335 m  192296.42812.4 mA

LISTA DE PIRÂMIDES – CÁLCULO DE SEGMENTOS E ÁREAS - GABARITO

1) Classifique a pirâmide que possui: a) 6 faces b) 12 arestas c) 20 arestas

Solução. Aplicando os conhecimentos de poliedros e o fato de que só há um vértice fora da base da pirâmide, temos:

a) A pirâmide com seis faces possui 1 base e 5 laterais. Cada face lateral é um triângulo com um dos lados sendo a aresta da base. Como há cinco triângulos laterais, a base possui cinco arestas.

Logo, a pirâmide é pentagonal.

b) Sejam “x” o número de arestas que chegam ao vértice e “y” o número de arestas que chegam a cada vértice da base. O valor de “y” é sempre 3 pois uma aresta vem do vértice e as outras duas virão das arestas adjacentes na base. Como cada aresta que chega no vértice vem de um vértice da base, conclui-se que há “x” vértices na base e conseqüentemente a base possui “x” arestas. Logo,

4 6 3 24

2 24 ) 3 .(

) .(

12  1 x  x   x  x  x  

. A base possui 6 arestas e a pirâmide é hexagonal.

c) Com o mesmo raciocínio utilizado em (b), temos: 10

4 3 40

2 40 ) 3 .(

) .(

20  1 x  x   x  x  x   . A pirâmide possui 10 arestas na base. É decagonal.

2) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular cujo apótema é 8m sabendo que o apótema da base mede 6m.

Solução. A área lateral será o quádruplo da área de um dos triângulos cuja base vale 12m (dobro do apótema) e altura 8m (apótema da pirâmide). Aplicando a

fórmula, temos: 192

²

2 . 96 2 4

8 . 12

4 m

A

_l

  



 



 

 .

3) Calcular a área total de uma pirâmide triangular regular de apótema de 12m sabendo que o raio da circunferência circunscrita à base é m

3 3

5 .

Solução. O lado do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência é dado pela relação l

₃

 r . 3 . Logo a aresta do

triângulo vale l . 3 5 m 3

3 5

3

  . A área da base da pirâmide

triangular vale

²

2 2 3

4 3 . 25 4

3 . 5 4

3

. m

A

_b

 l   . A área lateral será o triplo da área de um triângulo COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

da face de base 5m e altura 12m: 3 .   30 90

²

2

12 . 5 2 3

. .

3 b h m

A

_l

  



 



  

 

 



  . A área total ser a soma

das áreas da base e lateral: 90 100 , 82

²

4

3

25 m

A A

A

_T



_b



_l

   . 4) (ITA-1958) A base de uma pirâmide tem 225m

²

. A

3

2 de uma aresta, a partir do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. Calcular a área da secção plana determinada.

Solução. A secção determinada pelo corte é a área “b” da base menor. Repare que essa situação independe do número de lados da base da pirâmide. A dimensão da aresta é unidimensional e da área é bidimensional. O corte paralelo cria duas pirâmides semelhantes e

estabelece-se a relação

₂

)

2

3 / 2 (

l l B

b  onde o numerador do 2º

membro é o quadrado da aresta lateral da pirâmide menor e o denominador, o quadrado da pirâmide maior. “B” é a área da base maior de valor 225m

²

. Temos:

2 2

2 2

2

100 25 9 4

225 4 9

/ 4 225 )

3 / 2

( b m

l l b l

l B

b          .

5) Uma pirâmide regular quadrangular tem apótema igual a 9 cm. Sendo o lado da base de 4 cm, calcule:

a) área da base b) a área lateral c) a área da pirâmide

Solução. A base de da pirâmide é um quadrado e as faces laterais, triângulos isósceles.

a) Área da base: ^A

b

 ^a

²

 ^{( 4 )}

²

 ^{16 m}

²

b) Área lateral: 4 .   18 72

²

2 9 . 4 2 4

. .

4 b h m

A

_l

  



 



  

 

 



 

c) Área da Pirâmide: A

T

 A

b

 A

l

 16  72  88 m

²

6) Ache a área total de uma pirâmide cuja altura é de 12 cm e cuja base é quadrada, com 10 cm de lado.

Solução. Para calcular a área lateral é necessário calcular o apótema (g) da pirâmide. Aplicando Pitágoras, vem g

²

 12

²

 5

²

 144  25  g  169  13 cm .

i) Área da base: A

_b

 a

²

 ( 10 )

²

 100 cm

²

ii) Área lateral: 2 .  130  260

²

2 13 . 10 2 4

. .

4 b h cm

A

_l

  



 



 

 



 



 

iii) Área total: A

_T

 A

_b

 A

_l

 100  260  360 cm

²

7) Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular e 8 cm de altura cuja base está inscrita numa circunferência de

6 2

cm de raio.

Solução. O lado do quadrado inscrito é dado pela relação l

₄

 r . 2 . Logo

a aresta da base vale l

₄

 r . 2  6 2 . 2  12 cm . O apótema da base é a

metade do lado. Calculamos o apótema da pirâmide no triângulo

retângulo formado pela altura (8) e o apótema da base (6): g

²

 8

²

 6

²

 100  g  100  10 cm . A área

lateral é o quádruplo de uma face: 2 .  120  240

²

2

10 . 12 2 4

. .

4 b h cm

A

_l

  



 



 

 



 



  .

8) Numa pirâmide regular, as alturas da face (relativamente ao lado da base) medem 0,48 e o lado da base mede 0,28. Calcule a aresta lateral.

Solução. Independentemente da natureza da pirâmide, a relação entre a aresta lateral e a aresta da base, envolve o apótema (g) da pirâmide, que é a altura da face e divide-a ao meio, já que é um triângulo isósceles. Aplicando Pitágoras na área cinza, temos: l

²

  0 , 48 

²

  0 , 14 

²

 0 , 25  l  0 , 25  0 , 5 .

9) Determinar a medida da aresta de uma tetraedro regular sabendo que sua superfície total mede 9 3 cm

²

.

Solução. O tetraedro regular é uma pirâmide triangular onde todas as arestas são iguais. A área total é o quádruplo da área de uma face que é um triângulo eqüilátero. Igualando à medida indicada,

temos: l l l cm

A l l A

T

T 3 9 3 9 9 3

3 9

4 3

.4 3 ² _{2 2}

2













 



 





 



 

 

.

10) Determinar a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que, aumentada de 4m, sua área aumenta de 40 3 m

²

.

Solução. Utilizando o resultado do problema anterior e a informação do enunciado, temos:

m l

l l

l l l

A l A

T

T 3

8 8 24 16 40 3 16 3 8 3 3 40 3 3

)4 ( 3 40

3 _{2 2}

2 2





















 

 











.

11) Calcular a aresta da base de uma pirâmide regular sabendo que o apótema da pirâmide mede 6 cm e a aresta lateral 10 cm.

Solução. Considerando a metade da aresta e aplicando Pitágoras na área cinza, temos:

  a a a a cm

16 256 256

144 2 400

6

10

^{2 2}

2

2 2

        



 



 

 .

12) Calcular a área lateral e a área total de uma pirâmide quadrangular regular sendo 7m a medida do seu apótema e 8m o perímetro da base.

Solução. Se o perímetro da base vale 8m, então a aresta mede 8 ÷ 4 = 2m. Temos:

i) Área da base: A

_b

 a

²

 ( 2 )

²

 4 m

²

ii) Área lateral: 2 .   14 28

²

2

7 . 2 2 4

. .

4 b h m

A

_l

  



 



  

 

 



 

iii) Área total: A

_T

 A

_b

 A

_l

 4  28  32 m

²

13) (UFAL) Numa pirâmide quadrangular regular com 3dm de altura, a aresta da base mede 2 3 dm . Calcule a área lateral dessa pirâmide em dm

²

.

Solução. Cálculo do apótema (g): g 9 3 g 12 dm 2

3 3 2

2 2

2

     



 

 

 .

Área lateral: ^{2 .}  ^{2 36}  ²⁴

²

2 12 3 . 2 2 4

. .

4 b h dm

A

l

   



 

 

 



 



 

14) Um tetraedro regular tem aresta a = 4cm. Calcule o apótema da pirâmide e a área total.

Solução. O apótema da pirâmide é a altura do triângulo eqüilátero da face. Como a = 4cm, temos:

a) Apótema da pirâmide: g l 2 3 cm 2

3 4 2

3  

 .

b)

3^{2 2 2}

2

3

3 ( 4 ) 3 16 3

4 . 3

4 l l A cm

A

_T

   

_T

 





 



  .

15) Sendo 192m

²

a área total de uma pirâmide quadrangular regular e _{3 2 m} o raio do círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.

Solução. A área total é dada pela soma das áreas da base e a lateral. O raio do círculo inscrito vale a metade da medida da aresta da base. Igualando as

informações, temos:

2 2 5 . 2

2 . 10 2 12

72 2 192

12 72 192

2 2 12

. 2 . 6 4

72 2 ).

36 ( ) 2 6

(

^{2 2}

2 4



 















 







 



 









g g

A A A

g g A

m l

A

l b T l b

Calculando a altura: ^H

²

^  ^{5 2}  

²

^{ 3 2} 

²

^{ 50  18  32  H  32  4 2 m .}