O M´etodo de Newton-Raphson com Amortecimento

4.4 O Fluxo de Potˆencia sem Solu¸c˜ao Real

4.4.1 O M´etodo de Newton-Raphson com Amortecimento

n˜ao-lineares (4.4.1) para ∆P2 = 0 e ∆Q2 = 0.

Dependendo dos valores especificados para as demandas Pd2 e Qd2, o sistema de equa¸cões (4.4.1) pode possuir duas, uma ou nenhuma solu¸cão real [21]. O limite da opera¸cão do sistema; isto é, a fronteira da região onde as equa¸cões da rede elétrica possuem solu¸cão real, caracteriza-se por pontos nos quais a matriz Jacobiana dessas equa¸cões é singular. Neste caso, isto corresponde aos pontos onde o determinante da matriz Jacobiana é nulo. Uma vez que a matriz Jacobiana é dada por

J = 10V2cos δ2 10 sin δ2

10V2sin δ2 20V2− 10 cos δ2

ent˜ao

det(J) = 0 : V₂cos δ₂ = 0, 5 Da equa¸c˜ao (4.4.1) re-escrita como

V₂sin δ₂ = −0, 1Pd2

e da condi¸c˜ao do determinante nulo, pode-se concluir que V₂² = 0, 01P_d²₂ + 0, 25 tal que

P2 d₂

a qual é a expressão anal´ıtica que define a superf´ıcie limite Σ da região onde existem solu¸cões reais para o conjunto de equa¸cões (4.4.1).

A figura 4.5 mostra a região onde as equa¸cões da rede têm solu¸cão real, a superf´ıcie limite e a região onde não existe solu¸cão real para as equa¸cões do fluxo de potência. Observa-se que os pontos a, b e c representam condi¸cões nas quais o fluxo de potência possui solu¸cão real. Nos pontos a e b, as equa¸cões da rede elétrica possuem duas solu¸cões, e no ponto c, apenas uma. Por outro lado, o ponto d representa uma condi¸cão na qual as demandas especificadas inviabilizam a existência de uma solu¸cão real para o sistema de equa¸cões não-lineares. Portanto, o conjunto de pontos abaixo da superf´ıcie Σ caracteriza a região onde solu¸cões reais existem para a demanda especificada. O conjunto de pontos situados acima de Σ representa a região onde a especifica¸cão da demanda inviabiliza a determina¸cão de solu¸cões reais para o problema de fluxo de potência. Q(pu) P (pu) a b c d Região com duas solu¸cões reais

Regi˜ao sem solu¸c˜oes reais 2,5

5,0 Superf´ıcie limite Σ

Figura 4.5: Região das solu¸cões do fluxo de potência convencional

Para ilustrar o efeito das especifica¸cões da demanda na barra 2 sobre as solu¸cões correspondentes aos pontos a, b, c e d, defina-se uma fun¸cão F como

F (V2, δ2) = ∆P₂²+ ∆Q²₂

Se o fluxo de potência possui solu¸cão real, o valor de F deve ser nulo, ou seja, as equa¸cões dos balan¸cos de potências são satisfeitas. Caso as equa¸cões do fluxo de potência não tenham solu¸cão real,

∆P2 6= 0 e/ou ∆Q2 6= 0 e portanto F (V2, δ2) 6= 0.

A tabela 4.1 mostra as solu¸c˜oes obtidas especificando-se diferentes valores de potˆencia demandada.

A análise da tabela 4.1 mostra que, conforme a demanda na barra 2 vai aumentando, as solu¸cões do fluxo de potência vão se aproximando, até o ponto em que as duas solu¸cões se unem numa única solu¸cão, no ponto de bifurca¸cão sela-nó. A partir desse

Solu¸c˜ao Pd₂ Qd₂ V2 δ2 V2 δ2

(MW) (Mvar) pu graus pu graus

1 100 80 0,1414 -45 0,9055 -6,34

2 180 144 0,2910 -38,20 0,7920 -13,14

3 240 192 0,5546 -25,64 -

-4 340 272 - - -

-Tabela 4.1: Resultados do fluxo de potˆencia - sistema de 2 barras

ponto, não há solu¸cão real para as equa¸cões do fluxo de potência. Isto caracteriza o limite entre as regiões com e sem solu¸cões reais para o fluxo de potência. Utilizando-se um método de fluxo de potência convencional (Newton-Raphson, por exemplo), a determina¸cão deste ponto de opera¸cão é inviável. No caso do ponto d, a fun¸cão F possui um único ponto de m´ınimo, igual a 1,3671, correspondente a uma demanda de 239,98 MW e 192,41 Mvar na tensão de 0,5546 ∠ − 25, 640 pu.

4.4.1 O M´etodo de Newton-Raphson com Amortecimento

As abordagens baseadas no método de Newton-Raphson com a utiliza¸cão de um con-trole sobre o passo da itera¸cão são idênticos em sua estrutura. O que as distingue é a forma de determinar o fator de passo. As diferentes versões se baseiam nas carac-ter´ısticas particulares de cada formula¸cão do fluxo de potência; isto é, em coordenadas cartesianas ou polares. Essas abordagens procuram explorar também outras carac-ter´ısticas da fun¸cão desbalan¸co inerente ao método de Newton-Raphson. Os métodos baseados nestas abordagens se caracterizam por uma convergência mais robusta do que a do método de Newton-Raphson convencional; ou seja, o uso do fator de passo utili-zado na corre¸cão dos incrementos garante que não haja uma divergência do processo.

A utiliza¸cão do método de Newton tem mostrado que a solu¸cão para o fluxo de potência é obtida rapidamente para uma ampla variedade de problemas. A aplica¸cão deste método requer que a cada itera¸cão um sistema linear da forma da equa¸cão (4.3.13) seja resolvido. Na forma compacta isto pode ser expresso por

J(x0)∆x = −f (x0) (4.4.2)

onde, x é o vetor das variáveis do fluxo de potência, J(x0) é a matriz de primeiras derivadas parciais (matriz Jacobiana) do sistema calculada no ponto que representa a estimativa inicial x0 e f (x0) é o vetor dos desbalan¸cos de potências ativa e reativa calculado em x0.

A solu¸cão do problema expresso pela equa¸cão (4.4.2) é dada por ∆x = −J(x)⁻¹f (x)

fornece uma corre¸c˜ao `a estima inicial x₀ para obter-se um novo ponto x₁ = x₀+ ∆x

o qual é utilizado como um novo ponto de partida para o processo iterativo formado pelas equa¸cões (4.4.2). O processo termina quando o maior desbalan¸co de potência em magnitude satisfaz uma tolerância pré-especificada.

O método de Newton-Raphson com amortecimento utiliza um fator de corre¸cão, o qual tem por finalidade controlar a magnitude do incremento calculada a cada itera¸cão do processo. O objetivo é fazer com que a cada itera¸cão uma melhor aproxima¸cão do problema linear ao problema não-linear seja obtida. Ao final de cada itera¸cão, as variáveis são atualizadas usando-se a expressão

x1 = x0+ ∆x

onde ´e um escalar positivo geralmente menor do que a unidade, denominado multi-plicador ´otimo, fator de passo ou fator de amortecimento.

O critério utilizado para a obten¸cão do valor do multiplicador (ou fator de passo) é baseado no quadrado da fun¸cão norma Euclideana dos desbalan¸cos de potência; ou seja,

F (x) =k f (x) k²=f(x)tf (x) = f1(x)²+ f2(x)²+ . . . + fm(x)²

A cada itera¸cão, o m´ınimo de F (x) na dire¸cão ∆x é encontrado minimizando-se a fun¸cão

F (x0+ ∆x)

A forma como este problema de minimiza¸c˜ao unidimensional ´e tratado constitui a principal diferen¸ca entre as abordagens apresentadas a seguir. Essas abordagens apresentam duas etapas distintas, as quais podem ser resumidas como:

• calcular o vetor de incrementos ∆x através do da solu¸cão do sistema linear do método de Newton-Raphson convencional;

• atualizar a estimativa corrente utilizando o fator de passo.

As se¸c˜oes seguintes apresentam algumas metodologias propostas na literatura para o controle eficiente do fator de passo na dire¸c˜ao de Newton.

4.4.1.1 M´etodo de Iwamoto e Tamura

Sejam as equa¸cões de balan¸co de potência da rede elétrica em regime permanente expressas como

ys− g(x) = 0 (4.4.3)

onde, ysé o vetor (m×1) das inje¸cões de potência especificadas e g(x) é o vetor (m×1) das inje¸cões de potência expressas em fun¸cão das tensões nodais x.

Expressando as tensões nodais na forma retangular, as inje¸cões de potência nas barras podem ser escritas como uma fun¸cão quadrática da forma [23]

g(x) = ¹ 2^x

Q0x (4.4.4)

onde Q0 é um arranjo de dimensão (m × m × m) e x é um vetor (m × 1), cujas componentes são as partes real e imaginária da tensão complexa nas barras.

A expansão da última equa¸cão em série de Taylor, em torno do ponto x e na dire¸cão do vetor ∆x, até o termo de segunda ordem fornece

g(x + ∆x) = g(x) + (Q0x)^t∆x + ¹ 2^∆x

Q0∆x Se xe é o ponto em torno do qual é feita a expansão,

ys = g(xe) + J∆x + g(∆x) (4.4.5)

onde J = (Qx)^t.

Sendo β um escalar, a substitui¸c˜ao do vetor ∆x por β∆x na equa¸c˜ao (4.4.5) fornece ys− g(xe) − βJ∆x − β²g(∆x) = 0 (4.4.6) ou, na forma compacta,

a + βb + β²c = 0 (4.4.7)

onde, a = ys− g(xe), b = −J∆x e c = −g(∆x).

Na equa¸cão (4.4.7), deve ser observado que: 1) a = ys− g(xe) corresponde aos desbalan¸cos de potência ativa e reativa; 2) b = −J∆x corresponde a lineariza¸cão das equa¸cões do fluxo de potência; 3) c = −g(∆x) representa as inje¸cões de potência calculadas em fun¸cão dos incrementos nas variáveis.

O parâmetro β pode ser interpretado como um fator de amortecimento nos incre-mentos ∆x, sendo o seu valor ótimo obtido através da minimiza¸cão da soma quadrática dos desbalan¸cos de potência, expressa pela seguinte fun¸cão:

Ψ(β) = ¹

2 ^{a + βb + β}

2ct

a + βb + β²c

(4.4.8) O valor ótimo de β é obtido derivando-se esta fun¸cão com rela¸cão a β e igualando-se o resultado a zero. Isto fornece a equa¸cão cúbica

atb + β btb + 2atc + β2 ctb + 2btc + β3 2ctc = 0 representada na forma compacta por

d₀+ d₁β + d₂β2+ d₃β3 = 0

A solu¸cão desta equa¸cão cúbica pode fornecer: 1) três ra´ızes reais, o que indica que há solu¸cões múltiplas ou 2) uma raiz real e um par de ra´ızes complexas conjugadas, o que indica que apenas uma solu¸cão real pode ser encontrada [21].

A solu¸cão da equa¸cão (4.4.3) é determinada atualizando-se o vetor x durante o processo iterativo; isto é,

x^k+1 = x^k+ β^k∆x^k

com os incrementos ajustados pela aplica¸c˜ao do fator de amortecimento.

Quanto à obten¸cão de solu¸cões para o sistema de equa¸cões (4.4.3) sob a aplica¸cão do fator de amortecimento, dois casos básicos são observados. Se a solu¸cão existe, o fator β tende a unidade, com um leve retardo na convergência do processo iterativo. Por outro lado, o fator de amortecimento tende a zero quando solu¸cão das equa¸cões não lineares não existe. Neste caso, um ponto correspondente ao valor m´ınimo da fun¸cão que representa a soma quadrática dos desbalan¸cos de potência é obtido.

O algoritmo para o m´etodo de Iwamoto e Tamura pode ser sumarizado nos seguintes passos:

1. Calcular o vetor de incrementos ∆x(k) do processo iterativo do fluxo de potˆencia convencional;

2. Calcular os vetores a(k), b(k) e c(k); 3. Calcular os coeficientes d0, d1, d2 e d3. 4. Calcular o valor ´otimo de β(k);

5. Atualizar as vari´aveis: x^(k+1) = x^(k)+ ∆x^(k)

Note que a aplica¸cão do algoritmo de Iwamoto e Tamura demanda um m´ınimo de esfor¸co computacional. Ela consiste apenas na extensão do processo convencional da solu¸cão do fluxo de potência em coordenadas retangulares para incluir: a forma¸cão de uma equa¸cão cúbica baseada nos resultados intermediários do processo iterativo e a solu¸cão desta equa¸cão cúbica.

4.4.1.2 M´etodo de Dehnel e Dommel

O estudo realizado em [11] apresenta outra metodologia para a determina¸cão do com-primento de passo ótimo a ser aplicado na corre¸cão das variáveis do fluxo de potência. Neste caso, o problema pode ser formulado tanto em coordenadas cartesianas como em polares.

Para se computar o valor do fator de passo ótimo, a fun¸cão norma euclidiana dos desbalan¸cos de potências

F (x) =k f (x) k2=pf₁(x)2+ f2(x)2+ . . . + fm(x)2

é aproximada no ponto x(k), ao longo da dire¸cão de Newton ∆x(k), por uma fun¸cão quadrática Φ(ε), onde ε é um escalar que indica o comprimento do passo na dire¸cão ∆x(k). Com a utiliza¸cão de três pontos Φ1, Φ2 e Φ3, respectivamente, em ε1 = −∆ε, ε2 = 0 e ε3 = ∆ε, a fun¸cão de aproxima¸cão é

Φ(ε) = Φ2− ^Φ¹^{− Φ}³ 2∆ε ^{ε +}

Φ1− 2Φ2+ Φ3

2∆ε2 ε² (4.4.9)

onde Φi = F x(k)+ εi∆x(k).

O valor do passo ε é determinado de forma que Φ(ε) tenha valor m´ınimo. Isto pode ser obtido derivando-se esta fun¸cão e igualando o resultado a zero; isto é,

dΦ(ε)

dε ^{= 0 : ε =}

∆ε(Φ1 − Φ3) 2Φ1− 4Φ2+ 2Φ3

Precau¸cões devem ser tomadas no cálculo do valor de ±∆ε. Se ∆ε for muito pequeno, erros de arredondamento podem tornar-se excessivos nos cálculos de Φ1 e Φ3, comprometendo a constru¸cão da parábola. Por outro lado, se ∆ε for muito grande, a parábola pode não pertencer à vizinhan¸ca de x(k). Para garantir que ∆ε possua uma magnitude adequada, Φ1 e Φ3 da equa¸cão (4.4.9) são calculados em duas dire¸cões a partir do ponto x(k), a uma distância

ao longo da dire¸cão ∆x(k), onde d é uma fra¸cão da atualiza¸cão de Newton obtida na itera¸cão anterior; isto é,

d^(k)= ξε^(k−1) k ∆x^(k−1) k

Comparando as duas ´ultimas equa¸c˜oes, pode-se deduzir que ∆ε = ξε(k−1)k ∆x(k−1) k

k ∆x(k) k

Esta formula¸cão assegura que Φ₁ e Φ₃ são calculados em distâncias que são fra¸cões da corre¸cão da itera¸cão anterior, um de cada lado de x(k). Segundo os autores, o valor de ξ igual a 0,25 mostrou-se adequado nos testes realizados.

Os principais passos para a aplica¸c˜ao do algoritmo de Dehnel e Dommel est˜ao apresentados a seguir.

1. Calcular o vetor de incrementos ∆x(k);

2. Calcular a norma euclidiana do vetor de incrementos ∆x^(k)₀ ; 3. Calcular o valor de ∆ε(k);

4. Calcular os valores das fun¸c˜oes res´ıduos Φ1, Φ2 e Φ3; 5. Calcular o valor ´otimo de ε(k);

6. Atualizar as vari´aveis: x(k+1) = x(k)+ ε(k)∆x(k)

Durante as itera¸cões do fluxo de potência, deve ser atribu´ıdo a ε o valor unitário a cada vez que |ε| > 1, 0. Isso tem por objetivo evitar problemas nos casos em que o fluxo de potência é normalmente convergente.

No documento CURSO DE ESTABILIDADE DE TENSÃO (páginas 54-60)