Limites Continuidade Nov2016

Limites e Continuidade

Conteúdo

1 Limites 1

1.1 Noção Intuitiva . . . 1

1.2 Definição . . . 3

1.3 Propriedades dos Limites Finitos . . . 5

1.4 Limites Laterais . . . 7

1.5 Limites Infinitos . . . 9

1.6 Indeterminações . . . 10

1.6.1 Indeterminação_∞−∞ . . . 10

1.6.2 Indeterminação ∞ ∞ . . . 11

1.6.3 Indeterminação 0 0 . . . 12

1.6.4 Indeterminação0×_∞ . . . 12

1.7 Limites Notáveis . . . 12

1.7.1 Limite trigonométrico básico . . . 13

1.7.2 Limite de tipo 0 0 com exponencial . . . 13

1.7.3 Limite de tipo 0 0 com logaritmo . . . 14

1.7.4 Limite de tipo ∞ ∞ com exponencial . . . 14

1.7.5 Limite de tipo ∞ ∞ com logaritmo . . . 15

1.7.6 Limite de Neper . . . 16

1.8 Outras Indeterminações . . . 16

1.9 Exercícios Propostos . . . 18

1.10 Soluções . . . 26

2 Continuidade 30 2.1 Continuidade num Ponto . . . 30

2.2 Continuidade Lateral . . . 31

2.3 Continuidade num Intervalo . . . 34

2.4 Prolongamento por Continuidade . . . 35

2.5 Teoremas Fundamentais das Funções Contínuas . . . 36

2.6 Assíntotas . . . 37

2.6.1 Assíntotas Verticais . . . 38

2.6.2 Assíntotas Não Verticais . . . 39

2.7 Exercícios Propostos . . . 42

1

Limites

1.1

Noção Intuitiva

O conceito de limite de uma função é fundamental em todas as áreas da matemática e pode traduzir-se como "tende para"ou "aproxima-se de" ou"aproxima-se cada vez mais de" ou"tão

perto quanto se queira de".

Comecemos por abordar a noção intuitiva de limite estudando o comportamento de uma função nas proximidades de um ponto que pode não pertencer ao domínio da função.

Exemplo 1 Considere-se a função definida emR porf(x) =2x+1 cujo gráfico é dado por

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

f(x) = 2x+1

1 3

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

f(x) = 2x+1

1 3

Calculando alguns valores de f quandox se aproxima de 1, sem atingir o valor 1, obtêm-se

as seguintes tabelas:

x f(x)

0 1

0.5 2 0.6 2.2 0.9 2.8 0.99 2.98 0.999 2.998

e

x f(x)

2 5

1.5 4 1.4 3.8 1.1 3.2 1.01 3.02 1.001 3.002

Observa-se que à medida quexse vai aproximando de 1,por valores inferiores ou superiores

a 1, os valores de f(x) vão-se aproximando de 3.

Utilizando a noção de distância entre dois pontos através do valor absoluto da diferença entre esses pontos, tal significa que se |x−1| se aproxima de 0, então |f(x)−3| também se aproxima de 0.

Diz-se então que 3 é o limite def quando xse aproxima de 1, e escreve-se

lim

Exemplo 2 Considere-se a função g(x) = 2− 1

x, definida em R\ {0}, cujo gráfico é dado

por

Calculando alguns valores de g quando x se aproxima de 0, , obtêm-se as seguintes tabelas:

x g(x)

0.2 −3 0.1 −8 0.01 −98 0.001 −998 0.0001 −9998

e

x g(x)

−0.2 7

−0.1 12

−0.01 102

−0.01 1002

−0.001 10002

Observa-se que à medida que xse vai aproximando de 0por valores supeiores a0, os valores

de g(x) vão sendo cada vez menores e que à medida que x se vai aproximando de 0 por

valores inferiores a 0, os valores de g(x) vão sendo cada vez maiores. Assim,

lim

x_→0+g(x) =−∞ e _xlim_→0−g(x) = +∞.

Analizemos agora o comportamento da função g para valores de x muito grandes ou muito

pequenos. Tem-se que

x g(x)

10 1.9 100 1.99 1000 1.999 10000 1.9999

e

x g(x)

−10 2.1

−100 2.01

−1000 2.001 −10000 2.0001

Observa-se que à medida quex vai tomando valores cada vez maiores, os valores de g(x) se

vão aproximando de2 e que à medida que xvai tomando valores cada vez mais pequenos, os

valores de g(x) se vão aproximando de 2. Assim,

lim

Em geral, o número bé o limite de uma função fquando xtende para c, e escreve-se

lim

x_→cf(x) =b

se e só se, o valor da função ftende para bquando x tende parac.

f(x)

b

x y

x c x

f(x)

f(x) f(x)

b

x y

x c x

f(x)

f(x)

1.2

De

fi

nição

O matemático francês Augustin Louis CAUCHY (1789-1857) desenvolveu rigorosamente a Teoria dos Limites. Antes dele, Isaac Newton, inglês (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz, alemão (1646-1716), já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

Nesta secção será apresentada a definição de limite de uma função num ponto segundo Cauchy, para a qual são necessárias as noções de vizinhança e de ponto de acumulação.

Definição 1 Chama-sevizinhançade centroce raioε> 0, V_ε(c),ao intervalo]c−ε, c+ε[.

Seja Cum subconjunto de R ec um número real.

Definição 2 O número c diz-se ponto de acumulação de C se e só se em qualquer

vi-zinhança de c existe pelo menos um elemento de C diferente dec.

Definição 3 O número cdiz-seponto isolado de Cse pertence aC e se existe pelo menos

uma vizinhança de c que não contenha nenhum elemento de C para além do próprio c.

Exemplo 3 Seja C={−3}_∪]−2, 1]\ {0}_⊂R.

Então, o intervalo [−2, 1] é o conjunto de todos os pontos de acumulação de C e −3 é um

ponto isolado de C.

Observação 1 Note-se que os pontos isolados de um conjunto nunca são pontos de

Definição 4 (limite num ponto segundo Cauchy) Seja f uma função real de variável

real de domínio Df (f:Df _⊆R_→R) e c um ponto de acumulação de Df. Diz-se que f tende para b, quando x tende para c, e escreve-se

lim

x_→cf(x) =b,

se e só se, qualquer que seja o número real _δ > 0 existe um número real ε > 0 para todo x_∈Df\ {c} tal que se |x−c|<ε, então tem-se |f(x)−b|<δ.

Simbolicamente escreve-se:

∀δ>0∃ε>0∀x∈Df\{c} :|x−c|<ε⇒|f(x)−b|<δ.

b

x y

c

f(x)

δ +

b

δ −

b

ε −

c c+ε

b

x y

c

f(x)

δ +

b

δ −

b

ε −

c c+ε

É de referir que a variável_εdepende da variável_δ,pois para cadaδarbitrariamente escolhido,

tem de existir umε que ’funcione’ nas condições esquematizadas na figura seguinte.

y

b

x c

y

b

x c

y

b

x c

y

b

x c x

f(x)

δ δ

ε ε

0 cada

Para δ> existeumε>0 talque se0_<x₋c_<ε entãof( )x−b<δ y

b

x c

y

b

x c

y

b

x c

y

b

x c x

f(x)

δ δ

ε ε

0 cada

Para δ> existeumε>0 talque se0_<x₋c_<ε entãof( )x−b<δ

Exemplo 4 Usando a definição de limite segundo Cauchy, iremos provar que

lim

x_→2(2x−1) =3.

Seja f(x) =2x−1 com Df =R, c=2 e b=3. Então,

∀δ>0∃ε>0∀x∈Df\{c} :|x−c|<ε⇒|f(x)−b|<δ⇔

⇔ ∀δ>0∃ε>0∀x∈R\{2}:|x−2|<ε⇒|(2x−1)−3|<δ.

Pretende-se provar que dado δ > 0 arbitrário se consegue encontrar um ε> 0 tal que, para

|x−2|<ε, se tem |(2x−1)−3|<δ. Ora

|(2x−1)−3|<δ_⇔|2x−4|<δ_⇔2|x−2|<δ_⇔|x−2|< δ 2.

Este facto mostra que escolhendo _{ε ≤} δ

2, sempre que |x−2| < ε, tem-se |f(x)−3| < δ.

Nestas circunstâncias a proposição

∀δ>0∃ε>0∀x_∈R\{2} :|x−2|<ε⇒|(2x−1)−3|<δ

é verdadeira. Conclui-se então que 3 é o limite da função f quando xtende para 2.

Teorema 1 (unicidade do limite) O limite de uma função num ponto, quando

1.3

Propriedades dos Limites Finitos

Utilizando a definição de limite segundo Cauchy, deduzem-se as propriedades que se apre-sentam em seguida.

Propriedade 2 Sejamf eg duas funções com limite finito em c. Sek_∈R en_∈N,então:

1. lim

x→ck=k; (constante);

2. lim

x→c[k·f(x)] =k·xlim→cf(x) ; (produto escalar);

3. lim

x_→c[f(x) +g(x)] =xlim_→cf(x) +xlim_→cg(x) (soma);

4. lim

x→c[f(x)−g(x)] =xlim→cf(x)−xlim→cg(x) (subtração);

5. lim

x_→c[f(x)×g(x)] =limx_→cf(x)×xlim_→cg(x) (produto);

6. lim

x_→c

∙

f(x)

g(x)

¸

=

lim

x→cf(x)

lim

x→cg(x)

, se lim

x_→cg(x)6=0 (quociente);

7. lim

x_→c|f(x)|=

¯ ¯

¯lim_x→cf(x) ¯ ¯

¯ (módulo);

8. lim

x→c[f(x)] n

=hlim

x→c[f(x)]

in

(potência);

9. lim

x→c

n p

f(x) = qn lim

x→cf(x), com f(x)≥0 se n par (radiciação).

Exemplo 5 .

1. lim

x→1

¡

x2 _+3x3−_x¢_=lim x→1

¡

x2¢_+lim x→1

¡

3x3¢−_lim x→1(x) =

³ lim

x→1x

´2

+3³lim x→1x

´3 −lim

x→1(x) =

=12 _+3×13−_1=3.

2. lim

x_→0

¡

3x3_cosx¢_=lim x_→0

¡

3x3¢_×lim

x_→0(cosx) =3

³ lim

x_→0x

´3

×cos³lim

x_→0x

´

=3×03_×cos0=

=0×1=0.

3. lim

x→0

cosx x2₊₁ =

lim

x→0(cosx)

lim

x_→0(x

2₊₁₎ =

cos³lim

x→0x

´

³ lim

x_→0x

´2

+lim

x_→0(1)

= cos0

02 ₊₁ = 1 1 =1.

4. lim

x→3

¡

x2 −₁¢23 ₌³lim

x→3

¡

x2−₁¢´

2 3

=µ³lim

x→3x

´2 −lim

x→31

¶2 3

=¡32−₁¢23 ₌₈2_{3 =} √3 ₈2 ₌

5. lim

x→2 √

x3_+x2 −₁₌q_lim x→2(x

3_+x2−_{1) =}r³_lim x→2x

´3

+³lim

x→2x

´2 −lim

x→21=

=√23 ₊₂2−₁₌√_11.

6. lim

x→e

£

ln¡x2¢¤=lnhlim

x→e

¡

x2¢i=ln

∙_³

lim

x→ex

´2¸

=ln¡e2¢=2lne=2×1=2.

7. lim

x_→1e x2_+3x

=exlim→1(x 2_+3x)

=e

lim

x→1x

2 +3lim

x→1(x)_=e12+3×1 _=e4_.

8. lim

x→1

£

sen¡πx3 ₊π_x¢¤_=senh_lim x→1

¡

πx3₊π_x¢i_=sen

∙

π³lim

x→1x

´3

+πlim

x→1x

¸

=

=sen¡π×13₊π_×1¢ _=sen(2π_{) =0.}

Propriedade 3 Seja f uma função limitada e g uma função tal que lim

x→cg(x) =0. Então,

lim

x_→cf(x)×g(x) =0.

Exemplo 6 Como lim

x→0x=0 e a função seno é limitada entre −1 e 1, tem-se que

lim

x→0

∙

xsen

µ₁

x

¶¸

= lim

x→0x×xlim→0sen

µ₁

x

¶

=0.

Teorema 4 (lei do enquadramento) Sejamf, gehfunções reais de variável real definidas

num mesmo intervalo I tais que

g(x)_≤f(x)_≤h(x),_∀x_∈I.

Seja c um ponto de acumulação de I tal que lim

x_→cg(x) =be xlim_→ch(x) =b. Então

lim

x→cf(x) =b.

Exemplo 7 Determine-se o valor de lim

x_→0

senx x .

Considerando os gráficos das funções seno, identidade e tangente

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

x y

sen x x tg x

conclui-se que

∀x_∈i0,π 2

h

Como ∀x_∈i0,π 2

h

, senx > 0,

senx

senx < x

senx <

tgx

senx.

Além disso, tgx= senx

cosx, donde

1 < x

senx < 1

cosx.

Como lim

x_→01=1 e xlim_→0 1

cosx =1, pela lei do enquadramento, xlim_→0 x

senx =1. Portanto,

lim

x_→0

senx

x =xlim_→0 1 x

senx

= 1

lim

x→0 x

senx

=1.

Observação 2 Os resultados apresentados anteriormente são válidos para todos os limites

finitos, independentemente de xtender para c finito ou infinito.

1.4

Limites Laterais

Por vezes o valor de uma função aproxima-se de valores diferentes quando xse aproxima de c por valores superiores ou por valores inferiores, tal como se viu na função g(x) = 2− 1 x

quando xtende para 0 (Exemplo 2).

Definição 5 (limites laterais) .

(i) O limite de uma funçãof quandoxtende para c por valores superiores a c, designa-se

por limite de f no ponto c à direita, escrevendo-se

lim

x_→c+f(x).

(ii) O limite de uma funçãof quando xtende para c por valores inferiores ac, designa-se

por limite de f no ponto c à esquerda, escrevendo-se

lim

x_→c−f(x).

Propriedade 5 O limite de uma função no pontocexiste se e só se os limites laterais nesse

ponto, lim

x→c+f(x) e _xlim_→c−f(x), existirem e forem iguais.

Exemplo 8 Considere-se a função g definida por

g(x) =

±

cuja representação gráfica é dada por

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

1 2 4

0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

1

Tem-se que lim

x→1+g(x) =−2 e _xlim_→1−g(x) =2. Como lim

x→1+g(x)6=_xlim_→1−g(x), conclui-se que não existe _xlim_→1g(x).

Exemplo 9 Considere-se a função

t(x) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

sen(x−1) , x < 1 −(x−1)2 , 1_≤x < 3

log3

¡

x2¢ _{, x} ≥3

.

Então, Dt =R e a representação gráfica de t é dada por

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

t

0

Tem-se que lim

x_→1−t(x) =xlim_→1−sen(x−1) =sen(0) =0 e xlim_→1+t(x) =_xlim_→1+ −(x−1)

2

=0.

Como lim

x_→1−t(x) =xlim_→1+t(x) =0, conclui-se que _xlim_→1t(x) =0. Por outro lado, lim

x_→3−t(x) =xlim_→3− −(x−1) 2

=−4 e lim

x_→3+t(x) =_xlim_→3+log3 ¡

x2¢_=2.

Como lim

x→3−t(x)6=xlim→3+t(x), conclui-se que não existe _xlim_→3t(x).

Observação 3 Uma função pode ter apenas um limite lateral sem que tenha o outro. Tal

direita de 2.

0 1 2 3 4

1 2 3 4

x y

1.5

Limites In

fi

nitos

Nas secções anteriores apresentaram-se as propriedades dos limites de uma função a tender para um número finito ou infinito, mas cujo valor dos limites obtidos era um número real. Estudam-se em seguida os casos em que o valor do limite é infinito.

Definição 6 O limite de uma função f quando x tende para c _∈ R_∪{−_∞,+_∞} diz-se

infinito se

lim

x→cf(x) = +∞ ou xlim→cf(x) =−∞.

Exemplo 10 lim

x→+_∞e

x _{= +}

∞ e _xlim

→0+ lnx=−∞.

As propriedades algébricas dos limites finitos também são válidas para os limites infinitos, exceto nos casos em que o limite da soma ou da diferença de funções é ∞−∞, o limite do

produto é 0×_∞ e o limite do quociente é ∞

∞, denominados indeterminações e que serão

estudados na secção seguinte. Apresenta-se em seguida uma tabela que contém os resultados mais importantes em cálculos que envolvem limites infinitos.

lim

x_→cf(x) xlim_→cg(x) limx_→cf(x) +g(x) xlim_→cf(x)×g(x) limx_→c f(x)

g(x)

+_∞ +_∞ +_∞ +_∞ ∞

∞

+_∞ −_{∞ ∞}−_∞ −_∞ ∞

∞

−∞ +_{∞ ∞}−_∞ −_∞ ∞

∞

−∞ −∞ −∞ +_∞ ∞

∞

±_∞ b > 0 ±_∞ ±_∞ ±_∞

±_∞ b < 0 ±_{∞ ∓∞ ∓∞}

±_∞ 0 ±_∞ 0×_∞ ±_∞

b > 0 ±_∞ ±_∞ ±_∞ 0

b < 0 ±_∞ ±_{∞ ∓∞} 0

0 ±_∞ ±_∞ 0×_∞ 0

Observação 4 Caso lim

x_→cf(x) =b∈R\ {0} e xlim_→cg(x) =0 ±

,

lim

x→c f(x)

g(x) =

¯

Exemplo 11 .

1. lim

x→+∞

¡

x2₊₂√_x¢_{= lim} x→+∞

¡

x2¢_{+ lim} x→+∞

¡

2√x¢=

µ lim

x→+∞x

¶2

+2q lim x→+∞x=

= (+_∞)2+2×√+_∞= +_∞+_∞= +_∞.

2. lim

x→−∞

1 x2 =

lim

x_→−_∞1

µ lim

x→−∞x

¶2 = 1

(−_∞)2 =

1

+_∞ =0.

3. lim

x→0 1 x2 =

1 02 =

1

0+ = +∞.

4. lim

x_→−_∞ x3

3 =

µ lim

x_→−_∞x

¶3

lim

x→−∞3

= (−∞)

3

3 =

−∞

3 =−∞.

1.6

Indeterminações

No cálculo de limites de funções é habitual obterem-se expressões do tipo:

∞−∞; ∞

∞;

0

0 e 0×∞.

Por exemplo,

lim

x→0 2x

x = 0

0 e x_→lim+_∞

x2 ₊₁ ex =

∞

∞.

Estas expressões denominam-se por indeterminações, tornando-se necessário recorrer a

diversas técnicas matemáticas para determinar o valor do limite. Apresentam-se em seguida algumas dessas técnicas.

1.6.1 Indeterminação ∞−∞

A indeterminação ∞−∞ surge habitualmente numa das seguintes três situações:

Cálculo do limite de uma função polinomial

Neste caso deve colocar-se em evidência o termo de maior grau. Por exemplo, lim

x→+_∞ ¡

x2−2x+5¢(+∞=−∞) lim

x→+_∞x

2

µ

1− 2 x+

5 x2

¶

= +_∞×(1−0+0) = +_∞.

Cálculo do limite de uma função irracional

Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão. Por exemplo,

lim

x_→+_∞ ¡√

x−√x−1¢(+∞=−∞) lim

x_→+_∞ ¡√

x−√x−1¢ ¡√x+√x−1¢ √

x+√x−1 =

= lim

x→+∞

x−(x−1)

√

x+√x−1 =x→lim+∞

1 √

x+√x−1 = 1

Nota: O conjugado de ³√a−√b´ é ³√a+√b´ e o conjugado de ³a−√b´ é

³

a+√b´.

Cálculo do limite de funções logarítmicas

Neste caso aplicam-se as propriedades operatórias dos logaritmos, normalmente loga(x)−loga(y) =loga

µ x y ¶ . Por exemplo, lim

x→+_∞[ln(2x)−ln(x)]

(+_∞−_∞)

= lim

x→+_∞ln µ_2x

x

¶

= lim

x→+_∞ln2=ln2.

1.6.2 Indeterminação ∞

∞

A indeterminação ∞

∞ resulta, normalmente, do cálculo do limite de uma função racional.

Neste caso eliminam-se todos os termos abaixo do termo de maior grau do numerador e do denominador da fração.

Exemplo 12 .

1. lim

x_→+_∞

2x+1 5x−3

(∞ ∞)

= lim

x_→+_∞

2x

5x =x_→lim+_∞

2 5 =

2 5.

2. lim

x→−∞

2x2 x3_+4x2

(∞ ∞)

= lim

x→−∞

2x2

x3 =_x→lim_−∞ 2 x =0.

3. lim

x→−∞

x3₊₁ x

(∞ ∞)

= lim

x→−∞

x3

x =x→lim−∞x

2 _{= +∞.}

Observação 5 A igualdade entre limites de duas funções racionais não implica que essas

funções sejam iguais. Por exemplo,

lim

x_→+_∞

2x+1

5x−3 =x_→lim+_∞

2x

5x mas

2x+1 5x−3 6=

2x 5x.

Também é possível levantar a indeterminação ∞

∞ dividindo o numerador e o denominador,

pela maior potência dex. Por exemplo,

lim

x→+∞

x+3 √

x2_+5x+√_x+1

(∞ ∞)

= lim

x→+∞

x x+

3 x √

x2_+5x

x +

√ x+1

x

= lim

x→+∞

1+3

x

r

x2 x2 +

5x x2 +

r

x x2 +

1 x2

=

= _√ 1+0

1.6.3 Indeterminação 0

0

A indeterminação 0

0 é obtida no cálculo do limite de uma função racional em que a fração

não é irredutível, ou seja, o valor para o qual x está a tender é raíz do numerador e do

denominador. Como por exemplo, lim

x→2 x−2

x2 −₄, _xlim_→−1

x2_+4x+3 x2−_x−₂ e lim_x→3

√

x+1−2 x−3 .

Neste caso, determinam-se todas as raízes reais do numerador e do denominador, decompondo-os em fatores, e eliminam-se decompondo-os fatores comuns.

Exemplo 13 .

1. lim

x_→2 x−2 x2−₄

(0 0)

= lim

x_→2

x−2

(x−2) (x+2) =xlim_→2 1 x+2 =

1 4.

2. lim

x_→−1

x2 _+4x+3 x2−_x−₂

(0 0)

= lim

x_→−1

(x+1) (x+3)

(x+1) (x−2) =xlim_→−1 x+3 x−2 =−

2 3.

3. lim

x→3 √

x+1−2 x−3

(0 0)

= lim

x→3

¡√

x+1−2¢ ¡√x+1+2¢

(x−3)¡√x+1+2¢ =xlim→3

x+1−4

(x−3)¡√x+1+2¢ =

=lim

x_→3

x−3

(x−3)¡√x+1+2¢ =xlim_→3 1 √

x+1+2 = 1 4.

Observação 6 Neste tipo de indeterminação 0

0 é muitas vezes necessário recorrer à

fór-mula resolvente, ao algoritmo da divisão ou à regra de Ruffini para decompor em fatores o numerador e o denominador da fração.

1.6.4 Indeterminação 0×_∞

A indeterminação 0×_∞ deve ser transformada numa indeterminação de tipo 0

0 ou de tipo

∞

∞.

Exemplo 14 .

1. lim

x→+∞

¡

−x2₊₁¢ 3 2x2−₁

(∞×0)

= lim

x→+∞

−3x2₊₃ 2x2 −₁

(∞ ∞)

= lim

x→+∞

−3x2 2x2 =−

3 2.

2. lim

x_→0+ 3

√ x× 1

x

(0×_∞)

= lim

x_→0+ 3 √ x x (0 0) = lim

x_→0+

1 x23

= +_∞.

Observação 7 Existem ainda indeterminações do tipo 1∞, _∞0 _{e 0}0 _{que serão abordadas}

nas secções seguintes.

1.7

Limites Notáveis

1.7.1 Limite trigonométrico básico

lim

x_→0

senx x

(0 0)

= 1

Este limite é conhecido como o limite trigonométrico básico, uma vez que a partir

deste se calculam outros limites que envolvem funções trigonométricas. Embora a função

f(x) = senx

x não esteja definida para x= 0 (Df =R\ {0}) e limx→0

senx

x seja uma

indetermi-nação do tipo 0

0, observando o gráfico da função f tem-se que, quando x tende para 0, a

funçãoftende para 1.

0 1

x y

π π

− 2_π

π

2

− 3π

π

3

− 0

1

x y

π π

− 2_π

π

2

− 3π

π

3

−

Figura 1: Representação gráfica da função f(x) = senx x

Exemplo 15 .

1. lim

x→0

senx x3

(0 0)

= lim

x→0

µ_senx

x × 1 x2

¶

=1×(+_∞) = +_∞.

2. lim

x→0

tg(2x)

x

(0 0)

= lim

x→0 sen(2x)

cos(2x)

x =xlim→0

sen(2x)

xcos(2x) =limx→0

µ_sen(2x)

2x × 2

cos(2x)

¶

=

=

(y=2x→0)ylim_→0

µ_sen

y y ×

2

cosy

¶

=1×2=2.

1.7.2 Limite de tipo 0

0 com exponencial

lim

x→0 ex−₁

x

(0 0)

= 1

Embora a função f(x) = e

x −₁

x não esteja definida para x =0 (Df =R\ {0}) e limx→0 ex−₁

x

seja uma indeterminação do tipo 0

4 2 0 -2 -4

4

3

2

1

x y

4 2 0 -2 -4

4

3

2

1

x y

Figura 2: Representação gráfica def(x) = ex_x−1

Exemplo 16 lim

x→0

ex+3−_e3 x

(0 0)

= lim

x→0

e3_(ex −₁₎ x =e

3_×lim x→0

ex−₁ x =e

3_×1=e3_.

1.7.3 Limite de tipo 0

0 com logaritmo

lim

x→0

ln(x+1)

x

(0 0)

= 1

O limite da função f(x) = ln(x+1)

x quando x tende para zero pode deduzir-se do limite

lim

x_→0 ex−1

x =1. Fazendo a mudança de variável y=ln(x+1), tem-se que: y=ln(x+1)_⇔x=ey−1

tal que y_→0 pois x_→0.

Assim,

lim

x_→0

ln(x+1)

x =ylim_→0 y

ey−₁ =_ylim_→0 1 ey−₁

y

=1.

Exemplo 17 lim

x→0

ln(x+2)−ln2 x

(0 0)

= lim

x→0

ln¡x+2 2

¢

x = 1 2 ×xlim→0

ln¡x 2 +1

¢

x 2

=

= (y=x₂→0)

1 2 ×ylim_→0

ln(y+1)

y =

1

2 ×1= 1 2.

1.7.4 Limite de tipo ∞

∞ com exponencial

lim

x→+∞

ex xp

(∞ ∞)

Embora lim

x→+∞

ex

xp seja uma indeterminação do tipo

∞

∞, observando o gráfico da função

f(x) = e

x

xp (p∈N) verifica-se que quando x tende para +∞ a função f tende também

para +_∞.

10 5 0 -5 -10 10 5 -5 -10 x y 10 5 0 -5 -10 8 6 4 2 x y

( )_x e_x f

x

= ( ) _x2

e x f x = 10 5 0 -5 -10 10 5 -5 -10 x y 10 5 0 -5 -10 8 6 4 2 x y 10 5 0 -5 -10 10 5 -5 -10 x y 10 5 0 -5 -10 10 5 -5 -10 x y 10 5 0 -5 -10 8 6 4 2 x y 10 5 0 -5 -10 8 6 4 2 x y

( )_x e_x f

x

= ( ) _x2

e x f

x

=

Figura 3: Representação gráfica das funçõesf(x) = e_xx ef(x) = _xex2

Exemplo 18 lim

x→0+x

2_e1_x (0×₌∞) _lim x→0+

ex1

1 x2

= lim

x→0+

e1x ¡1

x

¢2 =

(y=1 x→+∞)

lim

y_→+_∞

ey

y2 = +∞.

1.7.5 Limite de tipo ∞

∞ com logaritmo

lim

x→+∞

lnx p √ x (∞ ∞)

= 0, com p_∈N

Em particular,

lim

x_→+_∞ lnx

xp

(∞ ∞)

= 0.

O limite da função f(x) = ln(x)

p

√

x quando x tende para +∞ pode deduzir-se do limite

lim

x_→+_∞

ex

xp = +∞. Fazendo a mudança de variável y=ln

¡√p _x¢_, tem-se que

y=ln¡√p

x¢_⇔y=lnx1p ⇔y= 1

plnx⇔py=lnx⇔x=e py

tal que y_→+_∞ pois x_→+_∞.

Assim,

lim

x→+_∞ lnx

p

√

x =y→lim+_∞

py

ey =p_y→lim_+∞ 1 ey

y

=p· 1

+_∞ p=∈N0.

Exemplo 19 lim

x→+∞

ln(3x)

x

(∞ ∞)

= 3× lim

x→+∞

ln(3x)

3x (y=3x=→+∞)3×y→lim+∞

lny

1.7.6 Limite de Neper

lim

x→+∞

µ

1+ k

x

¶x

(1∞)

= ek_{, com k∈R}

Este limite é uma generalização do conhecidolimite do número de Neper

lim

n→+_∞ µ

1+ 1

n

¶n

=e

e serve para levantar indeterminações do tipo 1∞_.

Exemplo 20 lim

x→+_∞ µ

1− 3 x+1

¶x

(1∞)

= lim

x→+_∞ µ

1− 3 x+1

¶x+1−1

=

= lim

x_→+_∞ µ

1− 3 x+1

¶x+1

× lim

x_→+_∞ µ

1− 3 x+1

¶−1

=

(y=x+1→+∞)y_→lim+_∞ µ

1+ −3

y

¶y

×(1−0)−1 =

=e−3_×1= 1 e3.

1.8

Outras Indeterminações

Nas secções anteriores foram abordadas as indeterminações de tipo_∞−_∞; ∞

∞;

0

0;0×∞ e 1∞. Resta ver como se abordam as indeterminações do tipo _∞0 _{e 0}0_.

As indeterminações ∞0 _{e 0}0 _{resultam, em geral, do cálculo de limites do tipo lim} x→c[f(x)]

g(x) . Utilizando as propriedades dos logaritmos, desde quef(x)> 0numa vizinhança dec, tem-se

que:

lim

x→c[f(x)] g(x)

=lim

x→ce

ln[f(x)]g(x) ₌

exlim→cg(x).ln[f(x)].

Exemplo 21 .

1. lim

x_→+_∞[ln(x−3)] 1 3−x (∞

0₎

= ex→lim+_∞ 1

3−xln[ln(x−3)] (0×₌∞)

m.v. e lim

y→+_∞ ln(y)

−e y ( ∞ ∞)

= ey→lim+_∞− ln(y)

y y e y

=

=e0×0 _=1.

m.v.: y=ln(x−3)_⇔x=ey_{+3 tal que y}

→+_∞ pois x_→+_∞.

2. lim

x→1+(lnx)

x2₋₁ (00)

= ex_→lim1+(x

2_{−1)ln(lnx) (}

0×_∞)

=

m.v. e lim

y→0+(

e2 y_{−1)ln(y) (}

0×_∞)

= ey→lim0+ e 2 y−1

2 y 2yln(y)

=

=e 2

# lim

y_→0+ e 2 y−1

2 y

$# lim

y_→0+ ln(y)

1 y

$

=e2×1×0 _=e0 _=1.

Observação 8 Esta técnica também pode ser aplicada a indeterminações do tipo 1∞_{. Por}

exemplo,

lim

x→2(3−x)

1 x−2 (1

∞₎

= exlim→2 1

x−2ln(3−x) (∞₌×0)_exlim_→2 ln(3−x)

x−2 _=exlim_→2

ln(1+ (2−x) )

−(2−x) ₌

=

(y=2−x_→0)e

lim

y→0 ln(1+y)

−y

1.9

Exercícios Propostos

Exercício 1 Observe os gráficos das seguintes funçõesf e, para cada um deles, indique

lim

x→cf(x) e f(c).

1. c=2

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

3

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

3

2. c=2

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

3

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

3

3. c=0

4 2 0 -2 -4

4

3

2

1

x y

4 2 0 -2 -4

4

3

2

1

x y

Exercício 2 Considere a função g, definida pela expressão

g(x) =

⎧ ⎨ ⎩

x+1 , x < 1 1

x , x≥1

cuja representação gráfica é dada por

- 4 - 3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2 2 4

x y

1

- 4 - 3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2 2 4

x y

1

Indique o valor de: 1. lim

x→1−g(x) ;

2. lim

Exercício 3 Seja fuma função cujo gráfico é dado por

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

3 1

5 4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

3 1

5

Indique o valor de c de modo que:

1. c /_∈Df e existe lim x_→cf(x) ;

2. c /_∈Df e não existe lim x→cf(x) ;

3. c_∈Df e não existe lim x→cf(x).

Exercício 4 Observe os gráficos das seguintes funçõesf e, para cada um deles, indique

lim

x→c−f(x), xlim→c+f(x), lim_x→cf(x) e f(c). 1. c=2

4 2 0 -2

-4

4

2

-2

-4

x y

-10 2 4

-2 -4

4

2

-2

-4

x y

-1

2. c=2

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

3. c=0

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

x y

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

4. c=0

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4 y

x 1

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4 y

x 1

5. c=−1

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

-1 0 2 4

-2 -4

4

2

-2

-4

x y

-1

6. c=1

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

1 2 4

0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

1

Exercício 5 Considere a função f representada graficamente por

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4

-4 -2 2 4

x y

1

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4

-4 -2 2 4

x y

1

Indique o valor de:

1. lim

x→0+f(x) ; 2. lim

x_→0−f(x) ;

3. lim

x→+∞f(x) ;

4. lim

Exercício 6 Observe o seguinte gráfico da função f:

4 2 0 -2 -4

4

-2

-4

x y

1

4 2 0 -2 -4

4

-2

-4

x y

1

Indique o valor de:

1. lim

x→0+f(x) ; 2. lim

x_→0−f(x) ;

3. lim

x→+_∞f(x) ; 4. lim

x→−∞f(x).

Exercício 7 A função g encontra-se representada graficamente por

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2 2 4

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2 2 4

x y

Indique o valor de c de modo que:

1. lim

x→c+g(x) = +∞; 2. lim

x_→c+g(x) =−∞.

Exercício 8 Calcule, caso existam, os seguintes limites:

1. lim

x→0f(x), onde f(x) =

±

1 , x6=0

3 , x=0 ;

2. lim

x→1f(x), onde f(x) =

±

2x , x < 1

x2 _{+1 , x > 1} ;

3. lim

x→0f(x), onde f(x) =

±

4. lim

x→1f(x), onde f(x) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

1+x3 _{, x < 1}

3 , x=1

4−2x , x > 1

;

5. lim

x_→2f(x), onde f(x) =

⎧ ⎨ ⎩

x

3 , x < 1 x+2 , x_≥1

.

Exercício 9 Calcule cada um dos limites seguintes:

1. lim

x→2

¡

2x2 −_3x+5¢_;

2. lim

x→1 √

5+x2_+3x;

3. lim

x→0

x−3x2 1−x ;

4. lim

x_→0

3

√

3x−2;

5. lim

x_→2

¡

x2 −2x+3¢−

2 3 _;

6. lim

x_→π

r_sen

x x ;

7. lim

x→0e x2

cos(2x) ;

8. lim

x→π2

lnhsen2³x 2

´i

.

Exercício 10 Calcule, caso existam, os seguintes limites:

1. lim

x_→+_∞ ¡

−x2−₃√_x+1¢_;

2. lim

x→−∞

¡

−4x3−√3 _x+5¢_;

3. lim

x→2+

1 x−2;

4. lim

x→0

µ

x+ 1

x2

¶

;

5. lim

x→−∞

µ

9−2 x+

1 x2

¶

;

6. lim

x_→−_∞x

r

Exercício 11 Calcule cada um dos seguintes limites:

1. lim

x→−∞

¡

3x3−5x+2¢;

2. lim

x→−∞

¡

−2x4−_3x+5¢_;

3. lim

x→+∞

¡√

x−3−√x+1¢;

4. lim

x→+_∞ ¡√

2x+1−√x¢;

5. lim

x_→+_∞[ln(3x+2)−ln(x+1)] ; 6. lim

x→+∞

x2−_x+3 3x3₊₁ ;

7. lim

x_→−_∞

3x2−_2x+1 x2−_2x+3 ;

8. lim

x_→+_∞

−10x5_+2x+1 2x5_+3x2₊₁₀;

9. lim

x→+_∞

x3 −_2x+5 5x4_+x2−₃;

10. lim

x→−3

2x+6 x+3 ;

11. lim

x_→3

x2−_x−₆ x−3 ;

12. lim

x→2+

x2 −4x+4 6x−12 ;

13. lim

x→4

x2−_2x−₈ x−4 ;

14. lim

x_→9 √

x−3 x−9 ;

15. lim

x→1 x2−₁

1−x;

16. lim

x→2 x3−₈ x2−₄;

17. lim

x→3 2

x2−₉(x−3) ;

18. lim

x→+∞

1 x+3

¡

Exercício 12 Calcule cada um dos seguintes limites:

1. lim

x_→0

sen2_x x ;

2. lim

x_→0 e

xsen(2x) ;

3. lim

x_→0

1−cosx x ;

4. lim

x_→+_∞xsen µ₂

x

¶

;

5. lim

x→0

x+senx x+sen(2x);

6. lim

x→0

ex−_e3x 2x ;

7. lim

x→0

ln(x+1)3

4x ;

8. lim

x→+_∞2xln µ

1+1

x

¶

;

9. lim

x_→1

lnx x−1;

10. lim

x→0

senx ex−₁;

11. lim

x→0

e2x−₁

ln(3x+1);

12. lim

x_→+_∞xe

−2x_;

13. lim

x→+∞

logx x2 .

Exercício 13 Calcule cada um dos seguintes limites:

1. lim

x→+_∞ µ

1+2

x

¶3x+1

;

2. lim

x→+∞

µ

1− 3 2x

¶x

;

3. lim

x→0+(1+3x) 1 x .

4. lim

5. lim

x→3+

∙

ln µ

1 x−3

¶¸3−x

;

6. lim

x→0+(e

x −₁₎x2

1.10

Soluções

Solução 1 .

1. lim

x_→2f(x) =f(2) =3.

2. lim

x_→2f(x) =3, @f(2).

3. @lim

x_→0f(x), f(0) =0.

Solução 2 .

1. 2.

2. 1.

Solução 3 .

1. c=−2.

2. c=3.

3. c=5.

Solução 4 .

1. lim

x_→2−f(x) =−1; xlim_→2+f(x) =−2; @lim_x→2f(x) e f(2) =2. 2. lim

x→2−f(x) =2; xlim→2+f(x) =2; _xlim_→2f(x) =2 e f(2) =0. 3. lim

x→0−f(x) =0; xlim→0+f(x) =−∞; @_xlim_→0f(x) e f(0) =0. 4. lim

x_→0−f(x) =0; xlim_→0+f(x) =1; @lim_x→0f(x) e f(0) =0. 5. lim

x_→−1−f(x) =2; x_→lim−1+f(x) =2; _xlim_→−₁f(x) =2 e f(−1) =2. 6. lim

x→1−f(x) = +∞; xlim→1+f(x) =−∞; @_xlim_→1f(x) e f(1) =0.

Solução 5 .

1. 2.

2. −∞.

3. 0.

Solução 6 .

1. +_∞.

2. −∞.

3. 1.

4. 1.

Solução 7 .

1. c=−1.

2. c=2.

Solução 8 .

1. lim

x→0f(x) =1.

2. lim

x_→1f(x) =2.

3. @lim

x→0f(x).

4. lim

x→1f(x) =2.

5. lim

x→2f(x) =4.

Solução 9 .

1. 7.

2. 3.

3. 0.

4. −√3

2.

5. √₃1 9.

6. 0.

7. 1.

8. −ln2.

Solução 10 .

1. _−∞.

3. +_∞.

4. +_∞.

5. 9.

6. −∞.

Solução 11 .

1. −∞.

2. −∞.

3. 0.

4. +_∞.

5. ln3.

6. 0.

7. 3.

8. −5.

9. 0.

10. 2.

11. 5.

12. 0.

13. 6.

14. 1

6.

15. −2.

16. 3.

17. 1

3.

18. +_∞.

Solução 12 .

1. 0.

2. 2e.

4. 2.

5. 2

3.

6. −1.

7. 3 4.

8. 2.

9. 1.

10. 1.

11. 2

3.

12. 0.

13. 0.

Solução 13 .

1. e6_.

2. √1 e3.

3. e3_.

4. e.

5. 1.

2

Continuidade

O conceito de continuidade pode ser observado em muitos fenómenos de vida real. Por exemplo, ao longo da vida varia de forma contínua o peso e altura do ser humano, tal como a temperatura ao longo de um dia ou a velocidade de uma bicicleta ao longo de um percurso. No entanto, o número de incêndios que ocorrem em Portugal durante um ano já não varia de forma contínua, uma vez que esse número salta de forma imediata para o número inteiro seguinte cada vez que ocorre novo incêndio. Assim, podemos associar o conceito de continuidade à noção de não existência de interrupção, ou salto, ao longo de um determinado intervalo de tempo.

O conceito formal de função contínua foi introduzido em 1821 por Augustin Louis Cauchy (1789-1857), professor na École Polytechnique de Paris que apresentou a seguinte caracteri-zação: "f(x)diz-se uma função contínua se os valores numéricos da diferença f(x+α)−f(x)

decrescem indefinidamente com os de α." (Cours d’Analyse).

2.1

Continuidade num Ponto

Definição 7 Dada uma função f:D_⊆R_→R tal que c_∈D é ponto de acumulação de D,

diz-se que f é contínua em c se:

∃lim

x→cf(x) =f(c).

Esta definição pressupõe as três condições seguintes: 1. f(c) está de_finido, o que signi_fica que c_∈D;

2. lim

x_→cf(x)existe, isto é, limx_→c−f(x) =xlim_→c+f(x) ; 3. lim

x→cf(x) =f(c).

Exemplo 22 Considere uma funçãof com a seguinte representação gráfica:

0 x

y

a 0 b c d e x

y

a b c d e

Observa-se que a funçãof não é contínua emb, c, de e mas é contínua em todos os outros

pontos do seu domínio (a /_∈D). De facto,

• Para x = a, a função f não está definida (a /_∈D), apesar de a ser um ponto de

acumulação de D;

• Parax=b, existe lim

• Parax=c, não existe lim

x→cf(x), pois os limites laterais de f são diferentes, isto é,

lim

x_→c−f(x)=6 xlim_→c+f(x) ;

• Parax=d, também não existe lim

x→df(x), pois xlim_→d−f(x)6=xlim_→d+f(x) ;

• Parax=e, não existe lim

x_→ef(x), pois xlim→e−f(x)6=xlim→e+f(x).

Exemplo 23 .

1. Dada a funçãof definida por

f(x) =

⎧ ⎨ ⎩

ex −₁

x , x < 0 x+1 , x_≥0

,

tem-se que f(0) =1 e

lim

x_→0−f(x) =xlim_→0−

ex −₁ x =1

lim

x_→0+f(x) =_xlim_→0+x+1=1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⇒∃lim

x→0f(x) =1.

Como lim

x→0f(x) =f(0), entãof é contínua em 0.

2. Dada a funçãog definida por

g(x) =

±

x2 _{, x6=0}

1 , x=0 ,

tem-se que g(0) =1 e

∃lim

x_→0g(x) =xlim_→0x 2 _=0.

Como lim

x_→0g(x)6=g(0), então g não é contínua em 0.

2.2

Continuidade Lateral

Definição 8 Dada uma função f:D_⊆R_→R tal que c_∈D é ponto de acumulação de D,

diz-se que:

(i) f é contínua à direita de c se

lim

x_→c+f(x) =f(c).

(ii) f é contínua à esquerda de c se

Observação 9 .

1. Uma função pode não ser contínua num ponto mas ser contínua à esquerda ou à direita desse ponto.

2. Se f é contínua à direita e à esquerda de um ponto, então f é contínua nesse ponto.

Exemplo 24 Considere uma funçãof com a representação gráfica seguinte:

0 x

y

a 0 b c d e x

y

a b c d e

Observa-se que:

• Parax=c,

lim

x→c−f(x)6=xlim→c+f(x)⇒@_xlim_→cf(x) mas_xlim_→c−f(x) =f(c). Logo, f é contínua à esquerda de c.

• Parax=d,

lim

x→d−f(x)6=xlim→d+f(x)⇒@_xlim_→df(x) mas _xlim_→d+f(x) =f(d). Logo, f é contínua à direita ded.

• Parax=e,

lim

x→e−f(x)6=xlim→e+f(x)6=f(e). Logo, f não é contínua à direita nem à esquerda de c.

Exemplo 25 .

1. Dada a funçãof definida por

f(x) =

±

x , x < 2

4 , x_≥2 ,

tem-se que f(2)=4 e

lim

x→2−f(x) =xlim→2−x=2

lim

x_→2+f(x) =_xlim_→2+4=4

⎫ ⎪ ⎬ ⎪

⎭⇒@xlim_→2f(x).

Assim, f não é contínua em 2 mas, como lim

x_→2+f(x) = f(2), f é contínua à direita de

2. Dada a funçãog definida por

g(x) =

±

x2_{+1 , x≤1} −x+4 , x > 1 ,

tem-se que g(1) =2 e

lim

x→1−g(x) =xlim→1−

¡

x2₊₁¢₌₂

lim

x_→1+g(x) =_xlim_→1+(−x+4) =3

⎫ ⎪ ⎬ ⎪

⎭⇒@limx_→1g(x).

Assim, g não é contínua em1 mas, como lim

x_→1−g(x) = g(1), g é contínua à esquerda

de 1.

3. Dada a funçãoh definida por

h(x) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

−x−1 , x < 1 2

0 , x= 1

2

x2 _{, x >} 1 2

,

tem-se que h

µ

1 2

¶

=0 e

lim

x→1 2

−h(x) = lim

x→1 2

−(−x−1) =−

3 2

lim

x→1 2

+h(x) = lim

x→1 2 +

¡

x2¢₌ 1 4 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⇒@lim

x_→1 2

h(x).

Assim, como lim

x→1 2

−h(x)6=h

¡1 2

¢

e lim

x→1 2

+h(x)6=h ¡1

2

¢

, h não é contínua à direita nem

à esquerda de 1 2.

Observação 10 Existem funções que, por não estarem definidas à esquerda (ou à direita) de

um ponto, são contínuas nesse ponto, apesar de só existir continuidade lateral. Por exemplo, a função f(x) = √x não está definida à esquerda do ponto x = 0 pois Df = [0,+_∞[. No

entanto, f é contínua em 0.

4

3

2

1

y

( )x x f = 4 3 2 1 y

2.3

Continuidade num Intervalo

Definição 9 Dada uma função f:D_⊆R_→R, diz-se que:

1. f é contínua num intervalo aberto]a, b[_⊆ D se f é contínua em todos os pontos

de ]a, b[.

2. fé contínua num intervalo fechado [a, b]_⊆D se fé contínua em]a, b[, à direita de a e à esquerda de b.

Exemplo 26 Considere uma função f definida no intervalo ]−2, 6[ com a representação

gráfica seguinte:

6 4 2 0 -2

6

4

2

x y

6 4 2 0 -2

6

4

2

x y

Observa-se que a função f não é contínua nos pontos x=0, x=2 e x=4, mas é contínua

em todos os outros pontos do seu domínio (Df = ]−2, 6[).

Não se pode dizer que a função é contínua no intervalo [3, 5], porque f não é contínua em 4_∈[3, 5]. Mas, por exemplo, pode dizer-se que:

• f é contínua nos intervalos abertos ]−2, 0[ e ]4, 6[, porque f é contínua em todos os

pontos desses intervalos;

• f é contínua no intervalo fechado [0, 2] porque f é contínua em ]0, 2[, é contínua à

direita de 0 e contínua à esquerda de 2. De facto,

lim

x→0+f(x) =f(0) e _xlim_→2−f(x) =f(2).

• f é contínua no intervalo ]2, 4] porque, f é contínua em ]2, 4[ e é contínua à esquerda

de 4. De facto,

lim

x→4−f(x) =f(4).

Apresentam-se em seguida algumas propriedades das funções contínuas que servem para justificar a continuidade em intervalos abertos.

Propriedade 6 As funções constante, polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas,

trigonométricas (diretas e inversas) e com raízes são sempre contínuas no seu domínio.

Propriedade 7 Sejam f e g duas funções de domínio Df e Dg, c _∈Df _∩Dg um ponto de

acumulação de Df_∩Dg, k_∈R e n_∈N. Se f e g são contínuas em c, então

1. kf, f+g, f−g, f×g, |f| e fn _{são funções contínuas em c;}

2. f

g é contínua em c, se g(c)6=0;

3. √n

Propriedade 8 (continuidade da função composta) Sejamfegduas funções de domínio Df e Dg respetivamente e c_∈Df um ponto de acumulação de Df tal que f(c)_∈Dg. Se f é

contínua emc e g é contínua em f(c), então g_◦f é contínua emc.

Propriedade 9 (continuidade da função inversa) Sejaf uma função contínua e

estri-tamente monótona num intervalo I. Então fé invertível em I e f−1 _{é contínua em f(I).}

Exemplo 27 .

1. A função f(x) = x2 +arctgx é contínua em Df = R, pois é a soma de duas funções

contínuas emR (função polinomial e função trigonométrica inversa).

2. A função racional g(x) = x−3

x2−₁₆ é contínua em Dg = R\ {−4, 4}, pois é quociente

de funções polinomiais contínuas, em que o denominador nunca se anula.

3. A função h(x) = √xe2x _{é contínua em Dh = [0,+∞[, pois é radiciação, produto e}

composta de funções contínuas em[0,+_∞[(função exponencial e funções polinomiais).

2.4

Prolongamento por Continuidade

Definição 10 Dadas duas funções f : Df _⊆ R_→ R e g : Dg _⊆ R _→ R tais que Df _⊂ Dg,

diz-se que g é um prolongamento def se

∀x_∈Df, f(x) =g(x).

Propriedade 10 Dada uma função f:Df _⊆R_→R e c /_∈D ponto de acumulação de D, f

é prolongável por continuidade ao ponto c se existe e é finito lim x→cf(x).

Nesse caso, F:D_∪{c}_→R tal que

F(x) =

± _{f(x) , x}

∈D

lim

x→cf(x) , x=c ,

é o prolongamento por continuidade de f ao ponto c.

Exemplo 28 Considere-se a função f definida por f(x) = ln(1+5x)

3x cujo domínio é

D={x_∈R:1+5x > 0∧3x6=0}=

¸

−1₅,+_∞

∙

\ {0}.

Como lim

x_→0f(x) = 5 3xlim_→0

ln(1+5x)

5x = 5

3, f é prolongável por continuidade ao ponto 0 tal que

F(x) =

⎧ ⎨ ⎩

f(x) , x_∈D 5

3 , x=0

2.5

Teoremas Fundamentais das Funções Contínuas

Afirmar que: "se uma função fé contínua num intervalo [a, b], ela assume todos os valores

entre f(a) e f(b) "é geometricamente evidente. Esta propriedade foi utilizada por Leonhard

Euler (1707-1783) e Johann Carl Gauss (1777-1855) sem hesitações mas só Bernhard Bolzano (1781-1848) em 1817 conseguiu estabelecer maior rigor na descrição desta propriedade.

Teorema 11 (de Bolzano ou dos valores intermédios) Sejafuma função contínua no

intervalo fechado[a, b],coma < b. Sek é um número real compreendido entref(a)ef(b),

então existe pelo menos um c_∈]a, b[ tal que f(c) =k.

Isto significa que, uma função contínua não pode passar de um valor a outro sem passar por todos os valores intermédios.

Geometricamente,

0 x

y f(a)<k<f(b)

) (a f ) (b f k c f()=

) (x f

b c a< <

a c b 0 x

y

(mais do que um valor para c) ) ( ) (b k fa f < <

) (b f ) (a f k c f()=

) (x f

ac1 c2 c3b

0 x

y f(a)<k<f(b)

) (a f ) (b f k c f()=

) (x f

b c a< <

a c b 0 x

y

(mais do que um valor para c) ) ( ) (b k fa f < <

) (b f ) (a f k c f()=

) (x f

ac1 c2 c3b

Figura 4: Interpretação geométrica do Teorema de Bolzano

Como consequência imediata deste teorema obtem-se um resultado de grande interesse prático que permite justificar a existência de zeros de funções contínuas em intervalos fecha-dos, mesmo que não seja possível localizar exatamente esses zeros.

Corolário 12 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] tal que

f(a) ×f(b) < 0. Então, existe pelo menos um zero da função f no intervalo ]a, b[, ou

seja,

∃c_∈]a, b[ :f(c) =0.

Geometricamente, 0 x y ) (a f ) (b

f f(x)

a c b 0 x

y

(mais do que um valor para c) ) (b f ) (a f ) (x f a c1 c2 c3 b

0 x y ) (a f ) (b

f f(x)

a c b 0 x

y

(mais do que um valor para c) ) (b f ) (a f ) (x f a c1 c2 c3 b

Figura 5: Interpretação geométrica do corolário do teorema de Bolzano

Observação 11 .

1. Se f não é contínua em [a, b], mesmo que f(a)×f(b) < 0, podem não existir zeros

de f no intervalo ]a, b[. Por exemplo,

0 x y ) (a f ) (b

f f(x)

2. Se f é contínua em [a, b] mas f(a)×f(b)> 0, a função f pode ou não ter zeros em

]a, b[. Por exemplo,

0 x

y

) (a f

) (b

f f(x)

a b 0 x

y

f(x) tem 4 zeros )

(b f

) (a f

) (x f

a b

f(x) não tem zeros

0 x

y

) (a f

) (b

f f(x)

a b 0 x

y

f(x) tem 4 zeros )

(b f

) (a f

) (x f

a b

f(x) não tem zeros

Exemplo 29 .

1. Considere-se a função f definida em R por f(x) = 4x5 _+x−_{3. Vejamos que f tem}

pelo menos um zero no intervalo ]0, 1[.

A função f é contínua em R, pois é uma função polinomial. Logo, f é contínua no

intervalo [0, 1]. Além disso, f(0) = −3 < 0 e f(1) = 2 > 0, donde f(0)×f(1) < 0.

Assim, pelo corolário do teorema de Bolzano, conclui-se que

∃c_∈]0, 1[ :f(c) =0.

2. Considere-se a função g definida emR por g(x) =x2−_{4x+1. Vejamos queg atinge}

o valor −1 no intervalo ]0, 2[.

A função g é contínua em R pois é uma função polinomial. Logo, g é contínua no

intervalo [0, 2]. Além disso, g(0) = 1 e g(2) = −3, donde g(2) < −1 < g(0). Pelo

teorema de Bolzano conclui-se que

∃c_∈]0, 2[ :g(c) =−1.

Teorema 13 (de Weierstrass) Seja f uma função contínua no intervalo fechado e

limi-tado [a, b], coma < b. Então, f tem máximo e mínimo em [a, b].

Exemplo 30 Considere-se a função logarítmica f(x) = lnx. Como f é contínua em [1, e],

pelo teorema de Weierstrass, conclui-se que f tem máximo e mínimo em [1, e]. De facto, 0=f(1) é mínimo de f em [1, e] e 1=f(e) é máximo def em [1, e].

Note-se quef é contínua em]0,+_∞[ mas não existe máximo nem mínimo de fem]0,+_∞[.

De facto, o teorema de Weierstrass não se pode aplicar ao intervalo ]0,+_∞[, que não é

fechado nem limitado.

2.6

Assíntotas

Definição 11 Dada uma função fchama-se assíntota de f a qualquer reta cuja distância

a uma parte do gráfico de f tenda para zero, ou seja, existe uma parte do gráfico de f que se

vai aproximando cada vez mais dessa reta.

y=1 são assíntotas de f.

‐2 1

0 3

x y

f

3 2

1 2

3 8 4

2.6.1 Assíntotas Verticais

As assíntotas verticais do gráfico de uma funçãof, se existirem, encontram-se em pontos de

abcissaa tais que:

1. a /_∈Df mas é ponto de acumulação deDf;

ou

2. a_∈Df masfnão é contínua ema.

Definição 12 A reta x =a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se

lim

x→a−f(x) =±∞ ou xlim→a+f(x) =±∞.

No caso de apenas um dos limites laterais ser infinito, a assíntota diz-se unilateral. Caso

os dois limites laterais sejam infinitos, a assíntota diz-se bilateral. Exemplo 32

a

0 x

y

a

0 x

y

( )=+∞

+ →a fx xlim

( )=−∞

− →a fx x lim

f D a∉

( )=+∞

+ →a fx x lim

f D a∈

a x fnãoécontínuaem =

a

0 x

y

( )=−∞

− →a fx x lim

f D a∉ assíntota

vertical bilateral

=

x a assíntota

vertical unilateral

=

x a assíntota

vertical unilateral

=

x a

Exemplo 33 .

1. Considere-se a função definida por f(x) = 2

x−2, cujo domínio é Df =R\ {2}.

existência de uma assíntota vertical é a reta x = 2, uma vez que 2 /_∈ Df mas é

ponto de acumulação de Df. Calculemos então lim

x→2−f(x) e xlim→2+f(x) : lim

x_→2−f(x) =xlim_→2− 2

x−2 =−∞ e xlim_→2+f(x) =_xlim_→2+

2

x−2 = +∞.

Logo, a reta x=2 é uma assíntota vertical bilateral.

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

2 x=

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

2 x=

2. Considere-se a função definida por g(x) =

⎧ ⎨ ⎩

1

x , x > 0 2 , x_≤0

, cujo domínio é Dg =R.

Relativamente à continuidade da função g, o único ponto onde a função poderá não

ser contínua é no ponto 0. Calculemos então lim

x→0+g(x) e _xlim_→0−g(x) : lim

x→0+g(x) =_xlim_→0+

1

x = +∞ e xlim→0−g(x) =xlim→0−2=2=g(0).

Como lim

x_→0−g(x) 6= xlim_→0+g(x), a função g não é contínua em 0. No entanto, como lim

x→0+g(x) = +∞, a reta x=0 é uma assíntota vertical unilateral.

4 2 0 -2 -4

4

2

x y

4 2 0 -2 -4

4

2

x y

2.6.2 Assíntotas Não Verticais

A existência de assíntotas não verticais (horizontais ou oblíquas) do gráfico da função f

depende do comportamento da função quando x _→ −_∞ e quando x _→ +_∞. Assim, o

domínio da função f tem de conter pelo menos um intervalo do tipo ]−_∞, a[ ou do tipo ]a,+_∞[, coma_∈R.

Definição 13 Sejamm_∈Re b_∈R. A retay =mx+b é uma assíntota não vertical

(horizontal ou oblíqua) do gráfico da função f se a distância entre esta reta e a função f

tende para zero quando x_→−_∞ ou quando x_→+_∞, ou seja,

Os coeficientes m (declive da reta) e b (ordenada na origem) são calculados do seguinte

modo:

m= lim

x_→±_∞ f(x)

x e b=x_→lim±_∞[f(x)−mx].

Observação 12 .

• Se não existe m ou se m=±_∞, então não existem assíntotas não verticais.

• Se m=0 e b_∈R, então a reta y=b é uma assíntota horizontal.

• Se o valor dem(ou deb) for diferente para os casos em quex_→+_∞ex_→−_∞,então

existem duas assíntotas não verticais. Nesse caso as assíntotas dizem-seunilaterais.

• Se não existir alteração do valor de m e do valor de b nos casos em que x _→ +_∞

e x _→ −_∞, então existe apenas uma assíntota não vertical. Nesse caso a assíntota

diz-se bilateral.

Exemplo 34 .

1. Considere-se a função definida porf(x) = 2x−1

x , cujo domínio éDf =R\ {0}.Então, m = lim

x→±_∞ f(x)

x =x→lim±_∞

2x−1

x2 =_x→lim±_∞

µ₂

x− 1 x2

¶

=0.

b = lim

x→±_∞[f(x)−mx] =x→lim±_∞

2x−1

x =x→lim±_∞

µ

2−1 x

¶

=2.

Logo, y=2 é assíntota horizontal bilateral.

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

2 y=

4 2 0 -2 -4

4

2

-2

-4

x y

2 y=

2. Considere-se a função definida por g(x) =

⎧ ⎨ ⎩

x+1

x , x > 0 2−ex _{, x≤0}

, cujo domínio é

Dg = R. O estudo das assíntotas não verticais desta função terá que ser feito

separadamente para x_→+_∞ e para x_→−_∞.

• Quandox_→+_∞ a função é dada por g(x) =x+ 1

x.

m = lim

x→+∞

g(x)

x =x→lim+∞

x+ 1 x

x =x→lim+∞

µ

1+ 1

x2

¶

=1.

b = lim

x_→+_∞[g(x)−mx] =x_→lim+_∞ µ

x+ 1

x−x

¶

= lim

x_→+_∞

1 x =0.