A10 EletroAp GuiasdeOnda

Guias de onda

-Estrutura capaz de guiar a propagação de uma onda eletromagnética.

-Consiste em um único condutor envolvendo um dielétrico

-Utilizadas na faixa de frequência dos 3 – 100 GHz

Guias de onda Retangular

Dimensões Características

x

y

a

b

Por convenção de notação, a maior dimensão no guia retangular (largura) se denomina “a”. A altura é “b”.

Guias de onda e modos de propagação

Guias de onda apenas suportam modos transversais elétricos, TE, ou transversais magnéticos, TM. No TE, o campo elétrico é perpendicular á direção de propagação, é o campo magnético tem componentes na direção perpendicular (ou transversa), e também uma componente na direção de propagação.

No TM, o campo magnético é perpendicular á direção de propagação, é o campo elétrico tem componentes na direção perpendicular, e também uma componente na direção de propagação.

Guias de onda não suportam modos TEM, i.e., aqueles nos quais o campo elétrico e magnético são ambos perpendiculares à direção de propagação. Para demonstrar isso, vamos supor que o modo TEM existe dentro de um guia de ondas oco. Neste caso, o campo magnético deveria estar contido totalmente no plano transverso (e ser fechado sobre si próprio). O campo elétrico também deveria estar contido nesse plano. Escrevemos a lei de Ampere Maxwell para o campo H nesse guia:







H



l



J



S



D



d

S

dt

d

d

d

_c

Dado que o percurso de integração não envolve nenhum condutor no guia oco, isto significa que Jc=0. Daí a segunda integral que envolve a corrente de deslocamento “D” forçosamente tem de ser diferente de 0, o que implica componente de D (é, consequentemente de E) na direção de propagação. 3

Guias de Onda

Condições de contorno para os campos E e H

Na superficie do condutor, a componente tangencial de E, E_t = 0. Na superficie do condutor, a componente normal de H, H_n = 0.

a

b

Configuração do campo E

Terminologia dos modos de propagação em

Guias de Onda

As possíveis configurações dos campos elétrico magnético da onda propagante ao longo do guia são chamadas de modos e designadas a través de uma das seguintes formas:

TE_m,n TM_m,n

Os números inteiros m e n diferenciam, dentro de cada modo, as possíveis variações de configuração dos campos. Por exemplo, no guia de onda retangular, m indica o número de variações de média onda na direção x, e n o número de variações de média onda na direção y.

Um valor nulo de m ou n indica que o campo correspondente não sofre variação ao longo da x ou y respectivamente.

Terminología dos modos de propagação em

Guias de Onda

Exemplo: Modo TE

₁₀

a

b

Frente

Exemplo: Modo TE

₂₀

a

b

Frente

6

Modo TE

₁₀

e TE

₂₀

no guia de onda

Retangular

Análise do mecanismo de propagação em

Guias de Onda

Vamos considerar duas placas condutoras, e vamos enviar radiação eletromagnética A través delas.

x

y

z

0

a

x

y

z

y

x

β

_u





_x

ˆ





_y

ˆ





_z

ˆ

Vamos considerar o campo elétrico com componente apenas no eixo y. As condições de contorno exigem que

u

β







2

2 2 2 z y x u

β













0

, 0 



 x a x y

E

Também teremos βy=0

2 2





_u



E

_y



1



c

_{Velocidade da onda no meio}

Análise do mecanismo de propagação em

guias de Onda, velocidades de fase e de grupo

A velocidade do frente de ondas é c. A velocidade de fase é a velocidade da interseção do frente de onda com as paredes do guia.

c

c

c

L

t

L

v

v

z u z z p phase

















A velocidade de grupo é a velocidade com a qual a energia efetivamente avança a través das reflexões da onda. Para deduzir essa velocidade, basta observar que, para percorrer a distância AD, a onda gasta um tempo idêntico para avançar (na direção z), a distância BD, sendo esse tempo, t=AD/c

c

c

AD

BDc

t

BD

v

v

u z g group















Observar que a onda, avançando na velocidade c segundo β_u, demora um tempo t=λ/c, para percorrer a distância λ. Sendo esse tempo o mesmo no qual a interseção das frentes de onda com a parede do guia percorrem a distância L_z

λ

β

u

β

_z

β

_x

Lz

A

_B

D

_x

z

c

9





_g

=



/cos(



)



_n

=



/sin(



)



a

a = m



_n

/2 = m



/(2sin(



))

a.sin(



) = m



/2

Comprimentos de onda no guia e condição de

propagação

Podemos pensar em “componentes” do comprimento de onda da onda no espaço livre, segundo as direções transversal (_n) e de propagação do guia (_g). Com isto, temos uma forma de visualizar a condição de contorno. Uma onda com comprimento de onda λ poderá propagar-se num guia com largura “a” apenas para os ângulos que cumpram:

_g= comprimento de onda no guia

_n= comprimento de onda normal _{m = 1, 2, 3,...}

Análise do mecanismo de propagação em

Guias de Onda

a.sin(



) = m



/2

Para m=1, temos o modo fundamental de propagação.

Se  = /2, não haverá propagação no sentido do eixo do guia. Como condição

necessária para propagação então temos que:  < /2, e  < 2a/m. _c = 2a é chamado de comprimento de onda de corte (para o modo m=1), significa que só vão se propagar ondas com comprimentos de onda que sejam menores que o comprimento de onda de corte. Em geral, para o modo m de propagação: _c = 2a/m

Fica definida assim a frequência de corte, f_c = c/ _c . A propagação terá lugar só se f > f_c.

Observar que, da condição de propagação e da expressão para o _c podemos escrever:

Levando em conta as duas dimensões, a e b, a expressão para o comprimento de onda de corte fica:

2 2

)

/

(

)

/

(

2

b

n

a

m

c







Note que para o modo TE₁₀,

_c = 2a.

f

f

m

a

c c





















sin(

)

2

)

sin(

11

Relação entre a frequência e o angulo de

reflexão no guia de ondas

Frequência baixa Frequência média Frequência alta

f

f

_c



)

sin(

12

Comprimento de onda no Guia

2 2

1

sin

1

cos























c g

















Comprimento de onda segundo a direção do guia

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Modo Transversal Elétrico

₁₀

, TE

_10,

no guia de onda

Retangular

2

2

1

















a

g







O comprimento de onda no guia é diferente do comprimento de onda no espaço livre Comprimento de onda no espaço livre 14

Velocidade de fase no Guia

c

c/cos()

A velocidade do frente de onda segundo o eixo do guia é maior que a velocidade da onda no espaço livre, sendo maior do que a velocidade da luz. Na verdade, trata-se de uma velocidade aparente, já que não é transportada energia com essa velocidade. 2 2

)

(

1

)

2

(

1

)

cos(

c p

c

a

c

c

v



















15

Velocidade de grupo no Guia

c

c.cos()

A velocidade de grupo no guia é a velocidade de transmissão da energia, vemos que o produto das duas velocidades estudadas será o quadrado da velocidade da onda eletromagnética no espaço livre (caso o guia de onda não possua dielétrico, se possuir, será a velocidade da onda nesse meio).

)

cos(







c

v

_g 2

)

cos(

)

cos(

c

c

c

v

v

_{p g}











16

Equações dos campos em um Guia de Onda

Retangular

A partir das equações de Maxwell, vamos desenvolver as equações dos campos harmônicos num guia de ondas retangular. Vamos supor o guia preenchido com um material dielétrico sem perdas e livre de cargas, e as paredes condutoras perfeitas:

0

.





E

_s

0

.





H

_s s s

j

H

E











s s

j

E

H









As componentes de campo num sistema de coordenadas cartesianas são:

z

y

x

E

_s



E

_xs

ˆ



E

_ys

ˆ



E

_zs

ˆ

z

y

x

H

_s



H

_xs

ˆ



H

_ys

ˆ



H

_zs

ˆ

17

Equações dos campos em um Guia de Onda

Desenvolvendo os dois rotacionais nas equações de Maxwell:

xs

H

j

z

E

y

E

_zs ys

















ys

H

j

x

E

z

E

_{xs zs}

_















zs

H

j

y

E

x

E

_{ys xs}

















xs

E

j

z

H

y

H

_zs ys















ys

E

j

x

H

z

H

_{xs zs}

_













zs

E

j

y

H

x

H

_{ys xs}















Rotacional do E: _{Rotacional do H:} (1) (3) (2) (4)

Numeramos apenas as equações que iremos usar de aqui para frente

Equações dos campos em um Guia de Onda

Consideramos que os campos se propagam apenas na direção z, com isto:

z j x xs z

e

y

x

E

E



(

,

)

  z j y ys z

e

y

x

E

E



(

,

)

  z j z zs z

e

y

x

E

E



(

,

)

  z j x xs z

e

y

x

H

H



(

,

)

  z j y ys z

e

y

x

H

H



(

,

)

  z j z zs z

e

y

x

H

H



(

,

)

  A derivada de Ex a respeito de z: z j z xs

j

E

x

y

e

z

z

E

_

_

_

_{ }





)

,

(

x

As outras derivadas dos campos a respeito de z se escrevem em forma análoga

A equação (1) da transparência anterior, fica:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

y

x

H

j

y

x

E

j

y

y

x

E

y z z x















(5)

Onde foi usado:

z j z ys _z

e

y

x

E

j

z

E

_













)

,

(

y 19

Equações dos campos em um Guia de Onda

Utilizando o mesmo expediente, as equações (2), (3) e (4) ficam:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

j

H

x

y

x

y

x

E

y

x

E

j



_{z x} z







_y









(6)

)

,

(

)

,

(

)

,

(

y

x

E

j

y

x

H

j

y

y

x

H

y z z x













(7)

)

,

(

)

,

(

)

,

(

j

E

x

y

x

y

x

H

y

x

H

j



_{z x} z





_y









(8) Isolando Hx(x,y), na eq (5):

)

,

(

)

,

(

)

,

(

E

x

y

y

y

x

E

j

y

x

H

z z _y















x e, substituindo na eq (8):

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

y

x

E

j

x

y

x

H

y

x

E

j

y

y

x

E

_{z z z} z y y











_













(9) 20

Equações dos campos em um Guia de Onda

da equação (9), podemos resolver para Ey(x,y):































y

y

x

E

j

x

y

x

H

j

y

x

E

z _z z z

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

_{2 2}











y (10) Lembrando que:



2u





2







2x





2y





2z

da mesma forma, para as outras componentes de campo, temos:































x

y

x

H

j

y

y

x

E

j

y

x

H

z _z z z u

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

₂ 2









x (11)

































x

y

x

E

j

y

y

x

H

j

y

x

E

z _z z z u

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

₂ 2









x (12)

































y

y

x

H

j

x

y

x

E

j

y

x

H

z _z z z u

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

₂ 2









y (13) 21

Equações dos campos em um Guia de Onda,

modo T.E.

Modo T.E. => Ez=0 A equação de onda de Helmolthz para o campo H:

0

2

2







H

_s



H

_s

Vamos propor:

Expandindo para a componente z:

H

_zs



H

_z

(

x

,

y

)

e

jzz





(

,

)

0

)

,

(

)

,

(

2 2 2 2 2 2 2 2

















y

x

H

y

y

x

H

x

y

x

H

z z z z









(

)

(

)

0

)

(

)

(

2 2 2 2 2 2









X

x

Y

y

dy

y

Y

d

X

dx

x

X

d

Y





_z

Com isto, a equação acima fica:

Dividindo por X(x)Y(y):

2 2 2 2 2 2

1

(

)

1

(

)

dy

y

Y

d

Y

dx

x

X

d

X

z











Observar que o segundo termo depende apenas de x, e o terceiro de y; para esta equação ser valida para todo x e y, cada um desses termos deve ser cte.

(14) 22

)

(

)

(

)

,

(

x

y

X

x

y

y

H

_z



2 2 2

1

(

)

dx

x

X

d

X

x







Vamos expressar essas constantes:

2 2 2

1

(

)

dy

y

Y

d

Y

y







E a equação (14) fica: y x z 2 2 2 2















Ou, lembrando que, β2

u= εμω2 z u x y 2 2 2 2















0

)

(

₂ 2 2





X

x

dx

x

X

d



Vamos resolver:

Cuja solução geral:

X



c

₁

cos

 



_x

x



c

₂

sin

 



_x

x

Onde c₁, c_2, c₃ e c₄ são constantes.

0

)

(

₂ 2 2





Y

y

dy

y

Y

d

_

Cuja solução geral:

Y



c

₃

cos

 



_y

y



c

₄

sin

 



_y

y

Equações dos campos em um Guia de Onda,

modo T.E.

Sabemos que as componentes tangenciais do campo elétrico devem ser zero nas paredes do guia.





x

y

x

H

j

y

x

E

z z y

_







(

,

)

)

,

(

₂ 2









x

y

a

b

0

)

,

(

, 0







  x a x z

x

y

x

H

Desde que a única parte de Hz(x,y) que varia com x é X(x):

 

cos

 

0

sin

0

)

,

(

0 2 0 1 0 0

















    x x x x x x x x z

_c

_x

_c

_x

dx

dX

x

y

x

H

_

_

_

_

Para aplicar essa condição em Ey, rescrevemos a eq (10) com Ez=0. Olhando a geometria do guia retangular, fica claro que:

0

)

,

(

, 0 



 x a x sy

x

y

E

e

₍

_,

₎

₀

, 0 



 y b y sx

x

y

E

Então, pela condição para Ey:

Isso é valido apenas se c₂=0, daí:

_X

_x

_c

 

_x

x



cos

)

(



₁ (15)

Equações dos campos em um Guia de Onda,

modo T.E.

Aplicando agora a condição de contorno em x=a





₁

sin

 



0



a

c

dx

dX

x x a x





O qual se cumpre para:



_a

_m



x



Com m = 0, 1, 2, 3, ...

Para aplicar a condição de contorno em Ex, rescrevemos a eq (12) com Ez = 0.





y

y

x

H

j

y

x

E

z z u x











(

,

)

)

,

(

₂ 2







Com um raciocínio análogo ao já feito, chegamos a:

_Y

₍

_y

₎



_c

₃

_cos

 



_y

_y





_y

b



n

Com n=0, 1, 2, 3, ...

Daí, a componente z do campo magnético:

z j zs z

e

b

y

n

a

x

m

H

H



₀

cos(



)

cos(



)

  (16) (17)

Equações dos campos em um Guia de Onda,

modo T.E.

A partir da expressão para o campo Hz, eq (17), podemos determinar as outras expressões dos campos E e H. Por exemplo, para determinar Ey, usamos (17) em (15)





j z z sy z e b y n a x m H a m j z y x E             sin( )cos( ) ) , , ( _{2 0} 2 (18)

Analogamente, podemos calcular as outras componentes:





j z z z sx z e b y n a x m H a m j z y x H             sin( )cos( ) ) , , ( _{2 0} 2 (19)





j z z sx z e b y n a x m H b n j z y x E            cos( )sin( ) ) , , ( _{2 0} 2 (20)





j z z z sy z e b y n a x m H b n j z y x H            cos( )sin( ) ) , , ( _{2 0} 2 (21)





x

e

b

y

n

a

x

m

H

j

z

y

x

E

z j z u sy z

















 











cos(

)

cos(

)

)

,

,

(

0 2 2

Equações dos campos em um Guia de Onda,

modo T.E.

Equações dos campos em um Guia de Onda

Modo TE

₁₀

Vemos que, para os campos existirem, m ou n devem ser diferentes de 0.

Vamos escrever as expressões instantâneas dos campos para o modo TE₁₀: (pegar as componentes, multiplicar por e(jωt) _{e tomar a parte real}

)

cos(

)

cos(

0

t

z

a

x

H

H

_z











_z



₂



₀sin( )sin( ) 2 t z a x H a E _z z y         _  



₂



₀ sin( )sin( ) 2 t z a x H a H _z z z x         _   

Sendo nulas todas as outras componentes.





j z z n m sy z e a x H a j z y x E              sin( ) ) , , ( _{2 0} 2 0 , 1 Desde que j = ejπ/2_.





2 0 2 2 0 , 1

sin(

)

)

,

,

(





 









_{j z} j z n m sy

e

e

a

x

H

a

z

y

x

E

 z  







Multiplicando por ejωt





j z j j t z n m sy

e

e

e

a

x

H

a

t

z

y

x

E

z   













₂ 0 2 2 0 , 1

sin(

)

)

,

,

,

(

_{ } 













)



2 sin( ) 2 cos( ) sin( ) , , , ( _{2 0} 2 0 , 1             _{    }      t z j t z a x H a t z y x E _{z z} z n m sy

Tomando a parte real:









sin( )sin( ) ) , , , ( ) 2 cos( ) sin( ) , , , ( 0 2 2 0 , 1 0 2 2 0 , 1 z t a x H a t z y x E z t a x H a t z y x E z z n m y z z n m y



































           

Equações dos campos em um Guia de Onda

Modo TE

₁₀

, calculo de E

_y

(x,y,z,t)

Modo TE

₁₀ ) cos( ) cos( 0 z a x H H_z   _z



₂



₀sin( )sin( ) 2 z a x H a E _z z y          



₂



₀ sin( )sin( ) 2 _a z x H a H _z z z x         

Em t=0 as expressões para os campos ficam:

Frequência de corte

y x z y x u z 2 2 2 2 2 2 2

































Vamos reescrever a expressão para a cte de propagação:

Fica claro que, para termos propagação ao longo do guia (eixo z), é necessário que o argumento da raiz>0. Com esta condição é obtida a frequência de corte:



x y



c y x c 2 2 2 2 2

1

0





























Lembrando as expressões para βx e βy

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1

1

2

1

b

n

a

m

b

n

a

m

f

_c

_





























Teremos propagação apenas para f>fc.

As relações para frequência de corte são válidas tanto para modos TE quanto para

Relação de dispersão

Expressando ω como função de βz:

2 2 2 2 2 2 2

1

b

n

a

m

z

















A velocidade de fase: 2 2 2 2 2 2 2 2

1

1

b

n

a

m

v

z z z p























Usando a relação:



2u





2



v

c

z u z u z p





















Obtemos a relação de dispersão, a partir da qual é possível determinar as velocidades de fase e de grupo da onda :

Temos a expressão obtida via considerações geométricas. Porém a expressão completa como função de “a” e “b” leva em conta as duas dimensões do guia e a possibilidade de fazer esse calculo para qualquer modo de propagação. ₃₁

Relação de dispersão

A velocidade de grupo, a partir da relação de dispersão, se escreve:

c

b

n

a

m

d

d

d

d

v

u z z z z g



















_

























1

2 2₂ 2 2 ₂ 2

Recuperamos a expressão obtida apenas por considerações geométricas. Vamos supor um modo n=1, m=1, e fazer o gráfico ω vs β_z.

2 2 2 2 2

1

b

a

z

















ω

βz

2 2 2 2 11

1

b

a

c













ω

_c11

Dada uma ω₁ > ωc, o valor de βz se ajustará segundo o gráfico. Os valores de βx e βy não são ajustáveis, eles respeitam as condições de contorno (dependem das dimensões, a e b, do guia).

cβz

ω

₁

β

_1z









tan

tan

1 1







_p z p

v

α











tan

tan

1







_g z g z

d

d

v

α

_p

α

_g

c





tan

32

Relação de dispersão

Vamos supor agora que a frequência da onda a ser propagada no guia, seja tal que é maior do que duas frequências de corte:

0 1 2 0 1 2  

βz

ω

ω

_c2

ω

_c1

ω

₁

β

_2z

_β

1z

Vemos que, nesse caso, dois modos de propagação do guia são excitados. Isso significa

que a energia se “divide” entre esses dois modos, a través das configurações de campo correspondente. Os vetores de propagação correspondentes a esses dois modos, β_z1 e β_z2, indicam que cada um desses modos se propagarão com diferentes velocidades de grupo.

c

v

c

v

u z g u z g









2 2 1 1





33

Impedância Caraterística no Guia de Onda

A impedância característica é a relação entre as componentes transversais dos campos elétrico e magnético, a relação (E / H ) é

constante para todos os pontos da seção e igual à impedância característica Z_og, embora os valores de E e H variem de ponto a ponto

Na propagação segundo o modo TE10 no guia retangular a relação E/H (transversal), igual à impedância característica do guia, é dada por:

2

2

1

10



















a

Z

Z

_{og TE}





Impedância Caraterística no Guia de Onda

Modos TE

Podemos generalizar ese resultado para qualquer modo TE:

2 2

1

1

_

































f

f

Z

Z

c c TE og _mn









Onde η é a impedância intrínseca do dielétrico no interior do guia, , e “a” é a largura do guia

Para o caso em que o dielétrico seja o ar  = ₀ = 120 = 377 (impedância característica do vácuo).

Onde λc, fc, são os comprimentos de onda/ frequências de corte, respectivamente

Atenção: Expressão apenas válida para modos TEmn.