Matemática
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL III
1 – ELEMENTOS DO PRISMA
Prisma é um poliedro convexo com duas faces sendo polígonos quaisquer, congruentes e situados em planos paralelos. As duas faces paralelas são denominadas bases e todas as outras faces são paralelogramos, sendo denominadas faces laterais. Além disso, cada aresta da base é denominada aresta
da base (claro) e cada aresta de face lateral (com
extremidades nas duas bases) é denominada aresta
lateral. Finalmente, a altura do prisma é a distância
entre os dois planos das bases. Está ilustrado na figura abaixo:
Figura 1 – elementos do prisma
2 – CLASSIFICAÇÃO DE PRISMAS
2.1 – Quanto à inclinação das arestas lateraisSe as arestas laterais são perpendiculares às bases, o prisma é denominado reto. Em caso contrário, o prisma é denominado oblíquo.
Figura 2 – prisma reto e prisma oblíquo
Observação: Num prisma reto, as faces laterais são retângulos e as arestas laterais têm a mesma medida
da altura
2.2 – Quanto ao formato da base
Um prisma é triangular se a sua base é um triângulo;
Um prisma é quadrangular se a sua base é um quadrilátero;
Um prisma é pentagonal se a sua base é um pentágono;
Um prisma é hexagonal se a sua base é um hexágono;
E assim por diante.
Observação: Um prisma é denominado regular
quando for reto e a sua base for um polígono regular.
Figura 3 – prisma regular hexagonal
3 – ÁREAS DO PRISMA
3.1 – Área lateralA área lateral de um prisma é a soma das
áreas das faces laterais. Como cada face lateral é um paralelogramo, essa área é o produto de um lado da base pela aresta lateral do prisma. Somando todas as áreas, tem-se que a área total é o produto do perímetro da base pela aresta lateral do prisma:
3.2 – Área da base
É a área de um dos polígonos da base
3.3 – Área total
A área total de um prisma é a soma da área
lateral com as áreas das bases. Como além das faces laterais, o prisma possui duas bases, essa área é a área lateral mais o dobro da área da base :
4 – VOLUME DO PRISMA
O volume de um prisma é o produto da área da base pela sua altura :
5 – PARALELEPÍPEDO
É o prisma no qual todas as faces são paralelogramos (incluindo as bases)
Figura 4 – paralelepípedo reto e paralelepípedo oblíquo
6 – PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO
É o paralelepípedo reto cujas bases são retângulos: as suas dimensões são , e . Quando a base é um retângulo de comprimento e largura , a altura do paralelepípedo é . A diagonal da base liga vértices opostos da base, enquanto a diagonal do paralelepípedo liga vértices opostos do paralelepípedo.
Figura 5 – paralelepípedo retângulo de dimensões , , Aplicando o Teorema de pitágoras, tem-se:
√
( ) √
( )
Como a área da base é e a altura é :
7 – CUBO
É o paralelepípedo retângulo cujas faces são todas quadradas. Nesse caso, , então dizemos que o cubo tem aresta .
Figura 6 – cubo de aresta
Fazendo nas fórmulas do paralelepípedo retângulo, tem-se:
√ √ √ √ √ √ √ √
( ) ( )
8 – RESUMO
Área lateral do prisma:
Área total do prisma:
Paralelepípedo retângulo √ ( ) Cubo √
Exercício Resolvido 1:
(UFJF – 12) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura mede e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões por , extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida .
Figura 7: figura do exercício resolvido 1 a) Calcule o volume da embalagem.
b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em (um quinto) quando passa do estado líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não transborde?
Resolução:
a) A área da base do prisma é a área do retângulo menos vezes a área do triângulo:
Figura 8: cálculo da área da base do prisma
Portanto, o volume do prisma será:
Resposta: O volume da embalagem é
b)
Se o volume inicial do sorvete líquido, então:
Resposta: O volume máximo ocupado pelo sorvete no
estado líquido é
Exercício Resolvido 2:
(UEL – 11) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir.
Figura 9: figura do exercício resolvido 2
A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura.
Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça?
Resolução:
O volume da peça será dado pela diferença de volumes entre o prisma maior e o menor, assim:
Lembrando que a área de um hexágono será seis vezes a área de um dos triângulos equiláteros que o compõem (ou seja, √ ),tem-se:
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
Exercício Resolvido 3:
(UNEMAT – 10) Se um cubo tem suas arestas aumentadas em , o seu volume aumentará em: a) b) c) d) e)
Resolução:
Volume de um cubo de aresta : Volume de um cubo de aresta :
( ) Aumento do volume do cubo:
Seja a porcentagem do aumento : Resposta: Alternativa A Exercício Resolvido 4:
(UFRGS - 10) Considere um cubo de aresta e um segmento que une o ponto , centro de uma das faces do cubo, ao ponto , vértice do cubo, como indicado na figura a seguir. Qual é o valor de ?
Figura 10: figura do exercício resolvido 4
Resolução:
Colocando os valores das medidas no desenho, temos:
Figura 11: figura 10 atualizada com as medidas do enunciado Usando Pitágoras no triângulo que aparece: :
( √ ) √
Resposta: O valor de é √
Exercício Resolvido 5:
(UFU – 09) No cubo considere o ponto na aresta satisfazendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Sabendo que ̅̅̅̅ mede √ , calcule o volume do cubo.
Figura 12: figura do exercício resolvido 5
Resolução:
Observe o triângulo retângulo :
Figura 13: figura 12 com o triângulo destacado Seja a aresta do cubo. Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo , tem-se:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ √ Além disso, na aresta , tem-se:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo , obtemos: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ √ ( ) ( √ ) Calculando o volume do cubo:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (ENEM - 10) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza
a) massa. b) volume. c) superfície. d) capacidade. e) comprimento.
2. (ENEM - 10) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede e a do cubo menor, que e interno, mede .
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de
a) b) c) d) e)
3. (ENEM - 10) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem de largura, de comprimento e de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a
a) b) c) d) e)
4. (FATEC - 13) O sólido da figura é formado por cubos de aresta os quais foram sobrepostos e/ou colocados lado a lado.
Para se completar esse sólido, formando um paralelepípedo retângulo com dimensões
, são necessários cubos de aresta . O valor mínimo de é
a) b) c) d) e) 5. (UEPB - 13) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede √ tem capacidade igual a: a) litros b) litros c) litros d) litros e) litros
6. (UNEB - 14) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma superfície de até metros quadrados. Ela tem duas camadas principais: a epiderme, externa, e a derme, interna.
(BREWER. 2013, p. 72).
De acordo com o texto, a superfície máxima coberta pela pele humana é equivalente a de um cubo cuja diagonal, em , é igual a
a) b) √ c) √ d) e) √
7. (UFSJ - 12) Uma caixa de dimensões
precisa ser montada com o menor número possível de cubos construídos com papel cartão.
Sabendo que cada folha de papel cartão mede, aproximadamente, a quantidade de folhas necessária para a construção dos cubos, a fim de montar a caixa, é
a) b) c) d) 8. (UERJ - 12) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a .
Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba.
9. (ENEM - 12) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de ?
a) O nível subiria , fazendo a água ficar com de altura.
b) O nível subiria , fazendo a água ficar com de altura.
c) O nível subiria , fazendo a água ficar com de altura.
d) O nível subiria , fazendo a água transbordar. e) O nível subiria , fazendo a água transbordar. 10. (UFMG - 08) Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são de comprimento, de largura e de profundidade.
Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de litros por segundo. Com base nessas informações, é correto afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários
a) b) c) d) 11. (UERJ - 12) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes.
Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a:
a) √ b) √ c) √ d) √
12. (UNICAMP - 09) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques - rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água.
a) Um grupo de peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie consome de ração por refeição e que um peixe da espécie consome por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a . Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte peixes adultos da espécie considerada?
13. (ENEM - 10) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem ( ), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se "rodo" da árvore. O quadro a denomina-seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em a partir da medida do rodo e da altura da árvore.
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo
• toras da espécie , com de rodo, de comprimento e densidade toneladas ;
• toras da espécie , com de rodo, de comprimento e densidade toneladas .
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente,
a) toneladas. b) toneladas. c) toneladas. d) toneladas. e) toneladas.
Nível II
14. (UNESP - 10) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano.
As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa.
Sabendo que milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de litros de água em uma superfície plana horizontal de metro quadrado, determine a profundidade ( ) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de desse volume.
15. (UNICAMP - 12) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões . Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a
a) b) c) d)
16. (UNIFESP - 09) Um cubo de aresta de comprimento vai ser transformado num paralelepípedo reto-retângulo de altura menor, preservando-se, porém, o seu volume e o comprimento de uma de suas arestas.
A diferença entre a área total (a soma das áreas das seis faces) do novo sólido e a área total do sólido original será:
a) b) c) d) e) 17. (UFSM - 13) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças.
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com de aresta da base e de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa embalagem?
18. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos e .
Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em . A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto.
O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos e poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:
a)
b)
c)
d)
e)
19. (ENEM - 09) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de , então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
a) b) c) d) e)
20. (ENEM - 13) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de (a altura é indicada na figura como o segmento ). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando como valor aproximado para tangente de e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que b) entre e c) entre e d) entre e e) maior que
21. (ENEM CANCELADO - 09) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são de comprimento, de largura e de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar caixas na forma de cubo com de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte.
Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte?
a) viagens. b) viagens. c) viagens. d) viagens. e) viagens.
22. (UFRGS - 13) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta de maneira que dois de seus vértices, e sejam os pontos médios respectivamente das arestas e e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo.
O volume desse sólido é
a) b) c) d) e) 23. (UFG - 14) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo.
Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada.
24. (ESPCEX - 14) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é √
.
Aumentando-se a aresta da base em e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de . O volume do prisma original éa) b) c) √ d) √ e)
25. (UFPR - 13) Um tanque possui a forma de um prisma reto, com as dimensões indicadas pela figura. Com base nisso, faça o que se pede:
a) Quando estiver completamente cheio, quantos litros esse tanque comportará?
b) Obtenha uma função que expresse o volume de água no tanque como função da altura .
26. (UNICAMP - 08) Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura a seguir. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem , a base maior tem e as arestas laterais têm de comprimento.
Supondo que um trecho de de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões.
a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia?
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem de comprimento, de largura e de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a brita?
27. (UNESP - 12) A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo com base quadrada de aresta e altura em centímetros.
A distância, em centímetros, do vértice à diagonal vale:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. O volume de um paralelepípedo é o produto do seu comprimento, sua largura e sua altura
2. O volume do porta-lápis é a diferença entre o volume do cubo maior e o volume do cubo menor
3. Se é a aresta do cubo, então
√
4. Como cada cubo tem aresta , o volume de cada cubo é . O volume do paralelepípedo é:
Na figura, aparecem cubos. Então, para completar o sólido, o número de cubos que faltam é 5. Seja a aresta do cubo. Como a diagonal vale √ , tem-se:
√ √ √ O volume do cubo é: Note que equivale a litros
6. Seja a aresta do cubo. Como a área total do cubo é (que é a área da superfície da pele), tem-se:
√
√ √ √ √ √ 7. Seja a aresta de cada cubo. Como cada dimensão da caixa deve ser múltipla de , é divisor de , e . Como o número de cubos é o menor possível, o valor de deve ser o maior possível. Logo Como , na dimensão cabem cubos Como , na dimensão cabem cubos Como , na dimensão cabem cubos Logo, o total de cubos é cubos. Cada cubo tem uma área total de . Como são cubos, a área total é
8. Seja o lado do quadrado. Então, as dimensões da caçamba são , , . Como a maior distância entre dois pontos do paralelepípedo é a sua diagonal, . Então, tem-se:
√ √
O volume da caçamba é
9. O nível inicial do tanque é . Então o volume inicial do tanque é . Como o volume final do tanque é o volume inicial do tanque somado com o volume do objeto, o volume final do tanque é .
A área da base do tanque é . Seja o nível final do tanque. Então, tem-se:
10. O comprimento do paralelepípedo é , a sua largura é e a sua profundidade é . Logo o volume do reservatório é . Como litro equivale a , o reservatório é bombeado a uma taxa de por segundo. Logo, o tempo necessário para encher o reservatório é
11. Seja a razão de semelhança entre as os paralelepípedos. Então, a razão entre os seus volumes é . Como o volume do pacote maior é o dobro do volume do pacote menor, √ . A razão entre as áreas é √ √ √
12. No item a), seja o número de peixes da espécie e o número de peixes da espécie . Como o total de peixes é , . Como um peixe da espécie consome de ração por refeição e um peixe da espécie consome por refeição, e ao todo eles consomem por refeição, tem-se que . No item b), note que o volume mínimo do tanque é . Logo, se o comprimento e a largura medem , então 13. O volume de cada tora da espécie é:
. O volume de cada tora da espécie é:
. Não se esqueça de que a densidade é a razão entre a massa e o volume, logo a massa de cada tora é o produto entre o volume e a densidade. Assim, a massa total é
14. Note que a chuva cai sobre o telhado da casa, cuja área é de . Além disso, ao longo de um ano chove de chuva, o que equivale a . Além disso, desse volume equivale a . Assim, o volume da cisterna deve ser Como , o volume da cisterna é Como as suas dimensões são , tem-se:
15. Alguns cubos que possuem casca em apenas uma face estão ilustrados abaixo.
Os cubos ilustrados na figura acima são os da face da frente, da direita e de cima do paralelepípedo. No entanto, ainda há um número equivalente de cubos nas faces de trás, da esquerda e de baixo do paralelepípedo, então o número total de cubos é
( ) ( ) 16. O volume do cubo inicial é . Como a altura do novo sólido é , ele precisa de um comprimento para ter o mesmo volume do cubo inicial. Então a diferença entre as áreas totais é:
( )
17. Seja o lado da base. Como a base é um hexágono regular, a sua área vale:
√ √ √ √ Seja o volume do prisma e a sua altura. Logo . Então, tem-se: √
18. A alternativa correta é aquela em que o caminho que liga os pontos e possui comprimento mínimo (lembre-se que o caminho mínimo entre dois pontos é o do segmento que os une).
19. Como o volume da caixa é , tem-se:
Como as esferas tem um raio de , elas possuem um diâmetro de . Assim, em cada aresta da caixa podem ser encaixadas duas esferas:
20. Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa.
Seja uma das extremidades da torre. Então o ângulo é a inclinação da torre (que é )
No triângulo , tem-se: Como a base é um quadrado, a sua área é
21. No comprimento, é possível colocar caixas (com uma folga de ). Na largura, é possível colocar caixas (com uma folga de ). E na altura, é possível colocar caixas (com uma folga de ). Então em uma viagem de caminhão, é possível levar caixas.
22. Note que o sólido é um prisma triangular, cuja base é o triângulo e cuja altura é a aresta lateral O triângulo tem base e altura . Então a área da base do prisma é:
Como a altura é a aresta lateral ,
23. Note que o iceberg é um prisma cuja altura é e cuja base está ilustrada abaixo:
O trapézio tem base maior , e altura . Logo a sua área é:
( ) ( )
O retângulo tem base e altura . Logo a sua área é:
A área da base do prisma é:
O volume do prisma é:
Como do volume do bloco foi perdido, perdeu-se . Logo a quantidade de água obtida é
24. Sejam a aresta lateral inicial do prisma, a sua altura inicial, a sua área inicial da base e o seu volume inicial. Como o prisma é reto, a sua altura tem o mesmo comprimento que a sua aresta lateral. Assim, a razão entre a aresta da base e a altura é √ :
√
√
√ √ Como o prisma é regular e tem base hexagonal:
√
√ √
Sejam a aresta lateral final do prisma, a sua altura final, a sua área final da base e o seu volume final. Então e √
√ ( ) √ ( ) √ √ ( ) ( ) ( ) ( ) ou . Como ,
25. a) Quando o tanque estiver completamente cheio, o seu volume será o de um prisma de altura e cuja base é um triângulo retângulo de catetos e . Nessas condições, a área da base é
O volume do prisma é: Lembre-se que litros
b) A figura do problema é a seguinte:
Sejam e . Como é paralelo a , os triângulos e são semelhantes. Então, tem-se:
Se o nível da água é , o volume da água sera o de um prisma de altura e cuja base é o triângulo de catetos e . Nessas condições, a área da base é:
O volume do prisma é:
26. No item a), note que que , então a seção trapezoidal da estrada está representada na figura abaixo (com as medidas em metros):
Como as duas arestas laterais são iguais a , o trapézio é isósceles. Então, baixando as perpendiculares e , tem-se que:
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo :
Área da seção trapezoidal:
( ) ( )
O volume de brita gasto é equivalente ao volume de um prisma com área da base igual à área da seção e altura igual ao comprimento da estrada:
No item b), note que o volume da parte interna da caçamba é . Então, o
número de viagens necessárias é:
27. Usando Pitágoras no triângulo retângulo : ( ) √ Usando Pitágoras no triângulo retângulo :
√ Usando Pitágoras no triângulo retângulo :
( √ ) ( ) √ No triângulo , a figura é a seguinte:
√ √ . Então, tem-se:
( √ ) ( √ )
Logo, é um triângulo retângulo de hipotenusa Para encontrar a distância de a , deve-se traçar uma perpendicular a por . Se é o ponto em que essa perpendicular corta , a distância desejada é
No triângulo , sejam ̂ e ̂ . No triângulo , note que ̂ ̂ e ̂ . Então os triângulos e são semelhantes pelo caso A.A.
Semelhança entre os triângulos e : : é oposto aos lados (no ) e (no );
: é oposto aos lados √ (no ) e √ (no ). Então, tem-se:
√ √ √ √ √ √ √ √
GABARITO
1. B 2. D 3. B 4. D 5. C 6. D 7. A8. A capacidade máxima da caçamba é 9. C
10. C 11. B
12. a) peixes da espécie e da espécie b) As dimensões mínimas são 13. A 14. A profundidade é 15. A 16. A 17. C 18. E 19. B 20. E 21. C 22. C
23. A quantidade de água obtida é 23. B
25. a) Quando estiver completamente cheio, esse tanque comportará litros
b) ( )
26. a) O volume de brita que será gasto é b) Serão necessárias viagens de caminhão 27. E
