Plano de Aula. (Volume)

Plano de Aula

(Volume)

 Objetivos

 Construir o conceito de volume utilizando o material dourado;

 Utilizar corretamente instrumentos de medição e desenho;

 Calcular o volume de alguns sólidos;

 Ampliar e construir noções de medida, pelo estudo de diferentes grandezas.

 Conteúdos

 Volume (prismas, pirâmides e sólidos de resolução)

 Tempo estimado:

 Duas horas.

 Material necessário

 Sólidos de vidro, balde, funil, vasilhas graduadas, água, régua, calculadora, lápis, borracha, apagador, pincel, lousa e papel ofício.

 Metodologia 1ª etapa

É proposta a apresentação de figuras espaciais já conhecidas pelos alunos estimulando a procurar seus respectivos volumes.

2ª etapa

Em seguida questionaremos: O que é volume?

As partir dos discursos a respeito da questão anterior, partiremos para a construção do conceito, onde dividiremos a turma em dois grupos, onde cada um receberá uma pequena caixa e uma quantidade de cubinhos do material dourado, explanando que cada cubinho representa uma unidade de volume de dimensões 1x1x1 u.m.. Solicitaremos aos grupos a colocarem o maior número possível de cubinhos do material dourado dentro das caixas. Espera-se que intuitivamente os alunos percebam

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que a quantidade de cubinhos contidas exatamente na caixa equivale ao volume deste objeto.

Por fim definiremos volume como sendo: “Tamanho ou dimensão de um corpo ou de uma proporção de espaço.” (CALDAS, 2004)

OBS: Após a definição do cálculo do volume do Cubo e do Paralelepípedo estimularemos os alunos a calcular o volume dessa caixa sem usar o material concreto.

3ª etapa

Definição de alguns sólidos e seus respectivos volumes:

Figura Definição Volume

Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. Trata- se, então, de um prisma quadrangular regular em que a altura é igual à medida da aresta da base, ou seja, todas as arestas do cubo têm a mesma medida l.

Dado um cubo de aresta l, seu volume é dado por:

V = l ³

Denominamos paralelepípedo a todo prisma cujas bases são paralelogramos. Em particular, um prisma reto cujas bases são retângulos é denominado paralelepípedo retângulo.

Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, seu volume é dado por:

V = a ^x b ^x c

Onde a área da base é A _b = a ^x b e a altura é

h = c ^{, temos:}

V = A _b ^x h

Denominamos pirâmide a todo poliedro convexo em que há uma face (chamada base) num plano e apenas um vértice (chamado vértice da pirâmide) fora desse plano. As demais faces da pirâmide são os triângulos determinados, cada um deles, por um lado da base e o vértice da pirâmide, chamadas faces laterais.

O volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura.

Logo, se a área da base da pirâmide é A

e a altura é h , o volume, é dado por:

V = A _b ^x h

Cilindro de resolução ou cilindro regular reto é o sólido obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um eixo que contem um de seus lados.

Consideremos um cilindro e um prisma de bases

equivalentes contidas no mesmo plano. Portanto, o

cilindro e o prisma têm aturas iguais e base de

mesma área. Pelo Princípio de Cavalieri*,

concluímos então que o cilindro e o prisma têm

volumes iguais. Dessa forma, o volume do cilindro

é dado pela formula do volume do prisma.

V = A _b ^x h

Se a base do cilindro tem raio r, A

= πr

então o volume é dado por:

V = πr ^{2 x} h

Cone de resolução ou cone circular reto é o sólido obtido pela rotação completa de um triangulo em torno de um eixo que contém um dos catetos.

Considerando um cone e uma pirâmide de bases equivalentes contidas num mesmo plano, alturas iguais, ambos os sólidos num mesmo semi-espaço determinado pelo plano das bases. Pelo Princípio de Cavalieri segue que os sólidos têm volumes iguais. Dessa forma, o volume do cone é dado pela mesma formula do volume da pirâmide:

V = A _b ^x h

Como no cone A _b = πr ^{2 , temos:}

V = πr ^{2 x} h

Esfera é o sólido obtido pela rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

O volume da esfera de raio r, usando o Princípio de Cavalieri, é equivalente ao sólido que se obtém excluindo dois cones de um cilindro eqüilátero cuja base tem raio r. Assim, o volume da esfera será igual à diferença entre o volume do cilindro e o volume ocupado pelos dois cones.

V

= πr

^x 2r V

= πr

^x r

V

= V

- 2V

V

= (πr

^x 2r )-2 ( πr

^x r)

V Esfera = πr ³

Dados da tabela: (MACHADO, 1994)

*O Princípio de Cavalieri: “Dois sólidos que têm bases num mesmo plano α e tais que

todo plano paralelo a α determina neles secções de mesma área são sólidos de volumes

iguais.” (MACHADO, 1994)

4ª etapa

Calcular o volume de alguns desses sólidos de vidro, posteriormente verificar os valores encontrados usando água para encher os sólidos calculados. Assim os alunos perceberão a aplicabilidade da fórmula matemática.

5ª etapa

Mostrar a equivalência entre as unidades de medida.

Capacidade Indicação Volume ocupado

1 litro 1L 1 dm

1 mililitro 1mL 1 cm

1000 litros 1000L 1 m

6ª etapa

Resolução de atividades envolvendo volume, no livro do ensino médio V. 3 de Dante. ( Ver Anexo)

 Avaliação

Através das atividades desenvolvidas poderemos avaliar a capacidade dos alunos em:

 Calcular o volume utilizando a definição e os materiais manipuláveis;

 Referências

CALDAS, Aulete. Minidicionário contemporâneo da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2004.

CAVALCANTE, Carolina Cirilo Avelino. I Formação Continuada de Matemática Gestar II – Gestão da Aprendizagem Escolar. Disponível em:

<cenfopgestaripatinga.files.wordpress.com/2011/06/denizete.doc>. Acessado em: 01 de setembro de 2011.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Vol. 3, 1. Ed. São Paulo: Ática, 2004.

MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. Vol. 3, São

Paulo: Atual, 1994.

Anexo

Questão 01. (FUVEST 2009) Os papiros mostram que os egípcios antigos possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do volume do prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia, Quéops, construída por volta de 2560 a.C., tem uma altura aproximada de 140 metros e sua base é um quadrado com lados medindo aproximadamente 230 metros. Logo, o volume da pirâmide de Quéops é de aproximadamente (em milhões de metros cúbicos):

a) 1,2 b) 2,5 X c) 5 d) 7,5 e) 15

Questão 02. (UFMG 2008) Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade. Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários:

a) 40 min b) 120 min c) 240 min d) 400 min X e) 480 min

Questão 03. Determine o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm.

Solução: V = A

. h

V = 24 . 12 V = 288 cm

A

= 6 × 8 / 2 = 24 cm