Teoria dos grafos a partir do ensino médio : uma abordagem no espectro do modelo dos campos semânticos

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Instituto Federal do Espírito Santo

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática

Bea Karla Flores Machado Teixeira Rodolfo Chaves

Samuel Jurkiewicz

UMA PROBLEMATIZAÇÃO DA

TEORIA DOS GRAFOS A PARTIR DO

ENSINO MÉDIO

Série Guia Didático de Matemática – No₂₁

Grupo de Pesquisa GEPEMEM

Grupo de Estudos e Pesquisas em Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática

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FICHA CATALOGRÁFICA

(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo)

Copyright @ 2013 by Instituto Federal do Espírito Santo Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto No. 1.825 de 20

de dezembro de 1907. O conteúdo dos textos é de inteira responsabilidade dos respectivos autores.

Observação:

Material Didático Público para livre reprodução. Material bibliográfico eletrônico e impresso.

Realização

Apoio

T266p Teixeira, Bea Karla Flores Machado.

Uma problematização da Teoria dos Grafos a partir do Ensino Médio/ Bea Karla Flores Machad Teixira, Rodolfo Chaves, Samuel Jurkiewicz. - Vitória: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, 2015.

70 p. : il. ; 21 cm. ISBN: 978-85-8263-108-9

1. Teoria dos grafos. 2. Matemática - Problemas, questões, exercícios. 3.Matemática - Estudo e ensino. I. Chaves, Rodolfo. II. Jurkiewicz. III. Instituto

Federal do Espírito Santo. IV . Título

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Instituto Federal do Espírito Santo

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática

Bea Karla Flores Machado Teixeira Rodolfo Chaves

Samuel jurkiewicz

UMA PROBLEMATIZAÇAO DA TEORIA

DOS GRAFOS A PARTIR DO ENSINO

MÉDIO

Série Guia Didático de Matemática – No 21

Grupo de Pesquisa GEPEMEM

Grupo de Estudos e Pesquisas em Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática

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Editora do IFES

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo Pró-Reitoria de Extensão e Produção

Av. Rio Branco, no. 50, Santa Lúcia Vitória – Espírito Santo - CEP 29056-255 Tel. (27) 3227-5564

E-mail: editoraifes@ifes.edu.br

Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática

Av. Vitória, 1729 – Jucutuquara.

Prédio Administrativo, 3o_{. andar. Sala do Programa Educimat.}

Vitória – Espírito Santo – CEP 29040 780

Comissão Científica

Dr. Edmar dos Reis Thiengo, D. Ed. - IFES Dr. Marcelo Almeida Bairral , D. Ed. - UFRRJ Dra_{. Lígia Arantes Sad, Dr}a_{. Ed. - UFES}

Dra_{. Sandra Aparecida Fraga da Silva, Dr}a_{. Ed. - IFES}

Coordenador Editorial

Maria Alice Veiga Ferreira de Souza Sidnei Quezada Meireles Leite

Revisão

Bento Tadeu Cuqueto

Capa e Editoração Eletrônica

Katy Kenyo Ribeiro

Produção e Divulgação

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Instituto Federal do Espírito Santo Denio Rebello Arantes

Reitor

Araceli Verônica Flores Nardy Ribeiro

Pró-Reitora de Ensino

Márcio Almeida Có

Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-graduação

Renato Tannure Rotta de Almeida

Pró-Reitor de Extensão e Produção

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Pró-Reitor de Administração e Orçamento

Ademar Manoel Stange

Pró-Reitora de Desenvolvimento Institucional

Diretoria do Campus Vitória do IFES Ricardo Paiva

Diretor Geral do Campus Vitória – IFES

Hudson Luiz Côgo

Diretor de Ensino

Viviane Azambuja Favre-Nicolin

Diretora de Pesquisa e Pós-graduação

Sergio Carlos Zavaris

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MINICURRÍCULO DOS AUTORES

Bea Karla Flores Machado Teixeira. Possui graduação em

Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo(1999), especialização em Aprendizagem Matemática pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Mestrado em Educação (RJ), Mestrado em Educação em Ciência e Matemática (IFES-Vitória) e Doutoranda em Engenharia de Produção (COPPE/UFRJ).

Rodolfo Chaves. Possui mestrado e doutorado em Educação

Matemática pela UNESP – Rio Claro. Leciona no curso de Licenciatura em Matemática no Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes. Tem experiência na área de Educação, com ênfase em Ensino-Aprendizagem, atuando principalmente nos seguintes temas: Educação Matemática, Ambientes de Aprendizagem, Educação Ambiental, Formação inicial e continuada de professores, Práticas educativas investigativas e Modelagem Matemática. É orientador no Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Ifes (EDUCIMAT). É coordenador institucional do Programa LIFE/CAPES desde 2012. É líder do grupo de Estudos e Pesquisas em Matemática Pura e Aplicada e Educação Matemática do Ifes – GEPEMEM.

Samuel Jurkiewicz. Possui graduação em Matemática pela

Universidade Santa Úrsula (1985), mestrado em Engenharia de Produção pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (1991) e doutorado em Matemática - Universite de Paris VI (Pierre et Marie Curie) (1996). Atualmente é professor titular da Universidade Federal do Rio de Janeiro, professor convidado do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca, e foi membro da comissão de provas -

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Aos professores e colegas do programa Educimat, aos amigos e a família. Obrigada pelo carinho!

―Mesmo quando tudo parece desaba, cab a mim decdir entre rir ou chorar, ir ou ficr, desistir ou lutar; porque descobri, no caminho incerto da vida, que o mais imposrtante é o decidir.".

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SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO... 09

INTRODUÇÃO ... 10

1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SEGUNDO GEORGE PÓLYA ... 12

2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SEGUNDO POZO .... 14

4 UNIDADE 1 - HISTÓRICO E DEFINIÇÃO ... 18

4.1 AULA 1: O problema das 7 pontes de Koningsberg ... 18

4.2 AULA 2: Teoria dos Grafos: grafos ordenados ... 24

5 UNIDADE 2- TIPOS DE GRAFOS ... 32

5.1 AULA 3: Definições necessárias ... 32

5.2 Caminhos, ciclos, circuitos ... 36

5.3 Mãos à obra! ... 38

6 UNIDADE 3- TEORIA DOS GRAFOS ... 42

6.1 AULA 4: Grafos Eulerianos e Hamiltonianos ... 42

6.2 AULA 5: Problemas Clássicos 1ª parte ... 51

6.3 AULA 5: Problemas Clássicos 2ª parte ... 62

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APRESENTAÇÃO

Propomos esse produto educacional para ser utilizado em cursos de formação inicial e continuada de professores de Matemática (e outras áreas), com o intuito de uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos a partir do ensino médio tendo como pré-requisitos: análise combinatória e matrizes.

Para tal inserção respaldamo-nos na Resolução de Problemas, como procedimento metodológico de ensino, conforme George Pólya, Juan Ignácio Pozo e Luiz Roberto Dante.

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Introdução

Primeiramente vamos nos perguntar “O que é um problema?”. Existem várias deﬁnições e escolhemos duas apenas pelo fato de que elas se adequam ao nosso trabalho.

Segundo Kantowski (1981), um problema é uma situação que difere de um exercício pelo fato do aluno não dispor de um procedimento ou algoritmo que conduzirá com certeza a uma solução que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la.

Para Dante (1989), um problema é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la. Ele ainda afirma que, um problema de Matemática, é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la e também que um bom problema suscita a curiosidade e desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e conformismo.

Então, problema é algo que ainda precisa ser resolvido com auxílio de algum procedimento ou algoritmo usando (ou não) a resolução de algum problema semelhante e conhecimentos prévios. Dante (1989, p.11-15) também sugere objetivos para se resolver problemas:

1) Levar o aluno a pensar produtivamente: para que o aluno pense produtivamente deve-se apresentar uma situação problema envolvente, que o desaﬁe e o motive a solucioná-la.

2) Desenvolver o raciocínio do aluno: além de desenvolver o raciocínio, desenvolver a habilidade de elaborar um raciocínio lógico para que ela saiba quais recursos podem ser propostos para a solução do problema.

3) Apoiar e estimular o aluno a enfrentar situações novas: desenvolver no aluno iniciativa, autonomia, criatividade para que ele esteja preparado ao se deparar com um novo problema e saber resolvê-lo.

4) Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática: preparar o aluno para saber quando e como utilizar conhecimentos matemáticos na resolução de situações-problema.

5) Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desaﬁadoras: incentivar e orientar o aluno para que trabalhe individualmente ou em grupo na “aventura” de buscar a solução de um problema. Sair do clássico esquema de explicar e repetir, a “mecanização” que já nos referimos anteriormente.

6) Equipar o aluno com estratégias para resolver o problema: mostrar para o aluno que ele precisa traçar estratégias para resolver o problema auxiliando-o na análise e solução de situações onde elementos desconhecidos são procurados.

Não incentivar a “mecanização” do uso das operações, por exemplo e também propomos Práticas Educativas Investigativas (PEI), pois, o aluno, em contado com a realidade do seu ambiente, desenvolve atitudes criativas em relação ao mesmo, cabendo aos professores desempenhar o papel de executores de uma educação que incorpore uma análise da realidade socioambiental

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cotidiano, levando-o a pensar globalmente, mas com possibilidades de agir localmente para transformar sua própria realidade ao invés de pôr-se utopicamente na tentativa de transformar o mundo, mas não a si mesmo.

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1. Resolução de Problemas segundo George Pólya

Um dos precursores de Resolução de Problemas é George Pólya, com a primeira edição do seu livro, traduzido para a língua portuguesa, em 1977: A arte de resolver problemas. Ele destaca na sua obra a importância da heurística, que é a arte da descoberta.

Vejamos o que propõe:

• Compreensão do problema

- É preciso compreender o problema. Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?

- Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?

Dante (1989), afirma que o professor deve fazer perguntas à classe para averiguar se os alunos compreenderam o que o problema está perguntando e para os encorajarem a fazer pergunta.

• Estabelecimento de um plano

- Encontrar a conexão entre os dados e a incógnita.

- É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata.

- É fundamental que se estabeleça um plano para a resolução.

Nessa etapa, Pólya (1995) sugere que o professor averigue se os alunos conhecem estratégias para resolver o problema e os questionar se já resolveram algum problema semelhante, como o resolveram e se podem usar essa resolução para auxiliar na solução desse problema.

No que se refere a esse quesito, Dante (1989) lembra a importância do diálogo do professor com a turma nessa estratégia de resolução: não é aconselhável que o professor apresente apenas a sua estratégia e resolva o problema através dela.

• Execução do plano

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• Retrospecto

- Examine a solução obtida.

- É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento?

- É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance?

- É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

A verificação do resultado é muito importante para completar o processo da Resolução de Problemas. Cabe então ao professor incentivar os alunos a defender por que a resposta está correta e fazer um retrospecto da resolução.

Para Pólya (1995), o estudante deve ser mais independente e cabe ao professor o papel de auxiliar o aluno, nem demais nem de menos: “se o aluno for deixado sozinho, ... é possível que não experimente nenhum progresso...Se o professor ajudar demais, nada restará para o aluno fazer.” (PÓLYA, 1995, p.1).

As atividades propostas aos alunos devem ser desafiadoras e interessantes para que os alunos se sintam motivados e curiosos na resolução de um determinado problema que, também quando possível, use seus conhecimentos para problemas do cotidiano.

Durante as atividades propostas neste guia, o professor pode e deve fazer intervenções que auxiliem o aluno. Não é para “dar a resposta pronta”, mas para ajudar a chegar na mesma.

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2. Resolução de problemas segundo Pozo

Constatamos em Pozo (1998) que o aluno só aprende a aprender com a solução de problemas, ele propõe que o ensinar a resolver problema não é “dotar” o aluno de habilidades e estratégias, e sim, que o aluno adquira hábitos e atitudes para se encontrar uma resposta para o problema.

A resolução de problemas não pode ser vista tão-somente como uma técnica a ser ensinada; Pozo (1998) propõe alguns critérios que permitem transformar as tarefas escolares em problemas, em vez de simples exercícios:

Na proposição do problema

1. Propor tarefas abertas que admitam vários caminhos possíveis de resolução e, inclusive, várias soluções possíveis, evitando assim as tarefas fechadas.

2. Modificar o formato ou a definição dos problemas, evitando que o aluno identifique uma forma de apresentação com um tipo de problema.

3. Diversificar os contextos nos quais se propõe à aplicação de uma mesma estratégia, fazendo com que o aluno trabalhe os mesmos tipos de problemas em diferentes momentos do currículo, diante de conteúdos conceituais diferentes.

4. Propor tarefas não só com um formato acadêmico, mas também dentro de cenários cotidianos e significativos ao aluno, procurando fazer com que o mesmo estabeleça conexões entre ambos os tipos de situações.

5. Adequar a definição do problema, as perguntas e a informação proporcionada aos objetivos da tarefa, usando, em diferentes momentos, formatos mais ou menos abertos, em função desses mesmos objetivos.

6. Usar os problemas com fins diversos durante o desenvolvimento ou sequência didática de um tema, evitando que as tarefas práticas apareçam como ilustração, demonstração ou exemplificação de alguns conteúdos previamente apresentados ao aluno.

Durante a solução do problema

1. Habituar o aluno a adotar as suas próprias decisões sobre o processo de resolução, assim como a refletir sobre esse processo, dando-lhe uma autonomia crescente nesse processo de tomada de decisões.

2. Fomentar a cooperação entre os alunos na realização das tarefas, mas também incentivar a discussão e os pontos de vista diversos, que obriguem a explorar o espaço do problema para comparar as soluções ou caminhos de resolução alternativos.

3. Proporcionar aos alunos a informação que precisarem durante o processo de resolução, realizando um trabalho de apoio, dirigido mais a fazer perguntas ou a fomentar nos alunos o hábito de perguntar-se do que a dar resposta às perguntas dos alunos.

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6. Valorizar a reflexão e a profundidade das soluções alcançadas pelos alunos e não a rapidez com que são obtidas.

Esses critérios são importantes tanto na formulação do problema como durante o processo de sua resolução por parte dos alunos e também na própria avaliação do aluno.

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3. Nossa proposta

Esse guia educacional é parte de uma dissertação de Mestrado onde foi proposta a oficina de inserir a Teoria dos Grafos a partir do ensino médio.

Primeiramente fizemos um questionário para investigar os conhecimentos prévios dos participantes sobre análise combinatória e matrizes, pois julgamos esses tópicos necessários para as atividades posteriores.

O número de participantes inicial era 10 e apenas 6 terminaram a oficina. Nossos encontros foram semanais e em média cada um com duas horas, totalizando 7 encontros, para serem trabalhados 3 unidades, a atividade final e o encerramento da oficina.

Fizemos a divisão das unidades em:  2 encontros para a unidade 1  1 encontro para a unidade 2  3 encontros para a unidade 3

 1 encontro para atividade final e encerramento da oficina

Por falta de tempo, tivemos somente 7 encontros, mas propomos que possa ser feita a oficina em dez encontros (ou mais) quando aplicada para mais participantes.

Após os encontros, o material era levado para casa e os participantes faziam as atividades e, caso ocorresse alguma dúvida, nos comunicávamos por um grupo fechado específico criado no facebook para esse fim.

Em todos encontros sempre ocorria uma “roda de conversa” sobre a atividade.

Na primeira unidade temos um pouquinho da história da Teoria dos Grafos com o problema das 7 pontes de Köningsberg. Os participantes gostaram de iniciar com esse problema “real”. Decidimos iniciar por esse problema “real”, justamente com o objetivo de seduzir o participante a “ver” a teoria dos grafos como mais uma alternativa/estratégia para resolver problemas.

No decorrer das oficinas, alguns participantes tiveram problemas de horários e problemas pessoais e abandonaram, mas pediram para ficar com o material para “estudar sozinho”. Permitimos que eles ficassem com o material e sugerimos mantermos contato pelo grupo no facebook.

Podemos dizer que essa oficina foi um projeto-piloto, onde a observadora também era pesquisadora e professora e às vezes não conseguia ficar sem interferir nas atividades realizadas pelos participantes, esse foi um ponto “negativo”.

Outro ponto negativo foi o pouco tempo para realizar a oficina, pois os participantes eram alunos do curso de licenciatura em Matemática e cederam, voluntariamente, algumas horas por semana parra participarem da oficina que era, conforme dito anteriormente, um projeto de uma pesquisa

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Nas oficinas posteriores decidimos dar mais ênfase para esses tipos de problemas e incluir (no mínimo) dois encontros para conhecer essa aplicação da Teoria dos Grafos. Isso varia de acordo com o número de participantes. Se for grande, pode-se dividir e cada um escolhe uma aplicação e apresenta para os demais, por exemplo.

Esperamos que nossa proposta auxilia na inserção da Teoria dos Grafos no ensino médio e aguardamos um retorno de sugestões e/ou críticas que podem melhorar esse material.

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UNIDADE 1 - HISTÓRICO E DEFINId2

Aula1:Oproblemadas7pontesdeKöningsberg

Corria o ano de 1736, na Prússia, numa remota cidade chamada Königsberg (atualmente Kaliningrado na Rússia) existem sete pontes ligando duas ilhas sobre o Rio Pregel. No domingo os moradores juntamente com turistas curiosos tentavam passar por todas as pontes sem repetir nenhuma e fazer todo o percurso.

Figura–As7pontesdasilhassobreoRioPregel.

Fonte: http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/639806.html

Tente “passar” pelas 7 pontes!! Basta você fazer o caminho sem tirar o lápis do papel! Conseguiu? Futuramente voltaremos a esse desafio.

• A representação de grafos e sua definição

Suponhamos que queiramos representar uma competição de xadrez onde há cinco jo-gadores (A, B, C, D e E) e cada jogador deva jogar com os demais dois a dois. Como você representaria essa situação?

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Tabela 2 – Esquema de combinação de jogadores tomados dois a dois A B C D E A - AB AC AD AE B BA - BC BD BE C CA CB - CD CE D DA DB DC - DE E EA EB CE ED

-Fonte: Composição própria

Por tabela?

Perceba que as “partidas” AB e BA têm os mesmos jogadores, isto é, a partida entre AB e BA é a mesma. Tal situação, em Análise Combinatória, denominmos Combinação, ou seja, a ordem (AB ou BA) não gera uma nova situação (no caso, uma nova partida). Mas poderíamos melhorar essa visualização?

E se fizermos um desenho? Melhorou?

Observando a figura 2, quantas “linhas” saem de A? E de B?

E de C? E de D? E de E?

O que significa esses resultados?

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Figura2–Esboçodepossíveispartidasentre5jogadores.

Fonte: Composição própria

O que elas representam?

Bom, vamos dar “nome aos bois”. Cada jogador será um vértice e cada ligação (partida) entre dois jogadores será chamada de aresta. Então na figura temos 5 vértices e 10 arestas. A partir daqui chamaremos essa figura de Grafo.

Segundo Jurkiewicz [1]: um grafo G consiste em um conjunto V(G) não vazio, finito de elementos denominados vértices e de um conjunto E(G) finito (possível vazio) de pares de elementos distintos de V(G) denominado arestas. Vamos representar os vértices por letras minúsculas (a,b, c etc.) e as arestas [a,b] ou ab indicando que o vértice a está ligado ao vértice b e os denominamos vértices adjacentes.

Exemplo:

De acordo com a figura:

V(G) = a, b, c, d e E(G) = ab, ac, ad, bc, cd O vértice a é adjacente aos vértices b, c e d. O vértice d não é adjacente ao vértice b.

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Figura3–Exemplodegrafo(01)

Tabela–Representaçãodeumgrafoobservandoosvérticesadjacentes Vértice d(v) a 3 b 2 c 3 d 2 Total de arestas 5

Veja que temos a partir do vértice a3 arestas. Essas arestas são ditas incidentes: ab é incidente em a e em b (os vértices a e b são adjacentes)

ac é incidente em a e em c (os vértices a e c são adjacentes) ad é incidente em a e em d (os vértices a e d são adjacentes)

Esse número também representa que o vértice a tem grau 3 e o representamos por d(v) = 3, logo, o grau de um vértice é dado pelo número total de arestas incidentes à ele. Mãos à obra!

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• 2 - Observe os grafos da figura 4 e complete a tabela correspondente. Figura–Grafosetabelasparaserempreenchidas

• Percepção:

Agora, veja dois resultados em cada grafo: a soma dos graus dos vértices e o número total de arestas!!! Encontrou alguma relação?

Para o grafo esboçado na tabela 03: soma dos graus:10

número total de arestas: 5 Viu a relação entre 5 e 10?

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• Nosso primeiro resultado: Teorema 1:

A soma dos graus dos vértices de um grafo é sempre o dobro do número total de arestas do grafo.

Vamos analisar por que isso acontece?

Ao contarmos os graus dos vértices estamos contando as extremidades das arestas uma vez. Sabemos que cada aresta tem duas extremidades, então, cada aresta foi contada duas vezes.

Escrevendo matematicamente:

Teorema 1: Para todo grafo Gd(v) = 2.m onde v∈V(G) e m o número total de arestas.

• Exercícios

– 1) Quatro desconhecidos se encontram no saguão do aeroporto e todos os

seus vôos estão atrasados. Eles decidem conversar, mas têm um problema: Akira fala japonês, inglês, francês e espanhol; Federe fala inglês, francês e espanhol; Pierre fala francês e espanhol e Paul fala inglês e japones. Re-presente por meio de um grafo todas as possibilidades de um deles dirigir a palavra a outro, sendo compreendido. (adaptado de Boaventura(1996))

– 2) Construa todos os grafos G=(X,U) com 8 vértices e 9 arestas, nos quais o

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Aula2:TeoriadosGrafos:GrafosOrdenados

Considere agora que tenho que sair de casa e passar em 4 lugares e quero fazer um grafo que representa o caminho que percorri sendo que fui primeiro ao médico, depois à farmácia, dali ao supermercado, à universidade e, por último, à casa.

Desenhe esse grafo.

Figura–Representaçãodosvértices

Uma forma de indicar o sentido do caminho é uma seta que indicará de onde saí e para onde fui.

Ao contrário dos grafos da Aula 1, nesse grafo existe uma ordenação. Dizemos que o grafo é orientado (ou dígrafo) e chamamos suas arestas de arcos.

Definição: Um grafo orientado G consiste num conjunto V(G) de vértices e de U(G)

um conjunto finito de arcos que são pares ordenados, sendo o primeiro a extremidade inicial (de onde saí) e o segundo a extremidade final (onde cheguei).

No caso do grafo acima os pares de arcos são: { casa, médico }

(26)

Figura–Representaçãodasituação

{farmácia, supermercado} {supermercado, universidade} {universidade, casa}

Podemos também classificar os vértices como sucessores e antecessores:

Sucessor: um vértice x é sucessor do vértice y, se existe um arco que sai de y e chega em x.

Antecessor: um vértice y é antecessor do vértice x, se existe um arco que parte de y e chega em x.

Então o vértice “supermercado” é sucessor do vértice “farmácia” e, o vértice “farmácia” é antecessor do vértice “supermercado”.

Representação de Grafos

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Antes de definir matriz de adjacência vamos falar de lista de adjacência que é uma lista dos vértices com os vértices adjacentes ao lado.

Exemplo:

Figura–Exemplodegrafo(02)

A lista de adjacência para o grafo da figura 34 é:

a b,c,d

b a,c

c a,b,d

d a,c

Observação: Note que outra vez a aresta ab aparece duas vezes (ab e ba)

A matriz de adjacência é uma matriz quadrada de ordem n, onde n é o número de vértices do grafo, onde cada linha e cada coluna se associam a um vértice. Os elementos da matriz são classificados da seguinte maneira: se os vértices são adjacentes recebe valor 1, caso contrário, 0. Isto é, se possui aresta (ou arco, para grafo orientado) o valor é 1, caso contrário, 0.

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⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a b c d a 0 1 1 1 b 1 0 1 0 c 1 1 0 1 d 1 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Matriz de adjacência do grafo da figura ??

Observe que nos grafos não orientados a matriz de adjacência é simétrica. E se o grafo for orientado? Como seriam a lista e a matriz de adjacência? Seja o grafo

Figura–Exemplodeumgrafoorientado

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Origem Destino a c,e b a,d c b d a,c e d

E sua matriz de adjacência do grafo da figura ?? é:

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a b c d e a 0 0 1 0 1 b 1 0 0 1 0 c 0 1 0 0 0 d 1 0 1 0 0 e 0 0 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Observe que essa matriz não é simétrica.

Outro tipo de representação é a matriz de incidência

A matriz de incidência é de ordem n x m, onde n é o número de vértices e m o número de arestas (ou arcos, para grafos orientados). Sendo que se uma aresta (ou arco) sai de um vértice ele receberá o valor 1 e quando chega a um vértice o valor será -1.

Exemplo:

V amos determinar a matriz de incidência do grafo da figura 9 A matriz de incidência do grafo da figura 9 é:

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Figura–Grafoorientado

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 3 4 5 6 7 8 a −1 0 0 0 +1 −1 +1 0 b +1 −1 0 0 0 0 0 +1 c 0 +1 −1 0 0 0 −1 0 d 0 0 +1 −1 0 +1 0 −1 e 0 0 0 +1 −1 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Observe que enumerei as arestas para facilitar a visualização. Mãos à obra!

1) Agora faça a matriz de incidência do exemplo da saída de casa. 2) Dada a matriz de incidência a seguir, desenhe o grafo

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⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 3 4 5 a +1 +1 +1 0 0 b −1 0 0 +1 0 c 0 −1 0 0 −1 d 0 0 −1 −1 +1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Algumas curiosidades sobre Grafos:

Quando um vértice incide nele mesmo, dizemos que esse vértice possui um laço e quando existem várias arestas ligando os mesmos vértices, temos arestas múltiplas, comoexemplificaografodafigura.

Figura–Grafocomlaçoearestasmúltiplas

O vértice b possui um laço e os vértices a e c possuem arestas múltiplas.

Exercícios

1)a)Escrevaamatrizdeadjacênciadografodafigura

b) Qual a soma dos números na primeira linha? E na segunda linha? Calcule A X A. Que números aparecem na diagonal principal? Como você explica isso?

(32)

2) Faça a lista e a matriz de adjacência do grafo do campeonato de xadrez.

3) Desenhe um grafo orientado com 6 vértices e construa a lista e a matriz de adjacência e a matriz de incidência.

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UNIDADE2-TIPOSDEGRAFOS

Aula3:Definiçõesnecessárias

As definições a seguir se referem a grafos não orientados.

• Cadeia - É uma sequência de arestas adjacentes que liga dois vértices.

• Grafo conexo - É o grafo em que todo par de vértices é unido por pelo menos uma cadeia. Observação: No caso de grafos orientados a conexidade deve considerar a direção dos arcos.

• Tipos de cadeia

– Uma cadeia é dita elementar se não passa duas vezes pelo mesmo vértice. – Uma cadeia é dita simples se não passa duas vezes pela mesma aresta.

• O comprimento de uma cadeia é o número de arestas da cadeia.

• Grau máximo e grau mínimo - O menor grau de um vértice em G é o grau mínimo, denotado δ(G), e o maior é o grau máximo, denotado Δ(G).

• Subgrafos-G_{éditoumsubgrafodeGseV(G}_)⊆V(G)eA(G_)⊆A(G).Na

figura,ografoGéumsubgrafodeG.OgrafoG”éditoumsubgrafoinduzido pelosubconjunto(a,b,c,d)deV(G),poistodasasarestasincidentesaosvértices dea,b,cedemGestãopresentesemG”.(Cf.figura39).

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d a b c e d Figura–Exemplodesubgrafo a b c e d a b c e

G

_G’

_G”

Tipos especiais de grafos

• Grafosregulares-Sãografosemquetodososvérticestemomesmograu.(Cf. figura).

Figura–Umgraforegulardegrau3

• Ciclo - Um ciclo é um grafo conexo regular de grau 2. A notação é Cn. (Cf. figura

).

• Grafocompleto-Umgrafoéditocompletoquandotodososparesdevérticesão ligados.RepresentamosporK_n,ondenéonúmerodevértices.(Cf.figura). • Grafonuloouvazio-Éumgrafoquenãopossuiarestas.(Cf.figura).

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Figura–Exemplosdeciclos

Figura–Exemplosdegrafoscompletos

• Grafocomplementar-SetemosumgrafoG,seucomplementarGéografocomo mesmoconjuntodevérticesmascomasarestasquefaltamnografooriginal.(Cf. figura).

É fácil perceber que V(G) = V (G) e que A(G) ∪ A(G) inclui todas as arestas de G.

• Grafosbipartidos(Cf.figura

ÉumgrafoemqueoconjuntoV devérticespodeserparticionadoemdoissub-conjuntosdisjuntosV₁eV₂talquetodaarestadeGtemumaextremidadeemV₁ eoutraemV₂. OsubconjuntoV₁éditoumsubconjuntoindependentedevértices dografoGpoisnãoháarestasligandodoisvérticesdeV1.Temostambémque V₂éumsubconjuntoindependentedevérticesdeG.(Cf.figura)

(36)

Figura–Exemplosdegrafonuloouvazio

6B 7A 7 B 8A 8B Figura–Doisgrafoscomplementares 6A _6A 6B 7A 7 B 8A 8B

Figura–Grafobipartido

• Grafosbipartidoscompletos-NotaçãoKp,q(figura)Éumgrafobipartidoem

(37)

Figura–GrafobipartidocompletoK_2,4

2. Caminhos, ciclos, circuitos

Nos grafos não orientados o conceito de cadeia é bastante direto. No caso dos grafos orientados temos de considerar também o sentido dos arcos. Isso nos leva ao conceito de caminho.

Caminho - é uma cadeia em um grafo orientado, na qual a orientação dos arcos é

sempreamesma,apartirdovérticeinicial.Porexemplo,nafigura,a−b−c−d−e éumcaminho.

Figura–Caminhonumgrafoorientado

Tambémusaremosotermocaminhoparadesignarcadeiasemgrafosnãoorientados. Nafiguratemososcaminhosa,b,c,d,eee,d,c,b,a.

IndicaremosacadeiaporP;pelasequênciadevértices(porexemploP=(a,b,c)na figura);ouaindapelasequênciadearestas(P=(ab,bc)namesmafigura.

(38)

Figura–Caminho

Observe que se temos um ciclo C_ne retiramos uma aresta, obtemos o caminho P_n. No caso de grafos orientados definimos um circuito.

Circuito-éumcaminhosimplesefechadonumgrafoorientado.Nafiguratemos,por

exemplo,oscircuitos: a,b,f,aeb,e,f,a,b;osvérticesinicialefinaldocircuitosãoos mesmos.

Figura–Circuito

Umcaminho(oucircuito)éelementarse,excluindoosvérticesinicialefinal,osdemais sãodistintos.Nafigura,a,b,c,d,aéumcaminhoelementarea,b,d,c,b,d,anãoé umcaminhoelementar.

Umcaminhoésimplessetodososarcossãodistintos,casocontrárioserádenominado composto. Na figura a, b, d, c, b é simples mas b, d, c, b, d, a é composto pois passamosduasvezesnoarcobd.

(39)

Figura–Caminhossimplesecomposto

Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos como subgrafos. Note que o fato de não ter ciclos faz com que a árvore seja a maneira mais "econômica"de conectar os vértices. As sárvores formam uma família importante de grafos e voltaremos a elas mais tarde.

Figura–Exemplodeárvore

3.Mãos à obra!

1. Desenhe:

(40)

b) K₇, K₈ c) C₆, C₇ d) P₄, P₇ e P₁₀. 2. Escrevatodososcircuitosqueexistemnografodafiguraedetermineo tamanhodecadaumdeles. Figura2–Exemplodegrafo(04)

3. Determineoscaminhossimpleseoselementaresdografodafigura.

4. Faça uma figura de caminho de comprimento zero, outra de comprimento 1 e outro caminho de comprimento 2.

5. Faça um circuito de comprimento 3 e outro de 4. Por que, num circuito n ≥ 3? 6. Faça a matriz de adjacências de um caminho de comprimento 4 e de um circuito

de comprimento 5.

7. Qual o grafo complementar do grafo que tem duas componentes conexas isomor-fas a K₃ e K₇ ?

(41)

8. Qual o grafo complementar do grafo que tem duas componentes conexas isomor-fas a K_r e K_s?

9. Mostre que um grafo G é deconexo então G tem um subgrafo bipartido completo. Mostre que a recíproca não é verdadeira.

10. Mostre que as seqüências (9, 8, 7, 6, 5, 5, 4, 3, 3) e (7, 7, 7, 6, 5, 4, 3, 2) não correspondem à seqüências de graus de nenhum grafo.

11. mostre que a seqüência(3, 3, 3, 3, 3, 3) corresponde a dois grafos não isomorfos. 12. Mostre que uma mesma seqüência pode corresponder a grafos não isomorfos. 13. Prove que δ≤ 2.m_n ≤ Δ.

14. Mostre que em um grafo bipartido m≤ n₄2.

15. a) Mostre que se G é conexo, então m > n− 1. b) Mostre que a recíproca não é verdadeira.

c) Qual o menor valor de m que garante que G é conexo ? 16. Desenhe uma representação do grafo cuja matriz de adjacência é:

(42)

0 1 0 1 1

1 0 1 1 0

0 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 0 0 1 0

17. Um grafo é auto-complementar se for isomorfo ao seu complemento. Mostre que se G é auto-complementar, então n= 4k ou n = 4.k + 1 para algum k inteiro. 18. O grafo de linha ou grafo adjunto, notação L(G) , é o grafo cujos vértices estão

em correspondência 1 a 1 com as arestas de G e cujas arestas ligam vértices que correspondem a arestas incidentes em G.

a) Mostre que L(K₃) = L(K_1,3).

b) Mostre que se G é regular de grau k, L(G) é regular de grau 2.k − 2.

c) Encontre uma expressão para o número de arestas de L(G) em função dos graus de G.

(43)

UNIDADE 3 - TEORIA DOS GRAFOS

Aula 4: Grafos Eulerianos e Hamiltonianos

Queremos fazer uma viagem por 7 cidades que estão representadas no grafo abaixo: Figura–Setecidadesrepresentadasnumgrafo

As cidades são os vértices a, b, c, d, e, f e g ; e as arestas são as estradas que interligam essas cidades Consideraremos que cada estrada possue mão-dupla. Perceba que o grafo não é orientado.

Se não temos nenhuma ordenação posso partir de qualquer cidade, certo?

Faça um roteiro para que visitemos uma cidade uma única vez, partindo de a.

(44)

E de g?

Voltando à Köningsberg

Está fácil, né? Vamos colocar restrições: agora só pode passar uma única vez em cada estrada, isto é, passar uma única vez em cada aresta, assim como no problema das 7 pontes.

Uma solução partindo de a: a, f , g, c, d, e, g, b, c, e, f , b, a.

Dica: é como se você desenhasse o grafo sem tirar o lápis do papel. Essa trajetória é denominada ciclo euleriano

Faça outro roteiro partindo de a

Escolha outra cidade e tente fazer o mesmo:

Vamos desenhar a situação das 7 pontes de Köningsberg na estrutura de um grafo: Figura–Setepontesrepresentadaporgrafos

(45)

Um matemático denominado Leonard Eüler, que viveu no século XVIII resolveu esse problema. Primeiramente ele admitiu que o problema poderia ser resolvido sendo que para "chegar"num vértice qualquer precisamos de uma aresta e, para sair, precisamos de outra aresta. Com isso cada vértice tem que ter sempre um par de arestas diferentes. Observe que o vértice d possui 3 arestas, então temos duas posibilidades:

• chegar, sair e chegar • sair, chegar e sair

Como sempre utilizamos um par de arestas, a terceira ficará sobrando, isto é, não pas-saremos por ela. Daí temos o seguinte resultado:

Teorema de Eüler:

Um Grafo conexo G admite um ciclo de Eüler se, e somente se, todos os seus vértices possuírem grau par.

Denominamos esses tipos de grafos de Grafos Eulerianos. Com isso o problema das 7 pontes não tem solução.

Agora responda: quantas pontes, no mínimo, devem ser contruídas para que o problema das 7 pontes tenha solução?

Desenhe sua solução:

Observação:

Se o grafo é orientado, para ele ser Euleriano, tem que se passar uma única vez em cada aresa, respeitando a orientação.

(46)

Figura–Situaçãoparainserirarestas

Figura–Exemplodegrafoorientadoeuleriano

Mãos à obra!

1. Observe se os grafos abaixo são Eulerianos, em caso negativo, complete com o número mínimo de arestas para que eles se tornem Eulerianos.

2. Elabore um exemplo que utilize grafos Eulerianos 3. Desenhe um grafo conexo orientado e Euleriano.

(47)

a) Fonte: Composição própria

b) Fonte: Composição própria

c) Fonte: Composição própria

(48)

Voltando a nossa viagem.

Vamos colocar outra restrição no nosso roteiro: agora passarei uma única vez em cada cidade. É possível?

Figura–Representaçaodesetecidades

Tentepartirdovérticea,observandoafigura. Conseguiu? Escreva o roteiro

Tente outro roteiro partindo, ainda, do vértice a.

Agora escolha um vértice e faça todos os roteiros possíveis, desde que não passe mais de uma vez em cada cidade.

Esse grafo, que pasa uma única vez em cada vértice é denominado Grafo

Hamiltoni-ano; em homenagem a Sir Willian R. Hamilton que estudo esse problema. (A primeira

formulação foi em 1985 por Kirman). Acredita-se que ele inventou um jogo que envolve um dodecaedro, como mostra a figura32, (sólido regular com 20 vértices, 30 arestas e 12 faces) e cada vértice recebeu o nome de uma cidade. O jogo consistia em via-jar ao redor do mundo passando em todas as cidades exatamente uma vez sendo que, se viajava de uma cidade à outra somente se seus vértices tivessem uma aresta em comum.

A trajetória seria:

(49)

Figura–Dodecaedro

Fonte: JURKIEWICZ, 2009

Figura–Ciclohamiltonianonododecaedro

Curiosidade:

No jogo de xadrez, o cavalo faz movimento em "L"(ele anda um quadrado num sentido e três quadrados no outro) conforme a figura abaixo:

Tente mostrar que o cavalo pode atravessar todo o tabuleiro do xadrez passando uma única vez em cada casa, isto é, fazendo um grafo Hamiltoniano.

(50)

Figura–Movimentodocavalonojogodexadrez

Mãos à obra!

1. Escreva se os grafos abaixo são ou não Hamiltonianos.

a) Fonte: Composição própria

2. Justifique que podemos dispor as peças de um dominó, com as regras usuais, de tal maneira que a última peça colocada é ligada com a primeira peça colocada. Dica: Faça o grafo G(V, E) com V = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3. Podemos desenhar um Grafo Euleriano com um número par de aresta e um nú-mero ímpar de vértices? Em caso afirmativo, desenhe, em caso negativo, justifi-que.

(51)

b) Fonte: Composição própria

c) Fonte: Composição própria

4. Justifique se existe um grafo bipartido Hamiltoniano com um número ímpar de vértices.

Solução do jodo de xadrez:

Figura–Soluçãodojododexadrez

(52)

Aula 5: Problemas clássicos -

1

a

parte

Começaremos a estudar agora alguns problemas clássicos da Teoria dos Grafos. Ve-remos que em alguns casos será possível encontrar algoritmos eficientes, mas muitas vezes nos depararemos com problemas difíceis de serem suplantados, mesmo com bons computadores. Começaremos por um problema simples.

O Problema do Caminho Mínimo

Um motorista deseja encontrar o caminho, mais curto possível, entre duas cidades do Brasil. O que ele pode fazer? Temos o mapa das estradas marcando a distância entre cada par de cidades. Uma solução é enumerar todas os caminhos que levam de uma cidade à outra e escolher sempre o menor caminho.

Por exemplo:

Encontrar o menor caminho entre as cidades A e J .

Figura–MapadasestradasentreascidadesAeJ

(53)

Saindo do vértice A temos três escolhas: B, C e D. Dos vértices B, C e D temos mais três escolhas: vértices E, F e G. De E, F e G temos duas escolhas: vértices H e I e, finalmente de H e I, temos o vértice J .

O menor caminho saindo do vértice A é indo para D. Com isso eliminamos os vértices B e C. De D temos duas opções: E e F . Vamos escolher E, daí temos apenas H e depois J . O custo total foi 10. Se, de D tivéssemos escolhido F , depois I e depois J, também teríamos o custo igual a10. Logo,para esse grafo, temos duas soluções.

É claro que nem todo grafo será tão simples. Pensemos num problema correlato: a partir de um dado vértice, encontrar o menor caminho até todos os outros vértices. Pense num entregador de pizza; ele deve entregar as pizzas rapidamente. Mas só nos interessa a distância do vértice inicial (a pizzaria) aos outros vértices do grafo (os clientes).

Como todos os arcos são positivos podemos utilizar um algoritmo elegante e eficiente, o algoritmo de Dijkstra. Esse algoritmo foi apresentado por Edsger Wybe Dijkstra, em 1952. Dijkstra nasceu em 1930, na cidade de Roterdan - Holanda, e morreu em 2002. Foi um cientista de computação e recebeu o Turing Award de 1972 por suas contribuições fundamentais na área de linguagens de programação.

Algortimo de Dijkstra

Esse algoritmo só pode ser usado se o grafo não apresentar valores negativos. As arestas geralmente representam distâncias ou tempos médios de percurso.

Assumiremos um conjunto, chama-lo-emos P ERM , que contém inicialmente apenas o vértice fonte (raiz da busca) s. A qualquer momento P ERM contém todos os vértices para os quais já foram determinados os menores caminhos usando apenas vértices em P ERM a partir de s. Para cada vértice z fora de P ERM mantemos a menor distância dist[z] de s a z usando caminhos onde o único vértice que não está em P ERM seja z. É necesssário também armazenar o vértice precedente a z neste caminho em path[z]. Como fazer com que P ERM cresça, ou seja, qual vértice deve ser incluído em P ERM a seguir tomamos o vértice, entre todos os que ainda não pertencem a P ERM , com menor distância dist. Acrescentamos então este vértice (chamemo-lo de current), a

(54)

P ERM , e recalculamos as distâncias (dist) para todos os vértices adjacentes a ele que não estejam em P ERM , pois pode haver um caminho menor a partir de s, passando por current, do que aquele que havia antes de current ser agregado a P ERM . Se houver um caminho mais curto precisamos também atualizar path[z] de forma a indicar que current é o vértice adjacente a z pelo novo caminho mínimo.

Fazendo a aplicação:

Primeiramente, defini-se o nó de origem (raiz), neste caso s, e inclui-se este nó em P ERM . Atribui-se zero àa sua distância (dist[s]) porque o custo de ir de s a s é obvia-mente 0. Todos os outros nós i tem suas distâncias (dist[i]) inicializadas com um valor bastante grande, isto é∞ ("infinito").

Figura–AlgoritmodeDijkstra(01)

A partir de s consulta-se os vértices adjacentes a ele, que no grafo G são u e x. Para todos os vértices adjacentes, que chamaremos z, calcula-se:

Se dist[z] > dist[s] + peso(s, z) dist[z] = dist[s] + peso(s, z) path[z] = s

Fim Se

(55)

distância. Neste caso é o vértice x, pois dist[x] = 5.

Então, inclui-se x em P ERM e a partir de x consulta-se os vértices adjacentes a ele que não estão em P ERM , que no grafo G são u, v e y. Para todos os vértices adjacentes, que chamaremos z, calcula-se:

Se dist[z] > dist[x] + peso(x, z) dist[z] = dist[x] + peso(x, z) path[z] = x

(56)

Fim Se

e

Dentre todos os vértices não pertencentes a P ERM escolhe-se aquele com a menor distância. Neste caso é o vértice y, pois dist[y] = 7.

Inclui-se então y em P ERM e a partir de y consulta-se os vértices adjacentes a ele que não estão em P ERM , que no grafo G é apenas o vértice v.

Se dist[v] > dist[y] + peso(y, v) dist[v] = dist[y] + peso(y, v)

(57)

path[v] = y Fim Se

Dentre todos os vértices não pertencentes a P ERM escolhe-se aquele com a menor distância. Neste caso é o vértice u, pois dist[u] = 8.

Inclui-se então u em P ERM e a partir de u consulta-se os vértices adjacentes a ele que não estão em P ERM , que no grafo G é apenas o vértice v.

Se dist[v] > dist[u] + peso(u, v) dist[v] = dist[u] + peso(u, v)

(58)

path[v] = u Fim Se

Dentre todos os vértices não pertencentes a P ERM escolhe-se aquele com a menor distância. Neste caso é o único vértice restante v e dist[v] = 9.

Finalmente, faz-se v pertencer a P ERM . Neste ponto, todos os vértices já estão em P ERM e a busca é finalizada.

(59)

Exercícios

Nas páginas a seguir você encontrará vários grafos para exercitar o algoritmo de Dijks-tra. Eles foram retirados de uma página da Internet : http://www-b2.is.tokushima-u.ac.jp/ ikeda/suuri/dijkstra. A partir do vértice1 (ou do vértice assinalado como partida) queremos saber a menor distância e o trajeto até todos os outros pontos.

Depois de fazer os exercícios voce pode ir até a página Internet e utilizar o programa que executa visualmente o algoritmo de Dijkstra para cada grafo.

(60)

(61)

(62)

PARTIDA

(63)

Aula 6: Problemas clássicos -

2

a

parte

O Problema do Carteiro Chinês

Como podemos ajudar um carteiro para que ele entregue todas as correspondências e ande o menos possível? Isto é, minimizar a distância percorrida. Se colocarmos a situação na estrutura de um gafo, as arestas correspondem às ruas e os vértices correspondem aos cruzamentos das ruas. Para que a distância seja minimizada, temos que encontrar um ciclo euleriano nesse grafo. Resumindo, temos que identificar um caminho de mínimo comprimento que se inicie em algum vértice, passe por todos as arestas uma vez e retorne ao vértice inicial. Mais uma vez, nos lembra o problema das 7 pontes.

Podemos aplicar essa situação em viagens, transporte de mercadorias, etc. Relembrando o grafo euleriano:

Se pudermos percorrer, num grafo, cada aresta uma única vez, partindo e chegando do mesmo vértice, temos um grafo euleriano.

Observandoafigura4temosumatrilhaeulerianapartindodovérticea:a−b−c−d −e−f−a−d−b−e−a.

E o grafo é:

Observe que todos os vértices do grafo tem grau par, concordando com o nosso primeiro resultado: o Teorema de Eüler.

Será que existe uma maneira de transformar um grafo que possui vértices de grau ímpar num grafo euleriano?

Vamosanalisarografodafigura.

Partindo do vértice a, temos uma trilha aberta a− e − b − d − c − b − a − d − e que é dita semi-euleriana, tornando o grafo um grafo semi-euleriano. Nesse caso temos dois

(64)

vértices de grau ímpar: a e e. Se tivéssemos uma outra aresta ae o grafo seria euleriano. Podemoscolocarumaaresta“virtual”e,comisso,“eulerizar”ografo.Cf.figura Agora temos a trilha euleriana partindo do vértice a: a− e − b − d − c − b − a − d − e − a Nesse caso, para dois vértices de grau ímpar foi fácil. Mas, e se o grafo tivesse três vértices de grau ímpar? Seria possível? Tente desenhar a situação.

Não podemos ter 3 vértices de grau ímpar pois o somatório dos graus de um vértice é igual ao dobro de arestas, logo, é um número par, pois contamos as arestas duas vezes. Isto é,d(v) = 2m

(65)

Figura–Grafo“eulerizado”

Voltando ao problema do carteiro: primeiramente teremos um grafo valorado, pois as arestas podem ser o comprimento de cada rua, por exemplo. Lembrando que, podemos usar também como valores: pesos, distância, tempo mínimo, etc.

Se o grafo for euleriano, não temos problema. Se não for euleriano, temos que escolher os pares de forma que a repetição tenha peso mínimo, e isto é um problema difícil pois temos que “eulerizar” o grafo. Com isso ficaremos com a questão: Como encontrar um percurso que passe por todas as arestas repetindo-as o menor número possível? Inicialmentevamosobservarumgrafoquenãotenhacicloeuleriano,confomeafigura

.

Figura–Grafossemcicloeuleriano

(66)

Nessegrafotemos8vérticesdegrauímpar:B,C,E,I,H,L,NeO.Vamosacrescentar arestas nos vértices de grau ímpar para torná-los vértices de grau par; duplicando as arestasexistentesnosvértices,conformemostraafigura

Figura–Acrescentandoarestasnosvérticesdegrauímpar

Temos então um grafo com todos os vértices de grau par que admite um ciclo euleriano. Nesse exemplo, encontramos o ciclo A− B − C − G − K − O − N − J − F − B − C − D− H − L − K − J − I − E − F − G − H − L − P − O − N − M − I − E − A que repete quatro arestas, sendo essa a melhor solução que é denominada solução ótima. Voltando ao nosso carteiro: o que pretendemos fazer é que o carteiro, se precisar, per-corra novamente as ruas menores, isto é, mais econômicas.

(67)

ATIVIDADE FINAL

Resolva os problemas:

1. Figurativo é um país com nove cidades de nomes 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Um viajante descobre que existe vôo direto de uma cidade a outra se e somente se o núemro de dois algarismos formados pelos nomes das cidades é divisível por 3. Represente todos os vôos possíveis.

2. Em Interiorana existem 15 telefones. eles podemser conectados por fios de modo que cada telefone seja conectado a exatamente cinco outros?

3. Um determinado reinado tem 100 cidades e saem quatro estradas de cada uma delas. Quantas estradas existem ao todo nesse reinado?

(68)

REFERÊNCIAS:

DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo, Ática, 1989.

ECHEVERRÍA, M.D.P.P. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. ArtMed, Porto Alegre, 1998, ch. A solução de problemas em matemática, p.43-65.

FOMIN, Dmitri; GENKIN, Serget; ITENBERG, Ilia. Círculos Matemáticos. A Experiência Russa. Rio de Janeiro, IMPA, 2012.

KANTOWSKI, M. G. Problem solving Mathematics education research: Implications for the 80’s. In Fennema, 1981.

PÓLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Interciência, Rio de Janeiro, 1995.

POZO, J. I. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. ArtMed, Porto Alegre, 1998.

(69)

DEFINIÇÕES

CONHECIDAS

Um grafo simples, ou simplesmente grafo G é um conjunto V(G) não vazio finito de elementos denominados vértices, e de um conjunto E(G) finito (possivelmente vazio) de pares de elementos distintos de V(G), denominados arestas. Diremos que |V (G)| = n e que |E(G)| = m. Uma aresta x ∈ E(G) tal que u e v são seus extremos, pode ser escrita como(u, v), (v, u), uv ou vu.

Dado um vértice v, o número de arestas incidentes em v determina o grau de v, que denotamos por d(v) e o vértice que tiver o maior grau será o grau máximo do grafo G, e denotado porΔ(G) e o que tiver menor grau será o grau mínimo do grafo G denotado por δ(G).

Denomina-se número cromático (χ) o menor número de cores utilizadas para colorir os vértices de um grafo.

Denomina-se índice cromático(χ) o menor número de cores utilizadas para colorir as arestas de um grafo.

Denomina-se número cromático total (χ) o menor número de cores utilizadas para que se tenha uma coloração total de um grafo, isto é, vértices e arestas.

Os resultados e conjectura clássicos para coloração são:

Teorema de Brooks (1941) que nos garante que num grafo G, conexo, sem cliques e

sem ciclo ímpar, temos que χ≤ Δ.

Teorema de Vizing(1965):

“Para qualquer grafo G, temos que Δ(G) ≤ χ(G) ≤ Δ(G) + 1”

Se χ(G) = Δ(G), o grafo é dito do tipo I; se χ(G) = Δ(G) + 1 de tipo II.

(70)

Para qualquer grafo G, temos χ(G) ≤ Δ(G) + 2.

Um grafo é denominado completo quando todo vértice for adjacente a todos os outros vértices do grafo e será denotado por K_n, onde n é o número total de vértices do grafo. Dado um grafo G, uma clique é um subgrafo completo de G.

Um caminho em um grafo é uma sequência de vértices onde, em cada um dos vértices, existe uma aresta para o próximo vértice da sequência.

Um grafo é dito conexo se, para quaisquer dois vértices, existe um caminho que começa num vértice e termina no outro.

Um grafo é denominado regular quando todos os seus vértices tiverem o mesmo grau e será denotado por k-regular, onde k é o grau do vértice.

Um ciclo é um grafo regular conexo de grau 2. Um grafo que seja apenas um ciclo é denotado por C_n.

Uma coloração equilibrada de vértices é uma coloração de vértices em que a quanti-dade de vezes que uma cor ocorre é sempre igual an_χoun_χ; isto é, a ocorrência de duas cores difere de, no máximo, uma unidade.

O menor número de cores para os quais exista uma coloração de vértices equilibrada é chamado número cromático equilibrado, notado por χ_eq.

Se todas as cores ocorrem n_χ vezes, essa é uma coloração perfeitamente equilibrada

de vértices.

Uma coloração equilibrada de arestas é uma coloração de arestas em que a quanti-dade de vezes que uma cor ocorre é sempre igual am_χ

ou_χm

, isto é, a ocorrência de duas cores difere de, no máximo, uma unidade.

O menor número de cores para os quais exista uma coloração de arestas equilibrada é chamado índice cromático equilibrado, notado por χ_eq.

(71)

de arestas.

Uma coloração total equilibrada é uma coloração de vértices e arestas em que a quan-tidade de vezes que uma cor ocorre é sempre igual a

n+m χ

en+m_χ , isto é, a ocorrência de duas cores difere de, no máximo, uma unidade.

O menor número de cores para os quais exista uma coloração total equilibrada é cha-mado número cromático total equilibrado, notado por χ_eq.

Se todas as cores ocorrem n+m_χ

eq vezes, essa é uma coloração total perfeitamente

(72)

Teoria dos grafos a partir do ensino médio : uma abordagem no espectro do modelo dos campos semânticos

UMA PROBLEMATIZAÇÃO DA

TEORIA DOS GRAFOS A PARTIR DO

ENSINO MÉDIO

UMA PROBLEMATIZAÇAO DA TEORIA

DOS GRAFOS A PARTIR DO ENSINO

MÉDIO

Introdução

UNIDADE 1 - HISTÓRICO E DEFINId­2

Aula1:Oproblemadas7pontesdeKöningsberg

Aula2:TeoriadosGrafos:GrafosOrdenados

UNIDADE2-TIPOSDEGRAFOS

Aula3:Definiçõesnecessárias

G

G’

G”

Tipos especiais de grafos

2. Caminhos, ciclos, circuitos

3.Mãos à obra!

UNIDADE 3 - TEORIA DOS GRAFOS

Aula 4: Grafos Eulerianos e Hamiltonianos

Voltando à Köningsberg

Mãos à obra!

Voltando a nossa viagem.

Mãos à obra!

Aula 5: Problemas clássicos -

1

parte

O Problema do Caminho Mínimo

Algortimo de Dijkstra

Exercícios

Aula 6: Problemas clássicos -

2

parte

O Problema do Carteiro Chinês

ATIVIDADE FINAL

REFERÊNCIAS:

DEFINIÇÕES

CONHECIDAS

UNIDADE 1 - HISTÓRICO E DEFINId2

_G’

_G”