Distribuição de Frequência de Variáveis Quantitativas Contínuas (Tabelas e Gráficos)

(1)

Distribui¸

c˜

ao de Frequˆ

encia de Vari´

aveis

Quantitativas Cont´ınuas

(Tabelas e Gr´

aficos)

Prof. Gilberto Rodrigues Liska

UNIPAMPA

21 de Marc¸o de 2017

Material de Apoio

(2)

Sum´

ario

1 Introduc¸˜ao

(3)

(4)

Exemplo 1

Tabela 1:Informação do sexo (M=0,F=1), idade, peso, altura e renda (B=1, M=2 e A=3) e número de faltas de 40 alunos de uma turma da UNIPAMPA, câmpus Itaqui.

Id Sexo Idade(anos) Peso(Kg) Altura(m) Renda Faltas Id Sexo Idade(anos) Peso(Kg) Altura(m) Renda Faltas

1 1 23 62 1.610 1 1 21 0 18 54 1.803 2 1 2 0 24 57 1.624 2 2 22 0 19 65 1.811 3 2 3 1 20 73 1.647 2 0 23 1 19 75 1.816 2 0 4 1 20 80 1.656 3 1 24 1 26 74 1.826 3 1 5 0 18 70 1.677 2 2 25 0 21 66 1.827 1 2 6 0 19 61 1.692 2 3 26 0 19 67 1.828 2 3 7 1 23 89 1.698 2 0 27 0 22 83 1.829 1 0 8 1 21 64 1.713 2 1 28 0 18 84 1.841 3 1 9 1 21 65 1.716 1 2 29 1 25 72 1.842 2 2 10 1 22 71 1.717 1 1 30 1 24 74 1.853 1 1 11 0 20 73 1.731 1 0 31 0 26 66 1.861 2 0 12 1 22 71 1.749 1 2 32 0 23 70 1.887 2 2 13 1 26 70 1.750 1 2 33 0 19 72 1.889 3 2 14 0 22 62 1.752 1 0 34 1 23 73 1.891 1 0 15 0 20 67 1.753 2 5 35 1 26 86 1.898 2 5 16 0 21 68 1.758 3 2 36 0 27 71 1.904 3 2 17 1 24 61 1.785 2 1 37 0 27 77 1.915 2 1 18 0 19 68 1.786 2 3 38 1 18 57 1.921 2 3 19 0 23 59 1.799 2 2 39 1 24 67 1.929 2 2 20 1 19 66 1.802 3 3 40 0 25 73 1.977 2 3

(5)

1 Introduc¸˜ao

2 Vari´avel Quantitativa Cont´ınua

Representação tabular Representação gráfica

(6)

Vari´

avel Quantitativa Cont´ınua

Tabela

• Os valores (dados) são distribu´ıdos em intervalos de classe. Assim, cada intervalo de classe terá um número (frequência absoluta e/ou relativa) associado a ela, o qual representa a quantidade (absoluta e/ou relativa) de valores daquela classe.

• A tabela resultante é denominada dedistribuição de frequência por intervalo de classe. Também pode-se incluir na tabela os pontos médios de cada classe e a distribuição de frequência acumulada (absoluta e/ou relativa).

Gr´aficos

• A partir da distribuição de frequência por intervalo de classe podem ser constru´ıdos três gráficos: Histograma, Pol´ıgono de frequência e Ogiva.

(7)

(1) Determinar o n´umero de classes k, para a qual podem-se ser

utilizados os seguintes crit´erios:

• A familiaridade do pesquisador com os dados.

• Critério baseado no número de observaç˜oes n.

Tabela 2:Número ideal de classes baseado no número de observações

Número de Observaç˜oes (n) Número de Classes

At´e 100 √n (Inteiro mais pr´oximo)

(8)

Procedimento de construc¸˜

ao de tabela de frequˆ

encia para

vari´

aveis quantitativas cont´ınuas.

(2) Determinar a Amplitude de Classe (C ): Que ´e a diferenc¸a entre os limites superior e inferior de uma determinada classe.

C = A

k − 1

em que A = xmax− xmin, xmax e xmin ´e o maior e menor valor observado da vari´avel X, respectivamente, e k ´e o n´umero de classes.

(3) Determinar o limite inferior da primeira classe (LI1): LI1= xmin−

C 2

(9)

(4) Determinar as Classes: Sejam LIi e LSi os limites inferior e superior da classe i , respectivamente. Logo

LI1= xmin− C 2 LS1= LI1+ C LI2= LS1 .. . LIi +1= LSi LSi +1= LIi +1+ C .. . LSk = LIk + C ou LSk = xmax+ C 2

(10)

Procedimento de construc¸˜

ao de tabela de frequˆ

encia para

vari´

aveis quantitativas cont´ınuas.

(5) Determinar o ponto médio da classe ( ¯Xi) e as Freqüências

Absoluta (fi), Relativa (fri) e Percentual (fpi). ¯ Xi = LSi + LIi 2 fi = n X i =1 I{xi:xi⊂Ci}(xi) fri = fi n fpi = fri × 100% em que n P i =1

I{xi:xi⊂Ci}(xi) é o número total de observações contidas

(11)

Tabela 3:Representação genérica de uma tabela de distribuição de Frequências de uma vari´avel quantitativa cont´ınua, em que f representa a frequˆencia absoluta e F a frequˆencia acumulada absoluta. Da mesma forma obtém-se as outras frequências.

Classe X¯i f fr fp Fp [LI1; LS1) LS1+LI₂ 1 f1 fr 1 fp1 Fp1= fp1 [LI2; LS2) LS2+LI₂ 2 f2 fr 2 fp2 Fp2= fp1+ fp2 . . . ... ... ... ... ... [LIk; LSk) LSk+LI2 k fk frk fpk Fpk= fp1+ · · · + fpk TOTAL X =¯ Pk i =1fri× ¯Xi n 1, 00 100, 00% −

(12)

Exemplo 1

Com base na tabela 1:

(a) Construir a distribuição de frequˆencias da altura dos 40 alunos de uma turma da UNIPAMPA, câmpus Itaqui (Tabela 1).

(b) Construir gr´aficos apropriados.

1,610 1,624 1,647 1,656 1,677 1,692 1,698 1,713 1,716 1,717 1,731 1,749 1,750 1,752 1,753 1,758 1,785 1,786 1,799 1,802 1,803 1,811 1,816 1,826 1,827 1,828 1,829 1,841 1,842 1,853 1,861 1,887 1,889 1,891 1,898 1,904 1,915 1,921 1,929 1,977

(13)

Exemplo 1 (a)

Contruir a tabela de distribuição de frequência da variável “Altura” da Tabela 1.

SOLUC¸ ˜AO:

• O n´umero de classes ´e dado por n = 40 ⇒ k =√40 ≈ 6.

• A amplitude da classe ´e dado por C = _k−1A = 1,977−1,610₆₋₁ = 0, 0734.

• O limite inferior da primeira classe ´e LI1= xmin−C₂ = 1, 610 −0,0734₂ = 1, 573.

(14)

Exemplo 1 (a) (cont.)

• Com isso, podemos obter os outros limites: LS1 = LI1+ C = 1, 573 + 0, 0734 = 1, 647 LI2 = LS1 = 1, 647 LS2 = LI2+ C = 1, 647 + 0, 0734 = 1, 720 LI3 = LS2 = 1, 720 LS3 = LI3+ C = 1, 720 + 0, 0734 = 1, 793 LI4 = LS3 = 1, 793 LS4 = LI4+ C = 1, 7935 + 0, 0734 = 1, 867 LI5 = LS4 = 1, 867 LS5 = LI5+ C = 1, 867 + 0, 0734 = 1, 940 LI6 = LS5 = 1, 940 LS6 = LI5+ C = 1, 940 + 0, 0734 = 2, 014

(15)

¯ X1= LS1+ LI1 2 = 1, 573 + 1, 647 2 = 1, 610 ¯ X2= LS2+ LI2 2 = 1, 647 + 1, 720 2 = 1, 683

• Frequˆencia relativa: fr 1= f1 n = 2 40 = 0, 05 fr 2= f2 n = 8 40 = 0, 20

• Frequˆencia absoluta acumulada: F2 = f1+ f2 = 2 + 8 = 10 • Frequˆencia relativa acumulada:

(16)

Exemplo 1 (cont.)

Tabela 4:Distribuição de Frequências da variável altura em uma amostra de 40 alunos da UNIPAMPA.

Classe X¯i fi fri fpi Fi Fpi [1, 573; 1, 647) 1,610 2 0,05 5,00 2 5,00 [1, 647; 1, 720) 1,683 8 0,20 20,00 10 25,00 [1, 720; 1, 793) 1,757 8 0,20 20,00 18 45,00 [1, 793; 1, 867) 1,830 13 0,33 32,50 31 77,50 [1, 867; 1, 940) 1,904 8 0,20 20,00 39 97,50 [1, 940; 2, 014) 1,977 1 0,03 2,50 40 100,00 TOTAL 1, 793 40 1, 00 100, 00 − −

(17)

Com base nos dados da tabela de distribuição de frequências por intervalo de classe, pode-se construir três gr´aficos: histograma,

pol´ıgono de frequˆencia e ogiva.

Histograma Para cada intervalo de classe constrói-se colunas justa-postas (sem espaço) com altura equivalente a frequência (absoluta ou relativa)

Pol´ıgono de Frequência Traçar uma linha cont´ınua que une os pares ordenados formados pelos pontos médios e frequências. Ajuda a ter melhor ideia sobre simetria/achatamento da distribuição dos dados.

Ogiva Trac¸ar uma linha cont´ınua que une os pares ordenados forma-dos pelos limites de classe e frequˆencias acumuladas. Responde

a pergunta: Quantos elementos existem abaixo de um

(18)

Representac¸˜

ao gr´

afica de var. quantitativas cont´ınuas.

Histograma - Exemplo 1

Figura 1:Histograma da altura de 40 alunos da UNIPAMPA, cˆampus Itaqui.

(19)

Pol´ıgono de frequˆencias- Exemplo 1

Figura 2:Pol´ıgono de frequˆencias da altura de 40 alunos da UNIPAMPA, cˆampus Itaqui.

(20)

Exemplo 1 - No R

C´odigo em R ## E s t a t i s t i c a d e s c r i t i v a p a r a o s d a d o s de A l t u r a # p a r a chamar a r q u i v o e x t e r n o s i g a o s p a s s o s a s e g u i r #1o) mudar d i r e t o r i o : S e s s i o n #2o) s e t w o r k i n g d i r e c t o r y #3o_{) c h o o s e} _{d i r e c t o r y} #4o) e s c o l h e r p a s t a com a r q u i v o ” nome . t x t ” #a p o s mudar d i r e t o r i o , chamar o a r q u i v o

(21)

## f a z e n d o o s h i s t o g r a m a com o s d a d o s de a l t u r a # numero de c l a s s e s h e a d ( a l u n i ) v a r=round ( a l u n i [ , 5 ] , 2 ) n=l e n g t h ( v a r ) #numero de o b s e r v a c o e s k=round ( s q r t ( n ) ) ; k #numero de c l a s s e s # a m p l i t u d e da c l a s s e v a r m i n=min ( v a r ) ; v a r m i n varmax=max ( v a r ) ; varmax c=(varmax−v a r m i n ) / ( k − 1 ) ; c # l i m i t e s d a s c l a s s e s L I 1=v a r m i n − c / 2 ; L I 1 LSk=varmax + c / 2 ; LSk L i m C l a s s=s e q ( L I 1 , LSk , c ) ; L i m C l a s s

(22)

Exemplo 1 - No R

C´odigo em R # h i s t o g r a m a h i s t ( v a r ) #v e r s a o p a d r a o do R h i s t ( v a r , b r e a k s=L i m C l a s s , c o l=r a i n b o w ( 8 ) ) h=h i s t ( v a r , b r e a k s=L i m C l a s s , c o l=” g r a y ” , main=” H i s t o g r a m a d a s a l t u r a s ” , x l a b=” p e s o s ” , y l a b=” F r e q u ˆe n c i a s a b s o l u t a s ” , a x e s=FALSE ) a x i s ( 1 , a t=L i m C l a s s , pos = −0.5) a x i s ( 2 , a t=s e q ( 0 , 3 0 , by =1)) #p o l i g o n o de f r e q u e n c i a p o i n t s ( h$ mids , h$ c o u n t s , t y p e=” l ” , l w d =2)

(23)

C´odigo em R # p o n t o medio da c l a s s e s h$ m i d s h$ c o u n t s # f r e q u e n c i a a b s o l u t a f a=h$ c o u n t s f a # f r e q u e n c i a r e l a t i v a f r =f a /n f r #f r e q u e n c i a p e r c e n t u a l f p= f r ∗ 100 f p

(24)

Representac¸˜

ao gr´

afica de dados quantitativos

Interpretação do Histograma e Pol´ıgono de frequências

1 Observar legendas dos eixos.

2 Observar as classes com as maiores e menores frequˆencias.

3 Analisar a simetria da distribuição da variável (simétrica, assimétrica a direita, assimétrica a es-querda).

4 Analisar o achatamento (curtose) da distribuição da variável (mesocúrtica, platicúrtica, lep-tocúrtica).

(25)

(26)

Representac¸˜

ao gr´

afica de dados quantitativos

Figura 4:Tipos de achatamento.

(27)

Gr´afico de Ogiva - Exemplo 1

Figura 6:Gr´afico de Ogiva da altura de 40 alunos da UNIPAMPA, cˆampus Itaqui.

(28)

Representac¸˜

ao gr´

afica de dados quantitativos

Interpretac¸˜ao da Ogiva

1 Observar legenda dos eixos.

2 A partir de um valor do eixo x trace uma linha paralela ao eixo y at´e tocar a linha da ogiva. Verificar o valor da projec¸˜ao em y .

INTERPRETAC¸ ˜AO:Existem y valores abaixo do valor x .

EX.: Aproximadamente 50% dos alunos tem altura at´e 1, 80 metros.

3 A partir de um valor do eixo y trace uma linha paralela ao eixo x at´e tocar a linha da ogiva. Verificar o valor da projec¸˜ao em x .

INTERPRETAC¸ ˜AO:Existem x valores abaixo do valor y .

EX.: Abaixo de 1, 90 metros, existem aproximadamente 85% dos alunos.