ALOCAÇÃO MULTICRITÉRIO DE RECURSOS BASEADA EM
TECNOLOGIA FUZZY E SUA IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
J.G. Pereira Jr.
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Ave. Dom José Gaspar, 500, 30535-610 - Belo Horizonte - MG, Brasil jjgp@ibest.com.br
Resumo – Este trabalho generaliza os resultados das pesquisas relacionadas à utilização e
implementação computacional da abordagem de Bellman-Zadeh para a tomada de decisões em ambiente fuzzy, usada para resolver os problemas de otimização multicritério. A aplicação da abordagem concorda com o princípio da garantia do resultado e produz uma linha construtiva para obter soluções harmoniosas com base em análise de problemas maxmin associados. A utilização da abordagem de Bellman-Zadeh serviu como base para a solução de problemas de alocação multicritério de recursos (ou suas deficiências) e para desenvolvimento de um sistema adaptativo interativo de tomada de decisões (AIDMS1). Seu núcleo computacional permite resolver problemas maxmin usando os procedimentos da busca não local baseada em modificação do método dos "vales longos" de Gelfand e Tsetlin. O AIDMS1 inclui procedimentos para a construção de variáveis lingüísticas para levar em consideração condições, que são difíceis para formalizar, e também procedimentos para a construção e correção de fatores de importância das metas. A utilização desses procedimentos permite realizar uma abordagem adaptativa para o processamento das informações de uma pessoa que toma as decisões para prover o melhoramento sucessivo da qualidade das soluções. Também foi desenvolvido um sistema computacional baseado na utilização de algoritmo cúbico, que é aplicável para resolver problemas maxmin. Os resultados do artigo têm aplicabilidade geral e já estão sendo utilizados para resolver problemas de engenharia de energia elétrica.
Palavras-Chaves – Otimização multicritério, Abordagem de Bellman-Zadeh, Alocação de recursos Abstract – This paper generalizes the results of research related to the employment and computing
implementation of the Bellman-Zadeh approach to decision making in a fuzzy environment for solving multicriteria optimization problems. The application of the approach conforms to the principle of guaranteed result and provides a constructive line in obtaining harmonious solutions on the basis of analyzing associated maxmin problems. The use of the Bellman-Zadeh approach has served as a basis for solving problems of multicriteria allocation of resources (or their shortages) and developing an adaptive interactive decision making system (AIDMS1). Its calculating kernel permits one to solve
maxmin problems using procedures of a non-local search based on a modification of the Gelfand's and
Tsetlin's "long valley" method. AIDMS1 includes procedures for constructing linguistic variables to take into account conditions that are difficult to formalize as well as procedures for forming and correcting vectors of importance factors for goals. The use of these procedures permits one to realize an adaptive approach to processing information of a decision maker to provide successive improving the decision quality. It was also developed a computing system based on utilizing the cubic algorithm, which can be applied to solve the maxmin problems. The results of the paper have general applicability and are already being used to solve problems of power engineering.
2373
1. Introdução
Pesquisas recentes mostram os benefícios da aplicação da teoria de conjuntos fuzzy [1,2] para lidar com vários tipos de incerteza, particularmente para problemas de otimização em que há vantagens tanto de natureza fundamental (a possibilidade de obter soluções mais efetivas, menos "cautelosas") quanto de caráter computacional [3,4].
Incerteza de metas é um tipo importante de incerteza. O mesmo está associado com o caráter multicritério de muitos problemas de otimização. É possível classificar duas categorias de situações que demandam a aplicação de uma abordagem multicritério [4,5]:
- problemas nos quais as conseqüências das soluções não podem ser estimadas com base em um único critério. Esses problemas são associados com a análise de modelos que incluem índices econômicos e naturais, quando as alternativas não podem ser reduzidas a uma forma comparável única e também com a necessidade de considerar índices para os quais é difícil obter estimativas de custo;
- problemas que podem ser resolvidos com base em um único critério. Entretanto, se a incerteza dos dados iniciais não permite obter uma solução única, é possível transformar o problema em um problema com muitos critérios, pois a aplicação de critérios adicionais pode servir como um meio conveniente para reduzir as correspondentes regiões de incerteza das decisões.
Portanto, duas classes de modelos (chamados modelos <X, M> e <X, R>) podem ser construídas [4,5]. O presente trabalho está associado com análise de modelos <X, M>. Quando são analisados esses modelos, um vetor de funções objetivo F(X) ={F1(X),...,Fq(X)} é considerado, é o problema consiste na otimização simultânea de todas as funções objetivo:
q p X F L X p( )→extr∈ , =1,..., , (1) onde L é uma região factível no Rn.
A abordagem geral para a análise dos modelos <X, M> está associada com a determinação de conjunto de Pareto Ω que deve incluir a solução do problema X0 [6]. Sua determinação é útil para a redução do
número de alternativas, entretanto ela não permite obter uma solução única. Por isso, é necessário entrar no conjunto de Pareto, considerando a informação adicional da pessoa que toma as decisões (PTD). Existem três abordagens para a utilização dessa informação [7]: a priori, a posteriori e adaptativa. A abordagem preferível é a abordagem adaptativa [7]. Quando ela é usada, o procedimento de melhoramento sucessivo da qualidade de solução é realizado como um resultado de transição de
L
Xα0∈Ω⊂ para X ∈Ω⊂L
+ α
0
1 , levando em consideração a informação
I
α da PTD.Quando são analisados os problemas multcritério, é necessário resolver questões específicas de normalização dos critérios, seleção de princípios de otimalidade e consideração das prioridades (importâncias) dos critérios locais. Sua resolução e, então, o desenvolvimento de métodos multcritério, é realizado nas seguintes direções: métodos de escalarização, imposição de restrições, métodos da teoria de utilidade, programação das metas e utilização do princípio da garantia do resultado. Sem aprofundar esses métodos (eles são considerados em [8,9]), é necessário salientar que uma das mais importantes questões da otimização multicritério é a qualidade das soluções obtidas. Ela é alta se níveis de satisfação de critérios são iguais ou próximos uns dos outros (soluções harmoniosas) se não distinguimos a importância dos critérios [10]. Desse ponto de vista, é necessário distinguir a direção relacionada ao principio da garantia do resultado. Outras direções podem levar à soluções com níveis altos de satisfação de alguns critérios alcançados devido aos níveis baixos dos outros critérios [11]. É possível indicar uma desvantagem essencial dos sistemas existentes de otimização multicritério, que está associada com a forma única de representação da informação da PTD. Em muitos casos, a PTD possui informações mais amplas, podendo refletir suas preferências de difícil formalização e reduzir o tempo necessário para a busca da solução. Portanto, o desenvolvimento de sistemas adaptativos interativos de tomada de decisões, que permitem perceber e levar em consideração a informação adicional em linguagem natural limitada da PTD, apresenta-se como muito importante [12].
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A falta de clareza na concepção da "solução ótima" é a dificuldade metodológica fundamental na solução de problemas multicritério. Quando é aplicada a abordagem de Bellman-Zadeh [1,2,13] para a tomada de decisões em ambiente fuzzy, esta concepção é definida com razoável validade: o máximo "grau de implementação de todos os objetivos" serve como um critério de otimalidade, que concorda com o princípio da garantia do resultado e produz uma linha para se obter soluções harmoniosas [5,10]. A abordagem de Bellman-Zadeh permite a criação de um método computacionalmente eficiente, bem como rigoroso (a obtenção de soluções X0∈Ω⊆L) para a análise de modelos
multicritério [4,5]. Finalmente, a abordagem de Bellman-Zadeh permite preservar a medida natural da incerteza na tomada de decisões e considerar índices, critérios e restrições de caráter qualitativo (semântico, contextual). Levando isso em consideração, o presente trabalho é dedicado à utilização da abordagem de Bellman-Zadeh para a solução de um dos mais importantes problemas da teoria e prática de sistemas complexos, associado com alocação de recursos com base na abordagem multicritério.
2. Alocação multicritério de recursos
Quando é usada a abordagem de Bellman-Zadeh, toda a função objetivo Fp(X) é substituída por uma função objetivo fuzzy ou um conjunto fuzzy
q p L X X X A p A p ={ ,µ ( )}, ∈ , =1,..., , (2) onde (X) p A
µ e uma função de pertinência de A [1,2]. p
A solução fuzzy D , com base em (2), é formado como
I
q p pA D
1 =
= com a função de pertinência
L X X X p A q p D = µ ∈ µ = ( ), min ) ( ,.., 1 . (3)
Sua utilização permite obter uma solução que prove o grau máximo ) ( min max ) ( max ,.., 1 X X p A q p L X D = µ µ = ∈ (4)
de pertinência à solução fuzzy D . De tal forma, do ponto de vista formal, o problema multicritério é
substituído pelo problema maxmin
) ( min max arg ,..., 1 0 X X p A q p L X µ = = ∈ . (5)
Para a obtenção (5), é necessário construir funções de pertinência (X),
p A
µ p=1,...,q que refletem o grau de alcance do extremo próprio pela correspondente Fp(X),X∈L,p=1,...,q. Essa condição é satisfeita pela utilização de funções de pertinência
p p L X p L X p L X p p A X F X F X F X F X λ − − = µ ∈ ∈ ∈ ) ( min ) ( max ) ( min ) ( ) ( (6) para funções objetivo maximizadas ou pela utilização de funções de pertinência
p p L X p L X p p p A X F X F X F X F X λ − − = µ ∈ ∈ ( ) min ( ) max ) ( ) ( max ) ( (7) para funções objetivo minimizadas. Em (6) e (7), λp ,p=1,...,q são fatores de importância das
correspondentes funções objetivo.
A construção de (6) ou (7) demanda a solução dos seguintes problemas: L X p X F ∈ → min ) ( , (8) L X p X F ∈ → max ) ( (9)
2375
para a obtenção X0 argminF (X) p L X p = ∈ e argmax ( ), 00 F X X p L X p = ∈ respectivamente.
De tal forma, a solução do problema (1) com base na abordagem de Bellman-Zadeh demanda a solução de 2q+1 problemas monocritério (8), (9) e (4), respectivamente.
Porquanto a solução X deve pertencer ao 0 Ω⊆L, é necessário construir
)} ( ), ( min { min ) ( ) ( ) ( ,.., 1 1 X X X X X p A q p p A q p D = ∧=µ ∧µπ = = µ µπ µ , (10) onde µπ(X)=1 se X ∈Ω e µπ(X)=0 se X∉Ω.
A existência de condições adicionais (índices, critérios e restrições) de caráter qualitativo, definidas pelas variáveis lingüísticas [1,2], reduz (5) à
) ( min max arg ,..., 1 0 X X p A s q p L X µ = + = ∈ , (11) onde X X L p q s p A ( ), ∈ , = +1,...,
µ são funções de pertinência de valores fuzzy [1,2] das variáveis lingüísticas que refletem as condições adicionais.
A colocação do problema de alocação multicritério de recursos ou suas deficiências (esses problemas são equivalentes nos pontos de vista substancial, matemático e informativo) supõe a possibilidade de utilizar diversos tipos de funções objetivo (lineares, fracionais, quadráticas, etc.) em (1) e a região factível com a seguinte estrutura:
} , 0 { 1 A x A x R X L n i i i i n ≤ ≤ = ∈ =
∑
= , (12) onde X =(x1,...,xn), para certeza, é um vetor procurado de limitações para consumidores; A é um ivalor permissível de limitação para o consumidor i; A é um valor total de limitações para todos os consumidores.
Para escrever a esquema geral da solução de problemas formalizados através do modelo (1), (12), é preciso levar em consideração as variáveis lingüísticas Q - Limitação para Consumidor para prover à
PTD a possibilidade de considerar condições que são difíceis de formalizar. Portanto, o esquema geral pressupõe a existência de um procedimento para a construção de conjuntos T(Q) de valores fuzzy das variáveis lingüísticas e suas funções de pertinência. Além disso, se a solução 0
α X com µ ( 0) α X p A , q
p=1,..., não é satisfatória, a PTD deve ter a possibilidade de a corrigir, passando para 0 1 + α X
mudando a importância de uma ou mais funções objetivo. Para isso, o esquema geral pressupõe a existência de um procedimento para a formação e correção de vetor Λ=(λ1,...,λq).
O esquema geral da solução do problema (1), (12), que serviu para a implementação computacional do sistema adaptativo interativo de tomada de decisões (AIDMS1), está associado com seguintes blocos:
1. Solução de problemas (8) e (9) para obter 0
p
X , p=1,...,q e 00
p
X , p=1,...,q, respectivamente. 2. Construção de funções de pertinência definidas por (6) e (7).
3. Construção de vetor inicial λ=(λ1,...,λq) de fatores de importância.
4. Análise de existência de condições iniciais definidas por variáveis lingüísticas. Se essas condições não existem, então efetua-se a transição ao Bloco 8; caso contrário, ao Bloco 5.
5. Verificação de compatibilidade das condições e, se necessário, sua correção. 6. Solução do problema (4) com a meta de achar 0
α
X definido por (10).
7. Análise da solução corrente 0 α
X . Se a PTD está satisfeita com a solução, então efetua-se a
transição ao Bloco 10; caso contrario, ao Bloco 8, tomandoα:=α+1. 8. Correção do vetor λ=(λ1,...,λq) de fatores de importância.
9. Inserção de condições adicionais definidas por variáveis lingüísticas com a transição ao Bloco 5. 10. Cálculos são terminados porque a soluçãoX é obtida. 0
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As funções principais de núcleo computacional do AIDMS1 são associadas com obtenção de 0
p
X , q
p=1,..., e 00
p
X , p=1,...,q definidos pelas (8) e (9) e com obtenção de X definido pela (5). A 0
solução dos problemas (8) e (9) não cria dificuldades. A maximização de (10) é baseada na busca não local que é uma modificação do método dos "vales longos" Gelfand e Tsetlin [14].
As variáveis de (3) podem ser divididas em dois grupos: não-substanciais e substanciais. Uma alteração das variáveis não-substanciais gera as variações essenciais de (3). Ao mesmo tempo, uma alteração das variáveis substanciais gera as variações não essenciais de (3). De tal forma, a estrutura de (3) pode ser considerada como "vale longo" multidimensional. Nessa circunstancia, quando são usados métodos de busca direta [9], exige a necessidade de iniciar a subida de diferentes pontos iniciais 0
p
X
(pontos de Pareto), se precisamos minimizar Fp(X), ou 00
p
X (pontos de Pareto), se precisamos
maximizar )Fp(X , para achar X mais convincente. Isso explica a aplicação da busca não local. 0
Os procedimentos da solução do problema (4), baseados na modificação de método de Gelfand e Tsetlin, são discutidos em [15,16]. Eles provém uma linha de obtenção X0∈Ω⊆L de acordo com
(10). Portanto, existe uma equivalência entre µD(X) e µD(X), que permite recusar a implementação da etapa trabalhosa de construção do conjunto Ω⊆L.
O AIDMS1 inclui procedimentos para a construção e correção de conjuntos T(Q) e funções de pertinência para valores fuzzy das variáveis lingüísticas Q - Limitação para Consumidor. O conjunto
inicial disponível para a PTD é T(Q)=〈Perto, Aproximadamente, Pouco Menos, Consideravelmente
Menos, Pouco Mais, Consideravelmente Mais〉. As funções de pertinência para esses valores fuzzy são
consideradas em [16].
Além disso, o AIDMS1 inclui procedimentos para a formação e correção de vetor Λ=(λ1,...,λq) de fatores de importância. Esses procedimentos são orientados à PTD individual ou de grupo. Em particular, um de procedimentos está associado com processamento de comparações qualitativas de pares de importância de diferentes metas (a utilização desse tipo de informação é racional porque experimentos psicológicos mostram que a PTD encontra as dificuldades em estimação direta de fatores de importância). O processamento de resultados dessas comparações é baseado nos resultados de [17]. Existem bases teóricas (por exemplo, [18]) da validade de se aplicar o operador min em (3)-(5).
Entretanto, há muitas famílias de operadores de agregação [19], que podem ser usadas no lugar do operador min. Considerando isso, é possível generalizar (3) da seguinte forma:
L X X X X X q A A A D = µ µ µ ∈ µ ( ) agg( ( ), ( ),..., ( )), 2 1 . (13) Apesar de algumas propriedades dos operadores de agregação estarem estabelecidas, não há uma interpretação clara e intuitiva destas propriedades e uma interpretação única dos operadores em si [19]. Pode-se fazer as seguintes questões: entre os muitos tipos de operadores de agregação, como selecionar um? Qual é o operador adequado para um determinado problema? Apesar de sugerido os critérios de seleção em [1], a maioria desses critérios têm uma base empírica. Porém, é possível afirmar que a seleção de operadores, na maioria dos casos, é baseada na experiência. Considerando isto, o AIDMS1 inclui procedimentos associados com o uso não somente do operador min mas
também o operador produto. O operador produto tem aplicação em problemas de tomada de decisão.
Ele reduz (3) para:
∏
= µ = µ q p A D X p X ,..., 1 ) ( ) ( (14) e permite construir o problema∏
= ∈ µ = µ q p A L X D X p X ,..., 1 ) ( max ) ( max (15) para encontrar2377
∏
= ∈ µ = q p A L X X X p ,..., 1 0 argmax ( ). (16) 3. Implementação computacionalO AIDMS1 foi desenvolvido em linguagem C++ e é executável em ambiente gráfico do sistema operacional Microsoft Windows.
A partir da interface inicial do AIDMS1 é possível escolher o operador de agregação (min ou produto) que será usado para a solução de problema. A interface de base de dados (Figura 1) permite construir funções objetivo, restrições e definir a precisão desejada [15,16] na solução do problema.
Figura 1. Interface de base de dados Figura 2. Interface de variáveis lingüísticas
Figura 3. Interface de execução e resultados
Através da interface de base de dados é possível acionar as interfaces de construção e aplicação de fatores de importância para funções objetivo e de variáveis lingüísticas (como um exemplo, na Figura 2 é ilustrada a aplicação do valor fuzzy Pouco Menos relativamente ao valor 12000 para a variável lingüística Limitação para Consumidor 1).
Ao término do processo de solução do problema são exibidos os resultados da alocação final de recursos (ou suas deficiências) para cada variável e níveis de satisfação (graus de pertinência) de todos os objetivos, o que é ilustrado na Figura 3.
Considerando que problemas max-min estão relacionados à programação matemática não suave (nonsmooth) e não diferenciável, é interessante apresentar a aplicação dos resultados do trabalho [20], que é uma nova abordagem para a otimização global, incluindo os problemas não suaves sem derivadas. Levando isso em conta, esses resultados foram desenvolvidos e implementados computacionalmente em linguagem C++, gerando um software executável (o sistema computacional
2378
GO) em ambiente gráfico do sistema operacional Microsoft Windows [21] (algumas interfaces do sistema GO são ilustradas pelas Figuras 4-6). Entretanto, uma opinião segura sobre a eficiência computacional da abordagem ainda não foi formada e a aplicação da abordagem é um objeto de estudos futuros.
Figura 4. Interface de base de Figura 5. Interface de construção Figura 6. Interface de construção dados de superfície de projeções
4. Aplicações
Os resultados do presente trabalho têm um caráter universal e podem ser usados para alocação de diversos tipos de recursos (ou suas deficiências) com base em múltiplos critérios. Sua aplicação em engenharia de energia elétrica foi associada com formulação e solução dos seguintes problemas:
- alocação multicritério de deficiências de potência e energia (naturais, associadas com capacidade não adequada de fontes de geração e/ou da deficiência dos recursos de energia primária, ou artificiais, associadas com racionalidade do gerenciamento de carga). Essa alocação é aplicável para diferentes níveis territoriais, temporais e situacionais da hierarquia de gerenciamento de carga com o objetivo de minimizar as diversas conseqüências (tecnologias, econômicas, ecológicas e sociais) de limitação de consumidores e criar as influências estimuladoras para os mesmos [10,11,22];
- operação de sistemas de potência com base em múltiplos critérios, incluindo critérios associados com impactos ambientais [22,23];
- ajuste de modelos fuzzy relacionados ao controle de tensão e potência reativa em sistemas de potência. Esse ajuste é baseado na ligação profunda [24] entre regras de produção usadas em tecnologia de controle fuzzy e modelos de otimização multicritério [11].
5. Conclusões
Quando é utilizada a abordagem de Bellman-Zadeh para a tomada de decisões em ambiente fuzzy, a concepção da "solução ótima" é definida com razoável validade: o máximo "grau de implementação de objetivos" serve como um critério de otimalidade. A aplicação da abordagem concorda com o princípio da garantia do resultado e produz uma linha construtiva para obter soluções harmoniosas com base em análise de problemas maxmin associados. A utilização da abordagem de Bellman-Zadeh serviu como base para a solução de problemas de alocação multicritério de recursos (ou suas deficiências) e o desenvolvimento de um sistema adaptativo interativo de tomada de decisões (AIDMS1). Seu núcleo computacional é baseado em busca não local que é uma modificação do método dos "vales longos" Gelfand e Tsetlin. As particularidades de sua construção permitem obter soluções que automaticamente pertencem ao conjunto de Pareto. O AIDMS1 inclui procedimentos que permitem realizar uma abordagem adaptativa para processar as informações de uma pessoa que toma as decisões e o melhoramento sucessivo de qualidade de soluções. Os resultados do trabalho têm um caráter universal e já estão sendo utilizados para resolver problemas modernos de engenharia de energia elétrica.
6. Agradecimentos
Essa pesquisa foi apoiada pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico do Brasil – CNPq e foi orientada pelo Prof. Petr Ekel, D.Sc. (hab.), Ph.D.
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