Cálculo de placas com ângulos reentrantes

(1)

CÃLCULO DE PLACAS COM ANGULOS REENTRANTES

OBADIA COHEN

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE PaS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M. Se.).

Aprovada por:

Prof. Paulo Alcântara

RI O DE OBTENÇÃO

•

Pro Sergio Fernandes Villaça

RIO DE JANEIRO, RJ. - BRASIL JANEIRO DE 1983

(2)

i i

COHEN, OBA D IA

Câli:ulo de Placas com /1.ngulos Reentrantes I Rio de Janeiro 1

1 9 8 3 •

p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M. Se., Engenharia Civil, 1980)

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Fac. Engenh~

ri a.

1. Estudo de Placas

l. COPPE/UFRJ

(3)

SINOPSE

O presente trabalho tem como objetivo determinar

orientação conveniente no projeto de placas com ângulos

reen-trantes, com diversas condições de contorno, executadas em con

ereto armado. Foi feito um estudo da influência da relação de

lados no comportamento geral dos esforços, asstm como estudamos os casos de placas com chanfro variável, e contorno serrilhado.

Na análise, foi utilizado o método dos elementos finitos através dos programas "LORANE", com um elemento retang~

lar não-conforme, com quatro n6s e doze descolamentos nodais, e "STAP", com um elemento retangular isoparamêtric~,

(4)

iv

ABSTRACT

This paper aims to determine an adequate orienta tion in the design of plates with re-entrant angles, with various· boun

dary conditions, which were made of reinforced concrete. A stu

dy made of the relation of the sides in the general behaviour

of the efforts, and examples of plates with variable bevel, and serrated boundary were also studied.

ln the analyses; the finite element method was

employed, using the "LORANE" programs, with a non - conformi ng rectangular finite element; presenting four nodes and

nodal displacements; and "STAP", with an isoparametric gular element.

twelve

(5)

rectan-V

ÍNDICE

Pág.

CAPÍTULO 1 1 NTRODUÇ/10 • . • • • • • . . . • • . .

CAPÍTULO 11 - SELEÇIIO DOS CASOS .• • • . . • • • • • • . li

Casos Estudados 16

CAPÍTULO 111 - PROGRAMAS ADOTADOS • . . . • . . . . • • . . 23

1 1 1 • 1 - Lorane . •

Formulação Algébrica e Matricial Empregada

1 1 1 • 2 - Sta p • • .

.

. . . . .

.

. . . . .

.

Formulação do Elemento

. .

.

. .

.

. . . .

. .

.

23 28 3 1 3 1 CAPÍTULO IV - APLICAÇÕES • , . • . . • • . . . • • . 37

Placas Totalmente Apoiadas . Placas Totalmente Engastadas

Placas com Bordos Apoiados e Engastados Placas com apoios Internos Serrilhados . EnvoltÕria de Esforços Principais Negativos

CAPÍTULO V - ANÃLISE DOS RESULTADOS E SUGESTÕES

CAPÍTULO VI - CONCLUSÕES 38 61 84 1 51 184 192 206

(6)

Vi

APENO ICE A - Notações Utilizadas no Desenvolvimento do Trabalho . . . .

Pág.

209

APf:NDICE B - Convenções Adotadas no Estudo das Placas . . 212

APf:NDICE C - Armação Segundo Faixas 2 1 3

(7)

CAPTTULO

INTRODUÇÃO

Com a evolução natural de novas concepçoes arqu~ tetônicas e com o desenvolvimento de formas geométricas mais a~

rajadas, o engenheiro calculista se viu obrigado a lançar mao

de novos métodos de cálculo, pois as soluções clássicas por ve

zes muito simplificadas, ora impediam uma aproximação melhor

dos problemas elásticos tradicionais, ora por sua complexidade

se tornavam quase impossfveis de serem determinadas,

t

fato notório que a arquitetura atual tem acen

tuada tendência pelos tetos lisos. Essa exigência, válida para

apartamentos de bom nível, é obviamente mais enfatizada grandes salões de museus, ambientes amplos de reuniões

para

coleti-vas, clubes, grandes armazéns e ediffcios públicos, onde fre

quentemente as plantas apresentam configurações menos comuns.

Não são raros, casos de lajes (pisos ou coberturas) em forma de 11_L1

' , 11

u

11, 11T11, 11H11 e até mesmo 11F11 (Figura 1.I), com concordân cias também variando segundo as preferências dos projetistas.

t

comum que o projeto de tais lajes e suas res-pectivas armaçoes no concreto armado seja realizado pelo método

empfrico das faixas. Sumariamente consiste em definir tais fai

xas segundo direções onde supostamente dar-se-ão os momentos mi

ximos e armá-las convenientemente. Frequentemente se relevam

(8)

~

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(9)

3

balhem negativamente, e que aparecem nao sonos cantos simple~

mente apoiados, como nas vizinhanças dos ângulos que ocorrem em todos os exemplos da Figura 1

.I.

reentrantes Isso será

denciado nesta tese, onde recomendações adequadas a tais ções serão apresentadas.

evi situa

O advento do computador digital fez com que se

reorganizasse a teoria das estruturas sob forma matricial e os

métodos numéricos saíssem do resguardo apenas discursivo tornan do-se verdadeiras ferramentas no aprimoramento e principalmente na resolução de problemas insolüveis pelas teorias clássicas.

Dentre os métodos numéricos aproximados, o dos

elementos finitos constitui o processo de discretização mais p~

derasa da teoria das estruturas. Considera a estrutura dividi

da em partes ou elementos, ligados entre si em pontos nodais,

onde se supõe concentradas todas as forças de ligação entre ele

mentas. Sendo as solicitações e deformações discretizadas nos

nós, o comportamento elástico e mecânico de cada elemento pode

ter expressão matemática tão simples quanto a dos elementos

in-finitesimais da solução clássica. A composição destes elemen

tos para constituir a estrutura considerada, dá lugar a siste

mas de equações facilmente tratados por via matricial com o em

prego dos computadores.

Desde já queremos assinalar dificuldades que en

contramos quando fomos levados a trabalhar conjuntamente com ma

(10)

pro-4

gramas existentes não se mostraram bons,

De qualquer forma esse precalço nos levou ao

exa-me de uma situação interessante, qual seja a de um bordo apoi~

do em serrilhado como mostra a Figura 2. 1, caso que sera dado adiante. A .----.--. B

~it/ ::;::::,....--,

e

E D Figuro 2. 1 estu

Embora seja suposto todo o contorno em apoio sim

ples, toda a região tracejada trabalhará negativamente, pela

ação de engastamento realizada pelos segmentos bc ou cd nas

respectivas direções. Isso conduz a uma conclusão que antecip~

mos mas que será detalhada mais adiante.

t

poss Ível com um

(11)

5

Vários resultados semelhantes serao expostos no

decorrer deste trabalho.

Ficamos sempre restritos dentro das possibilid~

des dos programas existentes e por nós adotados nesta análise.

Foram adotados no presente trabalho os programas

"STAP" e "LORANE" •. O "STAP" ut i 1 i zado na primeira etapa da obtenção de resultados foi montado durante o curso de "Elemen tos Finitos" na COPPE a partir de um programa do livro do Bathe Wi 1 son

1

_1,

_{Posteriormente serão descritos detalhes dos} _dois programas, embora no momento podemos afirmar que o "STAP", por

não possuir uma linguagem automática foi preterido na presença

do "LORANE" largamente uti 1 i zado e testado, embora apresente em sua formulação um elemento isoparamétrico de fáci 1

e i a.

1

-CONVENÇÃO DE SINAIS E NOTAÇÃO DOS ESFORÇOS

y

"'' j

_My l=====:::::;i B A X

(12)

convergenA

B

-6

Faceta que contem ao seu lado

Faceta que contem ao seu 1 ado

M (seta dupla) paralelo

X

M (seta dupla) paralelo

y

2- Para determinaçio dos esforços principais, foram ,:til izadas

as seguintes expressoes:

=

M

+

M

X 2 ± M a

=

2 are tg ( x ~ -M - M X y ) +

4 M

2 xy

Os valores de a serao sempre marcados a partir da Faceta A.

O ângulo a sera positivo quando marcado na dire

-çao dos ponteiros do relógio e negativo no sentido

métrico.

(13)

7 2. l - Se M > M X y entao a

=

a l l + l X A

1 - ângulo formado pelas facetas A e 1.

2.2 - Se M > M entao

y X

II + II

X

A

11 - ângulo formado pelas facetas A e 11.

3-

Simbologia Completa para a Representação dos Esforços Prin

c i pais

O vetor seta dupla (M

1 ou M2) estará sempre do

(14)

3 • l

8

leio a faceta (1 ou 11).

-serao positivos quando tracionarem as fibras de

baixo e negativo quando tracionarem as de cima.

1

I

L,

2

II

e 2 sao as normais respectivas as facetas lell.

Notação Simplificada

Esta notação simplifica a representaçao sem per-da de clareza.

Nunca e necessário representar simultaneamente as

(15)

onde

Esforços:

9

Não e necessário representar a hachura, pois por con

venção ela encontra-se no lado oposto ao do de normal positiva correspondente;

sentido

Não e necessário representar o vetor seta dupla, pois

sabemos que o mesmo

é

paralelo

ã

faceta e positivo

quando traciona as fibras de baixo, tendo no sinal a

Última convenção necessária para sua identificação.

TEORIA CLIISSICA

Equação Diferencial de Flexão das Placas

+ 2

ax'

D 1 2 ( 1 - v2 ) M

= -

D X + V +

a'w

ay'

=

_q_ D

(16)

M y

=

1 O - D ( M

=

D ( l - v ) xy - D 3 3y + \) 3x 3y +

(17)

1 1

CAPÍTULO 11

SELEÇ~O DOS CASOS

Dentre os casos propostos na Figura 1. 1, há de

se notar que apenas quatro problemas menos correntes são de se

considerar, a saber:

19) Angulo reentrante com lados ortogonais;

29) Angulo reentrante obtuso;

39) Concordância curva;

49) Apoios com disposição serrilhada;

São exatamente esses os problemas que se

repe-tem, nao sendo necessário consequentemente estudar todas as pl~

c as d e a até ~. na Figura 1. 1, o que nos levaria a trabalho

por demais volumoso e repetido. Fomos obrigados a optar por

pecu-um grupo de placas, no qual pudéssemos identificar essas

liaridades que se repetem.

te está presente em ~'

Assim, o ângulo ortogonal

l.,

reentran

E.' .9.'

o obtuso em É_, _.9.' _, r. a concordância curva em

e f.

-·

e o apoio serri lhante em c.

Lembremos ainda que variando as condições de

apoio no contorno dos diversos exemplos (simples, 1 ivre ou

(18)

12

forma examinamos casos com apoio simples e engastado, todos po-rém dentro do grupo das placas em forma de "L".

Verificamos também que seria necessário o exame, dentro do grupo, de uma coleção escalonada de placas com alguns elementos (relação de lados, relação largura e comprimento)

vari-ando entre si, e que não podemos apresentar resultados algébr_!_

cos compactos de uso direto. Mesmo porque para isso é que

es-tao a mao os programas existentes. Não obstante, mostraremos

que foi possível chegar a conclusões objetivas de emprego em

projetos correntes.

Na escolha das placas em "L", cabe um comentá-rio para as que apresentam concordância interna entre as pernas

do 11_L11

, em reta;

çao serrilhada. bordado adiante.

em curva concava ou convexa, ou em dispos_!_

Trabalhamos com malha retangular, como sera

a-Para contornos curvos

é

mais conveniente o

uso de malhas triangulares ( 1

), assunto que já foi objeto de

outras Teses na COPPE. No entanto, as malhas retangulares

po-dem também aplicar-se a contornos quaisquer, poligonais ou cur

vos, desde que usemos subdivisões da rede tão pequena quanto se que i r a , com v i s tas a um a a pro xi maçã o d e se j a d a .( F i g u r a l . 1 1 ) .

( I ) V • _{"Cálculo Numérico de Placas e Paredes Delgadas de} _Con

torno Poligonal Qualquer" do Professor Sidney Santos

(19)

13

( a )

Figuro 1 .II { b)

Tendo em vista a destinação das placas que estu

damos (museus, grandes salões, etc.), adotamos dimensões adequ~

das, carga uniformemente distribufda e de 1 t / m2 • Assim

sen-do com semelhança geomêtrica e carga qualquer e possfvel dos valores aqui alinhados atê para um dimensionamento

parti r p re 1 i m..!_

na r • Mas o mais

vas e negativas,

importante ê a regionalização das ãreas posit..!_

que ficaram bem diferenciadas possibilitando

agora, com orientação menos empírica, a armação em faixas

exatas.

Analisemos o que ocorre nos cantos das

mais

placas,

em que os lados das placas, simplesmente apoiados, formem entre

(20)

A My

1

y " . . M

~i~

"

M,y ~ 1 4

---"

" "

'li.

n X Figura 2 . II.

Na Figura 2.11 temos no vértice A, dois lados

formando entre si um ângulo - -1T + l/J. Isolando um prisma ele

2

mentar hachuriado na figura, e lembrando a condição de simples

apoio ao longo Ay e Ai;, o equi I Íbrio do elemento traduz-se

1 ( 1 )

pe as equaçoes

( 1 ) V. Teoria das Placas do Professor Sidney Santos - Rev.Es

(21)

1 5

M /;

=

Mx s en 2 ij, + M cos 2 ij, + M sen 2,j,

y xy

( 1 1 • 1 ) Mx

-

My

M /; Tl sen 2 ij, + Mxy CDS 2 ij,

2

Tratando-se de apoio simples:

=

o

Como no ponto A a curvatura ao longo do apoio

Ay e nula,

a

2

w 32w

a

2 w

vem =O; logo da expressão M

= -

N ( v - - + - - )

=

O

ay2 _Y _ax2 _ay2 resulta também d 2 w

ox

2 =

o

e consequentemente no ponto,

A primeira equação acima fornece pois:

Mxy sen 2 ij, = O

Se ij,

+

O resultará M = Myx = O,

xy e a força

de fixação C

=

2 Mxy será nula.

Se porem ij, =

o

ou ij,

=

Tf

2

M

xy poderá

diferente de zero, consequentemente haverá força de fixação. ser

(22)

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(29)

23

CAPfTULO 111

PROGRAMAS ADOTADOS

111.1 - LORANE

O sistema LORANE possui atualmente quatro diferentes de elementos para a solução de problemas de

tipos flexão

de placas. Destes um é retangular, dois são triangulares e o

Último

é

do tipo quadrilátero isoparamêtrico, dos quais apenas

um encontra-se implementado na versão mais atualizada da COPPE.

Este do qual dispusemos para realizar o trabalho

é

retangular, de quatro nós colocados nos seus vértices. Sua im

plementação

é

baseada em uma variação tipo polinômio incompleto

de quarta ordem para o deslocamento transversal (flecha). Não

existindo compatibi 1 idade inter-elemento para as tangentes

nor-mais aos lados, o mesmo resulta ser do tipo não conforme e na

literatura é conhecido pelo nome de R 1 2 •

A etapa crítica do método dos elementos finitos

consiste na escolha do comportamento aproximado do elemento. Um

refinamento maior das malhas com um maior número de pontos

no-dais produz resultados mais próximos dos analíticos ou reais.

Para se poder garantir a convergência do método, a aproximação deve satisfazer às condições de admissibilidade e completidade, que se resumem no seguinte:

(30)

24

a) Admissibilidade ou Compatibilidade

Deve existir continuidade entre elementos para

as incógnitas e para as suas derivadas até uma ordem

imediata-mente menor em uma unidade, que a da derivada mais alta que ap~

rece no funcional. Este conceito tem por objetivo significar

que os deslocamentos no interior e através de elementos

vizi-nhos são contínuos. Fisicamente assegura que não haja desconti

nuidades quando a estrutura for carregada.

b) Completidade

~ a condição de se transformar em constantes as

derivadas existentes no funcional quando as dimensões do elemen

to diminuem tornando-se infinitesimais. A necessidade de um es

tado de deformações constante pode fisicamente ser entendida co mo se imaginássemos que um maior número de elementos são u ti 1 i zados na montagem da estrutura, que no 1 imite cada um assume p~ quenas dimensões e que sua deformação aproxima-se de um

constante.

valor

Normalmente é difícil verificar o cumprimento

desta condição, mas na prática será cumprida se a função de in-terpolação admitir:

a) Todos os modos de movimento de corpo rígido;

(31)

25

constante,

t

imprescindível para que haja convergência, que

os elementos cumpram com a condição de completidade, embora nem sempre cumprem com a de admissibilidade e por isso são chamados de não conformes.

Os conformes, os que cumprem simultaneamente com

as condições de admissibilidade e completidade são sempre

con-vergentes e além disso os resultados apresentam um limite sup~

rior de energia potencial total, consequentemente, os

desloca-mentas aproximados serão normalmente menores que os reais.

Sendo não-conforme o elemento utilizado nao apr~

senta limites para a energia potencial total, Logo, nada se p~

de dizer dos deslocamentos aproximados em comparaçao com os

reais.

Sempre que se cumprir com a propriedade de

com-pletidade haverá convergência, mas para que seja monotônica e

preciso que apresente também a propriedade de admissibilidade.

Como o R 1 2 e nao conforme, apresenta necessa

riamente continuidade no campo de deslocamento, mas nao no cam-po de tensões, Esta e a explicação para que um ponto de elemen tos comuns apresente esforços com valores diferentes,

o elemento em que seja considerado.

(32)

26

Na teoria clássica das placas, certas

aproxima-çoes sao introduzidas inicialmente para simplificar o problema

para duas dimensões. Cada simplificação tem a incumbência de

propor uma variação 1 inear das deformações e tensões. Linhas re

tas, normais a superfície média antes da deformação permanecem

retas, normais

ã

superfície média e inalteradas no seu

compri-mento após a deformação. Em consequência são chamadas soluções

exatas aquelas em que as simplificações são válidas, ou para placas finas com pequenas deflexÕes.

As soluções apresentadas aqui estarão

seja,

baseadas nas suposições da teoria clássica e a validade das aproximações no tratamento numérico precisa consequentemente ser testada.

O estado de deformação de uma placa pode ser de~

crito inteiramente por uma quantidade, ou seja, o deslocamento

lateral de plano médio da placa. As condições de continuidade

entre elementos têm que ser impostas não somente nesta quantid~ de mas nas suas derivadas.

A determinação das funções de interpolação e mui

to complexa. Se a continuidade da derivada for requerida entre

as interfaces de vários elementos, entao as dificuldades matemá ticas e computacionais levantarão rápidos precalços. Entretanto, é relativamente simples obter funções que embora preservando éo~ tinuidade de deslocamento podem violar a continuidade entre ele mentos ainda que, naturalmente, não nos nós onde é imposta.

(33)

27

A expressao polinomial e vantajosamente

para definir a função de interpolação em termos de 12

usada

parame-tros. Certos termos são omitidos de um polinômio completo de

quarta ordem.

w + + +

tem certas vantagens. Em particular para X

=

constante ou y

=

constante o deslocamento terá uma variação cúbica. Os elemen

tos limítrofes são compostos de contornos semelhantes. Como a

variaçao cúbica está unicamente definida por quatro constantes, os dois valores extremos das derivadas dos deslocamentos nos ex

tremos dos contornos definirão portanto os deslocamentos unica

mente ao longo deste contorno. Como os valores finais semelhan

tes são comuns para elementos adjacentes, a continuidade de

"w"

sera imposta inteiramente ao longo de cada interface.

Observa-se que o gradiente de varia cubicamente.

no contorno

Considerando a derivada parcial de em rela

çao a 11 X 11 _{e fazendo} 11 X 11 _{em seguida ser constante, como} _em

curvas semelhantes somente dois valores da normal sao definidos,

a variação não está especificada, e em geral a descontinuidade

(34)

28

FORMULAÇÃO ALG~BRICA E MATRICIAL EMPREGADA

A expressao matricial para a energia potencial to tal e a seguinte: locamentos 'T[ p

=

2

t

T E

odv-f /b

V dV -

f

s T u

e

dA

Adota-se um comportamento aproximado para os de~ ~, vinculando-os, em qualquer ponto do elemento,com

os deslocamentos nos pontos nodais do mesmo.

Podemos escrever a expressao matricial

u

=

N onde N e uma matriz função de posição.

As deformações específicas se obtêm sempre por

derivação dos deslocamentos, logo temos:

E = onde B é também uma matriz função de posição.

Nota-se também que:

T

u

(35)

29

escrever a energia potencial da seguinte forma:

e 1T p

=

l 2

J

ue,T ve BT D B ue _{dv -}

_J.

~e,T ve dv -

J

se Sendo que os posição, podemos escrever:

( J.

BT D B dv) Ue ve ou seja: onde deslocamentos nao

-BT D E o) dv -

i

se 2 dependem de

~

T

e

dA]

=

B dv e a matriz de rigidez do elemento.

e

+ D E:O) dv +

J

se

NT

_J:

_dA,

- é o vetor de forças nodais equivalentes a forças de volume,

(36)

mínima tem-se:

30

De acordo com o princrpio de energia

01T

=

a

p

potencial

Como o domrnio de integração está subdividido em m elementos finitos, a energia potencial total poderá ser

ava-liada somando-se as contribuições de cada elemento. Assim tere

mos: logo 1T p 01T p

o qual implica que

m

=

I

e=l m

I

e=l

Considerando que a energia potencial total só de pende dos deslocamentos a primeira variação da energia

cial total resulta ser:

=

o

(37)

poten-3 l

-Esta expressao define a equaçao matricial ca rac

terrstica do elemento em termos de coeficientes de rigidez, e e

anâloga

à

empregada em sistemas estruturais de barras.

-Aplicando esta equaçao matricial característica

para cada elemento, e operando da mesma forma que para estrutu

ras de barras, monta-se o sistema total de equações do probl~

ma. Em seguida se introduz as condições de bordo e se resolve

o sistema de equações. Uma vez conhecidos os deslocamentos

no-dais, pode-se conhecer os valores dos deslocamentos em qualquer

ponto do elemento, utilizando as expressões que ligam os d es lo

camentos dos pontos nodais aos deslocamentos dos pontos no inte rior dos elementos.

1 1 1 • 2 - STAP

O programa "STAP" foi montado pelos alunos da COPPE por ocasião do curso de "Elementos Finitos", ministrado

no 2~ perrodo de 1981, do qual fiz parte.

t

um programa didât~

co, que tem como estrutura bâsica a mesma utilizada no livro do "Bathe Wi l son11 _{para resolução de treliças.} _{Por ser relativamen}

te simples, não apresenta técnicas de programação e análise que lhe permita larga utilização.

Sua formulação é baseada em um elemento quadrilf tero, sendo os nos localizados nos vértices.

(38)

32

lsoparamétrico é o elemento para o qual se utili

za as mesmas funções de forma na definição dos deslocamentos e

das coordenadas e cuja formulação favorece um esquema muito ton

veniente para implementar elementos quadriláteros. f'. bastante

rápido no computador, mas a qual idade dos resultados que produz

não é mui to boa, Os deslocamentos variam linearmente, e como

as deformações específicas se obtêm dos deslocamentos por

deri-vaçao, as mesmas serao constantes, tendo o mesmo valor em todos

os pontos do elemento, Consequentemente a perspectiva de obten

ção de bons resultados nos levaria a ter uma malha com um nume ro muito grande de elementos.

Os problemas clássicos de flexão de placas

esta-vam entre os primeiros objetivos para aplicação do método dos

elementos finitos. As principais atenções vêm sendo dadas nas

soluções dos problemas baseados na teoria das "placas finas", em

que as deformações da superfície média são negligenciadas. Con

sideráveis dificuldades eram encontradas na formulação do tipo

de deslocamento pela necessidade da continuidade da derivada e~

tre elementos adjacentes. Alguns primeiros esforços

esta condição, enquanto que outros introduziram funções complexas para satisfazê-la,

Na formulação do elemento de placa nos

mos as considerações adotadas por Mindl in (Kirchoff e

violaram muito

utiliza-Lave) :

as deflexões da placa (w) sao pequenas;

(39)

33

permanecem retas, mas nao necessariamente nor

mais ao plano médio, depois da deformação;

as tensões normais ao plano médio sao despre-zíveis independentemente dos carregamentos.

O campo de deslocamento pode ser unicamente defi nido pela variação independente do deslocamento lateral

pelos ângulos 11<P II e 11 <P 11

X y (Figura 1.111-2). Estes ângulos

podem ser considerados como as rotaçoes médias e a correçao se-rá feita posteriormente para permitir o empenamento.

X y z Pano

Médio

Defonnoçõo Real Deformação Imposto Normal o Superfície

Mé-dia Depois do Defurmoçõo -".

(40)

Nós podemos escrever: ó

=

w

e

X

e

_y

=

w

aw

ax

aw

3y 34

l

_..

_[

_:

_::

_]

+ e +

Os esforços sao definidos pelas expressoes:

r

M

lk

z dz

l

X M = M =

l /

o z dz y

f

T y Z 1

l

M

J

dz

J

xy xy e Q

=

[

::

]

(

J

T XZ d,

1

dz

J

A energia potencial total pode ser escrita:

1T

=

₊ ₊

2

(41)

35 Xx, Xy, Xxy,

sao

ae X

l

ax

1 XX

l

ae

X

;

xy

;

ay

xxy

ae

_X

_aey

+

J

ay

ox

A energia pode ser escrita de forma abreviada:

TT ; _X ₊ _{cj, )} _{dA -}

t

_q_w_dA

2

As relações tensões deformação, podem ser escri

tas da seguinte forma:

e Q D cj,

s

onde para material homogêneo isÓtropo temos:

V

o

l

Df Et 3 ; V

o

J

l 2 ( l

-

V z)

o

( l - V)/ 2

(42)

onde D

=

s a = E

=

36

Et

2 (1 +v)a 6 5

o

módulo de elasticidade v coeficiente de Poisson t espessura da placa

o

A energia potencial total pode agora ser escrita:

1T

=

_X ₊

2

D

s <j, ) dA -

r

q w dA

(43)

37

CAPTTULO IV

(44)

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