Lista de exerc´ıcios 1: F´ısica Quˆantica

Lista de exerc´ıcios 1: F´ısica Quˆ antica

1. O que ´ e um corpo negro e quais s˜ ao as caracter´ısticas da radia¸ c˜ ao por ele emitida?

2. Qual a origem da cat´ astrofe do ultravioleta? Como este “efeito” est´ a relacionado ` a hip´ otese de Planck e ao surgimento da f´ısica quˆ antica?

3. A temperatura da superf´ıcie do sol ´ e de cerca de 5800 K. Se fizessemos a suposi¸ c˜ ao de que o sol ´ e um corpo negro radiador, qual seria o comprimento de onda do pico de seu espectro (isto ´ e, o comprimento de onda em que o Sol irradia mais intensamente)? Em que regi˜ ao do espectro vis´ıvel ele se situa? Por que ent˜ ao, o sol parece amarelado?

4. Um corpo negro foi aquecido de temperatura 100

C at´ e 400

C. Determine em quantas vezes mudou a potˆ encia total da radia¸c˜ ao emitida por este corpo.

5. Mostre que a lei de Stefan-Boltzmann e a lei de deslocamento de Wien podem ser extra´ıdas a partir da f´ ormula de Planck.

6. Mostre que a lei de Planck se reduz ` a lei de Rayleigh-Jeans para grandes comprimentos de onda.

7. A temperatura de um corpo negro diminui de 1000 K para 750 K. Determine como mudou o comprimento de onda que corresponde ao m´ aximo de emiss˜ ao do espectro de radia¸ c˜ ao deste corpo.

8. Em quantas vezes aumenta a potˆ encia total de radia¸ c˜ ao emitida pelo corpo negro se o m´ aximo de radia¸ c˜ ao desloca-se da regi˜ ao perto do vermelho λ = 0.70 µm do espectro para regi˜ ao perto do ultravioleta λ = 0.35 µm?

9. A medida do comprimento de onda para a qual a distribui¸ c˜ ao R(λ) ´ e m´ axima indica que a temperatura da superf´ıcie da estrela ´ e 3000 K. Se a potˆ encia irradiada pela estrela ´ e 100 vezes maior que a potˆ encia irradiada pelo Sol, qual seria o tamanho da estrela? Dado: temperatura da superf´ıcie do Sol = 5800 K. Dica: para um corpo negro R = P/A, onde R e a potˆ encia irradiada por unidade de ´ area, P a potˆ encia total irradiada e A a

´

area do corpo, e suponha que as estrelas s˜ ao corpos negros.

10. Quais caracter´ısticas experimentais do efeito fotoel´ etrico podem ser explicadas classicamente? Quais n˜ ao podem?

11. Quais foram os argumentos de Einstein para introduzir o conceito de f´ otons e como ele explicava as falhas na teoria cl´ assica?

12. (a) A energia necess´ aria para que um el´ etron seja removido do s´ odio ´ e de 2,3 eV. O s´ odio apresenta efeito fotoel´ etrico para a luz amarela, com λ = 589 nm? (b) Qual o comprimento de onda de corte para a emiss˜ ao fotoel´ etrica do s´ odio?

13. O comprimento de onda limite para o pot´ assio ´ e de 558 nm. Qual ´ e a fun¸ c˜ ao trabalho para o pot´ assio? Qual ´ e o potencial de freamento quando ´ e usada luz de comprimento de onda de 400 nm?

14. Incide-se sobre o pot´ assio luz de comprimento de onda igual a 400 nm e intensidade 10

W/m

. Estime o intervalo de tempo para a emiss˜ ao de el´ etrons esperado classicamente. Suponha que o raio m´ edio do pot´ assio seja da ordem de 10

m e utilize a fun¸ c˜ ao trabalho obtida na quest˜ ao anterior.

15. O molibdˆ enio met´ alico tem de absorver radia¸ c˜ ao com a frequˆ encia m´ınima de 1.09 × 10

s

antes que ele emita um el´ etron de sua superf´ıcie via efeito fotoel´ etrico. (a) Qual ´ e a energia m´ınima necess´ aria para produzir esse efeito? (b) Qual comprimento de onda de radia¸ c˜ ao fornecer´ a um f´ oton com essa energia? (c) Se o molibdˆ enio ´ e irradiado com luz com comprimento de onda de 120 nm, qual ´ e a poss´ıvel energia cin´ etica m´ axima dos el´ etrons emitidos?

16. Numa experiˆ encia fotoel´ etrica na qual se usa luz monocrom´ atica e um foto-catodo de s´ odio, encontramos um

potencial de corte de 1,85 V para λ = 300 nm e de 0,82 V para λ = 400 nm. Destes dados, determine (a) o

valor da constante de Planck, (b) a fun¸ c˜ ao trabalho do s´ odio em eV, e (c) o comprimento de onda limite para

o s´ odio.

2 17. Os comprimentos de onda da luz vis´ıvel v˜ ao de 380 nm a 750 nm, aproximadamente. (a) Qual o intervalo de energias, em eVs, dos f´ otons de luz vis´ıvel? (b) Em condi¸ c˜ oes normais, o olho humano ´ e capaz de perceber um clar˜ ao se aproximadamente 50 f´ otons chegarem a c´ ornea. Qual a energia associada a esses 50 f´ otons se o comprimento de onda for 550 nm?

18. Os aparelhos de raio X utilizados pelos dentistas funcionam com uma tens˜ ao da ordem de 90 kV para acelera¸ c˜ ao dos el´ etrons emitidos por um c´ atodo. Suponha que os el´ etrons s˜ ao emitidos com energia cin´ etica inicial des- prez´ıvel. Determine o comprimento de onda m´ınimo dos raios X produzidos por esses aparelhos. Justifique sua resposta explicando como se d´ a a produ¸ c˜ ao de raios X.

19. Calcule o valor de ∆λ para um f´ oton espalhado a um ˆ angulo de 60

(a) por um pr´ oton livre; (b) por um el´ etron livre; (c) por uma mol´ ecula de N

presente no ar.

20. O comprimento de onda de uma certa linha da s´ erie de Balmer ´ e 379.1 nm. A que transi¸ c˜ ao corresponde essa linha?

21. Um astrˆ onomo descobre uma nova linha de absor¸ c˜ ao com λ = 164.1 nm na regi˜ ao ultravioleta do espectro espectro cont´ınuo do Sol. Ele atribui a linha ` a s´ erie de Lyman do hidrogˆ enio. A hip´ otese esta correta? Justifique sua resposta.

22. Em uma amostra que poderia conter hidrogˆ enio, entre outros elementos, quatro linhas espectrais s˜ ao observadas no infravermelho com comprimentos de onda de 7460 nm, 4654 nm, 4103 nm e 3741 nm. Para se descobrir se h´ a hidrogˆ enio e etc na amostra pode-se comparar essas linhas com a dos espectros caracter´ısticos dos elementos.

Quais dessas linhas pertencem ao espectro caracter´ıstico do hidrogˆ enio?

23. O m´ uon ´ e uma part´ıcula idˆ entica a o el´ etron exceto pela massa, que ´ e de 105.7 MeV/c

(cerca de 207 vezes a massa do el´ etron). Um m´ uon pode ser capturado por um pr´ oton formando um ´ atomo muˆ onico. Calcule, para este ´ atomo: a) O raio da primeira orbita de Bohr. b) A energia do estado fundamental. c) O comprimento de onda mais curto e o mais longo para a s´ erie de Balmer.

24. (a) Calcule os trˆ es comprimentos de onda mais longos (em ˚ A) da s´ erie de Lyman e indique sua posi¸ c˜ ao em uma escala linear horizontal. Indique tamb´ em o limite da s´ erie (comprimento de onda mais curto) nessa escala.

Algumas dessas linhas est´ a no vis´ıvel? (b) Repita o este mesmo procedimento para as s´ erie de Pashen e Brackett.

c) Calcule a frequˆ encia, comprimento de onda e o n´ umero de onda da raia H

, que correspondem a transi¸ c˜ oes de n = 4 para n = 2, da s´ erie de Balmer.

25. (a) Calcule a energia de um el´ etron na ´ orbita n = 1 do tungstˆ enio, tomando Z − 1 como carga efetiva do n´ ucleo.

(b) O valor experimental dessa energia ´ e 69.5 keV. Suponha que a carga nuclear efetiva ´ e (Z − σ), onde σ ´ e a chamada constante de blindagem, e calcule o valor de σ a partir do resultado experimental.

26. Enuncie e discuta as consequˆ encias do princ´ıpio da correspondˆ encia.

27. Calcule o raio da ´ orbita de Bohr no hidrogˆ enio para n = 100. Use o princ´ıpio de correspondˆ encia para calcular os comprimentos de onda da radia¸ c˜ ao emitida por el´ etrons que decaem para este n´ıvel a partir dos n´ıveis n = 101 a 103.

28. Em uma mistura de hidrogˆ enio ordin´ ario e tr´ıtio (is´ otopo que tem um n´ ucleo com massa aproximadamente trˆ es vezes maior que H), que separa¸ c˜ ao ter˜ ao os comprimentos de onda da linhas H

, que correspondem a transi¸ c˜ oes de n = 3 para n = 2, do dois tipos de hidrogˆ enio?

29. Discuta a dualidade onda part´ıcula dos el´ etrons.

30. Qual o comprimento de onda de de Broglie para uma bola de futebol de massa m = 0.5 kg se movimentando com uma velocidade de 5 m/s? E para um el´ etron com energia cin´ etica de 100 eV? E para um objeto muito pequeno, por´ em macrosc´ opico de massa 10

g (a massa do el´ etron ´ e de 9 × 10

g!) que se move com a velocidade da luz? Baseado nestes resultados, porque n˜ ao observamos efeitos de difra¸ c˜ ao e interferˆ encia para tais objetos utilizando fendas?

31. Num aparelho de televis˜ ao os el´ etrons s˜ ao acelerados por um potencial de 23 kV. Qual ´ e o comprimento de onda dos el´ etrons?

32. Para uma part´ıcula cuja energia cin´ etica ´ e muito maior do que sua energia de repouso, vale a aproxima¸ c˜ ao

E = pc. Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um el´ etron de 100 MeV de energia usando essa

aproxima¸ c˜ ao.