Reforço Engenharia 1
Circuitos – Método de Kirchhoff e Ponte de Wheatstone
Resumo
Circuitos de malha simples
Nos módulos anteriores, estudamos os conceitos dos diversos elementos que compõem um circuito elétrico fechado. Estudamos o conceito de corrente elétrica e diferença de potencial, além dos conceitos de resistores, geradores e receptores, bem como as formas de associação desses dispositivos num circuito. Estes conceitos viabilizam o estudo de circuitos, em malhas simples e posteriormente em múltiplas malhas.
A Figura 1 mostra o esquema de um circuito composto por uma bateria, que atua como gerador do circuito, uma resistência externa R, que pode ser por exemplo uma lâmpada, e um motor que converte a energia elétrica em trabalho mecânico, ou seja, atua como um receptor no circuito elétrico.
A Figura 1 também mostra o esquema do circuito, com os símbolos padrões para cada dispositivo.
Estes estão representados de forma ampliada na Figura 2.
Figura 1: Circuito de malha simples, composto por gerador, resistência e um receptor
Figura 2: Esquema para o circuito de malha simples, composto por gerador, resistência e um receptor
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A análise da Figura 2 mostra o circuito mais simplificado possível, com a presença de todos os elementos vistos até então: resistores, geradores e receptores. O circuito é dito de malha simples devido ao fato de que uma única corrente percorre todos os dispositivos, uma vez que estes estão dispostos em série.
O gerador é responsável por fornecer uma diferença de potencial para o circuito, que será dividida pelos elementos do circuito, no caso a resistência elétrica e o receptor. Podemos dizer então que:
(1)
Em que é a diferença de potencial líquida fornecida pelo gerador, descontando o potencial consumido pela resistência interna . Assim, . é a resistência externa do circuito, dada pela primeira lei de Ohm como e finalmente é a diferença de potencial consumida pelo receptor, dada por . Então a equação (1) fica
(2)
Isolando a equação para a corrente :
(3)
Ou seja, o valor da corrente é dado pela razão entre a diferença da força eletromotriz do gerador e a força contra eletromotriz do receptor e a soma das resistências interna e externa. Podemos generalizar a equação (3), para um circuito com n resistores, n geradores e n receptores, obtendo a expressão:
(4)
A equação (4) é conhecida como Lei de pouillet, aplicável à circuitos de malhas simples.
As Leis de Kirchhoff
As leis de Kirchhoff constituem um dos métodos para trabalhar com circuitos mais complexos, que contém mais de uma malha. O método é baseado em duas leis, dadas a seguir:
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1º Lei ou Lei dos nós:
Aborda o princípio da conservação da carga. O nó, dado pelo encontro de duas ou mais correntes, é simplesmente um divisor de carga. Não há criação ou destruição da carga elétrica que passa por um nó. Por conservação, o somatório de cargas que entra no nó é igual ao somatório das cargas que saem. Observe a Figura 3:
Figura 3: Representação de um nó com 4 correntes, duas entrando e duas saindo
Temos quatro correntes, com as correntes 1 e 3 saindo do nó enquanto que as correntes 2 e 4 entram no nó. Aplicando a lei dos nós, temos que
(5)
2º Lei ou Lei das Malhas:
O objetivo primordial da lei das malhas é calcular a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer em um circuito. O exemplo de circuito dado na aula é mostrado na Figura 4.
Figura 4: Exemplo de aplicação da lei das malhas, para um circuito com dois nós, e cálculo do potencial entre A e B
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O objetivo é calcular a diferença de potencial entre os pontos A e B marcados na Figura, dado por . Os seguintes passos são dados:
1. O sentido das correntes nos segmentos do circuito é obtido através da lei dos nós. Assim, em ambos os nós presentes na Figura, entram e saem a mesma quantidade de carga.
2. Com o sentido e valor das correntes definidos em cada segmento o sinal de entrada e saída de cada dispositivo no circuito é marcado. A passagem de corrente elétrica pelos resistores imprime uma queda no potencial. Por isso, a entrada de todos os resistores do problema( por onde a corrente passa primeiro) é marcada por um sinal positivo, enquanto que a saída de todos os resistores têm sinal negativo. Para os demais, o traço maior indica um sinal positivo, enquanto que o traço menor indica um sinal negativo. Na figura, o dispositivo com diferença de potencial de 5V atua como um gerador, uma vez que sua entrada tem um potencial negativo e a saída um positivo, o que reflete que o dispositivo fornece potencial ao circuito. Para o dispositivo de 10V ocorre o contrário, com entrada positiva e saída negativa, o que reflete a sua atuação como receptor, diminuindo o potencial do circuito.
3. Com as correntes definidas e entradas e saídas marcadas, basta percorrer o caminho de A até B e somar os potenciais em cada dispositivo. Uma entrada positiva indica uma soma de potencial, enquanto que uma entrada com sinal positivo indica uma subtração.O potencial obtido para geradores e receptores é obtido diretamente pela sua diferença de potencial indicada na Figura. Para os resistores, é calculada com a primeira lei de Ohm. Temos então para o potencial
Este procedimento caracteriza-se por ser uma poderosa ferramenta para análise de circuitos de múltiplas malhas.
Reforço Engenharia 5 Circuitos de Múltiplas Malhas
Na vídeo-aula, temos um circuito de múltiplas malhas usado para exemplificação do uso das leis de Kirchhoff na determinação das correntes. Observamos que o circuito possui dois nós, que marcam a direção de 3 correntes diferentes. Definiremos de maneira arbitrária o sentido destas correntes, marcados em rosa na Figura 5.
Figura 5: Determinação aleatória para o sentido das correntes no circuito, respeitando a lei dos nós
Necessitamos relacionar as correntes por meio de equações, que serão obtidas aplicando os conceitos vistos nas leis de Kirchhoff. Primeiramente, podemos relacionar as correntes através da lei dos nós. Para qualquer um dos nós do circuitos, denominados A e B na FIgura 6, aplicando a leis dos nós obteremos:
(6)
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Figura 6: Aplicação da lei das malhas ao circuito.
Partimos agora para uma análise utilizando a lei das malhas. Percorrendo o caminho da malha menor do lado esquerdo, pela qual circulam as correntes e , podemos imaginar uma volta completa por esse caminho fechado. Supondo que partimos do ponto A percorrendo todo o caminho e os dispositivos nesse caminho, retornando ao mesmo ponto A, a diferença de potencial necessariamente deve ser nula. Assim, temos
(7)
Da mesma forma, analisando agora a malha maior no sentido horário indicada com as setas rosas externas na Figura 6, temos:
(8)
As equações (6), (7) e (8) formam um sistema com 3 incógnitas e 3 equações. Sua solução leva aos seguintes valores aproximados para as correntes:
Reforço Engenharia 7
O resultado para as correntes mostra valores positivos para as correntes 1 e 3 e negativo para a corrente 2. O significado é que os para as correntes cujo valor encontrado foi positivo, o sentido atribuído de maneira aleatória foi o correto, enquanto que para a corrente 2, o sentido deve ser o contrário. Dessa forma, a corrente 2 possui direção vertical com o módulo encontrado e sentido de B para A, contrário ao que foi estipulado anteriormente. Assim, temos uma regra geral:
● i > 0 : Sentido atribuído é o sentido real da corrente.
● i < 0: Sentido atribuído foi o contrário do sentido real da corrente.
Amperímetro e Voltímetro
Amperímetro
Dispositivo utilizado para medir a corrente que passa por uma malha do circuito. Deve ter resistência muito menor que as demais resistências do circuito. Deve ser conectado em série. Seu símbolo em circuitos é mostrado na Figura 7. Um amperímetro é dito ideal, quando sua resistência interna é nula.
Figura 7: Simbologia para um amperímetro
Voltímetro
Dispositivo utilizado para medir a diferença de potencial entre os dois pontos do circuito. Deve ter resistência muito maior que as demais resistências. Deve ser ligado em paralelo. Seu símbolo em circuitos é mostrado na Figura 8. Um voltímetro dito ideal seria aquele que possui resistência interna infinita.
Figura 8: Simbologia para um voltímetro
Reforço Engenharia 8 Ponte de Wheatstone
Ponte de Wheatstone é um circuito elétrico muito útil para a realização de medidas precisas de resistência elétrica. Esse circuito é formado por quatro resistores e um galvanômetro, sendo dois desses resistores conhecidos ou predeterminados, um deles de resistência variável e, por último, um de resistência desconhecida. O circuito da Ponte de Wheatstone está esquematizado na Figura 9.
Figura 9: Ponte de Wheatstone
A aplicação desse circuito no intuito de determinar a resistência desconhecida consiste em ajustar a resistência variável (denominada reostato ou potenciômetro) de modo que a corrente medida no galvanômetro que liga os pontos C e D seja nula ( ) o que implica que a diferença de potencial entre esses pontos é nula, . Sob esta condição, diz-se que a ponte está equilibrada.
Pela lei das malhas, analisando as malhas dos caminhos ACD e BCD temos que:
(9) (10)
Reforço Engenharia 9
Dividindo (9) por (10) obtemos:
Uma vez que e são fixas e conhecidas, e também conhecida, ajustada para obter o estado de equilíbrio da ponte, é possível assim obter de forma precisa o valor da resistência .
Associação de Geradores
Como visto nos módulos anteriores,, gerador é o nome dado a um dispositivo eletrônico que é usado para conversão de qualquer forma de energia, como por exemplo a energia mecânica ou química, em energia elétrica. Como exemplos de geradores, podemos citar as pilhas e as baterias. A associação dos geradores é usada para obtenção das diferenças de potencial que não pode ser fornecida por apenas um gerador.
Associação de geradores em série
Nesse tipo de associação, o gerador equivalente é a soma das forças eletromotrizes de cada gerador, e é dado por:
A corrente é a mesma que percorre cada gerador. A resistência equivalente é dada por
Associação de geradores em paralelo
Reforço Engenharia 10
A força eletromotriz dos geradores é equivalente à força eletromotriz equivalente, conforme demonstrado abaixo.
A corrente equivalente é dada por:
Com a resistência equivalente dada por meio da expressão da primeira lei de Ohm:
