LISTA DE M´ ETODOS ESTAT´ ISTICOS Regress˜ ao Linear M´ ultipla

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LISTA DE M´ ETODOS ESTAT´ ISTICOS Regress˜ ao Linear M´ ultipla

Profa. Anna Regina Corbo

Utilize o computador para c´ alculos, se necess´ ario.

1. Um estudo foi feito para investigar a resistˆ encia ao cisalhamento do solo (y) quando relacionado ` a profundidade em p´ e (x

) e ao conte´ udo de umidade (x

). Dez observa¸c˜ oes foram coletadas e as seguintes quantidades foram obtidas: n = 10, P

x

= 223, P x

= 553, P

y

= 1.916, P

x

= 5.200, 9, P

x

= 31.729, P

x

x

= 12.352, P x

y

= 43.550, 8, P

x

y

= 104.736, 8 e P

y

= 371.595, 6.

a) Estabele¸ca as equa¸c˜ oes normais de m´ınimos quadrados para o modelo Y = β

+ β

x

+ β

x

+ ε.

b) Estime os parˆ ametros do modelo do item (a).

c) Qual ´ e a resistˆ encia prevista quando x

= 18 p´ es e x

= 43% ?

2. Um engenheiro qu´ımico est´ a investigando como a quantidade de convers˜ ao de um produto proveniente de uma mat´ eria-prima (y) depende da temperatura de rea¸c˜ ao (x

) e do tempo de rea¸c˜ ao (x

). Ele desenvolveu os seguintes modelos de regress˜ ao:

1. ˆ y = 100 + 2x

+ 4x

2. ˆ y = 95 + 1, 5x

+ 3x

+ 2x

x

Ambos os modelos foram constru´ıdos para a faixa 0, 5 6 x

6 10.

a) Qual ´ e o valor previsto da convers˜ ao quando x

= 2? Repita esse c´ alculo para x

= 8. Desenhe um gr´ afico dos valores previstos para ambos os modelos de convers˜ ao.

b) Encontre a varia¸c˜ ao esperada na convers˜ ao m´ edia para uma varia¸c˜ ao unit´ aria na temperatura x

para o modelo 1, quando x

= 5. Essa quantidade depende do valor espec´ıfico de tempo selecionado de rea¸c˜ ao? Por quˆ e?

c) Encontre a varia¸c˜ ao esperada na convers˜ ao m´ edia para uma varia¸c˜ ao unit´ aria na temperatura x

para o modelo 2, quando x

= 5. Repita esse c´ alculo para x

= 2 e x

= 8. Essa quantidade depende do valor selecionado para x

? Por quˆ e?

3. Um estudo foi realizado sobre o desgaste de uma embarca¸c˜ ao, y, e sua rela¸c˜ ao com x

= viscosidade do ´ oleo e x

= carga. Os seguintes dados foram obtidos:

y x

x

193 1,6 851 230 15,5 816 172 22,0 1.058

91 43,0 1.201 113 33,0 1.357 125 40,0 1.115

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a) Ajuste um modelo de regress˜ ao linear m´ ultipla a esses dados.

b) Use o modelo para prever o desgaste, quando x

= 25 e x

= 1.000.

c) Ajuste a esses dados um modelo de regress˜ ao linear m´ ultipla com algum termo de intera¸c˜ ao n˜ ao-quadr´ atico.

d) Use o modelo do item (c) para prever o desgaste quando x

= 25 e x

= 1.000.

Compare essa previs˜ ao de valor com o previsto no item (b).

4. Uma empresa opera est´ udios fotogr´ aficos para crian¸cas em 12 cidades. A empresa deseja expandir seus est´ udios para outras cidades semelhantes e deseja investigar se as vendas (Y) podem ser estimadas atrav´ es do n´ umero de pessoas com 16 anos ou menos (x

) e a renda per capita na cidade (x

). Os resultados foram:

Observa¸c˜ ao No. de crian¸cas Renda per capita Vendas

1 68.000 17.000 174.000

2 45.000 16.000 164.000

3 91.000 18.000 244.000

4 48.000 16.000 154.000

5 47.000 17.000 182.000

6 66.000 18.000 208.000

7 50.000 17.000 163.000

8 52.000 17.000 145.000

9 49.000 17.000 145.000

10 38.000 16.000 137.000

11 88.000 18.000 242.000

12 73.000 17.000 191.000

a) Ajuste um modelo de regress˜ ao linear m´ ultipla a esses dados.

b) Fa¸ca um gr´ afico de dispers˜ ao entre vendas e n´ umero de crian¸cas e outro para vendas e renda per capita. Algum termo parece ter uma rela¸c˜ ao n˜ ao-linear? Caso positivo, reescreva o modelo de regress˜ ao linear m´ ultipla, considerando esta rela¸c˜ ao n˜ ao linear (modelo quadr´ atico).

5. Um artigo cient´ıfico reportou os seguintes dados sobre y = tens˜ ao cisalhante m´ axima (psi) de uma borracha e x = temperatura de cura (

F ).

y 770 800 840 810 735 640 590 560 x 280 284 292 295 298 305 308 315 a) Ajuste um polinˆ onio de segundo grau a esses dados.

b) Teste a significˆ ancia da regress˜ ao, usando α = 0, 01.

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6. Considere os seguintes dados, que resultam de um experimento para determinar o efeito de x = tempo de teste, em horas, em uma temperatura particular, sobre y = mudan¸ca na viscosidade do ´ oleo.

y -1,42 -1,39 -1,55 -1,89 -2,43 -3,15 -4,05 -5,15 -6,43 -7,89 x 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 a) Ajuste um polinˆ onio de segundo grau a esses dados.

b) Teste a significˆ ancia da regress˜ ao, usando α = 0, 05.

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