CAPÍTULO II TEORIAS DE FALHA ESTÁTICA E DINÂMICA 2.1. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA

CAPÍTULO II

TEORIAS DE FALHA ESTÁTICA E DINÂMICA

2.1. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA

2.1.1 Introdução

O motivo pelo qual elementos ou unidades mecânicas falham é uma questão na qual cientistas e engenheiros têm se ocupado constantemente. Uma resposta, provavelmente correta, seria que tais elementos falham por estarem submetidos a tensões que superam sua resistência.

Porém, existe uma questão muito mais complexa, que se refere ao tipo de tensão ou solicitação que causou a falha (tensão de tração, de compressão, de cisalhamento, etc). A resposta a esta questão depende do material utilizado e suas respectivas resistências à tração, compressão ou cisalhamento. Além disso, depende também do tipo de carregamento (estático ou dinâmico) e da presença ou ausência de trincas no material.

Geralmente, materiais dúcteis sujeitos à tração estática, têm seu limite de resistência dado pelo cisalhamento, enquanto que materiais frágeis são limitados por sua resistência à tração, sendo exceções algumas situações em que os materiais dúcteis se comportam como frágeis. Portanto, frente a esta situação, são necessárias diferentes teorias de falhas para as duas classes de materiais existentes, dúcteis e frágeis.

A definição cuidadosa do que se entende por falha, também é de significativa importância dentro deste contexto. Falha pode significar escoamento e distorção suficientes para impedir o funcionamento de um elemento, ou ainda, falha pode significar simplesmente fratura ou quebra. Ambas definições são válidas, porém geradas por mecanismos completamente diversos. Um escoamento significativo precedendo a falha, somente é possível para materiais dúcteis. Materiais frágeis sofrem fratura, praticamente sem mudanças significativas de sua forma externa. Tais diferenças de comportamento são perfeitamente visíveis em diagramas tensão-deformação para cada tipo de material. Além disso, a presença de trincas em materiais dúcteis pode provocar fraturas repentinas, quando sujeitos a tensão nominal, logo abaixo de sua resistência ao escoamento, mesmo sob carregamento estático.

Tabela 2.1 Nomenclatura e Simbologia.

Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI

A comprimento característico da trinca in m

B largura característica da superfície da

trinca in m

E módulo de Young ou de elasticidade psi Pa

N fator de segurança adimensional adimensional

N_fm fator de segurança para falha mecânica

por fratura adimensional adimensional

S_uc limite máximo de resistência à

compressão psi Pa

S_ut limite máximo de resistência à tração psi Pa

S_y limite de escoamento ou deformação

plástica de tração psi Pa

S_ys limite de escoamento ou deformação

plástica por cisalhamento psi Pa

U energia total de deformação in-lb Joules

U_d energia de deformação por distorção in-lb Joules

U_h energia de deformação hidrostática in-lb Joules

β

fator de geometria tensão-intensidade adimensional adimensional

ε

deformação relativa adimensional adimensional

ν

coeficiente de Poisson adimensional adimensional

σ

1 tensão principal psi Pa

σ

2 tensão principal psi Pa

σ

3 tensão principal psi Pa

~

σ tensão efetiva de Mohr modificada psi Pa

σ

tensão efetiva de Von Mises psi Pa

K fator de intensidade de tensão psi - in0.5 Pa – m0.5

Kc resistência à fratura psi - in

0.5

Pa – m0.5

Kt

fator de concentração de tensão para

tração adimensional adimensional

Kts

fator de concentração de tensão para

cisalhamento adimensional adimensional

tempo. Carregamentos dinâmicos podem ser aplicados de duas maneiras básicas: repentinamente, como no caso do impacto; ou variando repetidamente com o tempo, como no caso de cargas por fadiga. Ambas solicitações também podem ocorrer simultaneamente.

A Tabela 2.2 apresenta quatro classes de carregamentos, baseados no movimento das partes solicitadas, e na sua dependência no tempo.

Tabela 2.2 Classes de Carregamentos.

Cargas Constantes Cargas Variáveis no Tempo

Sistemas Estacionários

Classe 1 - carga estática -

estrutura de uma base do tipo plataforma fixa.

Classe 2 - carga dinâmica -

estrutura de uma ponte, sujeita a variação de carga dos veículos e da intensidade do vento.

Sistemas Móveis

Classe 3 - carga dinâmica -

cortador de grama motorizado, sujeito a carga externa constante de cortar grama e às acelerações das pás, devido ao movimento rotativo.

Classe 4 carga dinâmica

-motor de um automóvel, sujeito a cargas variáveis devidos às explosões de combustível e às variações de aceleração de suas massas inerciais.

2.2. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA

2.2.1 Falha de Materiais Dúcteis sujeitos à Carregamento Estático

Sabe-se que os materiais dúcteis sofrem fratura quando estaticamente tensionados além de sua máxima resistência à tração, ou tensão de ruptura. Porém, a falha dos componentes de máquinas para este tipo de material é, geralmente, considerada quando este sofre escoamento sob carregamento estático. Sua resistência ao escoamento é consideravelmente inferior à sua resistência máxima.

Algumas teorias foram formuladas e desenvolvidas para este tipo de falha: a) Teoria da Máxima Tensão Normal.

b) Teoria da Máxima Deformação Normal. c) Teoria da Energia de Deformação Total.

d) Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky. e) Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento.

Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky

O mecanismo microscópico de escoamento ocorre devido ao deslizamento relativo das partículas de material dentro dos limites de sua estrutura. Tal deslizamento é provocado por tensões de cisalhamento, sendo acompanhado por uma distorção na forma do elemento em questão. A energia armazenada neste elemento devido à distorção é um indicador das tensões de cisalhamento presentes no material.

Energia Total de Deformação

Define-se por energia de deformação U a área sob a curva tensão-deformação, contida

até o ponto correspondente à tensão aplicada σ_i, para um estado de tensão unidirecional. Considerando a curva tensão-deformação essencialmente linear, até o ponto de escoamento do material, a energia total de deformação, considerando um estado tridimensional de tensões, é dada por:

(

1 1 2 2 3 3

)

2 1 2 1 ε σ ε σ ε σ σε = + + = U _(2.1)

Onde: σ1, σ2, σ3 são as tensões principais presentes no material.

A expressão que relaciona as tensões reais aplicadas às tensões principais é dada pela expressão associada às figuras 2.1 (a) e 2.1 (b), abaixo:

Figura 2.1 - Estado de Tensões Aplicadas (a) e Principais (b).

Obtêm-se três raízes para o determinante do Tensor abaixo: σ1, σ2, σ3

Substituindo as deformações principais relativas em função das tensões principais, atuantes nos planos de tensão de cisalhamento nula, obtém-se:

(

)

(

)

(

)

ε σ νσ νσ ε σ νσ νσ ε σ νσ νσ 1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2 1 1 1 = − − = − − = − − E E E (2.2)

Figura 2.2 - Círculo de Mohr para Estado de Tensões Tridimensional.

A tensão de cisalhamento máxima é sempre o maior valor resultante das expressões:

τ σ σ τ σ σ τ σ σ 13 1 3 21 1 2 32 2 3 2 2 2 = − = − = −

Portanto, substituindo (2.2) em (2.1), obtem-se:

Figura 2.3 - Diagrama Tensão-Deformação.

Componentes da Energia de Deformação

A energia total de deformação, em um elemento sujeito a carregamento estático, é composta, basicamente, por duas componentes: uma devido ao carregamento hidrostático, o qual altera seu volume; e outra devido à distorção, que altera sua forma.

Entende-se por carregamento hidrostático, por exemplo, quando um material é submetido à compressão muito lento, muito além de sua resistência máxima, sem falha, gerando tensões uniformes em todas as direções. Desta forma, o elemento sofre uma redução de volume, sem alterar sua forma.

Assim, separando as duas componentes da energia de deformação e isolando a componente da energia de distorção, esta será um indicador da tensão de cisalhamento presente no elemento. Se Ud é a energia de deformação por distorção e Uh representa a energia

de deformação hidrostática, então:

U = Ud + Uh (2.4)

As tensões principais, por sua vez, também podem ser expressas em termos de componente hidrostático (ou volumétrico), que é a mesma para todas as faces do material; e da componente de distorção, que varia de acordo com a face considerada.

Somando as tensões principais, temos:

(

)

(

d d d

)

h d d d h 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ + + − + + = + + + = + + (2.6)

Para uma redução volumétrica, sem distorção, a tensão hidrostática se reduz a uma média aritmética das tensões principais:

3 3 2 1 σ σ σ σh = + + (2.7) Substituindo Uh na expressão (2.3):

(

)

U E h = h − 3 2 1 2ν ₂ σ (2.8) Substituindo (2.7) em (2.8):

(

)

(

)

_[

₍

₎

_]

3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 ₂ 6 2 1 3 2 1 2 3

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ν

σ

σ

σ

ν

_{ =} − _{+ + − + +}      + + − = E E U_{h (2.9)}

A energia de distorção é, então, obtida, subtraindo a expressão (2.9) da expressão (2.3):

(

)

_[

_]

U U U U E d h d = − = 1+ + + − − − 3 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.10)

Para se obter um critério de falha, compara a energia de distorção, por volume unitário, dada pela expressão (2.10), com a energia de distorção, por volume unitário, presente num teste de falha por tração, por ser esta a principal fonte de dados de resistência dos materiais.

Trata-se, portanto, da resistência ao escoamento Sy. O teste de tração é um estado de tensão uniaxial onde, no escoamento, tem-se

σ

_{1 = Sy e}

σ

₂ =

σ

₃ = 0. Portanto, da expressão

(2.10), obtem-se a energia de distorção para o teste de tração:

Figura 2.4 - Círculo de Mohr para Tensão de Tração Unidirecional.

O critério de falha por energia de distorção, para um estado tridimensional de tensões, iguala as expressões (2.10) e (2.11).

[

]

S S y y 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 = + + − − − = + + − − − σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.12)

Para um estado bidimensional de tensões, σ₂ = 0:

S_y = σσσσ₁2−σσσσ σσσσ_{1 3}+σσσσ₃2 _(2.13)

A equação (2.13) descreve uma elipse nos respectivos eixos σ₁ e σ₃ . O interior da elipse define a região das tensões biaxiais combinadas, dentro dos limites de segurança quanto ao escoamento, sob carga estática. A equação (2.12) descreve um cilindro de seção circular, inclinado em relação aos eixos σ₁, σ_{2 e} σ_{3 , de modo que sua interseção com qualquer dos} três planos principais, seja uma elipse como a da figura 2.5.

Figura 2.5 - Elipse da Energia de Distorção em 2-D para Resistência ao Escoamento.

σ

σ

1

σ

2

= σ

3

= 0

τ

13

, τ

12 Sy

σ

1

σ σ σ

2 1 3 3 2 1 − + = 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

σσσσ

3

σσσσ

1 A B

Para torção pura

Tensão Efetiva de Von Mises

Para materiais dúcteis sujeitos as tensões combinadas de tração e cisalhamento, atuando sobre um mesmo ponto, é possível e conveniente definir uma tensão efetiva que represente esta combinação de tensões.

Define-se como tensão efetiva de Von Mises (

σ

’) uma tensão de tração uniaxial, capaz

de gerar a mesma energia de distorção, como aquela resultante da combinação das tensões reais aplicadas. 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 '

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

= + + − − − (2.14)

A tensão efetiva de Von Mises também pode ser representada em termos das tensões aplicadas:

(

) (

2

)

2

(

)

2

(

2 2 2

)

6

' σ_x σ_y σ_y σ_z σ_z σ_x τ_xy τ_yz τ_zx

σ = − + − + − + + + (2.15)

Para o caso bidimensional:

2 2 2 3 ' σ_x σ_y σ_xσ_y τ_xy σ = + − + (2.16) Fator de Segurança

De acordo com a definição de fator de segurança, as equações (2.12) e (2.13) definem as condições de falha.

Dentro do escopo de projeto, é interessante incluir uma estimativa do fator de segurança N, de modo que o estado de tensões esteja dentro dos limites de segurança da elipse de tensões. ' σ y S N = _(2.17)

Para o estado tridimensional de tensões:

S N y _{= σ +σ +σ −σ σ −σ σ −σ σ} 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 (2.18)

O fator de segurança para o estado bidimensional é dado por:

S_y

Cisalhamento Puro

Para o caso de cisalhamento puro, como ocorrem para carregamentos torcionais puros, as tensões principais tornam-se:

Figura 2.6 - Círculo de Mohr para Tensão de Cisalhamento Puro.

Na figura 2.5, o estado de tensão torcional puro está representado pela reta que corta a elipse a – 45o, interceptando-a em dois pontos, A e B.

O critério de falha aplicado corresponde à equação (2.13):

ys y y max max y S S S S = = = = + − = 577 , 0 3 3 2 2 3 3 1 2 1 τ τ σ σ σ σ (2.20)

Esta relação define a resistência ao escoamento por cisalhamento para materiais dúcteis (Sys), como uma fração da resistência ao escoamento por tração (Sy).

Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento

A teoria da máxima tensão de cisalhamento estabelece que a falha ocorre quando a tensão de cisalhamento máxima em uma região supera a tensão de cisalhamento resultante de um teste de falha por tração. Neste caso, a resistência ao cisalhamento é a metade da resistência ao escoamento por tração, para materiais dúcteis.

Sys = 0,50 Sy (2.21)

Figura 2.7 - Círculo de Mohr para Solicitação por Tração.

A figura 2.8 ilustra a envoltória de falha hexagonal para o critério do máximo cisalhamento bidimensional. O hexágono está contido dentro da elipse do critério de Von Mises-Hencky, correspondendo, portanto, a um critério de falha mais rígido.

São consideradas dentro dos limites de segurança, as tensões combinadas que se localizarem na área interna ao hexágono, estando o elemento sujeito à falha quando estas se posicionarem sobre o contorno que delimita o hexágono. Os pontos C e D definem o critério para cisalhamento puro torcional.

Figura 2.8 - Elipse da Energia de Distorção e Hexágono da Máxima Tensão de Cisalhamento, em 2-D para Resistência ao Escoamento.

2.2.2 Falha de Materiais Frágeis sujeitos à Carregamento Estático

Materiais frágeis estão mais sujeitos à fratura que ao escoamento. A fratura frágil em tração ocorre devido à tensão de tração normal apenas e, portanto, a teoria da máxima tensão normal é amplamente aplicada nestes casos. A fratura frágil em compressão ocorre quando

τ

σ

τ

max

σ

3 =

σ

2 =

0

σ

1 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

σσσσ

3

σσσσ

1 tensão/Sy C D

Para torção pura

existe uma combinação das tensões de compressão normal e de cisalhamento e, portanto, requer teorias de falha particulares.

Figura 2.9 - Diagrama Tensão-Deformação para Materiais Frágeis.

Materiais regulares e irregulares

Materiais regulares são aqueles que tendem a apresentar uma resistência a compressão igual a resistência a tração. Muitos materiais fundidos, como o ferro fundido cinza, apresentam uma resistência à compressão muito superior à sua resistência à tração, sendo denominados materiais irregulares. A baixa resistência à tração ocorre devido à presença ou formação de imperfeições microscópicas na fundição, as quais atuam, quando sujeitas à tração, como nucleadores para formação de trincas. Em compressão, estas imperfeições são prensadas e preenchidas, elevando a resistência ao escorregamento devido às tensões de cisalhamento. Outra característica importante dos materiais frágeis é a ocorrência de uma resistência ao cisalhamento superior à resistência à tração: σt < τ < σc.

(a)

(b)

Figura 2.10 - Círculo de Mohr para Testes de Tração e Compressão, para materiais frágeis regulares (a) e irregulares (b).

Para materiais regulares, figura 2.10(a), as linhas de falha são constantes e independem do valor da tensão normal, sendo, portanto, definidas pelo critério da máxima resistência ao cisalhamento do material.

Por sua vez, os materiais irregulares apresentam as linhas de falha como uma função de ambas as tensões, normal (σ) e de cisalhamento (τ). À medida que aumenta a tensão normal de compressão, a resistência ao cisalhamento do material torna-se mais elevada.

Teoria de Coulomb - Mohr

A teoria de falha de Coulomb-Mohr é uma adaptação da teoria da máxima tensão normal que, para materiais dúcteis, estabelece a ocorrência da falha quando a tensão normal supera algum limite de resistência do material, no caso dúctil, Sy.

Figura 2.11 - Critério da Máxima Tensão Normal para Materiais Dúcteis.

A figura 2.12 ilustra o critério de Coulomb-Mohr para materiais frágeis, considerando a máxima resistência à tração Sut.

Para materiais regulares temos: Sut = - Suc. Ou seja, a máxima resistência à tração é

igual à máxima resistência à compressão, conforme o quadrado simétrico da figura 2.12. Os materiais frágeis irregulares apresentam uma resistência à compressão Suc muito

superior a resistência à tração Sut, caracterizando o quadrado maior assimétrico no diagrama

da figura 2.12.

Porém, a envoltória de falha para materiais irregulares é válida somente nos 1º. e 3º. quadrantes, por não considerar a relação de variação existente entre as tensões normal e de cisalhamento (figura 2.10 (b)).

Na figura 2.13, a relação de dependência entre σ e τ é contemplada através da união dos vértices destes dois quadrantes. Este critério para materiais frágeis irregulares difere do critério da máxima tensão de cisalhamento para materiais dúcteis, apenas por dois pontos: a

σ

1

σ

3

S

y

S

y

σ

3

Figura 2.12 - Critério de Coulomb - Mohr para Materiais Frágeis.

Sut , -Suc Sut , Sut Sut , -Sut -Suc , -Suc -Suc , Sut -Sut , -Sut -Sut , Sut

Material Regular ou Estavel

Material Irregular ou Instável

assimetria típica de materiais irregulares e a utilização do limite de resistência máxima de ruptura Su (e não do limite de escoamento Sy). Porém, testes experimentais superpostos aos

diagramas revelaram que as falhas coincidem com os limites do 1º quadrante da figura 2.13. Para os 2º e 4º quadrantes, os pontos de falha permanecem dentro do critério da máxima tensão normal, estando, porém, fora dos limites do critério de Coulomb-Mohr.

Figura 2.13 - Critério de Coulomb - Mohr para Materiais Inteligentes.

Teoria de Mohr Modificada

Figura 2.14 - Critério de Mohr Modificado.

Fator de Segurança

Analisando os primeiro e segundo quadrantes da figura 2.14, para o critério de Mohr Modificado, definem-se claramente três planos de condições de tensão: plano A, onde σ1 e σ3 são sempre positivos; plano B, onde σ1 e σ3 tem sinais opostos e o limite de resistência em Sut;

plano C, onde σ1 e σ3 tem sinais opostos e os limites de resistência em Sut e Suc.

O fator de segurança para os planos A e B, é, portanto:

N = Sut

σ₁ (2.22)

Pois a falha ocorre quando as linhas de carga ultrapassam os pontos A’ e B’,

respectivamente, para os planos A e B. Para o plano C, a interseção da linha de carga com a

envoltória de falha em C’, define o fator de segurança N.

Para equação da reta entre (0 , -Suc) e (Sut , -Sut), obtem-se:

A expressão (2.23) estabelece uma relação entre os limites máximos de resistência à tração (Sut), à compressão (Suc) e as tensões principais σ1 e σ3, igual à unidade, o que significa

justamente a reta que contorna o critério de falha para o quarto quadrante.

Para valores superiores à unidade, o estado de tensões se encontra no interior do hexágono deformado pelo critério de Mohr Modificado, estando, portanto, a favor da segurança.

(

S S

)

S S N ut uc ut uc − σ1+σ3 +σ1 =

(

)

(

)

S S_{ut uc} = N −S_ut σ₁+σ₃ +σ₁S_{uc (2.24)}

(

)

(

S S

)

N N S N S N S S S S S N S N S S S N N S ut uc ut ut ut ut uc ut ut ut uc ut uc ut + − − = + − + − − = + − = + + − 3 1 3 1 1 3 1

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Na aplicação desta teoria, pode ser conveniente a definição de uma tensão efetiva (expressão de Dowling):

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

C S S S C S S S C S S S uc ut uc uc ut uc uc ut uc 1 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 1 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 =  − + + +      =  − + + +      =  − + + +      σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.25)

O maior valor estimado entre C1, C2, C3, σ1, σ2 e σ3, será assumido como tensão

efetiva para materiais frágeis.

(

)

~ _{, , , , ,}

σ= MAX C C C_{1 2 3} σ σ σ_{1 2 3}

A tensão efetiva de Mohr Modificada pode, então, ser comparada à máxima resistência à tração, para o fator de segurança N:

N = S_~ut

σ (2.26)

2.2.3 Mecânica da fratura e Concentração de Tensões

As teorias de falha vistas até então, assumem materiais cujas superfícies são perfeitamente homogêneas, isotrópicas e contínuas, sendo, portanto, livres de defeitos como trincas, entalhes e inclusões que, por sua vez, atuam como incremento de tensões. Porém, este fato não ocorre na realidade, sendo considerado que todos os materiais possuem microtrincas, não mesmo visíveis macroscopicamente.

Contornos de geometria funcionais, projetados juntamente com o elemento em questão, podem elevar as tensões locais de forma previsível, de modo a serem levadas em consideração na análise de tensões, para posterior aplicação dos critérios de falha.

A grandeza associada à concentração de tensões, para uma determinada geometria, é definida por um fator de concentração de tensões geométrico Kt, para tensões normais, ou Kts,

para tensões de cisalhamento.

A tensão máxima no local de incremento de tensões é dada por:

σmax =Kt σnom e τmax =Kts τnom (2.27)

Onde

σ

nom e

τ

nom são as tensões nominais estimadas para um determinado carregamento, sem considerar a concentração de tensões.

Para cargas estáticas, os materiais dúcteis escoam localmente na região de incremento de tensões, enquanto o material tensionado, imediatamente próximo à descontinuidade geométrica, permanecer abaixo de seu ponto de escoamento.

Os materiais frágeis não escoam por não apresentarem uma região plástica de deformação. Portanto, quando as tensões na região de incremento excedem a resistência à fratura, inicia-se a formação da trinca, que reduz a resistência à carga, e aumenta a concentração de tensões nas suas vizinhanças.

Não só para carregamento dinâmico, a presença de uma trinca aguda em um campo de tensões gera concentrações de tensões que, teoricamente, tendem ao infinito:

Figura 2.15 - Variação do Fator de Concentração de Tensões devido a uma Trinca Elíptica.

Quanto menor a espessura da trinca (c → 0), a concentração de tensões Kt tende a

infinito. Como nenhum material pode suportar níveis tão elevados de tensões, ocorrem escoamento local (materiais dúcteis) ou microtrinca local (materiais frágeis), na raiz da trinca.

Teoria da Mecânica da Fratura

Fratura Mecânica pressupõe a existência de uma trinca. Se a região de escoamento, nas vizinhanças da trinca é pequena, então a teoria da fratura mecânica elástica linear é aplicada

(LEFM). Dependendo da orientação do carregamento em relação à trinca, a carga aplicada pode abrir a trinca em tração (modo I), pode cisalhar a trinca no plano (modo II), ou pode cisalhar a trinca fora do plano (modo III). Limitar-se-á neste texto, a análise ao modo I.

Fator de Intensidade de Tensão

Figura 2.16 - Trinca interna (a) e Entalhe (b) em tração.

Um sistema de coordenadas polares permite a representação das tensões nas proximidades da trinca, de acordo com a teoria da elasticidade linear, para b>>a, no plano de tensões: 0 e ... 2 3 sen 2 sen 2 cos 2 ... 2 3 sen 2 sen 1 2 cos 2 ... 2 3 sen 2 sen 1 2 cos 2 = + = +       + = +       − = z xy y x r K r K r K σ θ θ θ π τ θ θ θ π σ θ θ θ π σ (2.29)

Para o plano de deformações:

Portanto, o ângulo θ define o perfil de distribuição de tensões para qualquer raio r, a partir da extremidade da trinca. Assim, se r tende a zero, então σx , σy e

τ

xy tendem ao infinito.

Figura 2.17 - Variação da Tensão de Von Mises na Região Plástica.

As tensões mais elevadas, próximas à extremidade final da trinca, causam escoamento local, gerando uma região plástica de raio ry (correspondente a uma tensão efetiva igual ao

limite de escoamento). Para qualquer distância da extremidade final da trinca, o estado de tensão na região plástica é proporcional ao fator de intensidade de tensão K. Para a figura 2.17(a), tem-se: b. a a K =

σ

_nom

π

para << _(2.31)

A precisão da equação (2.31) será inferior a 10% de erro se a/b for inferior a 0.4. Se o comprimento característico da trinca (a) é considerável em relação à meia largura do plano (b) adiciona-se o fator geométrico β:

Tenacidade à fratura

Quanto mais abaixo estiver o valor de K do valor crítico, denominado tenacidade à fratura (KIC), maior a possibilidade de se considerar a trinca em modo estável, para carga

estática e meio não corrosivo; ou ainda, em modo de progressão lenta para carga dinâmica e meio não corrosivo. Se o meio é corrosivo, a trinca encontra-se em modo de progressão rápida.

Se, pelo incremento da tensão nominal, ou crescimento da trinca, o fator K atingir KIC,

a trinca propagar-se-á repentinamente até a falha. Nestes casos, portanto, o fator de segurança é dado por:

K K

N IC

FM = (2.33)

Pela própria definição, nota-se que o fator de segurança pode ser variável no tempo, se a trinca se encontrar em modo de progressão, pois K é função do comprimento característico (2a) da trinca. Assim sendo, conhecidos a largura da trinca e a resistência a fratura (KIC) para

o material, a tensão nominal máxima permissível pode ser determinada para qualquer valor do fator de segurança NFM.

Procedimento Geral.

2.3. TEORIA DE FALHA POR FADIGA

2.3.1 Introdução

Carregamentos variáveis no tempo são causa muito mais freqüente de falhas do que os carregamentos estáticos. As falhas por carregamento dinâmico ocorrem, tipicamente, a níveis de tensões significativamente inferiores ao da resistência ao escoamento dos materiais.

A Tabela 2.3 relaciona a nomenclatura e a simbologia a serem utilizadas nesta seção.

Tabela 2.3 - Nomenclatura e Simbologia.

Símbolos Variável Unidades ips Unidades SI

a meia largura da trinca in m

b meia largura da superfície trincada in m

A razão de amplitudes adimensional adimensional

A95 área tencionada acima de 95% de σmax in

2

m2

C_carga fator de carregamento adimensional adimensional

C_conf fator de confiabilidade adimensional adimensional

C_tam fator de tamanho ou dimensões adimensional adimensional

C_sup fator de acabamento superficial adimensional adimensional

C_temp fator de temperatura adimensional adimensional

d_equiv diâmetro equivalente para A95 de seções

não circulares in m

N número de ciclos adimensional adimensional

Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional

q sensibilidade ao entalhe do material adimensional adimensional

R razão de tensões adimensional adimensional

Se limite de resistência à fadiga corrigido psi Pa

Se’ limite de resistência à fadiga (testes) psi Pa

Sf resistência à fadiga corrigido psi Pa

Sf’ resistência à fadiga (testes) psi Pa

Sn resistência média para qualquer N psi Pa

S_us máxima resistência ao cisalhamento psi Pa

β fator de geometria tensão-intensidade adimensional adimensional

σa,σm componentes normais alternada e média psi Pa

σa’,σm’

componentes efetivas alternada e média

σmax máxima tensão normal aplicada psi Pa

σmin mínima tensão normal aplicada psi Pa

σ1 σ2σ3 tensões principais psi Pa

σ tensão normal psi Pa

σ’ tensão efetiva de Von Mises psi Pa

Kf

fator de concentração de tensões em

fadiga adimensional adimensional

K fator de intensidade de tensão psi- in0.5 Pa – m0.5

Kc resistência à fratura psi- in0.5 Pa – m0.5

∆K faixa do fator de intensidade de tensão psi- in0.5 Pa – m0.5

∆Kth

limite inferior da variação do fator de intensidade de tensão abaixo do qual não há a propagação da trinca

psi- in0.5 Pa – m0.5

2.3.2 Mecanismo de Falha por Fadiga

Falhas por fadiga também se iniciam a partir de uma trinca. Esta, por sua vez, pode estar presente no material desde a fabricação do elemento, ou pode se desenvolver com o tempo, devido a deformações cíclicas em torno da região de concentração de tensão.

Em fadiga, a trinca geralmente se inicia em uma imperfeição ou descontinuidade do material, que atuam como pontos de concentração de tensões. Existem três estágios básicos e fundamentais na falha por fadiga: a nucleação da trinca, a propagação da trinca e a fratura súbita, devido ao crescimento instável da trinca.

Estágio de Nucleação da Trinca

Assumindo um material dúctil, onde não ocorrem trincas inicialmente, mas sim inclusões ou imperfeições metalúrgicas, existem regiões de concentração de tensão geométrica, situadas em posições de significativas tensões variáveis no tempo. Tais tensões apresentam uma componente positiva de tração, conforme a figura 2.18.

t

t

t

alternada simétrica _pulsante

flutuante

Como as tensões são variáveis, um escoamento local pode ocorrer, mesmo estando, neste caso, a tensão nominal abaixo da resistência ao escoamento do material. O escoamento plástico localizado causa distorção, criando bandas de deslizamento devido ao movimento de cisalhamento (ondulações microscópicas) a cada ciclo. Assim sendo, com os ciclos de tensão, bandas adicionais ocorrem em torno do núcleo da trinca (figura 2.19).

Figura 2.19 - Mecanismo de Falha por Fadiga em materiais dúcteis.

Estágio de Propagação da Trinca

Uma vez iniciada a microtrinca, forma-se o campo de tensão, já descrito no ítem 2.3. A trinca aguda gera concentrações de tensões, mais elevadas que as já existentes na imperfeição inicial. Assim, uma região plástica se desenvolve na extremidade da trinca, cada vez que a tensão de tração tende a abri-la, atenuando a geometria aguda da extremidade e, consequentemente, reduzindo a concentração de tensão efetiva nesta região. A trinca, então, aumenta levemente. Quando a tensão de tração diminui, ou se alterna para um valor nulo ou negativo (figura 2.18), ocorre o fechamento da trinca e, momentaneamente, o escoamento cessa, assumindo a extremidade da trinca, uma forma aguda novamente, sendo, porém, de maior extensão. Este processo permanece o tempo necessário para que a tensão local passe a oscilar de valores inferiores a valores superiores ao limite de escoamento, na extremidade da trinca. Portanto, o crescimento da trinca ocorre devido à tensão de tração, e sempre na direção normal à máxima tensão de tração aplicada.

A taxa de propagação da trinca é muito pequena, sendo de uma ordem de grandeza entre 10-8 e 10-4 in por ciclo, que corresponde às distâncias entre as ondulações. Esta taxa aumenta à medida que o número de ciclos aumenta. Não se devem confundir as ondulações

NUCLEAÇÃO DA TRINCA

MARCAS DE PRAIA

com marcas de praia. As ondulações são marcas microscópicas na superfie de fratura e mostram o quanto à trinca avança em um ciclo de carregamento. Já as marcas de praia são macroscópicas e se devem a variações na amplitude ou na freqüência do carregamento cíclico. Ao contrário das ondulações que estão sempre presentes nas peças que falham por fadiga, as marcas de praia não estão presentes nos corpos de provas que são ensaiados a uma rotação constante e sem variação na amplitude de carregamento. Entretanto, em peças que falham por fadiga, as marcas de praia “contam a história da peça”, pois registram na superfície da trinca as partidas e paradas da máquina e as sobrecargas devido a imprevistos durante a operação.

Fratura

A trinca continua a crescer, enquanto estiver presente a ação da tensão de tração alternada, e/ou se atuarem fatores agravantes, como um meio corrosivo, por exemplo.

Em algum ponto, as dimensões da trinca tornam-se suficientemente elevadas, de modo que o fator de intensidade de tensão K, associado à extremidade da trinca, possa atingir o limite de resistência à fratura do material (KC), desencadeando a falha repentina e instantânea

no próximo ciclo de tensões.

Este efeito é semelhante ao descrito para carga estática, onde por crescimento da trinca ou por incremento da tensão nominal, a condição K = KC é atingida. O resultado é sempre o

mesmo: fratura súbita e catastrófica, sem aviso.

2.3.3 Cargas Alternadas em Fadiga

Qualquer carregamento variável com o tempo pode causar fadiga.

O caráter destas cargas, porém, pode variar substancialmente. Em máquinas rotativas, tais cargas tendem a manter sua amplitude no tempo, repetindo-se segundo uma determinada freqüência. As funções típicas que descrevem a variação da tensão no tempo, para estas máquinas, podem ser modeladas como funções senoidais.

Figura 2.20 Tensões Variáveis no Tempo e as Principais Grandezas associadas.

t

t

t

alternada simétrica _{pulsante flutuante}

A faixa de variação de tensões ∆σ é dada por:

min

max σ

σ

∆σ = − _(2.34)

A componente alternada (ou variável da tensão) é:

2 min

max σ

σ

σ_a = − _(2.35)

A componente média, em torno da qual oscila a tensão:

2 min

max σ

σ

σ_m = + _(2.36)

Tem-se, ainda, a razão de tensões R e a razão de amplitudes A:

max min σ σ R= e m a σ σ A= _(2.37)

Para tensão alternada, tem-se R = -1 e A tende a infinito. Se a tensão é pulsante, então R = 0 e A = 1.

Para tensão flutuante, R e A são positivos e 0≤ R≤1.

A presença da componente média da tensão

σ

m pode influir de maneira significante na vida em fadiga de um componente.

2.3.4 Principais Diagramas

Curva S-N: relaciona o nível de tensão com o número de ciclos aplicado até a falha. O nível de tensão pode ser dado por Sf (resistência à fadiga) ou pela relação Sf / Sut, ou seja, entre a resistência à fadiga e a máxima resistência à tração. N representa o número de ciclos até a falha.

Por exemplo, para 105 ciclos, o limite de resistência à fadiga é de, aproximadamente, 220 MPa . Note que a escala para a curva S-N é representada em coordenadas log-log.

Aço Se’ ≅ 0,5 Sut para Sut < 200 ksi (1400MPa)

Se’ ≅ 100 ksi (700MPa) para Sut ≥200 ksi (1400MPa)

Figura 2.21 - Curva S-N para carga axial alternada e flexão alternada (eixos rotativos).

A resistência à fadiga diminui estacionária e linearmente com o aumento do número de ciclos, até atingir um ponto onde ocorre a formação de um cotovelo entre, aproximadamente, 106 e 107 ciclos. Este ponto define o limite de resistência para o material, ou seja, o nível de tensão abaixo do qual o material pode ser submetido a um número infinito de ciclos, sem ocorrência de falha. Porém, nem todos os materiais apresentam este ponto nas curvas S-N. Para alguns, a curva S-N cai continuamente com o acréscimo do número de ciclos N. Para fadiga torcional, os pontos de falha, para flexão e torção alternadas, são plotados num gráfico, cujos eixos relacionam

σ

1 e

σ

3 (figura 2.22).

Nota-se a semelhança com a elipse da teoria de falha por energia de distorção, para carga estática. Portanto, a relação entre a resistência à fadiga torcional e a resistência à fadiga flexional mantém-se a mesma, tanto para carregamento cíclico, como para estático. A resistência à fadiga torcional (ou limite de fadiga torcional) para um material dúctil, será 58% da resistência à fadiga flexional (ou limite de fadiga flexional).

f

fs S

S =0,577 _(2.38)

A presença da componente média da tensão variável no tempo tem um efeito significativo sobre falhas em fadiga. Quando a componente média de tração é adicionada à componente alternada da tensão (figura 2.20 para tensões pulsante e flutuante), o material falha a níveis de tensões alternadas inferiores ao caso de tensão alternada simétrica.

A figura 2.23 representa os resultados de testes para aços, em aproximadamente 107 ciclos, para vários níveis de combinação das componentes média e alternada da tensão.

Figura 2.23 - Efeito da Tensão Média sobre a Resistência à Fadiga, para um elevado número de ciclos.

Os eixos são normalizados, sendo que, para as ordenadas, tem-se a relação da componente alternada da tensão pela resistência à fadiga do material, para tensão cíclica reversa (

σ

a / Sf); enquanto que, para as abcissas, tem-se a relação entre a componente média da tensão e a máxima resistência à tração do material (

σ

m / Sut).

A parábola que ajusta os dados com precisão razoável, é denominada linha de Gerber; enquanto que, a linha reta que une os pontos extremos de resistência à fadiga e de máxima

resistência à tração, chama-se linha de Goodman, e representa uma boa aproximação para o limite inferior dos dados de testes.

A linha de Gerber representa a medida do comportamento médio destes parâmetros para materiais dúcteis; enquanto que a linha de Goodman é o limite mínimo para este comportamento, em flexão alternada, sendo aplicada como critério de projeto, uma vez que está mais a favor da segurança.

Quando

σ

m é diferente de zero, isto significa que ocorre a componente média de

tensão. No caso de compressão, este efeito pode ser benéfico pela introdução de tensões residuais no material. Para tração, o efeito é bem mais restritivo quanto aos limites de resistência (figura 2.24).

Critério de Fratura Mecânica

O limite de resistência à fratura estática (KIC), já descrito anteriormente, será adequado

ao caso de solicitação dinâmica.

Para o caso de falha por fadiga, a faixa de tensões aplicadas estende-se de

σ

mina

σ

máx.

A faixa do fator de intensidade de tensões ∆K, pode ser estimada para cada condição de tensão flutuante.

Na figura 2.24, a escala é logarítmica somente para as ordenadas (

σ

a).

max min min max 0 ∆K K K se K K ∆K = ⇒ < − =

ou ainda, ∆K = β πa

(

σ_max −σ_min

)

(2.39)

Figura 2.24 - Efeito da Componente Média de Tensão na Vida em Fadiga.

A taxa de crescimento da trinca em função do número de ciclos (da/dN) pode ser estimada, definindo-se uma curva que relaciona esta grandeza com a faixa do fator de intensidade de tensões ∆K, ambos em escala logarítmica.

Figura 2.25 - Três Regiões da Curva de Taxa de Crescimento da Trinca.

A figura 2.25 divide-se em três regiões: Região I, correspondente ao estágio de formação da trinca; Região II, ao estágio de propagação da trinca; e Região III, ao estágio de fratura instável.

A Região II é de particular interesse na predição da vida em fadiga, sendo que a curva, nesta região, se comporta como uma reta em escala log-log.

( )

n ∆K A dN da = (2.40)

Tabela 2.4 - Parâmetros A e n, para vários tipos de aços.

SI ips

Aços A n A n Ferrítico-Perlítico 6,9x10−12 3,00 3,60x10−10 3,00

Martensítico 1,35x10−10 2,25 6,60x10−9 2,25 Austenítico Inoxidável 5,60x10−12 3,25 3,00x10−10 3,25

A vida, durante a propagação da trinca em fadiga, é dada pela integração da equação (2.40), tendo como limites inferior e superior, respectivamente, um comprimento inicial assumido e um comprimento final máximo aceitável para a trinca.

A Região I é também de interesse, pois evidencia a existência de um valor mínimo

∆Kth, abaixo do qual não ocorre o crescimento da trinca.

I II III

dN da

∆K

Fatores de Correção para a Resistência a Fadiga

A resistência à fadiga, obtida através de testes de fadiga padronizados, deve ser adequada às diferenças físicas existentes entre o ambiente de teste e o elemento real a ser projetado. Os principais fatores a serem considerados para correção ou adequação deste parâmetro são: carregamento aplicado, tamanho ou dimensões, acabamento superficial, temperatura ambiente e confiabilidade.

Se = Ccarga.Ctam.Csup.Ctemp.Cconf.Se’

Sf = Ccarga.Ctam.Csup.Ctemp.Cconf.Sf’ (2.41)

Na qual: Se representa a resistência à fadiga corrigida para um material, cuja curva S-N

apresente o cotovelo que caracteriza o limite de resistência à fadiga para este material. Sf

representa a resistência à fadiga corrigida para um material, cuja curva S-N não possui o limite de resistência à fadiga e, portanto, decresce continuamente. Se’ representa o limite da

resistência à fadiga do corpo de prova, obtido no laboratório.

Efeito do Carregamento: A grande maioria dos dados de testes relativos à resistência

à fadiga é realizada para flexão alternada, sendo aplicado um fator de correção para carregamento axial.

Flexão Alternada: Ccarga = 1,0 Carga Axial: Ccarga = 0,70

Para teste de fadiga torcional (figura 2.22), a resistência à fadiga por cisalhamento é 0,577 vezes a resistência à fadiga por flexão alternada. Assim, para torção pura, deve-se aplicar Ccarga = 1,0. Para tensões alternadas combinadas, deve-se estimar a tensão efetiva de Von Mises a partir das tensões aplicadas, para comparação direta com a resistência à fadiga por flexão.

Efeito de Tamanho: Os corpos de prova utilizados em testes de fadiga apresentam,

0 , 1 8mm ou in 3 0 = ≤ . Ctam d 097 0 097 0 189 , 1 mm 250 mm 8 869 , 0 in 10 in 0.3 . tam . tam d C d d C d − − = ≤ ≤ = ≤ ≤ (2.42)

Para dimensões muito elevadas, deve-se aplicar Ctam = 0,6.

A expressão (2.42) foi ajustada para elementos cilíndricos. Para seções com outras formas geométricas, ou ainda, não circulares, toma-se por equivalência a área tencionada acima de 95% da tensão máxima presente na superfície do elemento. Define-se, portanto, um diâmetro equivalente, por similaridade de área tencionada, para uma viga rotativa de teste.

Como a distribuição de tensões é linear através do diâmetro da seção circular, para uma viga rotativa sujeita a flexão alternada, o diâmetro varia de 0,95 d a 1,0 d na seção sujeita a uma distribuição de tensões entre 95% a 100% de

σ

max.

(

)

2 2 2 95 0,0766 4 95 , 0 d d d π A =      ₋ = _(2.43)

O diâmetro equivalente, para um elemento de seção não circular, é dado por:

0766 , 0 95 A d_equiv = _(2.44)

Figura 2.26 - Área Tencionada acima de 95% da Tensão Máxima.

Sendo A95 a porção da área da seção não circular, tencionada entre 95% e 100% da tensão máxima de flexão. Para as principais seções utilizadas em projeto, tem-se:

A95

τ

max

95% τmax

0,95 d

Figura 2.27 - Cálculo de A95 para algumas seções mais comuns.

Seções carregadas axialmente sempre têm Ctam = 1,0, porque evidências experimentais

mostram que não existe sensibilidade das propriedades de resistência a fadiga quanto ao tamanho da peça, para este tipo de carregamento.

Efeito de Acabamento Superficial: O corpo de prova empregado nos testes apresenta

um acabamento superficial polido espelhado, de modo a evitar imperfeições de superfície que atuem como incrementos de tensões. Como este nível de acabamento raramente ocorre em um elemento real, a rugosidade de seu acabamento deve reduzir a resistência à fadiga, introduzindo fatores de concentração de tensões, ou alterando as propriedades físicas da superfície. O fator de redução da resistência por acabamento superficial, Csup, leva em consideração tais diferenças. A figura 2.28 indica alguns valores para o fator de correção, para acabamento superficial, de acordo com os acabamentos mais comuns para aços.

(a)

(b)

Figura 2.28 - Fator de Correção de Superfície para Aços (a) e em função da Rugosidade do Material (b).

Shigley e Mischke (1989) desenvolveram uma equação exponencial para representar o fator de superfície em função da máxima resistência a tração (Sut), em [kpsi] ou [Mpa].

( )

C_sup = A S_ut b _(2.45)

Se Csup > 1,0, aplica-se então, Csup = 1,0.

Polimento

Retífica fina ou Polimento comercial

Corroído em água salgada Corroído

em água

Usinado ou trabalho a frio

Tabela 2.5 - Coeficientes para a Equação de Fator de Correção de Superfície.

MPa _kpsi

Acabamento Superficial A b A b

Polimento fino comercial 1,58 -0,085 1,34 -0,085

Usinado ou Estampado a frio 4,51 -0,265 2,70 -0,265

Rolado a quente 57,7 -0,718 14,40 -0,718

Forjado 272 -0,995 39,90 -0,995

Efeito de Temperatura: Testes de fadiga são realizados, geralmente, a temperatura

ambiente. O limite de resistência à fratura decresce a baixas temperaturas, elevando-se para valores moderadamente altos de temperatura (até 350o C). Porém, o limite de resistência à fadiga (cotovelo da curva S-N) desaparece para temperaturas muito altas. A resistência à

fadiga passa a apresentar um comportamento continuamente decrescente com o aumento do número de ciclos.

Outro fenômeno importante é a queda do limite de resistência ao escoamento (Sy) do material, continua para temperaturas acima da ambiente, causando o escoamento antes da falha por fadiga, algumas vezes.

Para temperaturas próximas àquela de fusão do material, o escorregamento ou deslizamento do material na superfície do elemento torna-se um fator significativo, não sendo mais válidas as aproximações para a vida do elemento em número de ciclos, sob tensão alternada. Uma aproximação para determinação da vida por deformação, deve levar em conta a combinação de ambos os efeitos, deslizamento e fadiga, para elevadas condições de temperatura.

O fator de redução da resistência à fadiga devido a elevadas temperaturas, Ctemp, é definido por Shigley e Mitchell (1989), como:

(

)

(

)

(

840

)

para 840 1020F 0032 , 0 1 C 550 450 para 450 0058 , 0 1 F 840 C 450 para 0 , 1 ≤ ≤ − − = ≤ ≤ − − = ≤ = T T C T T C T C temp o temp o o temp (2.46)

Os valores acima são válidos para aços e não devem ser usados para outros metais, tais como alumínio, manganês e ligas de cobre.

Efeito de Confiabilidade: Muitos dos dados de resistência disponíveis na literatura

A Tabela 2.6 estabelece fatores de confiabilidade para um desvio padrão de 8%. O fator de redução da resistência, devido à confiabilidade, é definido de acordo com os níveis deste parâmetro.

Para 50% de confiabilidade nos dados de testes, assume-se um fator igual à unidade. Para valores de confiabilidade superiores, a resistência à fadiga deve ser corrigida pelo fator de confiabilidade. A tabela 2.6 mostra os fatores de confiabilidade para um desvio padrão de 8%.

Tabela 2.6 - Fatores de Confiabilidade para desvio padrão de 8%.

CONFIABILIDADE 50 % 90 % 99 % 99.9 % 99.99 % 99.999 %

Cconf 1,0 0,897 0,814 0,753 0,702 0,659

Entalhes e Concentração de Tensões

Entalhe é um termo genérico que se refere a um contorno geométrico, que interrompe o fluxo de forças através do elemento. Pode ser um furo, uma ranhura, ou uma mudança de área de seção. Serão analisadas as alterações geométricas funcionais introduzidas no projeto, por exemplo: ranhuras em eixos para instalação de O-rings, furos para junções, etc.

Os fatores de concentração de tensão, Kt (tensão normal) e Kts (tensão de

cisalhamento), definidos para carga estática, devem ser modificados para carregamento dinâmico, com base na sensibilidade ao entalhe do material, para obtenção do fator de concentração de tensão em fadiga (Kf), que será aplicado às tensões nominais de projeto.

Define-se, portanto, o fator de sensibilidade ao entalhe:

(

)

(

)

q K K f t = − − 1 1 (2.47)

Na qual, Kt é o fator de concentração de tensões geométrico (ou estático) e Kf é o fator

de concentração de tensões dinâmico (ou em fadiga).

(

)

K_f = +1 q K_t −1, onde 0≤ ≤q 1 _(2.48)

Inicialmente, determina-se o fator Kf , de acordo com a geometria funcional

introduzida no elemento, selecionando-se o fator de sensibilidade ao entalhe q correspondente ao material utilizado.

σ σ τ τ = = K K f nom f nom (2.49)

O fator q também pode ser definido pela expressão de Kunn-Hardrath (1952), em função da constante a e do raio do entalhe r:

q a r = + 1 1 (2.50)

A tabela 2.7 mostra os valores da constante a , também conhecida como contantes de Neuber, para aços em função de seu limite de ruptura.

Tabela 2.7 - Constante de Neuber.

Sut (ksi) 50 55 60 70 80 90 100 a (in0,5) 0,130 0,118 0,108 0,093 0,080 0,070 0,062 Su t(ksi) 110 120 130 140 160 180 200 a(in0,5) 0,055 0,049 0,044 0,039 0,031 0,024 0,018 Sut (ksi) 220 240 a(in0,5) 0,013 0,009

Projeto para Tensões Alternadas Simétricas ou Completamente Reversas

Recomenda-se o seguinte roteiro para o cálculo da resistência à fadiga:

1) Determinar o número de ciclos N do carregamento cíclico para o qual o elemento deverá ser projetado.

2) Determinar a faixa da carga alternada aplicada, pico a pico.

3) Determinar os fatores de concentração de tensões geométricos (Kt ou Kts).

4) Definir as propriedades do material Sut , Sy , Se’ ou Sf’ e q.

5) Converter Kt para Kf, aplicando q.

6) Determinar a componente alternada

σ

a, a partir da análise de tensões,

7) Determinar as tensões principais alternadas nas localizações críticas, já considerando o efeito de fatores de incremento de tensões.

8) Estimar a Tensão Efetiva de Von Mises nas regiões críticas.

9) Determinar os fatores de correção para a resistência à fadiga (Se’ ou Sf’): Se’ = 0.5 Sut.

10)Calcular a resistência à fadiga corrigida para o ciclo de vida N esperado. Se a curva

S-N apresenta o cotovelo que caracteriza o limite de resistência à fadiga para vida infinita, então, Sf = Se.

Para materiais sem o limite de resistência para vida infinita, escreve-se a equação da reta para a curva S-N, em escala log-log.

S_n = aNb N b a S_n log log log = +

Para N = N1 = 103 ciclos, tem-se Sn = Sm, que intercepta o eixo das ordenadas.

Para N = N2 = 106 ciclos, tem-se Sn = Se, para materiais com cotovelo em S - N.

Figura 2.29 – Curva S-N para materiais sem o limite de resistência para vida infinita.

Para N = N2 = 106 ciclos, tem-se Sn = Sf, para materiais com cotovelo em S - N. N b S a log n log log = − b S N b S

a log m log log m 3

log = − 1 = − (2.51) (2.52) ) / log( log log 1 log log log log log log 2 1 2 1 e m e m n S S N N N N S S N S b − = − − = ∆ ∆ = _(2.53)

Sm = 0,90 Sut para flexão alternada Sm = 0,75 Sut para carga axial alternada

S

f

N

S

e

S

m

11) Comparar a tensão alternada efetiva de Von Mises com a Resistência à Fadiga corrigida, obtida da curva S-N, para o ciclo de vida desejado.

12) Calcular o Fator de Segurança Nf = Sn /

σ

.

Projeto para Tensões Alternadas Flutuantes

Recomenda-se o seguinte roteiro para o cálculo da resistência à fadiga:

1) Determinar o número de ciclos N do carregamento cíclico para o qual o elemento deverá ser projetado.

2) Determinar a amplitude da componente alternada do carregamento e da componente média.

3) Determinar os fatores de concentração de tensões geométricos (Kt ou Kts).

4) Definir as propriedades do material Sut , Sy , Se’ ou Sf’ e q.

5) Converter Kt para Kf, aplicando q.

6) Determinar a componente de tração nominal alternada

σ

a, a partir da análise de

tensões, nas regiões críticas, bem como a componente média

σ

m.

7) Determinar as tensões reais alternada e média, nas localizações críticas, já considerando o efeito do fator de concentração de tensões em fadiga.

8) Para proceder com o passo (7), é necessário definir Kfm, ou seja, o fator médio

associado à componente média de tensões

σ

m.

0 então , 2 Se c) então Se b) então Se a) min max max max = ≥ − − = ≥ = ≤ fm y f m a f y fm y f f fm y f K S σ σ K σ σ K S K , S σ K K K , S σ K

Figura 2.30 – Curva S-N para materiais sem o limite de resistência para vida infinita.

9) Estimar a Tensão Efetiva de Von Mises, a partir do estado real de tensões, para as componentes média e alternada.

2 2 2 3 _xym ym xm ym xm m σ σ σ σ τ σ′ = + − + 2 2 2

3

_xya ya xa ya xa a

σ

σ

σ

σ

τ

σ

′

=

+

−

+

(2.54) (2.55)

10)Determinar os fatores de correção para a resistência à fadiga (Se’ ou Sf’): Se’ = 0,5 Sut.

11)Criar o Diagrama de Goodman Modificado para a resistência a fadiga corrigida (Se ou Sf), utilizando como limite do material, a resistência máxima à tração Sut.

Figura 2.31 – Diagrama de Goodman Modificado.

Note que, para materiais com vida infinita, Sf = Se.

12)Determine os principais pontos de falha e calcule os Fatores de Segurança a eles associados.

Figura 2.32 – Curva S-N para materiais sem o limite de resistência para vida infinita.

Nf1 : Para componente alternada constante e componente média variável. N S S f y m a y 1 = _′ 1− ′       σ σ (2.56)

Nf2 : Para componente média constante e componente alternada variável.

N S S f f a m ut 2 = _′ 1− ′       σ σ (2.57)

Nf3 : Para componentes média e alternada variáveis, mantendo, porém, uma relação fixa entre se (

σ

a’ /

σ

m’ = cte).

N S S S S f ut f a ut m f 3 = _′ + ′ σ σ (2.58)

Nf4 : Para componentes média e alternada variáveis quaisquer.