Aspectos teóricos e práticos com aplicação da análise estatística de um experimento em blocos completos casualizados com repetições dentro dos blocos

Texto

(1)Universidade Estadual da Para´ıba Centro de Ciˆ encias e Tecnologia Departamento de Estat´ıstica. Bruno Henrique Gomes dos Santos. Aspectos te´ oricos e pr´ aticos com aplica¸ c˜ ao da an´ alise estat´ıstica de um experimento em blocos completos casualizados com repeti¸ co ˜es dentro dos blocos. Campina Grande Dezembro de 2012..

(2) Bruno Henrique Gomes dos Santos. Aspectos te´ oricos e pr´ aticos com aplica¸c˜ ao da an´ alise estat´ıstica de um experimento em blocos completos casualizados com repeti¸c˜ oes dentro dos blocos Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao curso de Bacharelado em Estat´ıstica do Departamento de Estat´ıstica do Centro de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual da Para´ıba em cumprimento as exigências legais para obten¸cão do t´ıtulo de Bacharel em Estat´ıstica.. Orientador: João Gil de Luna. Campina Grande Dezembro de 2012..

(3) FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL – UEPB. S237a. Santos, Bruno Henrique Gomes dos. Aspectos teóricos e práticos com aplicação da análise estatística de um experimento em blocos completos casualizados com repetições dentro dos blocos [manuscrito] / Bruno Henrique Gomes dos Santos. – 2012. 63f. : il. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Estatística) – Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências e Tecnologia, 2012. “Orientação: Prof. Dr. João Gil de Luna, Departamento de Estatística”. 1. Estatística Experimental. 2. Probabilidade. 3. Pesquisa Experimental. I. Título. 21. ed. CDD 519.2.

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(5) Dedicat´ oria. Dedico este trabalho a minha esposa Cida, a meu querido filho Lucas e a minha entiada Mariana que me impulsionaram a buscar vida nova a cada dia, concedendo a mim a oportunidade de me realizar ainda mais. Dedico também a minha mãe Cristina, que em nenhum momento mediu esfor¸cos para realiza¸cão dos meus sonhos, que me guiou pelos caminhos corretos, me ensinou a fazer as melhores escolhas, me mostrou que a honestidade e o respeito são essenciais à vida, e que devemos sempre lutar pelo que queremos. Obrigado!.

(6) Agradecimentos Agrade¸co primeiramente a Deus por ter me dado for¸cas para enfrentar os obstáculos que insistiam em aparecer no decorrer dessa caminhada, fazendo-me concluir um grande passo em minha vida. Agrade¸co a minha fam´ılia por terem aceito se privar de minha companhia pelos estudos, compreendendo que buscava a todo tempo o melhor para todos. A UEPB por todos os recursos oferecidos durante o curso, conseguindo assim êxito em todas as pesquisas. Ao Prof. Gil pela imensa aten¸cão e dedica¸cão ao nosso trabalho, e o encorajamento nos momentos dif´ıceis, como também a todo conhecimento passado por ele em diversos campos da estat´ıstica. Ao Prof. Gustavo por todo aprendizado proporcionado por ele me fazendo ter sempre confian¸ca em trabalhos realizados extra classe. A todos os meus colegas de classe que juntos transferiram conhecimentos para que fosse poss´ıvel a conclusão do nosso curso. Que essas amizades durem tanto quanto foram intensas..

(7) Resumo A pesquisa experimental é amplamente utilizada em diversas áreas do conhecimento, para tal é desenvolvido um método em que o pesquisador intervém na amostra, impondo deliberadamente os n´ıveis de uma ou mais caracter´ısticas explanatórias com o propósito de encontrar inferências referentes aos efeitos causais dessas caracter´ısticas sobre caracter´ısticas respostas. Essas caracter´ısticas explanatórias são denominadas caracter´ısticas de tratamento e seus n´ıveis, tratamentos. Exemplos comuns de tratamentos são diferentes est´ımulos apresentados ou impostos a animais ou plantas, tais como diferentes dietas administradas a animais ou diferentes fungicidas aplicados a plantas. As conclusões desses experimentos são obtidas utilizando-se da estat´ıstica experimental, estat´ıstica essa que usa os dados coletados para inferir resultados com o objetivo de aprimorar ou até mesmo, quando necessário, refazer o experimento. Neste trabalho aborda-se todo o desenvolvimento teórico dos procedimentos que dão suporte a uma análise estat´ıstica dos dados de um experimento em blocos completos casualizados de efeitos fixos e com repeti¸cões dentro dos blocos. Será apresentado um poss´ıvel desenho desse tipo de experimento no campo, juntamente com a tabela para o recolhimento dos dados, defini-se o modelo matemático para descrever as observa¸cões experimentais, utiliza-se o método de m´ınimos quadrados para encontrar os estimadores dos termos do modelo, apresenta-se os resultados da decomposi¸cão da variabilidade total que são organizados na tabela da análise da variância (ANOVA), estuda-se as distribui¸cões de probabilidade dos estimadores e por fim calcula-se os valores esperados das somas de quadrados. Por fim, um exmplo real será utilizado para ilustrar a metodologia, e os resultados serão discutidos e interpretados convenientemente. Palavras-chave: Estat´ıstica Experimental, Soma de Quadrados, ANOVA..

(8) Abstract The experimental research is widely used in various areas of knowledge, such a method is developed in which the researcher intervenes in the sample, levels of deliberately imposing one or more characteristics explanatory in order to find causal inferences regarding the effects of these characteristics on response characteristics. These features are termed features explanatory treatment and its levels treatments. Examples of common treatments are different stimuli or imposed animals or plants, such as different diets administered to animals or applied to plant fungicides. The conclusions of these experiments are obtained using the experimental statistics, this statistic that uses the collected data to infer results in order to enhance or even, when necessary, redo the experiment. This paper addresses to the entire theoretical development of procedures that support a statistical analysis of an experiment in randomized complete block design with fixed effects and replicates within the blocks. We will present a possible design of this type of experiment in the field, along with the table for the collection of data, set up the mathematical model to describe the experimental observations, we use the method of least squares estimators to find the terms of the model presents the results of the decomposition of the total variance that are arranged in the table analysis of variance (ANOVA) is studied probability distributions of the estimators and finally calculates the expected values of the sums of squares. Finally, a real exmplo will be used to illustrate the methodology and results discussed and interpreted properly. Keywords: Experimental Statistics, Sum of Squares, ANOVA..

(9) Sum´ ario. 1 Inrodu¸ c˜ ao. p. 9. 2 Fundamenta¸ c˜ ao Te´ orica. p. 12. 2.1. Um poss´ıvel desenho do experimento no campo . . . . . . . . . . . . .. p. 12. 2.2. Organiza¸cão dos dados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 13. 2.3. O Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 13. 2.4. Estima¸cão dos parâmetros, dos erros e das observa¸cões . . . . . . . . .. p. 14. 2.5. Decomposi¸cão da variabilidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 17. 2.6. Distribui¸cão de probabilidade dos estimadores . . . . . . . . . . . . . .. p. 21. 2.6.1. Distribui¸cão de probabilidade de y¯... , o estimador de µ. . . . . .. p. 22. 2.6.2. Distribui¸cão de probabilidade da corre¸cão para média, C. . . . .. p. 23. 2.6.3. Distribui¸cão de probabilidade de ti , o estimador de τi . . . . . . .. p. 23. 2.6.4. Distribui¸cão de probabilidade da SQT rat . . . . . . . . . . . . . .. p. 25. 2.6.5. Distribui¸cão de probabilidade de bj , o estimador de βj . . . . . .. p. 25. 2.6.6. Distribui¸cão de probabilidade da SQBlocos . . . . . . . . . . . .. p. 27. 2.6.7. Distribui¸cões de probabilidade de mi , o estimador de µi = µ + τi , (a média do tratamento i) e de mj , o estimador de µj = µ + βj , (a média do bloco j). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 27. 2.6.8. Distribui¸cões de probabilidade de contrastes de interesse . . . .. p. 28. 2.6.9. Distribui¸cão de probabilidade da soma de quadrados da h-ésima combina¸cão linear das médias dos tratamentos . . . . . . . . . .. p. 30. 2.6.10 Distribui¸cão de probabilidade de îj , o estimador de ij . . . . . .. p. 31. 2.6.11 Distribui¸cão de probabilidade da SQErro Entre . . . . . . . . . . .. p. 36.

(10) 2.6.12 Distribui¸cão de probabilidade de εîjr , o estimador de εijr . . . . .. p. 36. 2.7. Valores Esperados das Somas de Quadrados . . . . . . . . . . . . . . .. p. 38. 2.8. Compara¸cões m´ ultiplas das médias duas a duas . . . . . . . . . . . . .. p. 47. 2.9. Análises estat´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 47. 2.9.1. Hipóteses sobre tratamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 48. 2.9.2. Hipóteses sobre Bloco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 50. 2.9.3. A tabela da ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 52. 3 Aplica¸ c˜ ao da teoria a um exemplo real. p. 53. 3.1. Descri¸cão do conjunto de dados experimentais . . . . . . . . . . . . . .. p. 53. 3.2. Cálculos das somas de quadrados e análise da variância . . . . . . . . .. p. 54. 3.3. Comprova¸cão da idoneidade do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 57. 4 Conclus˜ ao Final. p. 60. Referˆ encias. p. 62.

(11) 9. 1. Inrodu¸ c˜ ao. Tem-se registros que o método experimental remonta a pelo menos 4 séculos antes de Cristo, quando Aristóteles (384-322 a.C.) fez diversas descobertas referentes ao mundo natural, com base em experimentos, axiomas e argumentos filosóficos, ele concluiu, por exemplo, que a acelera¸cão de um corpo em queda livre depende de sua massa, e que a terra devia ser uma esfera, já que a esfera é o sólido mais ”perfeito”. Porém foi no in´ıcio do século XX com Ronald Aylmer Fisher (1890-1962), um jovem matemático do Colégio Caius de Cambridge, que iniciou-se o desenvolvimento do ramo da estat´ıstica relacionado com o planejamento e a análise de experimentos. Fisher lan¸cou os fundamentos modernos da pesquisa experimental, as bases da inferência estat´ıstica e delineou muitos métodos originais para os vários problemas encontrados na Esta¸cão Experimental de Rothamsted, onde realizava seus trabalhos e em outras institui¸cões de pesquisa. Introduziu diversas técnicas de análise de dados, como a análise da varia¸cão, que passou a ser amplamente utilizada na análise estat´ıstica de dados de experimentos, e a técnica de polinômios ortogonais para o uso de caracter´ısticas ambientais. A metodologia moderna da pesquisa experimental, desenvolvida a partir dos fundamentos e idéias lan¸cados por Fisher para a pesquisa agr´ıcola, teve muitos contribuintes em diversos pa´ıses e passou a aplicar-se aos demais ramos da ciência e da tecnologia, tais como biologia, medicina, engenharia, ind´ ustria e ciências sociais. Como conseq¨ uência da origem da pesquisa experimental na agricultura, muito da terminologia ainda hoje utilizada compreende termos próprios da pesquisa agr´ıcola. Assim, por exemplo, as designa¸cões ”tratamento”, ”parcela”e ”bloco”perderam suas conota¸cões particulares da agricultura e são amplamente usadas na pesquisa experimental em muitas áreas da ciência (SILVA, 2007). O delineamento em blocos ao acaso trata-se de um método para eliminar a heterogeneidade das unidades experimentais, e é o projeto mais fundamental em todos os tipos de experimenta¸cão. Historicamente, esse delineamento foi o primeiro projeto a estimar o erro.

(12) 10. experimental e a testar a significância dos efeitos dos tratamentos, apesar da heterogeneidade das unidades experimentais em que as observacões são adquiridas (LOVE, 1964). Os delineamentos experimentais são planejados de forma que a varia¸cão ao acaso seja reduzida o máximo poss´ıvel. Os principais delineamentos são: Inteiramente Casualizado, Blocos Completos Casualizados e Quadrados Latinos. Neste trabalho será abordado a teoria do Delineamento em Blocos Completos Casualizados com repeti¸cões dentro dos Blocos. O modelo matemático referente ao delineamento aqui estudado, propõe que os fatores sejam com intera¸cão e de efeito fixo. Para obten¸cão dos estimadores dos efeitos envolvidos no modelo, utilizou-se o metodo da M´ınimos Quadrados, esse método será escolhido porque é mais simples, e oferece os mesmos estimadores do de Máxima Verossimilhan¸ca.. Objetivos. Tem-se como principal objetivo desenvolver a teoria desse tipo de delineamento e tentar elucidar problemas eventualmente existentes nos experimentos com repeti¸cões dentro dos blocos, pois, essas teorias estat´ısticas que dão suporte as análises de dados de pesquisas experimentais são dificilmente encontradas na literatura, com isso a pouca aplicabilidade em pesquisas com um n´ umero razoavelmente grande de tratamentos, com tudo, o planejamento de experimento é de fundamental importância para a obte¸cão de resultados mais confiáveis além de proporcionar a diminui¸cão da variabilidade e encontrar valores mais próximos dos esperados. Para isso será utiliado um modelo matemático com o objetivo de representar e descrever o problema aqui colocado, de um experimento em blocos com repeti¸cões dentro dos blocos, estimando-se os termos do modelo com o uso do método de m´ınimos quadrados, que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando-se minimizar a soma dos quadrados das diferen¸cas entre o valor estimado e os dados observados, com os resultado encontrados iremos decompor a variabilidade total e por fim encontramemos as somas de quadrados, dispostas na tabela da Análise de Variância (ANOVA). Com base em análises estat´ısticas, será mostrado que os estimadores do modelo matemático seguem todos uma distribui¸cões de probabilidade normal e que as somas de quadrados seguem todas uma distribui¸cão de probabilidade qui-quadrada, com esses defini¸cões expostas pode-se definir os valores esperados das somas de quadrado que irá ajudar.

(13) 11. a definir as estat´ısticas de teste utilizadas na contrasta¸cão das hipóteses de interesse para tratamentos e para blocos, mostrando-se que o interesse maior em um experimento como esse é fazer inferências no efeito dos tratamentos, pois, será visto que os blocos por serem ambientes homogênios não teram efeito sobre os tratamentos apresentados. Será apresentado algumas estat´ısticas de teste que podem ser utilizadas para se fazer inferências marginais para alguns estimadores de tratamentos e de blocos..

(14) 12. 2. Fundamenta¸ c˜ ao Te´ orica. O foco principal deste trabalho é apresentar de modo claro o desenvolvimento da teoria que dar suporte as análises estat´ısticas de um experimento em blocos completos casualizados com repeti¸cões dentro dos blocos. Neste sentido, faz-se necessário apresentar um desenho no espa¸co desse tipo de experimento, bem como, sugerir a constru¸cão de uma tabela para recolhimento das observa¸cões.. 2.1. Um poss´ıvel desenho do experimento no campo. Para ilustrar a localiza¸cão espacial das unidades experinetais levou-se em conta um experimento com I = 3 tratamentos, J = 4 blocos e R = 2 repeti¸cões dos tratamentos dentro de cada bloco. Com estas caracter´ısticas o experimento poderá ter o seguinte desenho no campo: Bloco I. Bloco II. T2. T1. T3. T1. T3. T2. T1. T3. T2. T2. T1. T3. T3. T1. T2. T3. T1. T2. T2. T3. T1. T1. T2. T3. Bloco III. Bloco IV.

(15) 13. 2.2. Organiza¸ c˜ ao dos dados experimentais. A organiza¸cão dos dados coletados no campo em tabelas apropriadas, facilitará o tratamento estat´ıstico posteriormente. Neste sentido, a tabela a seguir é uma sugestão para esta finalidade. Tabela 1: Tabela para recolhimento dos dados no campo. Tratamento 1. Repeti¸caõ 1 2 .. . R 1 2 .. .. 2. R. y111 y112 .. .. Bloco 2 ··· y121 · · · y122 · · · .. .. y11R y11. y211 y212 .. .. y21R y12. y221 y222 .. . y22R y22. .. . .. .. 1. .. . .. .. .. . .. .. y21R y21. .. . .. .. I. 1 2 .. .. yI11 yI12 .. .. yI21 yI22 .. .. R. yI1R yI1. y.1.. yI2R yI2. y.2.. Soma. J y1J1 y1J2 .. .. Soma y1.1 y1.2 .. .. ··· ··· ··· ···. y1JR y1J. y2J1 y2J2 .. .. y1.R y1.. y2.1 y2.2 .. .. ··· ···. y2JR y2J. .. . .. .. y2.R y2.. .. . .. .. yIJ1 yIJ2 .. .. yI.1 yI.2 .. .. yIJR yIJ. y.J.. yI.R yI.. y.... ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···. Em que, yijr é a observa¸cão obtida da r-ésima unidade experimental que recebeu o trataR J P P mento I no bloco J, yi.. = yijr é o total das JR observa¸cões que receberam o i-ésimo j=1 r=1. tratamento, y.j. =. R I P P. yijr é a soma das IR observa¸cões do j-ésimo bloco, yij. =. i=1 r=1. R P. r=1. yijr. é a soma das R observa¸cões oriundas das unidades experimentais que receberam o trataR J P I P P yijr é a soma de todas as observa¸cões. mento I no bloco J e y... = i=1 j=1 r=1. 2.3. O Modelo matem´ atico.

(16) 14. O modelo matemático adequado para descrever as observa¸cões de um experimento em blocos ao acaso com repeti¸cões dentro dos blocos é, conforme Barbin (1993), como segue:. yijr = µ + τi + βj + ij + εijr , no qual:.     i = 1, 2, ..., I,. j = 1, 2, ..., J,    r = 1, 2, ..., R,. (2.1). yijr é a observa¸cão obtida da r-ésima unidade experimental do bloco j que recebeu o i-ésimo tratamento; µ é a média geral; τi é o efeito do tratamento i sobre a variável resposta, considerado fixo; βj é o efeito do bloco j sobre a variável resposta, também considerado fixo; ij e εijr são respectivamente, erros atribu´ıdos as unidades experimentais, entre e dentro dos blocos, ambos aleatóros, independentes e identicamente distribu´ıdos como uma normal de médias zero e variâncias σ2 e σ 2 , respectivamente os quais serão denotados por: iid. iid. ij ∼ N (0; σ2 ) e εijr ∼ N (0; σ 2 ). Decorre das suposi¸cões acerca dos termos no modelo (2.1) que: E(µ) = µ;. E(µ2 ) = µ2 ; E(τi ) = τi ;. E(βj2 ) = βj2 ; E(ij ) = 0; E(ij εks ). E(τi2 ) = τi2 ; E(βj ) = βj ;. E(2ij ) = σ2 ; E(εijr ) = 0; E(ε2ijr ) = σ 2 ;. = E(ij )E(εks ). = 0, ∀ i 6= k ou j 6= s;. E(εijr εksv ) = E(εijr )E(εksv ) = 0, ∀ i 6= k, j 6= s ou r 6= v; E(ij εijr ). 2.4. = E(ij )E(εijr ). = 0, ∀ i, j, r.. Estima¸ c˜ ao dos parˆ ametros, dos erros e das observa¸co ˜es. O conjunto de dados observados num experimento em blocos ao acaso com repeti¸cões dentro dos blocos, podem ser escrito da seguinte forma:.

(17) 15. {y111 , · · · , y11R , y121 , · · · , y12R , · · · , · · · , yIJ1 , · · · , yIJR } e podem ser representadas pelo modelo:     i = 1, 2, · · · , I. yijr = m + ti + bj + eij + uijr. j = 1, 2, · · · , J    r = 1, 2, · · · , R. em que,. (2.2). m é o estimador de µ, a média geral; ti é o estimador de τi , o efeito do tratamento i sobre a variável resposta; bj é o estimador de βj , o efeito do bloco j sobre a variável resposta; eij é o estimador de ij , o erro entre blocos; uijr é o estimador de εijr , o erro dentro dos blocos. Como foi dito no in´ıcio, o método utilizado para encontrar os estimadores dos termos no modelo (2.2), foi o de m´ınimos quadrados, que consiste de encontrar os estimadores, de modo que torne m´ınima a soma dos quadrados dos erros dentro dos blocos. Do modelo (2.2), tem-se que, uijr = yijr − m − ti − bj − eij =⇒ u2ijr = (yijr − m − ti − bj − eij )2 Somando-se para todas as observa¸cões, vem Z=. X ijr. u2ijr =. X. (yijr − m − ti − bj − eij )2. ijr. Derivando-se parcialmente a fun¸cão Z em rela¸cão a cada estimador, igualando-se a zero e explicitando cada um deles, vem:. X ∂Z = 2 (yijr − m − ti − bj )(−1) = 0 ∂m ijr X X = y... − IJRm − JR ti − IR bj = 0 i. ∴ IJRm + JR. X i. ti + IR. j. X j. bj = y.... (2.3).

(18) 16. ∂Z ∂ti. = 2. X. (yijr − m − ti − bj − eij )(−1) = 0. jr. = yi.. − JRm − JRti − R. X. bj − R. j. ∴ JRm + JRti + R. X. = 2. X. eij = 0. j. bj + R. j. ∂Z ∂bj. X. X. eij = yi... (2.4). j. (yijr − m − ti − bj − eij )(−1) = 0. ir. = y.j. − IRm − R. X. ti − IRbj − R. i. ∴ IRm + R. X. = 2. X. eij = 0. j. ti + IRbj + R. i. ∂Z ∂eij. X. X. eij = y.j.. (2.5). j. (yijr − m − ti − bj − eij )(−1) = 0. r. = yij. − Rm − Rti − Rbj − Reij = 0 ∴ Rm + Rti + Rbj + Reij = yij.. (2.6). O sistema formado pelas Equa¸cões de (2.3) a (2.6) é conhecido na literatura por sistema de equa¸cões normais. Isto é,  X X  IJRm + JR t + IR bj = y... i     i  X Xj    + R bj + R eij = yi..  JRm + JRti    IRm        Rm. + R. X. j. ti. + IRbj. + R. i. + Rti. j X. (2.7). eij = y.j.. j. + Rbj. + Reij. = yij.. O sistema de equa¸cões em (2.7) é inconsistente, e para resolve-lo é preciso impor as seguintes restri¸cões: X i. ti =. X j. bj =. X i. eij =. X j. eij =. X ij. eij = 0..

(19) 17. Assim sendo, o sistema (2.7), fica:   IJRm      JRm + JRt i  IRm + IRbj      Rm + Rti + Rbj + Reij. = y... = yi.. = y.j.. (2.8). = yij.. Resolvendo o sistema (2.8) obtém-se os estimadores de m´ınimos quadrados: m = y¯... ;. ti = y¯i.. − y¯... ;. bj = y¯.j. − y¯... ;. eij = y¯ij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯.... (2.9). Além disso, tem-se que yîjr = m + ti + bj + eij = y¯... + y¯i.. − y¯... + y¯.j. − y¯... + y¯ij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... = y¯ij. da´ı, tem-se que y¯ij. é um estimador de m´ınimos quadrados de yijr . Fazendo-se as devidas substitui¸cões na Equa¸cão (2.2), obtém-se o estimador do erro dentro dos blocos, isto é, uijr = yijr − yîjr = (yijr − y¯... ) − (¯ yi.. − y¯... ) − (¯ y.j. − y¯... ) − (¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ). (2.10) Um resumo dos resultados obtidos nesta se¸cão é apresentado na Tabela 2 a seguir. Tabela 2: Estimadores das caracter´ısticas envolvidas no modelo matemático. Caracter´ısticas µ τi βj ij εijr yijr. 2.5. Estimador µ ˆ = m = y¯... τî = ti = y¯i.. − y¯... βˆj = bj = y¯.j. − y¯... îj = eij = y¯ij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... εîjr = uijr = yijr − y¯ij. yîjr = y¯ij.. Decomposi¸c˜ ao da variabilidade total.

(20) 18. Elevando-se ao quadrado os dois lados da Equa¸cão (2.10) e somando-se para todas as observa¸cões, vem: X. u2ijr =. ijr. X. [(yijr − y¯... ) − (¯ yi.. − y¯... ) − (¯ y.j. − y¯... ) − (¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... )]2. ijr. =. X. (yijr − y¯... )2 + JR. ijr. |. {z. (1). +R. X. (¯ yi.. − y¯... )2 + IR. i. |. }. X. {z. (2). (¯ yij . − y¯i.. − y¯.j. + y¯... )2 − 2. −2. }. (yijr − y¯... )(¯ y.j. − y¯... ) − 2. ijr. |. |. {z. }. X. |. (yijr − y¯... )(¯ yi.. − y¯... ) {z. }. (yijr − y¯... )(¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ). X. {z. }. (7). (¯ yi.. − y¯... )(¯ y.j. − y¯... ) + 2R. X. (¯ yi.. − y¯... )(¯ yij. − y¯i.. − y¯.j . + y¯... ). ij. {z. }. (8). + 2R. }. (5). X. ij. |. {z. (3). ijr. (6). + 2R. X. |. ijr. {z. (4). X. (¯ y.j. − y¯... )2. j. }. ij. |. X. |. {z. (9). (¯ y.j. − y¯... )(¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ). }. (2.11). ij. |. {z. }. (10). Desenvolvedo-se algebricamente os termos de (1) a (10) da expressão (2.11), obtém-se os seguintes resultados:. (1) =. X. (yijr − y¯... )2 =. ijr. (2) = JR. X. 2 yijr − C,. em que C =. ijr. |. {z. SQT otal. 2 y... ; IJR. }. X 1 X 2 (¯ yi.. − y¯... )2 = y − C; JR i i.. i | {z } SQT ratamento. (3) = IR. X. (¯ y.j. − y¯... )2 =. j. 1 X 2 y − C; IR j .j. {z } | SQBlocos. (4) = R. X. (¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... )2. ij. 1 X 1 X 2 2 = −C − y −C − y −C ; R ij JR i i.. IR j .j. {z } | {z } {z } | | SQT ratamento SQP arcelas SQBlocos {z } | 1 X. 2 yij.. . SQErro Entre.

(21) 19. (5) =. X. (yijr − y¯... )(¯ yi.. − y¯... ) =. ijr. 1 X 2 y − C; JR i i.. | {z } SQT ratamento. (6) =. 1 X 2 y.j. − C ; (yijr − y¯... )(¯ y.j. − y¯... ) = IR j ijr {z } |. X. SQBlocos. (7) =. X. (yijr − y¯... )(¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ). ijr. =. 1 X R |. (8) = R. ij. SQT ratamento. SQP arcelas. X ij. = R. 1 X 1 X 2 2 2 yij. −C − yi.. −C − y.j. −C ; JR i IR j | {z } {z } {z } | i. X yi.. i. SQBlocos. X X (¯ yi.. − y¯... )(¯ y.j. − y¯... ) = R (¯ yi.. − y¯... ) (¯ y.j. − y¯... ) JR. − y¯.... X y j. .j.. IR. − y.... j. . y y... y... y... ... − IR − RJ R = R IR IJR y JR y IJR y... y... ... ... = − − =0 J J I I X (9) = R (¯ yi.. − y¯... )(¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ) ij. y... X yij. yi.. y.j. y... − − − + = R JR IJR j R JR IR IJR i X yi.. y... yi.. yi.. y... y... = − −J − +J =0 J IJ R JR IR IJR i X (10) = R (¯ y.j. − y¯... )(¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ) X yi... ij. y... X yij. yi.. y.j. y... − − + IR IJR i R JR IR IJR j X y.j. y... y.j. y... y.j. y... − − −I +I =0 = I IJ R JR IR IJR j. = R. X y.j.. −. Substituindo-se estes resultados em (2.11), vem ! ! ! X X 1 X 2 1 X 2 2 2 yijr − C + uijr = y −C + y −C JR i i.. IR j .j. ijr ijr ! ! !# " 1 X 2 1 X 2 1X 2 y −C − y −C − y −C − R ij ij. JR i i.. IR j .j. ! ! 1 X 2 1 X 2 y −C −2 y −C −2 JR i i.. IR j .j..

(22) 20. −2. X. u2ijr. ijr. ". 1X 2 y −C R ij ij.. !. −. 1 X 2 y −C JR i i... !. 1 X 2 y −C IR j .j.. −. !#. +2 × 0 + 2 × ! 0+2×0 ! ! X X X 1 1 2 2 2 yijr −C − yi.. −C − y.j. −C = JR IR ijr i j " ! ! !# 1X 2 1 X 2 1 X 2 − y −C − y −C − y −C R ij ij. JR i i.. IR j .j.. ou, X. 2 yijr. −C. ijr. |. {z. SQT otal. . =. }. 1 X 1 X 2 2 y −C + y −C + JR i i.. IR j .j. ijr | {z } | {z } | {z }. X. u2ijr. SQT ratamento. SQErro Dentro. SQBlocos. . 1 X 1 X 2 2 2 yij. −C − yi.. −C − y.j. −C + R ij JR i IR j | {z } {z } {z } | | SQT ratamento SQP arcelas SQBlocos {z } | 1 X. SQErro Entre. Portanto, a soma dos quadrados total é decomposta em quatro partes, a saber, SQT otal = SQBlocos + SQT ratamentos + SQErro Entre + SQErro Dentro . Na prática, a SQErro Dentro é calculada da seguinte maneira: X. u2ijr. =. ijr. | {z }. SQErro Dentro. X ijr. |. ! X 1 2 y2 − C . yijr −C − R ij ij. {z } | {z }. SQT otal. !. (2.12). SQP arcelas. Os resultados da decomposi¸cão da variabilidade total é organizada na Tabela 3, a qual é conhecida na literatura por Tabela da An´ alise da Variˆ ancia - ANOVA..

(23) 21. Tabela 3: Tabela da Análise da Variância - ANOVA F.V. Tratamento. G.L. I −1. Blocos. J −1. S.Q. P 2 yi.. − C i P 1 2 y.j. −C IR. Q.M. QMT rat. 1 JR. F. QMBlocos. j. Erro Entre Parcelas. (I − 1)(J − 1) (IJ − 1). Erro Dentro Total. IJ(R − 1) IJR − 1. SQP arc − SQ P T2rat − SQBlocos 1 yij. − C R. QMErro Entre -. ij. SQT otal − SQP arc P 2 yijr − C. QMErro Entre -. ijr. em que, os resultados da coluna 4, da Tabela 3, referentes aos Quadrados Médios (Q.M.), são obtidos por meio da divisão dos elementos da coluna 3, (S.Q.) pelos respectivos elementos da coluna 2, (G.L.). Os elementos da coluna 5, (F), serão discutidos e apresentados posteriormente.. 2.6. Distribui¸c˜ ao de probabilidade dos estimadores. Nesta se¸cão será estudada as distribui¸cões de probabilidade dos estimadores, bem como algumas propriedades destes. Os elementos a seguir ajudarão nas demonstra¸cões das caracer´ısticas associadas às distribui¸cões de probabilidade dos estimadores a serem desenvolvidas. yijr = µ + τi + βj + ij + εijr e que, E(ij ) = 0, E(εijr ) = 0,. iid. E(2ij ) = σ2 =⇒ ij ∼ N (0; σ2 ), iid. E(ε2ijr ) = σ 2 =⇒ εijr ∼ N (0; σ 2 ),. consequentemente, tem-se: E(yijr ) = µ + τi + βj ,. V ar(yijr ) = σ2 + σ 2. e segue que yijr ∼ N µ + τi + βj ; σ2 + σ 2 ..

(24) 22. 2.6.1. Distribui¸c˜ ao de probabilidade de y¯... , o estimador de µ.. 1 X 1 (y111 + y112 + ... + yIJR ), que é uma combina¸cão linear dos yijr , yijr = IJR ijr IJR os quais seguem distribui¸cão normal. Como sabe-se que combina¸cão linear de variáveis. y¯... =. normais é também normal, então y¯... segue uma distribui¸cão normal; Mas, sendo y¯... =. 1 X 1 X yijr = (µ + τi + βj + ij + εijr ) IJR ijr IJR ijr. 1 = IJR = µ+. IJRµ + JR. X. τi + IR. i. X. βj + R. j. 1 X 1 X ij + εijr , IJ ij IJR ijr. X ij. ij +. X ijr. εijr. !. as caracter´ısticas da distribui¸cão de y¯... serão determinadas como segue: ! X 1 X 1 X 1 yijr = E E (yijr ) = (µ + τi + βj ) E(¯ y... ) = IJR IJR ijr IJR ijr ijr ! X X 1 = IJRµ + JR τi + IR βj , IJR i j mas por defini¸cão µ é a média geral e, portanto, cumpre-se que X i. τi =. X. βj = 0,. j. logo, E(¯ y... ) = µ. Além disso, V ar(¯ y... ) = E[¯ y... − E(¯ y... )]2 = E[¯ y... − µ]2 #2 " 1 X 1 X ij + εijr − µ = E µ+ IJ ij IJR ijr #2 " 1 X 1 X = E ij + εijr IJ ij IJR ijr 2 1 1 (11 + ... + IJ ) + (ε111 + ... + εIJR ) = E IJ IJR. (2.13).

(25) 23. h 1 (2 + ... + 2IJ + dp) I 2 J 2 11 i 1 + 2 2 2 (ε2111 + ... + ε2IJR + dp) + dp I J R 1 1 = 2 2 (σ2 + ... + σ2 + 0) + 2 2 2 (σ 2 + ... + σ 2 + 0) + 0 I J I J R 1 σ2 1 σ2 2 2 = 2 2 IJσ + 2 2 2 IJRσ = + I J I J R IJ IJR = E. e segue que. 1 2 σ + Rσ2 . IJR. (2.14). 1 2 2 µ; (σ + Rσ ) . IJR. (2.15). V ar(¯ y... ) = Portanto, y¯... ∼ N. . Obs.: dp = duplos produtos da equa¸cão.. 2.6.2. Distribui¸c˜ ao de probabilidade da corre¸c˜ ao para m´ edia, C.. A distribui¸cão de probabilidade de C é obtida do seguinte modo: Sendo, y¯... ∼ N. . 1 (σ 2 + Rσ2 ) µ; IJR. . =⇒ r. y¯... − µ σ 2 + Rσ2 IJR. ∼ N (0; 1).. Assim, sob H0 : µ = 0 y¯ − 0 q... ∼ N (0; 1) =⇒ σ 2 +Rσ2 IJR. Isto é, a estat´ıstica. C σ 2 +Rσ2. 2 y¯... σ 2 +Rσ2 IJR. segue uma distribui¸cão de qui-quadrado com 1 grau de liberdade. e será denotado por: σ2 em que C =. 2.6.3. 2. y... IJR y... y... IJR = ∼ χ2(1) . = 2 IJR IJR 2 2 2 σ + Rσ σ + Rσ. C ∼ χ2(1) , + Rσ2. (2.16). 2 y... . IJR. Distribui¸c˜ ao de probabilidade de ti , o estimador de τi .. Para se obter a distribui¸cão de probabilidade do estimador do efeito do i-ésimo tra-.

(26) 24. tamento pode ser usado o seguinte procedimento: 1 X 1 X yijr − yijr , que é uma combina¸cão linear dos yijr JR jr IJR ijr que segue uma distribui¸cão normal e, portanto, ti é normal.. ti = y¯i.. − y¯... =. Além disso, ti.  0 X X X 1  = βj + R ij + εijr  JRµ + JRτi + R JR j j ijr   0 X 0 X X X 1  − IJRµ + JR βj + R ij + εijr  τ i + IR IJR j ij ijr i ! ! 1X 1 X 1 X 1 X = µ + τi + ij + εijr − µ + ij + εijr J j JR jr IJ ij IJR ijr 1 X 1 X 1 X 1X ij + εijr − ij − εijr . = τi + J j JR jr IJ ij IJR ijr . Portanto, E(ti ) = τi .. (2.17). Além disso, tem-se que V ar(ti ) = E[ti − E(ti )]2 h i2 1X 1 X 1 X 1 X = E τi + ij + εijr − ij − εijr − τi J j JR jr IJ ij IJR ijr i2 h1 X 1 X 1 X 1 X ij + εijr − ij − εijr = E J j JR jr IJ ij IJR ijr h 1 X 2 2 1 X 1 X 2 = E 2 ij + 2 2 εijr + 2 2 ij J J R jr I J j ij 2 2 X X 2 X X 1 X εijr + 2 ij ij ij εijr − 2 + 2 2 2 I J R ijr J R j IJ j ij jr X 2 X 2 X X ij εijr εijr − 2 ij − 2 IJ R j IJ R jr ijr ij X i 2 X 2 X X − 2 2 εijr εijr + 2 2 ij εijr IJ R I J R ij ij ijr ijr σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 + + + −2 −2 = + − − J JR IJ IJR IJ IJR J JR IJ IJR i 1 h 1 2 2 2 2 2 2 (IRσ − Rσ + Iσ − σ ) = = R(I − 1)σ + (I − 1)σ IJR IJR (I − 1) 2 (σ + Rσ2 ). = IJR =.

(27) 25. Portanto, V ar(ti ) = Assim sendo, conclui-se que. (I − 1) 2 σ + Rσ2 . IJR. (2.18). (I − 1) 2 t i ∼ N τi ; σ + Rσ2 . IJR Ou seja, ti , tem distribui¸cão normal com média τi e variância. (2.19) (I−1) IJR. (σ 2 + Rσ2 ), para. todo i = 1, 2, · · · , I.. 2.6.4. Distribui¸c˜ ao de probabilidade da SQT rat .. A partir dos resultados da subse¸cão anterior resumida na expressão (2.19) deduz-se que, Z=q. y¯i .. − y¯... − τi =q ∼ N (0; 1) (I−1) (I−1) 2 + Rσ 2 ) 2 + Rσ 2 ) (σ (σ IJR IJR t i − τi. e sob a hipótese de que os tratamentos não têm efeitos sobre a variável resposta, Y , isto é, sob H0 : τ1 = τ2 = ... = τI = 0, então, y¯i .. − y¯.... e. q. (I−1) (σ 2 IJR. ∼ N (0; 1) =⇒. + Rσ2 ). (¯ yi .. − y¯...)2 (I−1) (σ 2 IJR. + Rσ2 ). ∼ χ2(1). (I − 1) 2 JR(¯ yi .. − y¯...)2 JR(¯ yi .. − y¯...)2 ∼ ∼ χ2(1) ⇒ χ(1) ⇒ (I − 1) 2 σ 2 + Rσ2 I 2 (σ + Rσ ) I P JR i (¯ yi .. − y¯...)2 ∼ (I − 1)χ2(1) . σ 2 + Rσ2 Portanto, JR. P. yi .. − y¯...) i (¯ 2 σ + Rσ2. 2. =. SQT rat ∼ χ2(I−1) . σ 2 + Rσ2. (2.20). Em palavras, a soma de quadrados devida aos tratamentos dividida por σ 2 + Rσ2 é distribu´ıda como uma qui-quadrado com (I − 1) graus de liberdade.. 2.6.5. Distribui¸c˜ ao de probabilidade de bj , o estimador de βj ..

(28) 26. Para se obter a distribui¸cão de probabilidade do estimador do efeito do j-ésimo bloco pode ser usado o seguinte procedimento: 1 X 1 X yijr − yijr , é uma combina¸cãao linear dos yijr os IR ir IJR ijr quais seguem uma distribui¸cão normal portanto, bj também é normal;. bj = y¯.j. − y¯... =. Além disso,  0 X X X 1  IRµ + R τ ij + εijr  = i + IRβj + R IR i i ijr   0 0 X X X X 1  − IJRµ + JR βj + R ij + εijr  τi + IR IJR j ij ijr i . bj. 1X 1 X 1 X 1 X ij + εijr − µ − ij − εijr I i IR ir IJ ij IJR ijr 1 X 1 X 1 X 1X ij + εijr − ij − εijr = βj + I i IR ir IJ ij IJR ijr. = µ + βj +. Portanto E(bj ) = βj .. (2.21). Além disso, tem-se que V ar(bj ) = E[bj − E(bj )]2 #2 " 1 X 1 X 1 X 1X ij + εijr − ij − εijr − βj = E βj + I i IR ir IJ ij IJR ijr !2 !2 !2 X X 1 X 1 1 = E 2 ij + 2 2 εijr + 2 2 ij I I R I J i ir ij ! ! !2 X X X 1 2 + 2 2 2 ij − dp ij εijr + dp − 2 I J R I J ij i ijr ! ! X X 2 −dp + 2 2 εijr + dp εijr I JR ijr ir σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 + + + −2 −2 I IR IJ IJR IJ IJR σ2 σ2 σ2 σ2 = + − − I IR IJ IJR 1 1 (JRσ2 + Jσ 2 − Rσ2 − σ 2 ) = (R(J − 1)σ2 + (J − 1)σ 2 ) = IJR IJR. =.

(29) 27. Portanto V ar(bj ) = Com isso, obtém-se bj ∼ N. . J −1 2 (σ + Rσ2 ). IJR. J −1 2 2 βj ; (σ + Rσ ) . IJR. (2.22). (2.23). Ou seja, o estimador bj do efeito do bloco j segue uma distribui¸cão normal com média βj e variância. 2.6.6. J−1 (σ 2 IJR. + Rσ2 ).. Distribui¸c˜ ao de probabilidade da SQBlocos. Como já se sabe, bj ∼ N. . J −1 2 2 βj ; (σ + Rσ ) . Portanto, é poss´ıvel deduzir que IJR. y¯.j. − y¯... − βj bj − E(bj ) p =r ∼ N (0; 1). V ar(bj ) J −1 2 2 (σ + Rσ ) IJR Assim, sob H0 : β1 = β2 = ... = βj = 0, y¯.j. − y¯... r. ∼ N (0; 1) =⇒. J −1 2 (σ + Rσ2 ) IJR IR(¯ y.j. − y¯... )2 (J − 1) 2 ∼ χ(1) 2 2 σ + Rσ J. Portanto, IR. X. (¯ y.j. − y¯... )2 ∼ χ2(1) ⇒ J −1 2 2 (σ + Rσ ) IJR. (¯ y.j. − y¯... )2. j. σ 2 + Rσ2. =. SQBlocos ∼ χ2(J−1) σ 2 + Rσ2. (2.24). ou seja, a soma de quadrados de blocos dividida por (σ 2 + Rσ2 ) segue uma distribui¸cão de qui-quadrado com (J − 1) graus de liberdade.. 2.6.7. Distribui¸c˜ oes de probabilidade de mi , o estimador de µi = µ + τi , (a m´ edia do tratamento i) e de mj , o estimador de µj = µ + βj , (a m´ edia do bloco j).. Sabe-se que mi , o estimador da média do i-ésimo tratamento, µi = µ + τi , é definido por mi = m + ti = y¯... + y¯i.. − y¯... = y¯i.. =. 1 X yijr JR j,r.

(30) 28. que é uma combina¸cão linear dos yijk ’s os quais seguem uma distribui¸cão normal e, portanto, mi também é normal. Continuando-se o desenvolvimento algébrico de mi , vem   0 X X X X 1 1  mi = βj + R ij + εijr  JRµ + JRτi + R yijr = JR j,r JR j j j,r = µi +. 1X 1 X ij + εijr . J j JR j,r. (2.25). O valor esperado de mi é então E(mi ) = E. 1X 1 X µi + ij + εijr J j JR j,r. !. = µi. (2.26). Por outro lado, a variância de mi pode ser obtida como, #2 " X X 1 1 ij + εijr − µi V ar(mi ) = E[mi − E(mi )]2 = E µi + J j JR j,r 1 1 2 2 2 2 = E 2 (i1 + · · · + 1J + dp) + 2 2 (εi11 + · · · + εiJR + dp) + odp J J R J 2 JR 1 = σ + 2 2 σ 2 = (σ 2 + Rσ2 ). (2.27) 2 J J R JR Assim sendo, conclui-se que iid. mi ∼ N. . 1 2 2 (σ + Rσ ) , i = 1, 2, · · · , I. µi , JR. (2.28). Da´ı, conclui-se que o estimador da média do i-ésimo tratamento segue uma disribui¸cão normal de média µi e variância. 1 (σ 2 IR. + Rσ2 ).. Por procedimento análogo, obtém-se a distribui¸cão de probabilidade de mj , ou seja, 1 2 iid 2 (σ + Rσ ) , j = 1, 2, · · · , J. (2.29) m j ∼ N µj , IR E, conclui-se que o estimador da média do j-ésimo bloco segue uma disribui¸cão normal com média µj e variância. 2.6.8. 1 (σ 2 IR. + Rσ2 ).. Distribui¸c˜ oes de probabilidade de contrastes de interesse. Dois resultados de grande interesse neste trabalho diz respeito as distribui¸cões de probabilidade dos estimadores de combina¸cões lineares das médias dos tratamentos ou dos.

(31) 29 J I ˆ h = P chj mj , respectivamente, em que P chi = P chj = 0. ˆ h = P chi mi ou Ψ blocos, Ψ i j j=1. i=1. Aqui, serão apresentadas as demonstra¸cões relativas as combina¸cões lineares de médias dos tratamentos e intuitivamente serão apresentados os resultados para uma combina¸cão linear de médias dos blocos. Considere o estimador de uma combina¸cão linear das médias dos tratamentos ˆh = Ψ. I X. chi mi =. i=1. I X. chi y¯i.. =. i=1. X. chi. i. 1 X yijr JR j,r. ˆ h também segue uma que é uma combina¸cão linear de variáveis normais e, portanto, Ψ distribui¸cão normal. Continuando-se o desenvolvimento algébrico, vem ˆh = Ψ. I X. chi. i=1. =. I X i=1. =. I X i=1. 1 X yijr JR j,r . . 0. 7 J J X X X  1    βj + R JRµ + JRτ + R + ε chi i ij ijr  JR  j=1 j=1 j,r . chi. J 1 X 1X ij + εijr µi + J j=1 JR j,r. !. .. (2.30). ˆ h , fica Da´ı, o valor esperado do estimador Ψ " I !# J I X X X X 1 1 ˆ E(Ψh ) = E chi µi + = ij + chi µi εijr J j=1 JR j,r i=1 i=1 ˆ h procedeu-se do seguinte modo Para obter a variância do estimador Ψ ˆ h ) = E[Ψ ˆ h − E(Ψ ˆ h )]2 V ar(Ψ 2  I I I J I X X X X X X 1 1 chi µi  chi µi + chi εijr − ij + = E chi J JR i=1 i=1 i=1 j,r j=1 i=1 # " I 2 J I X 1X X 1 X = E εijr chi ij + chi J JR j,r i=1 j=1 i=1 ! !#2 " I I I I X X X 1 1 X chi i1 + · · · + chi εi11 + · · · + chi iJ + chi εiJR = E J i=1 JR i=1 i=1 i=1 " ! !# I I X X 1 1 2 2 2 c = Jσ JRσ c2hi + hi 2 2 2 J J R i=1 i=1.

(32) 30. =. . I I X 1 2 1 2 X 2 1 2 2 σ + σ chi = (σ + Rσ ) c2hi . J JR JR i=1 i=1. (2.31). Assim sendo, conclui-se que o estimador de um contraste das médias dos tratamentos I P h chi µi e variância K segue uma distribui¸cão normal com média Ψh = (σ 2 + Rσ2 ), em JR i=1. que Kh é a soma dos quadrados dos coeficientes do contraste h, isto é, Kh =. I P. i=1. denotado por ˆh ∼ N Ψ. I X i=1. Kh 2 (σ + Rσ2 ) chi µi , JR. !. c2hi e será. (2.32). Usando um procedimento análogo, demonstra-se que o estimador de um contraste das J P chj µj e variância médias dos blocos segue uma distribui¸cão normal com média Ψh = j=1. Kh (σ 2 IR. +. Rσ2 ). o qual será denotado como ˆh ∼ N Ψ. ! Kh 2 chj µj , (σ + Rσ2 ) , IR j=1. J X. (2.33). em que Kh é a soma dos quadrados dos coeficientes do contraste h, isto é, Kh =. J P. j=1. 2.6.9. c2hj .. Distribui¸c˜ ao de probabilidade da soma de quadrados da h-´ esima combina¸c˜ ao linear das m´ edias dos tratamentos. I ˆ h = P chi y¯i.. , o estimador do Foi demonstrado que a distribui¸cão de probabilidade de Ψ i=1. h-ésimo contraste de médias dos tratamentos, Ψh =. I P. chi µi é, de acordo com a expressão. i=1. (2.32), distribu´ıda como ˆh ∼ N Ψ. I X i=1. ! Kh 2 chi µi , (σ + Rσ2 ) . JR. Usando resultados conhecidos da teoria de probabilidade, deduz-se que I P chi µi c y ¯ − hi i.. ˆ h − E(Ψ ˆ h) Ψ i=1 i=1 q = q ∼ N (0, 1). Kh Kh 2 + Rσ 2 ) 2 + Rσ 2 ) (σ (σ JR JR I P. (Ψ). e, sob a hipóteses de que o contraste h é nulo, isto é, sob H0. : Ψh =. I P. i=1. chi µi = 0, a.

(33) 31. estat´ıstica q. e segue que . I P. chi y¯i... i=1. Kh (σ 2 JR. 2. + Rσ2 ). =. . I P. chi y¯i... i=1 Kh (σ 2 JR. chi yi... i=1. ∼ N (0, 1) + Rσ2 ). 2. JRKh (σ 2 + Rσ2 ). ˆ h) = em que, SQContraste = SQ(Ψ. 2.6.10. I P. I P. chi yi... i=1. =. ˆ h) SQ(Ψ SQContraste = ∼ χ2(1) σ 2 + Rσ2 σ 2 + Rσ2. !2. JRKh. e Kh =. I P. i=1. (2.34). c2hi .. Distribui¸c˜ ao de probabilidade de îj , o estimador de ij .. Um outro resultado u ´til diz respeito a distribui¸cão de probabilidade de îj , o estimador do erro entre parcelas, o qual pode ser obtido utilizando-se o seguinte procedimento: îj = y¯ij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... =. 1 X 1 X 1 X 1X yijr − yijr − yijr + yijr , R r JR jr IR i IJR ijr. como pode-se observar, îj é uma combina¸cão linear dos yijr os quais seguem distribui¸cão ´ necessário agora, saber normal. Portanto, îj também segue uma distribui¸cão normal. E quais as caracter´ısticas da distribui¸cão de îj . E(îj ) =. 1X 1 X E(µ + τi + βj + ij + εijr ) − E(µ + τi + βj + ij + εijr ) R r JR jr 1 X 1 X − E(µ + τi + βj + ij + εijr ) + E(µ + τi + βj + ij + εijr ) IR ir IJR ijr. 1 1 (Rµ + Rτi + Rβj ) − (JRµ + JRτi + Rβj ) R JR X X 1 1 − (IRµ + Rτi + IRβj ) + (µ + JR τi IR +βj ) IR IJR i j 1X 1X 1X 1X βj − µ − τi − βj + µ + τi + βj . = µ + τi + βj − µ − τi − J j I i I i J j =. Portanto, E(îj ) = 0..

(34) 32. Além disso, V ar(îj ) = E[¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ]2 " #2 X X X X 1 1 1 1 = E yijr − yijr − yijr + yijr R r JR jr IR ir IJR ijr !2 !2 !2 h 1 X X X 1 1 yijr + 2 2 yijr + 2 2 yijr = E 2 R J R I R r jr ir | {z } | {z } {z } | (1). (3). (2). !2. X 1 2 + 2 2 2 yijr − I J R JR2 ijr {z } | |. X. (4). 2 + IJR2 |. X. (1) =. {z. X. yijr. ijr. (7). 2 − 2 2 IJ R |. onde,. yijr. r. !. X. yijr. jr. {z. !. X. (9). {z. X. !. 2 + IJR2 } |. X. 2 − 2 2 I JR } |. 2. 2. X r. !. {z. 2 − IR2 } | X. yijr. ir. (8). !. E 2 2 = (R µ + R2 τi2 + R2 βj2 + R2 2ij + R2. yijr. jr. X 1 E(Rµ + Rτ + Rβ + R + εijr )2 i j ij R2 r. 2. yijr. jr. !. (5). yijr. ijr. yijr. r. !. εijr. X. yijr. ir. !. {z. (10). X ijr. X r. yijr. !. {z. (6). ! }. yijr. !. i. }. !2. +2R µτi + 2R µβj + 2R τi βj + dp) 1 = µ2 + τi2 + βj2 + σ2 + σ 2 + 2µτi + 2µβj + 2τi βj R 0 X X X > 1 E(JRµ + JRτ + R β + R + εijr )2 (2) = i j ij J 2 R2 j jr j !2 !2 X X E εijr + 2J 2 R2 µτi + dp) (J 2 R2 µ2 + J 2 R2 τi2 + R2 ij + = J 2 R2 jr j = µ2 + τi2 +. 1 2 1 2 σ + σ + 2µτi J JR. X 0 X X 1 τi + IRβj + R ij + εijr )2 (3) = 2 2 E(IRµ + R I R i i ir. X ir. yijr. ! }.

(35) 33. E = 2 2 [I 2 R2 µ2 + I 2 R2 βj2 + R2 I R. X. ij. i. !2. X. +. ir. εijr. !. + 2I 2 R2 µβj ]. 1 2 1 σ + 2µβj = µ2 + βj2 σ2 + I IR 0 X X 0 X X > 1 (4) = 2 2 2 E[IJRµ + JR τi + IRR βj + R ij + εijr ]2 I J R j i ij ijr !2 ! 2 X X E εijr + dp] = 2 2 2 [I 2 J 2 R2 µ2 + R2 ij + I J R ijr ij = µ2 +. 1 2 1 2 σ + σ IJ IJR. 0 X X > 1 E[(Rµ + Rτi + Rβj + Rij + εijr )(JRµ + JRτi + R βj (5) = JR2 r j X X +R ij + εijr )] j. jr. 1 E[JR2 µ2 + JR2 µτi + JR2 µτi + JR2 τi2 + JR2 µβj = 2 JR ! ! ! X X X εijr + dp] εijr ij + +JR2 τi βj + R2 ij r. j. jr. 1 (JR2 µ2 + 2JR2 µτi + JR2 τi2 + JR2 µβj + JR2 τi βj + R2 σ2 + Rσ 2 ) JR2 1 1 2 = µ2 + τi2 + 2µτi + µβj + τi βj + σ2 + σ J JR X X 0 1 (6) = E[(Rµ + Rτi + Rβj + Rij + εijr )(IRµ + R τi IR2 r i X X +IRβj + R ij + εijr )] =. i. ir. 1 E[IR2 µ2 + IR2 µβj + IR2 µτi + IR2 τi βj + IR2 µβj = IR2 ! ! ! X X X εijr + dp] εijr ij + +IR2 βj2 + R2 ij i. r. ir. 1 = (IR2 µ2 + 2IR2 µβj + IR2 µτi + IR2 τi βj + IR2 βj2 + R2 σ2 + Rσ 2 ) IR2 1 1 2 = µ2 + βj2 + 2µβj + µτi + τi βj + σ2 + σ I IR. X X 1 E[(Rµ + Rτ + Rβ + R + ε )(IJRµ + JR τi (7) = i j ij ijr IJR2 r i. 0.

(36) 34. 0 X X > X +IRR βj + R ij + εijr )] j. ij. ijr. 1 = E[IJR2 µ2 + IJR2 µτi + IJR2 µβj + R2 ij IJR2 ! ! X X + εijr + dp] εijr r. X. ij. ij. !. ijr. 1 (IJR2 µ2 + IJR2 µτi + IJR2 µβj + R2 σ2 + σ 2 ) 2 IJR 1 2 1 2 = µ2 + µτi + µβj + σ + σ IJ IJR 0 X X X X 0 > 1 (8) = E[(JRµ + JRτ + R β + R + ε )(IRµ + R τi i ij ijr j IJR2 j j jr i X X +IRβj + R ij + εijr )] =. i. ir. 1 E[IJR2 µ2 + IJR2 µβj + IJR2 µτi + IJR2 τi βj + R2 = IJR2 ! ! X X εijr + dp] εijr + jr. X. ij. j. !. X. ir. 1 = (IJR2 µ2 + IJR2 µτi + IJR2 µβj + IJR2 τi βj + R2 σ2 + σ 2 ) IJR2 1 2 1 2 = µ2 + µτi + µβj + τi βj + σ + σ IJ IJR 0 X X X > 1 E[(JRµ + JRτ + R β + R + εijr )(IJRµ (9) = i j ij IJ 2 R2 j j jr . X 0 X X X 0 +JR βj + R ij + εijr )] τi + IR i. j. ij. 1 E[IJ 2 R2 µ2 + IJ 2 R2 µτi + R2 = IJ 2 R2 ! ! X X εijr + dp] εijr + jr. ijr. X j. ij. !. X ij. ij. !. ijr. 1 (IJ 2 R2 µ2 + IJ 2 R2 µτi + JR2 σ2 + JRσ 2 ) IJ 2 R2 1 2 1 2 = µ2 + µτi + σ + σ IJ IJR. =. (10) =. X 0 X X 1 E[(IRµ + R τ + IRβ + R + εijr )(IJRµ i j ij I 2 JR2 i i ir. j. ij. !.

(37) 35. X 0 X X X 0 +JR βj + R ij + εijr )] τi + IR i. j. ij. 1 = 2 2 E[I 2 JR2 µ2 + I 2 JR2 µβj + R2 I JR ! ! X X εijr + dp] εijr + 1. I 2 JR2. X j. ij. !. X ij. ij. !. ijr. ir. =. ijr. (I 2 JR2 µ2 + I 2 JR2 µβj + IR2 σ2 + IRσ 2 ). = µ2 + µβj +. 1 2 1 2 σ + σ IJ IJR. Agora, 1 2 σ + 2µτi + 2µβj + 2τi βj R 1 1 2 +µ2 + τi2 + σ2 + σ + 2µτi J JR 1 2 1 2 1 2 1 σ + 2µβj + µ2 + σ + σ +µ2 + βj2 + σ2 + I IR IJ IJR 2 2 2 −2µ2 − 2τi2 − 4µτi − 2µβj − 2τi βj − σ2 − σ J JR 2 2 2 −2µ2 − 2βj2 − 4µβj − 2µτi − 2τi βj − σ2 − σ I IR 2 2 2 2 σ − σ −2µ2 − 2µτi − 2µβj − IJ IJR 2 2 2 2 +2µ2 + 2µτi + 2µβj + 2τi βj + σ + σ IJ IJR 2 2 2 2 2 2 2 2 −2µ2 − 2µτi − σ − σ − 2µ2 − 2µβj − σ − σ IJ IJR IJ IJR V ar(îj ) = 0µ2 + 0τi2 + 0βj2 + 0µτi + 0µβj + 0τi βj 1 2 2 2 2 2 2 1 1 σ2 − − − + − − + 1+ + + J I IJ J I IJ IJ IJ IJ 1 1 1 1 2 2 4 4 + σ2 + + + − − + − R JR IR IJR JR IR IJR IJR. V ar(îj ) = µ2 + τi2 + βj2 + σ2 +. 1 1 1 1 1 1 1 2 − − + σ + σ2 V ar(îj ) = 1− − + J I IJ R JR IR IJR 1 1 = (IJ − I − J + 1)σ2 + (IJ − I − J + 1)σ 2 IJ IJR 1 1 = (J(I − 1) − (I − 1))σ2 + (J(I − 1) − (I − 1))σ 2 IJ IJR (I − 1)(J − 1) 2 (I − 1)(J − 1) 2 σ + σ = IJ IJR (I − 1)(J − 1) V ar(îj ) = (Rσ2 + σ 2 ). IJR.

(38) 36. Assim sendo, conclui-se que îj = y¯ij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ∼ N. . (I − 1)(J − 1) 2 2 0; (σ + Rσ ) , IJR. (2.35). ou seja, o estimador do erro entre, îj , é distribu´ıdo como uma normal de média zero e variância. 2.6.11. (I−1)(J−1) (σ 2 IJR. + Rσ2 ).. Distribui¸c˜ ao de probabilidade da SQErro Entre .. Partindo da expressão (2.35) e lembrando dos resultados da teoria de probabilidade para a distribui¸cão normal padrão, vem îj − E(îj ) r. (I − 1)(J − 1) 2 (σ + Rσ2 ) IJR. ∼ N (0; 1). ou y¯ − y¯i.. − y¯.j. + y¯... − 0 (¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... )2 r ij. ∼ N (0; 1) ⇒ ∼ χ2(1) ⇒ (I − 1)(J − 1) (I − 1)(J − 1) 2 (σ 2 + Rσ2 ) (σ + Rσ2 ) IJR IJR (I − 1)(J − 1) 2 (¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... )2 = χ(1) ⇒ 2 2 σ + Rσ IJR P Portanto,. yij. ijr (¯. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... )2 SQErro Entre IJR(I − 1)(J − 1) 2 = = χ(1) . 2 2 2 2 σ + Rσ σ + Rσ IJR SQErro Entre ∼ χ2[(I−1)(J−1)] . 2 2 σ + Rσ. (2.36). Em palavras, a soma de quadrados do erro entre parcelas dividida por σ 2 + Rσ2 tem uma distribui¸cão de qui-quadrado com (I − 1)(J − 1) graus de liberdade.. 2.6.12. Distribui¸c˜ ao de probabilidade de εîjr , o estimador de εijr .. Finalmente, as caracter´ıstcas da distribui¸cão do estimador do erro dentro, εîjr , é obtido a partir da expressão (2.10), isto é, εîjr = yijr − yîjr = (yijr − y¯... ) − (¯ yi.. − y¯... ) − (¯ y.j. − y¯... ) − (¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... ).

(39) 37. na qual pode-se observar que εîjr é uma combina¸cão linear dos yijr ’s os quais seguem distribui¸cão normal. Portanto, εîjr também segue uma distribui¸cão normal. Isto posto, é necessário, agora, saber quais as caracter´ısticas da distribui¸cão de εîjr .. ". # 1X E(ˆ εijr ) = E yijr − yijr R r = E µ + τi + βj + ij + εijr X 1 Rµ + Rτi + Rβj + Rij + εijr − R r ". # 1X εijr . = E µ + τi + βj + ij + εijr − µ − τi − βj − ij − R r. Logo,. # 1X εijr = 0. E(ˆ εijr ) = E εijr − R r ". Além do mais,. ". #2 1X V ar(ˆ εijr ) = [ˆ εijr − E(ˆ εijr )] = E εijr − εijr R r   !2 X X 1 2 = E ε2ijr + 2 εijr − εijr εijr  R R r r 2. = σ2 +. 1 E(ε2ij1 + ε2ij2 + ... + ε2ijR + dp) R2. 2 − E[εijr (εij1 + εij2 + ... + εijr + ... + εijR )] R σ2 1 R 2 2 2 2 2 = (R − 1)σ 2 = σ + 2σ − σ = σ − R R R R (R − 1) 2 V ar(ˆ εijr ) = σ . R Portanto, εîjr = (yijr − yîjr ) = yijr − y¯ij . ∼ N. . (R − 1) 2 0; σ . R. Isto é, o estimador do erro dentro, εîjr , segue uma distribui¸cão normal com média zero e variância. (R−1) 2 σ . R.

(40) 38. Além disso, yijr − y¯ij. − 0 (yijr − y¯ij. )2 r ∼ χ2(1) ⇒ ∼ N (0; 1) ⇒ (R − 1) (R − 1) 2 σ2 σ R R X (yijr − y¯ij. )2 R−1 2 IJR(R − 1) 2 (yijr − y¯ij. )2 ijr ∼ χ(1) ⇒ ∼ χ(1) . 2 2 σ R σ R Portanto,. 2.7. P. ijr (yijr − σ2. y¯ij. )2. =. SQErro Dentro ∼ χ2[IJ(R−1)] . σ2. (2.37). Valores Esperados das Somas de Quadrados. Os valores esperados dos quadrados médios são argumentos importantes para a compreen¸cão da escolha das estat´ısticas de teste utilizadas na contrasta¸cão das hipóteses de interesse. Nesta se¸cão serão abordados detalhadamente como estes resultados são obtidos. Viu-se, na se¸cão 2.5, que a soma de quadrados total é decomposta em partes componentes cujas expressões são dadas a seguir. y...2 IJR ijr X 1 X 2 = JR (¯ yi.. − y¯... )2 = y −C JR i i.. i X 1 X 2 y −C = IR (¯ y.j. − y¯... )2 = IR j .j. j X 1X 2 y −C = R (¯ yij. − y¯... )2 = R ij ij. ij. SQT otal = SQT rat SQBlocos SQP arcelas. X. 2 yijr − C, emque C =. SQErro Entre = SQP arcelas − SQT rat − SQBlocos SQErro Dentro = SQT otal − SQP arcelas. Os valores esperados dos quadrados médios são obtidos a partir das expressões acima. Esperan¸ca da Soma de Quadrados Total Em primeiro lugar optou-se pelo cálculo do valor esperado da soma de quadrados.

(41) 39. total. Isto é, X. E(SQT otal ) = E. 2 yijr −C. ijr. !. X. =E. 2 yijr. ijr. !. − E(C). Mas, E(C) = E. . 2 y... IJR. . 1 E = IJR. X. yijr. ijr. !2. X 0 X X X 0 1 βj + R ij + εijr )2 E(IJRµ + JR τi + IRR = IJR j ij ijr i X X 1 = E(IJRµ + +R ij + εijr )2 IJR ij ijr !2 !2 X X 1 εijr + dp] E[I 2 J 2 R2 µ2 + R2 ij + = IJR ijr ij =. 1 (I 2 J 2 R2 µ2 + IJR2 σ2 + IJRσ 2 ). IJR. Portanto, E(C) = IJRµ2 + Rσ2 + σ 2. (I). e E. X ijr. 2 yijr. !. = E. ". = E. ". =. X. #. X. (µ + τi + βj + ij + εijr )2. X. (µ2 + τi2 + βj2 + 2ij + ε2ijr + 2µτi + 2µβj + 2τi βj + dp). ijr. ijr. E(µ2 + τi2 + βj2 + 2ij + ε2ijr + 2µτi + 2µβj + 2τi βj + dp). ijr. =. X. (µ2 + τi2 + βj2 + σ2 + σ 2 + 2µτi + 2µβj + 2τi βj ). ijr. = IJRµ2 + JR. X. τi2 + IR. X. τi2. i. X. βj2 + IJRσ2 + IJRσ 2. X. βj2. j. 0 0 X 0 X 0 X X +2JRµ βj + 2R τi + 2IRµ τi βj j. i. 2. = IJRµ + JR. + IR. i. i. j. + IJRσ2 + IJRσ 2. j. Subtraindo-se (I) de (II), vem E(SQT otal ) = IJRµ2 + JR. X i. τi2 + IR. X j. βj2 + IJRσ2 + IJRσ 2. (II). #.

(42) 40. −IJRµ2 − Rσ2 − σ 2 Portanto, o valor esperado da soma de quadrados total é definido por: E(SQT otal ) = R(IJ − 1)σ2 + (IJR − 1)σ 2 + JR. X. τi2 + IR. i. X. βj2 .. (2.38). j. Esperan¸ca da Soma de Quadrados de Tratamento Em segundo lugar procurou-se deduzir o valor esperado da soma de quadrados de tratamentos, ou seja ". # 1 X 2 1 E(SQT rat ) = yi.. − C = E JR i JR. X. 2 yi... i. !. − E(C). Mas, 1 E JR. X i. 2 yi... !. =. . 1  E JR. X i. 2  X 0 X X JRµ + JRτi + R βj + R ij + εij   . j. X 1 = E J 2 R2 µ2 + J 2 R2 τi2 + R2 JR i 2 2 +2J R µτi + 0dp. j. X. ij. j. jr. !2. +. X. εir. jr. !2. 1 X 2 2 2 [J R µ + J 2 R2 τi2 + JR2 σ2 + JRσ 2 + 2J 2 R2 µτi ] JR i X 1 τi2 + IJR2 σ2 + IJRσ 2 + 0]. [IJ 2 R2 µ2 + J 2 R2 = JR i =. Assim sendo, tem-se 1 E JR. X i. 2 yi... !. = IJRµ2 + JR. X. τi2 + IRσ2 + Iσ 2 .. (III). i. Subtraindo-se (I) de (III), obtém-se o valor esperado da soma de quadrados de tratamentos, isto é, E(SQT rat ) = (I − 1)(σ 2 + Rσ2 ) + JR. X. τi2 .. (2.39). i. A esperan¸ca do quadrado médio de tratamentos é dada pelo valor esperado da soma de quadrados de tratamentos dividida pelos seus respectivos graus de liberdade, ou seja, JR X 2 SQT rat = σ 2 + Rσ2 + τ (2.40) E(QMT rat ) = E I −1 I −1 i i.

(43) 41. ou E(QMT rat ) = σ 2 + Rσ2 + em que µi = µ + τi .. JR X (µi − µ)2 , I −1 i. (2.41). Esperan¸ca da soma de quadrados de uma combina¸ c˜ ao linear das m´ edias dos tratamentos: h-´ esimo contraste de m´ edias dos tratamentos De acordo com a expressão (2.34), a soma de quadrados de um contraste h é dada por ˆ h) = SQ(Ψ. . I P. chi yi... i=1. 2. . JRKh Desenvolvendo-se algebricamente a expressão acima, vem. ˆ h) = SQ(Ψ. =. =. . I P. chi yi... i=1. JRKh. 1 JRKh. 2. X I. chi. i=1. . 1 J 2 R2 JRKh. . 0 2 7 J J J X R X X X εijr JRµi + R βj + R ij +. X I. j=1 . chi µi. i=1. 2. +R. j=1 r=1. j=1. 2. X I. chi. i=1. J X. ij. j=1. 2. +. X I. chi. R J X X. εijr. j=1 r=1. i=1. 2. . + dp .. Agora, calculando o valor esperado, obtém-se após algumas opera¸cões algébricas o seguinte resultado I. 2 JR X 2 2 ˆ ˆ E[SQ(Ψh )] = E[QM (Ψh )] = σ + Rσ + chi µi . Kh i=1. (2.42). uma vez que, por (2.34), há apenas um grau de liberdade associado a soma de quadrados de um contraste entre as médias dos tratamentos. Esperan¸ca da Soma de Quadrados de Blocos. Para calcular a esperan¸ca da soma de quadrados de blocos, procedeu-se da seguinte forma, ". X E(SQBlocos ) = E IR (¯ y.j. − y¯... )2 j. #. # 1 1 X 2 E y.j. − C = = E IR j IR ". X j. 2 y.j.. !. − E(C).

(44) 42. Mas, 1 E IR. X j. 2 y.j.. !. . 1  E IR. =. X j. 2  X 0 X X IRµ + R τi + IRβj + R ij + εijr   . i. i. X 1 = E I 2 R2 µ2 + I 2 R2 βj2 + R2 IR j 2 2 +2I R µβj + 0dp. X. ij. i. ir. !2. +. X. εijr. ir. !2. 1 X 2 2 2 I R µ + I 2 R2 βj2 + IR2 σ2 + IRσ 2 + 2I 2 R2 µβj IR j   X 0 X 1  2 2 2 = βj  . βj2 + IJR2 σ2 + IJRσ 2 + 2I 2 JR2 µ I JR µ + I 2 R2 IR j j. =. Portanto, 1 E IR. X j. 2 y.j.. !. = IJRµ2 + IR. X. βj2 + JR2 σ2 + Jσ 2. (IV ). j. Subtraindo-se (I) de (IV), encontrou-se, E(SQBlocos ) = IJRµ2 + IR. X. βj2 + JR2 σ2 + Jσ 2 − IJRµ2 − Rσ2 − σ 2. j. = (J − 1)σ 2 + R(J − 1)σ2 + IR. X. βj2. j. E(SQBlocos ) = (J − 1)(σ 2 + Rσ ) + IR. X. βj2 .. (2.43). j. A esperan¸ca do quadrado médio de blocos é dada pelo valor esperado da soma de quadrados de blocos dividida pelos seus respectivos graus de liberdade, ou seja, X SQBlocos = σ 2 + Rσ2 + IR βj2 E(QMBlocos ) = E J −1 j ou E(QMBlocos ) = σ 2 + Rσ + em que µj = µ + βj .. IR X (µj − µ)2 , J −1 j. Esperan¸ca da Soma de Quadrados de Parcelas. (2.44). (2.45).

(45) 43. Para a soma de quadrados de parcelas procedeu-se como segue,. ". E(SQP arcelas ) = E R. X. (¯ yij. − y¯... )2. ij. ". #. # 1X 2 1 = E yij. − C = E R ij R. X. !. 2 yij.. ij. − E(C). Mas, 1 E R. X. 2 yij.. ij. !. =. . 1  E R. X. X. Rµ + Rτi + Rβj + Rij +. εijr. r. ij. 1 hX 2 2 = E R µ + R2 τi2 + R2 βj2 + R2 2ij + R ij i +2R2 µβj + 2R2 τi βj + 0dp. !2 . X. . εijr. r. !2. + 2R2 µτi. 1 E(R2 µ2 + R2 τi2 + R2 βj2 + R2 σ2 + σ 2 + 2R2 µτi + 2R2 µβj R +2R2 τi βj ) X X 1 = βj2 + IJR2 σ2 + IJRσ 2 τi2 + IR2 (IJR2 µ2 + JR2 R j i =. 0 0 X 0 X X X 0 2 2 βj + 2R τi βj ). τi + 2IR µ +2JR µ 2. j. i. i. j. Logo, 1 E R. X ij. 2 yij.. !. = IJRµ2 + JR. X. τi2 + IR. i. X. βj2 + IJR2 σ2 + IJσ 2 .. (V ). j. Subtraindo-se (I) de (V), obtém-se E(SQP arcelas ) = IJRµ2 + JR 2. −IJRµ −. X. i 2 Rσ. τi2 + IR. −σ. X. βj2 + IJR2 σ2 + IJσ 2. j. 2. = (IJ − 1)σ 2 + R(IJ − 1)σ2 + JR. X. τi2 + IR. i. E(SQP arcelas ) = (IJ − 1)(σ 2 + Rσ2 ) + JR. X i. τi2 + IR. X. βj2. j. X. βj2 .. (2.46). j. De modo análogo aos casos anteriores, o valor esperado do quadrado médio de parcelas.

(46) 44. fica, E(QMP arcelas ) = E. . SQP arcelas IJ − 1. . = (σ 2 + Rσ2 ) +. JR X 2 IR X 2 τi + β (2.47) IJ − 1 i IJ − 1 j j. ou E(QMP arcelas ) = (σ 2 + Rσ2 ) +. IR X JR X (µi − µ)2 + (µj − µ)2 , IJ − 1 i IJ − 1 j. (2.48). em que, µi = µ + τi e µj = µ + βj . Esperan¸ca da Soma de Quadrados do Erro Entre. O valor esperado da soma de quadrados do erro entre é obtida pela subtra¸cão dos valores esperados da soma de quadrados de bloco e soma de quadrados de tratamento da soma de quadrados de parcela, ou seja, SQErro Entre = E(SQP arcelas − SQT rat − SQBlocos ) = E(SQP arcela ) − E(SQT rat ) − E(SQBloco ) X X = (IJ − 1)(σ 2 + Rσ2 ) + JR τi2 + IR βj2 i. 2. −(I − 1)(σ +. Rσ2 ). − JR. X. j. τi2. i. 2. −(J − 1)(σ + Rσ ) − IR. X. βj2. j. 2. = (σ +. Rσ2 )[IJ. − 1 − I + 1 − J + 1]. E(SQErro Entre ) = (I − 1)(J − 1)(σ 2 + Rσ2 ). (2.49). Como feito anteriormente, tem-se a esperan¸ca do quadrado médio do erro entre da sequinte forma, E(QMErro Entre ) = E. . SQErro Entre (I − 1)(J − 1). . = σ 2 + Rσ2 ;. (2.50). Esperan¸ca da Soma de Quadrados do Erro Dentro. Obtém-se o valor esperado da soma de quadrado de erro dentro com a seguinte subtra¸cão, E(SQErro Dentro ) = E(SQT otal − SQP arcelas ).

(47) 45. = E(SQT otal ) − E(SQP arcelas ) = R(IJ − 1)σ2 + (IJR − 1)σ 2 + JR. X. τi2 + IR. i. −(IJ − 1)(σ 2 + Rσ2 ) − JR. X. =. 2. 2. 2. βj2. j. τi2 − IR. i. IJRσ2. X. X. βj2. j. 2. 2. − Rσ + IJR − σ − IJσ + σ − IJRσ2 + Rσ2 .. Portanto, E(SQErro Dentro ) = IJ(R − 1)σ 2. (2.51). Dividindo-se a soma de quadrado de erro dentro pelos seus respectivos graus de liberdade tem-se o valor esperado do quadrado médio do erro dentro, SQErro Dentro E(QMErro Dentro ) = E = σ2. IJ(R − 1). (2.52). Portanto, o valor esperado da SQErro Dentro dividido pela variância do erro dentro segue uma distribui¸cão de qui-quadrado com IJ(R − 1) graus de liberdade. Os resultados obtidos nesta se¸cão encontram-se apresentados de forma resumida na Tabela 4, como sugere Barbin (1993). Tabela 4: Análise da variância com os valores esperados dos quadrados médios F.V.. G.L.. Tratamento. I-1. Blocos. J-1. Erro Entre Parcelas Erro Dentro Total. (I-1)(J-1) (IJ-1) IJ(R-1) IJR-1. S.Q. 1 X 2 y −C JR i i.. 1 X 2 y −C IR j .j.. SQP arc − SQT rat − SQBlocos 1 X 2 y −C R ij ij. SQT otal − SQP arcelas X 2 yijr −C. E(QM) JR X (µi − µ)2 I −1 i IR X σ 2 + Rσ2 + (µj − µ)2 J −1 j. σ 2 + Rσ2 +. σ 2 + Rσ2. σ2 -. ijr. A tabela 5 contém informa¸cões acerca dos parâmetros associados ao modelo matemático, aos seus estimadores e suas respectivas distribui¸cões de probabilidade, bem como, as distribui¸cões de probabilidade das somas de quadrados associadas..

(48) Tabela 5: Caracter´ısticas, seus estimadores e distribui¸cões de probabilidade de estat´ısticas associadas. Estimador da caracter´ıstica. Caracter´ıstica. Distribui¸ c˜ ao de Probabilidade do Estimador h. µ. µ ˆ = m = y¯.... µ ˆ ∼ N µ;. τi. τî = ti = y¯i.. − y¯.... h τî ∼ N τi ;. µi. µ î = mi = y¯i... βj. βˆj = bj = y¯.j. − y¯.... µj. µ ˆj = mj = y¯.j.. 1 (σ 2 IJR (I−1) (σ 2 IJR. h µ ˆ i ∼ N µi ,. 1 (σ 2 JR. h βˆj ∼ N βj ; h. µj ∼ N µj ,. +. Rσ2 ). i. + Rσ2 ). + Rσ2 ). (J−1) (σ 2 IJR. i. +. chi µi ,. 1 (σ 2 JR. Rσ2 ). C σ 2 +Rσ2. Sob H0 : µ = 0,. i. i. i. q. q. ∼ χ2(I−1). µ î −µ0 QMErro Entre JR. Sob H0 : βj = 0, ∀ j, Sob H0 : µj = µ0 ,. ∼ χ2(1). SQT rat σ 2 +Rσ2. Sob H0 : τi = 0, ∀ i, Sob H0 : µi = µ0 ,. + Rσ2 ). 1 (σ 2 IR. Distribui¸ c˜ ao de Probabilidade das Estat´ısticas de Interesse sob H0. SQBlocos σ 2 +Rσ2. Ψh =. i=1. ij. chi µi. ˆh = Ψ. I P. chi y¯i... ˆh ∼ N Ψ. i=1. i=1. îj = y¯ij. − y¯i.. − y¯.j. − y¯.... hP I h. îj ∼ N 0; h. εijr. εîjr = yijr − y¯ij.. εîjr ∼ N 0;. yijr. yîjr = y¯ij.. -. +. (I−1)(J−1) (σ 2 IJR IJ(R−1) 2 σ IJR. i. Rσ2 ). +. i. Rσ2 ). Sob H0 : Ψh = 0,. i. ∼ χ2(J−1). µ ˆj −µ0 QMErro Entre IR I. I P. ( P chi yi.. ). ∼ t[(I−1)(J−1)]. ∼ t[(I−1)(J−1)]. 2. i=1. JRKh (σ 2 +Rσ2 ). SQErro Entre σ 2 +Rσ2. ∼ χ2[(I−1)(J−1)]. SQErro Dentro σ2. ∼ χ2[IJ(R−1)]. ∼ χ2(1). -. 46.