PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
ROSANA APARECIDA DA COSTA VAZ
SARESP/2005: UMA ANÁLISE DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA
7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, SOB A ÓTICA DOS NÍVEIS
DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS E DOS REGISTROS DE
REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
ROSANA APARECIDA DA COSTA VAZ
SARESP/2005: UMA ANÁLISE DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA
7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, SOB A ÓTICA DOS NÍVEIS
DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS E DOS REGISTROS
DEREPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Profª Drª. Barbara Lutaif Bianchini.
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
À minha família
Meu amor Daniel (in memorian) Minhas filhas Milena e Carolina Minha mãe Maria e
Aos Pais: (Rui Barbosa)
“... Se um dia, já homem feito e respeitado, sentires que a terra ceda a teus pés, que tuas belas obras se desmoronaram que não há ninguém à tua volta para te estender a mão, esquece tua maturidade, passa pela tua mocidade, volta à tua infância e balbucia, entre lágrimas e esperanças, as últimas palavras que sempre te restaram na alma:
AGRADECIMENTOS
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Esta pesquisa tem como objetivo analisar o desempenho dos alunos na resolução de algumas questões do SARESP/2005 relacionadas à Álgebra em questões referentes a equações e expressões envolvendo a conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003). Para isso, utilizamos como instrumento de pesquisa, três questões da prova do SARESP/2005 aplicadas ao 8º ano do Ensino Fundamental em 2008. Esta pesquisa possui uma abordagem qualitativa, fundamentada na metodologia da engenharia didática (ARTIGUE, 1996). Para análise dos dados obtidos nos protocolos dos alunos, baseamo-nos nos níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998). As provas foram aplicadas em dois momentos: no primeiro, as questões foram reaplicadas da mesma maneira como no SARESP/2005, ou seja, com as alternativas e, no segundo, num intervalo de quinze dias, reaplicamos, porém, sem as alternativas. Analisando o desempenho apresentado por nossos alunos, notamos que todos se encontram no nível técnico, resolvendo as questões utilizando apenas operações com números, não realizando a conversão do registro da língua natural para o registro algébrico. Acreditamos que para que haja uma boa compreensão dos conceitos algébricos, faz-se necessário um trabalho da Álgebra com suas várias representações, em níveis de conhecimento diferentes, exigindo do aluno a mobilização de seus conhecimentos e articulação de estratégias para a resolução de uma atividade. Espera-se com essa pesquisa, mostrar que o desempenho dos alunos nas avaliações internas deveria ser analisado qualitativamente pelos órgãos oficiais e pelos professores, pois só assim poderiam servir efetivamente para redimensionar e implementar novos procedimentos e estratégias em sala de aula capazes de contribuir para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.
ABSTRACT
The main objective of this work is to analyze students performance on solving some SARESP\2005’s Algebraic questions which referred to equations and expressions involving the conversion of semiotic representation of nature language register to algebraic register (DUVAL, 2003). For this purpose, we used three of the SARESP\2005’s questions applied to the seventh grade of Elementary School students in 2008 as a searching tool. This work has a qualitative approach based on didactic engineer methodology (ARTIGUE, 1996). To analyze the results in students’ records, we based ourselves on Aline Robert’s knowledge mobilization stages (1998). The tests were applied during two different moments: during the first, tests were reapplied in the same way as on SARESP\2005, i.e., using alternatives and, after fifteen days, in the second moment, we reapplied them but without alternatives. Analyzing our students’ performance it was noted that all of them are in a technical stage, solving questions using only operations with number instead of doing the conversion of nature language register to algebraic one. We believe that it is necessary to do an Algebra work including its several representations, on different stages of knowledge, which requires the students’ knowledge mobilization and the strategies articulation to solve some questions so that they can have a good understanding of algebraic concepts. Through this work, we expect to show that it would be better to do a qualitative analysis of students’ performance in internal evaluations from official bodies and from teachers, once it could be used to measure and implement new procedures and strategies capable of contributing to make the teaching and learning process in classroom better.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO...17
CAPÍTULO 1 1. SOBRE O SARESP E OS PCN ...23
1.1 SOBRE O SARESP...23
1.2 SOBRE OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS-PCN...28
CAPÍTULO 2 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...45
2.1 A LINGUAGEM MATEMÁTICA...45
2.2 SOBRE OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA...47
2.3 SOBRE OS NÍVEIS DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS...52
CAPÍTULO 3 3. REVISÃO DE LITERATURA...57
CAPÍTULO 4 4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...77
4.1 A ESCOLA E OS ALUNOS...79
4.2 O INSTRUMENTO DE PESQUISA...82
4.3 ANÁLISE A PRIORI...84
4.4 PROCEDIMENTOS DA PRIMEIRA APLICAÇÃO...91
4.5 PROCEDIMENTOS DA SEGUNDA APLICAÇÃO...93
4.6 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS...94
CONSIDERAÇÕES FINAIS...107
ANEXOS...117
ANEXO 1 : MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL...117
ANEXO 2: CONHEÇA O SARESP...119
ANEXO 3: RESOLUÇÃO SE 81, de 19/10/2005...125
ANEXO 4: COMUNICADO DA SEE/SP...131
ANEXO 5: ORIENTAÇÕES DISPONIBILIZADAS PELA DIRETORIA REGIONAL DE ENSINO DA CIDADE DE OSASCO...133
ANEXO 6: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DA DIREÇÃO DA ESCOLA...137
ANEXO 7: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DO RESPONSÁVEL PELO ALUNO...139
ANEXO 8: QUESTÕES DA 1ª APLICAÇÃO...141
TABELA 1: DIAGNÓSTICO GERAL DO ESTADO DE SÃO PAULO POR
SÉRIE E POR PERÍODO ...36
TABELA 2: DIAGNÓSTICO GERAL DA DIRETORIA REGIONAL DE OSASCO POR SÉRIE E POR PERÍODO...37
TABELA 3: DIAGNÓSTICO GERAL DA ESCOLA E.E. DR. ANTONIO BRAZ
GAMBARINI POR SÉRIE E POR PERÍODO...38
TABELA 4: PERCENTUAL DE ACERTOS DOS ALUNOS NAS 1ª E 2ª
APLICAÇÕES...95
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1: COMPARATIVO DO DESEMPENHO DOS ALUNOS DA 7ª
SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL...39
GRÁFICO 2: PERCENTUAL DE ACERTOS DA REDE ESTADUAL DE
QUADRO 1: DESENHO DO SARESP DE 1996 A 2005...23
QUADRO 2: MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE
DO ENSINO FUNDAMENTAL...35
QUADRO 3: ESCALA DE DESEMPENHO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL...41
QUADRO 4: ELEMENTOS BÁSICOS DE CARACTERIZAÇÃO DO CAMPO
CONCEITUAL DA ÁLGEBRA...65
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO QUADRADO DA
SOMA DE DOIS TERMOS...58
FIGURA 2: PROTOCOLO DO ALUNO 1 – QUESTÃO 7...96
FIGURA 3: PROTOCOLO DO ALUNO 2 – QUESTÃO 7...96
FIGURA 4: PROTOCOLO DO ALUNO 3 – QUESTÃO 7...97
FIGURA 5: PROTOCOLO DO ALUNO 4 – QUESTÃO 7...97
FIGURA 6: PROTOCOLO DO ALUNO 5 – QUESTÃO 7...98
FIGURA 7: PROTOCOLO DO ALUNO 6 – QUESTÃO 7...98
FIGURA 8: PROTOCOLO DO ALUNO 7 – QUESTÃO 8...99
FIGURA 9: PROTOCOLO DO ALUNO 8 – QUESTÃO 8...100
FIGURA 10: PROTOCOLO DO ALUNO 9 – QUESTÃO 8...100
FIGURA 11: PROTOCOLO DO ALUNO 10 – QUESTÃO 8...101
FIGURA 12: PROTOCOLO DO ALUNO 11 – QUESTÃO 8...101
FIGURA 13: PROTOCOLO DO ALUNO 12 – QUESTÃO 8...102
FIGURA 14: PROTOCOLO DO ALUNO 13 – QUESTÃO 9...103
FIGURA 15: PROTOCOLO DO ALUNO 14 – QUESTÃO 9...103
Como professora da rede pública do Estado de São Paulo desde 1987,
formada pela Faculdade de Ciências e Letras Oswaldo Cruz, participei de várias reuniões em que discutimos as dificuldades enfrentadas no ensino e na
aprendizagem em matemática.
Tais discussões levaram-me a procurar métodos diferenciados para trabalhar os conteúdos nas diferentes séries.
Nesse sentido, em 2003 resolvi inscrever-me em um curso de pós-graduação lato sensu em educação matemática na mesma instituição em que me graduei, concluindo em 2005.
Sentindo ainda a necessidade de prosseguir com os estudos, ingressei no curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo-PUC/SP o qual, pelo programa apresentado, atendia às minhas expectativas como profissional da educação.
Neste curso estudamos as teorias de vários pesquisadores relacionados com a educação matemática sendo, uma delas, a teoria da pesquisadora Aline Robert (1998), sobre os níveis de mobilização de conhecimentos esperados pelos alunos.
Em reunião oferecida pela Diretoria Regional de Ensino de Osasco a professores da rede pública da região, com o objetivo de analisar os resultados obtidos pelos alunos da rede pública estadual nas provas do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP/2005, foi nos informado que a referida prova constava de exercícios com graus de dificuldades diferentes, de modo a contemplar os níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos conforme Aline Robert (1998).
INTRODUÇÃO
presentes nos apontamentos oficiais e que efetivamente foram cobrados nas questões do SARESP/2005, então, porque não foi divulgado o resultado sobre o desempenho dos alunos de acordo com esses mesmos níveis?
Algumas discussões relacionadas com o desempenho dos alunos nas avaliações internas e externas, principalmente no que se refere à leitura e interpretação de textos matemáticos, à atividade algébrica com significado e ao trabalho das diferentes representações da linguagem matemática, nos indicam a necessidade de adequarmos nosso trabalho como professores e pesquisadores, procurando atender às suas dificuldades.
Nos resultados da prova do SAEB (Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica), por exemplo, itens referentes à álgebra raramente atingem o índice de 40% de acerto em muitas regiões do país (BRASIL, 1998, p.116), sendo esse um dos fatores que tem levado os pesquisadores da área de educação matemática à análise e revisão dos currículos dessa disciplina, bem como da metodologia utilizada no ensino básico.
No SARESP, Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, os resultados não são diferentes. Em 2005, a média de desempenho dos alunos em matemática nessa avaliação não passou de 37% (SÃO PAULO, 2006).
Para que o ensino da álgebra seja efetivado, faz-se necessário que o professor tenha clareza dos diferentes papéis que ela assume, como por exemplo, álgebra como ferramenta, álgebra como estrutura, álgebra como linguagem, álgebra como aritmética generalizada, álgebra como cultura (Lee, 2001, apud SILVA, 2006, p. 26) e, com seus alunos, construa o conhecimento algébrico, principalmente com relação à sua linguagem e representação.
semiótica (DUVAL, 2003)1, sendo dada atenção apenas a mecanismos de cálculo,
muitas vezes sem que estejam relacionadas a um contexto real e com significado.
O ensino da álgebra comumente conhecida como um amontoado de símbolos tem sofrido um abandono e vem perdendo espaço no Ensino Básico. Esse contexto demanda estudo sobre visões, dimensões e concepções deste campo da Matemática, pois posições pouco ancoradas podem gerar maiores lacunas no ensino aprendizagem dos alunos em qualquer nível. (SILVA, 2006, p.114)
Essa tem sido uma das preocupações do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica – GPEA, do programa de estudos pós-graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, cujo principal objetivo é investigar “Qual a Álgebra a ser ensinada em cursos de formação de professores de matemática”, no qual vêm sendo realizados estudos e projetos de pesquisa sobre álgebra e do qual essa pesquisa faz parte.
A preocupação do grupo origina-se no fato de terem sido observadas descontinuidades existentes no ensino de álgebra entre os diversos níveis de ensino por meio de pesquisas realizadas pelos seus membros.
Maranhão, Machado e Coelho (2004), pesquisadoras desse grupo, enfatizam que, se por um lado a álgebra é o caminho para estudos futuros e para idéias matematicamente significativas, por outro, ela é freqüentemente um obstáculo no desenrolar da aprendizagem de muitos alunos.
O grupo possui subgrupos de estudos, os quais realizam pesquisas sobre álgebra com o objetivo de investigar dimensões, visões e tendências no ensino e na aprendizagem.
Mediante o acima exposto e levando em consideração que durante minha experiência profissional tenho percebido que os alunos, tanto do ensino fundamental,
INTRODUÇÃO
como do ensino médio, possuem uma grande dificuldade na leitura e interpretação de textos matemáticos, bem como não conseguem modelizar uma situação-problema para sua resolução, preocupei-me em pesquisar o assunto, inserindo-me no projeto Expressões, Equações e Inequações – pesquisa, ensino e aprendizagem.
Este projeto tem como objetivo caracterizar o ensino e a aprendizagem sobre expressões, equações e inequações, com a finalidade de contribuir para a crítica e implementação de propostas curriculares nacionais e para o debate internacional sobre o assunto.
Ribeiro (2007) remete-nos às pesquisas realizadas por Kieran (1992), as quais apontam para a ênfase dada aos aspectos procedimentais no ensino e na aprendizagem da Álgebra, e levanta o fato de haver um trabalho demasiado com o aspecto processual, que não contribui para que os alunos consigam equacionar uma situação-problema e utilizá-la para a resolução de problemas.
Dessa forma, desenvolverei minha pesquisa analisando o desempenho2 dos alunos na resolução de algumas questões do SARESP/2005, de acordo com os níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998): nível técnico, mobilizável e disponível, uma vez que, como já foi dito, a SEE/SP orientou para que as questões da referida avaliação fossem fundamentadas nesta teoria, no entanto, quando da análise do desempenho dos alunos, não levaram referida teoria em consideração.
Robert (1998) ressalta que um trabalho que considera esses três níveis de conhecimentos ajuda na análise e na preparação de atividades que permitam a construção do conhecimento matemático em diferentes níveis, bem como auxilia na identificação dos conhecimentos prévios necessários para a resolução de uma situação-problema.
_______________________________________________________
2
As questões analisadas são referentes ao tema equações e expressões, as quais exigem do aluno a passagem do registro de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico.
Esperamos, através desta pesquisa, verificar o desempenho dos alunos do 8º ano na resolução de questões que envolvem a conversão de registro de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003), sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos, bem como mostrar que tal desempenho deveria ser analisado qualitativamente pelos órgãos oficiais e pelos professores, pois só assim poderia servir efetivamente para redimensionar e implementar novos procedimentos e estratégias capazes de contribuir para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.
As atividades que estimulam o pensamento algébrico devem ser desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental (LINS e GIMENEZ, 1998), porém, como o trabalho com a álgebra, seguindo uma concepção letrista, ou seja, o uso das letras por meio de abstrações no trabalho com situações concretas é, atualmente, introduzido no 3 e 4 ciclos do Ensino Fundamental, nossa pesquisa estará direcionada a estas séries, mais especificamente ao oitavo ano (antiga 7 série do Ensino Fundamental).
Para tanto, daremos a esta pesquisa uma abordagem qualitativa, baseando-nos nas fases da engenharia didática.
INTRODUÇÃO
Como neste trabalho de pesquisa analisaremos algumas questões do SARESP/2005, as quais exigem do aluno a conversão do registro de representação semiótica da língua materna para o registro algébrico, teremos como fundamentação teórica os estudos realizados por Raymond Duval (2003), os quais serão apresentados no Capítulo 2.
Considerando que a análise qualitativa do desempenho dos alunos nas questões escolhidas será realizada sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos de Aline Robert (1998), ainda nesse capítulo, faremos uma síntese sobre esta teoria.
Sabemos que a linguagem matemática, com seus códigos e representações, desempenham um papel significativo dentro da matemática e da cultura, porém, só apreendida com o apoio da língua materna. Nessa perspectiva, achamos conveniente descrever trabalhos sobre a linguagem matemática e algumas concepções e abordagens dadas à álgebra, o que será feito na forma de revisão de literatura apresentada no Capítulo 3.
Os procedimentos metodológicos utilizados serão apresentados no Capítulo 4, no qual realizamos uma breve descrição sobre o perfil da escola e sobre os alunos participantes desta pesquisa, bem como uma análise a priori das questões aplicadas.
A apresentação e análise qualitativa dos resultados obtidos nessa pesquisa estarão descritas no Capítulo 5, seguidas, por fim, de nossas considerações finais.
SOBRE O SARESP E OS PCN
1.1 SOBRE O SARESP
O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP é uma avaliação externa aplicada a alunos da rede pública estadual, pela qual a Secretaria da Educação - SEE/SP avalia o sistema de ensino, verificando o rendimento escolar dos alunos de diferentes séries e períodos, identificando os fatores que interferem nesse rendimento.
O SARESP teve início em 1996 sendo aplicado nos anos que se seguiram, com exceção de 1999 e 2006.
Apresentamos, abaixo, um quadro referente ao ano e série em que houve aplicação da referida avaliação.
QUADRO 1: Desenho do SARESP de 1996 a 2005
Retirado do site www.rededosabersp.gov.br/contentes/SIGS-curso/Sigsc/upload.br/, acesso em
CAPÍTULO 1
De acordo com a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo – SEE/SP, o objetivo principal do SARESP é o de obter informações que possam ajudar educadores e gestores de ensino no desenvolvimento de ações e elaboração de propostas que possam intervir no sistema de ensino, a fim de superar os problemas de aprendizagem existentes, bem como em propostas de ensino e de aprendizagem significativas para o aluno.
Nessa perspectiva, o SARESP funciona como uma “bússola” no sentido de orientar a SEE-SP quanto aos problemas de ensino e de aprendizagem. A SEE-SP o considera como uma prova avaliativa, não punitiva, e fomentadora de mudanças qualitativas na educação.
Como já foi dito, esta avaliação é dirigida a alunos da rede pública, porém, as escolas da rede privada e da rede municipal também podem participar, por meio de adesão.
Os resultados da avaliação e uma série de estudos estatísticos e pedagógicos são colocados à disposição pela SEE-SP aos professores e gestores de ensino para que tomem conhecimento sobre a qualidade do ensino oferecido no Estado, a fim de que, a partir desses dados, adotem procedimentos e estratégias capazes de contribuir efetivamente para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.
Embora os objetivos gerais do SARESP venham se mantendo em todas as suas edições, seu desenho apresentou algumas variações ao longo dos anos, seguindo metodologias distintas, dificultando uma comparação entre os seus resultados, como podemos verificar a seguir.
De 1996 a 1998 as provas do SARESP tiveram um caráter diagnóstico e seu foco principal era o ensino. Realizaram-se no início do ano letivo, tratando-se, portanto, de uma avaliação de entrada, na qual se examinavam conteúdos vistos pelos alunos na série anterior.
Apenas duas séries do ensino fundamental participavam da avaliação, a qual foi censitária em termos de escolas, porém, amostral em termos de alunos3.
Os componentes curriculares envolvidos foram o de Língua Portuguesa, com Redação, e Matemática para as primeiras séries do ensino fundamental e, após a 4 série desse nível de ensino incluiu-se Ciências, História e Geografia.
Em 2000 o desenho original do SARESP foi mantido e iniciou-se a avaliação do Ensino Médio, porém, as provas, tanto para o Ensino Fundamental quanto para o Ensino Médio, foram realizadas ao final do ano letivo, com conteúdos da própria série, tratando-se, portanto, de uma avaliação de saída.
Os componentes curriculares envolvidos foram: Língua Portuguesa (com Redação), Matemática e Ciências para o Ensino Fundamental, e Língua Portuguesa (com Redação), Matemática e Biologia para o Ensino Médio.
No ano seguinte, 2001, a avaliação foi censitária em termos de escolas e alunos, com questões relacionadas à disciplina de Língua Portuguesa (com Redação). Apenas os alunos das 4 e 8 séries do Ensino Fundamental participaram dessa avaliação, a qual teve como foco principal o aluno e não mais o ensino, como no início.
3 Censitária porque todas as escolas da Rede Pública Estadual participaram e amostral porque os alunos da Rede
CAPÍTULO 1
Nesse ano, os alunos que apresentaram um percentual de acertos menor que 50% tiveram que participar de uma recuperação chamada de “recuperação de férias” e passaram por outra prova no âmbito do SARESP/2001, a partir da qual puderam ser encaminhados para prosseguimento dos estudos ou para uma recuperação de ciclo, realizada durante todo o ano letivo seguinte.
Dessa forma, os alunos que novamente obtiveram um desempenho abaixo da média desejada, ou seja, 50% de acertos, foram matriculados na mesma série em que cursavam, em uma sala constituída apenas com alunos nessas condições, os quais, segundo orientações da SEE/SP, deveriam receber um tratamento diferenciado de aprendizagem, porém, avaliados da mesma forma que os demais alunos.
Em 2002, o SARESP voltou a ter como foco principal o ensino. Com características amostrais em termos de alunos e censitárias em termos de escola, as provas também foram aplicadas apenas para as séries finais dos ciclos I e II do Ensino Fundamental, envolvendo somente o componente curricular de Língua Portuguesa (com Redação).
Ressaltamos que, de um ano para outro, como pudemos verificar, as mudanças foram feitas, porém, sem qualquer comunicado prévio ou justificativas do porquê.
Em 2003 e 2004 o SARESP ampliou sua abrangência, avaliando todos os alunos, escolas, séries e períodos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, por meio de uma prova que contemplava as habilidades de Leitura e Escrita.
Somente a partir de 2003, a SEE-SP passou a fornecer a cada escola participante do sistema o resultado individual de seus alunos.
adquiridas pelos alunos ao longo do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Nesse ano, além de Língua Portuguesa foram avaliadas também as habilidades em Matemática.
Para atingir os objetivos propostos pela SEE/SP, as provas do SARESP foram constituídas de 3 instrumentos, a saber:
• Dois cadernos de provas destinados à 1 e à 2 séries do ensino fundamental, voltados à área de Leitura e Escrita e Matemática, com questões abertas.
• Cadernos de provas destinados às demais séries do ensino fundamental e às séries do ensino médio constituídos de 26 questões objetivas de múltipla escolha de Leitura/Escrita, seguidas de 26 questões, também objetivas de múltipla escolha de Matemática.
• Um caderno com o tema para Redação e com um questionário sócio-econômico e cultural, por meio do qual se obtém dados com o objetivo de que possa traçar o perfil dos alunos e verificar as possíveis interferências desses fatores na aprendizagem.
Neste ano, pela primeira vez, as provas foram aplicadas em dois dias. Os alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio realizaram, no primeiro dia, as provas de Língua Portuguesa e Matemática e, no segundo dia, a Redação e o questionário. As provas foram realizadas no mesmo horário das aulas das respectivas séries e aplicadas pelos professores da própria unidade escolar, porém de outras séries e turmas que não aquelas em que aplicaram a prova.
CAPÍTULO 1
Vale ressaltar que, segundo orientações da SEE/SP, as provas são elaboradas com questões diferentes, por série e por período, porém, as provas de uma mesma série, mas de períodos diferentes, devem ser equivalentes tanto nas habilidades quantos nos processos cognitivos exigidos em cada questão.
Segundo a SEE-SP, a seleção e a definição dessas habilidades estavam, em 2005, fundamentadas nas Propostas Curriculares da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas - CENP/SEE (São Paulo, 1997) e nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998).
1.2 SOBRE OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS-PCN
Os PCN (BRASIL, 1998) constituem um documento de ordem didática e cunho construtivista, que contém orientações relativas a conceitos e procedimentos matemáticos, permitindo uma análise sobre os obstáculos que podem surgir na aprendizagem de certos conteúdos dessa disciplina, sugerindo alternativas que possam favorecer sua superação pelos professores em sua prática escolar.
Foi estabelecido pela União, em colaboração com os estados, o Distrito Federal e os municípios e elaborado com o objetivo de definir diretrizes para nortear os currículos nas escolas.
Dessa forma, acreditamos que a implantação das orientações propostas pelos PCN (BRASIL, 1998), ou seja, a sua incorporação à prática de sala de aula pelos professores, protagonistas dessa implantação, bem como a apresentação de um currículo oficial que sirva de referência para o sistema escolar do país, fazem com que as pessoas envolvidas com a produção de livros didáticos, paradidáticos e outros materiais relacionados à educação se adaptem aos currículos estabelecidos como parâmetro no referido documento.
Essa é uma visão que faz parte do estudo realizado por Chevallard (1991), denominada transposição didática.
[...] a transposição didática diz respeito ao processo de mudanças e adaptações que sofre o saber formal, tal qual é cultivado nos laboratórios e demais ambientes acadêmicos em que é produzido, quando se deseja passar (ou transpor) tal saber para os currículos e programas da formação escolar.(DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.1)
Nossa compreensão sobre os objetivos dos Parâmetros Curriculares Nacional de Matemática - PCN (BRASIL,1998) é de que vem oferecer aos profissionais da educação, subsídios para uma discussão sobre o ensino e sobre a aprendizagem da matemática.
Para que tais objetivos sejam atingidos faz-se necessário ao professor:
• Identificar as principais características dessa ciência, de seus
métodos, de suas ramificações e aplicações.
• Conhecer a história de vida de seus alunos, seus conhecimentos
informais sobre um dado assunto, suas condições sociológicas, psicológicas e culturais.
• Ter clareza de suas próprias concepções sobre a matemática,
CAPÍTULO 1
De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), a resolução de problemas deveria ser o ponto de partida para a construção de um conhecimento matemático significativo, em que os alunos se sintam desafiados e se dediquem a desenvolver habilidades, construir estratégias de resolução, comprovar essas estratégias e justificar os resultados obtidos.
Tais conhecimentos exigem do aluno a iniciativa pessoal e o trabalho em equipe, favorecendo a autonomia e confiança em sua própria capacidade.
A adoção da solução de problemas como atividade nas diversas disciplinas que compõem a grade curricular é indicada com o objetivo de possibilitar aos alunos o desenvolvimento de suas habilidades e estratégias para solucionar problemas, uma vez que, sem procedimentos adequados e eficazes, quer dizer, habilidades e estratégias, o aluno não será capaz de solucionar problemas. (QUINTILIANO e BRITO, 2006, p. 5).
Todavia, tal atividade dificilmente tem sido desenvolvida com sucesso, tendo em vista a dificuldade de muitos na leitura e na interpretação dos textos matemáticos.
Dessa forma, a resolução de problemas passa a ser apenas uma atividade para aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos e não como uma atividade de ponto de partida, o que seria adequado.
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), uma situação-problema só pode ser considerada como algébrica se sua resolução necessitar, de forma retórica ou simbólica, de operações, incógnitas e leis aritméticas que legitimem as transformações entre os dois membros de uma igualdade.
No processo de ensino e de aprendizagem, os conceitos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, de forma que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-los.
Segundo os PCN (BRASIL, 1998), uma atividade em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório não se caracteriza em um problema. Só existirá problema se o aluno for desafiado e motivado a interpretar o enunciado da questão que lhe é proposta e a modelizar, estruturar a situação que lhe é apresentada para a sua resolução.
Para resolver certo tipo de problema o aluno mobiliza conhecimentos adquiridos e os utiliza para apreensão de novos conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas, o que exige do aluno conjecturas, transferências, retificações e verificações de hipóteses.
Concluímos, dessa forma, que os princípios estabelecidos pelos PCN (BRASIL, 1998) vão ao encontro do estudo sobre os níveis de mobilização de conhecimentos (técnico, mobilizável e disponível), realizados pela pesquisadora Aline Robert (1998), os quais podem nos auxiliar a detectar em que nível se encontra nossos alunos, para que possamos propor atividades que envolvam conceitos matemáticos, fazendo com que eles, ao realizarem tais atividades, construam seus conhecimentos e trabalhem em diferentes níveis.
CAPÍTULO 1
Quando isso acontece, ou seja, quando não há disponibilidade de conhecimentos necessários por parte dos alunos, o professor poderá mediar, fazendo com que eles relembrem tais conteúdos.
Assim, para que o aluno alcance uma solução bem sucedida quando resolve um problema, é necessário que siga alguns passos ou etapas propostas por Polya (1978), ou seja, o aluno deve compreender o problema, elaborar um plano e buscar estratégias de resolução, reconhecer os procedimentos necessários para a resolução e, finalmente, comparar, verificar e interpretar a solução encontrada.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1998), o ensino de matemática deve ter como objetivo o desenvolvimento do pensamento algébrico, o qual deve ocorrer por meio de situações de aprendizagem que levem o aluno a reconhecer diferentes representações algébricas, as quais permitam generalizar propriedades e compreender os procedimentos envolvidos na resolução de uma situação-problema.
O estudo da álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas. (BRASIL, 1998, p. 115).
Os PCN do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998), estabelecem que as noções e linguagens algébricas devem ser exploradas por meio de generalizações e representações matemáticas para que o pensamento algébrico não se resuma em um ato mecânico, com o simples objetivo de resolver equações.
• Reconhecer que representações algébricas permitem expressar
generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções.
• Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem
algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras.
• Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas
propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico. (BRASIL, 1998, p.64).
Relativamente ao quarto ciclo, ou seja, oitavo e nono ano (antiga sétima e oitava séries do ensino fundamental), o ensino de matemática deve priorizar o desenvolvimento do pensamento algébrico por meio da exploração de situações-problema que permitam ao aluno produzir e interpretar diferentes representações algébricas como expressões, equações e inequações, bem como compreender os procedimentos algébricos envolvidos para resolução de tal conteúdo.
O pensamento algébrico pode ser caracterizado por elementos diferentes, em atividades que exijam percepção de regularidades, percepções de aspectos invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de generalização. (FIORENTINI, MIORIM E MIGUEL, 1993, p.87).
Os conceitos e procedimentos algébricos são bastante complexos aos alunos, os quais, além de apresentarem dificuldade na interpretação do texto matemático e de encarar a necessidade de mobilizar conhecimentos a fim de modelizar o problema, confundem o papel da letra, ou seja, a noção de variável e incógnita.
CAPÍTULO 1
[...] O ensino da álgebra precisa continuar garantindo que os alunos trabalhem com problemas que lhes permitam dar significado à linguagem e às idéias matemáticas. Ao se proporem situações-problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções da álgebra (ao resolver problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao mobilizar, generalizar e demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre grandezas) (BRASIL, 1998, p. 84).
Um professor pode reconhecer facilmente que um conteúdo matemático pode estar diretamente ligado a outro conteúdo, ou seja, para a compreensão de um novo conhecimento é necessário mobilizar alguns conhecimentos já interiorizados, fato esse que nem sempre é percebido pelos alunos.
O trabalho com a álgebra, suas diferentes linguagens e representações, não exclui essa idéia, ao contrário, estará sempre presente em atividades e problemas envolvendo outros conteúdos matemáticos, os quais exigirão do aluno a manipulação de conceitos já adquiridos para, e em muitos deles, realizarem a conversão da representação da língua natural para a linguagem algébrica.
No SARESP/2005 os conteúdos algébricos avaliados foram operações com números racionais, problemas de contagem, proporcionalidade, porcentagem e juros simples, expressões algébricas, equações polinomiais do primeiro grau, sistemas de equações polinomiais do primeiro grau e inequações do primeiro grau, como observado no Quadro 2, no qual consta a descrição das habilidades exigidas para os alunos do 8 ano (antiga 7 série do Ensino Fundamental), divulgadas pela SEE/SP.
QUADRO 2: MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO - MATEMÁTICA 7 SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
CONTEÚDOS DESCRIÇÃO DAS HABILIDADES
1. Resolver situação-problema, compreendendo diferentes
significados das operações, envolvendo números racionais.
2. Resolver situação-problema de contagem que envolve o
princípio multiplicativo.
3. Resolver situação-problema que envolve grandezas diretamente
proporcionais.
4. Resolver situação-problema que envolve grandezas
inversamente proporcionais.
5. Resolver situação-problema que envolve cálculo de juros simples 6. Resolver equações do 1º grau com uma incógnita.
7. Resolver situação-problema por meio de equação do primeiro grau.
8. Resolver situação-problema por meio de um sistema de equações do primeiro grau,
9. Resolver situação-problema por meio de inequação do primeiro grau.
NÚMEROS E OPERAÇÕES
10. Efetuar operações com expressões algébricas.
Acreditamos que para que haja uma boa compreensão dos conceitos algébricos, faz-se necessário um trabalho da Álgebra com suas várias representações, em níveis de conhecimento diferentes, exigindo do aluno a mobilização de seus conhecimentos e articulação de estratégias para a resolução de uma atividade.
CAPÍTULO 1
professores e gestores de ensino para que tomem conhecimento sobre a qualidade do ensino oferecido na Rede Estadual de São Paulo, a fim de que, a partir desses dados, adotassem procedimentos e estratégias capazes de contribuir efetivamente para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.
Apresentamos, a seguir, os resultados da prova de matemática realizada no SARESP/2005, os quais foram divulgados pela SEE-SP para conhecimento e análise, e que estão disponíveis no site da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.
TABELA 1: DIAGNÓSTICO GERAL DO ESTADO DE SÃO PAULO POR SÉRIE E POR PERÍODO
Matemática
Percentual médio de acerto
SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE
3 EF 50,1 50,7
-4 EF 42,5 41,6
-5 EF 39,7 41,1 43,2
6 EF 41,8 40,9 40,2
7 EF 37,1 35,1 32,6
8 EF 31,8 30,5 32,2
1 EM 35,4 32,3 36,5
2 EM 29,9 32,2 29,6
3 EM 27,7 31,4 28,8
Fonte: http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/, acesso em março/2008.
Analisando os dados acima, constata-se que a média de acertos dos alunos do ensino público estadual não ultrapassa os 37%.
Nota-se também que, com relação à 7 série, os alunos do período da manhã atingiram um índice maior que os alunos dos outros períodos, com uma diferença de 2% em relação ao período da tarde e de 4,5% em relação ao noturno.
TABELA 2: DIAGNÓSTICO GERAL DA DIRETORIA DE ENSINO DE OSASCO, POR SÉRIE E POR PERÍODO
Matemática
Percentual médio de acerto
Fonte: http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/, acesso em março/2008.
Com relação à 7ª série do ensino fundamental, o percentual médio de acertos dos alunos pertencentes à Diretoria de Ensino de Osasco foi de 35,25%.
É interessante notar, na tabela acima, que todas as séries do período noturno tiveram um melhor desempenho em relação a outros períodos, o que nos chama atenção e nos leva a refletir sobre qual o motivo desse dado. Será que o desempenho dos alunos do noturno está relacionado à sua maturidade, uma vez que a maioria dos alunos desse período são trabalhadores?
Novamente constatamos o fato de que na Diretoria Regional as séries finais de ciclos também foram as que tiveram o menor desempenho em relação às séries precedentes.
SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE
3 EF 49,9 44,4
-4 EF 39,6 39,9
-5 EF 38,7 41,3
-6 EF 38,6 39,8 -
7 EF 35,1 35,4
-8 EF 31,1 29,7 37
1 EM 33,3 28,3 35,2
2 EM 27,9 - 29,1
CAPÍTULO 1
TABELA 3: DIAGNÓSTICO GERAL DA ESCOLA E. E. DR. ANTONIO BRAZ GAMBARINI, POR SÉRIE E POR PERÍODO
Matemática
Percentual médio de acerto
SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE
- - -
- - -
-5 EF - 45,4
-6 EF - 42,1 -
7 EF 38,2 37,4
-8 EF 31,6 -
-1 EM 34,8 - 38,8
2 EM 26,7 - 30,4
3 EM 23,4 - 27
Fonte: http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/, acesso em março/2008.
A tabela acima se refere ao percentual médio de acertos obtido na escola em que fizemos a aplicação das questões utilizadas nesta pesquisa.
Verifica-se que a média de acertos dos alunos pertencentes à 7ª série do ensino fundamental foi de 37,8%%, sendo superior ao percentual de acertos obtidos tanto no Estado, quanto na Diretoria de Ensino.
Acreditamos que esse resultado, ainda que melhor, porém não satisfatório, deve-se ao fato de que há um número bastante razoável de professores efetivos que atuam nesta unidade escolar já há um bom tempo, havendo assim, um número reduzido da rotatividade de professores, como aparentemente ocorre em muitas escolas.
Aproveitamos os dados anteriormente apresentados e fizemos um gráfico comparativo das três tabelas, referentes aos resultados obtidos pelos alunos da 7 série do Ensino Fundamental, para uma melhor análise.
33,5 34 34,5 35 35,5 36 36,5 37 37,5 38 38,5
PERCENTUAL DE ACERTOS DO ESTADO PERCENTUAL DE ACERTOS DA D.E. PERCENTUAL DE ACERTOS DA ESCOLA
7ª série manhã
7ª série tarde
Gráfico 1: Comparativo do Desempenho dos alunos da 7 série do E.F.
Podemos observar que embora o percentual de acertos da escola pesquisada esteja acima da média de acertos dos outros dois níveis, nenhum deles atingiu a média de 50% de acertos.
Dessa forma, os dados oferecidos a partir da realização do SARESP servem como ferramenta de orientação para realização do planejamento do professor e na elaboração de planos e estratégias, a fim de melhorar as práticas pedagógicas em cada unidade escolar.
CAPÍTULO 1
[...] Para as provas, as questões devem ser elaboradas a partir de contextos que confiram significados. É fundamental que na formulação de questões seja considerado o nível de conhecimento mobilizado na resolução da questão, de modo a promover uma diversidade de possibilidades. Sugerimos como referência a classificação de Aline Robert, que em seu artigo “Ferramentas de análise de conteúdos a ensinar” (1998) classifica o funcionamento de conhecimento pelos alunos em três níveis: técnico, mobilizável e disponível [...] A porcentagem para essa distribuição pode ser a seguinte:
Deve-se privilegiar a resolução de problemas em todos os itens em especial as de nível mobilizável e disponível. (SÃO PAULO, 2005, p. 5).
Apesar de tal orientação ter sido dada às Diretorias regionais do Estado de São Paulo, somente foram repassadas a alguns professores após a realização da referida prova, quando, em nossa opinião, deveria ser repassada a todos os professores, antes da realização da prova, uma vez que são eles sujeitos, gestores e reguladores do processo de ensino e da aprendizagem com seus alunos.
Gostaríamos de registrar o fato de que, de acordo com nossa experiência, percebemos que grande parte dos professores da rede estadual de ensino não tem conhecimento de tal teoria, ou seja, não foram capacitados para trabalhar com seus alunos de acordo com esta orientação.
Além disso, como a avaliação do SARESP/2005 está fundamentada na teoria de Robert (1998), acreditamos que a análise sobre o desempenho dos alunos também deveria contemplar tal teoria, a fim de que pudéssemos verificar em que nível os alunos se encontram.
No entanto, a análise feita pela SEE/SP foi realizada em níveis de escalas de desempenho, como mostrado no Quadro 3.
Nível Percentual
QUADRO 3: ESCALA DE DESEMPENHO DE MATEMÁTICA – 7 SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
NÍVEL DESCRIÇÃO ABAIXO
DO
NÍVEL 1 Alunos que não demonstram domínio das habilidades avaliadas pelos itens da prova .
NÍVEL 1
Os alunos resolvem situação-problema compreendendo diferentes operações com números naturais.
NÍVEL 2 Os alunos resolvem situação-problema envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais. Utilizam propriedades de triângulos (como o reconhecimento dos casos de congruência).
Associam dados de uma tabela simples a um gráfico de setores e resolvem situação-problema simples de contagem envolvendo o princípio multiplicativo.
NÍVEL 3
Os alunos resolvem situação-problema por meio de inequação do primeiro grau. Resolvem situação-problema envolvendo unidade de medida de tempo e fazem conversões.
Reconhecem figuras tridimensionais representadas por diferentes vistas e utilizam relações de igualdade ou de suplementaridade entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Resolvem situação-problema com dados expressos em tabelas simples e de dupla entrada e associam dados de tabelas simples a um gráfico de colunas.
NÍVEL 4
Os alunos resolvem situações-problema envolvendo cálculo de juros simples. Resolvem problemas envolvendo a resolução de uma equação do primeiro grau com uma incógnita ou um sistema de equações do primeiro grau.
Identificam arestas paralelas em paralelepípedos retângulos e determinam o número de diagonais de um quadrado.
Resolvem situação-problema envolvendo grandezas determinadas pela razão de duas outras (velocidade e tempo, por exemplo).
NÍVEL 5 Os alunos efetuam operações com expressões algébricas. Calculam área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras e determinam a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.
Identificam o espaço amostral adequado para analisar um experimento aleatório.
CAPÍTULO 1
De acordo com o Quadro 3, percebemos que, na análise feita pela SEE/SP, um aluno que é capaz de resolver uma situação-problema compreendendo diferentes operações com números naturais estará no nível 1.
Se o aluno possuir, além da habilidade do nível 1, a capacidade de resolver situação-problema envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais, utilizar propriedades de triângulos, associar dados de uma tabela simples a um gráfico de setores e ainda resolver situações-problema simples de contagem estará no nível 2.
Verificamos, ainda, que se o aluno for capaz de resolver uma situação-problema por meio de uma inequação do primeiro grau estará no nível 3, no entanto, se ele for capaz de resolver uma situação-problema envolvendo uma equação polinomial do primeiro grau estará no nível 4.
Fizemos a seguinte reflexão:
Em primeiro lugar, a expressão “resolver uma situação-problema por meio de uma inequação” significa que o aluno deverá utilizar uma inequação em sua resolução, ou seja, utilizar-se do registro de representação algébrico para a resolução, entretanto, como a prova do SARESP/2005 era composta por questões alternativas e a correção foi realizada observando-se somente a alternativa assinalada, como é que saberemos se o aluno resolveu a situação-problema “por meio de uma inequação”?
que o ensino sobre o conteúdo de equações polinomiais do primeiro grau precede ao ensino de inequações do primeiro grau?
Observamos, ainda, o fato de que um aluno que é capaz de efetuar operações com expressões algébricas está no nível 5, porém, de acordo com nossa experiência, se o aluno é capaz de resolver uma equação e/ou uma inequação do primeiro grau, ele opera com as expressões algébricas pois de acordo com Duval (2003), as operações com expressões algébricas ocorrem no tratamento que é feito na resolução de uma equação e de uma inequação do primeiro grau.
Diante do acima exposto, ficamos com dúvida: Em que nível estará o aluno que é capaz de efetuar operações com expressões algébricas, resolver uma situação-problema que envolve uma equação do primeiro grau, mas não é capaz de resolver situações-problema por meio de uma inequação do primeiro grau?
As questões acima colaboram para acreditarmos que a teoria sobre os níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998) nos ajudaria para uma análise mais eficaz sobre o desempenho dos alunos.
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A escolha deste referencial deveu-se ao fato de que, segundo documento enviado às Diretorias Regionais de Ensino, as questões do SARESP/2005 deveriam estar fundamentadas na teoria de Robert (1998).
Considerando, ainda, que as questões que utilizamos como instrumento de análise do desempenho dos alunos são questões que poderiam ser solucionadas utilizando-se uma mudança de registro de representação semiótica, ou seja, a passagem do registro da língua natural para um registro na linguagem algébrica, nos apoiaremos também na teoria de Duval (2003).
Contudo, achamos conveniente iniciarmos com a descrição de alguns trabalhos sobre a linguagem matemática, por considerarmos que os registros de representação estão diretamente ligados com esta linguagem.
2.1 A LINGUAGEM MATEMÁTICA
A linguagem matemática é um sistema simbólico de caráter formal, cuja elaboração é indissociável do processo de construção do conhecimento matemático e tem como função principal converter conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis, possibilitando inferências, generalizações e novos cálculos que, de outro modo, seriam impossíveis. (GRANELL, 1997,
apud SANTOS, 2005, p. 117).
Nas aulas de matemática, a comunicação entre professores e alunos é realizada empregando-se vários tipos de linguagem: corporal, gestual, gráfica, escrita, verbal e matemática.
Segundo Lorenzato (2006), entende-se por comunicação toda produção de mensagens realizadas em sala de aula, chamadas de linguagem, sejam elas correntes, escritas, pictóricas, gestuais e outras.
A linguagem representa um sistema simbólico que permite a comunicação entre os sujeitos envolvidos e a expressão de idéias, estabelecendo relações e significados entre objetos.
A matemática, apesar de seu caráter de linguagem precisa e formal, necessita do conhecimento da língua materna, mesmo que na forma oral, para o desenvolvimento de seus conceitos.
Salmazo (2005) apresenta em sua pesquisa, algumas expressões utilizadas em nosso cotidiano, nas quais a linguagem usual e a linguagem matemática se misturam.
[...] Chegar a um denominador comum. Dar as coordenadas. Aparar as arestas. Sair pela tangente. Ver de um outro ângulo. O xis da questão. O círculo íntimo. A esfera do poder. Possibilidades infinitas. Perdas incalculáveis, Numa fração de segundos. No meio do caminho. Semelhança, equivalência, estrutura, função, categoria, etc. (MACHADO, 1993, p. 97, apud SALMAZO, 2005, p. 28).
Para Machado (1993), nunca houve uma articulação entre o ensino da matemática e o da língua materna, com o objetivo de uma ação conjunta para a obtenção de uma relação mais próxima, minimizando suas diferenças.
CAPÍTULO 2
nomenclatura da linguagem matemática, a compreensão e interpretação de diagramas, tabelas e gráficos e a relação entre estas formas de registros com a linguagem discursiva.
Ler e escrever na língua materna não é a única forma de interpretar, explicar e analisar o mundo. A Matemática é outra dessas formas que tem seus códigos e linguagem própria e um sistema de comunicação e de representação da realidade construído ao longo de sua história. A linguagem matemática desempenha um papel significativo dentro da Matemática e da cultura (VIALI e SILVA, 2007, p.2).
Acreditamos, portanto, que nós professores devemos estar atentos aos diferentes tipos de linguagem utilizados em sala de aula, deixando claro aos alunos que a linguagem matemática, assim como a língua materna, possui o seu rigor próprio de escrita.
2.2 SOBRE OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Segundo Duval (2003), na aprendizagem de matemática pelos alunos devem ser observadas duas características: a importância das representações semióticas e a grande variedade dessas representações.
Duval (2003) designa como registros os vários tipos de representações semióticas que utilizamos em matemática, ou seja, língua natural, simbólico (numérico ou algébrico), figuras geométricas e gráficos cartesianos.
natural (apresentado no enunciado do exercício), numérico (quando o aluno se utilizar apenas de processos aritméticos para a resolução) e o registro algébrico (quando o aluno se utilizar de equações/expressões algébricas para a resolução).
A língua natural é, segundo Duval (2003), um registro multifuncional, ou seja, os tratamentos não são algoritmizáveis e, o registro numérico são registros monofuncionais, possuem algoritmos próprios.
Uma situação-problema exige do aluno conhecer ao menos dois registros de representação semiótica ao mesmo tempo, podendo, porém, um deles, ser mais utilizado do que o outro.
Os registros de representação semiótica podem sofrer dois tipos de transformações denominadas por Duval (2003) de tratamentos e conversões.
Os tratamentos ocorrem quando, apesar da transformação, o registro permanece no mesmo sistema, como, por exemplo: Dada a equação polinomial do 1º grau 2x + 5 + 3x = 10, fazendo um tratamento algébrico, isto é, aplicando o princípio de equivalência temos 5x = 5.
As conversões ocorrem quando há a mudança de sistema, porém, conservam-se as mesmas referências ao objeto estudado.
Na resolução de uma situação-problema a conversão ocorre quando da passagem do enunciado na língua natural para o registro numérico ou algébrico, como por exemplo, a representação da sentença: “Qual é o número que, adicionado a 2 resulta em 3?” que, fazendo a conversão para o registro algébrico temos x + 2 = 3 e, para o registro numérico 1 + 2 = 3.
CAPÍTULO 2
[...] A situação se torna mais complexa quando um dos registros é um registro plurifuncional, como o da língua natural ou das figuras geométricas. Basta lembrar, aqui, as questões – há decênios recorrentes - de compreensão dos mais simples enunciados de problemas de aplicação de aritmética ou álgebra, em que seria suficiente “traduzir” os dados do enunciado. Na realidade, a passagem de um enunciado em língua natural a uma representação em um outro registro toca um conjunto complexo de operações para designar objetos. (DUVAL, 2003, p.18).
Para Duval (2003) é importante estar atento ao sentido da conversão, ou seja, os registros de partida e os de chegada, e devem ser trabalhadas atividades matemáticas que exijam dos alunos a inversão desses sentidos, o que, em nossa prática docente temos percebido que isso nem sempre ocorre, ou seja, vemos muitas atividades que exigem dos alunos a conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico, porém, dificilmente são apresentadas atividades escritas no registro algébrico, que façam com que nossos alunos esquematizem uma situação-problema que as representem.
Estudos mostram que as dificuldades dos alunos nas diferentes séries aumentam quando lhes é exigida uma mudança de registro ou quando se faz necessária a mobilização de mais de um registro, isto porque, segundo Duval, [...] passar de um registro de representação a outro não é somente mudar de modo de tratamento, é também, explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um mesmo objeto. (2003, p.22).
Nessa perspectiva, Duval (2003) ressalta que a originalidade da atividade matemática está na possibilidade de mobilizar pelo menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou de ser capaz de, a cada momento, mudar o tipo de registro de representação semiótica.
como à manifestação de diferentes formas de comunicação e aos muitos significados presentes nas noções matemáticas em sala de aula.
Saber matemática não é saber apenas operar símbolos ou fazer cálculos, mas sim, até mais importante, é a capacidade de interpretar, analisar, sintetizar, significar, justificar, conceber, projetar, estimar.
No ensino aprendizagem da Matemática, os aspectos lingüísticos precisam ser considerados inseparáveis dos aspectos conceituais para que a comunicação e, por extensão, a aprendizagem aconteçam. (SANTOS, 2005, p.119).
A versatilidade da linguagem matemática faz com que professores e alunos tenham dificuldades para entendê-la, pois uma mesma propriedade pode ser apresentada sob várias visões. Vejamos o exemplo dado por Lorenzato (2006).
[...] o produto (a + b) (a + b), isto é, (a + b)2, o qual, quando alunos,
decoramos ser igual a (a2+2ab+b2), na linguagem simbólica algébrica;
na linguagem retórica algébrica, (a+b)2 seria assim escrito: “o
quadrado da adição de dois números é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo”. Particularizando, na linguagem simbólica aritmética, teríamos (2+5)2 = 22+2.2.5+52. Esta mesma verdade seria
apresentada pela linguagem operacional aritmética assim: 2 + 5
x 2 + 5 10+25 4+10 4+20+25
Finalmente, na linguagem geométrica, teríamos:
CAPÍTULO 2
[...] a linguagem matemática, devido às suas características atuais, é muito útil; no entanto, ela pode tornar-se um forte complicador para a aprendizagem da matemática e, por isso, demanda especial atenção do professor. (LORENZATO, 2006, p.48).
Diante disso, acreditamos na importância do desenvolvimento de um trabalho nas aulas de matemática sobre os termos próprios dessa ciência e seus significados, uma vez que estão diretamente ligados à aprendizagem dos alunos.
Segundo Lochhead e Mestre (1995), para amenizar as dificuldades que freqüentemente aparecem em tarefas que envolvem a conversão do registro da língua natural para o registro algébrico, é necessário que o professor faça um amplo trabalho com seus alunos, da tradução de sentenças que exigem tal conversão, isolada de outros aspectos da resolução de problemas.
Um trabalho desenvolvido com o objetivo acima, propicia, inclusive, a interdisciplinaridade, ou seja, um trabalho em conjunto com professores da Língua Portuguesa, podendo sanar parte das dificuldades encontradas pelos alunos quando da leitura de enunciados de atividades matemáticas.
Para elucidar o leitor, escrevemos, abaixo, dois enunciados de uma mesma atividade.
1. Em uma rodovia devem ser instalados dois telefones públicos entre o quilômetro 6 e o quilômetro 24. Sabendo que nos quilômetros 6 e 24 já existe telefone público instalado, determine em quais quilômetros os dois outros telefones devem ser instalados, de maneira que a distância entre eles sejam iguais.
2. Interpole dois meios aritméticos entre 6 e 24.
24 sobre um segmento de reta, verificará que para a instalação de mais dois telefones entre esses dois quilômetros deverá dividir a distância entre eles em três partes iguais, ou seja, 26 – 6 = 18 e 18:3 = 6. Portanto, os novos telefones deverão ser instalados a uma distância de 6 quilômetros entre eles, ou seja, quilômetros
12, o mesmo que 6 + 6, e 18 o mesmo que 12 + 6.
Já no segundo enunciado, as expressões interpole e meios aritméticos são utilizadas muito mais na disciplina de matemática, quando se estuda progressões aritméticas e, se não forem explicadas, os alunos não saberão como realizar a atividade, ou seja, não saberão que interpolar é o mesmo que inserir, colocar entre 6
e 24 e, meios aritméticos significa que os marcos quilométricos deverão estar em uma progressão aritmética.
2.3 SOBRE OS NÍVEIS DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS
Robert (1998), afirma que para que o aluno realize uma atividade ele deve ser capaz de mobilizar conhecimentos em três níveis: técnico, mobilizável e disponível.
Assegura que um trabalho que considera os três níveis de conhecimentos apresentados permite ao professor diagnosticar os conhecimentos prévios esperados dos alunos e o auxilia na elaboração de tarefas que envolvam conceitos matemáticos, permitindo aos mesmos, quando da realização da tarefa, construírem conhecimentos.
CAPÍTULO 2
NÍVEL TÉCNICO
Uma situação-problema está em um nível técnico quando, em seu enunciado, encontramos todos os elementos necessários para a sua resolução.
Uma tarefa neste nível deixa explícito, ainda, qual o caminho e estratégia que o aluno deverá percorrer. Estas tarefas são, geralmente, apresentadas com o objetivo de fazer com que o aluno compreenda e aplique uma determinada definição.
Para esclarecimento do leitor, daremos, a seguir, como exemplo de uma tarefa neste nível, a questão de número 6 da prova do SARESP – 2005, aplicada ao 8 ano (antiga 7 série do Ensino Fundamental) do período da manhã.
Ao resolver a equação, 3x – 6 = 10 – 7x, encontramos:
(A) x = 0,5 (B) x = 1 (C) x = 1,6 (D) x = 4
Percebemos que o enunciado da questão acima deixa claro o que o aluno deve fazer para a sua resolução, ou seja, resolver a equação do 1º grau para achar o valor de x.
Para a resolução dessa questão é necessário que o aluno tenha conhecimento das operações no conjunto dos números inteiros, operações com monômios e o princípio de equivalência.
CAPÍTULO 2
NÍVEL MOBILIZÁVEL
Espera-se que um aluno neste nível de conhecimento consiga utilizar as ferramentas específicas para realização da atividade. A tarefa deixa explícito o que deve ser feito, porém, o aluno deverá mobilizar conhecimentos já interiorizados para obter uma estratégia de resolução.
Para elucidar ao leitor, daremos como exemplo de tarefa neste nível a questão número 7, retirada do SARESP-2005, aplicada ao 8 ano (antiga 7 série do Ensino Fundamental) do período da manhã.
As medidas dos lados de um retângulo são dadas, respectivamente, pelas expressões
x + 5 e x + 8. Sabendo que o perímetro do retângulo, que é igual à soma das medidas de seus lados, é igual a 66 cm, as medidas dos lados do retângulo são:
(A) 13 cm e 20 cm (B) 14 cm e 19 cm
(C) 15 cm e 18 cm (D) 16 cm e 17 cm
Podemos verificar que os dados necessários para a realização da atividade estão totalmente explícitos na tarefa, porém, o aluno deverá ter conhecimento de quantos lados possui um retângulo, bem como, saber que esses lados são, dois a dois, paralelos e que, portanto, possuem as mesmas medidas.
CAPÍTULO 2
Acreditamos que um aluno que consegue realizar tal atividade já possui um pensamento algébrico construído, necessitando, apenas, ser motivado a obter novos conhecimentos, o que lhe será oferecido em séries posteriores.
NÍVEL DISPONÍVEL
Neste nível, o aluno encontra na tarefa todos os dados necessários para a sua resolução, porém, não lhe é dada nenhuma pista sobre qual estratégia deverá ser utilizada, nem a ferramenta que o auxiliará na sua realização.
Quando um aluno se depara com uma tarefa neste nível poderá tentar solucioná-la por meio de tentativas ou aproximações.
Um exemplo de uma tarefa neste nível é a questão número 20, retirada da prova do SARESP-2005, do 8 ano (antiga 7 série do Ensino Fundamental) do período da manhã.
Com velocidade média de 70 km/h, o tempo gasto em uma viagem da cidade A para a cidade B é de 2h e 30 min. Lúcia gastou 3h e 30 min para fazer este percurso. Podemos afirmar que a velocidade média da viagem de Lúcia foi de:
(A) 36 km/h (B) 45 km/h (C) 50 km/h (D) 85 km/h
