JESÚS DANIEL VILLALBA MORALES
DETECÇÃO DE DANO EM ESTRUTURAS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS E
PARÂMETROS DINÂMICOS.
Dissertação apresentada ao Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia de Estruturas.
Orientador: Prof. Dr. Jose Elias Laier
São Carlos Março de 2009
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento da Informação do Serviço de Biblioteca – EESC/USP
Villalba Morales, Jesús Daniel
V696d Detecção de dano em estruturas utilizando algoritmos genéticos e parâmetros dinâmicos / Jesús Daniel Villalba Morales ; orientador Jose Elias Laier. –- São Carlos, 2009.
Dissertação (Mestrado-Programa de Pós-Graduação e Área de Concentração em Engenharia de Estruturas) –- Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, 2009.
1. Métodos numéricos. 2. Parâmetros dinâmicos. 3.
Algoritmos genéticos. 4. Heurísticas. 5. Detecção de dano. 6. Elementos finitos. I. Título.
A mis padres Isaías y Ermidia por todo el amor que me han dado y por haberme apoyado cada vez que quise volar detrás de un sueño.
A mis hermanos María Luisa y
Sergio Andrés, quienes fueron la motivación
que me permitió llegar hasta aquí.
AGRADECIMENTOS
A Jesús García e Oscar Begambre, dois grandes amigos, sem sua motivação eu não teria vindo ao Brasil e não teria hoje a honra de ser um mestre formado pela USP. Uma enorme dívida de gratidão, tenho para com eles.
Ao Professor Dr. José Elias Laier por ter-me dado a oportunidade e a confiança para trabalhar sob sua supervisão.
A minha família e amigos na Colômbia por tudo o apoio e carinho brindado desde a distância.
Ao meu grande amigo Dorival Piedade quem foi meu companheiro de turma, república, sala de estudo, área de pesquisa e festas. Também à sua família quem me acolheu como parte dela.
A Carolina Ramirez, Cesar Espezúa, José Luis Narváez, Freddy Garzon e Tatiana Rodriguez pela amizade e apoio durante estes dois anos e por me ajudar a sentir que meu país estava um pouco mais perto.
A Denise e Isis, duas meninas com que compartilhei muitos instantes inesquecíveis e que foram um grande apoio em todo momento.
A Aref, Denis, Erika, Fabio R., Fernanda, Iêda, Igor C., Luis O., Marcela F., Marcela K., Marcus e Olivia, Rodrigo T., Raimundo e Socorro pela valiosa amizade durante estes dois anos de mestrado.
A todos meus amigos, colegas, professores e funcionários do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos.
Ao serviço de Biblioteca da USP, sem cuja ajuda, a fundamentação adquirida para a realização deste trabalho não teria sido possível.
À Capes pela bolsa de estudos.
RESUMO
VILLALBA MORALES, J. D. (2009). Detecção de Dano em Estruturas Utilizando Algoritmos Genéticos e Parâmetros Dinâmicos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
A avaliação do estado das estruturas é um tema de pesquisa muito importante para diversos campos da engenharia e, por isso, estão sendo desenvolvidas metodologias que permitem detectar dano em uma estrutura. O presente trabalho tem como objetivo verificar a aplicabilidade dos algoritmos genéticos (AG) na detecção de dano a partir das mudanças ocorridas, entre as condições com e sem dano, dos parâmetros dinâmicos da estrutura. Três tipos de AGs (Binário, Real e Redundante Implícita) são implementados com a finalidade de comparação do desempenho. Os parâmetros dinâmicos da estrutura, sadia e danificada, são determinados a partir do modelo de elementos finitos da estrutura. Medições incompletas e ruidosas foram consideradas visando simular as características da informação obtida por meio de um ensaio dinâmico real. Os AGs implementados são aplicados em estruturas de tipo viga, treliça e pórtico sob diferentes cenários de dano. Resultados mostram o bom desempenho dos AGs para detectar dano em uma estrutura.
Palavras-chave: Parâmetros dinâmicos, algoritmos genéticos, heurísticas, detecção de dano, elementos finitos.
ABSTRACT
VILLALBA MORALES, J. D. (2009). Structural Damage Detection Using Genetic Algorithms and Dynamic Parameters. 2009. Master of Science Dissertation – Engineering School of Sao Carlos , University of Sao Paulo.
The assessment of structural health is an important research topic in many engineering fields and, for that reason, damage detection methodologies are being developed. The goal of this dissertation is to verify the applicability of genetic algorithms (GAs) for detecting damage using dynamic parameters changes between undamaged and damaged condition of the structure. Three different GAs are implemented in order to compare the performance of the algorithms. Undamaged and damaged dynamic parameters are computed using the finite element model of the structure. Incomplete and noisy measurements are considered with the objective of simulating the real condition of the information in a real dynamic test. GAs are applied in some different structures:
beam, truss and frame. The results indicate the good performance of the GAs for detecting damage in a structure.
Keywords: dynamic parameters, genetic algorithms, heuristics, damage detection, finite elements.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 Esquema de um algoritmo genético clássico. ... 11
Figura 2.2 Função de duas variáveis a ser otimizada. ... 14
Figura 2.3 Transformação de um número em código binário a código Gray. ... 22
Figura 2.4 Roleta. ... 28
Figura 2.5 Algoritmo do método Stochastic Universal Sampling (Gen e Cheng, 1997).. 30
Figura 2.6 Pais escolhidos para o processo de cruzamento. ... 34
Figura 2.7 Filhos obtidos a partir do cruzamento de um ponto. ... 35
Figura 2.8 Filhos obtidos utilizando cruzamento de dois pontos. ... 35
Figura 2.9 Filhos obtidos a partir do cruzamento uniforme. ... 35
Figura 2.10 Indivíduos escolhidos para cruzamento... 36
Figura 2.11 Indivíduo gerado depois de aplicada a mutação Jump. ... 39
Figura 2.12 Individuo gerado utilizando Mutação Creep. ... 40
Figura 2.13 Cromossomo típico no AG de codificação redundante implícita... 42
Figura 2.14 Exemplos de localizadores e instancias de genes. (a) Modelo com 3 uns em seqüência, (b) Modelo com 4 zeros em seqüência. ... 43
Figura 2.15 Exemplo cromossomo AG de codificação redundante implícita. (a) Cromossomo 1, (b) Cromossomo 2. ... 45
Figura 4.1 Elementos finito para (a) Barra e (b) Viga. ... 86
Figura 4.2 Elemento Finito para (a) Treliça e (b) Pórtico. ... 88
Figura 4.3 Estruturas Tipo Viga. ... 90
Figura 4.4 Treliça de 21 elementos. ... 91
Figura 4.5 Pórtico ... 91
Figura 4.6 Algoritmo para detecção de dano em duas etapas. ... 97
Figura 4.7 Algoritmo de detecção de dano de uma etapa. ...100
Figura 4.8 Codificação redundante implícita para detecção de dano (RAICH e LISKAY, 2007). ...103
Figura 4.9 Algoritmo do programa implementado. ...105
Figura 4.10 Algoritmo para a leitura de dados. ...106
Figura 5.1 Comparação entre os resultados da metodologia de localização de dano original e modificada para o cenário de dano VS2-I1-R2: Dano no elemento 10. ..108
Figura 5.2 Comparação entre os resultados da metodologia de localização de dano original e modificada para o cenário de dano P3A-I1-R2: Dano no elemento 3. ....108
Figura 5.3 Efeito da presença de ruído no desempenho da metodologia de localização- Cenário VS3: Dano em elementos 5 e 12. ...110
Figura 5.4 Efeito da presença de ruído no desempenho da metodologia de localização - Cenário VB3: Dano em elementos 6, 7 e 8. ...111 Figura 5.5 Efeito da presença de ruído no desempenho da metodologia de localização -
Cenário T21A: Dano em elemento 8. ...112 Figura 5.6 Efeito da presença de ruído no desempenho da metodologia de localização -
Cenário P3B: Dano em elementos 9, 10 e 11...113 Figura 5.7 Efeito da presença de ruído no desempenho da metodologia de localização -
Cenário P3C: Dano nos elementos 4, 7 e 15...113 Figura 5.8 Efeito de se ter medições incompletas no desempenho da metodologia de
localização - Cenário VS3: Dano em elementos 5 e 12...115 Figura 5.9 Efeito de se ter medições incompletas no desempenho da metodologia de
localização - Caso VB3: Dano em elementos 6, 7 e 8. ...115 Figura 5.10 Efeito de se ter medições incompletas no desempenho da metodologia de
localização - Caso T21A: Dano no elemento 8. ...117 Figura 5.11 Efeito de se ter medições incompletas no desempenho da metodologia de
localização - Caso P3B: Dano em elementos 9, 10 e 11. ...117 Figura 5.12 Efeito de se ter medições incompletas no desempenho da metodologia de
localização - Caso P3C: Dano em elementos 4, 7 e 15. ...118 Figura 5.13 Valores do EEQDR_Mod para o cenário VS1: Dano no elemento 2...120 Figura 5.14 Valores do EEQDR_Mod para o cenário VS2: Dano no elemento 10. ...120 Figura 5.15 Valores do EEQDR_Mod para o cenário de dano VS3: Dano em elementos 5 e 12...121 Figura 5.16 Valores do EEQDR_Mod para o cenário de dano VB1: Dano no elemento 3.
...121 Figura 5.17 Valores do EEQDR_Mod para o cenário de dano VB2: Dano no elemento 18.
...122 Figura 5.18 Valores do EEQDR_Mod para o cenário de dano VB3: Dano em elementos 6,
7 8...122 Figura 5.19 Valores do EEQDR_Mod para o cenário de dano T21A : Dano no elemento 8.
...123 Figura 5.20 Valores do EEQDR_Mod para o cenário de dano P3B: Dano em elementos 9,
10 e 11. ...124 Figura 5.21 Valores do EEQDR_Mod para o cenário de dano P3C: Dano em elementos 4,
7 e 15. ...124 Figura 5.22 Influência do número de modos no desempenho da metodologia de
localização. Cenário dano VS3: Dano em elementos 5 e 12. ...125 Figura 5.23 Influência do número de modos no desempenho da metodologia de
localização. Cenário dano P3B: Dano em elementos 9, 10, 11. ...126
Figura 5.24 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS3. ...128
Figura 5.25 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VB3. ...128
Figura 5.26 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano T21D. ...129
Figura 5.27 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano P3B. ...129
Figura 5.28 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano P3C. ...130
Figura 5.29 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS3-I1-R2. ...131
Figura 5.30 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VB3-I1-R2. ...131
Figura 5.31 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano T21D-I1-R2. ...132
Figura 5.32 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano P3B-I1-R2. ...133
Figura 5.33 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano P3C-I1-R2. ...133
Figura 5.34 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS3. Ruído 1% em modos. ...135
Figura 5.35 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS3. Ruído: 1% em freqüências e 3% modos...135
Figura 5.36 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS3. Ruído: 2% em freqüências e 3% modos...135
Figura 5.37 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS3. Ruído: 2% em freqüências e 5% em modos. ...136
Figura 5.38 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS3. Ruído: 2% em freqüências e 10% em modos. ...136
Figura 5.39 Solução do AG para o cenário de dano VS3-I1-R3 depois de varias execuções do AG de código real. ...137
Figura 5.40 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano P3C-IX. ...138
Figura 5.41 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano P3C-IY. ...139
Figura 5.42 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano PC3-I1. ...139
Figura 5.43 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano PC3-I2. ...140
Figura 5.44 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VB3-IR2 utilizando 4 modos. ...141
Figura 5.45 Aplicação dos AG estudados no cenário de dano VB3-I1-R2 utilizando 6 modos. ...141
Figura 5.46 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS1-I1-R2. ...142
Figura 5.47 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VS2-I1-R2. ...143
Figura 5.48 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VB1-I1-R2. ...143
Figura 5.49 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano VB2-I1-R2. ...144
Figura 5.50 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano T21A-I1-R2. ...145
Figura 5.51 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano T21B-I1-R2. ...145
Figura 5.52 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano T21C-I1-R2. ...146
Figura 5.53 Aplicação dos AGs estudados no cenário de dano P3A-I1-R2. ...147
Figura 5.54 Evolução da aptidão do melhor indivíduo no algoritmo CoBin2...147
Figura 5.55 Evolução da aptidão do melhor indivíduo no algoritmo CoRed1...148
Figura 5.56 Evolução da aptidão do melhor indivíduo no algoritmo CoRea1...149
Figura A.1 Esquema para a aplicação de um algoritmo genético de código binário. ...170
Figura A.2 Procedimento para realizar cruzamento em um AGCR. ...174
Figura A.3 Evolução na aptidão do melhor indivíduo e do indivíduo médio do AGCR. ...177
Figura A.4 Esquema para a aplicação de um algoritmo genético de código binário. ...179
Figura A.5 Cromossomo definitivo. ...180
Figura A.6 Indivíduo PI-I. ...181
Figura A.7 Processo para realizar o cruzamento de dois pontos. ...183
Figura A.8 Representação do Par 2 na forma binária. ...184
Figura A.9 Indivíduos resultantes depois do processo de cruzamento. ...184
Figura A.10 Evolução na aptidão do melhor indivíduo e do indivíduo meio da população do AGCB. ...187
Figura B.1 Treliça de 9 elementos...189
Figura B.2 Determinação de elementos provavelmente danificados numa treliça de 9 elementos: Dano no elemento 5. ...190
Figura B.3 Treliça de 23 Elementos. ...190
Figura B.4 Determinação de elementos provavelmente danificados numa treliça de 12 elementos: Dano nos elementos 3 e 6. ...190
Figura B.5 Treliça de 31 Elementos. ...191
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 População inicial de indivíduos. 14
Tabela 2.2 Aptidões dos indivíduos da população atual. 15
Tabela 2.3 Codificação dos indivíduos da população em forma Binária e Gray. 23
Tabela 2.4 Fenótipo dos indivíduos da população. 24
Tabela 2.5 Probabilidades dos indivíduos e probabilidades acumuladas. 28 Tabela 2.6 Resultados Método Remainder Stochastic Sampling. 29 Tabela 2.7 Resultados Método Stochastic Universal Sampling. 30
Tabela 2.8 Resultados Ranking Linear, s=2. 32
Tabela 2.9 Resultados Ranking Exponencial, s=0.99. 33
Tabela 2.10 Resultados do Método de Torneio. 33
Tabela 4.1 Definição do tipo de material e do tipo de seção utilizados. 91 Tabela 4.2 Conectividade dos elementos das estruturas tipo Viga. 92 Tabela 4.3 Conectividade dos elementos da Treliça de 21 Elementos. 92 Tabela 4.4 Conectividade dos elementos da estrutura Pórtico. 92
Tabela 4.5 Configurações de ruído a serem estudadas. 93
Tabela 4.6 Cenários de dano estudados. 94
Tabela 4.7 Tipos de incompletude nas formas modais experimentais lidas. 94
Tabela 4.8 Operadores genéticos do algoritmo CoBin2. 98
Tabela 4.9 Parâmetros do algoritmo CoBin2. 98
Tabela 4.10 Operadores Genéticos do algoritmo CoRea1. 100
Tabela 4.11 Parâmetros do algoritmo CoRea1. 100
Tabela 4.12 Operadores do algoritmo CoRed1. 102
Tabela 4.13 Parâmetros do algoritmo CoRed1. 102
Tabela 5.1 Variação dos valores do EEQD para o modo 1 devido à presença de ruído. 109 Tabela 5.2 Variação dos valores do EEQD para o modo 1 devido a medições incompletas.
116 Tabela 5.3 Elementos definidos como provavelmente danificados. 127 Tabela 5.4 Efeito da presença de ruído sobre a aptidão do melhor indivíduo. 136 Tabela 5.5 Tempo empregado na execução dos AGs estudados quando aplicados em
diferentes tipos estruturais. 150
Tabela A.1 Operadores do AGCR. 170
Tabela A.2 Parâmetros que definem o AGCR. 170
Tabela A.3 Definição da população inicial. 171
Tabela A.4 Dados para a aplicação do método da roleta. 172
Tabela A.5 Indivíduos selecionados para reprodução. 173
Tabela A.6 Definição dos pares de indivíduos para reprodução. 174
Tabela A.7 Dados aplicação do operador BLX-α. 175
Tabela A.8 Indivíduos gerados depois do processo de cruzamento. 176 Tabela A.9 Indivíduos gerados depois do processo de mutação. 176
Tabela A.10 Nova geração de indivíduos. 177
Tabela A.11 Resultados das 10 vezes que foi executado o algoritmo genético de código
real. 178
Tabela A.12 Definição dos operadores do AGCB. 179
Tabela A.13 Definição dos parâmetros do AGCB. 179
Tabela A.14 Definição da população inicial. 181
Tabela A.15 Dados para a aplicação do método da roleta. 182
Tabela A.16 Indivíduos selecionados para reprodução. 183
Tabela A.17 Definição dos pares de indivíduos para reprodução. 184 Tabela A.18 Indivíduos gerados depois do processo de cruzamento. 185 Tabela A.19 Bits que sofreram mutação para cada indivíduo. 185 Tabela A.20 Indivíduos gerados depois do processo de mutação. 186
Tabela A 21 Nova geração de indivíduos. 186
Tabela A.22 Resultados das 10 vezes que foi executado o algoritmo genético de código
binário. 188
LISTA DE ABREVIATURAS
AG Algoritmo Genético
AGCB Algoritmo Genético de Código Binário AGCR Algoritmo Genético de Código Real
CoBin2 Algoritmo Genético de Código Binário para Detecção de Dano em Duas Etapas
CoRea1 Algoritmo Genético de Código Real para Detecção de Dano em Uma Etapa
CoRed1 Algoritmo Genético de Representação Redundante implícita para Detecção de Dano em Uma Etapa
DDND Técnica de detecção de dano não destrutiva.
EC Energia Cinética
EEQ Cociente de energia Elementar
EEQDR Relação da diferença do cociente de energia Elemental EEQDR_Mod Relação da diferença do cociente de energia Elemental
modificado
FRF Função de resposta em freqüência IRS Improvement Reduction System
MDLAC Multiple Damage Location Assurance Criterion MSE Energia modal de deformação
MSECR Relação da mudança de energia de deformação modal MTMAC Modal Assurance Criterion
Rand(a,b) Função que gera um número aleatório de distribuição uniforme (0,1) entre os valores a e b
RSS Remainder Stochastic Sampling
SEREP System Equivalent Reduction Expansion Process SHM Sistema de monitoramento da saúde estrutural SUS Stochastic Universal Sampling
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO... 1
1.1 MOTIVAÇAODAPESQUISA ... 1
1.2 OBJETIVOS... 4
1.2.1 OBJETIVO PRINCIPAL... 4
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS... 4
1.3 METODOLOGIA... 5
1.4 ORGANIZAÇAODOTRABALHO ... 7
2. ALGORITMOS GENÉTICOS ... 9
2.1 INTRODUÇÃO... 9
2.1.1 FUNÇÃO OBJETIVO E RESTRIÇÕES... 14
2.1.2 POPULAÇÃO... 17
2.1.3 CRITÉRIOS DE PARADA E ANÁLISE DE DESEMPENHO... 18
2.2 CODIFICAÇÃO ... 18
2.2.1 CÓDIGO BINÁRIO... 20
2.2.2 CÓDIGO REAL... 23
2.3 SELEÇÃO ... 24
2.3.1 PROPORCIONAL À APTIDÃO-MÉTODO DA ROLETA... 25
2.3.2 RANKING... 31
2.3.3 TORNEIO... 33
2.4 CRUZAMENTO ... 33
2.4.1 CÓDIGO BINÁRIO... 34
2.4.2 CÓDIGO REAL... 36
2.5 MUTAÇÃO ... 38
2.5.1 CÓDIGO BINÁRIO... 39
2.5.2 CÓDIGO REAL... 40
2.6 ALGORITMOGENÉTICODECODIFICAÇAOREDUNDANTEIMPLICITA... 42
3. DETECÇÃO DE DANO ... 47
3.1 INTRODUÇÃO... 47
3.2 METODOLOGIASDELOCALIZAÇÃODEDANO... 53
3.2.1 METODOLOGIAS BASEADAS EM ENERGIA... 53
3.2.2 METODOLOGIAS BASEADAS EM TÉCNICAS DE CORRELAÇÃO... 55
3.2.3 METODOLOGIAS BASEADAS NO VETOR DE FORÇA RESIDUAL... 58
3.2.4 METODOLOGIAS BASEADAS NA MATRIZ DE FLEXIBILIDADE... 61
3.3 METODOLOGIASQUEQUANTIFICAMDANOCOMOUMPROCESSODE OTIMIZAÇÃO... 63
3.3.1 APLICAÇÃO DE TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO CLÁSSICA EM DETECÇÃO DE DANO... 64
3.3.2 APLICAÇÃO DE ALGORITMOS GENÉTICOS EM DETECÇÃO DE DANO... 68
3.4 TÉCNICASDEEXPANSÃODEFORMASMODAIS ... 80
4. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ... 85
4.1 MÉTODODEELEMENTOSFINITOS... 85
4.2 ESTRUTURASANALISADAS... 90
4.3 INCLUSÃODERUÍDOEMMEDIÇÕES ... 93
4.4 CENÁRIOSDEDANO... 93 4.5 ALGORITMOSGENÉTICOS ... 95
4.5.1 ALGORITMO GENÉTICO DE CÓDIGO BINÁRIO COM METODOLOGIA DE LOCALIZAÇÃO DE
ELEMENTOS PROVAVELMENTE DANIFICADOS (COBIN2)... 97
4.5.2 ALGORITMO GENÉTICO DE CÓDIGO REAL COM PROCESSO DE RE-INICIALIZAÇÃO DA
POPULAÇÃO DE INDIVÍDUOS (COREA1)... 99
4.5.3 ALGORITMO GENÉTICO DE CÓDIGO BINÁRIO COM REPRESENTAÇÃO REDUNDANTE IMPLÍCITA
(CORED1) ... 101 4.6 DESCRIÇÃOGERALDOPROGRAMAIMPLEMENTADO... 104
5. RESULTADOS... 107 5.1 METODOLOGIADELOCALIZAÇÃODEDANO(LAW,SHI E ZHANG,1998). ... 107
5.1.1 ANALISE DA INFLUÊNCIA DO RUÍDO NO DESEMPENHO DA METODOLOGIA DE LOCALIZAÇÃO.110
5.1.2 ANALISE DA INFLUÊNCIA DE MEDIÇÕES INCOMPLETAS NO DESEMPENHO DA METODOLOGIA DE
LOCALIZAÇÃO... 114
5.1.3 ANALISE DO EFEITO COMBINADO DE RUÍDO E MEDIÇÕES INCOMPLETAS NO DESEMPENHO DA
METODOLOGIA DE LOCALIZAÇÃO... 119
5.1.4 ANALISE DA INFLUÊNCIA DO NÚMERO DE MODOS UTILIZADOS NO DESEMPENHO DA
METODOLOGIA DE LOCALIZAÇÃO... 125
5.1.5 DEFINIÇÃO DOS ELEMENTOS PROVAVELMENTE DANIFICADOS A SEREM UTILIZADOS NA
METODOLOGIA DE DETECÇÃO DE DANO DE DUAS ETAPAS. ... 126 5.2 ALGORITMOSGENÉTICOS. ... 127
5.2.1 DESEMPENHO DOS AGS PERANTE MEDIÇÕES EXPERIMENTAIS IDEAIS: COMPLETAS E SEM
PRESENÇA DE RUÍDO. ... 128
5.2.2 DESEMPENHO DOS AGS PERANTE MEDIÇÕES EXPERIMENTAIS REAIS: INCOMPLETAS E COM
PRESENÇA DE RUÍDO. ... 130
5.2.3 ANALISE DO EFEITO DE RUÍDO NAS MEDIÇÕES NO DESEMPENHO DOS ALGORITMOS GENÉTICOS.
134
5.2.4 ANALISE DO EFEITO DAS MEDIÇÕES INCOMPLETAS NO DESEMPENHO DOS ALGORITMOS
GENÉTICOS. ... 138
5.2.5 ANALISE DA INFLUÊNCIA DO NUMERO DE MODOS NO DESEMPENHO DOS ALGORITMOS
GENÉTICOS. ... 140
5.2.6 ANALISE DA INFLUÊNCIA DO TIPO DE ELEMENTO DANIFICADO NO DESEMPENHO DOS
ALGORITMOS GENÉTICOS... 142 5.2.7 ANALISE DA CONVERGÊNCIA DOS ALGORITMOS GENÉTICOS... 146 5.2.8 TEMPO DE EXECUÇÃO DOS DIFERENTES AGS. ... 149
6. CONCLUSÕES ... 151 6.1 INTRODUÇÃO ... 151 6.2 METODOLOGIADELOCALIZAÇAODEELEMENTOSDANIFICADOS... 152 6.3 ALGORITMOSGENÉTICOS ... 153 6.4 SUGESTÕESDETRABALHOSFUTUROS... 157
7. REFERENCIAS ... 159 APÊNDICES ... 167
APÊNDICEA:APLICAÇÃODEALGORITMOSGENÉTICOSPARAASOLUÇÃODEUM
PROBLEMADEMINIMIZAÇÃODEUMAFUNÇÃO... 169
APÊNDICEB:APLICAÇÃODAMETODOLOGIADELOCALIZAÇÃOEMTRELIÇAS MODELADACOMELEMENTOSDEBARRA. ... 189
1. INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇAO DA PESQUISA
Diferentes setores industriais, como o civil, o mecânico e o aeronáutico, encontram-se desenvolvendo técnicas de detecção de dano não destrutivas (DDND) que permitem avaliar dano em suas estruturas - aviões, plataformas marítimas de petróleo, pontes, torres de transmissão. O dano pode ser o resultado decorrente simplesmente do uso, envelhecimento, sobrecargas, fadiga da estrutura ou da ocorrência de um evento extremo.
A importância das metodologias de detecção de dano está no fato que elas ajudam na tomada de decisões sobre a necessidade de reforçar ou reparar as estruturas. Se incluídas em programas de manutenção de estruturas, ajudam que sejam reduzidas ao mínimo as conseqüências do dano, assim como as perdas econômicas que se produziriam no caso da estrutura deixar de funcionar corretamente ou entrar em regime de colapso.
Um estudo sobre as implicações econômicas de se detectar dano através de um sistema de monitoramento da saúde estrutural (SHM) é apresentado por Shon et al (2004). Nesse estudo é comentado que a British Petroleum estabelece
que o benefício econômico de um sistema SHM para uma das suas estruturas Offshore foi da ordem de ₤50 milhões. Igualmente, quando eventos extremos, como sismos de grande intensidade, atingem uma estrutura, precisa-se que seja determinada sua condição atual afim de não representar uma ameaça para seus ocupantes.
Por outro lado, as principais técnicas do tipo DDND consistem em inspeção visual, utilizam acústica, ultra-som, campos magnéticos, raios-X, ou, ainda, princípios térmicos para a determinação do dano. Essas técnicas podem realizar uma detecção de dano local e conseguem funcionar bem se o dano está localizado dentro de uma região da estrutura que seja conhecida a priori e que seja acessível (REN e DE ROECK, 2002; FARAVELLI e CASCIATI, 2004; RAHAI et al. 2007).
Outro tipo de técnica DDND, é aquela que utiliza variações dos parâmetros dinâmicos da estrutura entre o estado inicial e atual, na qual, a condição não danificada da estrutura pode ser representada por um modelo de elementos finitos apropriado ou a partir de dados experimentais (DOEBLING,1998). A base física destas técnicas se encontra no fato que o dano introduz mudanças nas propriedades de uma estrutura - rigidez, massa e amortecimento- ocasionando variações nas propriedades dinâmicas da estrutura, sejam freqüências naturais, formas modais e/ou amortecimentos modais.
A partir de medições destas propriedades um problema inverso é formulado, no qual se deseja encontrar os parâmetros atuais do sistema que originam essa resposta da estrutura. A principal dificuldade decorre do fato que só alguns conjuntos de dados incompletos estão disponíveis, os quais fazem parte de um domínio em principio infinito. Isto faz com que varias configurações de parâmetros possam satisfazer a formulação do problema inverso.
Ainda, dado que medições experimentais contêm uma determinada quantidade de ruído, a dificuldade na resolução do problema é aumentada. Para lidar com estes tipos de problema os dados experimentais devem ser estendidos e/ou filtrados, para converter o problema inverso mal posto em um domínio bem estruturado que possa ser resolvido utilizando alguma ferramenta analítica.
Algumas das principais vantagens de se utilizar as técnicas DDND são: não se precisa conhecer a priori os locais danificados; a possibilidade de determinar o comportamento global da estrutura; a obtenção, a partir de um número limitado de sensores, da informação suficiente para a localização e quantificação do dano;
a utilização, na maioria dos casos, de um número de equipamento não excessivo (HUMAR, 2006); e a capacidade de se realizar medições remotamente, o que rapidamente minimiza o impacto sobre o funcionamento da estrutura (DOEBLING, 1998). Os recentes progressos obtidos no desenvolvimento das técnicas DDND foram o resultado dos grandes avanços obtidos pela comunidade cientifica nos campos da análise modal, do processamento de informação de dados e do método dos elementos finitos.
Por outro lado, sendo o problema de detecção de dano essencialmente um problema de otimização, a aplicabilidade de metaheurísticas é evidente, já que, dadas as condições do problema, essas poderiam ter um melhor desempenho quando comparadas com algoritmos clássicos de otimização. Entre as principais razões, se encontra o fato que as metaheurísticas permitem encontrar soluções globais, não requerem cálculo de derivadas da função objetivo, não dependem do ponto inicial e pouca sensibilidade a ruídos (BEGAMBRE, 2007).
Uma dessas técnicas é conhecida como algoritmos genéticos (AG), a qual faz uma analogia com o processo evolutivo e a sobrevivência do mais apto para levar uma população inicial de soluções candidatas ao nosso problema a evoluir através de gerações; e encontrar assim a melhor resposta. Algoritmos genéticos são eficientes na resolução de múltiplos tipos de problemas em diversas áreas- otimização de funções numéricas, otimização combinatória, dimensionamento de elementos, aprendizagem de maquinas, entre outras (BEASLEY et al., 1993).
A presente pesquisa realiza uma contribuição nesse sentido, ao estudar a aplicabilidade de metodologias que, a partir das variações nos parâmetros dinâmicos da estrutura e a utilização de AGs para a resolução do problema inverso, conseguem localizar e quantificar dano estrutural.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo Principal
Estudar a aplicabilidade de algoritmos genéticos na localização e quantificação de dano em estruturas planas.
1.2.2 Objetivos Específicos
• Implementar diversos tipos de codificação de indivíduos em AG e analisar os resultados em diversos cenários de dano.
• Utilizar parâmetros dinâmicos da estrutura para a definição da função objetivo.
• Analisar a influencia sobre os resultados de medições incompletas e com presença de ruído.
• Determinar o efeito da quantidade de informação utilizada, nesse caso o número de modos, sobre o desempenho das metodologias implementadas
• Estudar a viabilidade da aplicação de uma metodologia que permita localizar elementos provavelmente danificados.
• Aplicar uma técnica de expansão modal para resolver o problema de medições incompletas.
1.3 METODOLOGIA
A presente dissertação foi desenvolvida seguindo duas linhas de trabalho.
A primeira está relacionada com a obtenção do conhecimento necessário para se compreender a fundamentação física das metodologias que utilizam parâmetros dinâmicos para detecção de dano, e a outra trata da implementação computacional das metodologias baseadas em AGs que permitam determinar o dano em estruturas.
Em relação à fundamentação teórica, foi realizada uma revisão bibliográfica sobre as principais metodologias de detecção de dano, propostas mais recentemente, que utilizam parâmetros vibracionais da estrutura. Ênfase foi dada às metodologias que permitem localizar elementos danificados e aquelas que consideram o problema de detecção de dano como um problema de otimização. Dado que a detecção de dano tem a ver com dados incompletos, algumas técnicas de expansão de formas modais foram introduzidas. Em relação à técnica computacional aplicada –AGs- os fundamentos desta são apresentados.
Três tipos de metodologias de detecção de dano que utilizam algoritmos genéticos são implementados. O primeiro é um AG de código binário o qual realiza o processo de detecção de dano, apoiado numa previa redução do espaço
de busca, mediante a determinação de elementos provavelmente danificados. O segundo algoritmo é baseado na codificação real e realiza o processo de localização e quantificação do dano estrutural simultaneamente. O terceiro algoritmo é baseado em codificação redundante. Este tipo de algoritmo permite alterar o número de variáveis durante o processo evolutivo.
As metodologias anteriores serão testadas em estruturas planas (vigas, treliças e pórticos) e, para isso, são levadas em conta as seguintes considerações:
• As propriedades dinâmicas da condição não danificada são obtidas a partir do modelo analítico original de elementos finitos da estrutura.
• A resposta da estrutura, depois de ter sido danificada, se encontra em regime linear
• A estrutura não apresenta amortecimento.
• O dano é definido, como usual na literatura, por meio de uma diminuição da rigidez do elemento danificado.
• Para o estudo da condição danificada, o dano será introduzido dentro do modelo de elementos finitos. Por meio de uma análise direta são calculadas as propriedades modais do estado danificado. Estas propriedades serão utilizadas, então, para realizar o procedimento inverso, ou seja, a partir delas será determinada a condição atual da estrutura.
• Os dados experimentais considerados correspondem unicamente a freqüências naturais e formas modais, por isso a função objetivo utilizada deverá estar baseada nesses parâmetros.
A comparação do desempenho dos diferentes algoritmos será realizada com base nos seguintes critérios:
• Dano simples e dano múltiplo. Para o último caso, dano localizado e dano estendido são examinados.
• Presença de ruído nas medições. Valores típicos de níveis de ruído, encontrados durante a determinação experimental de freqüências e modos, são incluídos nos parâmetros dinâmicos da condição danificada.
• Medições incompletas. Devido a razoes técnicas ou econômicas, geralmente a medição da resposta da estrutura em todos os graus de liberdade do modelo de elementos finitos não é possível.
• Localização dos elementos danificados. Para o caso de dano simples nas estruturas e a posição do dano dentro da estrutura é variada.
Finalmente, os algoritmos genéticos, e os diferentes procedimentos requeridos, serão realizados na linguagem de programação Fortran 90.
1.4 ORGANIZAÇAO DO TRABALHO
No Capitulo 1 é apresentada uma descrição geral do trabalho desenvolvido, a qual contém as motivações que levaram à sua realização, os objetivos esperados e a metodologia que será empregada.
O Capitulo 2 contem um resumo das principais características da técnica conhecida como algoritmos genéticos.
No Capítulo 3 é apresentada a revisão bibliográfica relacionada ao problema de detecção de dano em estruturas.
O capítulo 4 faz uma breve introdução à formulação do método de elementos finitos e descreve as estruturas analisadas, os cenários de dano estudados e os parâmetros que definem os algoritmos genéticos utilizados para detectar dano. Uma breve descrição do programa implementado é apresentada.
No capítulo 5 são mostrados e discutidos os resultados das aplicações das metodologias de detecção de dano estudadas quando aplicadas sobre diferentes estruturas e diferentes cenários de dano.
Por último, no capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho e algumas sugestões para trabalhos futuros.
2. ALGORITMOS GENÉTICOS
2.1 INTRODUÇÃO
Algoritmos genéticos (AGs) são de natureza estocástica e permitem encontrar soluções ótimas ou quase ótimas em problemas de otimização, através de uma analogia com as leis de seleção natural e sobrevivência do mais apto. AGs foram desenvolvidos por Holland e seus estudantes na Universidade de Michigan com dois objetivos principais: explicar de forma rigorosa o processo adaptativo de sistemas naturais e criar programas de computadores baseados em mecanismos de sistemas naturais (GOLDBERG, 1989).
No mundo real, e em diversos ambientes, indivíduos competem por recursos e pela possibilidade de encontrar um par. Assim, indivíduos que apresentem maiores probabilidades para conseguir recursos para a sua sobrevivência e de encontrar um par, terão maiores oportunidades para se reproduzir, transmitindo assim parte das suas características aos novos indivíduos. As características de indivíduos com pouca probabilidade de obter recursos e de encontrar um par serão perdidas com o passar de poucas
gerações. Sendo assim, espera-se que os novos indivíduos apresentarem melhores características que os Pais, levando o problema à convergência para o melhor individuo, ou seja, a uma melhor adaptação da população ao seu ambiente.
A analogia que um AG clássico – algoritmo originalmente proposto por Holland- segue como base fundamental é descrita a seguir. Primeiro, define-se uma população de indivíduos em forma codificada (código binário ou real), os quais correspondem a possíveis soluções ao problema. Esses indivíduos são avaliados para observar a sua adaptação ao ambiente no qual se encontram, sendo os melhores indivíduos escolhidos e permitidos de se reproduzir. Os novos indivíduos, os quais compartilham algumas características dos pais, podem ou não ser submetidos a um processo de mutação, o qual permite a introdução de novas características ao individuo. A nova população tem agora as características dos melhores indivíduos da geração anterior.
O procedimento anterior é repetido até encontrar uma convergência da população ao indivíduo mais apto ou quando é atingido um número predeterminado de gerações. Na Figura 2.1 é mostrado o esquema de um AG clássico. Dado que o AG é um algoritmo estocástico, precisa-se de varias realizações para obter uma boa resposta do problema.
Para se garantir que o melhor individuo não seja perdido de uma geração para outra, pelas aplicações dos operadores genéticos: cruzamento e mutação, freqüentemente é utilizada a estratégia elitista, que consiste em que o melhor individuo de cada geração passa a ser parte da seguinte.
Figura 2. 1 Esquema de um algoritmo genético clássico.
Por outro lado, AGs conseguem combinar de forma perfeita dois conceitos importantes para o sucesso de qualquer método de otimização: exploração e explotação. A Exploração consiste na procura da solução ótima através de todo o espaço de busca. Explotação refere-se ao fato de se aproveitar regiões mais aptas do espaço e procurar pela melhor solução nessas regiões. Se o algoritmo permite que só exploração seja realizada, tem-se muita perda de tempo e a busca poderia ser comparada com aquela de uma busca aleatória. Por outro lado, se o método é completamente explotação o algoritmo poderia convergir
População Inicial
Seleção Solução ou
# Max de Gerações
Cálculo Aptidão Mutação Cruzamento
Fim Inicio
Cálculo Aptidão
para uma solução sub-otima. Portanto, precisa-se de um balanço entre essas duas propriedades.
Em AGs prefere-se conferir um valor maior na exploração para as primeiras gerações já que ainda não se tem um bom conhecimento do espaço de busca, e um valor maior para a explotação nas etapas finais da execução do algoritmo, já que se tem uma população com algum grau de convergência. Essa característica esta ligada ao conceito de diversidade da população, a qual representa uma medida do grau de semelhança entre os indivíduos que formam a população. Assim, maior diversidade indicaria que os indivíduos são menos semelhantes e vice-versa.
No relacionado às metodologias clássicas de otimização, AGs são diferentes, essencialmente, em quatro aspectos (GOLDBERG, 1989):
• AGs não trabalham com as variáveis a serem otimizadas senão com codificações delas. Em geral, é aceito que uma codificação é mais apropriada para um determinado problema na medida em que representa, de uma forma mais natural, o espaço de solução.
• AGs utilizam uma população de possíveis soluções para tentar encontrar a solução do problema e não uma única solução como em técnicas clássicas de otimização. Uma das grandes vantagens dos AG é o paralelismo implícito que possui, devido ao fato de trabalhar com múltiplas soluções, porém esse paralelismo vai se perdendo na medida em que a população converge já que a população pode apresentar muitos indivíduos iguais. A diversidade da população pode ser aumentada com o aumento do tamanho da população ou pelo aumento da taxa de mutação.
• AGs precisam unicamente da informação da função a ser otimizada e não das suas derivadas ou outras informações auxiliares. Isto é essencialmente
útil quando se trabalha com espaços complexos e que possam apresentar descontinuidades.
• AGs empregam regras de transição probabilísticas e não determinísticas.
Essa característica dos AGs permite-nos trabalhar com uma gama maior de problemas, mediante um número mínimo de modificações do algoritmo original.
Igualmente, têm-se algumas dificuldades com a maioria das técnicas diretas e baseadas em gradiente, e que não são apresentadas pelos AGs (DEB, 1999):
• A convergência do método depende fortemente do ponto inicial.
• Apresentam uma tendência a ficar presos em ótimos locais.
• O êxito na resolução de um tipo de problema não garante que possa ser utilizado num problema de otimização diferente.
• Não são eficientes para tratar com otimização de variáveis discretas.
• Não são eficientemente utilizados em computadores paralelos.
A principal área de atuação de AGs está na abordagem de problemas para os quais não existem técnicas especificas (BEASLEY et al., 1993). Mas, a partir da hibridização com outras técnicas heurísticas dependentes do domínio, poderia se converter numa implementação eficiente (GEN e CHENG, 1997).
Para ilustrar as diferentes operações realizadas na execução de um AG de código binário e real, um exemplo simples é mostrado.
Deseja-se, por exemplo, minimizar a função de Rastrigin com duas variáveis (DIGALAKIS e MARGARITIS, 2002), Figura 2.2:
( )
, 20(
2 10(
2) ) (
2 10(
2) )
F x y = + x − ×Cos πx + y − ×Cos πy (2.1)
no intervalo de -2,00 a 2,00 e com uma precisão de 2 cifras decimais. O mínimo global desta função encontra-se na origem do sistema de coordenadas (0.00, 0.00). Um total de seis possíveis soluções, como mostrado na Tabela 2.1, é utilizada como população inicial.
Figura 2. 2 Função de duas variáveis a ser otimizada.
No apêndice A apresenta-se em maiores detalhes o modo de como proceder e a realização dos cálculos para a obtenção de uma geração inicial.
Tabela 2.1 População inicial de indivíduos.
Individuo X Y
I 0,80 0,25
II -0,94 1,11
III -0,45 -0,39
IV 1,98 -0,32
V 1,45 -1,08
VI -0,10 0,12
2.1.1 Função Objetivo e restrições
A função objetivo tem uma relação direta com a função que define a aptidão dos indivíduos e é, em essência, a função a ser trabalhada no problema de
otimização, que poderia ser um problema de maximização ou minimização. AGs podem trabalhar com diversos tipos de funções objetivo: convexas ou não convexas, discretas ou continuas, uni-modais ou multimodais, lineares ou não lineares. Para o exemplo estudado as aptidões dos indivíduos da população são calculadas mediante uma modificação da Equação (2.1), qual seja:
( , ) ( , )
g x y = −C f x y (2.2)
sendo que a constante C é assumida para o nosso problema como 50, no sentido de ser a função objetivo positiva no domínio de interesse (g(x, y)>0), cuja razão será oportunamente esclarecida.
As aptidões dos indivíduos são, então, apresentadas na Tabela 2.2:
Tabela 2.2 Aptidões dos indivíduos da população atual.
Individuo F(Xi)
I 32,39
II 44,89
III 12,43
IV 31,64
V 25,98
VI 45,36
Ftotal 192,68
Muitos dos problemas que podemos encontrar no mundo real apresentam restrições sobre os valores das variáveis envolvidas, as quais gerarão zonas do espaço de busca que não constituem regiões viáveis para encontrar uma solução do problema. Levando-se em conta tal fato, os indivíduos podem ser classificados como viáveis quando pertencem a regiões do espaço de busca que cumpre com todas as restrições do problema ou inviáveis quando violam alguma das restrições.
Uma classificação das restrições pode ser considerada e composta do número (métrica) da gravidade e da dificuldade das restrições (SMITH e COIT, 1995).
Um problema com restrições pode ser trabalhado, em forma geral, utilizando-se alguma das seguintes estratégias (GEN e CHENG, 1997):
• Estratégia de rejeição de indivíduos: todo individuo inviável é rejeitado ao longo do processo evolutivo. Pode ser utilizada principalmente em espaços convexos e quando os indivíduos inviáveis não constituem uma porcentagem muito grande do total da população. Deve ser levado em conta, todavia, que a solução de um problema de otimização poderia, em alguns casos, ser realizada de forma mais fácil desde regiões inviáveis pudessem ser mantidas no processo evolutivo.
• Estratégia de reparação de indivíduos: consiste em se tornar um indivíduo inviável em um indivíduo viável utilizando-se um procedimento determinístico de reparação. A principal desvantagem desta estratégia é que um procedimento de reparação específico deve ser proposto para cada problema de otimização a ser resolvido. Em otimização combinatória a reparação de indivíduos pode resultar relativamente fácil de se realizar (MICHAELEWICZ, 1995).
• Estratégia de modificação dos operadores genéticos: novos operadores genéticos e sistemas de codificação podem ser propostos para um problema específico tal que os indivíduos gerados sejam sempre viáveis. A principal aplicação desta estratégia encontra-se em problemas nos quais é extremadamente difícil localizar ao menos uma solução viável (COELLO, 1999).
• Estratégia de inclusão de penalidades na função objetivo: O problema com restrição é convertido num problema sem restrição fazendo-se com que todos os indivíduos sejam viáveis. Para isso, um termo de penalização, o qual pode ser estático ou dinâmico, é introduzido na função objetivo, tal que
indivíduos inviáveis sejam punidos pela violação de uma ou varias das restrições do problema. A estratégia permite manter uma quantidade determinada de soluções inviáveis na população fazendo que a busca pela solução ótima possa ser realizada tanto em regiões do espaço de busca que sejam viáveis ou inviáveis.
A utilização de penalidades é talvez a estratégia mais utilizada em AGs para se levar em conta as restrições do espaço de busca.
2.1.2 População
Um dos parâmetros que devem ser definidos para a utilização de um AG é o tamanho da população, que, por sua vez, poderia ser mantido constante ou poderia variar ao longo das gerações. A definição deste parâmetro depende em forma direta do número de variáveis a serem otimizadas no problema. Deve ser levado em conta que uma população muito pequena faz com que o espaço de busca seja percorrido numa forma muito pobre; com o que muitas regiões do espaço de busca poderiam não ser exploradas e se apresentar uma possível convergência do algoritmo para um ótimo local. Assim mesmo, quando o tamanho da população é muito grande, o tempo requerido para a avaliação das aptidões dos indivíduos e da aplicação dos outros operadores genéticos poderia chegar a ser proibitivo.
Em relação à definição da população inicial esta é gerada, freqüentemente, por meio de um processo aleatório; porém existem muitos problemas para os quais a população é gerada segundo uma formulação de natureza heurística a ter como objetivo acelerar o processo de busca.
2.1.3 Critérios de parada e análise de desempenho
Freqüentemente como critérios de parada são assumidos um número máximo de iterações que o AG pode atingir ou um número de iterações sucessivas nas quais não se tenha mudanças significativas da soma de aptidões de todos os indivíduos da população.
Por outro lado, a analise do desempenho do algoritmo, como proposto por De Jong (COLEY, 1999; HAUPT e HAUPT, 2004) pode ser realizada a partir de dois critérios:
Desempenho Off-line: serve para medir o desempenho do algoritmo para cada geração e é calculado como o valor médio do melhor indivíduo, fm elhor, na geração atual g, assim:
( )
m( )
1
1 g
off elhor
j
f g f j
g =
= ∑ (2.3)
• Desempenho On-line: este critério serve para medir a convergência do algoritmo e é dado pelo valor médio de todas as aptidões dos indivíduos gerados pelo AG até a geração atual, assim:
( ) ( )
1 1
1 g 1 N
on i
j i
f g f j
i = N =
= ∑ ∑ (2.4)
onde Né o tamanho da população.
2.2 CODIFICAÇÃO
Um dos fatores de maior importância para que um AG possa ter sucesso é o tipo de codificação utilizado para a representação das possíveis soluções do problema que se deseja estudar. Essa representação condicionará todas as operações posteriores a serem realizadas, sendo que o algoritmo trabalha conjuntamente
entre o espaço de soluções - espaço fenotípico-, através das operações de avaliação da aptidão e seleção, e no espaço codificado – espaço genotípico-, com ajuda dos operadores genéticos de cruzamento e mutação. O tipo de codificação deve garantir que o tempo gasto nos processos de codificação e decodificação não seja demasiado.
A utilização de tipos de codificação diferentes, como a codificação inteira a qual é utilizada em problemas de otimização combinatória, implica na criação de novos operadores que permitam melhorar o desempenho do algoritmo. Essas codificações devem levar em conta três aspectos essenciais:
viabilidade e validade do individuo, e unicidade do mapeamento entre o espaço de solução e o espaço codificado (GEN e CHENG, 1997). Um indivíduo válido é aquele que representa uma solução para o problema, enquanto que um indivíduo viável é aquele, como comentado anteriormente, que pertencendo ao espaço de soluções e cumpre com as restrições impostas sobre o problema. O mapeamento entre os espaços deve garantir que para cada indivíduo no espaço de busca corresponda um único individuo no espaço de soluções e vice-versa.
No presente trabalho são abordadas as características básicas de algoritmos genéticos de código binário, código real e redundante implícita. Por tanto, só serão apresentadas as técnicas de como levar a cabo essas codificações. Em geral, os dois primeiros tipos de codificação seguem uma analogia com a natureza: para cada individuo cada uma das variáveis corresponde a um gene, sendo a união de todos os genes o que configura o cromossomo. Os valores que estes genes podem assumir são conhecidos como alelos. O último tipo de codificação permite variar o número de genes para cada indivíduo da população durante todo o processo evolutivo.
2.2.1 Código Binário
O código binário é tal vez o tipo de representação mais utilizado entre os pesquisadores que utilizam AGs. Cada variável do problema é codificada através de um valor binário para formar uma única cadeia binária correspondente ao cromossomo.
Como mostrado por Debs (1999) a codificação binária apresenta as seguintes características:
• A precisão requerida para representar uma variável qualquer é dada mediante a utilização de um número adequado de bits para cada gene.
• Distintos genes podem ter diferentes comprimentos.
• As variáveis podem assumir tanto valores negativos como positivos.
A utilização de codificação binária para a solução de problemas com variáveis que podem assumir valores contínuos requer a determinação do tamanho do cromossomo que codificará os indivíduos e da definição das regras de transformação, que permitem expressar um número real como um número binário e vice-versa.
Para se determinar o tamanho do cromossomo primeiro deve-se calcular o tamanho de cada um dos genes que codifica cada uma das variáveis do problema. Para isso, procura-se que se cumpra a seguinte desigualdade (GEN e CHENG, 1997):
( )
2mj−1< bj −aj ×precj ≤2mj −1 (2.5)
Na qual mj é o número de bits para a codificação da variável j. aj, bj são os valores mínimo e máximo que pode assumir a variável j, respectivamente, e
precj a precisão requerida. O tamanho do cromossomo pode ser calculado como:
1
_ n j
j
Tam Cromo m
=∑= (2.6)
Com nsendo o número de variáveis do problema.
Por outro lado, a transformação de um número binário a um número real é realizada em dois passos. Primeiro, o número binário é transformado num número inteiro, assim:
( )
1
#int 2
j
j
m m i
j j
i
Valor Bit −
=∑= × (2.7)
Depois para se obter o valor no espaço real, utiliza-se a seguinte equação:
# int
2 1
j j
j j j mj
b a
x a −
= + ×
− (2.8)
O procedimento anterior deve ser realizado para cada uma das variáveis do problema.
Para o exemplo estudado temos que o número de bits que precisamos para codificar uma solução vem dado da Equação (2.5):
( )
9 1 2 9
2 − =256< − −2 ( 2) *10 =400≤ − =2 1 511
Por tanto, cada uma das variáveis precisa de 9 bits para a codificação, sendo o cromossomo formado, então, por um total de 18 bits.
As equações para transformar um número de binário para inteiro e de inteiro para real são, respectivamente:
9 9
1
# intj j 2 i
i
Valor Bit −
=∑= ×
9
2 ( 2) 2 # int
2 1
x= − + j× − −
−
Estas expressões podem ser utilizadas para decodificar o gene Y devido ao fato de que foram utilizadas a mesma precisão e intervalo de valores que para o gene X.
Um detalhe importante em codificação binária é que duas soluções que no espaço continuo podem estar próximas, depois de serem codificadas podem não
estar mais, ou seja, dois fenótipos contínuos podem apresentar dois genótipos completamente distintos (ROTHLAUF, 2002). Uma forma de medir quão diferentes são dois indivíduos codificados x1e x2 é através da distancia Hamming, a qual denota o número de diferentes alelos entre dois genótipos, e é calculada como:
1 2 1
, 1, 2,
0 l
x x i i
i
d − x x
=∑= − (2.9)
Com l o comprimento do cromossomo.
Para solucionar o problema anterior pode-se utilizar a codificação Gray, a qual garante que qualquer dois pontos adjacentes no espaço do problema terão uma distancia Hamming igual a um na representação codificada (COLEY, 1999).
A transformação de um número em código binário para um número em código Gray requer que seja realizado o seguinte procedimento: O primeiro bit do binário é copiado ao primeiro valor do número Gray. As outras posições são calculadas utilizando-se o operador modulo, o qual consiste em atribuir o valor um para a posição i se as posições i e i−1 do binário apresentam o mesmo valor, e zero em caso contrario. Para se converter um indivíduo de codificação Gray para codificação binária a operação modulo é executada sobre todos os bits anteriores a i e incluindo-o. A Figura 2.3 mostra um exemplo de como converter um número binário a Gray.
Figura 2. 3 Transformação de um número em código binário a código Gray.
Por outro lado, no exemplo estudado a população inicial foi gerada no espaço de busca fenotípico, por tanto, tem-se que transformar o número decimal num número inteiro e depois levar este a sua forma binária. Essa operação pode ser expressa como:
( ) (
2 1)
# int
mj
j j
j
j j
x a b a
− × −
= − (2.10)
Esse número inteiro deve ser agora transformado num número binário. Na Tabela 2.3 pode-se encontrar a codificação binária e Gray para o exemplo estudado.
Tabela 2.3 Codificação dos indivíduos da população em forma Binária e Gray.
Individuo Código Binário Código Gray I 101100110-100011111 100101010-101101111 II 010001000-110001110 000110011-110110110 III 011000110-011001110 001011010-001010110 IV 111111100-011010111 111111101-001000011 V 110111000-001110110 110011011-010110010 VI 011110011-100001111 001110101-101110111
2.2.2 Código Real
A codificação real tenta realizar uma aproximação mais natural do espaço de soluções, trabalhando diretamente no espaço fenotípico. Outro motivo que pode levar a se preferir a utilização de codificação real é o tempo gasto por um AG de código binário na realização dos processos de codificação e decodificação de indivíduos. A Tabela 2.4 mostra como é conformado o fenótipo de cada individuo segundo a codificação real.
Tabela 2.4 Fenótipo dos indivíduos da população.
Individuo Fenótipo
I 0,80 0,25
II -0,94 1,11
III -0,45 -0,39
IV 1,98 -0,32
V 1,45 -1,08
VI -0,10 0,12
2.3 SELEÇÃO
O processo de seleção consiste na escolha dos indivíduos de uma geração dada que serão utilizados na reprodução, contribuindo para a formação da geração seguinte. Assim, indivíduos com altas aptidões devem ser favorecidos para poder se reproduzir, enquanto que indivíduos com baixas aptidões devem ter altas probabilidade de ser descartados nessa tarefa. Porém, estes indivíduos não devem ter probabilidade de seleção zero, já que poderiam encontrar-se perto de regiões de maior interesse dentro do espaço de busca, e, com a ajuda dos operadores genéticos, poderiam dar origem a melhores indivíduos.
Na definição de um método de seleção a pressão de seleção, definida como a relação entre a aptidão máxima e a aptidão media da população, joga um papel muito importante. Pressões muito altas levam o algoritmo a uma convergência prematura e pressões muito baixas ocasionam uma busca aleatória no espaço. Para as primeiras gerações a pressão de seleção deve ser baixa para assim facilitar a exploração das diferentes regiões do espaço e nas ultimas gerações a pressão de seleção deve ser alta para favorecer a explotação das melhores áreas.
Um resumo dos principais métodos de seleção aplicados em AGs é apresentado na continuação:
