Números Complexos

Números Complexos

Conceitos

Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso

Faculdade Anhanguera de Sorocaba

 Um numero complexo pode ser representado por um par ordenado de números (a,b) que obedece certas regras algébricas.

 𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏, onde 𝑗 = −1

 Par ordenado: z=(a,b)

 Dado um numero complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏, define-se complexo conjugado como o numero 𝑧 = 𝑎 − 𝑗𝑏ҧ

1 – Números Complexos

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𝑟𝑒

= 𝑟. 𝑐𝑜𝑠∅ + 𝑗. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛∅

• A identidade de Euler é utilizada para representação de números complexos na forma polar (usada em sinais);

2 – Identidade de Euler: Forma Polar

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𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏 (Forma Cartesiana) 𝑧 = 𝑟𝑒^𝑗θ (Forma Polar)

Conversão R P e PR:

𝑅 → 𝑃: 𝑟 = 𝑎² + 𝑏² 𝑒 θ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑏 𝑎 𝑃 → 𝑅: 𝑎 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠θ 𝑒 𝑏 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ

2 – Identidade de Euler: Forma Polar

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Soma/Subtração

• Dado 𝑧₁ = 𝑎 + 𝑗𝑏 e 𝑧₂ = 𝑐 + 𝑗𝑑, a soma z₁+z₂ pode ser dada por:

𝑧₁ + 𝑧₂ = (𝑎 + 𝑐) + 𝑗(𝑏 + 𝑑)

3 – Números Complexos: Operações Algébricas

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Multiplicação

• Dado 𝑧₁ = 𝑎 + 𝑗𝑏 e 𝑧₂ = 𝑐 + 𝑗𝑑, o produto z₁.z₂ pode ser dado por:

𝑧₁. 𝑧₂ = 𝑎. 𝑐 + 𝑗𝑎. 𝑑 + 𝑗𝑐. 𝑏 + 𝑗²𝑏. 𝑑 𝑧₁. 𝑧₂ = (𝑎. 𝑐 − 𝑏. 𝑑) + 𝑗(𝑎. 𝑑 + 𝑐. 𝑏)

NOTA: 𝑧₁. ഥ𝑧₁ = 𝑎. 𝑎 + 𝑗𝑎. 𝑏 − 𝑗𝑎. 𝑏 − 𝑗²𝑏. 𝑏 = 𝑎² + 𝑏² 𝑧₁. ഥ𝑧₁ = 𝑧₁ ²

3 – Números Complexos: Operações Algébricas

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Multiplicação: Forma Polar

• Dado 𝑧₁ = 𝑟₁𝑒^𝑗θ1 e 𝑧₂= 𝑟₂𝑒^𝑗θ2, o produto z₁.z₂ pode ser dado por:

𝑧₁. 𝑧₂ = 𝑟₁. 𝑟₂𝑒^𝑗θ1+θ2

3 – Números Complexos: Operações Algébricas

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Divisão

• Dado 𝑧₁ = 𝑎 + 𝑗𝑏 e 𝑧₂ = 𝑐 + 𝑗𝑑, o quociente z₁/z₂ pode ser obtido multiplicando-se a fração pelo conjugado do denominador:

𝑧₁

𝑧₂ = 𝑧₁

𝑧₂ . 𝑧ഥ₂ ഥ

𝑧₂ = 𝑧₁. ഥ𝑧₂ 𝑐² + 𝑑²

3 – Números Complexos: Operações Algébricas

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Divisão: Forma Polar

• Dado 𝑧₁ = 𝑟₁𝑒^𝑗θ1 e 𝑧₂= 𝑟₂𝑒^𝑗θ2 , o quociente z_1/z₂ pode ser dado por:

𝑧₁

𝑧₂ = 𝑟₁

𝑟₂ 𝑒^{𝑗θ1−θ2}

3 – Números Complexos: Operações Algébricas

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Sugestão

• Adição e Subtração: a forma Retangular é mais fácil;

• Multiplicação e Divisão: A forma Polar é mais fácil 3 – Números Complexos: Operações Algébricas

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REFERÊNCIAS

• EISENCRAFT, M., Processamento Digital de Sinais. Notas de aula. Rio de Janeiro: Universidade Plesbiteriana Mackenzie, 2007.

• OGATA, K., Engenharia de Controle Moderno. 5ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2010.

• DORF, R.C., Engenharia de Controle. 1ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2000.