COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2012
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
PROFESSOR: WALTER TADEU DATA: ____________
NOTA:
NOME: GABARITO Nº: ______TURMA: _____
TRABALHO DE MATEMÁTICA I – 3 ª SÉRIE – MEIO AMBIENTE - INFORMÁTICA (Vale 1,5 pontos) 1
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Um conhecido jogo, presente em muitas festas populares, é a roleta da sorte, na qual se gira o ponteiro e anota-se o número que este aponta ao parar (ver figura). Após duas rodadas, qual a probabilidade de que a soma dos dois números obtidos seja igual a 5?Obs.: Considere que a área de todos os setores circulares em que os números estão inseridos é a mesma.
Solução. Há 9 números. Para que a soma seja 5 em duas rodadas, os resultados deverão ser: (3)(2) ou (2)(3). Calculando a probabilidade, temos:
9 2 81 18 81
9 81
9 9 .3 9 3 9 .3 9 ) 3 3 ).(
2 ( P ) 2 ( P ).
3 ( P ) 5 soma (
P .
2. Um dado, cujas faces estão numeradas de um a seis, é dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lançamento. Considere o experimento que consiste em três lançamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses três números seja:
a) par.
Solução. Para que o produto de três números seja par, é necessário que pelo menos um deles seja par. Nas faces dos dados há três números pares e três ímpares. Temos:
8 7 8 1 8 3 8 ) 3 par produto (P
8 .1 1 6 . 3 6 . 3 6 . 3
!3 ) !3 PPP (P
8 .3 1 6 . 3 6 . 3 6 . 3
!2 ) !3 PPI (P
8 .3 1 6 . 3 6 . 3 6 . 3
!2 )PII !3 (P
.
OBS: Poderíamos calcular pelo complementar. Produto ímpar:
8 . 1 6 1 .3 6 .3 6 .3
! 3
! ) 3 III (
P . Logo,
para que pelo menos um seja par, temos:
8 7 8 1 1 ) III ( P 1 ) Par . od (Pr
P .
b) múltiplo de 10.
Solução. Para que o produto seja múltiplo de 10, é necessário que pelo menos um dos números seja o 5 e os demais sejam pares. Logo os casos são: (5PP); (5PI); (55P). Note que o 2º caso está repetido no 3º caso se I = 5. Dessa forma o caso (5PI) só possui os ímpares diferentes de 5.
3 1 216
72 216
9 216
36 216 ) 27 M produto (P
216 .3 3 6 . 3 6 . 1 6 . 1
!2 )P !3 55 (P
216 .6 6 6 . 2 6 . 3 6 .!3 1 )PI 5(
P
216 .3 9 6 . 3 6 . 3 6 . 1
!2 ) !3 PP 5(
P
10
.
3. No jogo denominado “zerinho-ou-um”, cada uma das três pessoas indica ao mesmo tempo com a mão uma escolha de 0 (mão fechada) ou 1 (o indicador apontando), e ganha a pessoa que escolher a opção que diverge da maioria. Se as três pessoas escolherem a mesma opção, faz-se, então, uma nova tentativa. Qual a probabilidade de não haver um ganhador definido depois de três rodadas?
Solução. Para que não haja vencedor, as três opções deverão ser iguais. Cada jogador 1/2 de probabilidade para escolher seu número. Em cada rodada, temos (1/2).(1/2).(1/2) = 1/8 de saírem todos os três iguais. Logo P(000) + P(111) = 1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4. Como queremos que ocorra essa situação consecutivamente em três rodadas e cada rodada independe da outra, temos: (1/4).(1/4).(1/4) = 1/64.
4. O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se:
a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes?
Solução. Pelo princípio multiplicativo, temos: (9).(9).(8).(7).(6) = 27216 números.
b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente?
Solução. Como qualquer número pode ser escolhido, o zero não poderá fazer parte dessa escolha.
Logo, temos 9.8.7.6.5 = 15120 números. Só a uma forma de eles estarem em ordem crescente, logo dividimos pelo número de permutações entre eles. 5! = 120. Logo há 15120/120 = 126 números nessas condições. A probabilidade, então será:
216 1 21216
P 126 .
5. Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas?
Solução. As retiradas possuem a mesma probabilidade, pois há reposição. Temos:
9 2 27
6 3 .1 3 .1 3 .1 6 ) VAB ( P
! 3 diferentes cores
P
.
OBS: Pensando no complementar, temos: P(cores diferentes) = 1 – P(2 ou 3 cores iguais).
9 2 9
7 9 9 1 7 diferentes cores
P
9 7 27 21 27 12 27
9 27
3 27
3 27
3 27
3 3
.1 3 .1 3 1 3 .1 3 .1 3 1 3 .1 3 .1 3 1
) AAB (
!P 2
! ) 3 AAV (
!P 2
! ) 3 VVB (
!P 2
! ) 3 VVA (
!P 2
! ) 3 BBB ( P ) AAA ( P ) VVV ( P iguais cores P
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