SIMULAÇÃO DO LANÇAMENTO E CRAVAÇÃO DE ESTACAS-TORPEDO EM SOLO MARINHO COM A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS

Paper CIL 26-0800

SIMULAÇÃO DO LANÇAMENTO E CRAVAÇÃO DE ESTACAS-TORPEDO EM SOLO MARINHO COM A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS

DISCRETOS

Humberto Carvalho Júnior Diogo Tenório Cintra humberto@ctec.ufal.br dtc@ctec.ufal.br

Graduandos do Curso de Engenharia Civil, Centro de Tecnologia – CTEC, Universidade Federal de Alagoas – UFAL, Maceió/Alagoas/Brasil

Adeildo Soares Ramos Júnior

Eduardo Setton Sampaio da Silveira William Wagner Matos Lira

Eduardo Nobre Lages

Viviane Carrilho Leão Ramos adramos@ctec.ufal.br

eduardosetton@ctec.ufal.br william@ctec.ufal.br enl@ctec.ufal.br vramos@ctec.ufal.br

Departamento de Engenharia Estrutural – EES, Centro de Tecnologia – CTEC,Universidade

Federal de Alagoas – UFAL

Resumo. Com a necessidade constante da busca de petróleo em todo cenário mundial, a procura por esse combustível fóssil torna-se cada vez mais difícil devido à escassez de reservas. Tendo em vista que as grandes reservas brasileiras se encontram em alto-mar, é necessária a construção de estruturas capazes de extrair o petróleo em águas com profundidades que chegam a milhares de metros da superfície oceânica. Tais estruturas precisam ser ancoradas em determinadas regiões do campo de produção com a utilização de sistemas compostos por cabos, correntes e âncoras. O emprego das estacas-torpedo permite uma maior facilidade na instalação das ancoragens das unidades flutuantes pelo fato de serem cravadas pelo efeito de queda livre causado pelo seu peso próprio. Este trabalho tem por objetivo desenvolver ferramentas capazes de simular e visualizar o lançamento e cravação de estacas-torpedo em solo marinho. Utiliza-se o Método dos Elementos Discretos para modelagem do solo por meio de um conjunto de partículas discretas, cujo comportamento é governado por leis físicas. Os contatos entre elas podem ser criados ou extintos à medida que o conjunto de partículas se deforma como um todo, o que caracteriza a não linearidade do meio granular.

1. INTRODUÇÃO

O problema em tela trata de um dos sistemas de ancoragens de estruturas flutuantes empregadas no processo de exploração de petróleo. De uma forma geral, esses sistemas consistem em um arranjo apropriado de correntes, cabos e âncoras (Fig. 1), que deve resistir às solicitações oriundas dos movimentos da estrutura flutuante, do peso próprio das diversas partes constituintes, do empuxo da água, assim como das correntes marinhas.

Este sistema de ancoragem consiste no lançamento de uma estaca torpedo a partir do nível oceânico, somente pelo efeito de queda-livre a estaca obtém velocidade necessária para realizar a cravação em solo marinho penetrando-o de maneira tal que venha a funcionar como ancoragem para as linhas de ancoragem da unidade flutuante oferecendo capacidade resistiva as solicitações oriundas da mesma.

Figura 1 – Esquematização do sistema de ancoragem.

Ramos et al. (2002) desenvolveu modelos que simulam a cravação de estacas torpedos em solos marinhos baseados no uso do método dos elementos finitos considerando o solo como um meio contínuo idealizando a interação entre a linha de ancoragem e o solo marinho através de uma distribuição de forças nas direções transversal e longitudinal à linha, de acordo com o modelo analítico de True (1976) desenvolvido para o estudo de cravação em solo marinho.

Este trabalho propõe, para a simulação da cravação da estaca torpedo em solo marinho, o emprego do método dos elementos discretos inicialmente apresentado por Cundall & Strack (1979). Trata-se de uma ferramenta numérica adequada para análise de problemas em meios descontínuos com comportamento estático ou dinâmico. Sua aplicação mostra-se bastante promissora na simulação de problemas que envolvem fenômenos de fragmentação ou fraturamento, impacto e colisão, cravação, entre outros.

2. MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS

O método dos elementos discretos (MED) ganhou grande impulso com a ascensão da capacidade de processamento de dados oriundos dos avanços da tecnologia da computação. Isto, em parte, está relacionado com a elevada necessidade de processamento de dados requerida. Em geral, os resultados oriundos da modelagem de alguns comportamentos, através do método dos elementos discretos, costumam ser mais precisos que em outros métodos em que o meio estudado é tratado como um contínuo, como no caso do método dos elementos finitos.

Tradicionalmente o MED tem sido empregado para simular o movimento de partículas de materiais granulares e rochosos, mas ele tem se tornado popular como um método para representar materiais sólidos e para o estudo de problemas de fluxo. Os materiais analisados apresentam comportamentos especiais. Eles podem fluir e assumir a forma do meio em que estão contidos, como os líquidos, mas geralmente não podem suportar certos tipos de tensões. A modelagem de alguns comportamentos complicados para os meios analisados, através deste método, costuma conduzir a uma menor adoção de parâmetros de análise de que nos método em que o meio é considerado como um contínuo, como o método dos elementos finitos.

A partir do entendimento das propriedades mecânicas microscópicas das partículas e o comportamento da interação entre elas, o MED permite avaliar de maneira macroscópica o comportamento físico e mecânico do modelo estudado.

O meio analisado é discretizado em uma série de partículas com propriedades mecânicas particulares e com geometrias definidas. Moresi et al. (2001)inclue o método dos elementos discretos na categoria dos métodos sem malha. A geração das geometrias envolvidas no meio estudado dá-se, portanto, a nível de elemento. As geometrias das partículas são confrontadas no instante em que há interação delas entre si e com o meio em que estão contidas. Embora Cundall & Strack (1979) defina este método como um modelo numérico capaz de descrever o comportamento mecânico de um conjunto de discos ou esferas, atualmente este o método tem sido aplicado também para partículas de várias formas geométricas Jensen et al. (1997).

A configuração do meio estudado é investigada para cada intervalo de tempo definido para a análise. Em função das ações atuantes nas partículas em um determinado instante determina-se a configuração do instante de tempo seguinte, e assim, uma vez investigada as peculiaridades de cada intervalo de tempo, determina-se o comportamento dinâmico do meio estudado. As ações atuantes podem ser implementadas para situações diversas e estas refletem o fenômeno físico analisado. Este irá impor forças de maneira combatível com o modelo constitutivo empregado para o contato entre os elementos, bem como de maneira que não sejam infringidas leis da física. A formulação original proposta por Cundall & Strack (1979) permite que haja uma sobreposição de partículas, desde que sua ordem de magnitude seja pequena em relação ao tamanho das mesmas. Outras ações externas podem, ainda, ser incorporadas ao modelo. Deve-se, no entanto, atentar à sua compatibilidade com todo o processo do método.

2.1 Algoritmo de solução

Uma vez que, na modelagem do torpedo utiliza-se também elementos discretos. Faz-se portanto necessária a implementação de mecanismos que permitam a interligação de partículas gerando assim uma forma a partir da junção das mesmas. Para a realização desta tarefa são empregados elementos finitos lineares. Desta forma as extremidades destes elementos são conectadas aos centros de duas partículas. Desta forma, uma vez que a configuração das posições das partículas são alteradas ao longo da simulação, computa-se as deformações dos elementos finitos e consequentemente as forças que atuam nas partículas nesta condição. A análise dos elementos finitos é realizada posteriormente à determinação das forças de contato. A Fig. 2ilustra o processo computacional empregado nas análises.

Figura 1 – Processo de análise.

2.2 Leis de força e deslocamento

Alguns modelos disponíveis na literatura permitem a obtenção das forças oriundas do contato entre partículas. Estes buscam, a partir do conhecimento das características micro-mecânica dos materiais, a análise macroscópica do meio estudado. Cundall & Strack (1979) propõe para tanto, um modelo visco-elástico de relação força-deformação. Trata-se, portanto, da combinação entre o modelo linear de Hooke e um amortecimento viscoso, sendo este último proporcional à velocidade relativa das partículas no instante do contato.

A Fig. 3 esquematiza o instante do contato entre duas partículas circulares. A determinação das forças de contato realiza-se, portanto, como função desta configuração. Para o modelo de Cundall & Strack (1979) as forças de contato estão relacionadas ao valor da interpenetração das partículas e das suas velocidades relativas.

Figura 3 – Critério de contato entre partículas circulares. x y d A B b r a r d r r_a + _b > Determinação das forças

de contato

Análise de elementos finitos

Estes esforços são atuantes em ambas as partículas em contato, nas direções normais e

tangenciais à superfície em que houve a colisão. A Fig. 4 ilustra o contato entre duas

partículas circulares, bem como as forças atuantes neste instante.

Figura 4 – Contato de partículas.

A intensidade da força normal atuante (F_n) em função dos parâmetros de rigidez normal (k_n) e de amortecimento global (c_n), além do valor da interpretação (u ) e da velocidade _n

relativa (v ), é dada por _n

n n n n n k u c v F = + . (1)

Na obtenção do valor da força de contato na direção tangencial considera-se o menor valor entre a força visco-elástica na direção tangencial e a força de atrito, sendo esta última determinada pelo coeficiente de atrito entre partículas (μ) e pela força de contato na direção normal (F ). A energia elástica tangencial, armazenada durante o tempo de contato, compõe _n

juntamente com a parcela de amortecimento na direção tangencial o valor da força visco-elástica. Os valores da velocidade relativa (v ), rigidez tangencial (t k ) e do amortecimento t

tangencial (c ) são responsáveis por este feito. Logo, a força tangencial oriunda do contato t

entre partículas é expressa por

{

}

t k v dT cv F

F =min

∫

μ

2.3 Algoritmo de busca de contatos

O método dos elementos discretos, apresentado por Cundall & Strack (1979) para analisar meios granulares apresenta como principal característica a simulação das interações entre as partículas. Para tal objetivo, torna-se crucial a determinação dos contatos existentes em cada instante de tempo de análise.

Utiliza-se neste trabalho, para detecção dos contatos entre as partículas, o algoritmo de mapeamento direto (Munjiza, 2004), este se baseia em um mapeamento espacial do domínio estudado, dividindo-o em células de mesmo tamanho (Fig. 5). O tamanho das células individuais é escolhido de tal forma que o maior elemento discreto seja contido pelas células.

Assim o lado de uma célula é igual ao diâmetro do círculo que circunscreve o maior elemento discreto (Fig. 6).

Figura 5 – Espaço dividido em células de mesmo tamanho.

Figura 6 – Tamanho de uma célula.

O funcionamento deste algoritmo de busca de contato é divido em duas etapas principais: o mapeamento dos elementos discretos nas células em que estão contidos e a procura dos possíveis elementos discretos que podem estar em contato com um outro elemento qualquer.

Para encontrar os contatos de um determinado elemento discreto considera-se que só existe a possibilidade de contato dele com outros elementos que estejam em células vizinhas à que ele se encontra ou ainda a própria (Fig. 7). Esta consideração é válida desde que seja respeitada a consideração feita anteriormente de que o tamanho das células seja a dimensão do quadrado que circunscreve a maior partícula.

Após a constatação da possibilidade de contato de partículas pertencentes às células vizinhas ou a mesma célula, utiliza-se outro procedimento de checagem entre as duas partículas. São realizadas verificações de acordo com as geometrias de cada partícula. Para o caso de teste de contato entre partículas circulares ou esféricas basta apenas a comparação entre os valores da soma dos raios com as distâncias entre os centros das mesmas.

Esse método se mostra mais adequado para os casos de partículas de tamanhos pouco variáveis. Munjiza (2004) mostra que os algoritmos de mapeamento direto para busca de contatos entre partículas encontram-se na classe dos algoritmos lineares, isto é, apresentam

tempo de processamento diretamente proporcional ao número de elementos discretos. Porém esses algoritmos podem apresentar uso excessivo de memória computacional caso o tipo de problema estudado possua elementos discretos muitos dispersos no domínio estudado.

Figura 7 – Células com possibilidade de haver contatos.

2.4 Algoritmo de integração no tempo

Após ter formulado as equações diferenciais de equilíbrio e estabelecido as condições iniciais, é necessário utilizar algum tipo de técnica para solução dessas equações. Existem vários métodos de solução, os quais podem se agrupar em analíticos e numéricos, sendo os últimos mais versáteis e, portanto, mais utilizados nos problemas de engenharia.

Neste trabalho utiliza-se um método direto explícito de integração numérica, o Método das Diferenças Centrais (Krysl & Belytschko, 1998) (Fig. 8). Sua formulação é baseada em aproximações por diferenças centrais para as velocidades e acelerações. A escolha deste algoritmo explícito deve-se ao fato do baixo custo computacional por intervalo de tempo, pois o sistema de equações gerado pelo método dos elementos discretos é desacoplado, não havendo portanto a necessidade de processos iterativos para obtenção da solução a cada passo de tempo.

Célula que possui a partícula cujos contatos estão sendo investigados

Células que possuem a partículas com possibilidade de haver contatos

Figura 8 – Algoritmo do Método das Diferenças Centrais.

2.5 Intervalo de tempo crítico

Como descrito anteriormente, algoritmos de integração explícitos apresentam uma alta eficiência computacional, porém estes algoritmos apresentam a desvantagem de serem condicionalmente estáveis. Essa característica leva à necessidade de se utilizar incrementos de tempo iguais ou menores aos incrementos de tempo críticos, ou seja,

cr t t≤Δ

Δ (3)

Esses incrementos de tempo críticos são inversamente proporcionais à máxima freqüência do sistema na forma

A.INICIALIZAÇÕES:

1. Define o intervalo de tempo:

cr

t t<Δ Δ

2. Inicializa os vetores u₀ e u&₀ (condições iniciais) 3. Inicializa a matriz de massa (M)

4. Calcula o vetor de forças desequilibradas:

) , ( _{0 0} int 0 ext 0 f f u u r = − & 5. Calcula: 1 ₀ 0 M r u&& = − ⋅

B.PARA CADA INCREMENTO DE TEMPO:

1. Calcula um preditor de velocidade:

n n

p 1

n u t u

u& ₊ = & +Δ &&

2. Calcula o vetor deslocamentos:

n 2 n n 1 n 2 t tu u u u ₊ = +Δ _& +Δ _&&

3. Calcula o vetor de forças desequilibradas:

) , ( ) t ( _{int n 1} p_{n 1} ext − + + =f f u u r &

4. Calcula o vetor de acelerações:

1

1

n M r

u&& ₊ = −

5. Calcula o vetor de velocidades:

(

)

6. Volta para B.1

max 2

ϖ

No caso de existência de amortecimento, tem-se

(

)

sendo

ξ

max

ω

Cundall & Strack (1979) comentam que no seu modelo o intervalo de tempo crítico é

estimado com base em um sistema de um grau de liberdade de massa m conectado a uma

base através de uma mola de rigidez k , para o qual o intervalo de tempo crítico é dado por

k m t_cr =2

Δ (6)

O intervalo de tempo utilizado no presente trabalho é dado como uma fração correspondente a 1/10 do intervalo crítico estimado conforme a Eq. (6).

3. SIMULAÇÃO DA CRAVAÇÃO DA ESTACA TORPEDO

Neste exemplo simula-se o lançamento e cravação de uma estaca torpedo em solo marinho, a estaca é lançada de uma altura de 100 m a partir do nível do solo marinho sob efeito apenas da gravidade. As propriedades mecânicas e geométricas das partículas empregadas na modelagem do solo e da estaca torpedo são descritas nas tabelas a seguir. Ressalta-se ainda que esta simulação desconsidera as forças de contato tangenciais entre as partículas, considerando apenas as forças de contato normais.

Tabela 1. Propriedades mecânicas

Propriedades Estaca Torpedo Solo Marinho

) / (N m kn 400 2200 ) / (N s m cn ⋅ 120 190 ) / (tn m3

ρ

Tabela 2. Propriedades geométricas

Propriedades Estaca Torpedo Solo Marinho

Diâmetro d(m) 0.5 0.5

Número de partículas N 27 5000

A Tab. 3 demonstram as propriedades geométricas e mecânicas dos elementos finitos lineares empregados para interligação dos elementos discretos das partículas que formam a estaca torpedo.

As Figs. 9 a 22 ilustram a simulação realizada com o programa de análise numérica para

Tabela 3. Propriedades mecânicas e geométricas dos elementos finitos lineares Propriedades Geométricas e Mecânicas

) (m Lo 400 ) / (N m k 120 N 60

Figura 9 – Simulação no tempo 0s.

Figura 11 – Simulação no tempo 3.5s.

Figura 13 – Simulação no tempo 4.5s.

Figura 15 – Simulação no tempo 5.5s.

Figura 17 – Simulação no tempo 6.5s.

Figura 19 – Simulação no tempo 7.5s.

Figura 21 – Simulação no tempo 8.5s.

Figura 22 – Simulação no tempo 10s.

4. CONCLUSÕES

para as futuras análises sejam incorporados os efeitos de interação fluído-partículas e ainda a complementação das forças de contatos entre as partículas incluindo as parcelas tangenciais.

BIBLIOGRAFIA

Cundall, P.A. & Strack, O.D.L., 1979, A discrete numerical model for granular assemblies,

Geotechnique 29, No. 1, 47-65.

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