). De forma a facilitar a compreensão dos resultados, o capítulo possui seções específicas destinadas ao Sistema CGAM e ao Sistema Complexo. Este capítulo tem como objetivos comparar o desempenho das Alternativas 1 e 2 da metodologia exergoeconômica proposta por VIEIRA (2003) com a otimização matemática utilizando um determinado método de otimização. Também, para uma mesma abordagem, ou seja, otimização e/ou melhoramento, compara-se o desempenho de diferentes algoritmos de otimização.

No capítulo 8 são apresentadas as conclusões geradas a partir dos resultados obtidos bem como as contribuições deste trabalho e sugestões para trabalhos futuros.

Os apêndices A, B, C e D apresentam os resultados parciais obtidos a cada iteração da metodologia exergoeconômica iterativa proposta por VIEIRA (2003) aplicada ao Sistema CGAM e ao Sistema Complexo utilizando o método de Powell e o algoritmo genético. Nos apêndices A e B são apresentados os resultados obtidos para o Sistema CGAM utilizando o método de Powell e o algoritmo genético, respectivamente. Os resultados obtidos para o Sistema Complexo utilizando o método de Powell e o algoritmo genético são apresentados nos apêndices C e D, respectivamente.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica

Neste capítulo tem-se como objetivo apresentar de forma sucinta os principais trabalhos relacionados aos assuntos pertinentes a este trabalho, ou seja, exergoeconomia, método de Powell e algoritmos genéticos.

2.1. Exergoeconomia

KEENAN (1932) propôs a associação entre os custos de geração de energia elétrica e vapor em um sistema de cogeração com o conceito de exergia. Segundo Keenan, o valor econômico dos produtos de um sistema térmico deveria estar associado ao conteúdo exergético e não ao conteúdo energético dos fluxos de massa.

A proposição de Keenan foi aplicada à otimização de componentes e de um sistema de separação de ar composto por estes componentes e apresentada em um seminário por Benedict em 1948. Porém, este trabalho foi publicado somente cerca de 30 anos mais tarde (BENEDICT e GYFTOPOULOS, 1980).

GAGGIOLI (1961) desenvolveu uma metodologia de otimização associada à destruição de exergia para o problema de otimização do isolamento térmico de uma planta de geração de energia elétrica. A metodologia proposta por Gaggioli atribuía ao vapor parcelas do custo de geração da energia elétrica, penalizando a destruição e a perda de exergia através da energia elétrica não gerada.

TRIBUS e EVANS (1962) associaram o conceito de exergia a processos de dessalinização e atribuíram custos aos fluxos exergéticos dos sistemas dando origem ao termo ‘Termoeconomia’.

A atribuição de custos aos fluxos exergéticos de sistemas térmicos utilizada por TRIBUS e EVANS (1962) e GAGGIOLI (1961) esteve presente em outros trabalhos nas décadas de 1960 e 1970. BERGMANN e SCHMIDT (1965) atribuíram custos à destruição de exergia nos componentes de uma planta de geração térmica. FRATZSCHER e KLÖDITZ (1968) aplicaram o conceito utilizado por Tribus e Evans a um trocador de calor regenerativo. SZARGUT (1967, 1971, 1974) aplicou o mesmo conceito a um sistema de cogeração.

de otimização do sistema a partir da otimização isolada dos componentes deste sistema. Para realizar esta tarefa, El-Sayed e Evans propuseram um método de cálculo baseado em multiplicadores de Lagrange.

A partir de meados da década de 1970, com o aumento do preço do petróleo, ocorreu um processo de intensificação do interesse pela aplicação do conceito de exergia a sistemas térmicos, tendo-se como objetivo o aumento da eficiência destes sistemas. Contribuições mais recentes ao estudo da exergoeconomia são encontradas em trabalhos publicados a partir da década de 1980 por A. Valero, C. A. Frangopoulos, M. R. von Spakovsky, G. Tsatsaronis e outros.

FRANGOPOULOS (1983) desenvolveu a Análise Funcional Termodinâmica (TFA), introduzindo o conceito de Diagrama Funcional, através do qual os componentes do sistema térmico são subdivididos em unidades de acordo com a sua função.

Em seqüência aos estudos de Frangopoulos, VON SPAKOVSKY (1986) procurou simplificar a teoria existente da Análise Funcional Termodinâmica. A metodologia proposta por von Spakovsky apresenta maior objetividade na definição dos passos para construção do Diagrama Funcional.

EL-SAYED e GAGGIOLI (1989) efetuaram um estudo dos métodos exergoeconômicos apresentados até então, classificando-os em três tipos:

a. métodos que utilizam a destruição e a perda de exergia para atribuir custos a componentes ou ao sistema;

b. métodos que a partir de balanços de custo atribuem custos aos fluxos exergéticos;

c. métodos que obtém custos marginais dos fluxos de exergia utilizando o cálculo diferencial.

LOZANO e VALERO (1993) propuseram um procedimento para caracterização de sistemas térmicos utilizando a álgebra matricial, ao qual deram nome de Teoria do Custo Exergético. O sistema de equações é composto pelas equações de balanço de custo para os componentes do sistema e por equações auxiliares. A subjetividade do método proposto consiste na definição de combustível e produto dos componentes.

composto por cinco componentes, sendo descrito em detalhes no capítulo 6 deste trabalho.

LAZZARETTO e TSATSARONIS (1996) propuseram uma metodologia similar à metodologia proposta por LOZANO e VALERO (1993) a qual denominaram SPECO (Specific Exergy Costing), tendo como objetivo reduzir a subjetividade para definição de combustível e produto.

TSATSARONIS (1996) definiu as variáveis exergoeconômicas diferença de custos relativa, fator exergoeconômico, eficiência exergética e custo de destruição de exergia, propondo uma metodologia de otimização exergoeconômica baseada nestas variáveis. As equações de custo dos componentes devem ser expressas em função da eficiência exergética do componente e do fluxo de exergia do produto do componente. Para os componentes que exercem maior influência no custo de destruição de exergia total do sistema, são selecionadas as variáveis de decisão que afetam simultaneamente custos e eficiência exergética. Estas variáveis são modificadas para cada um destes componentes tendo-se como objetivo minimizar o custo dos produtos e maximizar a eficiência exergética de cada componente.

VIEIRA (2003) e VIEIRA et al. (2004) propuseram uma metodologia exergoeconômica iterativa para o melhoramento de sistemas térmicos acoplada a um simulador de processos termodinâmicos. Conforme descrito no capítulo anterior, técnicas de melhoramento exergoeconômico têm como objetivo encontrar um ponto de operação para o sistema térmico próximo ao ponto ótimo matemático utilizando um menor tempo computacional.

Vieira propôs uma metodologia passível de implementação computacional tendo como objetivo a aplicação a sistemas térmicos ditos complexos, ou seja, sistemas térmicos semelhantes aos encontrados em instalações industriais, com grande número de componentes, fluxos e interligações. Vieira aplicou sua metodologia a três sistemas térmicos distintos denominados Sistema Simples, Sistema de Referência e Sistema Complexo. O Sistema Simples é uma modificação do sistema CGAM em que o pré-aquecedor de ar é retirado, o Sistema de Referência é o sistema CGAM e o Sistema Complexo é um sistema de cogeração composto por 24 componentes. A metodologia proposta por Vieira é apresentada no capítulo 5 deste trabalho.

(NELDER e MEAD, 1965). Este método pertence à classe dos métodos de busca direta, para os quais não é necessário o cálculo de derivadas da função objetivo. O método dos poliedros flexíveis gera um poliedro cujos vértices representam os valores das variáveis de decisão. O poliedro é construído em torno de um ponto dito ótimo. O método atua reduzindo as distâncias entre os vértices e o ponto ótimo até que não haja alteração significativa nos valores das variáveis de decisão.

Vieira relatou a necessidade de reinicialização do algoritmo matemático na aplicação de sua metodologia aos sistemas térmicos citados acima. Este fato observado por Vieira motivou para este trabalho a substituição do método dos poliedros flexíveis pelo método proposto por POWELL (1964) e por um algoritmo genético.

2.2. Métodos de Busca Direta

Os métodos de busca direta caracterizam-se por utilizar apenas os valores da função a ser otimizada, não sendo necessário o cômputo de derivadas desta função. Estes métodos apresentam a limitação de retornar como resultado um ponto extremo local quando aplicados a funções multimodais. Entre os métodos de busca direta destacam-se os métodos de HOOKE e JEEVES (1966), NELDER e MEAD (1965) e POWELL (1964).

O método proposto por HOOKE e JEEVES (1966) consiste em duas fases principais: uma busca exploratória em torno do ponto inicial e uma busca padrão na direção definida a partir da busca exploratória. Na busca exploratória, cada uma das variáveis de decisão da função objetivo tem seu valor alterado individualmente. Caso este incremento ou decremento da variável de decisão represente uma redução no valor da função objetivo, este novo valor da variável de decisão substitui o anterior. Ao final da busca exploratória, as variáveis de decisão que tiveram o valor alterado definem a direção para a busca padrão.

menores até que os vértices do poliedro estejam suficientemente próximos. Como exemplo de aplicação do método dos poliedros flexíveis na área de exergoeconomia tem-se o trabalho de VIEIRA (2003).

O método proposto por POWELL (1964) para minimização de funções de várias variáveis consiste em sucessivas buscas unidimensionais utilizando um conjunto de direções conjugadas geradas pelo próprio algoritmo. Para uma função de n variáveis, cada iteração do método de Powell consiste em n buscas unidimensionais. Powell demonstrou que para uma função quadrática, o método converge para um ponto de mínimo local após n iterações. Powell verificou que o algoritmo proposto originalmente poderia gerar direções de busca linearmente dependentes, em especial para funções de mais de cinco variáveis. De forma a solucionar este problema, Powell propôs uma modificação ao seu método original. ZANGWILL (1967) e BRENT (1973) também propuseram modificações ao algoritmo proposto originalmente por Powell. A descrição detalhada do algoritmo original e da modificação proposta por Powell encontra-se no capítulo 3 deste trabalho.

RAJESH e RAVINDRAN (1997) aplicaram o método de Powell ao problema de projeto ótimo de uma tubulação aquecida. OKAMOTO et al. (1998) propuseram uma técnica de otimização numérica híbrida combinando um algoritmo genético e o método de Powell. A eficiência desta técnica foi demonstrada para o problema de otimização de uma função multimodal com cerca de 20000 pontos de mínimos locais. O método de Powell foi aplicado ao problema de gerenciamento ótimo do movimento de água em uma baía de irrigação por CONNELL et al. (1999). KAO et al. (2001) relataram o melhor desempenho do método de Powell quando comparado ao método dos poliedros flexíveis e outros para problemas de otimização de resposta de simulação.

Na área de exergoeconomia, CORDEIRO et al. (2006) aplicaram o método de Powell ao problema de otimização do Sistema CGAM, utilizando o método da seção áurea como método de busca unidimensional. Os resultados obtidos revelaram o método de Powell promissor para esta classe de problemas.

2.3. Métodos Estocásticos

O método do Recozimento Simulado (“Simulated Annealing”), o método do Enxame de Partículas (“Particle Swarm”) e os Algoritmos Genéticos (“Genetic Algorithms”) são classificados como métodos estocásticos, uma vez que apresentam eventos aleatórios em seus algoritmos matemáticos. Estes métodos baseiam-se na observação de processos da natureza e não apresentam fundamentação matemática teórica. Assim como para os métodos de busca direta, para os métodos estocásticos não é necessário o cômputo de derivadas da função objetivo. Em adição, os métodos estocásticos apresentam a potencialidade de evitar a convergência prematura para pontos de mínimos locais.

O método do recozimento simulado proposto por METROPOLIS et al. (1953) é baseado no processo de tratamento térmico de recozimento de metais, no qual o metal é aquecido a uma temperatura adequada e em seguida resfriado com uma taxa de resfriamento controlada, de forma a permitir a recristalização do material conduzindo a um estado de mínima energia. No método do recozimento simulado, transições para soluções de maior energia são permitidas de acordo com uma certa probabilidade, de forma a evitar a convergência para pontos de mínimos locais. Esta probabilidade possui valor variável, diminuindo a medida que o processo evolui. Como exemplos de aplicação do método do recozimento simulado têm-se os trabalhos de CORANA et al. (1987), AARTS (1989), EGLESE (1990) e GOFFE et al. (1994).

do método do enxame de partículas têm-se os trabalhos de COCKSHOTT e HARTMAN (2001), OURIQUE et al. (2002) e COSTA Jr. et al. (2003).

Os algoritmos genéticos fundamentam-se na teoria de evolução das espécies proposta por DARWIN (1859). De acordo com esta teoria, para uma dada população, os indivíduos que são melhores adaptados ao meio têm maiores chances de sobreviver e, portanto, transmitir seus genes às gerações seguintes, garantindo a evolução contínua de sua espécie.

HOLLAND (1962) estabeleceu os princípios para o desenvolvimento dos algoritmos genéticos através da proposição de um sistema artificial com a propriedade de representar os principais mecanismos dos sistemas naturais.

BAGLEY (1967) utilizou e publicou pela primeira vez o termo algoritmo genético. Bagley aplicou os conceitos de adaptação dos indivíduos ao meio para explicar a estratégia adotada por computadores em jogos que despertavam o interesse naquela época. Bagley utilizou operadores genéticos de cruzamento e mutação semelhantes aos utilizados atualmente, porém, não apresentou resultados de simulação computacional.

CALVICCHIO (1970) utilizou o conceito de algoritmos genéticos para o problema de reconhecimento de imagem por câmeras de vídeo. A principal contribuição deste autor foi a proposição do operador genético pré-seleção, tendo como objetivo diversificar o espaço de busca.

HOLLSTEIN (1971) aplicou pela primeira vez um algoritmo genético a um problema de otimização matemática. Hollstein fez um estudo utilizando diferentes métodos de seleção e de cruzamento. Hollstein constatou que o número de indivíduos utilizados em seu estudo foi muito pequeno.

FRANTZ (1972) analisou a influência da representação adotada para os cromossomos sobre o desempenho dos algoritmos genéticos. Sua principal contribuição foi a apresentação do operador genético cruzamento com corte em múltiplos pontos.

Verificou-se um grande avanço no desenvolvimento dos algoritmos genéticos a partir do trabalho de HOLLAND (1975), no qual o autor consolidou a teoria iniciada por ele próprio cerca de dez anos antes.

limitadas. Dentre as conclusões apresentadas pelo autor, tem-se que valores de probabilidade de mutação maiores do que 10% tendem a tornar a busca essencialmente aleatória e valores adequados para a probabilidade de cruzamento estariam em torno de 60%. De Jong apresentou um operador cruzamento com cortes múltiplos. Este operador já havia sido proposto por FRANTZ (1972), porém, De Jong concluiu que a utilização deste operador não representou melhoria no desempenho do algoritmo genético para os problemas analisados. De Jong também propôs o operador genético elitismo, observando um melhor desempenho dos algoritmos genéticos pela aplicação deste operador. Porém, posteriormente, DE JONG (1980) observou que o operador elitismo utilizado em algoritmos para minimização de funções multimodais não apresentou o desempenho esperado, até mesmo, contribuindo para um desempenho inferior em alguns casos. De Jong propôs ainda um operador genético pré-seleção com o mesmo objetivo do operador proposto por CALVICCHIO (1970), ou seja, diversificar o espaço de busca. Porém, o funcionamento do operador proposto por De Jong era diferente no sentido de que este operador atuava pela eliminação de um indivíduo da geração atual a cada novo indivíduo gerado.

GOLDBERG (1985), ex-aluno de Holland, publicou um livro-texto apresentando de forma detalhada a rotina computacional de um algoritmo genético simples. Alguns capítulos deste trabalho apresentam uma introdução sobre Inteligência Artificial, sendo esta uma área de aplicação dos algoritmos genéticos.

Alguns autores como MICHALEWICZ (1996) utilizam o termo Programas Evolucionários para denominar algoritmos baseados em operadores genéticos. Segundo estes autores, quando as variáveis de decisão do problema de otimização são representadas em base binária, tem-se um algoritmo genético. Porém, quando os operadores genéticos são adaptados de forma a manipular as variáveis de decisão em sua representação original, tem-se um programa evolucionário. De acordo com esta classificação, o algoritmo genético desenvolvido neste trabalho seria classificado como Programa Evolucionário. Porém, a distinção entre algoritmos genéticos e Programas Evolucionários não é relevante para os propósitos deste trabalho.

Capítulo 3 – Método de Powell

3.1. Métodos de Busca

Os métodos de busca direta caracterizam-se por utilizar apenas os valores da função a ser otimizada, não sendo necessário o cômputo de derivadas. Devido a esta característica, podem ser aplicados em problemas de otimização para os quais a função objetivo é discreta, contínua ou não diferenciável. Estes métodos podem ser classificados em técnicas heurísticas e técnicas com fundamentação teórica. Os métodos de técnica heurística baseiam-se em intuição geométrica para a qual não há garantia de desempenho além de resultados obtidos empiricamente. As técnicas com fundamentação teórica apresentam garantia de desempenho tal como convergência, pelo menos, sob condições pré-estabelecidas. Os métodos de busca direta, quando aplicados a funções multimodais, apresentam a limitação de retornar como resultado um ponto extremo local.

3.2. Taxa de Convergência

Dada uma função f

( )

x , um algoritmo de otimização deve gerar uma seqüência de pontos _{x que se aproxime do ponto extremo. Em problemas de otimização, o ponto} i

extremo representa um ponto de mínimo para um problema de minimização ou um ponto de máximo para um problema de maximização. No contexto deste trabalho, _x ∗ representa o ponto extremo, enquanto que o valor extremo da função é representado por

( )

_x∗ f .

Um método é dito convergente se a relação

( ) 1 1 ≤ + i i λ λ (3.1)

é satisfeita a cada iteração, em que

∗

− =xi x

i

Por definição, diz-se que um algoritmo tem uma ordem (ou taxa) r de convergência se ( ) C r i i i = + ∞ → _λ λ 1 lim (3.3)

em que C é uma constante. Quando r=1, o algoritmo tem uma taxa de convergência linear e quando r =2, a taxa é quadrática. Quando r =1 e C=0, o algoritmo apresenta uma taxa de convergência superlinear.

3.3. Método de Powell

O método de POWELL (1964) pertence à classe dos algoritmos de busca direta com fundamentação teórica. Este método apresenta desempenho superior quando comparado aos demais algoritmos de busca direta, conforme pode ser verificado pelos testes executados por HIMMELBLAU (1972). Segundo a teoria na qual baseia-se este método, para uma função quadrática f

( )

x , em que _x∈ℜn_{, o mínimo será encontrado}

após n iterações. Se a função não for quadrática, o número de iterações será maior que n, porém pode ser provado que, sob hipóteses razoáveis, o método convergirá para um mínimo local com uma taxa de convergência superlinear (REKLAITIS et al., 1983). Há duas razões que fundamentam a escolha de Powell pelo modelo quadrático:

1. este é o tipo mais simples de função não linear a otimizar e, portanto, qualquer técnica para otimizar funções em geral, deve apresentar resultado satisfatório quando aplicado a esta classe de funções;

2. próximo ao ponto de ótimo, qualquer função não linear pode ser aproximada por uma forma quadrática através da expansão em série de Taylor; desta forma, o comportamento de um algoritmo para formas quadráticas indica como este funcionará para funções gerais.

O método desenvolvido por Powell localiza o mínimo de uma função f

( )

x por sucessivas buscas unidimensionais ao longo de um conjunto de direções conjugadas geradas pelo próprio algoritmo. Duas direções de busca, d_j e d_i, são ditas conjugadas entre si se

( )

d_j TH d_i =0 parai ≠ j (3.4)

( )

d_j TH d_i ≥0 parai= j (3.5)

em que H_=∇2_f

( )

x _{é uma matriz quadrada positiva definida.}

O método de Powell evoluiu a partir do algoritmo desenvolvido por SMITH (1962), que também é um método de busca direta ao longo de direções conjugadas. Como no método de Smith a primeira variável, x₁, é alterada n vezes mais freqüentemente do que a variável x , este apresenta a desvantagem de ser um pouco _n mais lento para atingir o ponto de mínimo iniciando de um ponto distante do ponto ótimo.

A motivação para o método de Powell baseia-se essencialmente no fato de que se o mínimo de uma função quadrática f

( )

x , em que _x∈ℜn_{, é encontrado ao longo de}

cada uma das p

(

p<n

)

direções conjugadas em um estágio da busca, e se um passo adequado é efetuado em cada direção, o passo resultante do ponto inicial ao ponto final do estágio é conjugado a todas as subdireções de busca. A cada iteração o método inicia com uma busca ao longo das n direções de busca linearmente independentes começando pelo ponto conhecido mais próximo do ponto ótimo. As direções de busca são inicializadas como as direções coordenadas e cada iteração define uma nova direção de busca. Para uma função quadrática, após n iterações as n direções de busca serão mutuamente conjugadas e, conseqüentemente, o mínimo da função terá sido encontrado.

3.3.1. Descrição do Método de Powell

I. Selecionar um ponto inicial 0 0

x (o índice superior refere-se ao estágio e o inferior

ao ponto do estágio), fazer estágio k =0 e d0_i =e_{i, i =1,2,...,n (direção dos eixos}

coordenados).

II. Realizar a Busca Unidimensional: para i=1,2,...,n calcular α_i de modo que

(

k

)

i i k i f x₋1+α d é um mínimo e definir k i i k i k i x d x = ₋1 +α .

III. Para i = 1,2,...,n – 1 substituir k i d por k i 1+ d . Fazer k k n k n x x0 d = − .

IV. A partir do ponto k n

x calcular α de modo que

(

(

k k

)

)

n k n f x +α x −x₀ é um mínimo e definir

(

k k

)

n k k 0 0 1 0 x x x x + = +_α − V. Se k − k ≤ε n x0 x então FIM.

VI. Caso contrário, fazer k ←k+1 e voltar para II.

3.4. Método de Powell Modificado

Powell verificou que o método de otimização original por ele desenvolvido poderia conduzir a direções de buscas linearmente dependentes, em especial para funções de mais de cinco variáveis. Como exemplo, se o passo em uma das direções de busca for nulo devido ao fato de que nenhum progresso seja obtido nesta direção, o espaço de busca torna-se restrito. Com o intuito de solucionar este problema presente em seu algoritmo original, Powell desenvolveu um método modificado. Powell demonstrou que alterando a norma dos vetores que representam as direções de busca tal que

( )

k i n i T k i Hd =1, =1,..., d (3.6)

o determinante da matriz cujas colunas representam as direções de busca assume valor máximo se e somente se as direções de busca, k

i

d , são mutuamente conjugadas em

relação a H. Powell concluiu que a direção de busca resultante para o estágio k , _{d ,} k

tamanho

(

k k

)

n x0

x − é efetuado correspondendo ao progresso total no estágio k. A execução de um teste, conforme o passo IV’ do algoritmo, revela se a adição desta nova direção de busca conduz ao aumento do valor do determinante da matriz das direções de busca. Em caso positivo, esta direção fará parte do conjunto de direções de busca para o estágio seguinte. Com esta modificação, o algoritmo mostra-se eficiente quando comparado a outros métodos (FLETCHER, 1965; BOX, 1966). Embora a desejável propriedade de convergência quadrática seja perdida, esta modificação é essencial para a otimização de funções de mais de cinco variáveis.

3.4.1. Descrição do Método de Powell Modificado

A seguir tem-se a descrição algorítmica do método de Powell modificado.

I'. Selecionar um ponto inicial 0 0

x (o índice superior refere-se ao estágio e o inferior

ao ponto do estágio), fazer estágio k =0 e d0_i =e_{i, i =1,2,...,n (direção dos eixos}

coordenados).

II'. Realizar a Busca Unidimensional: para i=1,2,...,n calcular α_i de modo que

(

k

)

i i k i f x₋₁+α d é um mínimo e definir k i i k i k i x d x = ₋₁ +α . III'. Calcular k k n k n 1 2x x0

x ₊ = − , ou seja, fazer um passo adicional de tamanho k k

n x0

x −

na direção resultante das n buscas unidimensionais. IV'. Calcular

[

( ) ( )

k

]

i k i n i k _{= f x − f x} ∆ ₋ =1,..., 1

max . A direção de busca relativa a esta variação máxima será designada por k

m d . Define-se _{f f}

( )

k 0 1 = x ,

( )

k n f f₂ = x e

( )

k n f f₃ = x ₊₁ . Se f₃ ≥ f₁ ou

(

)

(

)

(

)

2 3 1 2 2 1 3 2 1 ₂ 1 2f f f f f f f _{− + − −∆}k _{≥ ∆}k _{− , então}

usar as mesmas direções de busca do estágio k, isto é, k i k

i d

d +1 = _{, i =1,2,...,n, e}

iniciar o próximo estágio a partir do ponto k n

k _x

x +1 =

0 (ou xkn 1+ se f3 < f2).

V'. Caso contrário usar as direções

[

] [

k k

]

n k m k m k k k n k k _{d d d d d d d d} d 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1+ +... + = ... − +... + , em que a direção k m

d (direção de máxima variação no estágio k) é eliminada e a nova direção resultante, _dk _(de k

0

x para k n

correspondente valor de α obtido via minimização nesta direção e k k n k _{x d} x +1 = +α 0 . VI'. Se k − k ≤ε n x0 x então FIM.

VII'. Caso contrário, fazer k ←k+1 e voltar para II’.

3.5. Sugestões ao Método de Powell

Com o intuito de solucionar o problema verificado por Powell em seu algoritmo original, ZANGWILL (1967) sugeriu um modo mais simples de assegurar independência entre as direções de busca. Ao incorporar a modificação sugerida por ZANGWILL (1967), tem-se que o método de Powell converge para o ponto ótimo de uma função quadrática em um número finito de passos e, pelo menos teoricamente, para o ponto ótimo de uma função estritamente convexa. Porém, experimentos numéricos (RHEAD, 1971) mostraram que a modificação efetuada por Powell é mais eficiente. BRENT (1973) também sugeriu modificações quanto à escolha das direções de busca e executou testes que indicam que sua metodologia é mais eficiente do que aquela proposta por Powell. Porém, estas alterações tornam a programação do método mais complexa do que se verifica ao utilizar as alterações propostas por Powell.

3.6. Busca Unidimensional

Conforme observa-se nos itens II e II’ das seções (3.3.1) e (3.4.1) respectivamente, a cada estágio do método de Powell mostra-se necessário encontrar o extremo da função em cada uma das direções de busca do método. Tal objetivo é alcançado com a aplicação de um método de busca unidimensional, que consiste em um algoritmo para minimização ou maximização de funções de apenas uma variável.

Embora o método de Powell seja aplicável a funções multivariáveis, definindo-se uma direção de busca e tendo-definindo-se uma estimativa inicial para o ponto extremo da função nesta direção, a busca pelo extremo reduz-se à determinação do passo adequado na respectiva direção, ou seja, uma função de uma única variável.

ser encontrada em WILDE (1964). Com exceção do algoritmo DSC, para aplicação dos demais necessita-se conhecer um intervalo inicial que contenha o ponto extremo de

( )

x

f e que f

( )

x possua apenas um ponto extremo neste intervalo.

Conforme pode ser observado nos testes apresentados por HIMMELBLAU (1972), dentre os métodos citados acima, a combinação dos algoritmos DSC e Powell apresenta o melhor desempenho.

Para problemas de minimização, o algoritmo de busca unidimensional DSC (HIMMELBLAU, 1972) consiste na utilização de passos de tamanhos sucessivamente maiores até que o ponto de mínimo esteja entre os três pontos gerados pelo método. A seguir tem-se a descrição do algoritmo DSC.

1. Calcular f

( )

x para o ponto x₀. Se f

(

x₀ +∆x

)

≤ f

( )

x₀ , seguir para o item 2. Se

(

x0 x

)

f

( )

x0

f +∆ > , fazer ∆x=−∆x e seguir para o passo 2. 2. Calcular x_k+1 =x_k +∆x.

3. Calcular f

( )

x_k+1 .

4. Se f

( )

x_k+1 ≤ f

( )

x_k , multiplicar ∆x por dois e retornar para o item 2 com

1

+ =k

k . Se f

( )

x_k+1 > f

( )

x_k , denotar xk+1 por xm, xk por xm−1 e assim

sucessivamente. Reduzir ∆x à metade e refazer os itens 2 e 3 apenas uma vez. 5. Entre os quatro valores de x igualmente espaçados no conjunto

{

xm+1,xm,xm−1,xm−2

}

, descartar xm ou xm−2, aquele que estiver mais afastado do

ponto x correspondente ao menor valor de f

( )

x no conjunto. Denotar os três valores remanescentes de x por x_a, x_b e x_c, em que x_b é o ponto central e

x x

x_a = _b −∆ e x_c = x_b +∆x.

6. Efetuar uma interpolação quadrática para estimar o valor de x no mínimo de

( )

x f , x_∗, em que

[

( ) ( )

]

( )

( ) ( )

[

a b c

]

c a b _{f x f x f x} x f x f x x x + − − ∆ + = ∗ _{2 2} .

No algoritmo de busca unidimensional de Powell (HIMMELBLAU, 1972), efetua-se uma aproximação quadrática utilizando-se os três primeiros pontos obtidos na direção de busca. O ponto x correspondente ao valor mínimo da função quadrática é determinado e estas aproximações quadráticas são efetuadas até que o valor mínimo de

( )

x

f seja alcançado com a precisão requerida. A seguir tem-se a descrição do algoritmo de busca unidimensional de Powell.

1'. A partir do ponto inicial x₁ calcular x₂ = x₁ +∆x. 2'. Calcular f

( )

x₁ e f

( )

x₂ .

3'. Se f

( ) ( )

x₁ > f x₂ , fazer x₃ =x₁+2∆x. Se f

( ) ( )

x₁ ≤ f x₂ , fazer x3 =x1 −∆x. 4'. Calcular f

( )

x₃ .

5'. Estimar o valor de x no mínimo de f

( )

x , x_∗, por

( ) ( )

[

]

( ) ( ) ( )

[

]

( ) ( ) ( )

[

]

( )

(

) ( ) (

) ( ) (

) ( )

[

2 3 1 3 1 2 1 2 3

]

3 2 2 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 x x f x x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x − + − + − − + − + − = ∗ .

6'. Se a diferença entre x_∗ e qualquer um dos valores de x pertencentes ao conjunto

{

x1,x2,x3

}

correspondente ao menor valor de f

( )

x for menor que a precisão requerida em x, ou menor que a precisão requerida em f

( )

x , a busca estará terminada. Caso contrário, calcular f

( )

x_∗ e descartar do conjunto

{

x₁,x₂,x₃

}

aquele que corresponder ao maior valor de f

( )

x , a menos que ao fazer isto, o mínimo de f

( )

x não esteja entre os três pontos remanescentes. Neste caso, deve-se descartar o valor de x que permita que o mínimo de f

( )

x permaneça entre os três pontos remanescentes para a busca. Voltar para o item 5’.

As iterações do algoritmo seguem até que a precisão requerida seja atingida conforme o item 6’.

3.7. Algoritmo Utilizado neste Trabalho

Neste trabalho, utilizou-se o método de Powell modificado acoplado ao algoritmo combinado DSC-Powell para busca unidimensional. Uma vez que o método de Powell não reconhece as restrições impostas às variáveis de decisão, utilizou-se como recurso o método das penalidades de forma que o conjunto de valores finais das variáveis de decisão tenha significado físico.

Capítulo 4 – Algoritmos Genéticos

4.1. Introdução

Os algoritmos genéticos pertencem à classe dos métodos estocásticos de otimização, que são aqueles que apresentam eventos aleatórios em seus algoritmos matemáticos. Estes métodos não possuem fundamentação teórica, baseando-se em observações experimentais. Para os algoritmos genéticos, não é necessário que a função a ser otimizada apresente continuidade ou diferenciabilidade. Portanto, assim como os métodos de busca direta, estes algoritmos apresentam caráter genérico, podendo ser aplicados a problemas com função objetivo discreta, contínua ou não diferenciável.

Após mais de vinte anos de observações e experimentos, DARWIN (1859) apresentou sua teoria de evolução das espécies através do processo de seleção natural. De acordo com Darwin, para uma dada população, os indivíduos que são melhores adaptados ao ambiente têm maiores chances de sobreviver e, portanto, transmitir seus genes às gerações seguintes, garantindo a evolução contínua de sua espécie. Além deste fato, observou-se saltos na escala de evolução devido ao mecanismo natural de mutação dos indivíduos.

As etapas do processo de evolução natural das espécies podem ser resumidas da seguinte maneira:

• as características de um indivíduo são representadas por genes; os genes combinam-se formando estruturas codificadas que recebem o nome de cromossomos;

• uma população de uma geração é composta por indivíduos originados a partir da combinação dos genes dos indivíduos mais aptos da geração anterior;

• ao longo de uma geração, as mutações ocorrem de maneira aleatória, alterando a adaptabilidade dos indivíduos desta geração;

• todos os indivíduos que formam a população de uma geração apresentam a mesma probabilidade de sofrer mutação;

Na década de 60, HOLLAND (1962) propôs a incorporação de algumas etapas da teoria de evolução natural das espécies de Darwin a um algoritmo de otimização computacional. Os resultados das pesquisas de Holland foram apresentados em 1975 em seu livro Adaptation in Natural and Artificial Systems, considerado a principal referência relacionada a algoritmos genéticos.

Fazendo-se uma analogia com o processo de evolução das espécies, para um algoritmo genético, tem-se que:

• os genes representam as variáveis de decisão e os cromossomos são formados por grupos de genes;

• cada indivíduo da população é formado por um cromossomo, representando uma possível solução do problema de otimização;

• a aptidão de um indivíduo é representada pelo valor da função objetivo associada a este indivíduo;

• as mutações dos genes modificam os valores das variáveis de decisão, alterando, desta forma, o valor da função objetivo;

• os indivíduos mais adaptados ao meio, ou seja, aqueles que apresentam melhores valores da função objetivo, têm maior probabilidade de transmitirem seus genes à próxima geração.

Desta maneira, cada iteração de um algoritmo genético representa uma geração de indivíduos. O número de indivíduos é representado pelo tamanho da população e o número de iterações é definido pelo número de gerações do algoritmo. A aptidão dos indivíduos é representada pelo correspondente valor da função objetivo. A cada iteração, os operadores seleção, cruzamento e mutação são aplicados aos indivíduos para simular o fenômeno de evolução das espécies. Os indivíduos mais aptos de uma geração são selecionados para formar a geração seguinte e a população inicial é formada por um conjunto de indivíduos gerados aleatoriamente.

4.2. Codificação dos Indivíduos

As características de um indivíduo pertencente a uma população estão codificadas nos genes constituintes dos cromossomos deste indivíduo. Em um algoritmo genético, a aptidão de um indivíduo é representada pelo resultado da aplicação da função objetivo ao cromossomo codificado deste indivíduo. Portanto, tem-se a necessidade de utilizar uma representação codificada para os indivíduos que formam uma população.

4.2.1. Codificação Binária

Como uma das alternativas para codificação tem-se a codificação binária, em que seqüências de dígitos 0 e 1 são utilizadas para representar os genes constituintes dos cromossomos. Os algoritmos genéticos, em sua forma original, utilizam esta representação para a codificação dos indivíduos. A Figura 4.1 ilustra a codificação binária de um cromossomo com quatro genes em que cada gene é formado por uma seqüência de 13 dígitos.

1000101101110 0111001011010 0110100101110 1000101101101

Figura 4.1 – Codificação binária de um cromossomo com quatro genes.

O número de dígitos constituintes dos genes da Figura 4.1 foi escolhido de maneira aleatória, porém, observa-se que para uma seqüência de n dígitos, tem-se 2n

possíveis combinações.

A principal vantagem da representação binária consiste no fato desta ser independente do problema analisado. Após o conjunto de indivíduos ser representado em codificação binária, os operadores genéticos podem ser aplicados, possibilitando a aplicação do algoritmo genético em diferentes classes de problemas.

4.2.2. Codificação Real

devido à natureza da representação de números reais em base binária. Este fato dificulta a manipulação destes genes e eleva o tempo computacional. Adicionalmente, o operador mutação quando aplicado a um gene em base binária pode conduzir a uma significativa alteração no valor da função objetivo devido ao processo de mudança entre as bases binária e decimal.

Portanto, para as variáveis reais mostra-se mais adequada a codificação real, em que os cromossomos são formados por genes que consistem nos próprios valores reais das variáveis de decisão do problema. Desta forma, simplifica-se a manipulação dos cromossomos pela redução de seu tamanho físico. A Figura 4.2 ilustra a codificação real de um cromossomo com quatro genes.

320 52,456 -27 115,821

Figura 4.2 – Codificação real de um cromossomo com quatro genes.

Como desvantagem da codificação real, tem-se a necessidade de alteração dos operadores genéticos originais (HOLLAND, 1975) de forma a comportar este tipo de codificação de indivíduos.

4.3. Operadores Genéticos

Em um algoritmo genético, o fenômeno de evolução das espécies é simulado pela aplicação, a cada iteração, dos operadores seleção, cruzamento e mutação dos indivíduos da respectiva geração. Estes operadores são apresentados respectivamente nas seções (4.3.1), (4.3.2) e (4.3.3). Na seção (4.5) tem-se a definição dos operadores genéticos utilizados neste trabalho.

4.3.1. Operador Seleção

O operador seleção tem a função de selecionar, dentre os indivíduos constituintes de uma população, candidatos à operação de cruzamento.