aula23

Texto

(1)ENG04030 ANÁLISE DE CIRCUITOS I Aulas 23 – Circuitos de 1ª ordem: análise no domínio do tempo Resposta completa de circuitos RL e RC à função de excitação degrau unitário Sérgio Haffner.

(2) Circuito RL – resposta completa ao degrau solução direta da equação diferencial i ( t ). Ri ( t ) + L. di ( t ). di ( t ) V i (t ) − S R t di ( x ). ∫ i ( x) −. VS R. ln ( i ( t ) −. VS R. t0. ln. e. dt. = VS. ⇒. di ( t ). dt −R = dt L −R dy = ∫ t0 L t. ) − ln ( I. 0 −. VS R. ). =. i (t ) =. = e VS R. + ( I 0 − VRS ) e. VS  −R  i t − ( )   L  R. V ⇒ ln ( i ( x ) − RS )  t0 t. i ( t ) − VRS −R ( t − t0 ) ⇒ ln L I 0 − VRS. i(t )−. VS R V I 0 − RS. =. −R ( t −t0 ) L. −1 ( t − t0 ) L R. VS. ⇒. i ( t ) − VRS I0 −. VS R. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I. + _. L. =. −R t [ y ]t0 L. =. −R ( t − t0 ) L. = e. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. Circuito com condição inicial i ( t0 ) = I 0 Equação da malha para t>0 (sentido horário). R. −R ( t −t0 ) L. τ. = L. R.

(3) Circuito RC – resposta completa ao degrau solução direta da equação diferencial +. Circuito com condição inicial v ( t0 ) = V0 IS Equação do nó superior (corrente saindo positiva). dv ( x ) ∫t0 v ( x ) − RI s t. dv ( t ) dt. ⇒ = =. ln ( v ( t ) − RI s ) − ln (V0 − RI s ) = ln. e. v ( t ) − RI s V0 − RI s. −. −1 ( v ( t ) − RI s ) RC. −1 dt RC. ∫. t. t0. −1 dy RC. ⇒ ln ( v ( x ) − RI s )  t0 t. v ( t ) − RI s −1 t − t ⇒ ln ( 0) RC V0 − RI s. = e. v ( t ) = RI S + (V0 − RI S ) e. =. v (t ). −1 ( t −t0 ) RC. −1 ( t − t0 ) RC. ⇒. v ( t ) − RI s V0 − RI s. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I. =. −1 [ y ]tt0 RC. =. −1 ( t − t0 ) RC. = e. τ. −1 ( t − t0 ) RC. = RC. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. dv ( t ) 1 + v (t ) = Is C dt R dv ( t ) v ( t ) − RI s. C. R.

(4) SHaffner2010 – haffner@ieee.org. Exercício. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I.

(5) Exercício – resultado 1/2. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. Resultado via Microcap: aula23a.cir. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I.

(6) Exercício – resultado 2/2. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. Resultado via Microcap: aula23a.cir. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I.



(9) Exercício – resultado 1/3. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. Resultado via Microcap: Microcap: aula23b.cir aula23b.cir. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I.




(13) Exercício (suposto paradoxo). . . a tensão nos capacitores após o fechamento da chave a carga armazenada em cada capacitor antes e após o fechamento da chave a energia armazenada nos capacitores antes e após o fechamento da chave. Incluir R→0 no circuito i (t ). + v1 ( t ) −. t =0. C1. R→0. i (t ). C2. +. +. v2 ( t ). v1 ( t ). −. −. +. t =0 C1. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I. C2. v2 ( t ) −. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. No circuito a seguir, considere que C1=C2=C e que antes de fechar a chave o capacitor C2 está descarregado e a tensão em C1 é de V. Determinar:.

(14) Exercício (suposto paradoxo) Para t≥0 (após fechamento da chave) a corrente no circuito e equação de malha são dadas por. v1 ( 0 ) − v2 ( 0 ) R. =. V R. =V =0 1 t  1 t  −  ∫ [ −i ( x )] dx + v1 ( 0 )  + Ri ( t ) +  ∫ i ( x ) dx + v2 ( 0 )  = 0 C 0  C 0  V 2 t 2 t ( ) Ri ( t ) + ∫ i ( x ) dx = V ⇒ i ( t ) + i x dx = C 0 RC ∫0 R. Derivando com relação ao tempo, tem-se. d  2 t  ( ) ( ) i t + i x dx = ∫   0 dt  RC  i (t ) = i ( 0) e. −2 t RC. d V  ⇒   dt  R . di ( t ) 2 + i (t ) = 0 dt RC. V −RC2t = e R ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. v1 ( t ) − v2 ( t ) ⇒ i ( 0) = R −v1 ( t ) + Ri ( t ) + v2 ( t ) = 0 i (t ) =.

(15) Exercício (suposto paradoxo) A potência dissipada na resistência R é dada por −2 t   V 2 RC ( ) ( ) pR t = R i t = R  e  R . 2. V 2 −RC4t = e R. A energia dissipada na resistência é obtida pela integração da potência dissipada. = WR ( ∞ ) =.  −1 CV 2 e 4 1 CV 2 4. ∞. −4 t RC. ∞.  0. =. −1 CV 2 [ 0 − 1] 4. Observar que a energia dissipada não depende do valor de R. Em outras palavras, o “custo” de transferir instantaneamente carga de um capacitor para o outro é constante (não depende do valor de R) e igual à metade da energia inicial. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. −4 t. 2 V WR ( ∞ ) = ∫ pR ( t ) dt = ∫ e RC dt = 0 0 R −4 t ∞  −4  V 2  − RC  ∞  −4  −RC4t −1 = CV 2 ∫  e RC dt =   ∫0   e dt =  0  RC  R  4   RC  4 ∞.

(16) Exercício (suposto paradoxo) A tensão final nos capacitores é dada por. ∞. 2x  −RC  −2 x ∞ ∞  −V  1 1 V e −   +V v1 ( ∞ ) = ∫ [ −i ( x )] dx + v1 ( 0 ) = ∫  e RC  dx + V = − 2 C 0 C 0  R RC  RC  0  =V. ∞. 2x  −RC  V V V v1 ( ∞ ) = e  0 + V = [ 0 − 1] + V = 2 2 2. ∞. 2x  −RC  V − −V [ 0 − 1] = V v2 ( ∞ ) = e  0 = 2 2 2. A energia inicial e final nos capacitores é dada por WC1 ( 0 ). =. 1 CV 2 2. WC 2 ( 0 ) = 0. 2. =. 1 V  C  2 2. WC 2 ( ∞ ) =. 1 V  C  2 2. 2. WC1 ( ∞ ). =. 1 CV 2 8 1 CV 2 8. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. ∞. 2x  −RC  −2 x ∞ ∞ V  V e 1 1   v2 ( ∞ ) = ∫ [i ( x )] dx + v2 ( 0 ) = ∫  e RC  dx + 0 = −2  C 0 C 0 R  RC  RC 0 =0.

(17) Exercício (suposto paradoxo) – resultado 1/2 Resultado via Microcap: aula23c.cir. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. . ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I.

(18) Exercício (suposto paradoxo) – resultado 2/2 Resultado via Microcap: aula23c.cir. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. . ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I.

(19) Verificar como fica a solução deste suposto paradoxo (em termos de energia) quando os capacitores possuem diferentes capacidades e/ou carregamentos diferenciados: . . capacitores diferentes (C e 2C, por exemplo); carregamento diferenciado (um carregado com V e outro com 2V); capacitores diferentes e carregamento diferenciado. ENG04030 - ANÁ ANÁLISE DE CIRCUITOS I. SHaffner2010 – haffner@ieee.org. Exercício proposto (suposto paradoxo).

(20)