Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de F´ısica Te´oricaDoutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’
Conte ´udo
25 Lei de Gauss 2
25.1 Quest˜oes . . . 2 25.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 3 25.2.1 Fluxo do campo el´etrico . . . . 3
25.2.2 Lei de Gauss . . . 3 25.2.3 Um condutor carregado isolado 4 25.2.4 Lei de Gauss: simetria cil´ındrica 5 25.2.5 Lei de Gauss: simetria plana . . 6 25.2.6 Lei de Gauss: simetria esf´erica . 8
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
25
Lei de Gauss
25.1
Quest˜oes
Q 25-4.
Considere uma superf´ıcie gaussiana envolvendo parte da distribuic¸˜ao de cargas mostrada na Fig. 25-22. (a) Qual das cargas contribui para o campo el´etrico no pon-to
? (b) O valor obtido para o fluxo atrav´es da su-perf´ıcie circulada, usando-se apenas os campos el´etricos devidos a e , seria maior, igual ou menor que o
va-lor obtido usando-se o campo total?
(a) Todas as cargas contribuem para o campo. Ou
se-ja, o campo ´e devido a todas as cargas. (b) O fluxo total ´e sempre o mesmo. Por estarem fora da gaussiana, as cargas e n˜ao contribuem efetivamente para o
flu-xo total uma vez que todo fluflu-xo individual a elas devido
entra por´em tamb´em sai da superf´ıcie.
Q 25-5.
Uma carga puntiforme ´e colocada no centro de uma su-perf´ıcie gaussiana esf´erica. O valor do fluxo mudar´a
se (a) a esfera for substitu´ıda por um cubo de mesmo volume? (b) a superf´ıcie for substituida por um cubo de volume dez vezes menor? (c) a carga for afastada do centro da esfera original, permanecendo, entretanto, no seu interior? (d) a carga for removida para fora da esfera original? (e) uma segunda carga for colocada pr ´oxima, e fora, da esfera original? (f) uma segunda carga for colocada dentro da superf´ıcie gaussiana?
(a) N˜ao. O fluxo total s´o depende da carga total no
interior da superf´ıcie gaussiana considerada. A forma da superf´ıcie gaussiana considerada n˜ao ´e relevante.
(b) N˜ao. O fluxo total s´o depende da carga total no
in-terior da superf´ıcie gaussiana considerada. O volume englobado pela superf´ıcie gaussiana considerada n˜ao ´e relevante.
(c) N˜ao. O fluxo total s´o depende da carga total no
in-terior da superf´ıcie gaussiana considerada. A posic¸˜ao das cargas n˜ao altera o valor do fluxo total atrav´es da superf´ıcie gaussiana considerada, desde que o o valor desta carga total n˜ao seja modificado.
(d) Sim. Neste caso, como a carga total no interior da
su-perf´ıcie gaussiana considerada ´e nula, o fluxo total ser´a igual a zero.
(e) N˜ao. O fluxo total s´o depende da carga total no
inte-rior da superf´ıcie gaussiana considerada. Colocando-se uma segunda carga fora da superf´ıcie gaussiana con-siderada, n˜ao ocorrer´a nenhuma variac¸˜ao do fluxo total (que ´e determinado apenas pelas cargas internas). As cargas externas produzem um fluxo nulo atrav´es da su-perf´ıcie gaussiana considerada.
(f) Sim. Neste caso, como a carga total no interior da superf´ıcie gaussiana considerada passa a ser igual a
, o fluxo total ´e igual a
.
Q 25-7.
Suponha que a carga l´ıquida contida em uma superf´ıcie gaussiana seja nula. Podemos concluir da lei de Gauss que ´e igual a zero em todos os pontos sobre a
su-perf´ıcie? ´E verdadeira a rec´ıproca, ou seja, se o campo el´etrico em todos os pontos sobre a superf´ıcie for
nu-lo, a lei de Gauss requer que a carga l´ıquida dentro da superf´ıcie seja nula?
Se a carga total for nula podemos conlcuir que o fluxo
total sobre a gaussiana ´e zero mas n˜ao podemos concluir
nada sobre o valor de em cada ponto individual da
su-perf´ıcie. Para convencer-se disto, estude o campo gera-do por um dipolo sobre uma gaussiana que o envolva. O campo sobre a gaussiana n˜ao precisa ser homogˆeneo
para a integral sobre a superf´ıcie dar zero.
A rec´ıproca ´e verdadeira, pois neste caso a integral ser´a calculada sobre o produto de dois vetores, um dois quais ´e identicamente nulo sobre toda a gaussiana.
Q Extra – 25-8 da terceira edic¸˜ao do livro Na lei de Gauss,
! #"$&%
o campo ´e necessariamente devido `a carga ?
N˜ao. O fluxo total atrav´es da gaussiana depende do excesso de carga (i.e. da carga n˜ao-balanceada) ne-la contida. O campo el´etrico em cada ponto da
existen-tes, internas ou n˜ao. O que ocorre ´e que, como
demons-trado no Exemplo 25-1 do livro texto, o fluxo total devi-do a qualquer carga externa ser´a sempre zero pois “todevi-do campo que entra na gaussiana, tamb´em ir´a sair da gaus-siana”. Reveja os dois par´agrafos abaixo da Eq. 25-8.
25.2
Problemas e Exerc´ıcios
25.2.1 Fluxo do campo el´etrico E 25-2.
A superf´ıcie quadrada da Fig. 25-24, tem')(+* mm de
la-do. Ela est´a imersa num campo el´etrico uniforme com
,
".-0/2131 N/C. As linhas do campo formam um ˆangulo
de '5426 com a normal “apontando para fora”, como ´e
mostrado. Calcular o fluxo atrav´es da superf´ıcie.
Em todos os pontos da superf´ıcie, o m´odulo do campo el´etrico vale- /3121 N/C, e o ˆangulo7 , entre e a normal
da superf´ıcie d , ´e dado por78"9:- /31 6<;
'34
6
"=- >54 6 .
Note que o fluxo est´a definido tanto para superf´ıcies abertas quanto fechadas. Seja a superf´ıcie como for, a integral deve ser sempre computada sobre ela. Portanto,
?A@ " B5 " C ,EDF3G 7HB5I " , I D F3G 7 " J- /2131 N/C K1)(1213'3* m DF3G - >54 " ; 1L(1L-04M- N.m /C(
Note que o objetivo desta quest˜ao ´e relembrar como fa-zer corretamente um produto escalar: antes de medir o ˆangulo entre os vetores ´e preciso que certificar-se que ambos estejam aplicados ao mesmo ponto, ou seja, que ambas flechas partam de um mesmo ponto no espac¸o (e n˜ao que um vetor parta da ‘ponta’ do outro, como quan-do fazemos sua soma).
25.2.2 Lei de Gauss E 25-7.
Uma carga puntiforme de-2(/ON C encontra-se no centro
de uma superf´ıcie gaussiana c´ubica de424 cm de aresta.
Calcule o valor
@
atrav´es desta superf´ıcie.
Usando a Eq. 9, encontramos o fluxo atrav´es da su-perf´ıcie gaussiana fechada considerada (que, no caso deste exerc´ıcio, ´e um cubo):
?A@ " B5 " " -2(/8PQ- 1)RAS C /L(/54TPQ- 1 R J C /(N m ) " *)(13'8PQ- 13U N m /C( P 25-11.
Determinou-se, experimentalmente, que o campo el´etri-co numa certa regi˜ao da atmosfera terrestre est´a dirigi-do verticalmente para baixo. Numa altitude de '3121 m
o campo tem m´odulo deV21 N/C enquanto que a*121 o
campo vale-0121 N/C. Determine a carga l´ıquida contida
num cubo de -0121 m de aresta, com as faces horizontais
nas altitudes de *131 e'3121 m. Despreze a curvatura da
Terra.
Chamemos deI a ´area de uma face do cubo, ,XW
a magnitude do campo na face superior e
,ZY
a magnitude na face inferior. Como o campo aponta para baixo, o fluxo atrav´es da face superior ´e negativo (pois entra no cubo) enquanto que o fluxo na face inferior ´e positivo. O fluxo atrav´es das outras faces ´e zero, de modo que o flu-xo total atrav´es da superf´ıcie do cubo ´e ["$I8
, Y
;
, W .
A carga l´ıquida pode agora ser determinada facilmente com a lei de Gauss:
H" " IT ,XY ; ,XW " /)(/34\PQ- 1 R J J- 121 :- 131 ; V31 " 'L(4>]P^-01 R_S C " 'L(4>XN C( P 25-13.
Uma carga puntiforme ´e colocada em um dos v´ertices
de um cubo de aresta` . Qual ´e o valor do fluxo atrav´es
de cada uma das faces do cubo? (Sugest˜ao: Use a lei de Gauss e os argumentos de simetria.)
Considere um sistema de referˆencia Cartesianoacb8d
no espac¸o, centrado na carga , e sobre tal sistema
colo-que o cubo de modo a ter trˆes de suas arestas alinhadas com os eixos, indo de 1)%1L%1 at´e os pontos K`A%1L%1 ,
Usando a lei de Gauss: O fluxo el´etrico sobre cada uma das trˆes faces que est˜ao sobre os planosa^b ,aQd eb\d
´e igual a zero pois sobre elas os vetores e B5 s˜ao
ortogonais (i.e. seu produto escalar ´e nulo).
Como se pode perceber da simetria do problema, o fluxo el´etrico sobre cada uma das trˆes faces restantes ´e exata-mente o mesmo. Portanto, para determinar o fluxo total, basta calcular o fluxo sobre uma qualquer destas trˆes fa-ces multiplicando-se tal resultado por trˆes. Para tanto, consideremos a face superior do cubo, paralela ao plano
acb , e sobre ela um elemento de ´areaB5If"gB2hAB2i . Para
qualquer ponto
sobre esta face o m´odulo do campo el´etrico ´e , " ->3j k " ->2j ` h i (
Chamando de 7 o ˆangulo que a direc¸˜ao do campo
el´etrico em
faz com o eixo d percebemos que este
ˆangulo coincide com o ˆangulo entre a normal e e,
ainda, que
D F5G 7T"$`
k
. Portanto, o fluxo el´etrico ´e dado pela seguinte integral:
? face " 0B3 " C ,lDF3G 7HB3hmB2i " `& >2j Con Cpn B3heB3i K` h i q (
Observe que a integral ´e sobre uma superf´ıcie aberta, pois corresponde ao fluxo parcial, devido a uma das arestas apenas. Integrando em relac¸˜ao ah e depois
in-tegrando em relac¸˜ao ai com aux´ılio das integrais dadas
no Apˆendice G, encontramos o fluxo el´etrico sobre a fa-ce em quest˜ao como sendo dado por
?
face "
*>
(
Portanto, o fluxo total sobre todo o cubo ´e
[" ' ? face" / (
Usando argumentos de simetria: ´E a maneira mais simples de obter a resposta, pois prescinde da necessi-dade da calcular a integral dupla. Por´em, requer maior maturidade na mat´eria. Observando a figura do proble-ma, vemos que colocando-se 8 cubos idˆenticos ao redor da carga poderemos usar a lei de Gauss para
determi-nar que o fluxo total atrav´es dos 8 cubos ´e dado por
?
total"
(
Devido a simetria, percebemos que o fluxo sobre
ca-da um dos 8 cubos ´e sempre o mesmo e que, portanto, o fluxo sobre um cubo vale
[" ? total / " / %
que, em particular, ´e o fluxo sobre o cubo do problema em quest˜ao. Simples e bonito, n˜ao?
25.2.3 Um condutor carregado isolado E 25-16.
Uma esfera condutora uniformemente carregada, de-2(+*
m de diˆametro, possui uma densidade superficial de car-ga de/)(r-sN C/m
. (a) Determine a carga sobre a esfera.
(b) Qual ´e o valor do fluxo el´etrico total que est´a
deixan-do a superf´ıcie da esfera?
(a) A carga sobre a esfera ser´a
t"guvIf"$uw>3j k " 'L(V3V8PQ- 1 R U C"g'2VL(V$N C(
(b) De acordo com a lei de Gauss, o fluxo ´e dado por
? @ " "$>L(r->xPQ- 1 S N m /C( P 25-19.
Um condutor isolado, de forma arbitr´aria, possui uma carga total de
-01xPy- 1MR_S C. Dentro do condutor
exis-te uma cavidade oca, no inexis-terior da qual h´a uma carga puntiformeH" 'TPz- 1MR_S C. Qual ´e a carga: (a) sobre
a parede da cavidade e (b) sobre a superf´ıcie externa da condutor?
(a) O desenho abaixo ilustra a situac¸˜ao proposta no
problema.
Considere uma superf´ıcie gaussiana{ envolvendo a
ca-vidade do condutor. A carga encontra-se no interior da
cavidade e seja| a carga induzida na superf´ıcie interna
,
no interior da parte macic¸a de um condutor ´e sempre igual a zero. Aplicando a lei de Gauss, encontramos:
? @ " B5 #" | ( Como ,
"}1 , devemos ter K |T ~ m"1 , ou seja,
que |8" ; H" ; 'L(18N C
(b) Como a carga total do condutor ´e de- 1N C, vemos
que a carga| sobre a superf´ıcie externa da condutor
dever´a ser de
|HX".- 1 ; |T"=-01 ; ; ' " -0'$N C(
25.2.4 Lei de Gauss: simetria cil´ındrica E 25-21.
Uma linha infinita de cargas produz um campo de>L(+4OP - 1
N/C a uma distˆancia de * m. Calcule a densidade
linear de carga sobre a linha.
Usando a express˜ao para o campo devido a uma li-nha de cargas,, "$ *~j k , Eq. 25-14, encontramos facilmente que w".*~j k , "g4)(1L-pN C/m( P 25-23.
Use uma superf´ıcie GaussianaI cil´ındrica de raio
k
e comprimento unit´ario, concˆentrica com o tubo met´alico. Ent˜ao, por simetria,
M 0B3 #"f*~j k , " dentro ( (a) Parak\[ , temos
dentro "f , de modo que
, " *~j k ( (b) Para k[
, a carga dentro ´e zero, o que implica termos
,
"$1
.
Para podermos fixar a escala vertical da figura, precisa-mos determinar o valor num´erico do campo no ponto de transic¸˜ao, " ' cm: , " *~j k " *M(1xP^-01 R_ *~jyK1L(13'21 K/L(/54PQ- 1 R J " -2(+*\PQ- 1 N/C( P 25-24.
Use uma superf´ıcie GaussianaI cil´ındrica de raio
k
e comprimento unit´ario, concˆentrica com ambos cilin-dros. Ent˜ao, a lei de Gauss fornece-nos
0B3 #"f*~j k , " dentro % de onde obtemos , " dentro *~j k ( (a) Parak8
` a carga dentro ´e zero e, portanto
,
"g1 .
(b) Para`
ok\[
a carga dentro ´e; , de modo que
, " *j k ( P 25-26.
A Fig. 25-32 mostra um contador de Geiger, dispositi-vo usado para detectar radiac¸˜ao ionizante (radiac¸˜ao que causa a ionizac¸˜ao de ´atomos). O contador consiste em um fio central, fino, carregado positivamente, circunda-do por um cilindro condutor circular concˆentrico, com uma carga igual negativa. Desse modo, um forte cam-po el´etrico radial ´e criado no interior do cilindro. O ci-lindro cont´em um g´as inerte a baixa press˜ao. Quando uma part´ıcula de radiac¸˜ao entra no dispositivo atrav´es da parede do cilindro, ioniza alguns ´atomos do g´as. Os el´etrons livres resultantes s˜ao atraidos para o fio positi-vo. Entretanto, o campo el´etrico ´e t˜ao intenso que, entre as colis˜oes com outros ´atomos do g´as, os el´etrons li-vres ganham energia suficiente para ioniz´a-los tamb´em.
Criam-se assim, mais el´etrons livres, processo que se re-pete at´e os el´etrons alcanc¸arem o fio. A “avalanche” de el´etrons ´e coletada pelo fio, gerando um sinal usado para registrar a passagem da part´ıcula de radiac¸˜ao. Suponha que o raio do fio central seja de*24N m; o raio do cilindro
seja de -2(> cm; o comprimento do tubo seja de - V cm.
Se o campo el´etrico na parede interna do cilindro for de
*M(Pp-01
N/C, qual ser´a a carga total positiva sobre o fio central?
O campo el´etrico ´e radial e aponta para fora do fio central. Desejamos descobrir sua magnitude na regi˜ao entre o fio e o cilindro, em func¸˜ao da distˆanciak
a par-tir do fio. Para tanto, usamos uma superf´ıcia Gaussiana com a forma de um cilindro com raiok
e comprimento
, concˆentrica com o fio. O raio ´e maior do que o raio do fio e menor do que o raio interno da parede cil´ındrica. Apenas a carga sobre o fio est´a localizada dentro da su-perf´ıcie Gaussiana. Chamemo-la de .
A ´area da superf´ıcie arredondada da Gaussiana cil´ındrica ´e*j
k
e o fluxo atrav´es dela ´e "}*j
k
,
. Se desprezarmos o fluxo atrav´es das extremidades do ci-lindro, ent˜ao o ser´a o fluxo total e a lei de Gauss nos
forneceH"g*j
k
,
. Como a magnitude do campo na parede do cilindro ´e conhecida, suponha que a superf´ıcie Gaussiana seja coincidente com a parede. Neste caso,k
´e o raio da parede e
" *~j/)(/348Py- 1 R J 1)(1)-> 1)(r- V *)(8P^-01 " ')(VxPQ- 1 R_ C( P 25-30.
Uma carga est´a uniformemente distribuida atrav´es do volume de um cilindro infinitamente longo de raio
.
(a) Mostre que,
a uma distˆanciak
do eixo do cilindro (k8[
) ´e dado por
, " k * % onde
´e a densidade volum´etrica de carga. (b) Escreva uma express˜ao para
,
a uma distˆanciakT
.
(a) O c´ırculo cheio no diagrama abaixo mostra
a secc¸˜ao reta do cilindro carregado, enquanto que o c´ırculo tracejado corresponde `a secc¸˜ao reta de uma su-perf´ıcie Gaussiana de forma cil´ındrica, concˆentrica com o cilindro de carga, e tendo raio k
e comprimento
. Queremos usar a lei de Gauss para encontrar uma ex-press˜ao para a magnitude do campo el´etrico sobre a su-perf´ıcie Gaussiana.
A carga dentro da Gaussiana cil´ındrica ´e
H" & " j k % onde "j k
´e o volume do cilindro. Se
´e positivo, as linhas de campo el´etrico apontam radialmente para fora, s˜ao normais `a superf´ıcie arredondada do cilindro e est˜ao distribuidas uniformemente sobre ela. Nenhum fluxo atravessa as bases da Gaussiana. Portanto, o fluxo total atrav´es da Gaussiana ´e g"
, I9".*~j , , onde Ig"g`5j k
´e a ´area da porc¸˜ao arredondada da Gaussiana. A lei de Gauss ( [" ) nos fornece ent˜ao*~j
k , " j k
, de onde tira-se facilmente que
, " k * (
(b) neste caso consideramos a Gaussiana como sendo
um cilindro de comprimento
e com raiok
maior que
. O fluxo ´e novamente ["$*j
k
,
. A carga dentro da Gaussiana ´e a carga total numa secc¸˜ao do cilindro car-regado com comprimento
. Ou seja, y"j . A lei de Gauss nos fornece ent˜ao*~j
k , "j , de modo que o campo desejado ´e dado por
, " * k (
Observe que os valores dados pelas duas express˜oes coincidem parak
"
, como era de se esperar. Um gr´afico da variac¸˜ao de
,
em func¸˜ao dek
´e bastante semelhante ao mostrado na Fig. 25-21, por´em, apresen-tando para k[ um decaimento proporcional a - k (em vez de - k como na Fig. 25-21).
25.2.5 Lei de Gauss: simetria plana
E 25-32.
Uma placa met´alica quadrada de/ cm de lado e
espes-sura desprez´ıvel tem uma carga total de deVxPQ- 1)RAS C.
(a) Estime o m´odulo de,
do campo el´etrico localizado imediatamente fora do centro da placa (a uma distˆancia, digamos, de1L(4 mm), supondo que a carga esteja
Estime o valor do campo a uma distˆancia de'21 m
(re-lativamente grande, comparada ao tamanho da placa), supondo que a placa seja uma carga puntiforme.
(a) Para calcular o campo el´etrico num ponto muito perto do centro de uma placa condutora
uniformemen-te carregada, ´e razo´avel substituirmos a placa finita por uma placa infinita contendo a mesma densidade superfi-cial de carga e considerar a magnitude do campo como sendo,
"9u ~ , ondeu ´e a densidade de carga da
su-perf´ıcie sob o ponto considerado. A carga est´a distribui-da uniformemente sobre ambas faces distribui-da placa original, metade dela estando perto do ponto considerado. Por-tanto uz" *I " VxP^-01MR_S *LK1)(12/ "$>L(V2\PQ- 1 R C/m (
A magnitude do campo ´e
, " u " >L(V2\PQ- 1MR /)(/348P^-01 R : "f4M('21\P^-012 N/C(
(b) Para uma distˆancia grande da placa o campo el´etrico
ser´a aproximadamente o mesmo que o produzido por uma part´ıcula puntiforme com carga igual `a carga to-tal sobre a placa. A magnitude de to-tal campo ´e ,
" K>2j k , onde k
´e a distˆancia `a placa. Portanto
, " K]PQ- 13 V]P^-01MR_S '31 "$V31 N/C( P 25-34.
Na Fig. 25-36, uma pequena bola, n˜ao-condutora, de massa - mg e cargag"*^P$-01MRA C
uniformemen-te distribuida, est´a suspensa por um fio isolanuniformemen-te que faz um ˆangulo7T"g'21 6 com uma chapa n˜ao-condutora,
ver-tical, uniformemente carregada. Considerando o peso da bola e supondo a chapa extensa, calcule a densidade superficial de cargau da chapa.
Trˆes forc¸as atuam na pequena bola: (i) uma forc¸a gra-vitacional de magnitudem , onde ´e a massa da
bo-la, atua na vertical, de cima para baixo, (ii) uma forc¸a el´etrica de magnitude
,
atua perpendicularmente ao plano, afastando-se dele, e (iii) e a tens˜ao no fio,
atuando ao longo dele, apontando para cima, e fazen-do um ˆangulo7 (" '21 6 ) com a vertical.
Como a bola est´a em equil´ıbrio, a forc¸a total resul-tante sobre ela deve ser nula, fornecendo-nos duas equac¸˜oes, soma das componentes verticais e horizontais das forc¸as, respectivamente:
D F5G 7 ; w " 1)% ¡ vertical , ; sen7 " 1)(¢£¡ horizontal Substituindo-se " ,
sen7 , tirado da segunda
equac¸˜ao, na primeira, obtemos
,
" w tan7 .
O campo el´etrico por um plano grande e uniforme de cargas ´e dado por,
"¤u * 0, ondeu ´e a densidade
superficial de carga. Portanto, temos
~u *
"$m tan7
de onde se extrai facilmente que
u " * m tan7 " *LK/)(/34TPQ- 1MR : J-HP^-01MRAS KL(/ tan '31 6 *\PQ- 1 RA C " 4)(1\PQ- 1 R_ C/m ( P 25-35.
Um el´etron ´e projetado diretamente sobre o centro de uma grande placa met´alica, carregada negativamente com uma densidade superficial de carga de m´odulo
*¥PZ-01MRAS C/m
. Sabendo-se que a energia cin´etica inicial do el´etron ´e de- 121 eV e que ele p´ara (devido a repuls˜ao
eletrost´atica) imediatamente antes de alcanc¸ar a placa, a que distˆancia da placa ele foi lanc¸ado?
A carga negativa sobre a placa met´alica exerce uma forc¸a de repuls˜ao sobre o el´etron, desacelerando-o e parando-o imediatamente antes dele tocar na superf´ıcie da placa.
Primeiramente, vamos determinar uma express˜ao para a acelerac¸˜ao do el´etron, usando ent˜ao a cinem´atica pa-ra determinar a distˆancia de papa-ragem. Consideremos a direc¸˜ao inicial do movimento do el´tron como sen-do positiva. Neste caso o campo el´etrico ´e dasen-do por
,
"gu ~ , ondeu ´e a densidade superficial de carga na
placa. A forc¸a sobre o el´etron ´e¦=" ;Z§
, " ;Z§ u ~ e a acelerac¸˜ao ´e `x" ¦ " ; § u %
onde ´e a massa do el´etron.
A forc¸a ´e constante, de modo que podemos usar as f´ormulas para acelerac¸˜ao constante. Chamando de ¨~
a velocidade inicial do el´etron, ¨ sua velocidade final,
eh a distˆancia viajada entre as posic¸˜oes inicial e final,
temos que ¨ ; ¨ "©*`5h . Substituindo-se¨ "©1 e `ª" ;Z§ u nesta express˜ao e resolvendo-a parah
encontramos h" ; ¨ *2` " w¨ * § u " 0«] § u %
onde« X¬ ¨
* ´e a energia cin´etica inicial.
Antes de aplicar a f´ormula, ´e preciso converter o valor dado de« para joules. Do apˆendice F do livro
tira-mos que - eV "-2(V21cP$- 1)R J, donde -0121 eV " -2(V21\PQ- 1)R J. Portanto h " K/L(/548P^-01MR J :-2(V21xPQ- 1)R :-3(V31xP^-01 R *\PQ- 1 R_S " >L(>xP^-01 R m( P 25-39®.
Uma chapa plana, de espessuraB , tem uma densidade
volum´etrica de carga igual a
. Determine o m´odulo do campo el´etrico em todos os pontos do espac¸o tanto:
(a) dentro como (b) fora da chapa, em termos deh , a
distˆancia medida a partir do plano central da chapa.
Suponha que a carga total
| esteja uniformemente
distribuida ao longo da chapa. Considerando uma ´area muito grande (ou melhor, para pontos pr ´oximos do cen-tro da chapa), podemos imaginar que o campo el´etrico possua uma direc¸˜ao ortogonal ao plano da superf´ıcie ex-terna da placa; a simetria desta chapa uniformemente carregada indica que o m´odulo do campo varia com a distˆanciah . No centro da chapa, a simetria do
proble-ma indica que o campo el´etrico deve ser nulo, ou seja,
,
"1 , parah="1 . Na figura da soluc¸˜ao deste
pro-blema mostramos uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica{
cujas bases s˜ao paralelas `as faces da chapa.
SejaI a ´area da base desta superf´ıcie gaussiana{ .
Co-mo as duas bases da superf´ıcie gaussiana cil´ındrica {
est˜ao igualmente afastadas do plano central h"1 e
lembrando que o vetor E ´e ortogonal ao vetor dA na su-perf´ıcie lateral da susu-perf´ıcie gaussiana cil´ındrica{ ,
con-clu´ımos que o fluxo total atrav´es da superf´ıcie gaussiana cil´ındrica{ ´e dado por
?A@ " $ B3 ¯"$* , I onde,
´e o m´odulo do campo el´etrico a uma distˆancia
h do plano centralh$"1 . A carga Yr°~±
englobada no interior da superf´ıcie gaussiana cil´ındrica{ ´e dada
pe-la integral de
B
no volume situado no interior da
superf´ıcie gaussiana cil´ındrica{ . Como a densidade de
carga
´e constante, a carga total no interior da superf´ıcie
{ ´e dada por
Yr°~±
"
*heI (
Portanto, aplicando a lei de Gauss para a superf´ıcie con-siderada, encontramos facilmente a seguinte resposta:
,
"
h
(
(b) Construa novamente uma superf´ıcie gaussiana
cil´ın-drica contendo toda a chapa, isto ´e, construa novamente uma superf´ıcie semelhante `a gaussiana cil´ındrica{
indi-cada na figura da soluc¸˜ao deste problema, onde, agora, a ´area da baseI est´a situada a uma distˆanciah²"B *
do plano centralh³"f1 . De acordo com a figura, vemos
facilmente que, neste caso, temos:
Yr°~±
"
IXBe(
Portanto, aplicando a lei de Gauss para a superf´ıcie gaussiana cil´ındrica considerada, encontramos facil-mente a seguinte resposta:
,
"
B
*
(
25.2.6 Lei de Gauss: simetria esf´erica P 25-40.
Uma esfera condutora de- 1 cm da raio possui uma
car-ga de valor desconhecido. Sabendo-se que o campo el´etrico `a distˆancia de -4 cm do centro da esfera tem
m´odulo igual a'wPl- 1
N/C e aponta radialmente para dentro, qual ´e carga l´ıquida sobre a esfera?
A carga est´a distribuida uniformemente sobre a su-perf´ıcie da esfera e o campo el´etrico que ela produz em pontos fora da esfera ´e como o campo de uma part´ıcula puntiforme com carga igual `a carga total so-bre a esfera. Ou seja, a magnitude do campo ´e dado por
,
"´ K>2j
k
, onde ´e magnitude da carga sobre a
esfera e k
´e a distˆancia a partir do centro da esfera ao ponto onde o campo ´e medido. Portanto, temos,
H"$>2j k , " K1)(r-04 'xP^-01 xP^-01 "gµ&(+4\PQ- 1 R_ C (
Como campo aponta para dentro, em direc¸˜ao `a esfera, a carga sobre a esfera ´e negativa: ; µ&(+48P^-01MRA C(
(a) O fluxo continuaria a ser;
µ241 N m
/C, pois ele depende apenas da carga contida na Gaussiana. (b) A carga l´ıquida ´e
" " /)(/348P^-01 R : ; µ241 " ; V)(V>xPQ- 1 R ¶ C E 25-42. (a) Parak8[ , temos, " 1 (veja Eq. 25-18). (b) Parak um pouco maior de , temos , " ->3j k · ->3j " /)(2xPQ- 12 *)(1xPQ- 1)R 1)(+*24 " *)(xPQ- 1 N/C( (c) ParakQ¤
temos, aproveitando o c´alculo do item anterior, , " ->2j k " *)(\Py- 1 3¸ 1L(*34 'L(1w¹ " *131 N/C( E 25-45.
Num trabalho escrito em 1911, Ernest Rutherford dis-se: “Para se ter alguma id´eia das forc¸as necess´arias para desviar uma part´ıcula º atrav´es de um grande
ˆangulo, considere um ´atomo contendo uma carga pun-tiforme positive d § no seu centroo e circundada por
uma distribuic¸˜ao de eletricidade negativa; d § ,
unifor-memente distribu´ıda dentro de uma esfera de raio
. O campo el´etrico,
((( a uma distˆancia
k
do centro para um ponto dentro do ´atmo ´e
, " d § >3j ¸ -k ; k ¹ (»»
Verifique esta express˜ao.
Usamos primeiramente a lei de Gauss para encontrar uma express˜ao para a magnitude do campo el´etrico a uma distˆanciak
do centro do ´atomo. O campo aponta radialmente para fora e ´e uniforme sobre qualquer es-fera concˆentrica com o ´atomo. Escolha uma superf´ıcie Gaussiana esf´erica de raiok
com seu centro no centro do ´atomo.
Chamando-se de,
a magnitude do campo, ent˜ao o flu-xo total atrav´es da Gaussiana ´e E"¼>2j
k
,
. A car-ga contida na Gaussiana ´e a soma da carcar-ga positiva no centro com e parte da carga negativa que est´a dentro da Gaussiana. Uma vez que a carga negativa ´e suposta es-tar uniformemente distribuida numa esfera de raio
, podemos computar a carga negativa dentro da Gaussia-na usando a raz˜ao dos volumes das duas esferas, uma de raiok
e a outra de raio
: a carga negativa dentro da Gaussiana nada mais ´e do que; d §
k
. Com isto tu-do, a carga total dentro da Gaussiana ´ed §½; d §
k . A lei de Gauss nos fornece ent˜ao, sem problemas, que
>2j k , "¾d § ¸ - ; k ¹ %
de onde tiramos facilmente que, realmente,
, " d § >2j ¸ -k ; k ¹ ( P 25-47.
Uma casca esf´erica met´alica, fina e descarregada, tem uma carga puntiforme no centro. Deduza express˜oes
para o campo el´etrico: (a) no interior da casca e (b) fora da casca, usando a lei de Gauss. (c) A casca tem algum efeito sobre o campo criado por ? (d) A presenc¸a da
carga tem alguma influˆencia sobre a distribuic¸˜ao de
cargas sobre a casca? (e) Se uma segunda carga punti-forme for colocada do lado de fora da casca, ela sofrer´a a ac¸˜ao de alguma forc¸a? (f) A carga interna sofre a ac¸˜ao de alguma forc¸a? (g) Existe alguma contradic¸˜ao com a terceira lei de Newton? Justifique sua resposta.
NOTA: na quarta edic¸˜ao brasileira do livro esqueceram de mencionar que a casca esf´erica ´eMETALICA´ !!
Antes de responder aos itens, determinamos uma ex-press˜ao para o campo el´etrico, em func¸˜ao da distˆancia radial k
a partir da carga . Para tanto, consideremos
uma superf´ıcie Gaussiana esf´erica de raiok
centrada na carga . A simetria do problema nos mostra que a
mag-nitude
,
´e a mesma sobre toda superf´ıcie, de modo que
0B3 #"$>2j k , " % fornecendo-nos , k " ->2j k %
onde representa a carga dentro da superf´ıcie
Gaussia-na. Se for positiva, o campo el´etrico aponta para fora
(a) Dentro da casca contendo a carga temos , k " ->3j k (
(b) Como fora da casca a carga l´ıquida ´e , o valor do
campo el´etrico ´e o mesmo do item anterior. (c) N˜ao, pois n˜ao influi na deduc¸˜ao de,
k
, acima.
(d) Sim: como a casca fina ´e met´alica, na sua superf´ıcie interna ir´a aparecer uma carga; INDUZIDA. Como a
carga total da casca esf´erica ´e zero, sua superf´ıcie exter-na dever´a conter uma carga induzida, de modo que
a soma de ambas cargas induzidas seja zero.
(e) Claro que experimentar´a forc¸as pois estar´a imersa no campo,
k
devido ´a carga central.
(f) N˜ao, pois o metal da casca blinda campos externos. (g) N˜ao.
P 25-48.
A Fig. 25-38 mostra uma esfera, de raio ` e carga uniformemente distribu´ıda atrav´es de seu volume,
concˆentrica com uma casca esf´erica condutora de raio interno
e raio externo¿ . A casca tem uma carga l´ıquida
de; . Determine express˜oes para o campo el´etrico em
func¸˜ao do raio k
nas seguintes localizac¸˜oes: (a) den-tro da esfera (k
` ); (b) entre a esfera e a casca
(`
Àkg©
); (c) no interior da casca (pÀkg ¿ );
(d) fora da casca (k]
¿ ). (e) Quais s˜ao as cargas sobre
as superf´ıcies interna e externa da casca?
Para comec¸ar, em todos pontos onde existe campo el´etrico, ele aponta radialmente para fora. Em cada par-te do problema, escolheremos uma superf´ıcie Gaussiana esf´erica e concˆentrica com a esfera de carga e que
passe pelo ponto onde desejamos determinar o campo el´etrico. Como o campo ´e uniforme sobre toda a su-perf´ıcie das Gaussianas, temos sempre que, qualquer que seja o raiok
da Gaussiana em quest˜ao, B5 Á" >2j k , (
(a) Aqui temosk=
` e a carga dentro da superf´ıcie
Gaussiana ´eM
k
`
. A lei de Gauss fornece-nos
>3j k , " ¸ L¹ ¸ k `!¹ %
donde tiramos que
, " k >2j ` ( (b) Agora temos ` ©kfÂ
, com a carga dentro da Gaussiana sendo . Portanto, a lei de Gauss aqui nos
diz que >3j k , " % de modo que , " >2j k (
(c) Como a casca ´e condutora, ´e muito f´acil saber-se o campo el´etrico dentro dela:
,
"$1L(
(d) Fora da casca, i.e. parakT
¿ , a carga total dentro da
superf´ıcie Gaussiana ´e zero e, conseq ¨uentemente, neste caso a lei de Gauss nos diz que
,
"$1L(
(e) Tomemos uma superf´ıcie Gaussiana localizada den-tro da casca condutora. Como o campo el´etrico ´e zero sobre toda suprf´ıcie, temos que
["
$ B5 Á"$1
e, de acordo com a lei de Gauss, a carga l´ıquida dentro da superf´ıcie ´e zero. Em outras palavras, chamando de
|
Y
a carga sobre a superf´ıcie interna da casca, a lei de Gauss nos diz que devemos ter |
Y
"$1 , ou seja,
|
Y
" ; &(
Chamando agora de|Ã a carga na superf´ıcie externa da
casca e sabendo que a casca tem uma carga l´ıquida de
;
(dado do problema), vemos que ´e necess´ario ter-se
que|
Y
| Ã " ; , o que implica termos |Ã" ; ; |
Y
" ; ; ; " 1L(
P 25-51.
Um pr ´oton descreve um movimento circular com velo-cidade¨z"9'mPl- 1
U m/s ao redor e imediatamente fora
de uma esfera carregada, de raio k
"À- cm. Calcule o
valor da carga sobre a esfera.
O pr ´oton est´a em movimento circular uniforme man-tido pela forc¸a el´etrica da carga na esfera, que funciona como forc¸a centr´ıpeta. De acordo com a segunda lei de Newton para um movimento circular uniforme, sabe-mos que¦!ÄÅ"gw¨
k
, onde¦ÆÄ ´e a magnitude da forc¸a, ¨ ´e a velocidade do pr ´oton e
k
´e o raio da sua ´orbita, essencialmente o mesmo que o raio da esfera.
A magnitude da forc¸a el´etrica sobre o pr ´oton ´e ¦ Ã " § K>2j
k
, onde ´e a magnitude da carga sobre a
es-fera. Portanto, quando¦ Ã "g¦!Ä , temos
->2j § k " w¨ k %
de modo que a carga procurada ser´a dada por
" >3j ¨ k § " J-2(V5µTPQ- 1MR kg K']PQ- 1 U m/s K1L(1L- m KxPQ- 1 N m /C J-2(V21\PQ- 1 R C " -3(12> nC( P 25-53
Na Fig. 25-41, uma casca esf´erica n˜ao-condutora, com raio interno` e raio externo
, tem uma densidade vo-lum´etrica de carga dada por
"}I
k
, ondeI ´e
cons-tante ek
´e a distˆancia ao centro da casca. Al´em disso, uma carga puntiforme est´a localizada no centro. Qual
deve ser o valor deI para que o campo el´etrico na
cas-ca (`cÇ
k
Ç
) tenha m´odulo constante? (Sugest˜ao: I
depende de` mas n˜ao de
.)
O problema pede para determinar uma express˜ao pa-ra o campo el´etrico dentro da casca em termos deI e
da distˆancia ao centro da casca e, a seguir, determinar o valor deI de modo que tal campo n˜ao dependa da
distˆancia.
Para comec¸ar, vamos escolher uma Gaussiana esf´erica de raiok È
, concˆentrica com a casca esf´erica e localizada dentro da casca, i.e. com`
Ák È
. Usando a lei de Gauss podemos determinar a magnitude do campo el´etrico a uma distˆanciak È
a partir do centro.
A carga contida somente sobre a casca dentro da Gaus-siana ´e obtida atrav´es da integral Äs"gÉ
B
calculada sobre a porc¸˜ao da casca carregada que est´a dentro da Gaussiana.
Como a distribuic¸˜ao de carga tem simetria esf´erica, po-demos escolherB
como sendo o volume de uma casca esf´erica de raiok e largura infinitesimalB k , o que dos forneceB " >3j k B k . Portanto, temos ÄÊ" >2jTCpËJÌ n k B k " >2jTC ËJÌ n I k k B k " >2jÍI^CpËJÌ n k B k " *~jÍI8 k È ; ` (
Assim, a carga total dentro da superf´ıcie Gaussiana ´e
Ä "$ *jÍIT k È ; ` (
O campo el´etrico ´e radial, de modo que o fluxo atrav´es da superf´ıcie Gaussiana ´e o"$>2j
k È , , onde, ´e a mag-nitude do campo. Aplicando agora a lei de Gauss obte-mos >3j , k È "g *~jÍI8 k È ; ` % de onde tiramos , " ->3j ÏÎ k È *~jÍI ; *~jÍIX` k È Ð (
Para que o campo seja independente dek È
devemos es-colher I de modo a que o primeiro e o ´ultimo termo
entre colchetes se cancelem. Isto ocorre se tivermos
; *~jÍIX` "g1 , ou seja, para Ig" *jÍ`
quando ent˜ao teremos para a magnitude do campo
, " I * " >3j ` ( P 25-55® .
Mostre que o equil´ıbrio est´avel ´e imposs´ıvel se as ´unicas forc¸as atuantes forem forc¸as eletrost´aticas. Sugest˜ao: Suponha que uma carga fique em equil´ıbrio est´avel
ao ser colocada num certo ponto
num campo el´etrico
. Desenhe uma superf´ıcie Gaussiana esf´erica em torno
de
, imagine como deve estar apontando sobre esta
superf´ıcie, e aplique a lei de Gauss para mostrar que a suposic¸˜ao [de equil´ıbrio est´avel] leva a uma contradic¸˜ao. Esse resultado ´e conhecido pelo nome de Teorema de
Earnshaw.
Suponha que n˜ao exista carga na vizinhac¸a mais ime-diata de mas que a carga esteja em equil´ıbrio
de-vido `a resultante de forc¸as provenientes de cargas em outras posic¸˜oes. O campo el´etrico na posic¸˜ao
de ´e
zero mas ir´a sentir uma forc¸a el´etrica caso ela venha
a afastar-se do ponto
. O que precisamos mostrar ´e que ´e imposs´ıvel construir-se em torno de
um cam-po el´etrico resultante que, em todas direc¸˜oes do espac¸o, consiga “empurrar” de volta para o ponto
quando ela deste ponto afastar-se.
Suponha que esteja em
e envolva-a com uma su-perf´ıcie Gaussiana esf´erica extremamente pequena, cen-trada em
. Desloque ent˜ao de
sobre a esfera Gaussiana. Se uma forc¸a el´etrica con-seguir empurrar de volta, dever´a existir um campo
el´etrico apontando para dentro da superf´ıcie. Se um campo el´etrico empurrar em direc¸˜ao a
, n˜ao impor-tando onde isto ocorra sobre a superf´ıcie, ent˜ao dever´a existir um campo el´etrico que aponte para dentro em to-dos pontos da superf´ıcie. O fluxo l´ıquido atrav´es da su-perf´ıcie n˜ao ser´a zero e, de acordo com alei de Gauss, deve existir carga dentro da superf´ıcie Gaussiana, o que
´e uma contradic¸˜ao. Concluimos, pois, que o campo atuando numa carga n˜ao pode empurra-la de volta a
para todos deslocamentos poss´ıveis e que, portanto, a carga n˜ao pode estar em equil´ıbrio est´avel.
Se existirem locais sobre a superf´ıcie Gaussiana onde o campo el´etrico aponte para dentro e empurre de volta
para sua posic¸˜ao original, ent˜ao dever˜ao existir sobre a superf´ıcie outros pontos onde o campo aponte para fora e empurre para fora da sua posic¸˜ao original.
