CURSO DE ESTABILIDADE DE TENS ˜
AO
Ministrantes:
Roberto Salgado, Ph.D. Aguinaldo Silveira e Silva, Ph.D.
Vera L´ucia de Castro Soares, M.Eng.
FLORIAN ´OPOLIS - SC 2004
Este texto foi elaborado para servir de material de apoio ao curso de Estabilidade de Tens˜ao, ministrado por professores do Laborat´orio de Sistemas de Potˆencia Labspot, vinculado ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). O curso aborda os mecanismos de instabilidade de tens˜ao, modelagem de componentes do sistema el´etrico de potˆencia, as abordagens baseadas em modelagem est´atica e dinˆamica do problema de estabilidade de tens˜ao, a¸c˜oes de controle e o controle secund´ario de tens˜ao. Maior ˆenfase foi dada aos m´etodos baseados em modelagem est´atica do sistema, dado que tais m´etodos tendem a fornecer mais facilmente ´ındices de proximidade da instabilidade de tens˜ao e quantifica¸c˜ao de a¸c˜oes de controle e vem sendo mais usados pela ind´ustria atualmente. O objetivo na elabora¸c˜ao do texto foi apresentar uma vis˜ao abrangente do problema, mas que n˜ao esgota o estudo. As referˆencias listadas no trabalho constituem uma complementa¸c˜ao importante para o estudo do tema.
1 Introdu¸c˜ao 1 2 Defini¸c˜oes e conceitos de estabilidade de tens˜ao 3
2.1 Introdu¸c˜ao . . . 3
2.2 Conceitos B´asicos . . . 4
2.3 Defini¸c˜oes de estabilidade de tens˜ao . . . 5
2.4 Casos de Instabilidade . . . 7
2.5 Estudo do Colapso de Tens˜ao . . . 9
2.6 Mecanismos de instabilidade de tens˜ao . . . 9
3 Modelagem dos Componentes 13 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 13
3.2 Modelagem est´atica . . . 13
3.2.1 M´aquina s´ıncrona . . . 13
3.2.2 Modelagem das cargas . . . 14
3.2.3 Modelagem do sistema . . . 14
3.3 M´aquina s´ıncrona . . . 14
3.4 Sistema de excita¸c˜ao . . . 15
3.5 Limitador de sobre-excita¸c˜ao . . . 15
3.6 Modelagem das cargas . . . 16
3.6.1 Modelagem est´atica das cargas . . . 16
3.6.2 Modelagem dinˆamica das cargas . . . 18
3.7 Modelagem de taps de transformadores . . . 27
3.7.1 Caracter´ısticas de taps . . . 27
3.7.2 Modelagem do tap . . . 28
3.7.3 Modelagem da rede . . . 29
3.8 Modelagem geral do sistema . . . 29
3.8.1 Dinˆamica r´apida . . . 29
3.8.2 Dinˆamica lenta . . . 30
3.9.1 Modelagem est´atica . . . 30
3.9.2 Modelagem dinˆamica . . . 30
3.10 Coment´arios e Referˆencias . . . 32
4 An´alise por Modelagem Est´atica 33 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 33
4.2 Aspectos Gerais . . . 33
4.2.1 Abordagem Est´atica . . . 37
4.3 An´alise em Regime Permanente . . . 40
4.3.1 Equa¸c˜oes Est´aticas do Sistema de Potˆencia . . . 40
4.3.2 Solu¸c˜ao via M´etodo de Newton Raphson . . . 43
4.3.3 Rela¸c˜oes de Sensibilidade . . . 44
4.4 O Fluxo de Potˆencia sem Solu¸c˜ao Real . . . 45
4.4.1 O M´etodo de Newton-Raphson com Amortecimento . . . 48
4.5 Determina¸c˜ao do M´aximo Carregamento . . . 52
4.5.1 O M´etodo da Continua¸c˜ao . . . 52
4.5.2 O Uso de T´ecnicas de Otimiza¸c˜ao . . . 62
4.6 ´Indices de proximidade . . . 64
4.6.1 O Vetor Tangente . . . 64
4.6.2 Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares . . . 66
4.7 Solu¸c˜oes Corretivas . . . 69
4.7.1 M´etodo do Autovetor `a Esquerda . . . 71
4.7.2 Aplica¸c˜ao de M´etodos de Otimiza¸c˜ao . . . 74
4.8 Medidas Corretivas Opcionais . . . 76
4.8.1 M´ınimo Corte de Carga com Dire¸c˜ao Especificada . . . 76
4.8.2 M´ınimo Res´ıduo por Pontos Interiores . . . 77
4.9 Conclus˜oes . . . 78
5 An´alise por modelagem dinˆamica 81 5.1 Introdu¸c˜ao . . . 81
5.2 O problema de estabilidade . . . 81
5.3 Estabilidade para pequenas perturba¸c˜oes . . . 82
5.3.1 Bifurca¸c˜oes . . . 82
5.3.2 Bifurca¸c˜oes do ponto de equil´ıbrio . . . 83
5.3.3 Bifurca¸c˜oes de ´orbitas peri´odicas . . . 86
5.3.4 Bifurca¸c˜oes globais . . . 89
5.4 Estabilidade para grandes perturba¸c˜oes . . . 90
5.4.1 Simula¸c˜ao no tempo . . . 90
6 A¸c˜oes de Controle para a Estabilidade de Tens˜ao 93 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 93
6.2 Estabilidade a curto prazo . . . 93
6.2.1 Chaveamento r´apido de capacitores/reatores . . . 94
6.2.2 Compensadores est´aticos de reativo . . . 94
6.2.3 Modula¸c˜ao de linhas de corrente cont´ınua . . . 94
6.2.4 Corte de carga . . . 94
6.2.5 Elimina¸c˜ao r´apida de falta . . . 95
6.3.1 Controle de LTCs . . . 95
6.3.2 Controle na Barra de Alta Tens˜ao de Usinas . . . 95
7 Controle Secund´ario de tens˜ao 99 7.1 Introdu¸c˜ao . . . 99
7.2 Controle de Tens˜ao em Sistemas El´etricos de Potˆencia . . . 99
7.3 Caracter´ısticas e fun¸c˜oes de um Controle Secund´ario de Tens˜ao . . . 101
A Fluxo de Potˆencia em Coordenadas Retangulares 107 A.1 Resumo . . . 107
B Elementos de ´Algebra Linear 111 B.1 Invers˜ao de Matrizes . . . 111
B.1.1 Determina¸c˜ao da Matriz Inversa . . . 111
B.2 Posto, Rank ou Classe de uma Matriz . . . 112
B.3 Autovalores e autovetores . . . 112
B.3.1 Autovalores e equa¸c˜oes diferenciais . . . 112
C Revis˜ao de C´alculo 115 C.1 S´erie de Taylor . . . 115
C.2 Fun¸c˜oes vetoriais . . . 115
C.2.1 Curvas de N´ıvel e Interpreta¸c˜ao do vetor Gradiente . . . 116
C.2.2 Derivadas de Ordem Superior . . . 117
Introdu¸c˜
ao
O registro da ocorrˆencia do fenˆomeno de instabilidade de tens˜ao ´e mais recente quando comparado com as formas usuais de instabilidade de sistemas de potˆencia, associadas ao comportamento do ˆangulo dos geradores e conhecidas como estabilidade angular.
O problema da estabilidade transit´oria, associada `a capacidade dos geradores s´ın-cronos de permanecerem em sincronismo ap´os grandes perturba¸c˜oes, tem sido analisada desde o in´ıcio da opera¸c˜ao dos sistemas de energia el´etrica. A chamada estabilidade em regime permanente, associada `a existˆencia de torque sincronizante em regime per-manente, e portanto `a existˆencia de um ponto de equil´ıbrio, tamb´em foi uma quest˜ao importante na opera¸c˜ao desde os primeiros sistemas de potˆencia. No final da d´ecada de 50, com a interliga¸c˜ao de sistemas el´etricos e a entrada em opera¸c˜ao de sistemas de excita¸c˜ao r´apidos e de alto ganho, uma nova forma de instabilidade emergiu, a chamada instabilidade dinˆamica, associada a condi¸c˜oes de opera¸c˜ao em que o sistema apresenta pouco amortecimento ou mesmo instabilidade oscilat´oria. O IEEE [17] recomenda que a nomenclatura estabilidade em regime permanente seja usada com rela¸c˜ao `a quest˜ao da existˆencia do ponto de equil´ıbrio e da natureza est´avel ou inst´avel deste, englobando as denomina¸c˜oes anteriores de estabilidade em regime permanente e estabilidade dinˆamica. No entanto, a denomina¸c˜ao de estabilidade para pequenas perturba¸c˜oes ´e mais usada atualmente. Tanto o problema de estabilidade transit´oria quanto o problema de estabilidade para pequenas perturba¸c˜oes s˜ao estreitamente re-lacionados `a dinˆamica dos geradores e especialmente ao comportamento dos ˆangulos dos rotores, explicando o uso da denomina¸c˜ao de estabilidade angular, aplicada a estes problemas.
O problema da estabilidade de tens˜ao surgiu mais recentemente, como consequˆencia das caracter´ısticas dos modernos sistemas de potˆencia, que devido a falta de investi-mentos na transmiss˜ao como resultado de restri¸c˜oes econˆomicas e ambientais, tendem a ser operados muito carregados. A instabilidade de tens˜ao se caracteriza pelo afunda-mento das tens˜oes em parte ou todo o sistema, em periodos de tempo que variam de segundos at´e intervalos prolongados da ordem de dezenas de minutos. Em situa¸c˜oes onde as a¸c˜oes de controle n˜ao forem suficientes para conter este afundamento, pode
ocorrer o colapso (black-out) parcial ou total do sistema. Incidentes de instabilidade de ten˜ao ocorreram em v´arios sistemas de energia el´etrica nos Estados Unidos e Canad´a, Europa, Jap˜ao e Brasil.
A estabilidade de tens˜ao est´a estreitamente ligada `a caracter´ıstica da rede de trans-miss˜ao e ao comportamento das cargas do sistema. Assim, a limita¸c˜ao na capacidade de transmiss˜ao da rede el´etrica limita o fornecimento de potˆencia reativa `as cargas, reduzindo a tens˜ao. A caracter´ıstica das cargas e a atua¸c˜ao de taps de transformadores pode piorar mais a situa¸c˜ao levando `a instabilidade de tens˜ao. ´E importante ressal-tar, no entanto, que a instabilidade de tens˜ao ´e um fenˆomeno dinˆamico, e portanto a dinˆamica de todos os elementos do sistema, incluindo geradores, deve ser conside-rada. Em alguns casos a instabilidade de tens˜ao pode estar estreitamente associada `a instabilidade angular.
O objetivo deste trabalho ´e apresentar os conceitos fundamentais, os mecanismos, t´ecnicas de an´alise e a¸c˜oes de controle relacionados ao fenˆomeno da instabilidade de tens˜ao.
No Cap´ıtulo 2 s˜ao apresentadas as defini¸c˜oes b´asicas referentes `a estabilidade de tens˜ao e alguns aspectos do mecanismo que leva a instabilidade de tens˜ao.
No Cap´ıtulo 3 s˜ao apresentados os modelos usados em estudos de estabilidade de tens˜ao. A modelagem de cargas, taps de transformadores e a a¸c˜ao de limites de gera-dores ´e apresentada.
No Cap´ıtulo 4 ´e descrita a abordagem baseada na modelagem est´atica, usada em estudos de estabilidade de tens˜ao. Essencialmente tais m´etodos utilizam a matriz Jacobiana do fluxo de potˆencia para indica¸c˜ao da proximidade da instabilidade.
No Cap´ıtulo 5 ´e introduzida a abordagem dinˆamica atrav´es da an´alise modal e uso da simula¸c˜ao no tempo do sistema. Uma introdu¸c˜ao `a teoria das bifurca¸c˜oes e sua utiliza¸c˜ao em estudos de estabilidade de tens˜ao ´e apresentada. Embora este constitua um t´opico mais avan¸cado, a teoria das bifurca¸c˜oes ´e importante para aclarar os mecanismos de instabilidade, tipos de comportamento esperados e alguns ´ındices de seguran¸ca.
No Cap´ıtulo 6 s˜ao apresentadas as a¸c˜oes de controle e medidas corretivas para evitar a instabilidade de tens˜ao ou aumentar as margens de seguran¸ca do sistema.
Defini¸c˜
oes e conceitos de
estabilidade de tens˜
ao
2.1
Introdu¸
c˜
ao
A opera¸c˜ao dos sistemas de energia el´etrica sob condi¸c˜oes-limite da sua capacidade de carregamento faz com que esses sistemas fiquem sujeitos a um progressivo decl´ınio na magnitude da tens˜ao. Isto pode ocorrer ap´os a rede ser submetida a um crescimento s´ubito de carga e/ou a uma contingˆencia, situa¸c˜oes que acontecem principalmente nos per´ıodos de demanda elevada (pico de carga).
Este problema, ao qual convencionou-se associar a estabilidade da tens˜ao, envolve trˆes aspectos b´asicos:
• o dist´urbio ao qual a rede de energia el´etrica ´e submetida; • as caracter´ısticas da carga;
• os controles dispon´ıveis para a manuten¸c˜ao de um n´ıvel aceit´avel para a magni-tude de tens˜ao.
Estes aspectos interagem fortemente entre si, afetando a capacidade da rede de transferir potˆencia reativa dos centros de gera¸c˜ao aos centros consumidores.
A an´alise do problema da estabilidade de tens˜ao revela que o mesmo deveria ser tra-tado atrav´es de t´ecnicas anal´ıticas que considerassem a natureza dinˆamica da opera¸c˜ao da rede el´etrica. Entretanto, sob certas circunstˆancias a instabilidade de tens˜ao se pro-cessa de forma dinˆamica lenta, o que possibilita que uma an´alise baseada nas equa¸c˜oes est´aticas seja aplicada.
Os m´etodos baseados em modelos est´aticos fornecem, com relativa facilidade, indi-cadores da condi¸c˜ao de seguran¸ca do sistema e a ´area deste que sofre o maior impacto
da instabilidade. Estes m´etodos s˜ao baseados em solu¸c˜oes de fluxo de potˆencia con-vencional em situa¸c˜oes de carregamento extremo, e fornecem subs´ıdios para se estudar o comportamento do sistema nestas condi¸c˜oes.
Apresentam-se a seguir, os conceitos e defini¸c˜oes b´asicas para o entendimento do fenˆomeno da instabilidade de tens˜ao, ocorrˆencias de instabilidade de tens˜ao observadas em v´arios pa´ıses e suas caracter´ısticas e os mecanismos de instabilidade de tens˜ao.
2.2
Conceitos B´
asicos
Durante as ´ultimas d´ecadas, um grande n´umero de sistemas el´etricos esteve sujeito a situa¸c˜oes de redu¸c˜ao progressiva da magnitude da tens˜ao. Nestas ocorrˆencias, foi obser-vado que o decr´escimo na magnitude da tens˜ao ocorreu em geral ap´os certas condi¸c˜oes espec´ıficas (sa´ıda dos principais geradores e linhas, excessivo carregamento, etc) `as quais foi submetida a rede. Percebeu-se tamb´em a existˆencia de uma rela¸c˜ao entre a ocorrˆencia do fenˆomeno e a condi¸c˜ao de pr´e-dist´ubio relacionada a um carregamento extremo do sistema, caracterizando condi¸c˜oes de opera¸c˜ao inseguras. Foi ainda obser-vado que este fenˆomeno ocorreu como resultado freq¨uente de um inadequado suporte de potˆencia reativa em barras espec´ıficas do sistema.
O fenˆomeno da instabilidade de tens˜ao apresenta como uma das suas caracter´ısticas mais relevantes a progressiva deprecia¸c˜ao da tens˜ao (processo iniciado por um carre-gamento excessivo ou contingˆencia). Isto pode fazer com que o sistema atinja em certos casos uma condi¸c˜ao de equil´ıbrio cujos valores de magnitude de tens˜ao s˜ao com-pletamente inaceit´aveis, o que caracteriza o colapso de tens˜ao. Este fenˆomeno pode envolver um conjunto espec´ıfico de barras do sistema, sendo neste caso chamado de colapso parcial, ou ent˜ao atingir a quase totalidade do mesmo, sendo denominado de colapso global.
A instabilidade de tens˜ao envolve os seguintes trˆes aspectos b´asicos:
• as caracter´ısticas da carga, sob o ponto de vista da rede de potˆencia principal nos seus n´ıveis mais alto de tens˜ao;
• os recursos dispon´ıveis para o controle de tens˜ao na rede, os quais influem na habilidade da rede em transferir potˆencia, particularmente potˆencia reativa, do ponto de produ¸c˜ao ao ponto de consumo;
• o dist´urbio ao qual a rede pode ser eventualmente submetida.
Estes aspectos podem interagir entre si, de forma a fazer com que a instabilidade de tens˜ao apresente dois comportamentos distintos: um dinˆamico r´apido e outro dinˆamico lento.
Os sistemas de potˆencia apresentam geralmente diferentes tipos de cargas e equi-pamentos, com as mais diversas caracter´ısticas de funcionamento. Um dist´urbio pode influenciar mais significativamente equipamentos e cargas que tenham respostas r´apidas ou lentas, contribuindo mais decisivamente para a ocorrˆencia de um ou de outro tipo de instabilidade (dinˆamica r´apida ou dinˆamica lenta). Por exemplo, a caracter´ıstica do motor de indu¸c˜ao ´e determinante para uma forma mais r´apida de instabilidade, ao passo que um fenˆomeno de incremento de carga/transferˆencia de potˆencia influenciar´a mais fortemente a instabilidade que se apresenta de uma forma lenta.
Existem portanto dois fenˆomenos distintos, em fun¸c˜ao de atua¸c˜oes dos diferen-tes componendiferen-tes do sistema submetidos a um dist´urbio. Com base na dura¸c˜ao do fenˆomeno, duas defini¸c˜oes adicionais de instabilidade s˜ao apresentadas: a instabilidade transit´oria e a de longo-termo. Apresentam-se a seguir as caracter´ısticas de cada um dos fenˆomenos de instabilidade de tens˜ao.
Na instabilidade transit´oria o decr´escimo da magnitude da tens˜ao ´e mais r´apida do que o da freq¨uˆencia. Isto diferencia a instabilidade transit´oria da tens˜ao da instabi-lidade transit´oria do ˆangulo do rotor, embora ambos os fenˆomenos possam coexistir influenciando-se mutuamente. A sua escala de tempo vai de zero a dez segundos, a qual ´e a mesma da instabilidade transit´oria do ˆangulo do rotor.
O colapso de tens˜ao ´e causado por componentes da carga que tem a¸c˜ao r´apida, tais como motores de indu¸c˜ao e conversores cc (elos cc), principalmente se estes elos de corrente cont´ınua de alta tens˜ao s˜ao integrados a sistemas de potˆencia fr´ageis. As caracter´ısticas dos bancos de capacitores shunt (potˆencia reativa proporcional ao qua-drado da tens˜ao) tamb´em contribuem para a ocorrˆencia deste problema. Neste caso a a¸c˜ao do operador n˜ao ´e poss´ıvel, sendo o comportamento transit´orio do sistema pelos seus controles autom´aticos e pelas caracter´ısticas da carga.
A instabilidade de longo prazo pode durar minutos ou fra¸c˜oes de horas. O seu cen´ario envolve cargas pesadas, alta importa¸c˜ao de potˆencia de geradores remotos e dist´urbios consider´aveis. O sistema ´e transitoriamente est´avel por causa da sensibili-dade das cargas. O dist´urbio (perda de grandes geradores na ´area em quest˜ao e perda das principais linhas de transmiss˜ao) causa alta perda de potˆencia reativa diminuindo a tens˜ao na ´area considerada. Nesta situa¸c˜ao, os tapes e os reguladores de tens˜ao no sistema de distribui¸c˜ao s˜ao acionados e agem para restabelecer os n´ıveis de tens˜ao de distribui¸c˜ao, na tentativa de restaurar os n´ıveis de potˆencia da carga.
A restaura¸c˜ao da carga causa uma diminui¸c˜ao adicional nas tens˜oes de transmiss˜ao. Os geradores pr´oximos s˜ao sobreexcitados e sobrecarregados, mas este tempo geral-mente expira em dois ou trˆes minutos. Os geradores localizados mas distantes devem ent˜ao prover a potˆencia reativa, sendo este comportamento ineficiente, pois requer di-feren¸cas substanciais entre os n´ıveis de tens˜ao nas barras, os quais causam altas perdas nas linhas de transmiss˜ao. Nesta condi¸c˜ao, o sistema de gera¸c˜ao e transmiss˜ao n˜ao ´e capaz de suprir as cargas e as perdas reativas, o que resulta num r´apido decaimento da tens˜ao. Dependendo do tipo de carga (incluindo recursos de desconex˜ao a baixa tens˜ao) o colapso pode ser parcial ou total.
Na pr´oxima se¸c˜ao ser˜ao discutidas com mais detalhes e formalizadas as defini¸c˜oes de estabilidade de tens˜ao.
2.3
Defini¸
c˜
oes de estabilidade de tens˜
ao
De maneira geral o problema de estabilidade de sistemas el´etricos de potˆencia pode ser tratado dentro contexto mais geral do problema de estabilidade de sistemas dinˆamicos. Um sistema dinˆamico pode ter um, v´arios pontos de equil´ıbrio ou infinitos pontos de equil´ıbrio ou n˜ao ter nenhum ponto de equil´ıbrio. Quando pontos de equil´ıbrio existem, eles podem ser est´aveis ou inst´aveis. Um ponto de equil´ıbrio ´e est´avel, se para pequenas perturba¸c˜oes a trajet´oria do sistema n˜ao se afasta do ponto de equil´ıbrio. Caso contr´ario o ponto de equi´ıbrio ´e inst´avel.
Mesmo que um ponto de equil´ıbrio seja est´avel, grandes perturba¸c˜oes podem fazer com que a trajet´oria se afaste do ponto de equil´ıbrio. ´E importante ent˜ao determinar-se o conjunto de condi¸c˜oes iniciais criadas por perturba¸c˜oes para as quais o sistema volta ao ponto de equil´ıbrio. Este conjunto determina o dom´ınio de atra¸c˜ao do ponto de equil´ıbrio.
No caso de sistemas el´etricos, a estabilidade eletromecˆanica ilustra os pontos acima. Quando o sistema n˜ao tem torque sincronizante o ponto de equil´ıbrio desaparece. Isto ´e ilustrado pela curva P × δ, quando a potˆencia mecˆanica for maior do que a potˆencia m´axima transmitida.
Quando o ponto de equil´ıbrio existe, o sistema pode ter torque de amortecimento negativo, e portanto o ponto de equil´ıbrio ´e inst´avel.
Mesmo quando o ponto de equil´ıbrio ´e est´avel, uma grande perturba¸c˜ao, um curto circuito, por exemplo, pode provocar a instabilidade, atrav´es da perda de sincronismo de uma ou mais m´aquinas. Neste caso, a perturba¸c˜ao tirou o sistema do dom´ınio de atra¸c˜ao e a trajet´oria do sistema n˜ao retorna mais ao ponto de equil´ıbrio.
Aos problemas de existˆencia e estabilidade do ponto de equil´ıbrio ´e associado o conceito de estabilidade para pequenas oscila¸c˜oes. Ao problema do efeito de grandes perturba¸c˜oes ´e associado o conceito de estabilidade transit´oria.
Se o sistema el´etrico de potˆencia for encarado apenas como um sistema dinˆamico, ´e indiferente se o problema de estabilidade ´e de natureza eletromecˆanica ou de tens˜ao. Do ponto de vista do engenheiro de sistemas de potˆencia, esta separa¸c˜ao ´e importante j´a que as origens de uma ou outra forma de instabilidade podem ser diferentes exigindo diferentes medidas para afastar o sistema da possibilidade de instabilidade. No entanto, os mesmos conceitos discutidos acima se aplicam ao caso de estabilidade de tens˜ao.
No caso de estabilidade de tens˜ao ´e ainda ´util fazer uma separa¸c˜ao do fenˆomeno na escala de tempo, em estabilidade a curto prazo ou estabilidade transit´oria de tens˜ao e estabilidade a longo prazo. A raz˜ao disto ´e que no caso de estabilidade de tens˜ao a atua¸c˜ao de dispositivos lentos, como taps de transformadores e limitadores de corrente de sobreexcita¸c˜ao tem uma influˆencia grande no sistema. Algumas vezes, equipamentos chaveados tamb´em atuam. Com isto, al´em da dinˆamica lenta, o sistema ´e variante no tempo. Um exemplo ilustra este ponto. Supondo a abertura de uma linha que causa uma depress˜ao de tens˜oes. O sistema ´e est´avel para esta perturba¸c˜ao, com um novo ponto de opera¸c˜ao com tens˜oes mais baixas e portanto ´e est´avel a curto prazo. Mas supondo que ap´os algum tempo os taps atuem para elevar as tens˜oes no lado da carga. Isto aumenta a transferˆencia e as perdas reativas, causando novas quedas de tens˜oes e outras atua¸c˜oes de taps. Eventualmente limites de m´axima corrente de campo de um ou mais geradores podem ser atingidos, agravando mais o problema. Assim, ap´os um tempo de v´arios minutos, o sistema pode caminhar para uma instabilidade, se medidas n˜ao forem tomadas. Em geral a estabilidade de curto prazo est´a relacionada ao problema do dom´ınio de atra¸c˜ao e a estabilidade a longo prazo ao problema de estabilidade de pequenas perturba¸c˜oes, mas isto n˜ao necessariamente ´e verdade. No caso da estabilidade a longo prazo, a evolu¸c˜ao do sistema pode levar ao desparecimento do ponto de equil´ıbrio ou a um ponto de equil´ıbrio inst´avel.
A discuss˜ao acima justifica as defini¸c˜oes dadas a seguir, que formalizam a discuss˜ao acima. As defini¸c˜oes apresentadas seguem a referˆencia [37].
Defini¸c˜ao 2.3.1 Estabilidade de tens˜ao para pequenas perturba¸c˜oes
pequenas perturba¸c˜oes se, ap´os qualquer pequena perturba¸c˜ao, as tens˜oes pr´oximas `as cargas s˜ao idˆenticas ou retornam a seus valores pr´e-dist´urbio.
O ponto de opera¸c˜ao ´e est´avel e as tens˜oes retornam ao valor inicial ou a valores pr´oximos se o ponto de equil´ıbrio foi modificado devido `a perturba¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2.3.2 Estabilidade de tens˜ao
Um sistema de potˆencia em um dado ponto de opera¸c˜ao ´e est´avel em tens˜ao se, su-jeito a uma perturba¸c˜ao, suas tens˜oes pr´oximas `as cargas atingem valores de equil´ıbrio p´os-dist´urbio.
Este conceito est´a relacionado `a quest˜ao se o estado perturbado est´a no dom´ınio de atra¸c˜ao p´os-defeito.
Defini¸c˜ao 2.3.3 Instabilidade de tens˜ao
A instabilidade de tens˜ao ´e o oposto da estabilidade de tens˜ao e resulta em progres-sivos decr´escimos (ou acr´escimos) de tens˜ao.
Neste caso o ponto de equil´ıbrio desapareceu ou ´e inst´avel ou uma grande per-turba¸c˜ao levou a uma condi¸c˜ao fora do dom´ınio de atra¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2.3.4 Colapso de tens˜ao
Ap´os uma instabilidade de tens˜ao, um sistema de potˆencia sofre um colapso de tens˜ao se as tens˜oes de equil´ıbrio p´os-dist´urbio pr´oximas `as cargas atingem valores fora dos limites aceit´aveis.
Isto significa que um novo ponto de equil´ıbrio est´avel ´e encontrado, mas os valores de tens˜ao neste ponto de opera¸c˜ao s˜ao inaceit´aveis. Em um incidente real se observou que o sistema atingiu um novo ponto de opera¸c˜ao com tens˜oes da ordem de 0.5 pu.
2.4
Casos de Instabilidade
Os casos resumidos a seguir, relatados na literatura, servem para exemplificar os v´arios tipos de ocorrˆencia de instabilidade de tens˜ao, com ou sem o agravante do subseq¨uente colapso de tens˜ao.
• Sul da Fl´orida, em 17 de maio de 1985
Ap´os a sa´ıda de um circuito de 500 kV , as tens˜oes deca´ıram, estabilizando-se em valores inaceit´aveis dentro de alguns segundos, caracterizando o colapso de tens˜ao. A perda de carga foi de 4292 M W .
• Ocidente da Fran¸ca, em 12 de janeiro de 1987
O incidente foi causado pela sa´ıda de algumas unidades geradoras de uma usina termel´etrica. A deficiˆencia total de potˆencia foi em torno de 9000 M W . As tens˜oes estabilizaram em n´ıveis muito baixos (de 0.5 a 0.8 pu). Um corte de carga de 1500 M W recuperou o perfil de tens˜oes.
• Tokyo, Jap˜ao, em 23 de julho de 1987
Durante o per´ıodo de ver˜ao as cargas se apresentaram anormalmente altas. Neste dia espec´ıfico, de muito calor, depois das 12 horas as cargas come¸caram a aumen-tar a uma taxa de 400M W/minuto. Mesmo com a atua¸c˜ao de todos os bancos de capacitores dispon´ıveis as tens˜oes continuaram decaindo, estabilizando-se em va-lores inaceit´aveis ap´os 20 minutos, sendo necess´ario o corte de 8168M W de carga. Uma das principais raz˜oes para a ocorrˆencia do problema foram as caracter´ısticas desfavor´aveis dos aparelhos de ar condicionado.
• Rio de Janeiro/Esp´ırito Santo, Brasil
Ocorrˆencias freq¨uentes de colapso de tens˜ao na ´area Rio de Janeiro/Esp´ırito Santo nos per´ıodos de ver˜ao para dias de forte calor. Nesta situa¸c˜ao, verifica-se a importa¸c˜ao de uma elevada quantidade de potˆencia ativa para a ´area menci-onada, al´em de uma grande demanda de cargas reativas, tem apresentado uma caracter´ıstica de queda de tens˜ao lenta, podendo durar dezenas de minutos. Este incidente tem se apresentado sem que ocorra qualquer contingˆencia no sistema pr´e-colapso, caracterizando o dist´urbio do carregamento excessivo. Esta carac-ter´ıstica ´e que leva os operadores do sistema a considerarem que em dias de forte calor e com a rede operando alterada de sua configura¸c˜ao normal (com equipa-mentos fora de servi¸co) existe a alta probabilidade de se apresentar a instabilidade de tens˜ao com colapso.
Como o fenˆomeno se apresenta com caracter´ısticas lentas, h´a tempo h´abil para os operadores do sistema tomarem medidas corretivas que minimizem as quedas de tens˜ao e seus efeitos, tornando-o, aparentemente, apenas um fenˆomeno de queda excessiva de tens˜ao.
• Mississipi, em julho de 1987
Neste caso as cargas de ar condicionado abrangiam uma grande parte da carga de pico do ver˜ao. As sa´ıdas de bancos de capacitores foram respons´aveis pelo r´apido decaimento da tens˜ao, mas o corte de carga por subtens˜ao agindo dentro de dois segundos, cortando 400 MW, recuperou o sistema, evitando o colapso de tens˜ao.
• Inglaterra, em 20 de maio de 1986
A perda de seis circuitos de 400kV causou a deprecia¸c˜ao da tens˜ao. Os operadores ent˜ao trouxeram para o sistema, 1000 MW de turbina a g´as para estabilizar as tens˜oes. Com o refechamento dos circuitos os n´ıveis de tens˜ao foram restabeleci-dos. O colapso n˜ao ocorreu por causa dos diferentes tempos de atua¸c˜ao dos tapes dos transformadores, que tornaram mais lenta a queda de tens˜ao, permitindo que houvesse tempo para a atua¸c˜ao dos operadores.
• CEEE (Companhia Estadual de Energia El´etrica do Rio Grande do Sul) em 13 de dezembro de 1994
Ap´os alguns problemas ocorridos no sistema de transmiss˜ao associado `a usina de Itaip´u, houve comprometimento no controle da tens˜ao na rede de 525 kV que atende ao Estado do Rio Grande do Sul (RS). `A partir de 13 horas, com o
aumento da carga, houve uma redu¸c˜ao gradativa na tens˜ao da barra de Gravata´ı-525kV, requerendo um corte de carga `as 13 horas e 48 minutos. Tomada esta medida houve recupera¸c˜ao da tens˜ao, por´em alguns minutos depois, a tens˜ao voltou a decrescer, repetindo-se um novo corte de carga `as 14 horas e 15 minutos, conseguindo-se ent˜ao o restabelecimento definitivo dos n´ıveis de tens˜ao.
• Perturba¸c˜oes dos dias 24 e 25 de 1997 no Sistema Interligado Sul/Sudeste/Centro Oeste [16]
Talvez tenham sido as primeiras ocorrˆencias de grande alcance envolvendo o Su-deste todo, principalmente S˜ao Paulo, e onde o afundamento de tens˜ao foi consi-derado como caracterizando o colapso parcial de tens˜ao. Os estudos conduzidos com o programa FLUPOT mostraram que o ponto de opera¸c˜ao mais os recursos dispon´ıveis indicavam o sistema com reduzida margem de estabilidade de tens˜ao em hor´ario de ponta.
Deste incidente resultaram uma s´erie de medidas operativas e esquemas especiais no sistema brasileiro.
2.5
Estudo do Colapso de Tens˜
ao
Os incidentes relatados na se¸c˜ao anterior ilustram os v´arios tipos de instabilidade que podem ocorrer nos sistemas de potˆencia: instabilidade transit´oria, com ou sem co-lapso; e instabilidade de longo-termo, com ou sem colapso. Estas ocorrˆencias mostram tamb´em a rela¸c˜ao entre os v´arios aspectos - carga, controles e dist´urbios - que deter-minam o tipo de instabilidade.
Diversas ocorrˆencias podem afetar em geral a distribui¸c˜ao dos fluxos de reativo da rede, a resposta da carga em rela¸c˜ao a varia¸c˜oes na tens˜ao assim como a a¸c˜ao dos equipamentos importantes para a manuten¸c˜ao do equil´ıbrio de potˆencia reativa.
Observa-se que durante o processo de redu¸c˜ao da tens˜ao, as cargas apresentam sensibilidades diversas em rela¸c˜ao `a varia¸c˜ao da magnitude da tens˜ao. Cada tipo de carga tem sua resposta espec´ıfica para o dist´urbio considerado.
As duas quest˜oes b´asicas que se colocam no estudo da instabilidade de tens˜ao consistem em determinar se o sistema ´e seguro em rela¸c˜ao `as varia¸c˜oes da magnitude da tens˜ao e determinar quais ajustes devem ser realizados para que o mesmo encontre um ponto de opera¸c˜ao satisfat´orio. Isto pode ser abordado de duas maneiras: atrav´es de simula¸c˜oes de ocorrˆencias de instabilidades ou calculando uma margem de seguran¸ca entre o ponto de opera¸c˜ao corrente e a regi˜ao de instabilidade. Essas medidas podem ser implementandas computacionalmente atrav´es de ferramentas computacionais que representem analiticamente os aspectos dinˆamicos e/ou est´aticos do colapso de tens˜ao, particularizando os aspectos referentes `as instabilidades transit´oria e de longo-termo.
2.6
Mecanismos de instabilidade de tens˜
ao
As defini¸c˜oes e exemplos dados anteriormente s˜ao ´uteis para caracterizar a estabilidade de tens˜ao, mas n˜ao esclarecem os mecanismos que levam a uma instabilidade. Para estudar a natureza e mecanismos da instabilidade de tens˜ao vamos considerar o sis-tema mostrado na Figura 2.1. Neste sissis-tema, a resistˆencia da linha de transmiss˜ao foi
P + jQ
V∠θ
E∠O jX
?
Figura 2.1: Sistema com duas barras
tanφ = 0.0 0.67 2.41 5.03 V E P X E2 -6 6 desprezada.
A tens˜ao na barra de carga ´e dada por
V = E − jXI A potˆencia na barra de carga ´e dada por
S = P + jQ = ou P = −EV X sen θ Q = −V 2 X + EV X cos θ
A Equa¸c˜ao da tens˜ao versus potˆencia ´e obtida eliminando-se θ:
V = s E2 2 − QX ± r E4 4 − X 2 − X2P2− XE2Q
Para cada valor de fator de potˆencia curvas P × V ou Q × V podem ser tra¸cadas. Esta curvas representam a tens˜ao para cada potˆencia ativa ou reativa trasmitida `a carga, para um determinado fator de potˆencia. A Figura mostra as curvas P V e a Figura mostra as curvas QV . Estas curvas podem ser usadas para ilustrar alguns mecanismos b´asicos de instabilidade de tens˜ao.
A seguir examinaremos v´arios poss´ıveis cen´arios de instabilidade de instabilidade. No primeiro cen´ario tem-se uma carga do tipo potˆencia constante. Esta carga ´e re-presentada juntamente com a curva P V do sistema na Figura. Os pontos A e B, correspondentes a intercess˜ao entre a reta que representa a potˆencia constante e a curva P V , representam poss´ıveis pontos de opera¸c`ao do sistema. O ponto A ´e est´avel,
Aumento de carga -E P X E2 -6 6 Carga P´os-falta Pr´e-falta V E P X E2 -6 6
pois um pequeno aumento de carga, resulta em uma tens˜ao menor. Uma redu¸c˜ao da carga produz um aumento de tens`ao. J´a no ponto B, um aumento de carga produz um aumento da tens˜ao e uma redu¸c˜ao da carga produz uma tens˜ao menor.
Vamos supor agora um aumento de carga correspondente `a reta mostrada na Figura. Observa-se que n˜ao ´e poss´ıvel encontrar uma intercess˜ao com a curva P V e portanto n˜ao existe um ponto de opera¸c`ao para este caso.
Outro poss´ıvel cen´ario ´e a ocorrˆencia de uma contingˆencia que leve a uma nova curva P V , sem que a carga se altere, como mostrado na Figura . Neste caso, n˜ao existe intercess˜ao entre a curva P V e a caracter´ıstica de carga, e n˜ao existe um novo ponto de opera¸c`ao ap´os a contingˆencia.
Embora a an´alise tenha sido feita para uma caracter´ıstica de carga do tipo potˆencia constante, uma an´alise semelhante pode ser feita para o caso de cargas com outras caracter´ısticas.
Modelagem dos componentes
3.1
Introdu¸
c˜
ao
Neste cap´ıtulo os modelos dos diversos componentes do sistema de potˆencia, usados para estudos de estabilidade de tens˜ao, ser˜ao apresentados. Modelos detalhados s˜ao necess´arios para estudos usando a abordagem baseada na modelagem dinˆamica do sistema. Denominaremos aqui de modelagem est´atica a modelagem para estudos ba-seados nas equa¸c˜oes do fluxo de potˆencia, e de modelagem dinˆamica a modelagem que considera aspectos dinˆamcos do comportamento do sistema. A abordagem baseada na modelagem usada no fluxo de potˆencia ´e mais simples, e usaremos uma se¸c˜ao para dis-cutir as principais hip´oteses deste modelo, deixando os detalhes para o Cap´ıtulo 4.. Os modelos usados na abordagem dinˆamica ser˜ao apresentados com mais detalhes neste cap´ıtulo.
3.2
Modelagem est´
atica
Nesta modelagem usam-se modelos simplificados da m´aquina s´ıncrona e das cargas. As hip´oteses subjacentes a estes modelos s˜ao discutidos a seguir, mas a formula¸c˜ao matem´atica ser´a apresentada no Cap´ıtulo 4.
3.2.1
M´
aquina s´ıncrona
A m´aquina s´ıncrina ´e representada por uma barra P V , ou seja, uma tens˜ao constante, com uma potˆencia ativa fornecida fixada. Como a tens˜ao terminal ´e mantida constante, isto equivale a se ter um regulador de tens˜ao do tipo proporcional integral ou com ganho tendendo para o infinito. Isto em geral n˜ao ocorre, e o que ´e mantido constante ´e a tens˜ao de referˆencia do regulador de tens˜ao, sendo que a tens˜ao terminal varia com perturba¸c˜oes no sistema.
Este modelo ´e v´alido desde que a potˆencia fornecida esteja dentro dos limites do gerador. Se o limite de m´axima potˆencia for atingido, a barra ´e chaveada para P Q, ou seja, as potˆencias ativas e reativas s˜ao fixadas e a tens˜ao da barra ´e calculada. A modelagem da capacidade de fornecimento de potˆencia reativa por uma potˆencia m´axima ´e uma aproxima¸c˜ao, desde que a corrente de campo ´e que ´e limitada.
Um dos geradores ´e modelado como uma barra de folga, onde a tens˜ao e o ˆangulo s˜ao fixados e as potˆencias ativa e reativa s˜ao calculadas.
3.2.2
Modelagem das cargas
Em estudos de fluxo de potˆencia as cargas s˜ao representadas por potˆencias ativa e reativa constantes.
3.2.3
Modelagem do sistema
As equa¸c˜oes que descrevem o sistema el´etrico para estudos de fluxo de potˆencia s˜ao apresentadas no Cap´ıtulo 4, onde o modelo ser´a usado na apresenta¸c˜ao de v´arios m´etodos de estudo da estabilidade de tens˜ao.
3.3
M´
aquina s´ıncrona
A m´aquina s´ıncrona ´e a principal fonte de potˆencia ativa e reativa do sistema. A limita¸c˜ao da capacidade de fornecimento de potˆencia reativa est´a diretamente relacio-nada `a diminui¸c˜ao das margens de estabilidade de tens˜ao do sistema.
Para estudos de estabilidade de tens˜ao, a m´aquina s´ıncrona ´e modelada pelos mes-mos modelos usados em estudos de estabilidade eletromecˆanica. Estes modelos depen-dem do tipo de m´aquina, p´olos salientes ou rotor liso, e se o enrolamentos amortecedo-res s˜ao ou n˜ao repamortecedo-resentados. As equa¸c˜oes para estes v´arios modelos s˜ao apamortecedo-resentadas em v´arias referˆencias [24, 3]. Para exemplificar a natureza das equa¸c˜oes do modelo, consideraremos aqui um modelo de terceira ordem. Este modelo ´e adequado para re-presentar m´aquinas s´ıncronos de p´olos salientes, sem a representa¸c˜ao dos enrolamentos amortecedores.
O modelo compreende as equa¸c˜oes diferenciais que representam a dinˆamica eletro-mecˆanica do gerador e a equa¸c˜ao que representa a dinˆamica el´etrica do rotor:
. δ = ω . ω = (1/M )(−D ω + Pm− Pe) . Eq0 = −(Eq0 − (Xd− Xd0) Id− Ef d)/Tdo0 (3.3.1)
onde a potˆencia el´etrica ´e dada por
Pe= Eq0 − (Xq− Xd0) IdIq
A estas equa¸c˜oes devem-se adicionar as equa¸c˜oes alg´ebricas que representam a co-nex˜ao do gerador `a rede:
−V1d = XqIq
Eq0 − V1q = −X
0 dId
K 1 + sT
Vref− V Ef d
Figura 3.1: Modelo do regulador de tens˜ao
Pode-se observar que a tens˜ao terminal e a corrente aparecem na referˆencia d, q da m´aquina. Por outro estas grandezas devem ser referidas `a referˆencia re, im para a inclus˜ao nas equa¸c˜oes da rede. As equa¸c˜oes que relacionam estes dois sistemas de referˆencia s˜ao dadas por
Vd = −Vresenδ + Vimcos δ
Vq = Vrecos δ + Vimsenδ (3.3.2)
Id = −Iresenδ + Iimcos δ
Iq = Irecos δ + Iimsenδ
e s˜ao as mesmas, qualquer que seja o modelo da m´aquina s´ıncrona.
3.4
Sistema de excita¸
c˜
ao
A modelagem do sistema de excita¸c˜ao depende do tipo de excitatriz usado. Sistemas mais antigos eram baseados em excitatrizes rotativas, de corrente cont´ınua ou corrente alternada. Sistemas modernos usam excitatrizes est´aticas, constitu´ıdas de pontes de tiristores alimentadas pela tens˜ao terminal da m´aquina.
Um modelo simplificado, adequado para representar sistemas est´aticos ´e apresen-tada na Figura 3.1
A equa¸c˜ao que descreve este modelo ´e
.
Ef d= −(Ef d+ K(Vref − V ))/T (3.4.1)
3.5
Limitador de sobre-excita¸
c˜
ao
Um aspecto importante da modelagem para estudos de estabilidade de tens˜ao ´e a modelagem dos limites de m´axima corrente de campo da m´aquina s´ıncrona. A m´axima corrente de campo limita a potˆencia reativa fornecida pela m´aquina, o que contribui para a ocorrˆencia de instabilidade de tens˜ao.
A corrente de campo deve ser limitada para evitar danos aos enrolamentos, con-forme mostrado pela curva de capabilidade da m´aquina. Esta limita¸c˜ao ´e imposta pelo limitador de sobre-excita¸c˜ao (ou OXL, OvereXcitation Limiter, em inglˆes).
O limitador detecta a condi¸c˜ao de sobre-corrente, e ap´os um retardo de tempo, age no sentido de reduzir a excita¸c˜ao reduzindo a corrente de campo para um valor de 100% a 110% do valor nominal. Se esta opera¸c˜ao n˜ao tiver sucesso, o controle passa para o controle dc, o qual reajusta o valor de referˆencia para o correspondente ao valor nominal. Se ainda esta opera¸c˜ao n˜ao tiver sucesso, ´e iniciado um processo de desligamento da unidade [24].
O retardo de tempo mencionado acima, pode ser de tempo fixo ou tempo in-verso [24].
Figura 3.2: Modelo de limitador de sobre-excita¸c˜ao [24]
3.6
Modelagem das cargas
O fenˆomeno da instabilidade de tens˜ao ´e estreitamente associado ao comportamento das cargas. A modelagem das cargas ´e ent˜ao importante para a correta detec¸c˜ao e an´alise do fenˆomeno. A modelagem da carga ´e uma quest˜ao dif´ıcil em sistemas el´etricos de potˆencia, dado que as cargas s˜ao agregados de componentes com diferentes carac-ter´ısticas. Mesmo quando a natureza dos elementos ´e conhecida, tem-se dificuldades em determinar o valor dos parˆametros dos modelos. Prefe-se ent˜ao usar modelos sim-plificados, cujos parˆametros sejam mais f´aceis de determinar e que al´em disso podem ser incorporados mais facilmente em estudos.
Nesta se¸c˜ao estudaremos inicialmente alguns modelos gen´ericos de carga, que em-bora n˜ao representando o comportamento dinˆamico das mesmas, s˜ao usados em estudos de estabilidade de tens˜ao. Estudaremos ent˜ao o motor de indu¸c˜ao, cujo amplo uso e caracter´ısticas, torna-o um elemento importante no estudo da estabilidade de tens˜ao. Finalmente estudaremos os chamados modelos agregados, que representam as carac-ter´ısticas dinˆamicas e est´aticas de um agregado de carga.
3.6.1
Modelagem est´
atica das cargas
Nesta se¸c˜ao as cargas s˜ao modeladas estaticamente, ou seja, embora elas possam de-pender da tens˜ao, nenhuma dinˆamica ´e representada. No entanto, estes modelos s˜ao usados em estudos onde a an´alise baseada em modelos dinˆamicos, ´e empregada, para representar parte ou toda a carga do sistema. O mecanismo de restaura¸c˜ao de cargas, a ser discutido mais adiante, n˜ao ´e representado. Estes modelos tem sido usados em estudos de estabilidade de tens˜ao, mas deve-se reconhecer a sua limita¸c˜ao. Deve-se ainda observar que o modelo de carga usado em estudos de fluxo de potˆencia ´e um caso particular dos modelos aqui apresentados.
3.6.1.1 Representa¸c˜ao Polinomial
Neste caso a representa¸c˜ao das cargas para estudos de estabilidade ´e feita usando-se modelos que refletem o comportamento de impedˆancia constante, corrente constante e potˆencia constante, ou uma combina¸c˜ao de parcelas deste tipo.
Estas parcelas est˜ao baseados nas hip´oteses seguintes:
• Potˆencia constante - a potˆencia da carga ´e constante independentemente da tens˜ao nodal;
• Corrente constante - o m´odulo da corrente solicitada pela carga n˜ao varia durante o transit´orio, podendo ser calculado a partir da potˆencia complexa S, que varia com o m´odulo da tens˜ao (S = S0V /V0), e da tens˜ao complexa;
• Impedˆancia constante - a carga ´e representada por uma impedˆancia constante para a terra, calculada em fun¸c˜ao das condi¸c˜oes nominais de opera¸c˜ao.
Matematicamente, as trˆes parcelas do modelo de carga s˜ao dadas por: • Parcela de potˆencia constante
Ps+ Qs = a1P0+ a2Q0 (3.6.1)
• Parcela de corrente constante
PI+ QI =
[b1P0+ b2Q0].V
V0
(3.6.2)
• Parcela de impedˆancia constante
Pz+ Qz = c1P0 |V2 0| − c2Q0 |V2 0| |V |2 (3.6.3) onde:
P0 - potˆencia ativa de regime permanente pr´e-perturba¸c˜ao (em pu.);
Q0 - potˆencia reativa no regime permanente pr´e-perturba¸c˜ao (em pu.);
V0 - tens˜ao na barra de carga no regime permanente pr´e-perturba¸c˜ao (em pu.);
V - tens˜ao na barra de carga ao longo da simula¸c˜ao (em pu.);
a1,b1,c1 - constantes que especificam a percentagem de potˆencia constante, corrente
constante e impedˆancia constante, respectivamente, para a carga ativa;
a2,b2,c2 - constantes que especificam a percentagem de potˆencia constante, corrente
constante e impedˆancia constante, respectivamente, para a carga reativa;
Ps, PI, Pz - potˆencias ativas associadas, respectivamente as parcelas de carga do tipo
potˆencia constante, corrente constante e impedˆancia constante;
Qs, QI, Qz - potˆencias reativas associadas, respectivamente as parcelas de carga do tipo
Neste caso, as parcelas ativa e reativa de cada carga s˜ao representadas por po-linˆomios da forma : P = P0 h a1+ b1VV0 + c1(VV0)2 i Q = Q0 h a2+ b2VV0 + c2(VV0)2 i (3.6.4)
Uma desvantagem desta representa¸c˜ao relaciona-se com a parcela representada por potˆencia constante. Para baixas tens˜oes, que aparecem no caso de defeitos do tipo curto-circuito ou perda de sincronismo de alguma m´aquina, a corrente do modelo tende a um valor elevado, fato que n˜ao ocorre no sistema real. Por isso ´e comum se colocar um limite de tens˜ao, abaixo do qual as cargas passam a ser representadas pelo modelo de impedˆancia constante.
3.6.1.2 Representa¸c˜ao Exponencial
Neste caso as cargas s˜ao representadas pelas equa¸c˜oes : P P0 = ( V V0) kp Q Q0 = ( V V0) kq (3.6.5)
onde kp e kq variam, normalmente, de 0 a 3 e P0 , Q0 e V0, s˜ao os valores de regime
permanente inicial, respectivamente, para a potˆencia ativa, potˆencia reativa e tens˜ao na barra em que a carga est´a conectada.
Esta representa¸c˜ao tem a vantagem de que a potˆencia ´e nula para tens˜ao nula na barra em que a carga esta conectada. Para kp = kq = 0, kp = kq = 1 e kp = kq = 2, tem-se, respectivamente, a carga representada por potˆencia constante, corrente constante e impedˆancia constante.
Uma caracter´ıstica geral para a carga pode ser estabelecida considerando tamb´em a varia¸c˜ao da carga com a frequˆencia. Assim :
P = Kp(V )pv(f )pf Q = Kq(V )qv(f )qf (3.6.6)
onde Kp e Kq s˜ao constantes que dependem dos valores nominais das vari´aveis P e Q.
Cargas est´aticas s˜ao pouco afetadas por varia¸c˜oes na frequˆencia, ou seja pf = qf = 0, e para cargas que se comportam como impedˆancias constantes tem-se pv = qv = 2.
3.6.2
Modelagem dinˆ
amica das cargas
Neste caso, a dinˆamica das cargas ´e representada, ou seja, o modelo representa como a carga varia com o tempo em fun¸c˜ao da tens˜ao. A dinˆamica das cargas est´a ligada ao conceito de restaura¸c˜ao da carga. Examinaremos inicialmente este conceito antes de estudarmos a modelagem de diversas cargas.
3.6.2.1 Dinˆamica da restaura¸c˜ao de cargas
Na se¸c˜ao anterior estudamos modelos est´aticos, ou seja, dada uma varia¸c˜ao s´ubita da tens˜ao, a potˆencia ativa e reativa atingiam instantˆaneamente um valor final. No entanto, cargas em geral tem uma dinˆamica, ou seja, dada uma varia¸c˜ao da tens˜ao, as potˆencias ativa e reativa variam com o tempo at´e atingir um valor final que tende ao valor inicial. Este mecanismo ´e chamado de restaura¸c˜ao da carga.
Para representar a dinˆamica da carga, pode-se considerar que a potˆencia da carga ´e fun¸c˜ao de uma vari´avel de estado x [35]:
P = Pt(z, V, x) (3.6.7)
Q = Qt(z, V, x) (3.6.8)
onde z representa a demanda da carga, V ´e a tens˜ao e Pt e Qt s˜ao fun¸c˜oes chamadas
de caracter´ısticas transit´orias da carga.
A dinˆamica da carga pode ser descrita pela equa¸c˜ao diferencial
˙x = f (z, V, x) (3.6.9)
No regime permanente a carga ´e descrita por
f (z, V, x) = 0 (3.6.10)
Usando-se (3.6.10), pode-se expressar x como uma fun¸c˜ao de z and V :
x = h(z, V ) (3.6.11)
Substituindo-se (3.6.11) em (3.6.7 e (3.6.8) tem-se
P = Pt(z, V, h(x, V )) = Pr(z, V ) (3.6.12)
Q = Qt(z, V, h(x, V )) = Qr(z, V ) (3.6.13)
onde Pr e Qr s˜ao as caracter´ısticas em regime permanente da carga.
A caracter´ıstica transit´oria da carga ´e em geral mais sens´ıvel `a tens˜ao do que a caracter´ıstica em regime permanente. Com isto, a carga em regime permanente tende a voltar a valores pr´oximos dos valores pr´e-perturba¸c˜ao.
3.6.2.2 Modelagem do motor de indu¸c˜ao
A importˆancia dos motores de indu¸c˜ao em estudos de estabilidade de tens˜ao se deve `as suas caracter´ısticas [35]:
1. um r´apido tempo de restaura¸c`ao, da ordem de um segundo.
2. baixo fator de potˆencia, requerendo uma alta demanda de potˆencia reativa 3. tendˆencia a estolar, quando a tens˜ao ´e reduzida ou a carga mecˆanica do motor
aumenta.
Em sistemas el´etricos, cargas constitu´ıdas por motores de indu¸c˜ao s˜ao representadas por um motor equivalente.
Os motores de indu¸c˜ao podem ser trif´asicos ou monof´asicos, com resistˆencia de rotor constante ou de gaiola. Nesta se¸c˜ao veremos os motores de indu¸c˜ao com resistˆencia do rotor constante, tanto trif´asicos como monof´asicos. Adotaremos modelos simplificados, mas que ser˜ao suficientes para descrever o efeito de motores de indu¸c˜ao em estudos de estabilidade de tens˜ao.
Hip´oteses simplificadoras Os transit´orios presentes no motor de indu¸c˜ao s˜ao: 1. transit´orios no estator, semelhantes ao caso da m´aquina s´ıncrona e que ser˜ao
desprezados na deriva¸c˜ao do modelo.
2. transit´orios no estator, na mesma escala de tempo dos enrolamentos amortecedo-res da m´aquina s´ıncrona (subtransit´orio). Esta dinˆamica tamb´em ser´a desprezada aqui.
3. a dinˆamica mecˆanica do rotor, que corresponde `a equa¸c˜ao de oscila¸c˜ao da m´aquina s´ıncrona.
Com as hip´otese discutidas acima, a parte el´etrica do motor de indu¸c˜ao ´e descrita apenas pelo circuito equivalente mostrado na Figura 3.3(a).
Rs Xe Xm Xr Rr s ¯ I I¯r ¯ V
(a) Circuito equivalente do motor de indu¸c˜ao R1 X1+ Xr Rr s ¯ Ir ¯ V1
(b) Equivalente Thevenin do motor de indu¸c˜ao
Nesta figura, Re e Xe, s˜ao a resistˆencia e a reatˆancia do estator, respectivamente,
Rr e Xr s˜ao a resistˆencia e a reatˆancia do rotor, respectivamente, s ´e o escorregamento,
definido por
s = ω0− ωr ω0
ω0´e a freq¨uˆencia angular nominal e ωr ´e a velocidade do rotor em rad elet por segundo.
O diagrama mostrado na Figura 3.3(a), pode ser representado alternativamente pelo equivalente Thevenin com rela¸c˜ao `a resistˆencia Rr
s . O diagrama ´e mostrado na Figura 3.3(b).
Desta figura segue que
V1 = XmV q R2 e+ (Xe+ Xm)2 (3.6.14) R1+ jX1 = jXm(Re+ Xe) Re+ j (Xe+ Xm) (3.6.15)
Torque e potˆencia A potˆencia de entreferro do motor ´e dada por Pef = Ir2
Rr
As perdas resistivas s˜ao dadas por RrIr2, que descontadas da potˆencia de entreferro
produzem a potˆencia correspondente ao torque do motor Pe = Ir2
Rr
s (1 − s) (3.6.17)
Por outro lado, a rela¸c˜ao entre potˆencia e torque ´e dada por Pe = Te
wr
w0
= Te(1 − s) (3.6.18)
Comparando-se as equa¸c˜oes anteriores segue que: Te = Ir2
Rr
s = Pef (3.6.19)
A partir do circuito equivalente do motor de indu¸c˜ao pode-se calcular a corrente do rotor, que substitu´ıda na Equa¸c˜ao 3.3 leva `a:
Te(V, s) = V2X2 m Rr s " R1+ Rr s 2# R2 e+ (Xe+ Xm)2 (3.6.20)
Alternativamente, do equivalente Thevenin pode-se calcular a corrente do rotor, que substituindo-se na equa¸c˜ao anterior leva `a:
Te(V1, s) = V2 1 Rr s R1+Rsr 2 + (X1 + Xr)2 (3.6.21)
A partir da Equa¸c˜ao 3.6.21 pode-se tra¸car a caracter´ıstica torque-escorregamento do motor, mostrada na Figura 3.3.
A conven¸c˜ao usada ´e torque positivo para opera¸c˜ao como motor. Para o caso de opera¸c˜ao como gerador, o escorregamento ´e negativo (a velocidade do motor ´e superior `a velocidade s´ıncrona) e o torque tamb´em ´e negativo, ou seja, ´e um torque resistente.
Dinˆamica mecˆanica do motor de indu¸c˜ao O modelo simplificado consiste de apenas uma equa¸c˜ao diferencial, al´em das equa¸c˜oes alg´ebricas derivadas do circuito equivalente do motor. Esta equa¸c˜ao descreve a dinˆamica do rotor e ´e dada por
2H ˙s = Tm(s) − Te(V, s) (3.6.22)
onde H ´e a constante de in´ercia do motor, em segundos, Tm ´e o torque mecˆanico em
pu, que inclue perdas mecˆanicas e Te´e o torque el´etrico, como calculado anteriormente.
Esta equa¸c˜ao ser´a usada para estudar o comportamento do motor de indu¸c˜ao ap´os uma falta. Mas antes estudaremos a modelagem do torque mecˆanico do motor.
0.0 −1.7 −1.3 −0.9 −0.5 −0.1 0.3 0.7 1.1 1.5 1.9 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1.0 Te s Gerador Motor
Figura 3.3: Caracter´ıstica torque × velocidade do motor de indu¸c˜ao
0.0 −1.0 1.0 Te s T0 I E Gerador Motor Motor travado Tmax
Figura 3.4: Torque mecˆanico constante
Modelo do torque mecˆanico do motor O torque mecˆanico do motor pode ser modelado por um torque constante, um modelo quadr´atico ou um modelo composto. Os dois primeiros modelos s˜ao analisados na seq¨uˆencia.
Modelo de torque constante
Neste caso o torque mecˆanico ´e descrito por
Tm(s) = T0 (3.6.23)
Para o caso onde T0 < Tmax, tem-se dois pontos de opera¸c˜ao, dados pelos pontos
E e I, correspondentes `a intercess˜ao entre a caracter´ıstica da carga e a caracter´ıstica do motor. Se, no entanto, T0 > Tmax, n˜ao existem pontos de intercess˜ao, e neste caso
o motor estola, ou seja, a velocidade diminui at´e o motor parar (e o escorregamento aumenta at´e s = 1).
Pode-se analisar a estabilidade dos pontos de equil´ıbrio E e I, atrav´es das seguin-tes considera¸c`oes. No caso do ponto de equil´ıbrio E, para um pequeno aumento do escorregamento (ou seja, a velocidade do motor diminui), o torque do motor aumenta, tendendo a restabelecer a velocidade. Por outro lado, se o o escorregamento diminui (ou seja, a velocidade do motor aumenta), o torque diminui, tendendo novamente a restabelecer a velocidade. Portanto, este ´e um ponto de equil´ıbrio est´avel. Para o caso do ponto I, um aumento de escorregamento causa uma diminui¸c˜ao do torque, causando a desacelera¸c˜ao do motor at´e a parada. Por outro lado, uma diminui¸c˜ao do escorre-gamento far´a com que o torque aumente, fazendo com que a velocidade aumente at´e que o motor alcance o ponto de opera¸c˜ao est´avel E. Portanto, o ponto de opera¸c˜ao I ´e inst´avel.
Para o modelo de torque constante, o motor de indu¸c˜ao em regime permanente pode ser visto como uma carga tipo potˆencia constante atr´as da reatˆancia de dispers˜ao do rotor. Isto segue do fato de que no equil´ıbrio o torque mecˆanico da carga ´e igual ao torque el´etrico. Por outro lado, este tem o mesmo valor em pu da potˆencia de entreferro. Pode-se ent˜ao representar o motor de indu¸c˜ao por um dos diagramas da Figura 3.6.2.2. Portanto, no regime permanente, a potˆencia do motor ´e sempre restaurada para o valor Pef, na barra terminal i, independente da tens˜ao aplicada no motor. Por outro lado,
no regime transit´orio, o motor, para um dado valor de escorregamento, comporta-se como uma impedˆancia constante.
Modelo de torque quadr´atico Neste caso a carga ´e representada por
Tm(s) = T2(1 − s)2 (3.6.24)
Este ´e um modelo mais real´ıstico do que o modelo com torque constante.
Neste caso, devido `a caracter´ıstica torque × s da carga, o n´umero de pontos de opera¸c˜ao, pode ser um ou trˆes, como mostrado na Figura 3.5.
Para baixos valores de T2, existe apenas um ponto de equil´ıbrio est´avel (ponto
E1), que corresponde a um escorregamento pr´oximo de zero, ou seja, uma velocidade
pr´oxima da s´ıncrona. Quando T2 aumenta, tem-se trˆes pontos de equil´ıbrio, sendo que
o ponto intermedi´ario ´e inst´avel (ponto I1) e os demais s˜ao est´aveis (pontos E2 e E3).
Para Tm com maior valor volta-se a ter um ´unico ponto de equil´ıbrio est´avel (ponto
E4). As conclus˜oes sobre a estabilidade de cada ponto de equil´ıbrio podem ser tiradas
com as mesmas considera¸c˜oes usadas para o caso do torque constante. 3.6.2.3 Cargas termost´aticas
Cargas controladas por termostatos ocorrem em v´arios tipos de processos de aqueci-mento e controle de temperatura e se caracterizam pelo restaura¸c˜ao da potˆencia da carga com a queda da tens˜ao.
Vamos considerar um condutˆancia de valor G, conectada ao sistema por uma uma chave acionada por um termostato, como mostrado na Figura 3.6(a). Esta chave ser´a
0.5 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Te, Tm s E1 I1 E2 E3 E4
Figura 3.5: Modelo com torque quadr´atico
G V
(a) Condutˆancia
controlada por termostato tdes tlig - - Pdem GV2 t P -6
ligada ou desligada em fun¸c˜ao da demanda da carga de aquecimento. Assim, a chave dever´a permanecer um certo tempo ligada para fornecer a potˆencia necess´aria para manter uma certa temperatura. Seja tlig o tempo em que a chave fica ligada e tdes o
tempo em que a chave fica desligada. A seq¨uˆencia chave fica ligada, chave desligada e chave novamente ligada, determina um ciclo t´ermico, como mostrado na Figura 3.6(b). Se a demanda de potˆencia da carga for Pdem, ou seja, a energia em um ciclo ´e
Pdem(tlig + tdes), deve-se ter
Pdem(tlig+ tdes) = G V2tlig
ou
Pdem= G V2
tlig
tlig + tdes
Definindo-se o parˆametro do ciclo t´ermico por f = tlig
tlig+ tdes
ou seja, a rela¸c˜ao entre o tempo em que a chave fica ligada e o tempo total do ciclo, obtem-se
Pdem= f G V2
Observa-se que a m´axima energia fornecida pelo elemento ocorre para f = 1. Se a demanda da carga for tal que
Pdem> G V2
ent˜ao a chave ficar´a pemanentemente fechada.
Cargas termost´aticas comportam-se como cargas a energia constante. Isto repre-senta um mecanismo de restaura¸c˜ao da carga, que influencia a estabilidade de tens˜ao. Vamos considerar que para uma tens˜ao inicial V0, a demanda da carga ´e atendida
para um valor f < 1. Suponhamos que a tens˜ao cai para um valor V1 < V0. Neste
caso f aumenta, para atender `a demanda. Com v´arias cargas termost´aticas, a potˆencia aumenta a medida que novas cargas s˜ao conectadas.
Um modelo simples para levar em conta a resposta de cargas termost´aticas ´e dado pela equa¸c˜ao [35]:
TLG =˙
P0
V2 − G
onde G ´e a condutˆancia do elemento, V ´e a tens˜ao e TL ´e a constante de tempo de
restaura¸c˜ao da carga termost´atica.
3.6.2.4 Modelos agregados de carga
Cargas s˜ao uma composi¸c˜ao de diferentes tipos como ilumina¸c˜ao, aquecimento, cargas industriais e outros. A identific˜ao e modelagem de cada tipo de carga e sua composi¸c˜ao n˜ao ´e simples, especialmente quando as caracter´ısticas dinˆamicas devem ser considera-das. Por isto, modelos agregados, para o conjunto da carga, tem sido propostos. Dois destes modelos s˜ao apresentados aqui: o modelo multiplicativo e o modelo aditivo.
Modelo multiplicativo Este modelo ´e dado por P = zPP0 V V0 αt (3.6.25) Q = zQQ0 V V0 βt (3.6.26) onde P e Q s˜ao respectivamente as potˆencias ativa e reativa consumidas pela carga, e zP e zQ s˜ao vari´aveis de estado associadas `a dinˆamica da carga.
A caracter´ıstica no regime permanente da carga ´e dada por Pe = P0 V V0 αe (3.6.27) Qe = Q0 V V0 βe (3.6.28) e observa-se que para o valor de opera¸c˜ao V = V0 tem-se
Pe = P0 (3.6.29)
Qe = Q0 (3.6.30)
As equa¸c˜oes diferenciais que descrevem a dinˆamica da carga s˜ao: TPz˙P = V V0 αe − zP V V0 αt (3.6.31) TQz˙Q = V V0 βe − zQ V V0 βt (3.6.32) No regime permanente, ˙zP = ˙zQ = 0 e segue que
P = Pe (3.6.33)
Q = Qe (3.6.34)
ou seja, a demanda ativa e reativa da carga tende para os valores em regime permanente, com constantes de tempo TP e TQ, respectivamente.
Modelo aditivo Neste modelo a demanda da carga ´e representada por P = P0 V V0 αt + zP (3.6.35) Q = Q0 " V V0 βt + zQ # (3.6.36)
onde zP e zQ s˜ao vari´aveis de estado. Na condi¸c˜ao inicial, com V = V0, as vari´aveis de
estado tem valor zP = zQ = 0, e as potˆencias iniciais s˜ao dadas por
P = P0 (3.6.37)
A caracter´ıstica em regime permanente s˜ao descritas pelas mesmas equa¸c˜oes do modelo multiplicativo.
As equa¸c˜oes diferenciais que descrevem a dinˆamica da carga s˜ao dadas por:
TPz˙P = −zP + V V0 αe − V V0 αt (3.6.39) TQz˙Q = −zQ+ V V0 βe − V V0 βt (3.6.40)
3.7
Modelagem de taps de transformadores
O ajuste de taps de transformadores permite manter a tens˜ao junto `as cargas elevada, mesmo quando a tens˜ao ao longo do sistema sofre uma depress˜ao. Com isto os taps dos transformadores contribuem para o processo de restaura¸c˜ao de cargas, o que drena mais potˆencia reativa de um sistema j´a sobrecarregado, aumentando as perdas reativas e fazendo com que as tens˜oes caiam ainda mais, o que leva a novas atua¸c˜oes de taps, at´e um eventual colapso.
3.7.1
Caracter´ısticas de taps
Taps de transformadores controlam a tens˜ao no lado de baixa tens˜ao atrav´es do controle da rela¸c˜ao de transforma¸c˜ao r. Os taps se situam usualmente no lado de alta tens˜ao devido ao fato de que a corrente neste lado ´e menor, facilitando a comuta¸c˜ao e ainda ao maior n´umero de espiras que torna o ajuste mais preciso. Algumas vezes usa-se um ajuste de queda de tens˜ao (line drop compensation). Isto equivale a ajustar a tens˜ao mais adiante, a jusante do secund´ario do transformador.
O mecanismo de ajuste de taps sob carga ´e chamado neste texto de LTC. O ajuste de taps pode ser manual ou autom´atico. O interesse maior aqui ´e pelo ajuste autom´atico de taps.
O ajuste da tens˜ao atrav´es de taps ´e realizado a partir do erro entre uma tens˜ao de referˆencia a tens˜ao controlada. Quando este erro permanece fora de uma zona morta por um tempo superior a um tempo de retardo, a rela¸c˜ao de transforma¸c˜ao ´e ajustada em passos discretos. Este controle ´e lento, sendo que cerca de 5 segundos s˜ao requeridos para a mudan¸ca de um passo. A este retardo inerente ao equipamento s˜ao adicionados retardos suplementares para evitar que o equipamento responda desnecessariamente a varia¸c˜oes tempor´arias, causando desgaste. O retardo adicional pode ser constante ou uma caracter´ıstica de tempo inverso, onde o retardo ´e tanto menor quanto maior for o erro de tens˜ao, pode ser usado.
Os valores da rela¸c˜ao de taps r est˜ao limitadas a uma faixa que varia tipicamente entre o limite inferior 0.85 − 0.90 pu e o limite superior 1.10 − 1.15 pu. Os valores de varia¸c˜ao do passo do tap est˜ao entre 0.5% a 1.5%. A zona morta ´e tipicamente o dobro do passo.
Uma caracter´ıstica apresentada por muitos sistemas de ajuste de tap sob carga ´e a possibilidade do bloqueio do controle autom´atico para ajuste da tens˜ao no secund´ario. Este bloqueio ´e uma das a¸c˜oes de controle poss´ıveis de serem usadas para a melhoria da estabilidade de tens˜ao, como ser´a visto no Cap´ıtulo 7.
3.7.2
Modelagem do tap
Vamos considerar um modelo ideal de transformador com rela¸c˜ao de transforma¸c˜ao r, onde a resistˆencia e a reatˆancia de magnetiza¸c˜ao s˜ao desprezadas, em s´erie com a reatˆancia de dispers˜ao Xt. O modelo ´e apresentado na Figura 3.6. Dois modelos ser˜ao
V1
r : 1
V1/r jXt V2 P
2, Q2
Figura 3.6: Circuito equivalente do transformador com tap diferente do nominal considerados para o tap; um modelo discreto e um modelo aproximado cont´ınuo. 3.7.2.1 Modelo discreto
Neste caso o tap do transformador ´e alterado por um passo discreto dado por ∆r, em instantes de tempo discretos tk, k = 0, 1, . . . . Os instantes de amostragem n˜ao s˜ao
uniformes, mas dependem do dispositivo e do erro de tens˜ao. Assim, pode-se expressar esta varia¸c˜ao como
tk+1 = tk+ ∆Tk (3.7.1)
com ∆Tk vari´avel. Uma express˜ao bastante usada para representar a caracter´ıstica de
tempo inverso ´e [35]:
∆Tk = Td
d |V − Vref|
+ Tf + Tm (3.7.2)
onde V ´e a tens˜ao controlada, Vref ´e a referˆencia de tens˜ao, d ´e a metade do valor da
zona morta, Td ´e o m´aximo retardo da caracter´ıstica de tempo inverso, Tf ´e um retardo
intencional fixado e Tm ´e o retardo mecˆanico inerente ao dispositivo. Observa-se que
quanto maior o erro, menor ´e o fator de multiplica¸c˜ao de Td e menor o retardo devido
`a caracter´ıstica de tempo inverso.
A l´ogica de atua¸c˜ao do tap em um instante tk ´e dada por
rk+1 = rk+ ∆r se V > Vref + d e rk < rmax rk− ∆r se V < Vref − d e rk > rmax
rk para outros casos
(3.7.3)
onde rmax e rmin s˜ao os limites m´aximo e m´ınimo do tap, respectivamente.
3.7.2.2 Modelo cont´ınuo
Neste caso a rela¸c˜ao de transforma¸c˜ao ´e cont´ınua com o tempo e ´e dada por r(t), limitada por rmin e rmax. A equa¸c˜ao que descreve a varia¸c˜ao do tap ´e:
O efeito da zona morta ´e usualmente desprezada neste modelo. O ponto de equil´ıbrio ´e dado por V = Vref, ou seja, para um degrau de varia¸c˜ao de tens˜ao, a tens˜ao volta ao
valor de referˆencia, com uma constante de tempo Tc e erro zero (controle integral), se
o valor de r n˜ao atingir os valores limites.
3.7.3
Modelagem da rede
A rede ´e modelada do mesmo modo que em estudos de estabilidade eletromecˆanica. Os transit´orios r´apidos s˜ao desconsiderados sendo a rede modelada por equa¸c˜oes alg´ebricas. A considera¸c˜ao subjacente a este modelo ´e de que os transit´orios na rede s˜ao muito mais r´apidos do que os transit´orios de interesse. A rede pode portanto ser modelada por equa¸c˜oes fasoriais, sendo que os fasores variam lentamente.
Existem basicamente duas formula¸c˜oes para este modelo, a formula¸c˜ao em termos de corrente e a formula¸c˜ao em termos de potˆencia.
Na primeira formula¸c˜ao a rede ´e representada pela equa¸c˜ao: ¯
I = ¯Y ¯V (3.7.5)
onde ¯I representa o vetor de inje¸c˜ao de correntes nas barras do sistema, ¯V representa o vetor de tens˜oes nas barras e ¯Y representa a matriz de admitˆancia da rede. O vetor de correntes ´e calculado em fun¸c˜ao das vari´aveis de estado do sistema e do pr´oprio vetor de tens˜oes V .
A segunda formula¸c˜ao ´e em termos do balan¸co das potˆencias ativas e reativas do sistema.
3.8
Modelagem geral do sistema
Nesta se¸c˜ao os modelos dos diversos equipamentos s˜ao agrupados para fornecer as equa¸c˜oes gerais do modelo. O interesse maior ´e mostrar a natureza das equa¸c˜oes que descrevem o comportamento do sistema. Dividiremos as equa¸c˜oes entre as que descrevem a dinˆamica r´apida do sistema e aquelas que descrevem a dinˆamica lenta.
3.8.1
Dinˆ
amica r´
apida
A dinˆamica r´apida est´a associada a geradores e seus controladores, dispositivos FACTS, elos de CC e cargas dinˆamicas como motores de indu¸c˜ao, e envolve uma escala de tempo de poucos segundos ap´os uma perturba¸c˜ao.
As equa¸c˜oes s˜ao dadas por [35]
˙x = f(x, y, zc, zd) (3.8.1)
onde f ´e um campo vetorial, x ´e o vetor de vari´aveis de estado dos equipamentos associados `a dinˆamica r´apida, y ´e o vetor de vari´aveis alg´ebricas que compreende tens˜oes nas barras e as componentes de eixo direto e em quadratura das correntes dos geradores, zc e zd s˜ao associadas `a dinˆamica lenta e definidas posteriormente.
3.8.2
Dinˆ
amica lenta
A dinˆamica lenta est´a associada a dispositivos com atua¸c˜ao em uma escala de tempo da ordem de minutos. Estes dispositivos compreendem cargas, como o caso de cargas termost´aticas, controladores como o controle secund´ario de tens˜ao, controle de carga e freq¨uˆencia, transformadores com TAC e o chaveamento de dispositivos em deriva¸c˜ao como capacitores e reatores, e dispositivos de prote¸c˜ao, como limitadores de sobre-excita¸c˜ao e limitadores de corrente de armadura.
Alguns dos dispositivos associados `a dinˆamica lenta s˜ao discretos, como os dispo-sitivos em deriva¸c˜ao chaveados (capacitores e reatores) e transformadores com TAC. Neste caso equa¸c˜oes a diferen¸ca (ou recursivas) s˜ao usadas.
As equa¸c˜oes que descrevem esta dinˆamica s˜ao dadas por: ˙
zc = hc(x, y, zc, zd) (3.8.2)
xd(k + 1) = = hd(x, y, zc, zd(k)) (3.8.3)
onde zc ´e o vetor de vari´aveis de estado cont´ınuas e zd ´e o vetor de vari´aveis de estado
discretas.
3.9
Exemplo de modelagem
Para ilustrar a natureza das equa¸c˜oes e modelos usados em estudos de estabilidade de tens˜ao, vamos considerar a modelagem de um pequeno sistema, que ser´a usado em outros cap´ıtulos para ilustrar os mecanismos da instabilidade de tens˜ao.
O sistema ´e apresentado na Figura 3.7, e compreende um gerador, uma barra infi-nita, duas barras de transferˆencia e uma barra de carga. A seguir a modelagem est´atica e ent˜ao a modelagem dinˆamica, s˜ao discutidas.
1
2 3
4 5
MI
Figura 3.7: Sistema exemplo
3.9.1
Modelagem est´
atica
Esta modelagem ´e a modelagem pelas equa¸c˜oes do fluxo de potˆencia, como discutido anteriormente.
3.9.2
Modelagem dinˆ
amica
3.9.2.1 Gerador sincrono
O gerador s´ıncrono ser´a representado pelo modelo de terceira ordem descrito anterior-mente. As equa¸c˜oes s˜ao repetidas aqui por conveniˆencia.
Equa¸c˜oes diferenciais que representam a dinˆamica eletromecˆanica e a dinˆamica el´etrica do rotor: . δ = ω . ω = (1/M )(−Dω + Pm− Pe) . E.q0 = −(Eq0 − (Xd− Xd0)Id− Ef d)/Tdo0 Ef d = −(Ef d+ K(Vref − Em)/T (3.9.1)
onde a potˆencia el´etrica ´e dada por
Pe= Eq0 − (Xq− Xd0)IdIq
Equa¸c˜oes alg´ebricas que representam a conex˜ao do gerador `a rede: −V1d = XqIq
Eq0 − V1q = −X
0 dId
Equa¸c˜oes para mudan¸ca de referˆencia:
V1d = −V1resenδ + V1imcos δ
V1q = V1recos δ + V1imsenδ (3.9.2)
Id = −Iresenδ + Iimcos δ
Iq = Irecos δ + Iimsenδ
3.9.2.2 Sistema de excita¸c˜ao
O sistema de excita¸c˜ao ´e representado por uma fun¸c˜ao de primeira ordem. A equa¸c˜ao que descreve este modelo ´e
.
Ef d= −(Ef d+ K(Vref − V1))/T (3.9.3)
3.9.2.3 Limitador de sobre-excita¸c˜ao
Adotamos um modelo simples para o limitador de sobre-excita¸c˜ao, apresentado em [27] e representado na Figura 3.8. 0 vOXL Ef d Vref−V If d Imax f d − + + − ? -6 - - 1 -T0
Figura 3.8: Modelo do limitador de sobre-excita¸c˜ao As equa¸c˜oes que descrevem este modelo s˜ao
. vOXL = If d− If dmax T0 se If d > If dmax (3.9.4) . vOXL = 0 se If d≤ If dmax (3.9.5)
3.9.2.4 Cargas
O exemplo apresentado possui duas cargas, na barra 5; uma carga est´atica, aqui repre-sentada por um modelo exponencial e um motor de indu¸c˜ao.
O modelo exponencial ´e dado por ( P P0 = ( V5 V50) kp Q Q0 = ( V5 V50) kq (3.9.6)
O motor de indu¸c˜ao ser´a representado pelo modelo descrito anteriormente. A equa¸c˜ao diferencial associada `a dinˆamica mecˆanica do motor, Equa¸c˜ao 3.6.22, ´e re-petida aqui por conveniˆencia:
2H ˙s = Tm(s) − Te(V, s) (3.9.7)
A parte el´etrica ´e representada pelo circuito equivalente do motor mostrado na Figura 3.9. Rs Xe Xm Xr Rr s ¯ I I¯r ¯ V5
Figura 3.9: Circuito equivalente do motor de indu¸c˜ao
3.9.2.5 Rede el´etrica
3.10
Coment´
arios e Referˆ
encias
A modelagem de sistemas de potˆencia para estudos de estabilidade em geral, ´e apresen-tada em v´arios livros [24, 2, 31, 3, 37]. As referˆencias [35, 37] apresentam a modelagem voltada para estudos de estabilidade de tens˜ao. A modelagem de cargas tamb´em ´e apresentada em v´arios artigos. Os modelos de limitadores como o limitador de sobre-excita¸c˜ao s˜ao apresentados em [24, 35] e tamb´em em v´arios artigos.
