(1)MAT2351 - Exerc´ıcios LISTA 1 2015 1

MAT2351 - Exerc´ıcios LISTA 1 2015 1. Seja F(t) = (e^t−11 ,√

1−t²).

(a) Ache o dom´ınio deF; (b) Calcule F(−1);

(c) Calcule o limite lim_t→1⁻F(t); (d) Calcule F⁰(t).

2. Seja F(t) = (^tg_t^3t,√

t²+ 2, t−1).

(a) Ache o dom´ınio deF; (b) Calcule o limite limt→0F(t);

(c) CalculeF⁰(t) e F⁰(1).

3. Calcule γ⁰(t):

(a) γ(t) = (1−2t, t² + 4), (b) γ(t) = (e^tcost, e^tsent)

(c) γ(t) = (cost,sent) (d) γ(t) = (sen2πt, cos2πt,2t−t²)

4. Descreva por uma equa¸c˜ao (em x,y), para (a)-(e), e desenhe as imagens das seguintes curvas:

(a) γ(t) = (¹₂,1−t) (b) γ(t) = (1−2t, t²+ 4), t∈[0,3]

(c) γ(t) = (sent,sen²t) (d) γ(t) = (2 + cost,−3 + 4sent) (e) γ(t) = (√

2 cost,2 sent) (f) γ(t) = (e^tcost, e^tsent), t≥0 5. Ache uma parametriza¸c˜ao para:

(a) a hip´erbole: x²−y² = 4; (b) a astroide: x²³ +y²³ = 1;

(c) a c´ubica: y² =x³. 6. Considere f(x) = (√³

x)². A fun¸c˜ao f ´e deriv´avel emx= 0? Determine uma curva γ :R→ R² deriv´avel e cuja imagem seja igual ao gr´afico de f.

7. Encontre o vetor tangente em cada ponto da curva. Ache os pontos da curva nos quais a tangente ´e horizontal ou vertical. Determine os pontos m´ultiplos (se houver) e ache os vetores tangentes nesses pontos.

(a) γ(t) = (t(t²−3),3(t²−3)) (b) γ(t) = (t³−3t², t³−3t) (c) γ(t) = (t²−1, t⁶−t⁴) (d) γ(t) = (t², t³−3t)

8. Determine o ponto m´ultiplo da curva a seguir. Esse ponto corresponde a que valores det? Ache as retas tangentes `a curva neste ponto:

γ(t) = (9(1−3t²), 9t(1−3t²)) 9. Considere a curva dada por

γ(t) =

3t

1 +t³, 3t² 1 +t³

,

para t > −1. Calcule os limites de γ(t) quando t tende a −1 pela direita e quando t → +∞.

Calculeγ(0). Estude γ⁰(t) como no ex.7. (Tente fazer um esbo¸co da imagem da curva.)

10. Para cada curva abaixo, determine um ponto onde ocorre uma auto-intersec¸c˜ao. Ache as retas tangentes neste ponto.

(a) γ(t) = (1−2 cos²t,(1−2 cos²t) tgt), t∈(−π/2, π/2) (b) γ(t) = (9(1−3t²), 9t(1−3t²))

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11. Ache a equa¸c˜ao polar da curva dada em coordenadas cartesianas por:

(a) x²+ (y−3)² = 9 (b) x²−y² = 1 (c) x² = 4y

12. Ache a equa¸c˜ao em coordenadas cartesianas da curva dada em coordenadas polares por:

(a) r= 5 (b) r cosθ= 3 (c) r=cosθ+senθ (d) r² = 2 cos2θ

13. Esboce a curva dada em coordenadas polares por

(a) r=θ (b) r = 3 senθ (c)r= 2(1−sen θ) (d) r=cos2θ

14. Ache uma parametriza¸c˜ao para a curva dada pela interse¸c˜ao do cilindrox²+y² = 9 com o plano z =x. Desenhe essa curva.

15. Seja a curva C dada pela interse¸c˜ao do paraboloide z=x²+y² com o plano z = 4x. Que tipo de curva ´e C? Desenhe a curva. Ache uma parametriza¸c˜ao para C.

Algumas respostas

1. (a) {t∈R,−1≤t <1} (b) (e^−1/2,0) (c) (0,0) (d) F⁰(t) = (−_(t−1)¹ 2e^t−11 ,−^√_1−t^t ₂) 2. (a) {t | t6= 0, t 6= ^π₆ +^nπ₃ , n ∈Z} (b) (3,√

2,1) (c) F⁰(t) = (^3tsec2(3t)−tg(3t)

t² ,^{√ t}

t²+2,1), (d) F⁰(1) = (3 sec²3−tg 3,^√1₃,1) 3. (a) γ⁰(t) = (−2,2t), (b) γ⁰(t) = (e^tcost−e^tsent, e^tsent+e^t cost,2−2t) (c)γ⁰(t) = (−sent,cost), (d) γ⁰(t) = (2πcos 2πt,−2πsen 2πt)

4. (a)x= 1/2 (b)x²−2x+ 17 = 4y,−5≤x≤1 (d) (4x−8)²+ (y+ 3)² = 16, (e) 2x²+y² = 4 (f) log(x²+y²)^1/2 = arccos(_(x2+y^x2)^1/2)

5. (a) γ(t) = (₂^t + ²_t,^t₂ −²_t) ou γ(t) = (2cosh(t),2senh(t)) (b)γ(t) = (cos³t, sen³t) (c) γ(t) = (t², t³)

6. f n˜ao ´e deriv´avel emx= 0. γ(t) = (t³, t²)

7. (a) Horizontal: (0,−9), Vertical: (−2,−6), (2,−6) Ponto m´ultiplo: (0,0) (b) Horizontal: (−2,−2),(−4,2), Vertical: (0,0),(−4,2), Ponto m´ultiplo: (−4,2) (c) Horizontal: (−1/3,−4/27), Vertical: N˜ao tem, Pontos m´ultiplo =(R\ {0}) (d) Horizontal: (1,−2),(1,2), Vertical: (0,0), Ponto m´ultiplo: (3,0)

8. (0,0); t = ^√1

3 et =−^√1

3;x=√

3y e x=−√ 3y

9. limt→∞γ(t) = (0,0) γ(0) = (0,0) γ⁰(t) = (_(1+t^3−6t3³)²,_(1+t^6t−3t3)⁴²) 10. (a) (0,0), y =x e y=−x (b) (0,0), y=√

3x e y=−√ 3x 11. (a) r= 6 senθ (b) r²cos 2θ= 1 (c) rcos²θ = 4 senθ

12. (a) x²+y² = 25 (b) x= 3 (c) x²+y² =x+y (d ) (x² +y²)² = 2(x²−y²) 14. (3 sent,3 cost,3 sent)

15. (2 + 2 cost,2 sent,8 + 8 cost)

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