LISTA DE EXERC´ICIOS 02 – v. 1.0 Assuntos:

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UFPE — MA989 — 2014.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 02 – v. 1.0

Assuntos: Conjuntos universais (funcionalmente completos) de conectivos (operadores) l´ogicos.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Só conferir a solu¸cão de um item após tentar resolvê-lo seriamente.

Nota¸ c˜ ao: Nesta lista, ⇐⇒ denotará a equivalência lógica entre fórmulas.

Os conectivos (operadores) lógicos nega¸cão (“não”), conjun¸cão (“e”), disjun-

¸cão (“ou”), disjun¸cão exclusiva (“ou exclusivo”), condicional (“se . . . então”) e bicondicional (“se, e somente se,”), e as constantes lógicas “falso” e “verda- deiro” serão denotados, respectivamente, por: ¬, ∧, ∨, ˙ ∨, −→, ←→, F e V . Observar que a nega¸cão possui precedência sobre outras opera¸cões.

Ex.: ¬A ∨ B significa (¬A) ∨ B, e n˜ao significa ¬(A ∨ B).

REVIS ˜ AO

− Um operador (conectivo) lógico é dito n−´ ario quando recebe e conecta n variáveis proposicionais A

₁

, . . . , A

n

. n pode ser qualquer n´ umero natural;

− Podemos ver as constantes lógicas F e V como operadores 0−ários de valor lógico constante. Também temos, para cada natural n > 0, dois operadores lógicos (distintos) de valor constante (F ou V ), os quais são logicamente equivalentes aos operadores constantes (0−ários).

Ex.: Se n = 3 e f(A, B, C) = V é o operador ternário (3−ário) constante de valor lógico V , então f equivale, logicamente, ao operador constante 0−ário V ;

− Um conjunto de operadores lógicos C é dito universal ou funcionalmente completo se, e somente se, para cada natural n, todo operador lógico n −ário nas variáveis A

₁

, . . . , A

n

pode ser escrito

¹

como uma expressão lógica que consiste apenas de aplica¸cões, àquelas variáveis proposicionais, de operadores pertencentes ao conjunto C;

− {∧ , ∨ , ¬} é universal devido, por exemplo, à F.N.D. (ou à F.N.C.);

− Em particular, utilizando equivalências lógicas já estudadas, obtemos:

A −→ B ⇐⇒ ¬A ∨ B; A ←→ B ⇐⇒ (A −→ B) ∧ (B −→ A), donde A ←→ B ⇐⇒ (¬ A ∨ B ) ∧ ( A ∨ ¬ B ); F ⇐⇒ A ∧ ¬ A ; V ⇐⇒ A ∨ ¬ A ; A ∨B ˙ ⇐⇒ (A ∨ B ) ∧ ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B);

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Ou seja, o operador ´e logicamente equivalente ` aquela express˜ ao.

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− Devido às leis de De Morgan, também são universais {∧, ¬} e {∨, ¬}. De fato: A ∨ B ⇐⇒ ¬(¬A ∧ ¬B); e A ∧ B ⇐⇒ ¬(¬A ∨ ¬B);

− Para provarmos a universalidade de um conjunto de operadores l´ogicos C ,

´e suficiente expressarmos um outro conjunto de operadores logicos que j´a sabemos ser universal em termos, apenas, de operadores pertencentes a C .

Defini¸ c˜ oes. A nega¸cão disjunta ↑ (“não-e”, conectivo de Sheffer , barra de Sheffer) e a nega¸cão conjunta ↓ (“não-ou”, flecha de Peirce, adaga de Quine) podem ser definidas pela seguinte tabela lógica:

A B A ↑ B A ↓ B

F F V V

F V V F

V F V F

V V F F

Quest˜ ao 1. Demonstrar a primeira equivalência lógica de cada item por meio de tabelas lógicas. Observar que a segunda equivalência de cada item expressa uma lei de De Morgan.

1.a. A ↑ B ⇐⇒ ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B);

1.b. A ↓ B ⇐⇒ ¬(A ∨ B) ⇐⇒ (¬A ∧ ¬B).

Quest˜ ao 2. Provar que cada um dos conjuntos abaixo é universal. Então, expressar cada um dos conectivos ¬, ∧, ∨, ˙ ∨, −→, ←→, ↑ e ↓ como uma fórmula envolvendo apenas o conectivo que pertence ao conjunto dado.

2.a. {↑} (Charles S. Peirce, 1880, n˜ao publicado; Henry M. Sheffer, 1913);

2.b. {↓}.

Defini¸ c˜ ao. Um conjunto universal de operadores lógicos C é dito minimal se, e somente se, nenhum subconjunto próprio de C é universal. Em outras palavras, não podemos retirar operador algum de C sem perdermos a univer- salidade.

Ex.: {↑} e {↓} são conjuntos universais minimais. Já {∧, ∨, ¬} não é mini- mal (enquanto conjunto universal) porque {∧, ¬} é universal.

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Quest˜ ao 3. Provar que cada um dos conjuntos abaixo ´e universal minimal.

Para os dois primeiros conjuntos, basta provar a minimalidade, pois j´a sabe- mos que s˜ao universais.

3.a. {∧, ¬};

3.b. {∨, ¬};

3.c. {→ , ¬};

3.d. {→, F }, com F constante 0−´ario

²

;

3.e. {→, 6→}, onde A 6→ B ⇐⇒ ¬(A → B);

3.f. {→ , 6↔}, onde A 6↔ B ⇐⇒ ¬( A ↔ B );

3.g. {←, ¬}, onde A ← B ⇐⇒ B → A;

3.h. {∨, ↔, 6↔}.

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O(a) estudante pode querer se aprofundar neste t´ opico devido a Jan Lukasiewicz lendo o verbete C´ alculo proposicional implicacional na Wikipédia. Para tal leitura, é ´ util observar que, para toda variável proposicional P , a proposi¸c˜ ao P → P é (sempre) verdadeira (ou seja, é uma tautologia) e, portanto, a proposi¸c˜ ao ¬(P → P ) é (sempre) falsa (ou seja, é uma contradi¸cão). Esta ´ ultima proposi¸c˜ ao pode ser tomada como a proposi¸cão constante F naquele hipertexto, onde a nega¸c˜ ao ¬ é substitu´ıda por uma proposi¸c˜ ao universalmente falsa (uma contradi¸c˜ ao), permitindo ao(` a) leitor(a) adaptar a discuss˜ ao sobre o conjunto {→, F } no artigo ao conjunto {→, ¬} acima.

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uma sele¸ c˜ ao de respostas e resolu¸ c˜ oes

2.a. Nega¸c˜ao: sendo A ↑ B ⇐⇒ ¬( A ∧ B ), temos que A ↑ A ⇐⇒ ¬( A ∧ A ).

Da idempotˆencia de A (ou seja, A ∧ A ⇐⇒ A), segue-se que ¬A ⇐⇒ A ↑ A.

Disjun¸cão: sendo A ↑ B ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B, da involu¸cão de ¬ (dupla nega¸cão), obtemos ¬ A ↑ ¬ B ⇐⇒ ¬¬ A ∨ ¬¬ B ⇐⇒ A ∨ B . Combinando isto com a ex- pressão da nega¸cão obtida acima, temos que: A ∨ B ⇐⇒ (A ↑ A) ↑ (B ↑ B).

Como obtivemos ¬ e ∨, temos que o conjunto {↑} é universal. Por ser uni- tário, ele é, necessariamente, minimal.

Conjun¸cão: Sendo A ↑ B equivalente à nega¸cão da conjun¸cão de A e B , temos que a nega¸cão de A ↑ B equivale à conjun¸cão A ∧ B. Utilizando a expressão da nega¸cão por meio de ↑, obtemos que: A ∧ B ⇐⇒ ( A ↑ B ) ↑ ( A ↑ B ).

Condicional: A → B ⇐⇒ A ↑ (B ↑ B) ⇐⇒ A ↑ (A ↑ B).

2.b. ¬A ⇐⇒ A ↓ A; A ∨ B ⇐⇒ (A ↓ B) ↓ (A ↓ B);

A ∧ B ⇐⇒ (A ↓ A) ↓ (B ↓ B); A → B ⇐⇒ ((A ↓ A) ↓ B) ↓ ((A ↓ A) ↓ B).

3.c. Dadas as variáveis proposicionais A e B , podemos produzir sua dis- jun¸cão A ∨ B a partir de C = {→, ¬} facilmente: é ´ util lembrarmos que, para todas as variáveis proposicionais P e Q, a condicional P → Q está de- finida com valor F se e somente se P = V e Q = F , enquanto a disjun¸cão desejada tem valor F se e somente se A = F = B , diferindo da condicional apenas com rela¸cão à primeira variável. Assim, uma adapta¸cão simples para que a condicional passe a ter valor F apenas quando os dados de entrada forem ambos F é usarmos Q = B mas P = ¬A: A ∨ B ⇐⇒ ¬A → B. Uma vez que o conjunto C já inclui ¬, segue-se que C é universal. A minimalidade de C pode ser demonstrada do seguinte modo:

{¬} não é universal porque, sendo ¬ um operador unário, ele não nos permite produzir operadores n−ários não-triviais para n > 1;

{→} não é universal porque, por exemplo, o operador constante F não é produzido por este conjunto. De fato, se bem formarmos uma fórmula a partir de n variáveis proposicionais (n > 0) por aplica¸cão de instâncias da condicional, o operador resultante obtém valor lógico V (ao invés de F ) na palavra-código em que todas as variáveis têm valor V .

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