Publicações do PESC Fatores de Aceleração no Problema de Particionamento não Ponderado

FATORES DE ACELERAÇXO NO PROBLEMA DE PARTI C 1 ONAMENTO NXO PONDERADO

Marco Cesar Goldbarg

Tese submetida ao corpo docente da Coordenação dos Programas; de Pós-Graduação em Engenharia da U n i versi dade Federal do Rio de J a n e i r o como p a r t e dos r e q u i s i t o s necessários para a obtençzo do grau de Doutor e m CiBncias em Engenharia de Si stemas e Computação Aprovada por R u y E d u a r d o C a m p e l l o , D. Sc. N e l s o n Maculan F i l h o , D . S c . J a y m e L u i z S z w a r c f i t e r . Ph.

D.

D i n a F e i g e n b a u m C1 eiman, D. Sc

.

Clóvis P e r i n F i l h o , P h . D R I O DE JANEIRO, R J -

BRASIL

DEZEMBRO DE 1990

GOLDBARG

, MARCO CESAR

Fatores de Acel er ação no Pr obl em de

Par ti c i onamento Não Ponderado C R i o de Janei r o I 1 990

X X I I

,

175 p, 29.7 cm CCOPPE/üFRJ,

D.

Sc.

,

Engenharia de Si stemaã e Computação, 19903

Tese

-

Universidade Federal do Rio de Janeiro,

COPPE

1. Otimização Combinatória; Programação I n t e i r a ; P a r t i c i onamento Não Ponderado ; Enumeração I mpl i c i t a ; Cortes Combi n a t ó r i os ; I nequações E1 ementar es

, Reduções Não

C1 á s s i cas

,

A i gor i tmos H1 br i dos de Sol ução ;

i i i

A L a n a , Mara, L e o n a r d o , Wbùra e

i v

AGRADECI

MENiOS

A s o b r a s humanas, a p e s a r d e m u i t a s v e z e s s e r e m a s s i n a d a s por uma s6 mão, s ã o e l a b o r a d a s , na v e r d a d e , por v á r i a s .

Ao p r o f e s s o r Ruy Eduardo C a m p e l l o , mais que um o r i e n t a d o r , um amigo com quem sempre pude c o n t a r nos momentos mais d i f i c e i s e t r a b a l h o s o s d e s s a j o r n a d a d e 5 a n o s , o meu profundo e s i n c e r o agradecimento.

Ao p r o f e s s o r N e l s o n Maculan p e l a c o n f i a n ç a e a p o i o d i s p e n s a d o s , s e m o s q u a i s , t e n h o c e r t e z a , esse t r a b a l h o não t e r i a t i d o o mesmo desfecho.

A p r o f e s s o r a D i n a F. C l e i m a n p e l a orientaçZío e s u g e s t õ e s no Exame d e Q u a l i f i c a ç ã o s o b r e O Problema d e Matching e e s p e c i a l a t e n ç 3 o r e c e b i d a a o l o n g o d e t o d o o c u r S O .

A p r o f e s s o r a Nair Maria M. d e Abreu p e l a s s u g e s t e e s e o r i e n t a ç ã o no Exame d e Qualificaçâ-o s o b r e O P r o b l em d e Roteamento.

Aos p r o f e s s o r e s J a i m e L u i z S z w a r c f i t e r e C l ó v i s P e r i n F i l h o p e l a p a r t i c i p a ç ã o na banca d e tese.

Aos meus amigos p e l o esti mul o. Aos meus p a i s p e l o exemplo.

Aos meus h e r ó i c o s f i l h o s e e s p o s a d e p a i e marido e s t u d a n t e , p e l a compreensão e a p o i o .

Ao Senhor

Deus,

a quem t u d o devo, agradeço p e l a benção a d i c i o n a l d e poder c o n v i v e r com t o d a s e s s a s p e s s o a s e m c i r c u n s t a n c i a s t ã o p r o p i c i a s a aprendizagem.

Resumo da Tese apresentada à COPPEAJFRJ como p a r t e dos r e q u i s i t o s necessários para a obtenção do grau de Doutor e m

CiQncia CD. Sc.3

FATORES DE ACELERAÇXO NO

PROBLEMA

DE

PARTICIONAMENTO NXO PONDERADO

Marco Cesar Goldbarg

O r i entador : Ruy Eduardo Campel 1 o

Programa : Engenharia de Sistemas e Computação

E

desenvolvido u m estudo de t é c n i c a s que permitem a redução da Arvore de Enumeração do Problema de Particionamento Não Ponderado C P P W e sua aplicaç%o na Acel e r ação de A l gor i tmos

Hi

br i dos de Enumer aç3o I mpl i c i ta\Cor tes Combi natór i os.

Com supor t e no levantamento das 1

-I

nequações E1 ementar e s do pr obl ema são i denti f i cadas duas novas Reduções de complexidade polinomial e m tempo para o C P P W e u m Fator de Acel er ação

Fundamentado e m c r i t & r i os asãoci ados a organização e m "Stair Case" e no Controle da Viabilidade Prima1 da Enumeração são elaborados t r ê s Fatores d e Acel er ação.

São levantados c r i t é r i o s para a fixação de var i ávei s em a1 gor i tmos do ti po "Br anch-and-Bound" que maximizem o e f e i t o dos Fatores de Aceleração.

Compondo os Fatores de Aceleração é

Acelerada para o b t e n ç ã o , d e forma e f i c i e n t e . d e "Bounds" d e e 1 evada qual i dade.

Fi na1 mente um novo A i g o r i t m o

Hi

b r i d o E . I . / C o r t e s Combinatórios é p r o p o s t o para o CPPM e a v a l i a d o a t r a v & s d e u m experimento computacional.

v i i

A b s t r a c t of T h e s i s p r e s e n t e d t o COPPEAJFRJ a s p a r t i a 1 f u l f i l m e n t of t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e Doctor of S c i e n c e CD.

S c . 3 degree.

ACCELERATION FACTORS FOR THE

MINIMUM CARDINALITY SET

PARTI

T I

ONI

NG PROBLEM

R e d u c t i o n t e c n i q u e s on t h e s e a r c h tree f o r t h e s o l u t i o n of t h e Minimum C a r d i n a l i t y Set P a r t i t i o n i n g Problem CMCSPP3 and i t s a p p l i c a t i o n s t o s p e e d up a n Hybrid Al gor i thm combi n i ng I mpl i c i t Enumerati on and Combi n a t o r i a1 C u t t i ng P l a n e s have been s t u d i e d .

From t h e 1-Elementary I n e q u a l i t i e s two new p o l i n o m i a l t i m e r e d u c t i o n ã and a F a c t o r of A c c e l e r a t i o n f o r d e CMCSPP3 a r e f ound. F o l l o w i n g t h e s t a n d a r d S t a i r C a s e Format S t r u c t u r e amended w i t h Pr i m a l F e a s i b i 1 i t y C o n t r o l t h r e e A c c e l e r a t i o n F a c t o r s are d e f i n e d . C r i t e r i a f o r f i x i n g v a r i a b l e s i n a Branch-and-Bound a l g o r i t k m s o as t o maximize t h e s t r e n g t h of t h e A c c e l e r a t i o n F a c t o r s are i n v e s t i g a t e d . The A c c e l e r a t i o n F a c t o r s a r e t h e n embedded i n a n Hybrid H e u r i s t i c A l g o r i t h m p r o v i n g h i g h q u a l i t y bounds w i t h good c o m p u t a t i na1 p e r f o r mance.

F i na1 l y a new Hybri d A l g o r i thm f o r CMCSPP3 i s propoãed and i t s b e h a v i o r i s e v a l u a t e d by a c o m p u t a t i o n a l e x p e r i ment

.

vi

ii Í NDI CE CAPTTULO I

.

INTRODUÇÃO

...

1

. . .

1.1

.

OTIMIZAÇXO COMBINAT6RIA 1

. . .

1.2

.

UMA

VISÃO GERAL DA TESE 2 1.3

.

NOTAÇÃO

E

D E F I N I Ç õ E S BASICAS

. . .

3

1.3.1

.

CONCEITOS EM 0 . C

. . .

3

1.3.2

.

CONCEITOS GERAIS EM TEORIA DOS GRAFOS

. . .

5

1.3.3

-

CONCEITOS GERAIS EM ALGEBRA BOOLEANA

. . .

8

1.4

-

OS

PROBLEMAS DE "PACKING" COBERTURA E PARTICIONAMENTO

. . .

14

. . .

CAPf TULO I I O PROBLEMA DE PARTICIONAMEJUO 17

. . .

2.1

.

INTRODUÇXO 17

. . .

2 . 2

.

O PROBLEMA DE PARTICIONAMENTO 2.2.1 . FORMULAÇÃO C L m C A

. . .

2.2.2 . FORMULAÇXO

DO

PARTI C1 ONAMENTO EM GRAFOS

. . .

19

2.2.3

-

FORMULAÇÃO BOOLEANA DO PARTI C1 ONAMENTO

. . .

21

2.2.4

-

FORMULAÇÃO

DO

CPPD EM REDES GENERALIZADAS

. . .

23

2.3

-

TRANSFORMAÇõES

DO

PARTICIONAMENTO

. . .

27

2.3.1

-

TRANSFORMAÇÃO DO C PP3 EM UM PROBLEMA DE RECOBRIMENTO CPIU V I A PONDERAÇÃO DO VETOR CUSTO

. . .

27

2.3.2

-

TRANSFORMA(JÃ0

DO

C P P 3 EM UM PROBLEMA DE

. . .

RECOBRI MENTO C PIU COM R E S i R I ÇÃO ADI C1 ONAL 33 2.3.3

-

TRANSFORMAÇÃO

DO

C PPN3 EM UM C PIU COM VALOR 6TI MO CONHECI DO

. . .

34 2.3.4 - TRANSFORMAÇÃO

DO

C P P 3 EM PACKI NG V I A

PONDERAÇÃO DO VETOR CUSTO

. . .

35

2.3.5

-

TRANSFORMAÇÃO

DO

C PPN3 EM UM PACKI NG COM VALOR bTIMO CONHECI DO

. . .

36

2 . 4

-

ABORDAGENS PARA A SOLUÇÃO DO CPP3

. . .

36

. . .

2.4.1

-

METODOS EXATOS 37 2.4.2

-

METODOS HEURI STI

COS

. . .

38

2 . 5

-

ALGORITMOS DE SOLUÇÃO

. . .

38

CAPITULO I11 REDUÇõES NÃO-CLASSI CAS PARA O PARTICIONAMENTO

. . .

41

3.1

.

INTRODUÇXO

. . .

41

3.2

.

REDUÇtXS CLASc;ICAS DO C PP3

. . .

41

3.2.1

.

REDUÇBES L6GICAS

. . .

42

3.2.2

-

REDUÇBES POR PENAL1 DADES

. . .

43

3.3

-

REDUÇõES NÃO CLASSICAS

. . .

85

3.3.1

-

REDUÇõES DE BALAS

. . .

45

. . .

3.3.2

-

EQUI VALENCI A DAS 1 -I NEQUAÇBES ELEMENTARES 46 3.3.3

-

GRAFO DE IMPLICAÇÃO REDUZ DO

. . .

47

3.3.4

-

REDUÇBES AVANÇADAS T I P O I

. . .

48

3.3.5

-

REDUÇBES AVANÇADAS T I P O I1

. . .

49

3.3.6

-

EXEMPLO NUMERI C 0 1

. . .

50

3.3.7

-

RESULTADOS COMPUTACI ONAI S

. . .

53

CAPITULO I V PROCESSOS PARA SOLUÇÃO

DO

CPP) V I A ACELERAÇÃO DA ENUMERAÇÃO I MPLI C1 TA

. . .

58

4.1

-

INTRODUÇXO

. . .

58

4 . 2

-

I NEQUAÇBES ELEMENTARES COMO FATOR DE ACELERAÇXO DA E . I . CFATOR-13

. . .

61 4 . 3

-

INFLUENCIA DO CONTROLE DE VIABILIDADE PRIMAL

NA E . I . CFATOR-23

. . .

64 4 . 3 . 1

-

CONTROLE DE VIABILIDADE PRI

MAL

. . .

65 4 . 3 . 2

-

ALGORITMO DE E . I . COM CONTROLE DE

. . .

VI ABI L I DADE 66

4 . 4

-

INFLUENCIA DA ORGANIZAÇÃO DA MATRIZ A NA E

.

I

.

4 . 4 . 1

-

ORGANIZAÇÃO DO STAIR CASE POR

. . .

CARDINALIDADE DE NK 68

4 . 4 . 2

-

"STAI R CASE" COM PATAMARES DETERMI NANTES

. . . .

68

4 . 4 . 3

-

LIMITES ADICIONAIS PARA O CPPN3 VIA E . 1

. . .

75 4 . 4 . 4

-

"STAI R CASE" PARCI ALENTE DETERMI NANTE

4 . 4 . 5 - L I M I T E S OBTIDOS DA ORGANIZAÇXO EM PATAMARES CONDI C1 ONALMENTE DETERMI NANTES

. . .

CFARTOR-43 81

4 . 4 . 6

-

REGRAS PARA" O BRANCH-AND-BOUND EM

. . .

ORGANI ZAÇÃO C PPD3 /C PCD3 84

4 . 4 . 7 - L I M I T E S OBTIDOS DA ORGANIZAÇÃO EM PATAMARES PARCI ALENTE DETERMI NANTES

ADENS

ADOS

. . .

87 4 . 4 . 8

-

CRI TER1 OS PARA A ESCOLHA DAS VARI AVE1 S DE

"BRANCH"

. . .

90

4 . 5

.

ALGORI TMO DE ENUMERAÇÃO COM CONTROLE DE

VIABILIDADE PRIMAL E LIMITES ESPECIALIZADOS

. . .

84 4 . 6

.

UM ALGORITMO COM FATOR DE ACELERAÇÃO. CONTROLE

DE VIABILIDADE E LIMITES ESPECIALIZADOS

. . .

96

. . .

4 . 7

.

RESULTADOS COMPUTACIONAIS 87

4 . 7 . 1

-

CONTROLE DE VI ABI L I DADE PRI

MAL

C FATOR-23

. . . .

88

. . .

4 . 7 . 3

-

BOUND I MPLÍCITO PARA PCD CFATOR-43

. . .

100

4 . 7 . 4

-

FECHOS LõGI COS C FATOR-1

>

. . .

100

CAPITULO V CORTES COMBINATõRIOS PARA A SOLUÇÃO DO CPPN3

. . .

117

. . .

5.1

.

INTRODUÇÃO 117 5

.

2

.

CORTES COMBI NATõRIOS BASEADOS EM I NEQUAÇBES VALIDAS

. . .

120

5.2.1

-

FUNDAMENTOS TEõRI COS

. . .

120

5 . 2 . 2

-

EXEMPLO NUMÉRICO 3

. . .

125

5.2.3

-

PROCEDI MENTO I PARA FORTALECI MENTO DE INEQUAÇBES

. . .

126

5 . 2 . 4

-

EXEMPLO NUMERICO 4

. . .

127

5 . 2 . 5

-

PROCEDI MENTO I I PARA FORTALECI MENTO DE INEQUAÇSES

. . .

128

. . .

5 . 2 . 6

-

EXEMPLO NUMERICO 5 128 5.2.7

-

COMPONDO I NEQUAÇBES DO T I P O 1: PROCEDIMENTO I

. . .

129

. . .

5.2.8

-

EXEMPLO NUMERICO 130 5 . 2 . 8

-

COMPONDO I NEQUAÇBES DO T I P O 1: PROCEDIMENTO I1

. . .

131 5.2.10

-

EXEMPLO NUMERICO 7

. . .

132 5.2.11

-

COMPONDO INEQUAÇBES DO T I P O 2

. . .

133 5 . 2 . 1 2

-

EXEMPLO N W R I C O 8

. . .

134

5.3

-

ALGORITMO

M

BRIDO E

.

I

.

/CORTES COMBINATõRI OS

. . . .

135

5.3.1

-

FUNDAMENTOS TEõRI COS

. . .

135

. . .

5.3.2

-

ALGORI TMO

H1

BRI DO 139

. . .

CAPITULO VI CONCLUSES

. . .

156

. . .

6 . 1

.

REDUÇC1IES AVANÇADAS 156

6 . 2

.

FATOR 2 DE ACELERAÇÃO C VIABILIDADE PRI

MAL)

. . . 156

6 . 3

.

FATOR 3 DE ACELERAÇÃO C O r g a n i z a ç ã o e m PCD3

. . . 157

6 . 4

.

FATOR 4 DE ACELERAÇÃO CBound i m p l l c i t o para

PCDI

. . .

157

6 . 5

.

FATOR 1 DE ACELERAÇÃO C F e c h o s L r 5 g i c o s )

. . .

158 6 . 6

.

PROCEDIMENTO HEURI STI C 0 K-PROFUNDO

. . .

1 5 8

6 . 7

.

ALGORI TMO

Hf

BRI DO ENUMERAÇXO ACELERADAKORTES

. .

1 58

6 . 8

.

ESTUDOS SUBSEQUENTES

. . .

160

1

CAPÍTULO I

1 - 1

-

OTI MIZAÇÃO COMBI NAT6RIA

Problemas que procuram maximizar ou minimizar uma função de uma ou mais var i ávei s C ou mesmo f unções3

, onde

a s v a r i á v e i s Cou funções3 e s t ã o s u j e i t a s a determinadas r e s t r i ç õ e s , são chamados de Problemas de Otimização.

A F í s i c a e a Matemática foram a s primeiras c i 9nci a s que constataram a necessidade de solucionar t a i s problemas, de forma que já há quase 170 anos foram desenvolvi das t é c n i c a s para o Cdlculo Diferencial e Cálculo Variacional

.

No últimos 40 anos, com o progresso tecnológi co, s u r g i r am di versos problemas que a r t é c n i c a s c1 A s s i c a s do c á l c u l o não podiam solucionar conveni entemente.

Essa nova c l a s s e de problemas, denominada correntemente como Programação Matemática, aborda si tuações conf 1 i t a n t e s de a1 ocação d e recursos na i n d ú s t r i a , d i s t r i b u i ç ã o de meios e mat&rias primas, organização de p l a n t a s i n d u s t r i a i s e t c

,

onde são observadas c e r t a s r e s t r i ç õ e s de di sponi bi 1 idade, tempo, sequenciamento, e t c . E s s e s problemas possuem intrinsecamente u m grande i n t e r e s s e pois s ã o associados a importantes s i t u a ç õ e s ocorridas na i n d ú s t r i a , t r a n s p o r t e . com&rcio, governo e Area m i l i t a r .

A Otimização CombinatBria CO. C3 compreende a p a r t e da Programação Matemática que aborda a solução de

problemas que possuem uma pronunciada e s t r u t u r a combinatóri a ou d i s c r e t a . D e f a t o , a grande maioria dos problemas de programação matemática se não s ã o inteiramente de O.C.

possuem uma f o r t e i n t e r f a c e com a matéria, englobando d i s c i p l i n a s como a Programação I n t e i r a . Teoria dos Grafos

e

ainda p a r t e da Programação Linear, Não-Linear, Programação D i n A m i c a . Programação Heuristica e t c .

Nos filtimos anos u m substancial esforço vem sendo di r e c i onado ao aper f ei çoamento de técni cas pr 6pr i a s à

solução d e problemas nessa á r e a , especialmente e m virtude do desenvolvimento de computadores d i g i t a i s que vi abi 1 izaram o tratamento de problemas de grande porte.

0 s o b j e t i v o s maiores das a t u a i s pesquisas em O. C. s ã o os de alcançar o desenvolvimento de Algoritmos E f i c i e n t e s . Entende-se por um Algoritmo E f i c i e n t e aquele que pode s e r executado e m tempo polinomial e m relação ao tamanho da entrada de dados C ver Garey e Johnson C 19793 3

.

-

1 . 2

-

UMA VIS30 GERAL DA

TESE

No contexto dos a t u a i s o b j e t i v o s das pesquisas d e O.C. i n c l u i - s e e s t a t e s e , cujo escopo é

contribui r para o aperfeiçoamento dos a1 gori tmos para o Problema de Particionamento C PP2.

A tese é c o n s t i t u í d a de seis c a p í t u l o s .

No capl t u 1 0 I sZo apresentadas a s definições básicas e a notação que s e r a u t i l i z a d a no trabalho.

O capi t u 1 0 I1 desenvolve uma visão geral sobre o Pr obl ema de Par ti c i onamento descrevendo a s

f o r m u l ações e abordagens de s o l ução mai s recentes

.

No c a p i t u l o I11 s ã o d e s c r i t a s a s Reduções Clássicas para o CPP3 e &apresentada uma nova s é r i e de Reduções Associadas à Análise Lógica do Problema.

O c a p i t u l o I V aborda a Aceleração de Algoritmos de EnumeraçIo I m p l í c i t a para o CPP3 e CPPN3.

O c a p i t u l o V desenvolve Algoritmos Híbridos

baseados em Cortes Combinatórios

,

um Pivoteamnto

Especialf zado para o C PP3 e Enumeração Impli c i t a Acelerada, objetivando a solução exata do CPPN3. Nesse capi tu10 é também apresentado u m e f i c i e n t e Procedimento Heuristico para a obtenção de soluções v i á v e i s para o CPPN)

.

Finalmente o c a p i t u l o VI resume a s P r i n c i p a i s Conclusões obtidas ao longo do desenvolvimento do t r a b a l h o de pesquisa.

1 .3

-

NOTAÇXO E

DEFINI

ÇõES

B6SI

CAS 1 . 3 . 1

-

CONCEITOS GERAIS EM O. C.

Um problema de programação l i n e a r é u m

problema combi natór i o que pode s e r f o r m u l ado da segui n t e

f o r ma:

C PPL3 Maximizar

cx

S u j e i t o

A:

Onde c e x s ã o n-vetores, b u m m-vetor, e a matriz A = Ca..] é m x n.

r J

A s colunas de A s e r ã o notadas por a , j

j = l , 2 , .

. .

, n , e as l i n h a s por 1. i = 1 , 2 , .

.

,m.

L

Caso s e j a n e c e s s á r i o q u e o s v a l o r e s d e sol uqão pertençam a o Conjunto d o s I n t e i r o s P o s i t i v o s , d e f i n e - s e um Problema d e Programação I n t e i r a C PPI 3 , conforme a b a i xo f o r mul ado: S u j e i t o à: Como

zrn

₊ c

IRrn,

₊ CPPL3 r e p r e s e n t a uma r e l a x a ç ã o d e CPPII na e x i g ê n c i a d e x p e r t e n c e r a o c o n j u n t o dos i n t e i r o s p o s i t i v o s . A f u n ç ã o c x é chamada Função O b j e t i v o , a

m a t r i z A é denominada Matriz d a s R e s t r i ç õ e s e o v e t o r b Termo I n d e p e n d e n t e .

Qualquer x t a l que A x S b e x I 0 , &

denominado S o l u ç ã o V i Ave1 d e C PPL3

.

O con j u n t o d a s s o l uções v i A v e i s d e CPPL3 c o n s t i t u e o P o l i e d r o CP3 a s s o c i a d o a o Pr o b l @ m a L i n e a r

.

Um Ponto Extremo o u V é r t i c e x d e P é um e l e m e n t o d e P que não pode ser e x p r e s s o como:

2 2

hxi

+

C1-h3 x

,

com X 4 0 . 1 3 e xi, x #x.

Fazendo C r e p r e s e n t a r a c o l e ç ã o d e t a i s v e t o r e s e m P, uma Combinação Convexa d e e l e m e n t o s d e C é um v e t o r t a l que: onde I é um c o n j u n t o f i n i t o d e í n d i c e s , h. I 0 p a r a L i ,

2

hi = 1 e xie C p a r a id. i I D e f i n e - s e a E n v o l t ó r i a Convexa d e C ou

convCC3 como o Conjunto d e t o d a s a s CombinaçTles Convexas d o s v e t o r e s d e C. Um problema d e programação Limitado se e x i s t e uma c o n s t a n t e k t a l q u e t o d a a s o l u ç ã o v i & v e l x. Pode-se i g u a l m e n t e d e f i n i r l i n e a r é d i t o um P o l i e d r o , denominado P I , a s s o c i a d o a o CPPI3 como o c o n j u n t o d a s s o l u ç õ e s v i Aveis p a r a o CPPI3

.

De forma s e m e l h a n t e d e f i n e - s e a Envol t b r i a Convexa d o C PPI 3 como c o n d x

I

x E

21.

Ax 5 b3. Como t o d a s o l u ç ã o v i á v e l p a r a o CPPI3 é também v i á v e l p a r a CPPL3 e a r e c i p r o c a n ã o é v e r d a d e i r a , P I é e s t r i t a m e n t e c o n t i d o e m P. I n t e r e s s a n t e s si tu a ç õ e s s ã o d e f i n i d a s quando PI c o i n c i d e com P, o q u e s i g n i f i c a d i z e r q u e , p a r a d e t e r m i n a d a s i n s t â n c i a s d o pr o b l e m , t o d o s o s p o n t o s e x t r e m o s d e P p o d e r ã o p o s s u i r c o o r d e n a d a s i n t ei r a s . Uma d a s si tual;ões m a i s c o n h e c i d a s e m q u e t a l f a t o o c o r r e é quando a m a t r i z d e r e s t r i ç õ e s do problema é

Totalmente Unimodular e o v e t o r b é i n t e i r o Cver teorema d e Hoffman e Kruskal e m Truemper C 1 9 7 6 1 3.

Definição 1: Uma m a t r i z A é d i t a Unimodular quando p o s s u i s e u d e t e r m i n a n t e i g u a l a +1, O ou -1.

Definição 2: Uma m a t r i z ünimodular é d i t a Totalmente Unimodular se e somente se t o d a submatriz quadrada d e A p o s s u i r o d e t e r m i n a n t e i g u a l a +i, O ou -1.

1 .3.2

-

CONCEI TOS GERAI S EM TEOR1 A DOS GRAFOS

Um Grafo Orientado G=CN,A3 c o n s i s t e d e um c o n j u n t o N d e nós e um c o n j u n t o A d e a r c o s . Os a r c o s s ã o

p a r e s o r d e n a d o s C i , j 3 o n d e i e j E N e i é a o r i g e m d o arco e

j a s u a e x t r e m i d a d e .

Uma Matriz d e Incidência A d e G é d e f i n i d a

I c o m o : 1, se o n ó i B a o r i g e m d o arco j a . = 1-4

,

se o nó i é a e x t r e m i d a d e d o arco j L J O , Caso C o n t r á r i o A m a t r i z A é T o t a l m e n t e U n i m o d u l a r Cver T r u e m p e r C 19763 3 . Se G=CN.A3 é um G r a f o O r i e n t a d o , um C a m i n h o e n t r e d o i s v é r t i c e s d i s t i n t o s d e G, s e t é uma c o l e ç ã o d e arcos €e , e

,.

. .

, e 3 t a i s q u e e i = C ni

,

ni+%3 p a r a

i 2 P-i

i =l ,2,.

. .

,

p-1 e ni#n _k sempre q u e i #k

,

c o n s i d e r a n d o - s e a i n d a n =â e n =t.

i P

Um C i r c u i t o e m G é uma

coleção

d e arcos C e i , e 2 , .

.

.

, e , e 3 t a i s q u e e.=Cn P-1 P r p * n i 3 Um G r a f o G é d i t o A c i c l i c o se não contém nenhum C i r c u i t o . Denomina-se um C o r t e e m G, C X . X3, onde

Z ~ W ,

o c o n j u n t o

C

=€e = Cn , n 3 E A

I

ni E X , n E

N U > .

S i 2 2 Um g r a f o G=CV, E3 é d i t o N ã o - O r i e n t a d o quando c o n s t i t u i d o por um c o n j u n t o d e v & r t i c e s V e um c o n j u n t o d e arestas

E

e por p a r e s não-ordenados Cu, v3 onde u e v&.

Um L a ç o é uma a r e s t a q u e p o s s u i i n i c i o e f i m n o mesmo v é r t i c e ou n6. No p r e s e n t e t r a b a l h o , s a l v o o b s e r v a ç ã o e m c o n t r á r i o , G & d e f i n i d o como um g r a f o s e m 1 aços. D o i s v é r t i c e s ou n ó s u e v s ã o a d j a c e n t e s se e x i s t i r uma a r e s t a ou a r c o e=Cu,v>.

Duas arestas, e

, e

são d i t a s a d j a c e n t e s se

possuem um v é r t i c e

e m

comum.

Em um Grafo Orientado o Sucessor d e um v é r t i c e n. é t o d o n q u e seja extremidade f i n a l d e um a r c o L j q u e p a r t e d e n.. O Conjunto d e Sucessores d e n. é e x p r e s s o L p o r f c n . 3 , ou seja: r + c n . > = € n

1

3 Cn.,n.3 e

a>

J L J O Antecessor d e ni é t o d o n j q u e seja

extremidade i n i c i a l d e um arco q u e termina e m n . , o Conjunto J

d e Antecessores d e

n

é e x p r e s s o por r-cni3. ou s e j a : r - c n . 3 = € n .

1

3 Cn.,n.3 E A)

J J L

h

O Fecho Transitivo Direto r + c n . 3 d e um v e r t i c e n i é o c o n j u n t o d e t o d o s os v é r t i c e s q u e podem ser

a t i n g i d o s a p a r t i r d e n . .

L

Consi d e r ando:

O Fecho Transitivo Inverso ? - c n . 3 d e um

L v & r t i c e n é o c o n j u n t o d e t o d o s os v é r t i c e s a p a r t i r dos i q u a i s se pode a t i n g i r n e m um número q u a l q u e r d e e t a p a s , ou i seja:

Denominando por .S um s u b c o n j u n t o d e V, ECS3 r e p r e s e n t a o c o n j u n t o d e arestas ou arcos q u e possuem ambas as e x t r e m i d a d e s e m S. ECS3 = <e e E

1

e Ç S)

Gs=CS,ECS)3 é denominado Subgrafo d e G induzido por S.

Denominando por d Ci3 o número d e a r e s t a s d e

S i n c i d e n t e s no nó i

, e n t ã o :

Um s u b c o n j u n t o

M

E E e m q u e dMCi3 I 1 p a r a

V i e V 9 chamado 1-Matching e m G.

P a r a o c a s o onde dMCi3 5 bis onde b. é um i n t e i r o p o s i t i v o , e n t ã o p a r a b = Cb

,.

.

.

, b 3 , M é denominado

i m

um b-Matching se dMCi) 5 b. p a r a Vi 'i V.

O problema d o Matching Máximo é o d e

*

d e t e r m i n a r e m G um Matching de Máxima Cardinalidade

M

.

D e f i n i n d o

U

como o c o n j u n t o d e t o d o s os Matchings s o b r e G e UCM) como o c o n j u n t o d e n ó s s o b r e os

*

q u a i s n ã o i n c i d e aresta e m M. e n t ã o , quando

U C M

=O,

M*

B d i t o Perfeito ou 1-Fator d e G.

D e uma f o r m a g e r a l pode-se a s s o c i a r um c u s t o ou p e s o c . a c a d a aresta e . d e G. Desse modo d e f i n e - s e o p e s o

J J

d e um Matching

M,

wCW, como a soma d e t o d o s os p e s o s d a s a r e s t a s q u e compõem o Matching

M.

Um Matching

M*

B chamado Matching d e P e s o Mbximo se:

*

w C M 3 2 wCM3 p a r a todos os m a t c h i n g s

M

Uma m a t r i z de Incid&ncias d e um Grafo Não-Orientado é d e f i n i d a c o m o se s e g u e :

1 , se a aresta j é i n c i d e n t e no v é r t i c e i a i j

= {

O, Caso C o n t r A r i o

1 . 3 . 3 - CONCEITOS GERAIS

E M

ALGEBRA BOOLEANA

Seja U3 = C0,1>. P a r a c a d a x E E3 d e n o t a - s e por

Para

t o d o x , y E iB d e n o t a - s e a d i s j u n ç ã o

de

x

e

y por

x

v

y, d e f i n i d a c o m :

S â o comumente u t i 1 i z á d a s as s e g u i n t e s p r opr i e d a d e s d a s vár i Avei s bool e a n a s :

x V y =

O

se e somente

se

x=y=O CLei d e Horgard CLei d e Morgad CLei d e Morgard C d u p l a negação) x I y se e somente se xy

=

x

x

<

y

se

e somente se

e

=

O

-

x

= y

me

e

somente se

_v

_xy

₌

O

Uma

f u n ç ã o fCx*..

. .

.

x,3 c u j a s v a r i a v e i s pertencem á IB 14 denominada f u n ç ã o Boolèana. Como um exemplo

d e s s a funç%o t e m - s e : x V y V

z ,

x V y z , etc.

Considerando [B" o n p r o d u t o c a r t e c r i a n o d e IB

por iB e n t ã o f . B"--4B. P a r a o caso e m q u e f . iBn-R

denomina-se a f u n ç ã o fCxd..

. .

,

x 3 d e Função Pseudo-Booleana.

n

Se p a r a q u a i s q u e r v a l o r e s x

*..

.

-

.Xn.

constante.

Se para quaisquer valores x a,

-

. .

. X

n

fCxí,.

. .

,xn3 = xi para algum i , i =l então f á uma função bool eana di t a função projeção

Se f e g são funções booleanas, então h e k

def i n i das por :

~ C X ~ , .

. .

,xn3 = ~ C X ~ , .

. .

"n 3 + gcxí..

. .

.xn3 e kCxí,.

. .

,xn3

=

fCxí,.

. .

.xn3 gCxí,.

.

.

.xn3 para todos os xí

,

. . . ,

x

,

são funções bool eanas.

n

Se f á uma função booleana, então g definida por gCx

í.

.

.

.

,xn 3 = fCxí

. . . .

3 para todos os xí

, . . .

@ xn

,

"n

4 um3

f unção bool eana.

Qualquer função construida por um n6mero

f i n i t o de aplicações das regras anteriores C- uma função

bool eana.

As vari Aveis x

e

%

são chamadas de Literal x. Um produto f i n i t o de l i t e r a i s 9 denominado Conjunção

E1 ement

a r .

Pode-se notar uma conjunção elementar C da seguinte forma:

u

C = l i x . j C 063

j e J

Por convenção considera-se a constante i como

uma

conjunção elementar Ccom

s=m.

Uma união f i n i t a de conjunções e1 ementares E, denotada

E chamada Forma Disjuntiva ou

por :

C 073 D i r j unção. Hammer C 1 9753 demonstra que toda função booleana pode ser expressa em uma

Uma c o n j u n ç ã o e l e m e n t a r I d i t a Implicante

d e uma f u n ç ã o b w l e a n a f

Cxí.

. . .

3 se I =i i m p l i c a q u e

Xn

fCx*,.

. .

* x n 3 = l .

Um Implicante P L d i t o Implicante Prinre se

n ã o

existe

o u t r o i m p l i c a n t e P' d e f q u e contem P. i p r i m e

-

-

de f = x z

v

y 2.

mas

não &, uma v e z q u e contem

G.

Se t o d o s

os i m p l i c a n t e s d e uma f u n ç ã o b o o l e a n a f são Pí

,

.

. . ,

Pt e n t % o :

Um modo d e o b t e r - s e t o d o s

os

i m p l i c a n t e s

p r i m e d e uma d e t e r m i n a d a f u n ç ã o & a l c a n ç a d o p e l o chamado

Wtodo do Consenso.

Dadas d u a s c o n j u n ç õ e s e l e m e n t a r e s C e C * t a i s q u e e x i s t a p r e c i s a m e n t e uma v a r i i v e l Cx 3 q u e p e r t e n ç a a uma

0

dessas c o n j u n ç õ e s e s u a negação e m o u t r a , e n t ã o Cx 3 pode ser

Q

e l i m i n a d a d e C

e

c Z ~

d e C * e t o d o s

os

l i t e r a i s d e C e C'

0

podem ser r e p e t i d o s e m uma c o n j u n ç ã o a d i c i o n a l q u e L

l o g i c a m e r r t e e q u i v a l e n t e h s c o n j u n ç ã e s C e C * .

O m&todo d o c o n s e n s o c o n s i s t e e m a p l i c a r t a n t a s

vezes

q u a n t a s p o s s i v e l as d u a s o p e r ações a b a i x o :

C e l i m i n a r t o d a a c o n j u n ç ã o e l e m e n t a r q u e c o n t e n h a uma o u t r a .

C 2 3 Reunir como uma nova c o n j u n ç ã o e l e m e n t a r o c o n s e n s o d e d u a s o u t r a s c o n j u n ç õ e s e l e m e n t a r e s . Ta1

c o n j u n ç ã o não d e v e r c o n t e r nenhuma c o n j unção e1 ementar a i nda exi s t e n t e . % Todas as d i f e r e n t e s e x p r e s s õ e s o b t i d a s ao 1 ongo d e s s e p r o c e s s o r e p r e s e n t a m a m e s m a e x p r e s s ã o boa1 e a n a , e a c o n j u n ç ã o e l e m e n t a r o b t i d a ao f i n a l d o p r o c e s s o & e x a t a m e n t e uma c o n j unção I mpl i c a n t e Pr i m e . S e j a m as f u n ç õ e s

bool e a n a s

#i,

#2 a b a i xo def i n i d a s :

-

# i = x x x

x x x

r 2 9 V 4 5 6

Os I m p l i c a n t e s prime da f u n ç ã o

#,

d e f i n i d a como a conjunção d e

#

e

#

ser&:

4 2

-

-

X x X

#

#2=

X p 2 x 9 ~

X4XíX6 V 2 9 V X4

U t i l i z a n d o o mcltodo do consenso pode-se

r e u n i r

as

conjun@es e l e m e n t a r e s x x

%

e x x x

e m

uma nova

4 2 9 i 2 9

conjunçgo xix2. eliminando-se e x9. Dessa forma

t e m - s e :

9

-

# = x x X X X i 2v 4 5 6 V X 4

Eliminando

x4zsx6

que contbm x4 obtem-se a s o l u ç ã o f i n a l que i:

#

= x*x2v x4

Gbvi amente a determi nação dos i mpl i c a n t e s prime não i uma t a r e f a t ã o s i m p l e s na m a i o r i a dos c a s o s reais. N a r e a l i d a d e t a l t r a b a l h o pode e x i g i r um e s f o r ç o

computaci onal enorme, m e s m o par a f u n ç õ e s não mui t o e x t e n s a s

Cver

Hammer

C 1 8 7 3 3 3

Consi d e r ando-se a s e g u i n t e i nequaç%o:

Com x . d B C j = l r

. .

,133. A e x p r e s s ã o C063 pode

3

ser r e e s c r i t a na forma booleana como se segue:

com 1 se a ' 1 O a j

= {

j O se a ' < O j a Fazendo a =

Iaj' 1,

X = x . j n j j J

b = b'

-

C

minCa

'

' 0 3 , e n t ã o C103 poderá ser e s c r i t a como:

onde t o d o s o s a. s ã o maiores ou i g u a i s a zero. J Um s u b c o n j u n t o S d e (1

,

. .

.

,

n3 é denominado d e C o b e r t u r a d e C111 se

1

a . > b . E s s a c o b e r t u r a & . d i t a C o b e r t u r a J j €S

Minimal ou P r i m e d e C113 se não c o n t i v e r nenhuma o u t r a c o b e r t u r a d e CO83. C h a m a n d o d e S

=

<Si.

.

. .

,St> a f a m í l i a d e todas as c o b e r t u r a s m i n i m a i s d e C 1 1 3, pode-se a f i r m a r q u e se os v a l o r e s d e X p e r t e n c e m a o c o n j u n t o li3 e n t 3 o q u a l q u e r s o l u ç ã o 0-1 d e C113 d e v e r á s a t i s f a z e r a c o n d i ç ã o a b a i x o : A s o l u ç ã o r e s t r i t a 5 b e x i g e q u e alguma v a r i á v e l d e S. não p e r t e n ç a A s o l u ç ã o , d a i algum e l e m e n t o d e L

S. d e v e ser f e i t o sempre i g u a l a zero o q u e conduz a

n

X . = O,

i a r J A f u n ç ã o boa1 e a n a C X

,

. . .

,

X

3 r e p r e s e n t a d a i n p e l a equaqão C133 é denominada R e s o l v e n t e d e C123. A f u n ç ã o a. b o o l e a n a @ C , .

.

.

,

x 3 o n d e s u b s t i t u i m o s X por x. J , n j J j =l

,

. .

.

,

n , é denominada R e s o l v e n t e d e C093. A p r i n c i p a l vantagem d o u s o d o r e s o l v e n t e n a s o l u ç ã o d e s i s t e m a d e i n e q u a ç 8 e s é o f a t o d e q u e o m&todo p e r m i t e a d e t e r m i n a ç ã o d a e s t r u t u r a do e s p a ç o d e s o l u ç ã o d o s sistemas d e restrições. Dado o c o n j u n t o d e restrições r e p r e s e n t a d o e m n

Cl43. se

9.

Cxs..

. .

.xn3 d e n o t a o r e s o l v e n t e d a

iesima

L restrição, a f u n ç ã o booleana: &xs..

.

, X ~ ~ = @ ~ C X ~

,

. .

E

3".

.

d m C x s

,.

.

, x rl 3 C153 C chamada d e R e s o l v e n t e d o S i s t e m a . E c l a r o q u e se um p o n t o Cxs,

. . .

.xn3, t a l q u e

x . d .

j = l . .

. .

, n s a t i s f a z o sistema C143 J

s a t i s f a z tarnb&m a equação bool e a n a #í x*

,

. .

. ,

xr13 =O

1 . 4

-

OS PROBLEMAS DE "PACKING" COBERTURA E PARTI C 1 ONAMENTO

Sendo M =

1

.

um c o n j u n t o f i n i t o e F = €Ma,%

, . . .

. M 3 uma f a m í l i a d e s u b c o n j u n t o s d e M, uma

rl

C o b e r t u r a e m M

G

uma col eção d e F,

P Um P a r t i c i o n a m e n t o d i f e r e d e uma C o b e r t u r a P p e l o f a t o d e q u e al&m d e

U

M

(i,= M e x i g e - s e a i n d a . i = & Mj,,

n

Mjtk,= 8 V i , k = l . .

.

.

, p . N o caso d o "Packing" a c o l e ~ ã o d e F d e v e s e r , c o m o no P a r - t i e i o n a m n t o , d i s j u n t a . ou seja, Mj<i,

n

Mj*,= 8, mas a o b r i g a t b r i e d a d e d a C o b e r t w a d e M 4 r e l a x a d a p o i s P E b a s t a n t e c l a r o q u e um P a r t i c i o n a m e n t o

G

t a n t o

uma

C o b e r t u r a com

um

"Packirrg" s o b r e M

D e f i n i n d o A = C a . .I uma m a t r i z m x ri c u j a s L J l i n h a s e c o l u n a s estão a s s o c i a d a s aos c o n j u n t o s

M

e F, r e s p e c t i v a m e n t e e t a l q u e M . = C i d l a . = i 3 e M . = i i d l a .=O), os J i~ J i~ Problemas d e C o b e r t u r a CPR3, P a r t i c i o n a m e n t o CPP3 e d e

"Paçking" C P10 podem ser f o r m u l a d o s c o m o :

Onde c . 4 o c u s t o a s s o c i a d o a i n c l u s ã o d e uma J t c o l u n a a . d e A no c o n j u n t o s o l u ç ã o e e

=

C l . l

* . . .

& 1 3 . Entende-se p e l o P r o b l e m a d e P a r t i c i o n a m e n t o Não-Ponder a d o Dessa maneira Não-Ponderada E s s e problema CPPW ao caso d o CPPS onde c . = C I D l

* . . .

J pode-se f o r m u l a r o CPPW c o m o : C P P ~ M i n i m i a a r é t x S u j e i t o à: CPR3 M i n i m i z a r c x S u j e i t o 8 : A x 2 e Entende-se p e l o P r o b l e m a d e C o b e r t u r a CPRNP3 ao caso d o CPR3 onde c . = C I D I D . .

-

. 1 3 . J t e n d e a ser d e s o l u ç ã o mais d i f l c i l q u e o CPR3

Cver V a s k o C19893 e Lemke et a l . C19713 3 . Désma maneira pode-se formul ar o CPRNPS c o m o : M i n i m i z a r e t x S u j e i t o A: A x l e x . ~ C O , 1 3 j=1. . . . , n J CP1Q M a x i m i z a r cx s u j e i t o A: A x I e

Entende-se p e l o P r o b l e m a d e " P a c k i n g " Não-Ponderado CPKNP3 a o c a s o do C PK) onde c .=C1 1

,

. . -

1 3 .

J

Dessa forma pode-se formular o CPKNP3 c o m o :

O PROBLEMA DE PARTICIONAMENTO

2.1

-

I NTRODUÇZO

O Problema de P a r t i c i o n a m e n t o CPP3 é u m dos mais i n t e r e s s a n t e s problemas de Oti m i zaçãci Combi n a t ó r i a. não só pelo estfmulo i n t e l e c t u a l devido a sua complexidade computacional

,

é INP-completo CKarp C19763 3 , como pelo grande nQmero de aplicações p r á t i c a s di sponf vei S. Dentre e s s a s

apl icasões destacam-se:

1 . Designação d e T a r e f a s Cver B a l a s e P a d b e r g C19763 3 2. Aiocação d e T r i p u l a ç õ e s C ver A r a b e y r e C19693, B a l a s P a d b e r g C19763 e Marsten e MullerC1980> 3 3. Organização e m L i n h a s de M o n t a g e m Cver B a l a s e P a d b e r g C19763 3 4. C o r t e s e m Material B o b i n a d o e C h a p a s P l a n a s C ver B a l a s e Padberg C 19763 3

S. Alocação d e R e c u r s o s D i v e r s o s Cver Goldbarg

6 . P r o j e t o de C i r c u i t o s E l e t r 8 n i c o s Cver C h r i ã t o f i d e s e B r o o k e r C19763 3

7. R o t e a e n t o de Veículos e Navios Cver C u l l e n et a l . C19813, Desrosters e t al.Cl9843, B r o w n et al.Cl9873, A g a r w a l e t a l . C19893 e B o d i n C19903 3

Garcia C18803 3

8 . Análise de Amostras de Sangue Cver Nawijn

C19883 3

P O. Localização e Roteamento C v Nambiar

11. Estocagem Cver Cattrysse e t a l . C19803 3

12.Carregamento de "Pallets" Cver Dowãland

C19803 3

O presente capitulo define o CPP3 e o

Problema de Particionamento Não Ponderado CPPED

,

um

notavel caso par ti cul ar do C PP3

.

São apresentadas a s pr i nci pai s for m u l ações e

a s m a i s recentes abordagens de solução para o CPP3. Ainda neste capl tu1 o sZo desenvol vi das duas for m u l ações para o

CPPED, com o objetivo de permitir uma solução a l t e r n a t i v a

e f i c i e n t e .

2 . 2

-

O PROBLEMA DE PARTICIONAMENTO

2.2.1

-

FORMULAÇÃO CLÁSSI C A

Como f o i apresentado no

5

1 . 4 o CPP3 pode ser f o r

mul

ado como u m problema de progr amação bi val ente. Essa abordagem tem a vantagem de deixar c l a r a a s relações e n t r e o

Problema de Particionamento e os Problemas de Cobertura e de "Packing".

A solução do CPP3 em sua formulaç%o c l a s s i c a possui

,

normal mente, s é r i os probl emas num&ri cos C ver Marsten C19743 3 aâsociadoã à resolução de sua relaxação l i n e a r .

Ob j eti vando c o n t o r n a r t a i s d i f i c u l d a d e s

,

os a l g o r i t m o s q u e , d e alguma forma baseam-se n a relaxação

1 i n e a r , são conduzi d o s c o m c u i d a d o s e s p e c i a i s d e reinversão e

d e t r a t a m e n t o d a degenerescência primal Cver Orchard-Hays C19683, Marsten et a1 C19793 e Shamir C19873 3.

N o caso d o CPPN'I os problemas numéricos são

a i n d a mais s i g n i f i c a t i v o s p o i s a b u s c a d o menor numero d e c o l u n a s c a p a z d e , e m e s t r i t a i g u a l d a d e , c o b r i r t o d a s

as

l i n h a s d a m a t r i z d e restrições é equivalente a maximizar a degenerescência primal Cver Bausch C19823 e Marsten C19743 3. E s s e f a t o pode c o n d u z i r a sérias r e s t r i ç B e s à c o n v e r g ê n c i a p r á t i c a d o s a l g o r i t m o s , m u l t i p l i c a n d o os e f e i t o s d e

"Round-Off " C v e r Shami r C 19873 e Balas C 19763 3 .

N e s s e c o n t e x t o

as

f o r m u l a ç õ e s a1

t e r n a t i

v a s p a r a a o b t e n ç ã o d e s o l u ç õ e s r e l a x a d a s podem c o n s t i t u i r uma i m p o r t a n t e a j u d a n a s o l u ç ã o d o problema.

Nos próximos i t e n s serão a p r e s e n t a d a s as pr i n c i p a i s f o r mul ações d o C PP3

2.2.2

-

FORMULAÇZO DO

PARTI

C1 ONAMENTO EM GRAFOS

Seja G=CV,E3 um g r a f o c o m um c o n j u n t o de v é r t i c e s V = C v , v 2 , . . . , v n > e um c o n j u n t o d e arestas

i

r e p r e s e n t a d a s por E=Ce

,

e

,

.

.

.

,

e

>

,

onde cada aresta une d o i s

1 2 m v é r t i c e s e m G.

Uma

m a t r i z d e i n c i d ê n c i a v é r t i c e - a r e s t a A, d e f i n i d a c o m o A=Ca..l, i = 1 , 2 , .

.

.

,n e j = l , 2 , .

. .

, m da

forma q u e LJ se s e g u e : 1 , se v . é a d j a c e n t e a v . L a. . = J L J O, e m caso c o n t r a r i o

Considerando-se cada a r e s t a e . de

G

associada

J

a u m custo c.>O, o

Problema

de

Particionamento

em

Grafos

J

consiste em determinar, minimizando o custo t o t a l da solução,

um c e r t o número de subgrafos de

G

com um número f i x o de n6s. Esse problema possui u m grande número de

aplicações práticas.

O graf o G pode representar, por exempl o, u m c i r c u i t o eletrbnico, onde os vbrticeâ de

G

corresponderão aos componentes do c i r c u i t o e os arcos h s ligações. Como esses c i rcui t o s muitas vezes necessi tam ser di spostos em di versas

placas face a limitações do número de componentes por placa,

um importante probl e m 4 o de dispor os componentes em placas

de forma a minimizar o custo t o t a l das ligações e n t r e as

pl acas

.

A figura 1 representa a partição 6tima de

um

grafo em dois subgrafos de cardinalidade 4 de forma a

minimizar a soma das ligações e n t r e os subgrafos gerados.

e f

Fi gur a 1 : Par ti ci onamento em Gr af os

Os v&rtices de

G

podem igualmente representar pessoas e s e u s arcos ligações, valoradas de alguma forma,

e n t r e a s pessoas. O problema de determinar subconjuntos de

v & r t i c e s de c e r t a cardi na1 idade de forma a mi nimi zar a soma das ligações e n t r e os vbrtices de cada grupo corresponde, por

exemplo, a definição de equipes de trabalho de forma a

rni

n i

mi

zar o ef e i t o val orado pel os arcos

.

Rel atam-se a i nda outras apl icaç8es em Biologia, no "Mul

ti

-=age Cutting Stock

Problem" e t c Cver Crfstofides e Brooker C18763 e Widjaja

C19823 3 .

2 . 2 . 3

-

FORMULAÇÂIO BQQLEANA

DO

PARTI

C1

ONAMENTO

Uma

sol ução vi Ave1 para:

com x. E < 0 , 1 > , j = 1 , 2 , .

.

.

,n

J

requer que pelo menos u m x.=l corresponda a

J

esse f a t o C 283 verifica-se exatamente quando

u m a .=i. Devido a

i~

a seguinte equação

bool eana & verdadeira C ver H a m r C 19733 3 :

Para expressar o sistema Ax 1 e na forma

booleana podemos escrever a s conjunções como abaixo:

m

Pode-se dai estabel écer a f ormul ação bool eana para o C PP3 como:

CPPb3 Minimizar <ctx / fCx3 = I > C313 Diversos probl emas dessa forma são discuti dos

e sumar i zados em H d m e C 19833 e H d m e C 19843.

d i r e t a de C 283 vi a abordagem bool eana essenci a1 mente expandem fCx3 na forma Disjuntiva Normal, determinam o peso de cada termo e preservam apenas os termos de peso mínimo, obtendo, com i s s o , todas a s coberturas c5timas do problema Cver H u l m e e Baca C 18843 3.

Para expressar o sistema Ax = e na forma booleana é necessária a introdução d e v a r i á v e i s compl ementar es de model agem o que compl i ca sobr emanei r a o cá1 cul o do Resol vente.

O c á l c u l o da forma Disjuntiva Normal para a r e s t r i ç ã o C323 exemplifica e s s e f a t o

C323 é equivalente à:

Uma abordagem mais simples para o caso pode s e r obtida pela aplicação conjunta da formulação booleana em probl emas de Recobr i mento ou "Packi ng" 0/1 equi val e n t e s ao CPP3. Essa t é c n i c a s e r á demonstrada no

5

2 . 3 . 1 .

O CPP3 e diversos problemas combinatórios podem s e r formulados como Problemas I r r e s t r i t o s de função Pseudo-Booleana Cver Hammer C19753 e Hansen C19793 3 . O Particionamento pode s e r formulado como uma função Quadrática Pseudo-Booleana Cver Hammer et a l . C19813 3 e d e f i n i d o no H i per -Cubo Unitário C ver Rosenberg C 19723 3

.

Nessa abordagem e s t ã o di sponi vei s

,

par a a solução do CPP3, os métodos para resolução de problemas Pseudo-Bool eanos Não-Li near es

.

Essa abordagem permite também a obtençso de "Bounds" para o CPP3 formulado como u m problema

Pseudo-Booleano Cver Hammer et a l . C19813, Guignard e K i m C 19873

,

Michelon e Maculan C 19883 3.

2.2.4

-

FORMULAÇXO DO C PP2 EM REDES GENERAL1

ZADAS

Uma Rede G e n e r a l i z a d a é uma forma d e r e p r e s e n t a r d i v e r s o s problemas d e programação l i n e a r . Uma g r a n d e p a r t e d a l i t e r a t u r a abordando o tema d e d i c a - s e a c a s o s e s p e c i a i s onde c a d a c o l u n a d o CPPL3 p o s s u i d o i s e l e m e n t o s n ã o n u l o s , +1 e -1. E s s a c o n d i ç ã o i d e n t i f i c a problemas que s ã o denominados Problemas d e Rede C "Pure N e t w o r k

">

.

N e s s a c1 asse

s ã o i n c l u f d o s o s problemas d e F l u x o Máximo, Caminho mais C u r t o , T r a n s p o r t e e t c . A f ormul a ç ã o por Redes Gener a1 i z a d a s p e r m i t e c o n s i d e r a r o u t r o s e l e m e n t o s n ã o n u l o s e m c a d a c o l u n a d e A d i f e r e n t e s d e +1 e -1.

Uma r e d e g e n e r a l i z a d a é r e p r e s e n t a d a por um g r a f o d i r e c i o n a d o d a mesma forma q u e uma r e d e c l á s s i c a

tomando-se o s s e g u i n t e s c u i d a d o s :

Se e x i s t i r d o i s e l e m e n t o s não n u l o s e m c a d a c01 una s e n d o um d e l e s i g u a l a -1

,

pode-se formar um a r c o l i g a n d o o nó a s s o c i a d o a l i n h a d a e n t r a d a -1 com a o u t r a c o r r e s p o n d e n t e ao e l e m e n t o não n u l o , mesmo q u e d i f e r e n t e d e +l. Se ambos o s v a l o r e s são i g u a i s a -1 o a r c o pode ter

q u a l q u e r s e n t i do.

Deve-se d e f i n i r um e1 emento a d i c i o n a l d a r e d e denominado M u l t i p l i c a d o r . Em uma RG c a d a arco p o s s u i um mul t i p l i c a d o r a s s o c i a d o à c a b e ç a d o arco, n a s r e d e s c l á s s i c a s esse mul t i p l i c a d o r é sempre i g u a l a +1, c a r a c t e r i z a n d o o f a t o d e r e p r e s e n t a r e m um c a s o p a r t i c u l a r d a s RG onde o

m u l ti pl i cador pode s e r e1 i m i nado.

Todos os arcos possuem u m limite Inferior e

u m l i m i t e Superior de f l u x o , denotado por um par ordenado C L i nf

,

Lsup3.

Os Custos dos arcos s ã o representados por valores dentro de Ret$ngulos e os Multiplicadores por valores dentro de Triangulos. O Termo Constante correspondente a cada linha a s s o c i a ao nó i u m valor de Demanda b. no caso do s i n a l

L

de b. s e r Negativo, e de Oferta e m caso c o n t r a r i o Cb. =O

L L

representa um nó em e q u i l i brio].

O f l u x o passando a t r a v & s de u m arco é

controlado pelo multiplicador. O f l u x o que e n t r a ou s a i de u m nó 4 obtido pelo produto do f l u x o no arco pelo muitiplicador do arco. dessa forma e m uma RG o fluxo que percorre o arco não CS obrigatoriamente igual ao f l u x o que chega ao nó Cver Glover et al. C19783 e C19803

>.

A Figura 2 apresenta a RG associada ao CPPL 3 C PPLi3 Min 1 xi2 + 2xis

+

3xz3 + 4x2,

-

lx,,

-1 xi2- 2xi3 +2xiz

-

1x za

-

l X 2 4 + 5xi3 + 2x23

-

l x 3 4

-

1 / 1 0 ~ ~ ~ + 5xg4 O cx 5 2 ; O cx 5 2; O I x 1 ; i 2 13 24- O I x 5 1 ; O cx 5 5 ; 23 34

A f o r m u l ação e m Redes Gener a1 i zadas poderá c o n s t i t u i r - s e em uma a t r a t i v a opção e m v i r t u d e do crescente desenvol vi mento de a1 gor i tmos de solução C ver Klingman C 19773 e B r o w n e Mcbride C19843 3 .

Figura 2: Exempl o de

RG

Baseado nos t r aba1 hos d e C u r i n i n g h a m C 1 9 8 3 3

,

Bixby e C u n n i n g h a m C19803 e Glover et a l . C1971 3 , C 1 9 7 3 3 e C 1 9 8 0 3 pode-se formular o CPPI como uma

RG

da forma que s e r á d e s c r i t a abaixo :

1 . C r i a r um nó i para cada restriçâfo. i =l ,2,

. . .

,

n e associar a cada nó uma o f e r t a igual a 0 1 .

2.Criar u m nó j para cada variBvel, j = 1 , 2 , .

.

.

, m

onde demanda é igual a o f e r t a e ambas i g u a i s a zero.

3.Criar u m arco C i , j 3 para cada elemento não nulo do CPP3, conectando cada n6 associado a uma r e s t r i ç ã o aos respectivos nós de v a r i á v e i s .

4. Selecionar u m arco para cada j e deãignd-10 como u m arco CO-13 generalizado x

k S. Designar ao arco x u m c u s t o c k j Se

IMkl

>

1 então: @Designar ao a r c o x k u m m u l ti pl i cador M' =Mk-1 k

*Designar os arcos remanescentes como arcos gener a1 i zados conti nuos y

k

igual a 01

zero

M;

=-1

e k s o c i a r a cada arco y u m c u s t o igual a

k

*Designar aos arcos yk um multiplicador

Se IMkl=l então:

Ocriar u m nó de f o l g a S com o f e r t a 5 M

@criar u m a r c o continuo

_Yk

C S , j 3 com u m

multiplicador M'=

-

1 k

O procedi mento anteriormente descri t o pode s e r resumido no programa:

CGNPP3 Minimizar

1

ckxk

k

S u j e i t o i:

k: f i m - i k:fim i

Par a exempl i f i car a apl i cação da f o r m u l ação s e j a o Problema de Particionamento CPP 3 i CPP 3 Max 2x* + 3x2 +

2x3

+ 4x4 + lx5 i X X = 1 2 3 X + X = 1 i 3 X + XJ + X = 1 i 4 X + X = 1 2 4 X

+

x = l i 5

N ó s d e V a r i á v e i s Nós d e R e s t r i ç õ e s

c o *

-12\

F i g u r a 3: F o r m u l a ç ã o d o CPT 3 por RG

2 . 3 1

-

TRANSFORMAÇÃO DO C PP3

EM UM

PROBLEMA DE RECOBRIMENTO VIA PONDERAÇÃO DO VETOR CUSTO

E bem c o n h e c i d o o f a t o q u e o CPP3 pode ser

t r a n s f o r m a d o e m uma i n s t h c i a d e um Problema d e Recobrimnto CPIU p e l a s i m p l e s mudança n o s pesos d o vetor custo Cver Lemke

et al. C19713 e H u l m e C19843 3.

Denominando por y um v e t o r não n e g a t i v o e n t ã o o CPIU pode ser f o r m u l a d o como:

t

Mi n (C'X

+

B e

y

1

Ax-y=e, y20) C 3 8 3 x, Y

onde @>O d e v e ser d e t e r m i n a d o d e forma q u e o s y. s e j a m i g u a i s

L a z e r o e m q u a l q u e r s o l u ç ã o d o problema. C o n s i d e r a d o que: y=Ax-elo e q u e pode-se f o r m u l a r o CPP3 como: C PR 3 Minimizar c:x-me i t t onde ct=c +

B e A,

x e €0,1) i Como m e & um v a l o r c o n s t a n t e , CPRt3 B um problema d e r e c o b r i m e n t o o n d e o c u s t o d e c a d a varihvel x. f o i J i n c r ementada d e €3

I

M.

I

.

S e m p e r d a d e g e n e r a 1 i d a d e pode-se J a f i r m a r que: Deve-se a t e n t a r p a r a o f a t o d e q u e , e v e n t u a l m e n t e , o CPP3 poderA não p o s s u i r s o l u ç ã o . E n t r e t a n t o se C PP3 f o r v i Ave1

, C

PR 3 p o s s u e o mesmo i ó t i m a s , ou s e j a , é 0/1 e q u i v a l e n t e s u f i c i e n t e m e n t e Cprova e m L e m k e C19713 3 n c o n j u n t o d e s o l u ç õ e s se 8 é g r a n d e o OU se: C413

O CPP3 pode ser v i s t o camo um Problema d e Recobrimento onde a s s o l u ç õ e s q u e n ã o conduzem ao p a r t i c i o n a m e n t o

são

p e n a l i z a d a s a um v a l o r maior q u e q u a l q u e r d a s q u e conduzem a um p a r t i c i o n a m e n t o . D e C113 t e m - s e :

onde F é uma p a r t i ç ã o . Uma p a r t i ç ã o passa a possuir u m novo peso que é exatamente

m e

maior que o peso o r i g i n a l . Uma

solução que conduza a uma não p a r t i ç ã o possuirá u m c u s t o maior e igual a C m + l > B . Se o CPP3 não possuir solução CPRi3 t e r á uma solução c u j a cardinalidade u l t r a p a s s a m.

Convém uma a n á l i s e das possi vei s limitações dessa abordagem, especialmente f a c e ao f a t o da e x i s t e n c i a de muitos a1 gori tmos exatos/heuri s t i cos para a solução do C PBI) C ver Balas C 19803

, Balas

e Ho C 19803

,

Baker C 1981 3

, Chvatal

C19793 Goldbarg C19873 e C19883 e Vasko C19863 3

A a n á l i s e serA conduzida a t r a v é s de um

exemplo de aplicação pouco u s u a l ao CPPI e i n c l u i r á

a

Formulação Booleana, que, a t r a v é s da transformação ora desenvol vi da, passa a s e r uma abordagem i gual mente razoável

.

Seja o Problema d e Particionanwnto

representado a t r a v é s de C P R 3 com a matriz de r e s t r i ç õ e s A

i

associada a u m problema de Localização de Acessos a Estações de MetrB da s e g u i n t e forma:

Desejando-se c o n s t r u i r 04 acessos a uma determinada estação de metrd, selecionou-se 06 1 ocai s v i á v e i s para cada u m desses acessos. Associado a cada l o c a l de possi vel implantação define-se u m vetor de custos C = € c i , c 2 , .

.

.

, C 3 r e l a t i v o A s escavações necessarias. a

n

desapropriação, ao impacto ambiental, e t c , e u m vetor de atendimento da demanda S = €si, s 2 ,

. . .

>

correspondendo aos

pontos de demanda que cada alocação é capaz de atender.

O o b j e t i v o do problema é determinar uma configuração nas alocações que atenda a demanda a c u s t o mínimo. No caso onde não s e j a permitido que dois acessos atendam a u m mesmo ponto de demanda entCJfo o problema de otimi zação é u m CPP3

, caso c o n t r á r i o

u m C PR3.

Denominando por X = €xi,x2,.

. .

,xn> o conjunto das possíveis alocações, e , considerando o quadro 1 de dados do problema, pode-se organizar a matriz A constante da f i g u r a 4.

Figura 4: Matriz A do Problema de Alocação

rn

caso deseja-se a cobertura de menor c u s t o , ou m

Aplicando-se a Formuiação Booleana os dois problemas a solucionar são:

c a s o d e s e j a - s e a c o b e r t u r a de menor c u s t o , ou m ' t C2>wn<C x-140001fCd z

/\

[

f i C d = i

1

>

i = l s e n d o p a r a o c a s o d o Particionamento. : S o l u c i o n a n d o o s problemas C13 e C23 obtem-se w com Z =155. A t r a n ã f ormação d o CPP3 e m CPIU v i a b i l i z o u a Abordagem Booleana como uma a l t e r n a t i v a d e s o l u ç ã o por p e r m i t i r uma g r a n d e s i m p l i f i c a ç ã o no c á l c u l o d o Resolvente.

A ú n i c a d i f i c u l d a d e r e m a n e s c e n t e r e s i d e na p r b p r i a t r a n s f o r m a ç ã o que e x i g e uma c o r r e ç ã o d e c u s t o s que

c r e s c e ripidamente e m função t a n t o do ncimero d e v a r i á v e i s Csomat6rio dos pesos3 como do n6mero d e r e s t r i ç õ e s Ccobertura d a s v a r i á v e i s9

,

f enkimeno b a s t a n t e v i si v e l no quadro 1

8 1 930.

Quadro 1 : Custos d e Transformação

CPP3

x

CPIU

i d a d e :ndice :*=1000 ( x .

(+C

j J j 3037 onde A s o l u ç ã o do

CPP3

v i a u t i l i z a ç ã o do