Propriedades estruturais de sistemas multivariáveis

Propriedades estruturais de sistemas multivariáveis Profa. Vilma A. Oliveira

USP São Carlos Março 2009 Índice

1. Introdução...2

2. Descrição de sistemas dinâmicos lineares...2

3. Estabilidade...3

3.1 BIBO estabilidade...3

UCaso Multivariável...4

3.2 Estabilidade de polinômios: o teorema de Hermite Biehler...5

3.3 Estabilidade nos modelos espaço de estado...5

UResposta ao estado-zero...6

UResposta a entrada nula...6

3.4 Estabilidade local para sistemas lineares ou não...6

UEstabilidade uniforme...7

UEstabilidade assintótica uniforme...8

3.5 Estabilidade de sistemas lineares...8

UCaso invariante no tempo...8

4. Observabilidade, detectabilidade, controlabilidade e estabilizabilidade...9

4.1 Observabilidade...9

USistemas variantes no tempo...9

USistemas invariantes no tempo...10

4.2. Detectabilidade...10

4.3 Controlabilidade...11

Sistemas variantes no tempo...11

USistemas invariantes no tempo...12

4.4 Estabilizabilidade...13

4.5 Controlabilidade e observabilidade para sistemas lineares invariantes e discretos no tempo...15

U55Controlabilidade...15

UObservabilidade...16

5. Equação de Lyapunov...16

6. Formas canônicas...19

6.1 Decomposição de Kalman...19

6.2 Forma de Jordan...21

7 Polos e zeros...23

7.1 Polos e zeros de transmissão...24

UCaracterização no domínio do tempo de pólos e zeros de transmissão...25

7.2 Zeros invariantes...26

UCaracterização no domínio do tempo de zeros invariantes...27

7.3 Zeros de desacoplamento...28

Zeros e polos no infinito...28

Conjunto de zeros do sistema (A,B,C,D) não quadrado...28

1. Introdução

Durante as últimas duas décadas a estrutura de sistemas lineares tem sido exaustivamente estudada por diversos autores em diferentes contextos. Destacam-se as contribuições de Wolovich (1967), Kailath (1980), Wonham (1985) e Rosenbrock (1970). A estrutura de polos e zeros do sistema e propriedades de controlabilidade, estabilizabilidade, observabilidade, detectabilidade desempenham um papel importante no projeto de sistemas de controle. As estruturas de zeros finitos e infinitos das funções de transferência do sistema dado e da malha objetivo têm um papel preponderante na análise e procedimento de recuperação de funções de transferência do sistema. Na verdade, o tema recuperação de funções de transferência de malha pode ser visto como o estudo de atribuição de uma estrutura de zeros a um sistema a malha fechada dentro das condições impostas pelas estruturas dos zeros da planta e da malha objetivo. As representações de sistemas relacionadas com as propriedades de sistemas utilizam a decomposição de Kalman e uma base de coordenada especial de Saberi.

Referências utilizadas:

Colaneri, P., Geromel, J. C. & Locatelli, A. (1997). A Control Theory and Design - An RH^B2^B e RH^B^B Viewpoint.

Academic Press, London.

Zhou, Kemin, J. C. Doyle & K. Glover (1996). Robust and Optimal Control. Prentice Hall, Upper Saddle River.

Morris, Kirsten (2002). Introduction to Feedback Control, Academic Press.

Antsaklis & Michel (2007). A Linear System Primer, Birkhauser.

2. Descrição de sistemas dinâmicos lineares Considere a representação de sistemas na forma espaço de estado

Du Cx y

Bu Ax x







 ,

 (1)

onde uR^mé a entrada, yR^p, a saída, xRⁿo estado, A, B, C e D matrizes nxn, nxm, pxn e pxm.

Um sistema com uma entrada (m=1) e uma saída (p=1) é chamado sistema SISO das iniciais de single input and single output, se não for o caso o sistema é chamado MIMO das iniciais de multiple input and multiple output). A correspondente matriz de transferência entre y e u é definida por:

) ( ) ( )

(s G s U s

Y  (2)

onde

D B A sI C s

G( ) (  )^1 

Supõe-se que G(s) tem posto completo e Posto(G(s)=min(p,m):=r.

A seguinte notação é usada:

D B A sI D C

C B

A    



 



 _1

) (

: (3)

) , , ,

(A B C D denota o sistema dinâmico linear na forma espaço de estado.

O modelo espaço de estado ^(A,B,C,D) tal que G(s)C(sIA)^1BD é denominado uma realização espaço de estado de G(s).

3. Estabilidade

3.1 BIBO estabilidade

Definição 3.1: Um sistema linear relaxado é dito ser BIBO estável se e só se para qualquer entrada limitada a saída for limitada.

Caso continuo

Teorema 3.1: Um sistema monovariável relaxado descrito por





 ^t g t u d t

y( ) ( ,) ()  (4)

é BIBO estável se e só se existir um finito k tal que



^t g(t,)d k t(,) (5)

Teorema 3.2: (Chen, 1999) Considere um sistema monovariável relaxado





 u d t

g t

y( ) ^t ( , ) ( )



0

 (6)

Se



^t g(t,)dt k  para algum k então tem-se:

1. Se u for uma função periódica com período T; u(t)u(tT) para todo t 0 então a saída y(t) tende a uma função periódica com o mesmo período T.

2. Se u(t) for limitada e tender para uma constante então a saída tende para uma constante.

3.Se u for de energia finita:





 



 







^{ 2 1}

2 1

0 u(t) dt k (7)

então a saída é também de energia finita, existe k^B2^B dependente de k^B1^B tal que





 



 







^{ 2 2}

2 1

0 y(t) dt k (8)

Observação: A saída apresenta as mesmas propriedades da entrada em um sistema BIBO estável.

Corolário 3.1: (Resposta em freqüência). Seja o sistema invariante no tempo





 u d t

g t

y ( )  

₀^t

( , ) ( )

⁽⁹⁾

se _^t_ g(t,)d k para algum k e se u(t)sent, t0 _então











 g j t t

t

y( ) ( )sen( ) (10)

onde



 

 ^

(j Re

g(j tan ¹ Im

g

Verificação:

Lembrando que sen(t)sentcos cos t sen tem-se:

























d - t sen g d

sen g t d

g t sen

d t u g t

y

t t

) )

( )

( cos

cos ) (

) ( ) ( )

(

0 0

0











































Uma vez que





t^g()sen^(t^)d ^ t^ g()sen^(t^)d ^ t^ g()d e g é integrável), ou seja



t^{ g}()^d 0^t, tem-se:

) ( (Im cos

( (Re )

(t  sent g j t g j

y

com g(j)a transformada de Fourier de g(t). Agora, usando a identidade de Euler para sen e cos, i.e.

)

21 ( j t j t

j e e

t

sen



 ^  ^{ } ,

cos  t 

₂¹

( e

^jt

 e

^jt

)

, tem-se que

] ) ( )

( [ )

(t ₂¹_j g j e^{j t} g j e ^{j t}

y   ^    ^{ } . Finalmente, usando a notação fasorial para g(j), i.e.,

 g j e^j

j

g( ) (  e g(j) g^*(j) g(je^j, pode-se escrever

sin(

( )

(    



 g j t

t

y t com 

 

 Reg j

j g

( (

tan^-1 Im .

Teorema 3.3: Um sistema monovariável e relaxado descrito por g(s) é BIBO estável se e só se todos os polos de g(s) estiverem no semiplano lateral esquerdo do plano s ou, equivalentemente, se todos os polos de g(s) tiverem a parte real negativa.

UCaso Multivariável

Definagij como a resposta impulsional entre a j-ésima entrada e i-ésima saída.

Teorema 3.4: Um sistema relaxado





 u d t

G t

y( )



^t ( , ) ( ) (11)

é BIBO estável se e só se existir k finito tal que

t k

d t

t

G    



_

( ,  )  ,

(12)

onde ^  ^



j ij

i g

t G t

G( ,) : ( ,) max _{e G(.,.)R}^p_R^m. Na verdade qualquer norma poderia ser usada.

Teorema 3.5: Um sistema multivariável e relaxado descrito por y(s)G(s)u(s) onde G(s) é uma matriz racional própria, é BIBO estável se e só se todos os polos de cada elemento de G(s) tiverem parte real negativa.

3.2 Estabilidade de polinômios: o teorema de Hermite Biehler

O teorema de Hermite Biehler fornece condições necessárias e suficientes para a estabilidade de polinômios usando a condição de entrelaçamento.

Propriedade 3.1: Se P(s) é um polinômio real de Hurwitz então todos os seus coeficientes são não zero e têm o mesmo sinal, ou positivo ou negativo.

Propriedade 3.2: Se P(s) é um polinômio real de Hurwitz de grau n, o arg[P(jw)] é uma função contínua e estritamente crescente de w(,). Além disso, a fase para w(,) é n.

Teorema 3.6 (Hermite Biehler): Seja P(s)a₀ a₁sa_n1s^n1a_nsⁿum polinômio real de grau n.

Escreva P(s) P_e(s²)sP_o(s²) onde P_e(s²),sP_o(s²)são as componentes de P(s)de potências de s pares e ímpares, respectivamente. Sejam w_e1,w_e2, zeros reais não negativos de _e(w²)e w_o1,w_o2, zeros reais não negativos de _o(w²), ambos dispostos em ordem ascendentes de magnitude. Então, (s) _é Hurwitz estável se e só se todos os zeros de _e(w²),_o(w²) são reais e distintos, _n,_n1 possuem o mesmo sinal e os zeros reais não negativos satisfazem a seguinte propriedade de entrelaçamento:









 _{1 1 2 2}

0 w_e w_o w_e w_o . Os gráficos abaixo ilustram um polinômio estável.

Uma caracterização analítica equivalente do teorema de Hermite Biehler foi dada por Bhatachaaryya (1991) seguida por sua generalização com vistas a utilização da propriedade de entrelaçamento de polinômios estáveis no projeto de obtenção de famílias de controladores estabilizantes para sistemas monovariáveis não necessariamente de fase mínima.

3.3 Estabilidade nos modelos espaço de estado Considere o sistema (A,B,C,D)

x t C y

u t B x t A x

) (

) ( ) (







(13) )

, 0 ,

; ( ) 0 , ,

; ( )

(t s t t x₀ s t t₀ u

x  _o  (14)

UResposta ao estado-zero

-5 0 5 10 15

-6 -4 -2 0 2 4 6

parte real do polinô mio em w

parte imaginária do polinômio em w

e

o

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20













 d u t G

d u B t t C t

y

t t

t t

) ( ) , (

) ( ) ( ) , ( ) ( )

(

0 0











(15)

onde ( , )t  é a matriz transição de estado. Seguem as principais propriedades da matriz de transição de estado:

1. ( , )t t I (16)

2.



^1

( , ) t t

₀

  ( , ) t t

₀ (17)

3. ( , )t t₀  ( , ) ( , )t t₁  t t_{1 0} . (18)

Teorema 3.7: A resposta ao estado zero de (A,B,C,D)é BIBO estável se e só se existir um número finito k tal que









t^{t C t}  ^t  ^B  ^d ^k

0

) ( ) , ( )

( (19)

para todo t^B0^B e para todo t  t^B0.

UResposta a entrada nula

0 0 0

0, ,0) ( , )

; ( : ) (

) (

x t t x

t t s t x

x t A x









(20) Definição: Um estado xe de (A,B,C,D)é um estado de equilíbrio em t^B0^B se e só se

0 0, ,0) ,para todo t t

;

( 

 e

e s t t x

x _e x_e 0 ,para todo tt₀.

O estado de equilíbrio é solução de A(t)x0, t t0.

Observação: O estado zero, 0 , é sempre um estado de equilíbrio de x A(t)x.

3.4 Estabilidade local para sistemas lineares ou não

Definição 3.2: Um estado de equilíbrio xe é estável em t^B0^B no sentido de Lyapunov (i.s.L) se e só se para todo

0

 , existir um número positivo t_) tal que se x0 x_e  , então

0 0

0, ,0) para todo

;

(t t x x t t

s  _e   .

UEstabilidade uniforme

O estado de equilíbrio xe é uniformemente estável no sentido de Lyapunov (i.s.L) sobre [t^B0^B, ) se e só se para cada

0

 , existir um  positivo que depende de



mas não de t^B0^B tal que x₀ x_e  , então

1 0

1 0

1, ,0) para todo epara todo t t

;

(t t x x  t t 

s _e .

xe

Estável i.s.L.

_

x₂

Instável



Assintoticamente estável

x1

x₀

_ ^{t 0}

x0 x0

x1 Estável i. s. L.

x1

_ x2 Trajetória assintoticamente estável

"Escolhe-se primeiro uma bola B^B^B, e para cada B^B^B deve existir uma bola B^B^B tal que trajetórias iniciando dentro de B^B^B

não escapa de B^B^B, quando t cresce indefinidamente".

Definição 3.3: O estado de equilíbrio xe é assintoticamente estável em t^B0^B se for estável (i.s.L) em t^B0^B e se toda trajetória iniciando suficientemente próximo de xe converge para xe quando

t  

. Dado algum  ^0 tal que se x⁽t1⁾x_e ^,então para qualquer 0 existe um T, T(,,t₁)0 tal que

T t t x

t x t t

s( ; ₁, ( ₁),0) _e  , todo  ₁

UEstabilidade assintótica uniforme

O estado de equilíbrio x^Be^B é uniformemente assintoticamente estável sobre [t^B0^B, ) se T na Definição 3.3 independe de t^B1^B.

3.5 Estabilidade de sistemas lineares

As definições de estabilidade de estados de equilíbrio dadas anteriormente têm uma natureza local porque não sabemos quão pequenas as constantes  e  devem ser. Entretanto, para sistemas lineares por causa da propriedade de homogeneidade  e  podem ser estendidas para todo o espaço de estado. O que significa que em sistemas lineares estabilidade local implica estabilidade global.

Teorema 3.8: O estado de equilíbrio xe de ^x^{ A(t)x} é estável no sentido de Lyapunov em t^B0^B se e só se existir alguma constante k(t^B0^B) tal que

0 0

( , ) t t k para todo t t

    

(21)

se k for independente de t^B0^B tem-se estabilidade uniforme i.s.L.

Observação: Se o estado zero for assintoticamente estável, então, o estado zero é o único estado de equilíbrio do sistema. Se existisse outro diferente de zero, escolhendo-o como condição inicial este não se aproximaria do estado zero.

Teorema 3.9: O estado zero de x A(t)x é assintoticamente (exponencialmente) estável em t^B0^B se e só se 0

) t (t, e ) ( ) ,

( ₀  ₀   ₀ 

 t t k t quando t  . O estado zero é uniformemente assintoticamente

estável sobre [t^B0^B, ] se e só se existem números positivos k^B1^B e k^B2^B tais que

) ( 1

0) ^{2 0}

,

(t t k e^{k tt}

 (22)

para qualquer t₀ 0 e para todo t t0.

UCaso invariante no tempo

Inspecionando a solução x(t)eAtx₀ com

]

[

_{1 ( 1)} ¹

1 0 1

1

0

t n n i t

i m t

i i m

i

t n k

k ik At

i i i i

i i i

e t A te

A e A

e t A e



































com

1,,m

os m autovalores com multiplicidade

ni

distintos de A e

] ]

) (

) ) [[

1 (

1

!

1

1 ( 1 )

lim

^{i n n k}

i s

ik ^{i i}

i

A sI k s

n

A k

^{ }





 

  



,

pode-se estabelecer o seguinte teorema para estabilidade.

Teorema 3.10: O estado de equilíbrio xe de x  Ax ^é

1. assintoticamente estável se e só se todos os autovalores de A tiverem parte real negativa ou seja n

i 0,i 1, ,

Re    _.

2. estável no sentido de Lyapunov ou marginalmente estável se e só se todos os autovalores de A tiverem parte real zero ou negativa, ou seja, Re_i 0,i 1,,n, e aqueles com parte real zero Re_j 0forem raízes simples do polinômio mínimo de A quando

1 , ,1 ,

0 ] ]

) (

)

[[

^{1 ( 1 )}

lim ^{    }



^{ }

 j

k n n

j s

jk

s sI A k n

A

^{j j}

i

 

 .

3. instável se e só se condição (2) não for satisfeita.

UCaso discreto no tempo ) ( ) 1

(k Ax k

x   (23)

Solução ^x(k) ) 0

(k A x

x  ^k (24)

Teorema 3.11: A equação ^{x(k 1)  Ax(k)} é marginalmente estável ou estável segundo Lyapunov se todos os autovalores de A tiverem magnitudes menores ou iguais a 1 e aqueles com magnitudes iguais a 1 forem raízes simples do polinômio mínimo de A.

Teorema 3.12: A equação ^{x(k 1)  Ax(k)} é assintoticamente estável se todos os autovalores de A tiverem magnitudes menores do que 1.

4. Observabilidade, detectabilidade, controlabilidade e estabilizabilidade

4.1 Observabilidade

USistemas variantes no tempo

Considere o sistema ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))}: u

t D x t C y

u t B x t A x

) ( ) (

, ) ( ) (







 

(25) onde uR^mé a entrada, yR^p, a saída, xRⁿo estado, ^{A(.),B(.),C(.),D(.)} matrizes nxn, nxm, pxn e pxm e t(,).

Definição 4.1: Um sistema ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))}é observável em t^B0^B se e só se existir um instante tempo finito t^B1^B, t^B1^B>t^B0^B, tal que para qualquer estado inicial x₀Rⁿa entrada u e a saída y são suficientes para determinar unicamente x(t^B0^B).

A resposta do sistema ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))}é dada por

0 0 0 0

( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

^t

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

y t  C t  t t x t  C t 

t

 t  B  u   d  D t u t

⁽²⁶⁾

No estudo da estabilidade de um sistema, a saída y e a entrada u são conhecidas e o estado inicial é desconhecido. Se x(t^B0^B) for conhecido o estado pode ser computado para t>t^B0^B a partir de

0 0 0 0

( ) ( , ) ( )

^t

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t   t t x t  

t

 t  B  u   d  D t u t

⁽²⁷⁾

Teorema 4.1: Suponha as matrizes A(.) e C(.) (n-1) vezes diferenciáveis. Então, o sistema (.))

(.), (.), (.),

(A B C D é observável em t0 se existir t1 t0 BBfinito tal que

n

t N

t N

t N

t N

n



 

 

 





 

 

 







( ) ) (

) (

) (

1 1

1 2

1 1

1 0

posto



⁽²⁸⁾

onde

) ( ) ( e 1 , , 1 , 0 ),

( )

( ) ( )

( ₀

1 N t k n N t C t

dt t d A t N t

N_k  _k  _k    

Teorema 4.2: O sistema ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))} é observável em t0 se existir t1 t0 finito tal que as n colunas da matriz pn C(.)(t₀,.) forem LI em [t₀,t₁].

USistemas invariantes no tempo

Teorema 4.3. O sistema dinâmico ^(A,B,C,D) ou equivalentemente o par (A,C) é observável se e só se as condições equivalentes seguintes forem verificadas (T. Kailath, 1980):

1. Popov-Beleirtch-Hautus (PBH) teste:

s C n

A

sI   



 



 

,

posto (29)

o conjunto de autovalores da parte não observável de (A,C) coincide com o conjunto de valores de s para os quais a matriz acima perde posto.

2. Kalman teste:

n C

A C

A

C^{T T T} ( ^T)^{n T}]^T 

posto[  ¹ (30)

com O[C^T A^TC^T  (A^T)^n1C^T]^T a matriz de observabilidade.

3. Wonham teste: Dado um conjunto arbitrário simétrico  de n números complexos, existe uma matriz L tal que o espectrum de A+LC coincide com .

4.2. Detectabilidade

Teorema 4.4 : O sistema dinâmico ^(A,B,C,D)ou equivalentemente o par (A,C) é detectável se e só se as condições equivalentes seguintes forem verificadas:

a) PBH teste:

,

posto n

C A sI 



 



 

0

Re(s) (31)

ou seja

sI A C

  

 

 

possui posto coluna completo.

b)

Kalman teste: A parte não observável do sistema é estável. Isto é, para todo  e correspondente autovetor v tal que Av v e Re()0 tem-se Cv0. Caso tenha-se

Cv  0

, pelo PBH teste, o sistema não seria detetável pois

sI A 0 C v

  

  

 

^com

v  0

tem-se que

sI A ,

C n

  

  

 

contradizendo a condição de posto coluna completo.

c)

Wonham teste: Existe uma matriz L tal que A+LC é estável.

4.3 Controlabilidade Sistemas variantes no tempo

O conceito de controlabilidade está relacionado com entradas e estados e o conceito de observabilidade com saídas e estados. São propriedades estruturais dos sistemas ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))} que fornecem informações relevantes para o projeto de controle.

Definição 4.2: Um sistema ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))} é controlável em t^B0^B se existir uma lei de controle u (contínua por partes) que transfira qualquer estado inicial x₀Rⁿa um estado arbitrário x₁Rⁿ em um tempo finito t^B1^B>t^B0^B.

Teorema 4.5 (Chen, 1984): Seja f uma função contínua de valor complexo definida em _i [t₁,t₂]. Seja F uma matriz nxp com f^Bi ^B sendo sua i-ésima linha. Defina a matriz

 

₁^{2 *}

2

1

, ) ( ) ( )

( t t

_t^t

F t F t dt

W

(32)

então f^Bi^B, f^Bn^B são linearmente independentes em [t₁,t₂] se e só se W(t₁,t₂) for não singular.

Teorema 4.6 (Chen, 1999): Um sistema ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))} é controlável em t^B0^B se e só se existir um t^B1^B>t^B0^B finito tal que as n linhas da matriz nm (t₀,.)B(.), sejam linearmente independentes (LI) em [t^B0^B, t^B1^f].

Verificação:

Suficiência. Se as linhas de (t₀,.)B(.) forem LI em [t^B0^B, t^B1^B], pelo Teorema 4.5 a matriz

  



₀¹ ₀ ^{* *} ₀

1

0

, ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

( t t

_t^t

t B B t d

W     

⁽³³⁾

é não singular. Para qualquer x(t^B0^B)=x^B0 ^Be qualquer x^B1^B pode-se mostrar que a entrada ] ) , ( )[

, ( ) , ( ) ( )

(t B^* t ^* t₀ t W ¹ t₀ t x₀ t₀ t x₁

u   ^ 

leva x^B0^B ao estado x^B1 ^Bem t=t^B1^B.

Necessidade: Por contradição. Suponha ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))} controlável em t^B0^B mas com as linhas (.)

,.) (t₀ B

 linearmente dependentes em [t₀,t₁], t^B1^B>t^B0^B finito. Então existe um vetor

n  1

constante

0

 tal que

] t , [ , 0 (.) ,.)

(t₀ B  t t_{0 1}

 . (34)

Considere agora a solução da equação espaço de estado para t t ₁

1

1 1 0 0 0

( ) ( , ) ( )

^t

( , ) ( ) ( )

x t   t t x t  

t

 t  B  u   d

^{. (35)}

Pré-multiplicando a solução acima por ( , )t t_{0 1} e escolhendo x(t^B0^B)=x^B0^B=’0 tem-se

1

0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1

1 0 0

( , ) ( ) ( , ) ( , ) ' ( , ) ( , ) ( ) ( ) ' ( , ) ( ) ( )

t t t

t

t t x t t t t t t t t B u d

t B u d

    

    

      

  





^{. (36)}

Agora, premultiplicando por  tem-se

 





 ( t

₀

, t

₁

) x ( t

₁

)  '

_t^t₀¹

 ( t

₀

,  ) B (  ) u (  ) d 



.

Por hipótese, ^{(A(.),B(.),C(.),D(.))} é controlável em t^B0^B. Assim, para qualquer estado x^B1^B, em particular

1 ( ) 01

x x t  , existe u(t), t em [t₀,t₁] tal que x(t₁) 0. Uma vez que por suposição ]

t , [ , 0 (.) ,.)

(t₀ B  t t_{0 1}

 , x(t₁)0 implica

  ' 0

e conseqüentemente que

  0

, o que é uma

contradição e o resultado segue. 

USistemas invariantes no tempo

Teorema 4.7: As seguintes proposições são equivalentes.

1. O sistema (A,B,C,D) é controlável em qualquer instante t^B0^B[0,).

2. As linhas de e^AtB são LI em [0,) sobre o corpo dos números complexos.

3. A matriz de controlabilidade U=[B AB A²BA^n1B] possui posto n.

4. A matriz W_c(t) ₀^te^ABB^Te^ATd é não singular para qualquer t>0.

Prova. Apresenta-se a seguir a prova de 13 . Considere a solução de ^(A,B,C,D) no intervalo [0,t1]



^{ }







 _{1 0 0} ¹

1

0

) ( ) ( )

( ) (

)

( ^t

t tf Bu d

t x t t t

x    . Para simplificar considerex(t₁)0. Assim,



^{ }



 ¹

0

) ( ) ( )

( ₀ ^t ₀

t t Bu d

t

x    (lembre-se que (t)e^At). Utilizando o teorema de Cayley-Hamilton pode-se escrever

n k A A

ⁿ _i ⁱ

i k

k

 

^



¹

( ) ,

0



e então

) ! ( )

! (

! 1 ) (

1

0 0

1

0 0 0

k A t

k A t

A k t e t

n k

i i

k k

i i

i n

i k

k k k

k k At

 









































Usando a expressão acima na equação de x(t₀) e definindo

) ! ( ) (

0 k

t t

k

k

i k

i



^



 

 tem-se

i n

i i

t

t i

n

i i

q B A

d u t

B A t

x



 



















1

0

0 1

0 0

1 0

) ( ) ( )

(

   

com ^



0^{1 }

) ( ) ( ₀

t t i

i t u d

q     . Assim, pode-se escrever

Uq t

x( ₀)   _com U [B AB A²BA^n1B] e q [q₀q₁...q_n1]. Esta equação é um sistema de n equações algébricas lineares com

nm

incógnitas. O problema de determinar u(t) para obter x(t₁)0 reduz-se à solução deste sistema de equações. Da álgebra linear sabe-se que o sistema possui solução para x(t₀) arbitrário se o posto de

U

for igual a n e o resultado segue.

Teorema 4.8. O sistema dinâmico (A,B,C,D) ou equivalentemente o par (A,B) é controlável se e só se as condições equivalentes seguintes forem verificadas:

a) Popov-belevitch-Hautus (PBH) teste:



^sI  ^{A B}



ⁿ, ^s

posto (37)

o conjunto de autovalores da parte não controlável de (A,B) coincide com o conjunto de valores de s para os quais a matriz acima perde posto.

b) Kalman teste:

n B A AB

B ( )^n ]

[

posto  ¹ (38)

c) Wonham teste: Dado um conjunto arbitrário simétrico  de n números complexos, existe uma matriz K tal que o espectrum de A+BK coincide com .

Prova . a) Volta: Suponha que posto



sI A B



n para algum s. Então, existe v 0 tal que 0

] )

*[( I A B 

v  . Assim, uma vez que v^*I v^*A e v^*B0, 0

] [

]

[ ^{2 1 * 2 1}

* B AB A B A ^ B v B B B ^ B 

v _ ⁿ   _ⁿ o que implica que (A,B) não é controlável pelo

teste de Kalman.

b) Ida: Suponha agora que (A,B) não é controlável. Então, existe v 0 tal que 0

]

[ ^{2 1}

* B AB A B A ^ B 

v  ⁿ . O que implica que v^*AⁱB0^{, i0,}^,n1. Assim,



sI A B



perde posto em s. 4.4 Estabilizabilidade

Teorema 4.9: O sistema dinâmico (A,B,C,D) ou equivalentemente o par (A,B) é estabilizável se e só se as condições equivalentes seguintes forem verificadas:

b) PBH teste:

 

^{, Re( ) 0}

postosI  A B n s  (39)

b) Kalman teste: A parte não controlável do sistema é estável. Já para a parte instável o posto



sI A B



n

posto , o que significa que para todo  e correspondente autovetor v tal que v^*Av^* e ^Re(⁾^{0 tem-se} v^*B^0.

c) Wonham teste: Existe uma matriz K tal que A+BK é estável.

Teorema 4.10: (Teorema da dualidade)

O par (A,B) é controlável se e só se o par ^(AT,BT) for observável

Prova. O par (A,B) é controlável se e só se W_c(t)₀^te^ABB^Te^ATd for não-singular para qualquer t . O par ^(A,C) é observável se e só se W_o(t)₀^te^ATC^TCe^Ad for não singular. Substituindo A por A^T e C por

B

^{T em Wo(t) tem-se} W_o(t) ₀^te^ABB^Te^ATd que é não-singular . Assim, W_o(t) _e

) (t

W_c são idênticas e o teorema segue.

 Exercício (Kailath, 1980): Considere um carrinho com dois pêndulos invertidos:

m2

m1

2

₁



2



1

u M

Equações do movimento:

12 , , )

(

2 1













 

i mg l

v m

u mg mg

v m

i i

i 





 



onde v é a velocidade e u a força externa aplicada.

Pergunta-se:

1. É possível controlar os 2 pêndulos (mantê-los na vertical com u())?

2. O sistema é observável com y = ^B1^B?

Solução. Definindo x₁₁,x₂ ₂,x₃ ^₁,x₄ ^₂e eliminando v nas equações de movimento tem-se:

bu Ax x  onde



















 



















2 1 4

3 2 1

/ 1

/ 1

0 0

, 0 0

0 0

1 0 0 0

0 1 0 0



 M B M

a a

a A a

com

2 4

2 3

1 2

1 1

) (

,

, ) (







 M

g m a M

M a mg M

a mg M

g m

a  M     

1. Para manter os pêndulos na vertical, a realização tem de ser controlável: 102. ) 0 ) (

(

quando 0 ) det(

postoU  U  ₁ ₂ M²g²₁²²₂ ₁₂ ² 

onde U é a matriz de controlabilidade. Portanto, se ₁₂o sistema não é controlável.

2. y ₁ , c [1000] ) 0 ) (

det(

1 2 2

2  



 M

a mg O

onde O é a matriz de observabilidade. Portanto o sistema é observável.

4.5 Controlabilidade e observabilidade para sistemas lineares invariantes e discretos no tempo As equações de espaço de estado discretas são normalmente escritas como:

) ( ) ( )

( 1 ) ( ) ( ), ( 0 ) , 0

(

₀

k Du k Cx k

y k Ax k Bu k x x k

x       

₍₄₀₎

A natureza recursiva das equações espaço de estado discretas torna fácil a verificação da controlabilidade e observabilidade. A matrizes de controlabilidade de dimensão nmn

] [

: B AB A²B A ¹B

U   ^n (41)