Transparência eletromagneticamente induzida e mistura de quatro ondas via ressonância de "crossover" em vapor atômico de césio

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(1)Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Física–CCEN Programa de Pós-Graduação em Física. Dissertação de Mestrado. Cledson Santana Lopes Gonçalves. Transparência eletromagneticamente induzida e mistura de quatro ondas via ressonância de "crossover"em vapor atômico de césio. Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Física do Departamento de Física da Universidade Federal de Pernambuco como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Física. Orientador: José Wellington Rocha Tabosa. Recife-PE Agosto de 2009.

(2) Dedico este trabalho a todos aqueles que me incentivaram a continuar acreditando sempre em mim..

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(5) Resumo Transparência eletromagneticamente induzida (EIT) é um efeito óptico coerente gerado por meio de interferência quântica destrutiva. Esse efeito ocorre quando um meio opaco se torna transparente à radiação de um feixe de sonda P, devido à presença de um campo de bombeiamento F. Na literatura, em geral, a EIT é estudada em sistemas de três níveis. Mistura de quatro ondas (MQO) é um processo não linear que ocorre a partir da interação de três campos eletromagnéticos (F, P e B) com um meio atômico, gerando um quarto campo. Em nosso trabalho, investigamos o efeito de EIT e MQO em um sistema de quatro níveis em vapor atômico de césio em temperatura ambiente. A experiência foi realizada utilizando uma configuração de sistema duplo-Λ, em que os dois campos incidentes são sintonizados nas ressonâncias de "crossover"com o auxílio da técnica de absorção saturada. Na experiência de EIT, os feixes são copropagantes e, embora a condição de ressonância Raman seja independente da velocidade atômica, o efeito Doppler desempenha um papel importante no sinal medido experimentalmente. Desta forma, um modelo teórico, baseado no formalismo de matriz densidade, que leva em conta a contribuição de todos os grupos de velocidade, é apresentado para descrever qualitativamente as observações experimentais. Utilizando a configuração de um sistema duplo-Λ descrito acima, realizamos experiências de MQO e, medimos a dependência do sinal gerado como função da potência do feixe F. Nessa configuração, os feixes F e B são contra-propagantes e, devido à seleção de velociade causada pelo efeito Doppler, desenvolvemos um modelo teórico que considera a contribuição de um único grupo de velocidade para obtenção do sinal. Esse modelo reproduz razoavelmente bem as principais características das medidas observadas..

(6) Palavras Chave: Mistura de quatro ondas, Transparência induzida Eletromagneticamente, Ressonância de "crossover".. 2.

(7) Abstract Electromagnetically induced transparency (EIT) is a coherent optical effect created by destructive quantum interference. This effect occurs when an opaque medium becomes transparent to radiation from a probe beam (P), due to the presence of a pumping field (F). In the literature, the EIT effect is usually studied in a three-level atomic systems. Four wave mixing (FWM) is a nonlinear process that occurs due to the interaction of three electromagnetic fields (F, P and B) with an atomic medium, generating a fourth field. In this work we investigated EIT and FWM effects in a cesium vapor at room temperature, modeling it as a four level atomic system. The experiment was performed using a double-Λ system configuration, where the two incident fields are in resonance with the "crossover"transitions by using the saturated absorption technique. In the EIT experiment the beams are copropagating, and although the condition of Raman resonance is independent of atomic velocity, the Doppler effect plays an important role in the signal measured experimentally. Thus, a theoretical model, solved by using the density-matrix formalism, which takes into account the contribution of all groups of velocity is presented to qualitatively describe the experimental observations. Using the double-Λ configuration described above, we performed a FWM experiment, and measured the dependence of the signal generated as a function of the F-beam power. In this configuration, the F and B beams are counter-propagating , the Doppler effect leads to a selection to get the speed that has proposed a theoretical model that takes the contribution of a single group of speed to get the signal. This model reproduces well the main features of the experimental results. Keywords: Four wave mixing, Electromagnetically Induced Transparency, "Crossover"ressonances..

(8) Sumário Lista de Figuras. iii. Lista de Tabelas. vi. 1 Introdução Geral. 1. 2 Conceitos Fundamentais. 4. 2.1. Matriz densidade e seu formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.2. Interações do campo com a matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.3. Interações de campo com um sistema de dois níveis . . . . . . . . . . . . . 10. 2.4. Átomo de césio e sua estrutura fina e hiperfina. 2.5. Técnica de absorção saturada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.6. Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 3 Transparência Eletromagneticamente Induzida. . . . . . . . . . . . . . . . 14. 22. 3.1. Revisão de EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 3.2. EIT em um sistema duplo -Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 3.3. Aparato e resultados experimentais de EIT em um sistema duplo-Λ . . . . 35. 3.4. 3.3.1. Laser de diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. 3.3.2. Moduladores acústo-ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 3.3.3. Isolador óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 3.3.4. Experimento e resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. i.

(9) SUMÁRIO. 4 Mistura de Quatro Ondas. 47. 4.1. Mistura de quatro ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. 4.2. MQO em um sistema duplo-Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 4.3. Equações de evolução do sinal de MQO. 4.4. Aparato e resultados experimentais da MQO. 4.5. Conclusão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 5 Conclusões e Perspectivas. 69. ii.

(10) Lista de Figuras 2.1. Um átomo em que o núcleo está em repouso e situado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, cujo elétron de valência está localizado na posição ~r. O vetor ~k descreve a direção de propagação do campo incidente com polarização determinada ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pelo vetor E. 7. 2.2. Átomo de dois níveis interagindo com um campo monocromático . . . . . . . . . . .. 11. 2.3. Absorção e índice de refração num sistema de dois níveis fechado [15] . . . . . . . . .. 14. 2.4. Diagrama de níveis da linha D2 do átomo de césio . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.5. Dois feixes de mesma freqüência contra-propagantes interagindo com átomos de césio. 2.6. Diagrama de níveis da estrutura hiperfina para as ressonâncias de "crossover" . . . . .. 2.7. Espectro de absorção saturada. 3.1. Transparência eletromagneticamente induzida em um sistema de três níveis . . . . . .. 3.2. Átomo de três níveis interagindo com dois campos eletromagnéticos numa configuração. . 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. do tipo Λ . O sistema é fechado, de modo que a população total é conservada . . . . .. 3.3. 23. 24. Espectro de EIT em um sistema de três niveis. Sem a presença do campo de acoplamento, temos uma curva de absorção, com a presença, temos EIT. 3.4. 19. . . . . . . . . . . 25. A curva preta representa um espectro de EIT com átomos parados. As curvas vermelha e verde representam um espectro de EIT para átomos em movimento, onde todas as classes de velocidades contribuem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3.5. Configuração de EIT em um sistema duplo-Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.6. Espectro de EIT em um sistema duplo-Λ. 3.7. Espectro de EIT para átomos em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.8. Aparato experimental de EIT com seus principais componentes . . . . . . . . . . . .. 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. iii.

(11) LISTA DE FIGURAS. 3.9. Representação esquemática de um modulador acústo-óptico . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.10 Funcionamento de um isolador óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.11 Sistema de níveis da linha D2 a partir do qual temos os subníveis Zeeman para a obtenção de um sistema Λ considerando toda a degenerescência para campos com polarizações circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.12 Expectro de EIT medido experimentalmente para diferentes potências do feixe de acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.13 Espectro de EIT obtido teoricamente para diferentes valores da freqüência de Rabi do feixe de acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 4.1. Processo de mistura de quatro ondas em um meio com não-linearidade de terceira ordem.. 48. 4.2. MQO em um sistema duplo-Λ fechado que leva em conta toda a degenerescência Zeeman dos níveis hiperfinos da linha D2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 4.3. Átomos em movimento interagindo com os três campos de mesma freqüência. 4.4. Para uma classe de velocidade, os três campos estão em ressonância com as transições atômicas. 4.5. . . . . . 51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Espectros calculados usando o modelo apresentado, para diferentes valores da freqüência de Rabi do feixe F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.6. Espectros calculados usando o modelo apresentado, para diferentes valores da freqüência de Rabi do feixe B. 4.7. 59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. Espectros calculados usando o modelo apresentado, para valores da freqüências de Rabi do feixes F e B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 4.8. Estados vestidos produzidos por um campo de bombeamento B para altas intensidades. .. 4.9. Diagrama de Bloco da montagem experimental padrão do sinal de MQO. 62. . . . . . . . 64. 4.10 Espectro do sinal de MQO para diferentes freqüências sintonizadas na absorção saturada em baixa potência dos feixes fortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. 4.11 Espectro do sinal de MQO para diferentes freqüências sintonizadas na absorção saturada em alta potência dos feixes fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 4.12 Espectro do sinal de MQO para diferentes potência do feixe forte sintonizado na ressonância de "crossover" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv. 66.

(12) LISTA DE FIGURAS. 4.13 Amplitude do sinal de MQO em que a curva vermelha representa o modelo teórico e os pontos são medidas experimentais.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. 4.14 Largura de linha do sinal de MQO em que a curva vermelha representa o modelo teórico e os pontos são medidas experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. v.

(13) Lista de Tabelas. vi.

(14) Capítulo 1 Introdução Geral A óptica não linear é um ramo da Física que estuda a interação da luz com a matéria no regime em que suas propriedades ópticas são modificadas pela presença da luz. Os processos ópticos não lineares começaram a ser observados experimentalmente no inicio da década de 60 com o surgimento do laser, desenvolvido por Maiman [1]. Isso decorreu porque tais processos necessitam de altas intensidades de campo eletromagnético para se manifestarem, o que só foi possível com o uso de fontes de radiação laser. Quando luz de alta potência incide em um meio atômico, a resposta do meio passa a ser não linear, dando origem a vários efeitos. Em meios isotrópicos, como vapores atômicos, temos o processo não linear de mistura de quatro ondas (MQO). Este processo é um exemplo da geração de soma e diferença de freqüências e ocorre a partir da interação do meio não linear com três campos eletromagnéticos, sendo gerada uma quarta onda com uma freqüência que é a combinação linear das freqüências das ondas incidentes. MQO é um processo tipo paramétrico, ou seja, o meio atômico funciona apenas como um intermediador do processo, não havendo nem ganho nem perda de energia no meio. Este processo, em vapores atômicos, tem sido explorado extensivamente no passado e no presente. Trabalhos têm mostrado que MQO é uma ferramenta óptica necessária para comunicação quântica a longa distância incluindo o armazenamento e recuperação de qubit [2,3]. É uma poderosa técnica de espectroscopia não linear que tem sido amplamente utilizada para investigar diferentes meios e processos que envolvem fenômenos de interferência [4]. Em baixas. 1.

(15) densidades em vapor alargado pelo efeito Doppler, MQO pode ser usada para observar ressonâncias sub-Doppler bem como para o estudo de efeitos de saturação associado a susceptibilidades de terceira ordem no meio [5]. Grande parte da literatura tem explorado esse processo em um sistema Λ ou duplo-Λ em sistemas atômicos, que se beneficia de coerências geradas a partir dos estados. Além do uso de alta intensidade para acessar as propriedades não lineares em sistemas atômicos, podemos manipular e alterar drasticamente essas propriedades através da interação do meio com outros feixes de laser. Dentre os fenômenos coerentes associados à interação de campos eletromagnéticos com um meio atômico, podemos destacar a Transparência eletromagneticamente induzida, EIT (do inglês "Electromagnetically Induced Transparency"). Este fenômeno é gerado a partir de efeitos de interferência e coerência e é bastante explorado em sistemas atômicos de três níveis. O EIT é observado quando existe uma superposição coerente de estados para a qual o átomo não absorve radiação incidente. Esse estado é chamado de "estado escuro"e é criado quando um sistema de três níveis interage com dois campos coerentes na condição de ressonância Raman. Este efeito tem sido observado em diversos sistemas, os quais se diferenciam, basicamente, pelos mecanismos de alargamento presentes. Como este efeito é produto da coerência entre os níveis atômicos induzida pelo campo de radiação, a taxa de decaimento dessas coerências é de fundamental importância. Em particular, esse efeito tem sido observado em sistemas com alargamento inomogêneo como vapores atômicos e sólidos [6]. Na literatura, em geral, o estudo do EIT se dá em um sistema de três níveis, sendo interpretado usando o conceito de armadilhamento coerente de população (CPT) [7,8]. Trabalhos recentes têm mostrado que a EIT tem se estabelecido como uma poderosa técnica para o controle coerente na propagação clássica de pulsos luminosos. Em especial, a capacidade para controlar estados quânticos, tais como um pulso de um único fóton, é central para o campo emergente da ciência da informação quântica [9]. Portanto, esses dois efeitos, MQO e EIT, possuem uma gama de aplicações que vão desde processos ópticos não lineares à produção de estados não clássicos da luz (como por exemplo, geração fótons gêmeos [26]). Em nosso trabalho, iremos investigar, teórica e experimentalmente, esses dois fenômenos em uma amostra de césio em temperatura am2.

(16) biente. Faremos espectroscopia atômica nessa amostra nas ressonâncias de "crossover"da estrutura hiperfina desses átomos. No processo de MQO, quando sintonizamos os campos nessas ressonâncias ocorre um aumento ou diminuição na amplitude do sinal dependendo das potências dos feixes envolvidos, o que nos motivou a fazer uma descrição qualitativa e quantitativa deste comportamento. E como conseqüência desse estudo, também estudamos o EIT em um sistema duplo-Λ, onde também os campos estão sintonizados nas ressonâncias de "crossover". Isto nos permitiu fazer uma descrição qualitativa das principais características desse sinal e comparar seu comportamento com o EIT em um sistema Λ. Para tal finalidade, dividimos esse trabalho nos seguintes capítulos: No capítulo 2, introduziremos toda a base para compreender como iremos descrever os dois fenômenos abordados neste trabalho. Faremos uma breve revisão do formalismo matemático e da interação átomo-campo que é essencial para compreensão da resposta do meio quando interage com algum campo. Resolveremos um modelo de átomo de dois níveis (essencial para introduzir modelos mais complexos) e, por fim, mostraremos as características do meio atômico explorado e a técnica de absorção saturada (fundamental para entender o que são as ressonâncias de "crossover"). No capítulo 3, faremos uma breve revisão do sinal de EIT em um sistema Λ [6,11]. Em seguida, descreveremos esse fenômeno em um sistema duplo-Λ, através do formalismo de matriz densidade e mostraremos o aparato experimental utilizado, bem como os resultados obtidos. Apresentaremos, de forma simples, uma comparação entre as duas situações. No capítulo 4, descreveremos as principais características do processo de mistura de quatro ondas em um sistema degenerado. Desenvolvemos um modelo teórico com algumas aproximações para tentar explicar o sinal gerado na situação em que os campos envolvidos estão sintonizados nas ressonâncias de "crossover". Também mostraremos o aparato experimental utilizado e os resultados obtidos no experimento. Além disso, faremos uma comparação entre o resultado teórico e o experimental, tanto para a largura de linha como para a amplitude do sinal de MQO. Por último, no capítulo 5, apresentaremos nossas conclusões e perspectivas.. 3.

(17) Capítulo 2 Conceitos Fundamentais O objetivo deste capítulo é introduzir alguns conceitos fundamentais necessários para uma melhor compreensão dos vários fenômenos descritos nesta dissertação. Assim, revisaremos sucintamente os aspectos mais importantes de assuntos tais como formalismo de matriz densidade, interação de um campo com um sistema de dois níveis, além de fazer uma breve revisão sobre estruturas fina e hiperfina do átomo de césio, bem como mostrar os principais aspectos da técnica de absorção saturada.. 2.1. Matriz densidade e seu formalismo. Na mecânica quântica básica estudamos sistemas puros, ou seja, sistmas em que todos os indivíduos pode ser representado pelo mesmo vetor de estado. Para determinar o estado de um sistema em um dado instante é suficiente realizar um conjunto de medidas correspondentes a um conjunto completo de observáveis que comutam entre si. No entanto, para um sistema de muitos átomos, em que existe uma mistura estatística a qual nos referimos como incertezas clássicas que não estão associadas a incertezas quânticas, não podemos usar esse vetor de estado para descrever esse sistema. Neste caso, necessitamos de uma ferramenta valiosa, o operador densidade, ρ(t), que combina a aplicação dos postulados da mecânica quântica com aqueles provenientes da mecânica estatística.. 4.

(18) 2.1 Matriz densidade e seu formalismo. No formalismo de matriz densidade [12], para um sistema atômico, podemos escrever o operador densidade como: ρ(t) =. X. ck |ψk ihψk |. (2.1). k. onde ck é a probabilidade do sistema ser encontrado no estado |ψk (t)i e a soma é sobre todos os estados possíveis do sistema. Podemos escrever |ψk (t)i como uma combinação em alguma base de estados estacionários ortogonais quaisquer: |ψk (t)i =. X. pn ,k (t)|ϕn i. (2.2). n. Desta forma, podemos reescrever o operador densidade como: ρ(t) =. X. ck pm ,k (t)p∗n,k (t)|ϕm ihϕn |. (2.3). k,m,n. de onde concluímos que, se m = n temos os elementos diagonais da matriz densidade que representam as populações dos estados e são dados por: ρm (t) =. X. ck |pm ,k (t)|2. (2.4). k. Se m 6= n temos os elementos não diagonais da matriz densidade que representam a interferência quântica entre os estados |ϕm i e |ϕn i, sendo chamados de coerências e dados por: ρmn (t) =. X. ck pm,k (t)p∗n,k (t). (2.5). k. Lembramos que, sendo a matriz densidade um operador hermitiano, sempre é possível encontrar uma base de estados onde ρ seja diagonal. Então, o conceito de coerência é sempre relativo à base de estados escolhida. Estamos querendo extrair informação do sistema, então devemos usar o valor esperado do observável associado àquela medida, sendo este resultado proveniente de médias realizadas em "ensembles"preparados da mesma forma, representando assim o mesmo estado. 5.

(19) 2.1 Matriz densidade e seu formalismo. a ser medido. Assim, para um operador A arbitrário para um dado observável físico, o valor esperado é dado por: hAi = hψ|A|ψi. (2.6). Como em mecânica quântica trabalhamos com a probabilidade ck de o átomo ser encontrado no estado |ψi, não podemos somente tomar a média, mas sim a média do ensemble de muitos sistemas idênticos, o que irá fornecer a seguinte equação para o valor esperado: hhAiiensemble = tr (ρA). (2.7). onde o segundo termo representa o traço da matriz densidade pelo operador. Portanto, essa equação nos fornecerá os resultados obtidos em nossas medidas. A matriz densidade tem uma dinâmica governada pela equação de Liouville ou Von Neumann: i dρ(t) = − [H, ρ(t)] dt ~. (2.8). onde [H, ρ(t)] = Hρ − ρH. Essa equação descreve a evolução do operador densidade submetida a uma interação dada pelo Hamiltoniano do sistema, representado por H. Na equação anterior ainda não incluímos os termos de perda populacional dos níveis devido a decaimento espontâneo ou outros fenômenos como colisões entre os átomos, mas estes termos podem ser incluídos fenomenologicamente através das taxas de relaxações das populações e coerências, que são conseqüência das interações do átomo com seu entorno. Desta forma, a equação de movimento para a matriz densidade será dada por: dρ i dρ = − [H, ρ] + ( )relaxaes dt ~ dt. (2.9). Esta equação é conhecida como Equação de Bloch óptica. Esse formalismo de matriz densidade é o que será utilizado ao longo do nosso trabalho para descrever os fenômenos que serão abordados.. 6.

(20) 2.2 Interações do campo com a matéria. Ê k. z e-. y. r. x Ze. Figura 2.1: Um átomo em que o núcleo está em repouso e situado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, cujo elétron de valência está localizado na posição ~r. O vetor ~k descreve a ~ direção de propagação do campo incidente com polarização determinada pelo vetor E. 2.2. Interações do campo com a matéria. A forma como três campos eletromagnéticos interagem para produzir um quarto campo é a chave central para a descrição de todos os processos de mistura de quatro ondas. Também, a compreensão do fenômeno de Transparência eletromagneticamente induza se dá através desta descrição. Fisicamente, compreenderemos estes processos considerando as diferentes interações dos campos dentro de um meio. Devemos lembrar que a luz é uma onda eletromagnética, consistindo em campos elétricos e magnéticos que se propagam através do espaço. Então, um campo elétrico cria dentro de cada átomo uma separação de cargas que oscilam à mesma freqüência que a onda incidente, isto é, gera um momento de dipolo induzido. A teoria eletromagnética prevê que cargas oscilantes irradiam uma onda eletromagnética com a mesma freqüência de oscilação das cargas. Em geral, essa onda irradiada ou espalhada apresenta uma diferença de fase definida com relação à onda incidente. Dessa forma, a onda espalhada é coerente com a onda incidente. Para compreendermos melhor a interação luz - matéria, utilizaremos um modelo semi-clássico, em que o campo é tratado como entidade clássica e o átomo é considerado quântico, apresentando níveis de energia discretos. Supondo que um campo incida em um átomo, como mostra a figura 2.1, em resposta teremos um momento de dipolo induzido, de acordo com a mecânica quântica e, também com a eletrodinâmica clássica. Para este. 7.

(21) 2.2 Interações do campo com a matéria. meio atômico, o campo eletromagnético é descrito pelas equações de Maxwell: ~ ·B ~ =0 ∇. (I). ~ ·D ~ = ρlivre ∇. (II). ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t ~ ~ ×H ~ = J~ − ∂ D ∇ ∂t. (III) (IV). ~ r, t) e H(~ ~ r, t) são chamados de deslocamento elétrico e vetor de intensidade em que D(~ magnética, respectivamente. Essas duas grandezas físicas estão relacionadas com os campos elétrico e magnético através das expressões: ~ r, t) = 0 E(~ ~ r, t) + P~ (~r, t) D(~. (2.10). ~ r, t) = µ0 H(~ ~ r, t) + M ~ (~r, t) B(~. (2.11). ~ , J~ e ρlivre representam a polarização, magnetização, densidade de corrente onde P~ , M e densidade de cargas livres, respectivamente. Adimitiremos que, no vapor atômico, J~ e ρlivre são nulas e que, também, não há efeitos de magnetização apreciáveis, de forma ~ também é nula. Além disso, dado que os elétrons estão permanentemente ligados que M aos núcleos e que cada elétron se desloca de uma determinada posição em relação à de equilíbrio, apenas as transições do dipolos elétricos serão consideradas [12] e assim os campos eletromagnéticos induzidos na amostra terão origem na radiação dos dipolos ~ × atômicos. Com a utilização destes argumentos e com o uso da identidade vetorial ∇ ~ ×E ~ = ∇( ~ ∇ ~ · E) ~ − ∇2 E, ~ podemos a partir das equações de Maxwell escrever: ∇ ~− ∇2 E. ~ 1 ∂2E 1 ∂ 2 P~ = c2 ∂t2 0 c2 ∂t2. (2.12). Portanto, essa equação mostra que a polarização é o termo responsável pela criação de um campo elétrico como resposta dos átomos ao feixe de luz incidente e macroscopicamente. 8.

(22) 2.2 Interações do campo com a matéria. representa a soma de todos os momentos de dipolo induzidos de cada átomo na região onde ocorre a interação, ou seja: ~ P~ = N hdi. (2.13). ~ = −eh~ri é a onde N é a densidade de átomos na região de interação com o campo e hdi média dos momentos de dipolo individuais de cada átomo. Para campos de baixa intensidade, podemos escrever uma relação entre o campo elétrico e a polarização macroscópica como uma forma do análogo atômico da lei de Hooke, uma vez que há uma relação de proporcionalidade entre essas duas grandezas, que oscilam na mesma freqüência, isto é: ~ r, t) P~ (~r, t) = 0 χE(~. (2.14). A constante χ é chamada de susceptibilidade elétrica, sendo uma propriedade do material. Fisicamente, essa constante, dada na forma complexa, está relacionada com a dispersão do meio (parte real) e com a absorção linear (parte imaginária) [13]. Quando a luz se propaga através de um meio transparente, o campo eletromagnético oscilante exerce uma força sobre os elétrons do meio, agindo como uma perturbação. Com fontes de luz ordinárias, o campo de radiação é muito menor que o campo interatômico e assim age como uma pequena perturbação e as cargas do meio comportam-se como osciladores harmônicos e a polarização induzida P~ têm um comportamento linear com a amplitude do campo ~ Porém, com o laser foi possível observar que, na presença de altas intensidades elétrico E. de luz, ocorrem mudanças nas propriedades ópticas do meio. A luz que provoca mudanças nas propriedades do material também tem suas propriedades afetadas de uma maneira nãolinear. Nesta situação, quando a intensidade de luz é alta, de tal forma que o campo de radiação torna-se comparável com os campos internos atômicos, as cargas do meio atuam como osciladores não harmônicos e a polarização induzida exibe comportamento nãolinear em função da amplitude do campo. Neste caso, a equação 2.14, para campos intensos, deve ser modificada. Naturalmente, o método tradicional de modelagem para. 9.

(23) 2.3 Interações de campo com um sistema de dois níveis. uma resposta nãolinear do material é expandir a polarização induzida como uma série de potências do campo elétrico, onde aparecerão termos não lineares: → → → ~ r, t) + 0 ← ~ r, t)E(~ ~ r, t) + 0 ← ~ r, t)E(~ ~ r, t)E(~ ~ r, t) + · · · (2.15) P~ (~r, t) = 0 ← χ (1) E(~ χ (2) E(~ χ (3) E(~ Agora, as susceptibilidades são tensores. Neste método, supomos que as susceptibilidades de ordem superior são progressivamente menores para que a série convirja. O tensor → de ordem três, ← χ (2) , é a susceptibilidade de ordem nãolinear mais baixa e possui 27 elementos. Muitos destes elementos são determinados pela simetria que existe no meio. Por exemplo, em gases e líquidos, devido à simetria de inversão (quaisquer grandezas físicas → que dependam da posição têm o mesmo valor para ~r e para −~r, todos os termos de ← χ (2) , neste caso, são nulos [13]. A susceptibilidade de terceira ordem é responsável pela geração → do processo de mistura de quatro ondas [13]. Em geral,← χ (3) é um tensor de ordem 4 com 81 elementos, cada um desses elementos consistindo em uma soma de 48 elementos. Este vertiginoso aumento do número de termos é reduzido através das simetrias e ressonâncias existentes no material. Com isso, podemos concluir que através da polarização, que é a resposta do meio para os campos incidentes, podemos obter grandezas físicas que descreverão proporcionar as características mais relevantes do sistema. Essa polarização, por sua vez, estará relacionada com as coerências atômicas.. 2.3. Interações de campo com um sistema de dois níveis. Um dos problemas mais simples envolvendo a interação atomo-campo é o acoplamento de um átomo de dois níveis com um campo eletromagnético [14]. Na prática, não precisamos de um sistema de apenas dois níveis; basta que o campo esteja ressonante com somente uma das transições do átomo, para que este tratamento possa ser utilizado como uma descrição aproximada do sistema atômico. Assim, este problema será importante para introduzir alguns conceitos usados em modelos mais complexos ao longo deste tra-. 10.

(24) 2.3 Interações de campo com um sistema de dois níveis. Δ. . . 0. Figura 2.2: Átomo de dois níveis interagindo com um campo monocromático balho. Vamos considerar um átomo de dois níveis em repouso interagindo com um campo eletromagnético monocromático de freqüência ω como mostra a Figura 2.2. Para resolvermos esse problema vamos considerar algumas aproximações, que também servirão para um problema mais complexo. A primeira aproximação é considerar apenas interações do tipo dipolo, válidas usualmente quando o comprimento de onda é bem maior que o diâmetro do átomo. Assim, a fase da onda eletromagnética não muda muito dentro do volume do átomo e, portanto as variações espaciais da amplitude poderão ser desprezadas durante o processo. Então, o hamiltoniano de interação átomo-campo pode ser escrito como: ~ E ~ Hint = −D.. (2.16). ~ é o momento dipolar do átomo. O hamiltoniano livre para esse sistema, cononde D siderando o nível fundamental como tendo energia nula, é dado por: H0 = ~ω0 |bihb|. (2.17). Escrevendo o campo eletromagnético de freqüência ω, obtemos: 1 ~ E(t) = (Eeiωt + E ∗ e−iωt ) 2. (2.18). ~ é um operador com paridade ímpar, então, para os estados atômicos O momento dipolar D com paridade bem definida, todos os elementos diagonais são nulos. Desta forma, temos: ~ =D ~ ab |aihb| + D ~ ba |biha| D 11. (2.19).

(25) 2.3 Interações de campo com um sistema de dois níveis. Substituindo (2.18) e (2.19) em (2.17), encontraremos a forma para o hamiltoniano de interação. Devemos fazer uma nova aproximação, pois ao consider os campos oscilando em torno da freqüência de ressonância, devemos desprezar termos que aparecem no hamiltoniano cujas freqüências oscilam rapidamente com uma dependência dada por ±(ω + ω0 ) e manter somente os termos que oscilam lentamente ±(ω − ω0 ). Essa aproximação é conhecida como aproximação de onda girante (RWA). Também, utilizaremos essa aproximação ao longo desse trabalho. Portanto, o hamiltoniano total para esse sistema será dado por: Htotal = ~ω0 |bihb| + ~Ω|aihb|eiωt + ~Ω∗ |biha|e−iωt. (2.20). ~ ab .E/2~ ~ em que Ω = −D é chamada de freqüência de Rabi. Utilizando a equação 2.9 e considerando um sistema fechado, ou seja, a população se conserva, podemos escrever as equações de Bloch para as populações (ρii ) e coerências (ρij ): ρ˙ aa = −iΩρba eiωt + iΩ∗ ρab e−iωt + Γρbb. (2.21a). ρ˙ bb = −iΩ∗ ρab e−iωt + iΩρba eiωt − Γρbb. (2.21b). Γ ρab 2 Γ ρ˙ ba = −iω0 ρba − iΩ(ρaa − ρbb )e−iωt − ρba 2 ρ˙ ab = iω0 ρab + iΩ(ρaa − ρbb )eiωt −. (2.21c) (2.21d). em que Γ é a largura natural do estado excitado. Introduzindo novas variáveis denominadas de variáveis lentas, podemos reescrever esse conjunto de equações. Então segue: ρii = σii. (2.22a). ρab = σab eiωt. (2.22b). ρba = σba e−iωt. (2.22c). 12.

(26) 2.3 Interações de campo com um sistema de dois níveis. Logo, obtemos: σ˙ aa = −iΩσba + iΩ∗ σab + Γσbb. (2.23a). σ˙ bb = −iΩ∗ σab + iΩσba − Γσbb. (2.23b). Γ σab 2 Γ σ˙ ba = −i∆σba − iΩ(σaa − σbb ) − σba 2 σ˙ ab = i∆σab + iΩ(σaa − σbb ) −. (2.23c) (2.23d). onde ∆ = ω0 − ω é a dessintonia da transição. Em condições normais, quando um campo ressonante interage com um sistema atômico temos uma forte absorção e dispersão. Como vimos, devido à interação do meio com um campo surge uma polarização. Então podemos escrever: ~ = N D(σab eiωt + σba e−iωt ) P (t) = N tr(Dρ). (2.24). =N D[2Re(σab ) cos ωt − 2Im(σab ) sin ωt]. (2.25). em que N é a densidade de átomos. Na maioria dos experimentos, estamos interessados em calcular a absorção ou o índice de refração do meio atômico. Lembramos que estas quantidades estão relacionadas com a potência média dissipada. Então, a componente que está em fase com o campo não dissipa energia, e, conseqüentemente, a componente responsável pela absorção é aquela que está em quadratura com o campo. Portanto, a absorção será proporcional à parte imaginária da coerência σab , enquanto que a parte real desta coerência é proporcional à dispersão. Para resolvermos esse sistema e, posteriormente, outros mais complexos, devemos procurar soluções no estado estacionário, ou seja, σ˙ ij = 0. Então, após algumas contas, a coerência σab será: σab =. Ω(∆ − iΓ/2) 2 ∆2 + Γ4 + 2|Ω|2. (2.26). De posse dos resultados obtidos, podemos gerar curvas de absorção e dispersão características. Na Figura 2.3, mostramos essas curvas em função da dessintonia ∆/Γ. Verificamos que a absorção para esse sistema tem uma ressonância de largura Γ, que é a largura. 13.

(27) 2.4 Átomo de césio e sua estrutura fina e hiperfina. Figura 2.3: Absorção e índice de refração num sistema de dois níveis fechado [15] natural do estado excitado, e que temos um alargamento à medida que aumentamos a intensidade do campo. Assim, nos capítulos seguintes sempre resolveremos o sistema no estado estacionário e encontraremos a coerência responsável pelo fenômeno estudado. No caso da transparência eletromagneticamente induzida vamos olhar apenas para a parte imaginária da coerência. Já na mistura de quatro ondas, trabalharemos tanto com a parte real como com a parte imaginária, tomando seu módulo ao quadrado. Na seção seguinte, descreveremos o meio responsável pela geração dos dois efeitos abordados no trabalho.. 2.4. Átomo de césio e sua estrutura fina e hiperfina. O átomo césio é um metal alcalino localizado no grupo 1 (1A) da classificação periódica dos elementos. Possui 55 elétrons distríbuidos em suas camadas, sendo que na última camada encontra-se apenas um elétron. A iteração spin-órbita corresponde a um campo magnético forte, cuja orientação é dada ~ momento angular orbital, que atua sobre o elétron produzindo um torque sobre o por L, ~ Esse torque força um acoplamento entre L ~ e S, ~ fazendo momento magnético de spin S. com que a orientação de um dependa da orientação do outro. Esses vetores movem-se 14.

(28) 2.4 Átomo de césio e sua estrutura fina e hiperfina ~ obedece à lei da conservação do de maneira que a sua soma, o momento angular total J, momento angular em mecânica quântica. Esta interação faz com que a energia do elétron dependa da orientação relativa entre os seus dois momentos angulares, orbital e de spin. Portanto, esse acoplamento dá origem aos níveis de energia da estrutura fina do césio [16], ~ S. ~ sendo proporcional ao termo L. Estritamente, este acoplamento é um efeito relativístico, mas ele pode ser interpretado de uma forma simples. Considere um elétron orbitando em torno do núcleo. No referencial do elétron é o núcleo que gira em torno dele. Este movimento orbital da carga positiva do núcleo dá origem a um campo magnético sobre o elétron, e, portanto, a uma diferença de energia entre as duas possíveis orientações do seu spin. A existência da estrutura fina faz necessária a adição de momento angular. Assim, ~ +S ~éo utiliza-se a base formada pelos autoestados dos operadores Jˆ e Jˆ2 , em que J~ = L z. momento angular total eletrônico. Lembrando que na soma de dois momentos angulares os possíveis valores de J~ são: |l − s|; |l − s + 1|; ...; l − s + 1; l + s. (2.27). Para a camada de valência do átomo de césio, o número quântico l pode assumir os valores l = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Utilizando a notação espectroscopica, n[2S+1] LJ ,e sendo o spin do elétron s = 1/2, podemos escrever Para l = 0, temos J = l + s = |0 − 1/2| = 1/2. (2.28). Para o caso em que l = 1, temos J = l + s = |1 − 1/2| = 1/2; 3/2. (2.29). Desta forma, identificamos os niveis 62 S1/2 , 62 P1/2 e 62 P3/2 com energias diferentes. Esses níveis formam a linha D da estrutura fina do césio. A transição entre os níveis 62 S1/2 e 62 P1/2 representa à linha D1 , enquanto que a transição entre 62 S1/2 e 62 P3/2 corresponde a linha D2 . 15.

(29) 2.5 Técnica de absorção saturada. O núcleo do átomo também tem influência sobre seu espectro. A interacção entre o campo magnético interno associado ao momento angular total e o momento magnético do spin do núcleo faz com que haja um novo desdobramento dos níveis de energia que é 10−3 menor que o desdobramento spin-órbita. Então, este acoplamento entre o momento ~ e o momento de spin do núcleo, I, ~ dá origem a níveis de enerangular total do elétron, J, gia chamado estrutura hiperfina. Novamente, pela soma de momento angular, podemos ~ em que o mesmo pode assumir os seguintes definir o momento angular total, F~ = J~ + I, valores: |j − I|; |j − I + 1|; ...; j − I + 1; j + I. (2.30). No caso do átomo de Césio, o momento angular de spin nuclear é I = 7/2. Então, para o nível 62 S1/2 , temos F = 3, 4. Para o nível 62 P3/2 , obtemos F = 2, 3, 4, 5. Desta forma podemos representar o diagrama de energia com os desbodramentos hiperfinos da linha D2 do césio como mostra a Figura 2.4. Essa linha D2 do átomo de césio será a utilizada nos experimentos de mistura de quatro ondas e transparência eletromagneticamente induzida abordados nesta dissertação. Continuando nossa revisão, mostraremos na proxima seção a técnica de absorção saturada, que é utilizada em nosso experimento para selecionar a frequência do laser.. 2.5. Técnica de absorção saturada. A técnica de absorção saturada faz parte de um conjunto de técnicas espectroscópicas não lineares de alta resolução, que são utilizadas para o estudo de estruturas espectrais sem a interferência do fenômeno de alargamento Doppler. Esta técnica consiste em sondar, por meio de um feixe de baixa intensidade, a largura de linha de uma transição atômica através de mudanças na população entre os níveis de energia provocadas pela presença de um feixe de alta intensidade, ou seja, um feixe forte satura a transição atômica de modo a variar a absorção de um feixe de sonda. Experimentalmente, como mostra a Figura 2.5, utilizam-se dois feixes de laser contra-propagantes e superpostos de mesma freqüência passando pelo interior de uma célula de vapor atômico [?].. 16.

(30) 2.5 Técnica de absorção saturada. F=5 251,00 MHz F=4. 62P3/2. 201,24 MHz. F=3 151,21 MHz F=2 852,34727582 nm [351,72571850 THz ]. F=4. 62S1/2. 9,192631770 GHz (exato). F=3. Figura 2.4: Diagrama de níveis da linha D2 do átomo de césio. 17.

(31) 2.5 Técnica de absorção saturada. Feixe de acoplamento F. Feixe de sonda P. Figura 2.5: Dois feixes de mesma freqüência contra-propagantes interagindo com átomos de césio Quando sondamos a célula de vapor atômico na ausência do feixe forte, observa-se que a largura de linha da transição atômica é alargada devido ao efeito Doppler, já que devido aos diferentes grupos de velocidades dos átomos as freqüências percebidas por eles será dada por (ω ± kv), onde ω é a freqüência do laser, k é o vetor de onda e v é a velocidade dos átomos [6]. Com a utilização de dois feixes, de mesma freqüência, somente o grupo de velocidade v = 0 interage com os dois feixes simultaneamente, de modo que o feixe de sonda sente a presença do feixe de acoplamento (forte). Assim, sendo os feixes contra-propagantes, no referencial do átomo, a freqüência dos feixes forte e sonda será deslocadas pelo efeito Doppler para ωF = ω − kv e ωP = ω + kv, respectivamente. Desta forma, vemos que apenas átomos com velocidade nula estão simultaneamente ressonantes com os dois feixes, ou seja, ωF = ωP = ω0 , onde ω0 é a freqüência da transição atômica. Sabemos que, no átomo de césio podemos ter uma ressonância associada à transição entre os estados F = 3 e F = 2 denotada por 3 − 2, que é utilizada em nosso experimento. Também temos as transições entre F = 3 e F 0 = 3; e entre F = 3 e F 0 = 4. Não podemos ter a transição F = 3 e F = 5, porque a regra de seleção para transições do tipo dipolo elétrico só permite transições entre os estados onde se tem ∆F = 0, ±1. Então, no espectro da absorção saturada deveremos observar três picos de transmissão do feixe de sonda correspondentes a essas transições, cujas freqüências serão ω32 , ω33 e ω34 .. 18.

(32) 2.5 Técnica de absorção saturada. F’=4. F’=3. . F’=2. 32. 33 34. F. P. F=3. Figura 2.6: Diagrama de níveis da estrutura hiperfina para as ressonâncias de "crossover" Entretanto, para um certo grupo de átomos com velocidade diferente de zero a freqüência do feixe de bombeio pode corresponder à freqüência de uma transição atômica, por exemplo, ω32 , e ao mesmo tempo o feixe sonda corresponder a outra freqüência de transição, ω33 , como mostra a Figura 2.6. Então, esse grupo de átomos com velocidade não-nula irá interagir simultaneamente com os dois feixes nessa situação, ou seja:. ωF = ω − kv = ω32. (2.31). ωP = ω + kv = ω33. (2.32). e. Subtraindo as equações 2.32 e 2.31, obtemos a velocidade deste grupo de átomos dada por: v=. ω33 − ω32 2k. (2.33). Na verdade, a presença do feixe de acoplamento na transição com freqüência ω32 modifica a população do nível F = 3 e, isso altera a absorção do feixe de sonda. Essa é a origem das ressonâncias de "crossover". Portanto, átomos com essa velocidade irão contribuir para que novos picos de ressonâncias apareçam entre as transições já mencionadas, isto é, para. 19.

(33) Absorçao (unid.arbit.). 2.6 Conclusão. F :3  4. C :3  4. F :3  3 F :3  2 C :2  3 350 MHz. C :2  4. . Figura 2.7: Espectro de absorção saturada. ω=. ω32 + ω33 2. (2.34). É importante ressaltar que não se trata de um novo nível de energia. Em nosso trabalho os três campos serão sintonizados nessas ressonâncias. O gráfico da Figura 2.7, mostra o espectro de absorção saturada referente às transições F = 3 −→ F = 2, 3, 4, e também às ressonâncias de "crossover". De posse de todos esses conhecimentos básicos, agora iniciaremos nosso estudo do fenomêno de transparência eletromagneticamente induzida em um sistema com dois estados excitados e, posteriormente, o estudo do processo de mistura de ondas.. 2.6. Conclusão. Neste capítulo de revisão, mostramos que em situações onde não é possível conhecer o estado do sistema por meio de um vetor de estado, devemos usar o formalismo de matriz densidade para fazer uma descrição desse sistema. Com isso, é possível fazer uma conexão 20.

(34) 2.6 Conclusão. entre a mecânica estatística (que descreve sistemas de muitas partículas) e a mecânica quântica através da equação de Liouville. Desta forma, por meio da matriz densidade, podemos obter os valores esperados de observáveis físicos. Também resolvemos um sistema de dois níveis com o objetivo de introduzir alguns conceitos básicos que serão utilizados ao longo desta dissertação. Por fim, discutimos sucintamente a origem das estruturas fina e hiperfina do átomo de césio e a técnica de absorção saturada. Em particular, descrevemos a existência das ressonâncias de "crossover", em torno das quais os fênomenos investigados neste trabalho serão analisados.. 21.

(35) Capítulo 3 Transparência Eletromagneticamente Induzida Em geral, a intensidade da interação entre luz e átomos é uma função da freqüência da luz. Quando a freqüência da luz corresponde a uma determinada freqüência de transição atômica, ocorre uma condição de ressonância. Neste caso, a resposta óptica do meio é muito maior. A propagação da luz é, então, acompanhada por uma forte absorção e dispersão. Investigações nas últimas décadas têm mostrado, no entanto, que nem sempre é esse o caso. Especificamente, um meio opaco pode se tornar completamente transparente a um campo de radiação devido a efeitos de interferência quântica entre os diversos caminhos através dos quais um átomo pode ser excitado. Este efeito é conhecido como transparência induzida eletromagneticamente (EIT) e é observado na interação de um átomo de 3 níveis com dois campos externos, [17]. Neste capítulo, faremos uma revisão de EIT em três níveis na configuração Λ. Em seguida, descreveremos de forma qualitativa a EIT em um sistema duplo-Λ. Mostraremos que, ao considerarmos um quarto nível, mesmo que os campos estejam dessintonizados, os espectros obtidos serão simétricos, diferentemente do que ocorre quando consideramos apenas o sistema Λ com um único estado excitado. Nesse estudo de EIT, na configuração de quatro níveis, os dois campos estarão sintonizados nas ressonâncias de "crossover"e, devido ao efeito Doppler, esses campos poderão acoplar com. 22.

(36) 3.1 Revisão de EIT. a. Sonda. bombeamento. c b. Figura 3.1: Transparência eletromagneticamente induzida em um sistema de três níveis um quarto estado na configuração duplo-Λ. Devemos ressaltar que não foram encontrados trabalhos na literatura explorando o estudo da EIT nessa configuração.. 3.1. Revisão de EIT. O fenômeno de EIT pode ser usado como uma técnica espectroscópica para estudar estruturas subnaturais em um meio alargado pelo efeito Doppler [18], como no caso do vapor atômico em temperatura ambiente. Para ilustrar este efeito, vamos considerar a situação apresentada na Figura 3.1, na qual temos um sistema de três níveis em presença de dois campos denominados bombeiamento e sonda. Para modificar a propagação da luz do campo de sonda, que está acoplado aos estados |ai e |bi através desse meio atômico, devemos aplicar um segundo campo (bombeiamento) ressonante com a transição entre estados |ai e |ci. O efeito combinado destes dois feixes pode estimular os átomos numa superposição dos estados |ci e |bi, chamada de "estados escuros", que não acoplam com os campos incidentes [6]. Nesse caso, os dois caminhos possíveis para a luz ser absorvida (|bi → |ai e |ci → |ai) podem interferir destrutivamente. Os átomos são ditos, então, estar em um estado escuro. Com essa interferência destrutiva,. 23.

(37) 3.1 Revisão de EIT. a.  ac.  ab.  , 1. .  , 2.  bc c. b. Figura 3.2: Átomo de três níveis interagindo com dois campos eletromagnéticos numa configuração do tipo Λ . O sistema é fechado, de modo que a população total é conservada nenhum átomo é promovido para o estado excitado, levando, então, à não absorção da luz, mesmo que o feixe de sonda esteja na condição de ressonância. Na descrição quantitativa deste efeito, de forma resumida, vamos considerar um sistema tipo Λ fechado interagindo com dois campos eletromagnéticos, de modo que a população do sistema é conservada, conforme a Figura 3.2. Os estados |ci e |bi são chamados de estados fundamentais, enquanto que o estado |ai é o excitado. Um átomo neste sistema interage com o feixe de sonda com freqüência de Rabi α, que acopla os estados |ai e |bi, e com o feixe de bombeiamento ou acoplamento com freqüência de Rabi Ω, que acopla os estados |ai e |ci. Os estados fundamentais não estão acoplados por uma transição do tipo dipolo elétrico. Os feixes de bombeiamento e sonda terão as seguintes dessintonias ∆ab = ωab − ω1 ; ∆ac = ωac − ω2 ; onde ωab e ωac são as freqüências das transições atômicas |ai → |bi e |ai → |ci, respectivamente e ω1 e ω2 são as freqüências dos campos de sonda e de acoplamento. Consideramos que o estado excitado decai com uma taxa Γ e que γbc representa a taxa de decaimento de coerência entre os estados fundamentais. Conforme mostrado na referência [11], a solução das equações de Bloch em regime estacionário permite-nos determinar a susceptibilidade do meio, a qual é proporcional a:. 24.

(38) 3.1 Revisão de EIT. Absorçao (unid. arb.). 2,0  . 1,5 1,0 0,5 0,0 -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. ab. Figura 3.3: Espectro de EIT em um sistema de três niveis. Sem a presença do campo de acoplamento, temos uma curva de absorção, com a presença, temos EIT. χ∝. iη (0) 2 Γcb σbb Γab Γcb + Ω2. (3.1). em que Γcb = γbc +i(∆ab −∆ac ); Γab = (Γ−γbc /2)+i∆ab ; ∆ab = ωab −ω1 ; ∆ac = ωac −ω2 . As partes imaginária e real de χ estão diretamente relacionadas à absorção e dispersão do meio [13]. Na Figura 3.3, temos um espectro típico de EIT para ∆ac = 0. Nela é mostrada a absorção em função da dessintonia ∆ab por unidade de Γ. Como podemos observar, sem a presença do feixe de bombeiamento e quando o campo de sonda esta em ressonância, ∆ab = 0, ocorre absorção e a largura de linha desse espectro é dada por Γ. Na presença do feixe de acoplamento, entretanto, a absorção do feixe de prova é cancelada quando este se encontra em ressonância. Nesse caso, dizemos que o átomo é preparado num estado escuro e com isso o feixe de sonda não é absorvido. Essa é a condição de transparência eletromagneticamente induzida, que também pode ser interpretada como a ressonância de dois fótons tipo Raman.. 25.

(39) 3.1 Revisão de EIT. No caso analisado anteriormente, consideramos átomos parados, ou seja, todos os átomos contribuem igualmente para o sinal de EIT. Entretanto, na configuração experimental de EIT, que será mostrada mais adiante, os feixes são copropagantes e superpostos. Então, embora essa condição de ressonância Ramam ∆ac = ∆ab seja independente da velocidade, a susceptibilidade dependerá da velocidade atômica e assim deveremos somar a contribuição de cada grupo de velocidades. Portanto, usamos a distribuição de Maxwell-Boltzmann para efetuar a integração em velocidade: v2 1 f (v) = √ e− u2 u π. onde u =. p. (3.2). 2kB T /m é a velocidade térmica mais provável dos átomos, kB é a constante. de Boltzmann, T é a temperatura da amostra atômica e m é a massa dos átomos. Desta forma, considerando um átomo movendo-se com velocidade v, devido ao efeito Doppler podemos escrever: ∆ab →∆ab − kv. (3.3a). ∆ac →∆ac − kv. (3.3b). Substituído estas expressões na Equação 3.1 e, integrando em velocidade, podemos obter os sinal de EIT [11]. 1 =m χ[v] (δ) ∝ √ u π . Z. ∞. dv −∞. [γbc [Ω2 − (δ + kv)2 ] + Γ(δ + kv)2 ] − v22 e u [Ω2 − (δ + kv)2 ]2 + Γ2 (δ + kv)2. (3.4). Na Figura 3.4, mostramos um espectro de absorção que leva em conta os átomos de todas as classes de velocidade, originado a partir da expressão acima. Observe, na curva vermelha, que o "dip"da EIT-Doppler é mais estreito, pois a contribuição para a absorção dos grupos de velocidades +v e −v, quando somados, produz uma região de transparência mais estreita, conforme explicado na referência [11]. Nessas curvas, preta e vermelha, a dessintonia ∆ac foi considerada nula. No caso em que ∆ac = 30Γ, o espectro apresenta uma forma dispersiva, curva verde. Isso acontece porque não haverá contribuição simétrica dos grupos de velocidade +v e −v para o sinal devido ao efeito Doppler. 26.

(40) 3.2 EIT em um sistema duplo -Λ. 2,5. Absorçao (unid. arbit.). Absorçao (unid. arb.). 2,0.  ac=0. 1,5 1,0 0,5 0,0 -3. -2. -1. 0. 1. 2. 2,0.  ac=0. 1,5 1,0 0,5 0,0. 3. -3. ab/. -2. -1. 0. 1. 2. 3. ab/. Absorçao (unid. arbit.). 7,0. 6,5.  ac=30. 6,0. 5,5. 5,0 -3. -2. -1. 0. ab/. 1. 2. 3. Figura 3.4: A curva preta representa um espectro de EIT com átomos parados. As curvas vermelha e verde representam um espectro de EIT para átomos em movimento, onde todas as classes de velocidades contribuem.. Agora que revisamos os principais aspectos do EIT em três níveis, podemos então iniciar na próxima seção o estudo do EIT em quatro níveis, em que os campos são sintonizados nas ressonâncias de "crossover".. 3.2. EIT em um sistema duplo -Λ. Analogamente à análise feita na seção anterior faremos o cálculo do espectro de EIT considerando um sistema atômico fechado, mas com um nível excitado adicional, na configuração duplo-Λ interagindo com dois campos eletromagnéticos, conforme mostrado na Figura 3.5. Em particular, estamos interessados em obter o sinal de EIT na situação em que os campos estão sintonizados na ressonância de "crossover". Na verdade, o estudo desta situação foi motivado pelo estudo do processo de MQO na ressonância de "crossover", que será discutido no capítulo 4, e pelo fato de não termos encontrado na literatura trabalhos realizados nesta condição experimental.. 27.

(41) 3.2 EIT em um sistema duplo -Λ. d. F ' F c .  2. 2. 01. 02 .  2. 2. F. P. . g. a. b. Figura 3.5: Configuração de EIT em um sistema duplo-Λ Assim, conforme indicado na Figura 3.5, os estados |ai e |bi são os estados fundamentais e a taxa de decaimento da coerência entre eles é γ. Os estados excitados são |ci e |di e as taxas de decaimento das populações desses estados para os níveis fundamentais são supostas iguais e de valor Γ. Os campos de bombeiamento e sonda podem acoplar com o estado |ci ou com o estado |di. O hamiltoniano livre, adotando como referência de energia a dos estados fundamentais, supostos com energia nula, pode ser escrito como: H0 = ~ω02 |cihc| + ~ω01 |dihd|. (3.5). 0. em que ω01 = ωF + ∆F e ω02 = ωF − ∆F δ = ωF − ωP são as freqüências das transições atômicas. ωF e ωP representam as freqüências dos campos F e P , respectivamente. ∆F. 0. e ∆F são as dessintonias dos campos com relação às transições atômicas e δ = ωF − ωP é a dessintonia entre os dois feixes. O hamiltoniano de interação será: ~. ~. Hint = ~ΩF e(iωF t−kF ~r) [|aihc| + |aihd|] + ~ΩP e(iωP t−kP ~r) [|bihc| + |bihd|] + h.c. 28. (3.6).

(42) 3.2 EIT em um sistema duplo -Λ. em que ΩF e ΩP são as freqüências de Rabi dos campos de acoplamento e sonda, respectivamente. Nesta equação, foi considerada a aproximação de onda girante e, ainda, que os elementos de matriz de dipolo são idênticos para as duas transições associadas a cada feixe.. 29.

(43) 3.2 EIT em um sistema duplo -Λ. Com o uso da equação 2.9, obteremos as equações de evolução temporal para os elementos da matriz do operador densidade. Então, podemos escrever as expressões para as coerências e populações como segue:. ~. ~. P 0) = −iΩF (ρca (F P 0) + ρda (F P 0) )e(iωF t−kF ~r) + iΩF ∗ (ρac (F P 0) + ρad (F P 0) )e−(iωF t−kF ~r) ρ˙ (F aa. + (F P 0). ρ˙ bb. Γ (ρdd (F P 0) + ρcc (F P 0) ) 2. (3.7a) ~. ~. = −iΩP (ρcb (F P 0) + ρdb (F P 0) )e(iωP t−kP ~r) + iΩP ∗ (ρbc (F P 0) + ρbd (F P 0) )e−(iωP t−kP ~r) +. Γ (ρdd (F P 0) + ρcc (F P 0) ) 2. (3.7b) ~. ~. ~. P 0) ρ˙ (F = −iΩF ∗ ρac (F P 0) e−(iωF t−kF ~r) + iΩF ρca (F P 0) e(iωF t−kF ~r) − iΩP ∗ ρbc (F P 0) e−(iωP t−kP ~r) cc ~. + iΩP ρcb (F P 0) e−(iωP t−kP ~r) − Γρcc (F P 0) (F P 0). ρ˙ dd. (3.7c). ~. ~. ~. = −iΩF ∗ ρad (F P 0) e−(iωF t−kF ~r) + iΩF ρda (F P 0) e(iωF t−kF ~r) − iΩP ∗ ρbd (F P 0) e−(iωP t−kP ~r) ~. + iΩP ρdb (F P 0) e−(iωP t−kP ~r) − Γρdd (F P 0) (F P 0). ρ˙ ab. (3.7d) ~. ~. = −iΩF (ρcb (F P 0) + ρdb (F P 0) )e(iωF t−kF ~r) + iΩP ∗ (ρac (F P 0) + ρad (F P 0) )e−(iωP t−kP ~r) − γρab (F P B). (3.7e) ~. ~. P 0) ρ˙ (F = iω02 ρac (F P 0) + iΩF (ρaa (F P 0) − ρcc (F P 0) )e(iωF t−kF ~r) + iΩP ρab (F P 0) e(iωP t−kP ~r) ac. − (F P 0). ρ˙ ad. (F P 0). ~. (F P 0). ~. Γ (F P 0) ρac 2. (3.7g) ~. ~. = iω02 ρbc (F P 0) + iΩP (ρbb (F P 0) − ρcc (F P 0) )e(iωP t−kP ~r) + iΩF ρba (F P 0) e(iωF t−kF ~r) −. ρ˙ bd. (3.7f). = iω01 ρad (F P 0) + iΩF (ρaa (F P 0) − ρdd (F P 0) )e(iωF t−kF ~r) − iΩP ρab (F P 0) e(iωP t−kP ~r) −. ρ˙ bc. Γ (F P 0) ρac 2. Γ (F P B) ρbc 2. (3.7h) ~. ~. = iω01 ρbd (F P 0) + iΩP (ρbb (F P B) − ρdd (F P 0) )e(iωP t−kP ~r) + iΩF ρba (F P 0) e(iωF t−kF ~r) −. Γ (F P 0) ρbc 2. (3.7i). Nessas equações, utilizamos a notação que também será utilizada no capítulo 4, na descrição do processo de mistura de quatro ondas. Este processo envolve a presença de. 30.

(44) 3.2 EIT em um sistema duplo -Λ três campos F, P e B. Então, ρij (F P B) significa todas ordens nos três campos. No caso de ρij (F P 0) , temos todas as ordens em F e P e ordem zero em B, que é a notação das equações anteriores, pois temos a presença apenas de dois campos. Introduziremos as variáveis de evolução lenta: ρii = σii. (3.8a) ~. ~. ρab = σab ei[(ωF −ωP )t−(kF −kP )~r]. (3.8b). ~. ρac = σac ei(ωF t−kF ~r). (3.8c). ~. ρbd = σbd ei(ωF t−kF ~r). (3.8d). ~. ρbc = σbc ei(ωP t−kP ~r). (3.8e). ~. ρbd = σbd ei(ωP t−kP ~r). (3.8f). Podemos, então, reescrever as equações para as populações e coerências como:. (F P 0) σ˙ aa = −iΩF (σca (F P 0) + σda (F P 0) ) + iΩF ∗ (σac (F P 0) + σad (F P 0) ) +. (F P 0). σ˙ bb. = −iΩP (σcb (F P 0) + σdb (F P 0) ) + iΩP ∗ (σbc (F P 0) + σbd (F P 0) ) +. Γ (σdd (F P 0) + σcc (F P 0) ) 2 (3.9a) Γ (σdd (F P 0) + σcc (F P 0) ) 2 (3.9b). (F P 0) σ˙ cc = −iΩF ∗ σac (F P 0) + iΩF σca (F P 0) + iΩP σcb (F P 0) − iΩP ∗ σbc (F P 0) − Γσcc (F P 0) (3.9c) (F P 0). = −iΩF ∗ σad (F P 0) + iΩF σda (F P 0) − iΩP ∗ σbd (F P 0) + iΩP σdb (F P 0) − Γσdd (F P 0) (3.9d). (F P 0). = −(iδ + γ)σab (F P 0) − iΩF (σcb (F P 0) + σdb (F P 0) ) + iΩP ∗ (σad (F P 0) + σac (F P 0) ). σ˙ dd σ˙ ab. (3.9e) 0. (F P 0) σ˙ ac = [−i∆F − (F P 0). σ˙ ad. (F P 0). σ˙ bc. (F P 0). σ˙ bd. Γ ]σac (F P 0) + iΩF (σaa (F P 0) − σcc (F P 0) ) + iΩP σab (F P 0) 2. Γ ]σad (F P 0) + iΩF (σaa (F P 0) + σdd (F P 0) ) − iΩF σba (F P 0) 2 Γ 0 = [i(δ − ∆F ) − ]σbc (F P 0) + iΩP (σbb (F P 0) − σdd (F P 0) ) + iΩF σba (F P 0) 2 Γ = [i(δ + ∆F ) − ]σbd (F P 0) + iΩP (σbb (F P 0) − σdd (F P 0) ) − iΩP σcd (F P 0) 2 = [i∆F −. 31. (3.9f) (3.9g) (3.9h) (3.9i).

(45) 3.2 EIT em um sistema duplo -Λ Estamos interessados, em determinar as coerências σbc (F P 0) e σbd (F P 0) , pois a soma da parte imaginária dessas coerências será proporcional ao nosso sinal de EIT. Então, procuraremos soluções no estado estacionário, σ˙ij = 0. Para isso, vamos resolver o sistema perturbativamente até primeira ordem no feixe P, considerando todas as ordens do feixe F. Para o caso em que o feixe de sonda não interage com o sistema (ordem zero, σij (F 00) ) e considerando o sistema fechado, obtemos os seguintes resultados:. σaa (F 00) = σcc (F 00) = σdd (F 00) = 0. (3.10a). σab (F 00) = σac (F 00) = σad (F 00) = σbd (F 00) = σbc (F 00) = 0. (3.10b). σbb (F 00) = 1. (3.10c). Admitindo agora que o feixe de sonda seja ligado e este seja fraco o suficiente, de modo que as populacões não sejam alteradas, e utilizando os resultados obtidos em ordem zero, podemos escrevrer as equações em primeira ordem no feixe P, utilizando a notação σij (F 10) :. − (iδ + γ)σab (F 10) − iΩF (σcb (F 10) + σdb (F 10) ) = 0 Γ ]σbc (F 10) + iΩF σba (F 10) − iΩP = 0 2 Γ [i(δ + ∆F ) − ]σbd (F 10) + iΩF σba (F 10) − iΩP = 0 2 0. [i(δ − ∆F ) −. (3.11a) (3.11b) (3.11c). Resolvendo esse sistema de equações de forma apropriada, podemos encontrar as coerências em que estamos interessados. Aqui, não mostraremos esses cálculos, uma vez que são relativamente simples, mas bastante extensos. De forma compacta, o sinal de EIT para esse sistema duplo-Λ será dado por: IEIT ∝ [Im(σbc (F 10) ) + Im(σbd (F 10) )]. 32. (3.12).

(46) Absorção (uind. arbit.). 3.2 EIT em um sistema duplo -Λ.  . Figura 3.6: Espectro de EIT em um sistema duplo-Λ Na Figura 3.6, mostramos um espectro desse sinal para átomos parados em função 0. da dessintonia entre os dois campos. Fizemos ∆F = ∆F = 15Γ, que é equivalente a sintonizar os feixes na ressonância de "crossover"e observamos a existência de dois picos simétricos que estão associados à absorção do feixe ao passar por cada uma das transições atômicas e eles estão deslocados com relação ao ponto em que a dessintonia é nula de um valor ±15Γ, já que os campos estão dessintonizados desse mesmo valor. Também observamos um cancelamento na absorção em δ = 0, que está relacionada com a condição de ressonância de dois fótons. Vejamos, agora, o comportamento desse sinal ao considerar átomos em movimento. Assim, como foi feito no caso do EIT em sistema de três niveis, consideraremos o efeito Doppler. Os átomos que estão se movendo a uma velocidade v 6= 0 perceberão os feixes de prova e acoplamento com freqüências deslocadas pelo efeito Doppler e isso fará. 33.