Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Microeconomia 1 Professor Rodrigo Nobre Fernandez Lista 2 - Soluções

Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Microeconomia 1 Professor Rodrigo Nobre Fernandez

Lista 2 - Soluções

1) Derive as agregações de Engel e Cournot para o caso den bens. Reescreva essas agregações em termos de elasticidades.Interprete (por exemplo, é possível que todos os bens que um indivíduo consuma sejam bens inferiores? Por quê? Se um indivíduo consome n bens, no máximo quantos bens podem ser inferiores?

S: Derivando a relação de “adding-up”,

p₁x₁(p, m) +p₂x₂(p, m) +...+p_nx_n(p, m) =m com relação à renda, obtermos a agregação de Engel:

p₁∂x₁(p, m)

∂m +p₂∂x₂(p, m)

∂m +...+p_n∂x_n(p, m)

∂m = 1

Multiplicando cada termo do lado esquerdo da equação por ^x_x^im

im e rearranjando os termos obtemos:

p₁x₁ m

m x₁

∂x₁(p, m)

∂m

+p₂x₂ m

m x₂

∂x₂(p, m)

∂m

+...+p_nx_n m

m x_n

∂x_n(p, m)

∂m

= 1 Logo a agregação de Engel escrita em termos de elasticidades:

s₁η₁+s₂η₂+...+snηn= 1

ondes_i=^p_m^ixi é a fração da renda gasta com o bemi eη_i é a elasticidade renda do bemi.

Podemos concluir que:

1. Todas as elasticidades renda podem ser iguais a um. Nesse caso, um aumento da renda a um aumento na mesma proporção do consumo de todos os bens.

2. Seη_i>1 para algum bemi, então deve existir algum bemjdiferente do bemital queη_j<1: se a fração da renda consumida do bemiaumentou mais proporcionalmente à renda, o consumo de algum outro bem j terá que aumentar menos que proporcionalmente à renda.

3. No máximo n-1 bens podem ser inferiores. Se todos os bens são inferiores, então a elasticidade renda será negativa para todo bem i. Como s_i≥0 , então se todas as elasticidades renda forem negativas, a igualdade acima não será verificada.

Se derivarmos a relação de “adding-up” em relação ao preço do bem i, obtemos a agregação deCournot:

x_i(p, m) +

n

X

j=1

p_j∂x_j(p, m)

∂m = 0

Multiplicando a expressão por ^p_mⁱ, obtemos a agregação de Cournot em termos de elasticidades:

p_ix_i(p, m)

m +

n

X

j=1

p_jp_i m

∂xj(p, m)

∂m = 0

Reescrevendo a expressão acima (multiplique o somatório por ^x_x^j

j):

p_ix_i(p, m)

m +

n

Xx_jp_j m

p_i x_j

∂x_j(p, m)

∂m = 0

Em termos de elasticidades:

s_i+

n

X

j=1

s_jε^M_ji = 0 Rearranjando os termos da última equação, obtemos:

s_i

1 +ε^M_ji

=−

n

X

j=1,j6=1

s_jε^M_ji (1)

Se o bem i é elástico (inelástico), então ε^M_ii <−1, e o lado esquerdo de (1) é negativo (positivo). O lado direito de (1) deve ser negativo (positivo) também, ou seja, a soma ponderada das elasticidades preço cruzadas dos outros bens com relação ao bemi deve ser na média positiva (negativa). Portanto, se a demanda do bem i é elástica (inelástica), então os outros bens devem ser , na média ponderada pela fração gasta em cada bem, substitutos (complementares) do bemi,independente de como esse bens afetem a função de utilidade.

Outra implicação que pode ser extraída de (1) é a reação dos gastos nos outros bens devido a uma mudança no preço do bemi: essa reação depende da elasticidade preço dei. Se a demandai é elástica, então quando o preço do bemi diminui, o gasto com os outros bens diminui também.

2) Suponha a existência de n bens. Usando a propriedade de homogeneidade das funções de demanda Marshalliana, mostre que as elasticidades preço e renda para um dado bemi satisfazem a seguinte igualdade:

η_i+Pn

j=1_ij= 0

onde η_i é a elasticidade renda do bem i e _ijé a elasticidade preço da demanda do bem i com relação ao preço do bem j. Interprete intuitivamente a relação acima.

S: A função de demanda Marshalliana é homogênea de grau zero nos preços e na renda. Logo, para cada bemi=1,...,n temos:

x_i(tp, tm) =x_i(p, m),∀t >0 Derivando essa expressão em elação at, obtemos:

∂x_i(tp, tm)

∂m m+

n

X

j=1

∂x_i(p, m)

∂p_j p_j= 0 (2)

para todot>0. Dividindo a igualdade acima porx_i(tp, tm), fazendo, t=1 e reescrevendo (2) em termos de elasticidades obtemos a expressão desejada:

η_i+Pn

j=1_ij= 0 válida para todo i=1,...n.

3) Suponha que a elasticidade renda da demanda per capita de cerveja é constante e igual a 0.75 e a elasticidade preço é também constante e igual 0.5. Os consumidores gastam em média, R$ 400,00 por ano com cerveja. A renda média anual destes consumidores é de R$ 6.000,00.

Cada garrafa de cerveja custa R$ 3,00.

a) Se o governo pretende desestimular o consumo de cerveja em 50%, qual deve ser o aumento no preço para que essa meta seja alcançada?

S: A elasticidade preço constante igual -0.5 significa que um aumento em 10% no preço leva a uma redução na quantidade demandada de 5%. Logo, um aumento no preço em 100% levaria à redução almejada pelo governo de 50% na quantidade consumida de cerveja. Cada garrafa de cerveja passaria então a custa R$ 6,00.

b) Suponha que o governo estimou um aumento de R$ 3.000,00 na renda média. O governo deseja manter o nível de consumo de cerveja constante no próximo ano, usando um imposto sobre a cerveja. Qual deve ser o aumento no preço da cerveja no próximo ano para que seu consumo não se modifique, dado que a previsão do aumento da renda se realize?

Como a elasticidade renda da demanda de cerveja é constante igual a 0.75 e um aumento na renda de R$

3.000,00 sobre uma renda de R$ 6.000,00 corresponde a um aumento de 50% na renda, o aumento no consumo de cerveja é de 0.75x0.5=35.50%. Pelo mesmo motivo explicado no item a, o aumento no preço da cerveja necessário para anular o efeito do aumento de renda é de 2x37.50% = 75%. Cada garrafa de cerveja passaria a custar R$ 5,25.

4) Encontre as demandas Hicksianas e a função despesa para os seguintes casos : a) u(x₁, x₂) =x^α₁x^1−α₂ ,0< α <1

b) Quais são os parâmetros do problema?

S:

L=p₁x₁+p₂x₂+µ

u−x^α₁x^1−α₂

As CPOs do problema são:

µαx^α−1₁ x^1−α₂ =p₁ (3)

µ(1−α)x^α₁x^−α₂ =p₂ (4)

u=x^α₁x^1−α₂ (5)

Divida (3) por (4) para obter:

x₂= 1−α

α

p₁ p₂

x₁ (6)

Insira (6) em (5) e obtenha:

x^h₁ = ¯u α

1−α

1−αp₂ p₁

1−α

(7) Substituindo (7) em (6):

x^h₂ = ¯u α

1−α

^−αp₁ p₂

α

(8) Inserindo as demandas compensadas na restrição orçamentária, temos a função dispêndio:

e(p₁, p₂,u) = ¯¯ uα^−α(1−α)^α−1p^α₁p^1−α₂ (9) b) u(x₁, x₂) =ax₁+bx₂ a, b >0

S: Neste caso, não podemos montar o Lagrangiano para resolver o problema, pois a solução será de canto.

Porém, podemos resolver o sistema usando a intuição econômica. Intuitivamente, o consumidor irá adquirir apenas o bem relativamente mais barato, na quantidade que lhe assegure o nível de utilidade ¯u. Deste modo, as demandas Hicksianas são:

x^h₁(p₁, p₂,u) =¯







¯

u, se ^p_a¹ <^p_b² qualquer valor entre 0 e ¯u, se ^p_a¹ =^p_b² 0, se ^p_a¹ >^p_b²

x^h₂(p₁, p₂,u) =¯







¯

u, se ^p_a¹ >^p_b² qualquer valor entre 0 e ¯u, se ^p_a¹ =^p_b² 0, se ^p_a¹ <^p_b² A função de dispêndio é dada por:

e(p₁, p₂,u) = ¯¯ uminnp₁ a,p₂

b o

c) u(x₁, x₂) = ax^ρ₁+bx^ρ₂1/ρ

a, b >0 e 0< ρ <1

S: Primeiramente usaremosa=b=1, e então formulamos o Lagrangiano:

L=p₁x₁+p₂x₂+µ

u¯− x^ρ₁+x^ρ_2ρ¹

As CPOs são:

p1=λ

x^ρ₁+x^ρ₂^1−ρ_ρ x^ρ−1₁

(10)

p₂=λ

x^ρ₁+x^ρ_2ρ¹−1

x^ρ−1₂

(11)

¯

u= x^ρ₁+x^ρ₂¹_ρ

(12) Portanto:

¯

u^ρ= x^ρ₁+x^ρ₂ Dividindo (10) por (11) teremos:

x₁ p₁

p_{2 ρ−1}¹

=x₂ (13)

Substituindo (13) em (12) teremos:

x₁= ¯u



 p

ρ ρ−1

1

p

ρ ρ−1

2 +p

ρ ρ−1

1





1 ρ

(14)

Inserindo (14) em (13) teremos:

x₂= ¯u



 p

ρ ρ−1

2

p

ρ ρ−1

2 +p

ρ ρ−1

1





1 ρ

(15)

Podemos inserir (14) e (15) na função objetivo para obtermos a função de custos mínimos:

p₁u¯



 p

ρ ρ−1

1

p

ρ ρ−1

2 +p

ρ ρ−1

1





1 ρ

+p₂u¯



 p

ρ ρ−1

2

p

ρ ρ−1

2 +p

ρ ρ−1

1





1 ρ











¯ u

p

ρ ρ−1

2 +p

ρ ρ−1

1

¹_ρ











p₁p

1 ρ−1

1 +p₂p

1 ρ−1

2











¯ u

p

ρ ρ−1

2 +p

ρ ρ−1

1

_ρ¹











p

ρ ρ−1

1 +p

ρ ρ−1

2

¯ u

p

ρ ρ−1

2 +p

ρ ρ−1

1

^p−1_ρ

Denote _ρ−1^ρ =r, então ^ρ−1_ρ =¹_r e−_ρ−1¹ = 1−r e com um pouco de álgebra tediosa teremos:

e(p₁, p₂,u) = ¯¯ u(p^r₂+p^r₁)^1r d) u(x₁, x₂) =min{ax₁, bx₂}a, b >0

S: Este é outro caso onde não podemos usar o método de Lagrange, pois a função de utilidade não é diferenciável. Devemos, mais uma vez, resolver o problema usando a intuição econômica. Como os bens são complementares perfeitos temos que: ax₁=bx₂. Então teremos quex^h₁(p₁, p₂,u) =¯ ^u_a^¯ ex^h₂(p₁, p₂,u) =¯ ^¯u_b. Desse modo, a função dispêndio é:

e(p₁, p₂,u) = ¯¯ up₂ b +p₁

a

5) Resolva os seguintes itens para as seguintes funções de utilidade do exercício 5: a,b e c.

a) Verifique se as demandas Hicksianas são homogêneas de grau 0 nos preços.

S: Vamos mostrar para o bem 1, para o outro bem é similar:

(Cobb-Douglas)

x^h₁(tp₁, tp₂,u) = ¯¯ u α

1−α

^1−αtp₂ tp₁

^1−α

=x^h₁(p₁, p₂,u)¯ (Linear)

x^h₁(tp₁, tp₂,u) =¯







¯

u, se ^tp_a¹ <^tp_b² qualquer valor entre 0 e ¯u, se ^tp_a¹ =^tp_b² 0, se ^tp_a¹ >^tp_b²

=x^h₁(p₁, p₂,u)¯

(CES)

x^h₁(tp₁, tp₂,u) = ¯¯ u

"

(tp₁)

ρ ρ−1

(tp₂)

ρ

ρ−1+ (tp₁)

ρ ρ−1

#¹_ρ

= ¯u







 t

ρ ρ−1p

ρ ρ−1

1

t

ρ ρ−1

p

ρ ρ−1

2 +p

ρ ρ−1

1









1 ρ

=x^h₁(p₁, p₂,u)¯

b) Mostre a validade do lema de Shephard.

S: Vamos mostrar para o bem 1, para o outro bem é similar:

(Cobb-Douglas)

e(p₁, p₂,u) = ¯¯ uα^−α(1−α)^α−1p^α₁p^1−α₂

∂e(p₁, p₂,u)¯

∂p₁ = ¯uα^1−α(1−α)^α−1p^α−1₁ p^1−α₂ = ¯u α

1−α

^1−αp₂ p₁

^1−α

=x^h₁(p₁, p₂,u)¯ (Linear) Nesse caso a função não é diferenciável.

(CES)

e(p₁, p₂,u) = ¯¯ u(p^r₂+p^r₁)^1r

∂e(p₁, p₂,u)¯

∂p = ¯u(p^r₂+p^r₁)^1r−1p^r−1₁ =x^h₁(p₁, p₂,u)¯

c) Mostre que a demanda Hicksiana obedece a Lei da Demanda.

S: Faremos apenas para a função Cobb-Douglas e para a CES:

∂e(p₁, p₂,u)¯

∂p₁ = ¯uα^1−α(1−α)^α−1p^α−1₁ p^1−α₂ = ¯u α

1−α

^1−αp₂ p₁

^1−α

=x^h₁(p₁, p₂,u)¯

∂x^h₁(p₁, p₂,u)¯

∂p₁ = ¯u(1−α) α

1−α

^1−αp₂ p₁

^1−α 1 p₁ <0 (CES)

∂e(p₁, p₂,u)¯

∂p₁ = ¯u(p^r₂+p^r₁)^1r−1p^r−1₁ =x^h₁(p₁, p₂,u)¯

∂x^h₁(p₁, p₂,u)¯

∂p₁ = ¯u 1−r

r

(p^r₂+p^r₁)^1r−2rp^2(r−1)₁ + ¯u(r−1) (p^r₂+p^r₁)^1r−1p^r−2₁

∂x^h₁(p₁, p₂,u)¯

∂p₁ = ¯u(r−1) (p^r₂+p^r₁)^1r−1

−1 r

(p^r₂+p^r₁)⁻¹rp^2(r−1)₁ +p^r−2₁

<0

6) Cicero possui a seguinte função de utilidade u(x₁, x₂) =x₁x₂ e uma renda de R$ 24,00.

Inicialmente o preço do bem 1 custa R$ 1,00 e o preço do bem 2 R$ 2,00. Suponha que o preço do bem 2 aumentou 50%. Calcule os efeitos renda, substituição e total.

S: Primeiramente devemos construir o Lagrangiano para encontrar as demandas:

L=x₁x₂+λ[m−p₁x₁−p₂x₂] As CPOS são:

L_x1=x₂=λp₁ (16)

L_x2=x₁=λp₂ (17)

L_λ=m=p₁x₁+p₂x₂ (18)

Dividindo (16) por (17) e isolando x₂ teremos que:

x^∗₂=x₁ p₁

p₂

(19) Substituindo (19) em (18) encontramos que:

x^∗₁= m

2p₁ (20)

Inserindo (20) em (19) temos que:

x^∗₂= m

2p₂ (21)

Para os valores dados, sabemos quex^∗₁(p₁, p₂, m) = 12 ex^∗₂(p₁, p₂, m) = 6. A demanda do bem dois ao preço novo é: x^N₂ (1,3,24) = 4. Aos novos preços, o quanto de renda seria necessário para que o indivíduo consiga atingir a mesma curva de indiferença, antes da variação dos preços? A conta é bem simples:

m= (1×12) + (3×6)

m= 30

Calculamos a demanda do bem 2 usando essa renda virtual, isto é: x^h₂(1,3,30) = 5. O efeito substituição é a diferença entre a demanda compensada (com a renda virtual) e a demanda antes da variação dos preços:

ES=x^h₂(1,3,30)−x^∗₂(1,1,24) = 5−6 =−1. Por outro lado, o efeito renda é a diferença entre a nova demanda e a demanda compensada, ou seja: ER=x^N₂ (1,3,24)−x^h₂(1,3,30) = 4−5 =−1. O efeito total é a soma dos dois anteriores: ET=ER+ES=-2.

7) A função de demanda de Douglas Cornfield pelo bem x é x(p_x, p_y, m) = 2m/5p_x. Sua renda é de R$ 1.000,00 e o preço dex é R$ 5,00 e o dey é R$ 20,00. Se o preço dex cai para R$ 4,00, pede-se:

a) Calcule a mudança na demanda pelo bemx.

S: Primeiramente calcularemos a demanda dex antes e depois da mudança dos preços:

x^antes(5,20,1000) = 80

x^depois(4,20,1000) = 100

Então teremos que:

4x=x^depois−x^antes= 20

b) Calcule o efeito renda e o substituição.

S: Vamos usar a restrição orçamentária do consumidor para obtermos a demanda do bemy:

m=p_xx+p_yy

m=p_x2m 5p_x+p_yy y=3m

5p_y

Calcularemos a demanda virtual, isto é, quanto de renda o consumidor precisa a este novo preço de x para se manter na mesma curva de indiferença. Novamente usamos a restrição orçamentária do consumidor:

m= (80×4) + (30×20)

m= 920 Agora calcularemos a demanda compensada de x:

x^compensada(4,20,920) = 92

Repetiremos o mesmo procedimento que realizamos no exercício anterior:

ES=x^compensada(4,20,920)−x^antes(5,20,100) = 92−80 = 12

ER=x^antes(4,20,100)−x^compensada(4,20,920) = 100−92 = 8

ET=ES+ER= 20