Exercícios Resolvidos de Aerodinâmica II

Exercícios Resolvidos de Aerodinâmica II

Apoio às Aulas Práticas

Licenciatura em Engenharia Aerospacial

Instituto Superior Técnico

Problema 1

Uma aeronave encontra-se em vôo a uma altitude de 6100 m, à qual correspondem os valores atmosféricos de pressão e temperatura, respectivamente de 46500 Pa e –24.6 ºC. As asas da aeronave são ventiladas de forma a garantir que a pressão interna é uniforme e igual à pressão ambiente. No extradorso de uma das asas existe um painel para inspecção quadrado, com 15 cm de lado. Calcular a força normal que tende a levantar o painel e a velocidade do ar sobre o mesmo para as seguintes condições de número de Mach e coeficiente de pressão médio:

a) M =0.2; Cp

(

sobreopainel

)

=−0.8; b) M =0.85; Cp

(

sobreopainel

)

=−0.5.

Resolução:

a) Embora a velocidade sobre o painel seja superior à velocidade da aeronave, para é razoável desprezar os efeitos de compressibilidade, ou seja:

2 . 0 = M

Coeficiente de pressão de estagnação: 0 ₂ 0 2 1 U p p ρ ⋅ Cp = − 2 2 2 2 2 2 _0.7 2 1 2 1 2 1 2 1 pM pM a U p pU p U _ = = =      = γ γ γ γ ρ ρ , para γ =1.4 (ar)       − = − = ⇒ 1 7 . 0 1 7 . 0 0 2 2 0 0 p p M pM p p Cp ; 2 7 2 1 2 0 5 1 2 1 1 _      + =       ₊ − = M − M p p γ γ γ

escoamento isentrópico (ar)

Expandindo a expressão em série: ⋅⋅ ⋅ + + + + = ⇒ 1600 40 4 1 2 4 6 0 M M M Cp

Calculando a variação do coeficiente de pressão de estagnação com o número de Mach:

incompressível compressível M 0.0 0.2 0.3 0.4 0.6 0.85 1.0 0 Cp 1.00 1.01 1.02 1.04 1.09 1.19 1.28 Logo: 0.8 0.7 46500 0.2

(

0.8

)

1041 7 . 0 2 2 =− ⇒ − = × × × − =− − = p p pM p p Cp Pa

Por outro lado: 1 0.8 1 1.8 1.34 2 2 2 = ⇒ =       ⇔       − = − ⇔       − = U v U v U v U v Cp

A velocidade do som no ar envolvente é: a= γRT

(para ar = 4γ 1. e R=287.3J/kgK) a=20.05 T =20.05⋅

(

273−24.6

)

12 =318m/s A velocidade da aeronave é: U_∞ =M⋅a=0.2×318=63.6m/s

Então, a velocidade média do ar sobre o painel é: v =1.34⋅U =1.34×63.6=85.4 m/s

b) Neste caso, para M =0.85, tem-se escoamento compressível. Tal como em a), é possível calcular:

(

0.5

)

11.74 85 . 0 46500 7 . 0 5 . 0 7 . 0 2 2 =− ⇒ − = × × × − =− − = p p pM p p Cp kPa

A força normal vale, neste caso: _F =∆_p⋅_A=

(

_p− _p

)

_A=_11.74×₁₀3×_0.152 =264 _N

Há duas formas de calcular a velocidade média do ar sobre o painel. A forma mais directa é a que se segue:

i) Fazendo intervir a equação de estado e os balanços de massa, quantidade de movimento e energia: 5 3 2 2 5 3 2 2 2 1 2 2 2 5 1 1 5 1 1 2 1 1 . .                 −       − =       ₋ − =       ₋ − − = − M a v a U v a U v p p γ γ γ (para ar) Como: ∆p=−11740 Pa ⇒ p=46500−11740=34760 Pa 06 1 121 1 46500 34760 5 5 85 0 5 5 35 1 2 5 3 1 2 2 . . . . . = ⇒ =       − + =       − + =       ⇒ a v p p M a v

Pelo que a velocidade média do ar vale: v =1.06×318=338m/s

(para ar) T T p p T T 920 0 920 0 46500 34760 135 5 3 1 . . . . = ⇔ =       =       = 306 920 0 318 = = = ⇒ a a T T . m/s ⇒ M =a/a =1.103

ii) Uma forma alternativa para determinar a velocidade do ar sobre o painel envolve o cálculo da pressão de estagnação:

(para ar) 1605 5 85 0 1 5 1 5 3 2 5 3 2 0 . _. . . =       + =       + = M p p ⇔ p₀ =46500×1.605=74500 Pa

Como o valor de p é conhecido, podemos escrever: 103 1 5 1 15 2 34760 74500 2 35 0 _{. .} . = ⇒       + = = = M M p p 9 A temperatura total é dada por:

(para ar) 1144 46500 74500 135 5 3 1 0 0 . _ . _{= .}      =       = p p T T 284 4 248 144 1 0 = × = ⇔ T . . K

(

215

)

135 1244 5 3 1 0 0 . _{= . . = .}       = ⇒ p p T T 228 244 1284 = = ⇔ . T K ⇒ a =20.05 228 =305m/s

Então a velocidade média do ar sobre o painel é: v =305×1.103=338 m/s 9

Note-se que embora a velocidade da aeronave corresponda a um escoamento subsónico, o escoamento sobre o painel é supersónico.

Problema 2

Um escoamento de ar a número de Mach 2.0 e a uma pressão de 100 kPa escoa-se sobre uma rampa com uma inclinação de 10º, dando origem ao estabelecimento de um choque oblíquo fraco, tal como mostra a figura. Usando a teoria (exacta) de choques oblíquos, calcular: a) ângulo de onda, β; b) o número de Mach, M₂; c) a pressão p₂. M₁ = 2.0 p₁ = 100 kPa M2 β θ = 10°

Usando a teoria (linearizada) de choques muito fracos, obter estimativas de: d) ângulo de ondaβ;

e) pressão p₂.

Resolução:

a) Denotando o ângulo de onda por β e o ângulo de reflexão por θ , um choque oblíquo pode ser representado esquematicamente da seguinte forma:

β M2 M₁ β v₁ > a₁ v_2n < a₂ v_{1t v} 2t = v1t θ v_1n

Aplicando o princípio da continuidade e as relações válidas para choque normal, considerando a componente normal do número de Mach, obtém-se a chamada relação

M − −β θ :

(

cos2

)

2 1 sen cotg 2 tg ₂ 1 2 2 1 + + − = β γ β β θ M M

Como a expressão acima é, em alguns casos, difícil de resolver directamente, é habitual recorrer-se a representações gráficas da mesma para obter uma solução. Assim, dados os valores de M =2.0 e de θ =10º, obtém-se graficamente um valor de β entre 39º e 40º

(solução de “choque fraco”). De forma a obter uma maior precisão através desta metodologia, substituem-se estes dois valores de β na relação , calculando os ângulos de deflexão correspondentes (respectivamente .7102º e θ =9.7102º) e, subsequentemente, calcula-se o valor de β por interpolação linear.

39.32 = β 267 . M 1.642 = ×1 M ⋅ ⋅ ⋅ + θ − γ tg 1 2 1 2 1 M M = ∆ 1 p p ≡ 1 p − 1 2 p 1 ≤ M − −β θ 9 = θ

Seguindo este procedimento resulta para o ângulo de onda: º

b) Calculando previamente a componente normal do número de Mach a montante:

(

39.32

)

1. sen 0 . 2 sen 1 1 = M β = × = M _n

Usando as expressões (ou as tabelas) válidas para onda de choque normal para relacionar ambas as componentes normais do número de Mach:

(

)

(

1

)

0.6452 08032 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 = ⇒ = − − + − = _n n n n M M M γ γ γ

O número de Mach a jusante obtém-se através de uma relação geométrica:

(

−

)

=

(

−

)

= = 10 32 . 39 sen 8032 . 0 sen 2 2 M_βn_θ M

c) De forma semelhante a b), através das relações válidas para onda de choque normal, calcula-se o valor da pressão a jusante:

170.6 = ⇔ = + + = 1.706 100 .706 1 1 2 2 2 2 1 1 2 _p M M p p n n γ γ kPa

Teoria (linearizada) de choques muito fracos: apesar de para qualquer ângulo de deflexão finito o ângulo de onda ser sempre superior ao ângulo de Mach, para valores baixos do ângulo de deflexão a relação θ −β − pode ser expandida em série de potências de

θ

tg e a expressão resultante pode ser “linearizada” (i.e., manter apenas os termos de 1ª ordem). Obtém-se: ⋅ ⋅ ⋅ + + + = θ µ γ µ β tg cos 4 1 sen n se p Nota: M₁∈

[

1.4;20

]

;θ <6º ⇒ ε_β º

d) Calculando previamente o ângulo de Mach para obter o valor do ângulo de onda, usando as expressão correspondente acima indicada:

30 0 . 2 1 arcsen 1 arcsen 1 = = = M µ º

( )

+

_{( ) ( )}

= ⇒ ≈38.5 ≈ ⇒ β tg10 0.622 β 30 cos 4 4 . 2 30 sen sen º

e) De forma semelhante, para calcular o valor da pressão a jusante:

( )

= ⇒ ≈ × =157.0 − × + ≈ tg10 1.570 100 1.570 1 0 . 2 0 . 2 4 . 1 1 ₂ 2 2 1 2 _p p p kPa

Note-se que os resultados obtidos através da teoria “linearizada” são razoáveis apesar de

10 =

θ º; adicionalmente, se o choque fosse forte, o ângulo de onda seria superior ao calculado, β ≈83.5º; note-se ainda que θ <θ_max;θ_max

(

M =2.0

)

≈23º, mas se θ >θ_max resultaria um choque destacado.

Problema 3

Ao introduzir-se uma cunha fina com uma base romba num escoamento supersónico a número de Mach igual a 2.0, verifica-se o seguinte:

(i) quando a cunha se encontra de frente para o escoamento obtém-se uma medição de pressão no ponto A (ver figura) de 82 kPa;

(ii) quando se roda a cunha de 180º (ver figura), estabelece-se um choque destacado, obtendo-se um valor para a pressão no ponto B de 410 kPa.

Nestas condições pretende-se calcular:

a) a pressão no escoamento não perturbado, p_∞; b) o ângulo da cunha, θ . θ M₁ = 2.0 pA = 100 kPa p_∞ A B M₁ = 2.0 p_∞ pB = 410 kPa Resolução:

a) Começando por considerar o caso ii), verifica-se a seguinte situação:

M₁ = 2.0 p_∞ M > 1 M < 1 p₁ p₂ p_B ∞ ≡ p p₁ 0 2 p p p ≠ _B =

A linha de corrente que vai até ao ponto B é uma linha de corrente de estagnação, logo . Ao longo deste linha atravessa-se uma onda de choque que pode ser localmente considerada como uma onda de choque normal, i.e.

0

p p_B =

90 ≈

β º, pelo que se podem aplicar as expressões (ou tabelas) correspondentes:

(

)

(

1

)

0.333 0.577 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 = ⇒ = − − + − = M M M M γ γ γ 222 . 0 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 _{⇒ =} + + = p p M M p p γ γ

Depois da onda de choque podemos tratar o escoamento como isentrópico, aplicando as expressões válidas para este caso:

5 . 3 1 2 0 5 1 2 1 1       + =       ₊ − = M − M p p γ γ γ para ar, γ =1.4 798 . 0 253 . 1 5 1 2 5 . 3 2 2 2 = ⇒ =         + = ⇒ B B p p M p p

Podemos então escrever a seguinte relação, de forma a calcular o valor da pressão no

escoamento não perturbado:

72.6 = × × = ⋅ ⋅ = ≡ ∞ 2 0.222 0.798 410 2 1 1 B B p p p p p p p kPa

b) Devemos agora considerar o caso i) e fazer uso da relação θ −β −M . No entanto, se admitirmos que o ângulo de deflexão é pequeno, podemos usar a teoria “linearizada” para obter uma boa aproximação e depois confirmar o valor através da teoria geral se for caso disso. Assim, denotando o ângulo de deflexão por θ'=θ 2, temos:

' tg 1 1 2 1 2 1 1 2 γ _θ − + ≈ M M p 72.6 1.129 82 1 2 _{≡ = =} ∞ p p p p _A ; M₁ =2.0 p

Resolvendo em ordem ao ângulo de deflexão resulta θ'≈2.3º, pelo que o ângulo da

cunha vale: θ =2θ'=4.6º

Note-se que o ângulo de deflexão calculado é de facto baixo, dentro da gama de aplicação da teoria “linearizada”. No entanto seria conveniente verificar o valor, para maior precisão, através da relação θ −β −M ; deixa-se como exercício.

Problema 4

O escoamento de ar que se processa entre as duas placas horizontais e paralelas da figura é caracterizado por um número de Mach igual a 3.0 e uma pressão de 200 kPa. Em determinada secção da conduta plana considerada, as paredes exibem rampas com inclinações de 10º e 20º, respectivamente para as paredes superior e inferior, formando-se aí duas ondas de choque oblíquas. Estes dois choques intersectam-se no ponto O da figura. Calcular os valores de pressão e de número de Mach nas regiões 2, 3, 4 e 5 indicadas na figura, bem como a deflexão global do escoamento após o sistema de choques (direcção da folha de vórtices que se estabelece na interface destas duas regiões do escoamento). σ M₁ = 3.0 p₁ = 200 kPa θ₂ θ₃ 1 2 3 4 5 O Resolução:

O ângulo da onda de choque oblíqua superior 1-2, correspondendo um número de Mach e uma deflexão

0 . 3

1 =

M θ₂ =10º, pode ser calculado através da expressão seguinte:

(

cos2

)

2 27.39 1 sen cotg 2 tg ₁₂ 12 2 1 12 2 2 1 12 2 ⇒ = + + − = β β γ β β θ M M º (choque fraco)

O número de Mach normal ao choque oblíquo superior vale:

(

27.39

)

1.380 sen 0 . 3 sen ₁₂ 1 1 = M β = × = M _n

A componente normal do número de Mach e a pressão na região 2 são obtidas a partir das relações (ou tabelas) aplicáveis a choque normal, respectivamente:

(

)

(

1

)

0.7483 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ⇒ = − − + − = _n n n n M M M M γ γ γ 411.0 = × = ⇔ = + + = 2.055 2.055 200 1 1 2 2 2 2 1 1 2 _p M M p p n n γ γ kPa

Logo, o número de Mach na zona 2 vale:

(

−

)

=

(

−

)

=2.504 = 10 39 . 27 sen 7483 . 0 sen _{12 2} 2 2 _βM n _θ M

Para a onda de choque oblíqua inferior o procedimento é semelhante, usando os valores e

0 . 3

1 =

M θ₃=20º e permitindo calcular a pressão na região 3, isto é:

(

cos2

)

2 37.76 1 sen cotg 2 tg ₁₃ 13 2 1 13 2 2 1 13 3 ⇒ = + + − = β β γ β β θ M M º (choque fraco)

(

37.76

)

1.837 sen 0 . 3 sen ₁₃ 1 1 = M β = × = M _n

(

)

(

1

)

0.6084 2 2 1 3 2 1 2 1 2 3 ⇒ = − − + − = _n n n n M M M M γ γ γ 754.1 = × = ⇒ = + + = 3.770 3.770 200 1 1 3 2 3 2 1 1 3 _p M M p p n n γ γ kPa Logo, o número de Mach na zona 3 vale:

(

−

)

=

(

−

)

=1.994 = 20 76 . 37 sen 6084 . 0 sen _{13 3} 3 3 _βM n _θ M

Para prosseguir o cálculo é necessária informação adicional sobre as regiões 4 e 5. Sabe- -se que a pressão nestas regiões tem de ser igual porque apenas as separa a folha de vórtices. O processo de cálculo resulta iterativo e o parâmetro mais adequado para proceder às iterações é a deflexão global do escoamento após a interacção das duas ondas de choque, ou seja, o ângulo σ . Vamos assumir inicialmente que a deflexão global corresponde a σ >0 (i.e., escoamento para cima) na medida em que θ₃ >θ₂. Arbitrando por exemplo um valor de σ =4º, tem-se:

14 4 10

4 = + =

θ º , porque a nova onda de choque vai desviar o escoamento de um ângulo de 10º para baixo (resultante da onda de choque original) para a direcção correspondente a σ (4º para cima).

Subsequentemente, através da relação θ −β −M com M₂ =2.504, calcula-se o ângulo de onda:

(

cos2

)

2 35.82 1 sen cotg 2 tg ₂₄ 24 2 2 24 2 2 2 24 4 ⇒ = + + − = β β γ β β θ M M º (choque fraco)

(

35.82

)

1.465 2.354 sen 504 . 2 sen 2 4 24 2 ' 2 = = × = ⇒ = ⇒ p p M M _n β (tabelas) 5 . 967 0 . 411 354 . 2 4 = × = ⇒ p kPa

De forma semelhante para a onda de choque secundária inferior com M₃=1.994:

4 = σ º 16⇒ θ₅ =20−4= º

(

cos2

)

2 46.91 1 sen cotg 2 tg ₃₅ 35 2 3 35 2 2 3 35 5 ⇒ = + + − = ⇒ β β γ β β θ M M º (choque fraco)

(

46.91

)

1.456 2.320 sen 994 . 1 sen 3 5 35 3 ' 3 = = × = ⇒ = ⇒ p p M M _n β (tabelas) 1750 1 . 754 320 . 2 5 = × = ⇒ p kPa

Note-se que resultou p₄ ≠ p₅ o que significa que σ =4º não é a solução. Como se obteve o escoamento deverá ser mais deflectido na direcção da parede superior, de forma a aumentar a pressão na região 4 e reduzi-la na região 5, pelo que se deverá arbitrar 4 5 p p > 4 >

σ º na iteração seguinte. Arbitrando agora , repete-se o procedimento anteriormente seguido. O processo iterativo encontra-se resumido na tabela seguinte.

Iteração 1 2 3 σ (º) 4 8 9.8 4 θ (º) 14 18 19.8 24 β (º) 35.82 40.34 42.58 ' 2n M 1.465 1.621 1.694 2 4 p p 2.354 2.895 3.165 4 p (kPa) 967.5 1190 1301 5 θ (º) 16 12 10.2 35 β (º) 46.91 41.73 39.68 ' 3n M 1.456 1.327 1.273 3 5 p p 2.320 1.897 1.715 5 p (kPa) 1750 1435 1298

Considera-se que o processo convergiu com uma precisão aceitável para um valor de

Por sua vez, a deflexão global do escoamento correspondente vale: σ =9.8º

Calculando agora as novas componentes normais do número de Mach, através das relações (ou tabelas) aplicáveis a onda de choque normal:

6431 . 0 694 . 1 ₄ ' 2n = ⇒ M n = M ; M₃'_n =1.694 ⇒ M_5n =0.6431 Podemos finalmente calcular os valores do número de Mach nas regiões 4 e 5:

(

−

)

=

(

−

)

=1.661 = 8 . 19 58 . 42 sen 6431 . 0 sen _{24 4} 4 4 _βM n _θ M

(

−

)

=

(

−

)

=1.629 = 2 . 10 68 . 39 sen 8016 . 0 sen _{35 5} 5 5 _βM n _θ M

Problema 5

Um jacto sub-expandido é descarregado através de uma tubeira convergente-divergente a um número de Mach igual a 2.0, tal como ilustrado na figura. A pressão e a temperatura na secção de saída são, respectivamente, 20 kPa e 200 K. Sendo a pressão na descarga de 10 kPa, determinar o número de Mach, a temperatura e a direcção do escoamento a jusante da expansão. p₂ = 10 kPa M1 = 2.0 p₁ = 20 kPa T₁ = 200 K M₂ M₂ θ θ Resolução:

Os valores da pressão e da temperatura de estagnação no escoamento a montante das ondas de expansão, correspondendo a M₁=2.0, podem ser obtidos a partir das relações (ou tabelas) de escoamento isentrópico, ou seja:

(ar) 156.5 1278 . 0 20 1278 . 0 5 0 . 2 1 5 1 ₀₁ 5 . 3 2 5 . 3 2 1 01 1 _{= ⇔ = =}         + =         + = − − p M p p kPa (ar)

(

)

360.0 5556 . 0 200 5556 . 0 1278 . 0 13.5 ₀₁ 5 . 3 1 01 1 01 1 _{= = ⇔ = =}       = T p p T T K Como o processo é isentrópico verifica-se:

5 . 156 01 02 = p = p kPa ; T₀₂ = T₀₁=360.0 K

Fazendo de novo uso das relações (ou tabelas) aplicáveis a escoamento isentrópico, é possível calcular o número de Mach e a temperatura a jusante da expansão:

4565 . 0 0639 . 0 5 . 156 10 02 2 2 02 2 _{= = ⇒ = ⇒ =} T T M p p 2.44 164.3 = × = ⇔ T₂ 0.4565 360.0 K

Por sua vez, a expressão que permite calcular o ângulo de expansões de Prandtl-Meyer em função do número de Mach do escoamento é a seguinte:

( )

(

1

)

arctg 1 1 1 arctg 1 1 2 _{− −} 2₋ + − − + = M M M γ γ γ γ ν

Aplicando a expressão acima para os valores de número de Mach a montante e a jusante:

38 . 26 0 . 2 ₁ 1 = ⇒ ν = M º ; M₂ =2.44 ⇒ ν₂ =37.71º

Logo, o ângulo de deflexão do escoamento (relativamente ao eixo da tubeira) vale:

( ) ( )

− = − =11.33

=ν M₂ ν M₁ 37.71 26.38

Problema 6 (Exame de 17/06/97)

Um jacto de ar é descarregado através de uma tubeira convergente-divergente, plana, a número de Mach 2.2, tal como ilustrado na figura. Os valores de pressão e temperatura na secção de saída da tubeira são, respectivamente, 20 kPa e 150 K. A descarga da tubeira dá-se para um meio em repouso caracterizado por uma pressão de 40 kPa, o que dá origem à formação de um jacto sobre-expandido.

a) Determinar os valores do número de Mach, da pressão, da temperatura e a direcção do escoamento nas regiões 2, 3 e 4 da estrutura do ciclo de repetição do escoamento invíscido;

b) Utilizando o método das características, calcular o contorno da geometria da parte divergente da tubeira para a expansão do escoamento. Divida o leque de ondas de expansão em três incrementos e considere que a primeira característica emanada da garganta da tubeira exibe uma inclinação de 0.865º relativamente à linha sónica que se admite recta. M1 = 2.2 p₁ = 20 kPa T1 = 150 K 1 2 3 4 5 pext = 40 kPa Resolução:

a) Considerando escoamento isentrópico na tubeira, com M₁=2.2, resulta:

9 . 213 09352 . 0 20 09352 . 0 ₀₁ 01 1 _{= ⇒ p = =} p p kPa 2 . 295 5081 . 0 150 5081 . 0 ₀₁ 01 1 _{= ⇒ T = =} T T K

Tratando-se de um jacto (sobre-expandido), verifica-se que a pressão na região 2 vale:

40

= = p_ext

p₂ kPa

       = × = ⇒ = = = ⇒ = = kPa 207 9 . 213 9676 . 0 9676 . 0 7572 . 0 36 . 1 2 20 40 02 01 02 2 1 1 2 p p p M M p p n n

Conhecida a componente normal do número de Mach pode calcular-se o ângulo de onda, ou seja: 19 . 38 6182 . 0 2 . 2 36 . 1 sen ₁₂ 1 1 12 = = = ⇒ β = β M M _n º

O ângulo de deflexão é obtido directamente a partir da relação θ −β −M :

(

)

(

)

2.2

[

1.4 cos

(

(

2 38

)

.19

)

]

2 1 19 . 38 sen 2 . 2 19 . 38 cotg 2 2 2 cos 1 sen cotg 2 tg ₂ 2 2 12 2 1 12 2 2 1 12 2 + × + − = + + − = β γ β β θ M M 30 . 12 2 = ⇒ θ º

Por sua vez, o número de Mach na região 2 pode ser calculado da seguinte forma:

(

−

)

=

(

−

)

=1.734 = 30 . 12 19 . 38 sen 7572 . 0 sen _{12 2} 2 2 _βM n _θ M

O escoamento através da onda de choque pode ser considerado como adiabático, logo: K 2 . 295 01 02 = T = T

A temperatura na região 2 pode ser calculado assumindo escoamento isentrópico após a onda de choque, resultando:

184.7 = × = ⇒ =0.6256 ₂ 0.6256 295.2 02 2 _T T T _K

O ângulo que exprime a direcção do escoamento na região 2 (relativamente á linha central do jacto) é dado por:

30 . 12 2 2 =θ = σ º

Na região 3 o escoamento é de novo orientado segundo o eixo da tubeira (tal como ilustrado na figura), permitindo obter imediatamente o ângulo de deflexão, isto é:

30θ₃ =θ₂ =12. º

O ângulo da onda de choque secundária é calculado a partir da relação θ −β −M , com e 734 . 1 2 = M θ₃=12.30º, resultando:

(

cos2

)

2 49.35 1 sen cotg 2 tg ₂₃ 23 2 2 23 2 2 2 23 3 ⇒ = + + − = β β γ β β θ M M º (choque fraco)

A componente normal do número de Mach a montante da onda de choque secundária vale:

(

49.35

)

1.316 sen 734 . 1 sen ₂₃ 2 ' 2 =M β = × = M _n

Conhecida esta quantidade, através das relações de onda de choque normal é possível calcular os valores da pressão e temperatura na região 3:

         = × = ⇒ = = × = ⇒ = = × = ⇒ = = ⇒ = kPa 202 207 9758 . 0 9758 . 0 K 204 . 1 7 . 184 204 . 1 kPa 866 . 1 40 866 . 1 7760 . 0 316 . 1 03 02 03 3 2 3 3 2 3 3 ' 2 p p p T T T p p p M M n n _222.4 74.64

O número de Mach na região 3 pode agora ser calculado:

(

−

)

=

(

−

)

=1.288 = 30 . 12 35 . 49 sen 7760 . 0 sen _{23 3} 3 3 _βM n _θ M

A direcção do escoamento na região 3 obtém-se directamente porque, tal como anteriormente se referiu, nesta região o escoamento é de novo paralelo à linha central, logo:

0 3 =

σ º

A região 4 é atingida após atravessar uma expansão que se considera isentrópica, resultando: kPa ; 202 03 04 = p = p T₀₄ =T₀₃ =T₀₂ =T₀₁=295.2 K Adicionalmente, a pressão na região 4 também é igual à pressão exterior, isto é:

40

= = p_ext

As relações aplicáveis a escoamento isentrópico permitem ainda calcular os valores do

número de Mach e da temperatura na região 4, ou seja:

    = × = ⇒ = = ⇒ = = K 2 . 295 6283 . 0 6283 . 0 1980 . 0 202 40 4 04 4 4 04 4 185.5 1.72 T T T M p p

Tratando a expansão como uma expansão de Prandtl-Meyer, obtém-se:

(

₃ 1.29

)

5.898

3 M = =

ν º ; ν₄

(

M₄ =1.72

)

=18.40º

Consequentemente, a direcção do escoamento na região 4, expressa através do ângulo com a linha central, é calculada da seguinte forma:

12.50 = − = − = _{4 3} 18.40 5.898 4 ν ν σ º

b) Aplicando o Método das Características para calcular a geometria da tubeira indicada (correspondendo apenas a secção onde as ondas de expansão são canceladas) e dividindo o leque de expansão em três incrementos tal como esquematizado na figura seguinte: M= 2.2 1 5 8 ≡ c d 6 3 2 a 4 7 9 ≡ b θ_w max

Considera-se que a expansão é simétrica segundo o eixo horizontal e ainda que não existem reflexões múltiplas.

É dado no enunciado o valor do 1º incremento, o qual deverá ser pequeno porque se segue à zona sónica:

865 . 0 = θ ∆ º

Os dois incrementos restantes poderão ser de igual valor, sendo calculados da seguinte forma:

( )

_a a

a +ν = K−

θ , sendo ν_a =θ_wmax porque se verificam condições sónicas em ; a

( )

_a

( )

_c wmax = ₂1 K− = ₂1 K−

No ponto c: θ_c +ν_c =

( )

K_{− c} ; θ_c =0 ; ν_c =ν

( )

M

( )

( )

( )

2 max M M K _c =ν ⇒ θ_w =ν ⇒ ₋ Logo: ν

(

M =2.2

)

=31.73º

( )

15.865 2 73 . 31 2 max ≡ = = = ⇒ θ_w θ_a ν M º

Aplicando sucessivamente as relações de compatibilidade algébricas aos pontos sobre as características representadas na figura, usando a expressão (ou tabelas) de Prandtl-Meyer para obter os números e os ângulos de Mach, calculam-se os valores da tabela seguinte, sendo o valor dos dois incrementos:

(

15.865−0.865

)

2=7.5º

Ponto K₋ =θ +ν K₊ =θ −ν θ =½

(

K−+K+

)

θ =½

(

K−−K+

)

M µ 1 1.73 0 0.865 0.865 1.07 68.7 2 16.73 0 8.365 8.365 1.38 46.5 3 31.73 0 15.865 15.865 1.63 37.7 4 31.73 0 15.865 15.865 1.63 37.7 5 16.73 -16.73 0 16.73 1.66 37.0 6 31.73 -16.73 7.5 24.23 1.92 31.3 7 31.73 -16.73 7.5 24.23 1.92 31.3 c ≡ 8 31.73 -31.73 0 31.73 2.20 27.0 b ≡ 9 31.73 -31.73 0 31.73 2.20 27.0

Finalmente, o contorno da tubeira é obtido geometricamente considerando linhas características rectas e usando os valores da tabela acima.

• Troço a−4: – linha de declive médio

(

)

(

15.865 15.865

)

15.865 2 1 2 1 4 = + = +θ θ_a º

– ponto 4 dado pela intersecção desta linha com a característica

(

3−4

)

( )

(

15.865 37.7

)

53.565 2 1 arctg arctg _{3 3} 4 3 = + = + =       ⇒ + =       − + + µ θ µ θ C C dx dy dx dy º

• Troço 4−7: – linha de declive médio

(

)

(

15.865 7.5

)

11.683 2 1 2 1 7 4+θ = + = θ º

– ponto 7 dado pela intersecção desta linha com a característica

(

6−7

)

( )

(

7.5 31.3

)

38.8 2 1 arctg arctg _{6 6} 7 6 = + = + =       ⇒ + =       − + + µ θ µ θ C C dx dy dx dy º

• Troço 7−b: – linha de declive médio

(

)

(

7.5 0

)

3.75 2 1 2 1 9 7+θ = + = θ º

– ponto 9 dado pela intersecção desta linha com a característica

(

8−9

)

( )

(

0 27.0

)

27.0 2 1 arctg arctg _{8 8} 9 8 = + = + =       ⇒ + =       − + + µ θ µ θ C C dx dy dx dy º

A localização dos restantes pontos pode ser obtida de forma semelhante, através da intersecção das linhas características, sendo a respectiva direcção dada pelos declives médios correspondentes.

Problema 7

Um perfil em diamante (bidimensional) encontra-se mergulhado num escoamento a número de Mach igual a 2.5, tal como mostra a figura. O ângulo de ataque do perfil é de 10º, a corda mede 1 m e o semi-ângulo θ₀ que caracteriza geometricamente o perfil corresponde a 5º. Nestas condições, determinar os coeficientes de sustentação, C , e de resistência, . L D C M_∞ = 2.5 p_∞ p_AB p_BD p_AC p_CD α = 10° A B C D 2θ₀ Resolução:

A pressão de estagnação no escoamento não perturbado é calculada através de uma relação (ou tabelas) aplicável a escoamento isentrópico:

(ar) _{∞ ∞} − − ∞ ∞ ∞ _{= ⇒ =}         + =         + = M p p p p 09 . 17 05853 . 0 5 5 . 2 1 5 1 ₀ 5 . 3 2 5 . 3 2 0

O ângulo correspondente ao escoamento a montante da expansão de Prandtl-Meyer associada ao leque de expansão ancorado no ponto A pode ser obtido através da expressão seguinte (ou tabelas):

(

)

(

1

)

arctg 1 39.12 1 1 arctg 1 1 5 . 2 2 − − 2 − = + − − + = = _{∞ ∞} ∞ ∞ M _γγ _γγ M M ν º

Por sua vez, o ângulo de Prandtl-Meyer correspondente ao escoamento após a expansão em A é calculado da seguinte forma:

(

− ₀

)

=39.12+5=44.12 +

=ν_∞ α θ

ν_AB º

De forma semelhante, após a expansão em B, tem-se: 12ν_BD =ν_AB +2θ₀ =44.12+2×5=54. º

Os números de Mach correspondentes a estes ângulos são também obtidos a partir da relação (ou tabelas) aplicável a expansões de Prandtl-Meyer, isto é:

(

_AB =44.12

)

=2.72

AB

M ν ; M_BD

(

ν_BD =54.12

)

=3.24

O escoamento através das expansões pode ser considerado isentrópico, resultando: ∞

∞ =

=

= p p p

p_{0AB 0AB 0} 17.09

Mais uma vez, recorrendo a expressões para escoamento isentrópico (para ar), obtém-se:

       =         + =         + = =         + =         + = − − − − 01908 . 0 5 24 . 3 1 5 1 04165 . 0 5 72 . 2 1 5 1 5 . 3 2 5 . 3 2 0 5 . 3 2 5 . 3 2 0 BD BD AB AB M p p M p p BD AB       = × = ⋅ = = × = ⋅ = ⇒ ∞ ∞ ∞ ∞ p p p p p p p p p p p p BD BD BD AB AB AB BD AB 3261 . 0 09 . 17 01908 . 0 7118 . 0 09 . 17 04165 . 0 0 0

No que respeita ao intradorso do perfil, verifica-se a ocorrência de uma onda de choque oblíqua cujo ângulo de deflexão vale:

15θ_AC =α +θ₀ =10+5= º

O ângulo de onda pode ser determinado através da relação θ −β −M , considerando o número de Mach do escoamento não perturbado M_∞ =2.5 e o ângulo de deflexão acima calculado, isto é:

(

cos2

)

2 36.94 1 sen cotg 2 tg ₂ 2 2 = ⇒ + + − = ∞ ∞ A A A A AC M M _β β γ β β θ º (choque fraco)

A componente normal do número de Mach vale:

(

36.94

)

1.503 sen 5 . 2 sen = × = = _∞ ∞ M A M _n β

(

)

(

1

)

0.7011 2 2 1 2 2 2 _{⇒ =} − − + − = ∞ ∞ n n n n AC AC M M M M γ γ γ ∞ ∞ ∞ = ⇔ = + + = p p M M p p AC AC AC n n _{2.458 2.458} 1 1 2 2 γ γ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = × = = ⇒ ⋅             + + = p p p p p p M M p p AC n n AC AC AC 89 . 15 09 . 17 9298 . 0 9298 . 0 5 1 5 1 0 0 5 . 3 2 2 0 0

O número de Mach a jusante da onda de choque oblíqua é dado por:

(

)

sen

(

36.94 15

)

1.876 7011 . 0 sen − = − = = AC A AC AC n M M θ β

Os ângulos de Prandtl-Meyer referentes ao escoamento a montante e jusante da expansão ancorada no ponto C são dados, respectivamente, por:

(

)

(

1

)

arctg 1 23.02 1 1 arctg 1 1 876 . 1 2 − − 2 − = + − − + = = M_∞ M_∞ M_AC AC _γγ _γγ ν º 02 . 33 5 2 02 . 23 2 ₀ = + × = + =ν θ ν_{CD AC} º

Por sua vez, o número de Mach correspondente a este ùltimo ângulo vale: M_CD =2.25 Sabemos ainda que o escoamento através da expansão pode ser considerado isentrópico, resultando: ∞ = = p p p_{0CD 0AC} 15.89 E também: 08648 . 0 5 25 . 2 1 5 1 5 . 3 2 5 . 3 2 0 =         + =         + = − − CD CD M p p CD ∞ ∞ = × = ⋅ = ⇒ p p p p p p CD CD CD CD 0 0.08648 15.89 1.374 0

O comprimento de cada uma das faces do perfil alar vale:

( )

5 0.5019 cos 5 . 0 cos 2 / 0 = = = θ c l m

A força de sustentação resulta do somatório das contribuições sobre todas as faces, ou seja:

(

)

(

)

(

)

(

( )

[

]

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

{

}

_∞ ∞ + − − = =

)

+ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = p p l p l p l p l p L _{AC CD AB BD} 365 . 1 15 cos 3261 . 0 5 cos 7118 . 0 5 cos 374 . 1 15 cos 458 . 2 5019 . 0 cos cos cos cosα θ₀ α θ₀ α θ₀ α θ₀

De forma semelhante, para a componente perpendicular, a força de resistência:

(

)

(

)

(

)

(

( )

[

]

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

{

}

_∞ ∞ + − − = =

)

+ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = p p l p l p l p l p D _{AC CD AB BD} 3059 . 0 15 sen 3261 . 0 5 sen 7118 . 0 5 sen 374 . 1 15 sen 458 . 2 5019 . 0 sen sen sen senα θ₀ α θ₀ α θ₀ α θ₀

Finalmente, os coeficientes de sustentação e resistência valem, respectivamente: 0.312 = × × × × = = ≡ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ p p c M p L c U L C_L 0 . 1 5 . 2 4 . 1 5 . 0 365 . 1 ½ ½ρ 2 γ 2 2 0.0699 = × × × × = = ≡ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ p p c M p D c U D C_D 0 . 1 5 . 2 4 . 1 5 . 0 3059 . 0 ½ ½ρ 2 γ 2 2

Problema 8

Considere um perfil curvo simétrico, a incidência nula, imerso num escoamento supersónico com número de Mach M_∞ =2.0. A forma do extradorso (por exemplo) é

descrita por _      − = c x x

y θ₀ 2 , sendo c a corda do perfil e θ₀ =0.2. Calcular a evolução do coeficiente de pressão e do número de Mach ao longo da corda, sendo p_0∞ =100kPa.

M_∞ = 2.0 p_0∞ = 100 kPa θ₀ c x y Resolução:

Este procedimento de cálculo não considera o facto de a onda de choque oblíqua estabelecida no bordo de ataque do perfil alar ser curva, desprezando-se adicionalmente o efeito das ondas de Mach reflectidas a jusante da onda de choque.

A pressão de estagnação do escoamento não perturbado é calculada por:

77 . 12 100 1277 . 0 1277 . 0 5 0 . 2 1 5 1 5 . 3 2 5 . 3 2 0 = × = ⇒ =         + =         + = _∞ − − ∞ ∞ ∞ M _p p p kPa

A deflexão do escoamento no bordo de ataque do perfil alar pode ser obtida da seguinte forma:

( )

_arctg

( )

_{0.2 11.31}o arctg 2 1 arctg _{1 0} 0 . 0 0 2 0  ⇒ = = =            − = ⇒         − = = θ θ θ θ θ x c x c x x y

O ângulo de onda correspondente ao ângulo de deflexão θ₁ acima calculado, para , vale: 0 . 2 = ∞ M

(

cos2

)

2 40.78 1 sen cotg 2 tg ₂ 2 2 1 ⇒ = + + − = ∞ ∞ _β β γ β β θ M M º (choque fraco)

Seguidamente calcula-se a componente normal do número de Mach, isto é:

(

40.78

)

1.306 sen 0 . 2 sen 1 = = × = ≡ _∞ ∞ M M β M _n n

E das relações (ou tabelas) para onda de choque normal obtém-se:

(

)

(

1

)

0.7829 2 2 1 1 2 2 2 1 ⇒ = − − + − = ∞ ∞ n n M M M M n n γ γ γ 3 . 23 77 . 12 827 . 1 827 . 1 1 1 ₁ 1 2 1 2 1 _{= ⇔ = ⋅ = × =} + + = _∞ ∞ ∞ ∞ p p p p M M p p n n γ γ kPa

Por sua vez, o coeficiente de pressão correspondente à pressão p₁ é dado por:

(

)

_=0.294 × × − = − = − = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 2 1 2.0 1.4 0.5 1 827 . 1 ½ 1 ½ 1 _M p p M p p p C_p γ γ

O número de Mach após a onda de choque oblíqua vale:

(

−

)

=

(

−

)

=1.590 = 31 . 11 78 . 40 sen 7829 . 0 sen 1 1 M_βn _θ M

O procedimento de cálculo referente ao primeiro ponto encontra-se concluído. Prosseguindo, note-se que após a onda de choque o escoamento pode ser considerado de novo isentrópico, logo:

2385 . 0 5 590 . 1 1 5 1 5 . 3 2 5 . 3 2 1 0 1 1 =         + =         + = − − M p p 7 . 97 3 . 23 2385 . 0 1 1 1 0 0₁ = 1 ⋅ = × = ⇒ p p p p kPa

A expansão do escoamento a jusante da onda de choque oblíqua processa-se através de um sistema de ondas de Mach pelo que é necessário calcular o ângulo da expansão de Prandtl-Meyer correspondente ao número de Mach acima calculado, ou seja:

(

)

(

1

)

arctg 1 14.54 1 1 arctg 1 1 590 . 1 ₁2 ₁2 1 1 M = = _γγ +_{− γ}γ ₊− M − − M − = ν º

Considerando um segundo ponto sobre o perfil, localizado por exemplo a x c=0.1, calcula-se o novo valor do ângulo de deflexão:

(

)

[

0.2 1 2 0.1

]

9.09 arctg

2 = − × =

θ º

Assim, o escoamento sofre uma deflexão local: ∆θ₂ =θ₁−θ₂ =11.31−9.09=2.22º E o ângulo da expansão de Prandtl-Meyer vale: ν₂ =ν₁+∆θ₂ =14.54+2.22=16.76º Utilizando a expressão (ou tabelas) correspondente para calcular o novo número de

Mach:

(

−

)

− − = ⇒ =1.666 + − − + = ₂2 ₂2 ₂ 2 1 arctg 1 16.76 1 1 arctg 1 1 M M M o γ γ γ γ ν

O escoamento evolui isentropicamente sobre o perfil, logo: p₀ =cte= p₀₂ ; assim:

8 . 20 7 . 97 2130 . 0 2130 . 0 5 666 . 1 1 ₀ 0 2 2 5 . 3 2 0 2 _{= ⇒ = ⋅ = × =}         + = − p p p p p p _kPa

Calculando o coeficiente de pressão para o novo ponto obtém-se:

(

)

(

)

_=0.225 × × − = − = ∞ ∞ 2 2 2 2 2.0 1.4 0.5 1 77 . 12 8 . 20 ½ 1 M p p C_p γ

O procedimento de cálculo para o segundo ponto sobre o perfil alar encontra-se concluído. Agora repete-se o procedimento para outra localização mais a jusante, por exemplo para x c=0.2:

Ângulo de deflexão: θ₃ =arctg

[

0.2

(

1−2×0.2

)

]

=6.84º

Deflexão local do escoamento: ∆θ₃ =θ₂−θ₃ =9.09−6.84=2.25º Ângulo de Prandtl-Meyer: ν₃=ν₂ +∆θ₃=16.76+2.25=19.01º

Número de Mach: ν₃ =19.01o ⇒ M₃=1.742

Pressão estática: M₃ =1.742 ⇒ p₃ p₀ =0.1899 ⇔ p₃ =18.6 kPa

Coeficiente de pressão:

(

)

(

)

=0.163 × × − = − = ∞ ∞ 2 2 3 3 2.0 1.4 0.5 1 77 . 12 6 . 18 ½ 1 M p p C_p γ

Como o procedimento é sempre o mesmo para os restantes pontos utilizados na discretização do perfil alar, apresenta-se na tabela seguinte um resumo dos resultados:

c x θ (º) ∆ (º) ν (º) θ M p p₀ p (kPa) C _p 0.0 11.31 0.0 14.54 1.590 0.2385 23.3 0.294 0.1 9.09 2.22 16.76 1.666 0.2130 20.8 0.225 0.2 6.84 2.25 19.01 1.742 0.1899 18.6 0.163 0.3 4.57 2.27 21.28 1.820 0.1686 16.5 0.104 0.5 0.0 4.56 25.85 1.983 0.1311 12.8 0.001 0.7 -4.57 4.57 30.42 2.153 0.1006 9.8 -0.083 0.8 -6.84 2.27 32.69 2.240 0.0878 8.6 -0.117 0.9 -9.09 2.25 34.94 2.330 0.0763 7.5 -0.147 1.0 -11.31 2.22 37.16 2.421 0.0662 6.5 -0.175

Problema 9

Um tubo com o comprimento de 5 m contém ar, o qual se encontra armazenado no seu interior a uma temperatura de 300 K e uma pressão de 200 kPa. A extremidade direita do tubo encontra-se fechada por uma parede sólida, enquanto que a extremidade esquerda se encontra tapada por um diafragma. A rotura súbita do diafragma dá origem à formação de um sistema de ondas de expansão que se propagam (unidimensionalmente) através do tubo, tal como mostra a figura. Considerando uma pressão exterior de 100 kPa, determinar o seguinte:

a) a velocidade da frente das ondas de expansão;

b) o tempo que aquela demora a atingir a extremidade fechada do tubo; c) a pressão do ar a montante das ondas de expansão;

d) a velocidade da onda de expansão localizada mais a montante no sistema de ondas.

p_atm = 100 kPa 1 2 L = 5 m va v_m vf p₂ = 200 kPa T₂ = 300 K Resolução:

a) A velocidade da frente do sistema de ondas de expansão é igual à velocidade do som no ar que se encontra em repouso, isto é:

347.3 = × × = = =a₂ RT₂ 1.4 287.1 300 v_f γ m/s

b) Conhecida a respectiva velocidade, o tempo que a frente de onda demora a atingir

a extremidade fechada do tubo é simplesmente dado por:

0.0144 = = = 3 . 347 5 f v L t s

c) Na medida em que a extremidade aberta do tubo está em contacto com a atmosfera exterior, a pressão do ar a montante do sistema de ondas de expansão tem de ser igual à pressão atmosférica, ou seja:

100

= = p_atm

d) Em primeiro lugar calcula-se a velocidade do ar que se encontra em movimento. Para o efeito é necessário tornar o sistema estacionário como se ilustra na figura abaixo: v a - v v + dv ρ a a + ρ + dρ não-estacionário estacionário dv

Através da aplicação de um balanço de massa ao volume de controlo representado a sombreado na figura, é possível obter a seguinte relação:

(

)(

)

a v v a a= +d +d ⇒ d =−d ρ ρ ρ ρ ρ

Fazendo intervir (diferenciando) a lei dos gases perfeitos, a definição de velocidade do som e a relação que exprime uma evolução isentrópica (através da onda infinitesimal considerada), obtém-se: T T p p RT p _⇒ d ₌ d ₋d = ρ ρ ρ ; a a T T T R a2 =γ ⇒ d =2d ; ( ) _pp _TT T p p d 1 d cte cte ₁ − = ⇒ = ⇔ = ₋ γ γ ργ γ γ

Combinando as expressões acima e integrando o resultado ao longo de uma linha característica

(

dx dt =v+a

)

, resulta: cte 1 2 0 d 1 2 d = = − + ⇒ = − + ⇒ v a v a J₊ γ γ

De forma semelhante, para uma onda infinitesimal que se mova em sentido contrário, é possível ainda obter a relação seguinte:

cte 1 2 _{= =} − + −v a J₋ γ

As constantes de integração e são designadas Invariantes de Riemann. Aplicando a expressão anteriormente obtida ao sistema de ondas de expansão do tubo, entre as regiões 1 e 2, obtém-se finalmente a expressão a aplicar para determinar a velocidade do ar na primeira destas regiões:

+

                − − = ⇒              =       = =       − − = − − − γ γ γ γ γ γ γ γ ₂1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 0 ; 1 1 2 p p a v a a T T p p v a a a v 7 . 163 3 . 347 200 100 1 1 4 . 1 2 1 1 2 2 1.4 1 4 . 1 2 2 1 2 1 1 × =                 − − =                 − − = ⇔ × − − a p p v γ γ γ m/s

De forma a calcular a velocidade do som na região 1, considera-se de novo um processo isentrópico através do sistema de ondas de expansão, ou seja:

1 . 246 200 100 300 1.4 1 4 . 1 1 2 1 2 1  =      × =       = − − γ γ p p T T K 5 . 314 1 . 246 1 . 287 4 . 1 1 1= = × × = ⇒ a γRT m/s

A velocidade da onda localizada mais a montante no sistema de ondas (em contacto como a região 1) corresponde à velocidade do som calculada relativamente ao fluido que se move à velocidade v₁ em sentido contrário, isto é:

150.8 = − = − =a₁ v₁ 314.5 163.7 v_m m/s

Problema 10

Considere o tubo de choque representado na figura, o qual contém inicialmente duas quantidades de ar separadas por um diafragma, respectivamente à pressão de 500 kPa e 20 kPa. A temperatura inicial do ar armazenado em cada um dos compartimentos é de 300 K. Ao romper-se o diafragma, forma-se uma onda de choque normal que se propaga na direcção das menores pressões e, simultaneamente, estabelece-se um sistema de ondas de expansão que se propaga, por sua vez, na direcção das maiores pressões. Nestas condições, calcular:

a) a pressão a montante da onda de choque normal; b) a velocidade de propagação da onda de choque normal;

c) a temperatura e a velocidade do ar a montante da onda de choque normal; d) a velocidade a que se desloca a superfície de contacto;

e) a pressão, a velocidade e a temperatura do ar a montante da superfície de contacto; f) a velocidade das ondas nas duas extremidades do sistema de ondas de expansão; g) a localização da onda de choque normal, da superfície de contacto e do sistema de

ondas de expansão ao longo do tempo (representar graficamente).

p4 = 500 kPa T₄ = 300 K p1 = 20 kPa T₁ = 300 K alta pressão baixa pressão diafragma p₄ = 500 kPa T₄ = 300 K p₁ = 20 kPa T₁ = 300 K v_m vf v3 v2 vc v1 = 0 v₄ = 0

sistema de ondas de expansão

superfície de contacto

onda de choque normal

Resolução:

a) É necessário tornar estacionário o problema da propagação da onda de choque normal para a extremidade direita do tubo, tal como ilustrado na figura abaixo:

v₂ não-estacionário estacionário p₂ T₂ p1 = 20 kPa T₁ = 300 K v₁ = 0 v_c p₂ T₂ vc p₁ = 20 kPa T₁ = 300 K v_c - v₂

A razão de pressões através da onda de choque normal pode ser obtida a partir da expressão seguinte:

(

)

1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 1 2 1 1 1 2 1 1 −                   ₋ + + − − − = γ γ γ γ γ γ p p p p p p p p

Todavia, a referida razão de pressões p₂ p₁ que permite obter o valor da pressão a montante da onda de choque normal tem de ser calculada iterativamente, resultando:

80.9 = × = ⇔ = ⇒ = = 0.04 4.047 4.047 20 500 20 2 1 2 4 1 _p p p p p kPa

b) Para calcular a velocidade de propagação da onda de choque normal pode recorrer- -se às tabelas correspondentes e à definição de número de Mach, ou seja:

90 . 1 047 . 4 1 2 _{= ⇒ =} c M p p 659.8 = × × × = = = ⇒ v_c M_ca_c M_c γRT₁ 1.90 1.4 287.1 300 m/s

c) De forma semelhante, para calcular a temperatura e a velocidade a montante da

onda de choque normal recorre-se mais uma vez às tabelas correspondentes:

      = × = ⇔ = − = = = × = ⇔ = ⇒ = kPa 516 . 2 8 . 659 516 . 1 516 . 2 K 300 608 . 1 608 . 1 90 . 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 397.6 482.4 v v v v v v T T T M c c c ρ ρ

d) A velocidade a que se desloca a superfície de contacto coincide com a velocidade do

ar a montante da onda de choque normal, isto é:

397.6

= =v₂

v_sc m/s

e) Por sua vez, a pressão e a velocidade a montante da superfície de contacto

coincidem com os valores correspondentes a montante da onda de choque normal, ou seja: kPa ; 80.9 = = ₂ 3 p p v₃=v₂ =397.6m/s

A temperatura a montante da superfície de contacto obtém-se admitindo um processo isentrópico através do sistema de ondas de expansão, entre as regiões 3 e 4, isto é:

178.3 =       × =       = − − 4 . 1 1 4 . 1 1 4 3 4 3 300 80₅₀₀.9 γ γ p p T T K

f) A velocidade da frente do sistema de ondas de expansão corresponde à velocidade do som relativamente ao ar em repouso (região 4), ou seja:

347.3 = × × = = =a₄ RT₄ 1.4 287.1 300 v_f γ m/s

Em contrapartida, a velocidade da onda na extremidade oposta do sistema de ondas

de expansão corresponde à velocidade do som relativamente ao ar que se move para a

extremidade direita do tubo à velocidade . Assim: v₃

-129.9 = − × × = − = − =a₃ v₃ RT₃ v₃ 1.4 287.1 178.3 397.6 v_m γ m/s

Note-se que o sinal negativo no valor da velocidade calculada indica que esta extremidade se desloca no sentido oposto da frente do sistema de ondas de expansão. g) Na figura abaixo encontra-se representada a localização da onda de choque normal,

da superfície de contacto e do sistema de ondas de expansão ao longo do tempo:

onda de choque normal superfície

de contacto sistema de ondas de expansão

t

Problema 11 (Exame de 16/07/98)

Considere o tubo de choque representado na figura, o qual contém inicialmente duas quantidades de ar separadas por um diafragma, respectivamente à pressão de 3.37 MPa e 100 kPa. A temperatura é a mesma em ambos os compartimentos e igual a 20 ºC. O comprimento do tubo é de 10 m. Em determinado instante o diafragma rompe-se.

a) Representar esquematicamente (de forma qualitativamente correcta) as evoluções da temperatura e da velocidade do ar através do tubo de choque, logo após a rotura do diafragma, indicando todas as regiões relevantes e justificando;

b) Determinar os valores da pressão, da temperatura e da velocidade do ar a montante da onda de choque normal que se forma, antes de ocorrer a reflecção na extremidade do tubo;

c) Representar graficamente a localização da onda de choque normal, da superfície de contacto e do sistema de ondas de expansão em função do tempo, para um período suficientemente longo, de forma a considerar as reflecções nas extremidades;

d) No caso de se pretender efectuar um ensaio experimental de um modelo utilizando esta instalação de tubo de choque, onde (no interior do tubo) deveria ser colocado o modelo? Justificar. Nesse caso, de quanto tempo se disporia para a realização do ensaio?

e) Calcular os valores da pressão e da temperatura a montante da onda de choque normal reflectida na extremidade do tubo. Se o tubo fosse aberto nessa extremidade, em vez de ser fechado, quais seriam qualitativamente as diferenças no processo de reflecção da onda? p = 3.37 MPa T = 20 ºC p = 100 kPa T = 20 ºC diafragma 10 m Resolução:

a) Após a rotura do diafragma verifica-se a seguinte situação:

p₄ = 3.37 MPa T₄ = 293 K p₁ = 100 kPa T₁ = 293 K v_m vf v3 v2 vc v1 = 0 v₄ = 0

As evoluções correspondentes da temperatura e da velocidade do ar através do tubo de choque, para a situação esquematizada na figura anterior, encontram-se representadas nas figuras que a seguir se apresentam:

T x T₄ T₃ T₂ T₁ v x v₄ = 0 v₃ = v₂ v₁ = 0

b) O valor da pressão a montante da onda de choque normal é determinado, iterativamente, a partir da seguinte expressão:

(

)

4.5 4.5 100 kPa 1 2 1 1 1 2 1 1 030 . 0 3370 100 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 4 1 450 = × = ⇔ = ⇒                             ₋ + + − − − = = = − p p p p p p p p p p p p p γ γ γ γ γ γ

Por outro lado, a temperatura e a velocidade do ar a montante da onda de choque

normal são calculadas fazendo uso das tabelas correspondentes:

00 . 2 5 . 4 1 2 _{= ⇒ =} c M p p 686.3 = × × × = = = ⇒ v_c M_ca_c M_c γRT₁ 2.00 1.4 287.1 293 m/s       = × = ⇔ = − = = = × = ⇔ = ⇒ = m/s 667 . 2 3 . 686 667 . 1 667 . 2 K 293 687 . 1 687 . 1 00 . 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 429.0 494.3 v v v v v v T T T M c c c ρ ρ

c) De forma a representar graficamente a localização da onda de choque normal, da

superfície de contacto e do sistema de ondas de expansão em função do tempo, considerando as reflecções nas extremidades, é necessário calcular previamente algumas quantidades.

Velocidade de propagação da onda de choque: v_c =686.3 m/s (já calculada) Velocidade da superfície de contacto: v_sc = v₂ =429.0 m/s (imediato)

A velocidade da frente do sistema de ondas de expansão corresponde á velocidade do som na região 4, isto é:

1 . 343 293 1 . 287 4 . 1 4 4 = = × × = =a RT v_f γ m/s

Por sua vez, a temperatura do ar na região 3 pode ser calculada considerando uma expansão isentrópica: 8 . 164 3370 450 293 1.4 1 4 . 1 1 4 3 4 3  =      × =       = − − γ γ p p T T K

Conhecido este valor é possível calcular a velocidade da extremidade oposta do sistema de ondas de expansão, correspondendo à velocidade do som relativamente ao ar que se move na região 3, ou seja:

6 . 171 0 . 429 8 . 164 1 . 287 4 . 1 3 3 3 3− = − = × × − =− =a v RT v v_m γ m/s

Note-se que o sinal negativo no valor da velocidade calculada indica que esta extremidade se desloca no sentido oposto da frente do sistema de ondas de expansão. Quando a onda de choque normal atinge a extremidade direita (fechada) do tubo é reflectida em sentido contrário. Também neste caso é necessário tornar o problema estacionário, tal como ilustrado na figura seguinte:

2 2 T T _r = 2 2 p p _r = v_cr + v₂ v_cr 2r 1r

A velocidade de propagação da onda de choque normal reflectida pode ser calculada (para a situação acima esquematizada) fazendo uso da expressão (ou tabelas) que fornece

a razão de velocidades através da onda de choque (estacionária) ou, alternativamente, utilizando a expressão seguinte:

(

)

(

1

)

(

1

)

1 1.732 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2  ⇒ =       + − + − + − = − _c c _c cr c cr cr _M M M M M M M _γ γ γ (solução positiva) 0 . 343 732 . 1 3 . 494 1 . 287 4 . 1 0 . 429 2 2 _{= ⇔ =} × × + = + = ⇔ cr cr _cr cr v _a v v v M m/s

Representação gráfica na figura abaixo:

t x +5 m -5 m 0 v_cr v_sc v_c v_m vf

d) No caso de se pretender efectuar um ensaio experimental utilizando esta instalação, o modelo deveria ser colocado no ponto onde se obtivessem condições de escoamento supersónico constantes durante o maior período de tempo. Designando esta posição por e o período de tempo por t , a situação encontra-se esquematizada na figura seguinte: m x _max

(

)

3 2 3 1 2 1 t t t t t t t_max + = − − + = 3 1 7.285 10 3 . 686 5 5 _{= = × −} = c v t s m 125 . 3 10 285 . 7 0 . 429 3 1 1 = × × = ⋅ =v t − x _sc t x +5 m v_cr v_sc v_c 0 x1 xm xsc x t_max t3 t₂ t₁

Da figura anterior podem retirar-se as relações seguintes:

(

)

[

]

sc sc cr sc sc cr cr cr sc sc x x x v v x x t v t v x t v x − − = ⇒     − − = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ = 1 1 2 2 2 5 5       = + = = − − = = ⇒ m m 833 . 0 5 m 042 . 1 1 1 4.167 sc m sc cr sc x x x x x x x          × = + = × = = × = = ⇒ − − s s 10 214 . 1 s 10 429 . 2 3 2 3 3 3 2 3 -10 3.643 t t t v x t v x t max c cr sc sc

e) Os valores da pressão e da temperatura a montante da onda de choque normal reflectida na extremidade do tubo são calculados fazendo uso das tabelas aplicáveis a onda de choque normal, isto é:

       = × = ⇒ = = × = ⇒ = ⇒ = K 481 . 1 3 . 494 481 . 1 kPa 333 . 3 450 333 . 3 732 . 1 1 2 1 1 2 1 732.0 1500 r r r r r r cr T T T p p p M

Se o tubo fosse aberto na extremidade direita, em vez de ser fechado, a onda de choque normal seria reflectida na forma de um sistema de ondas de expansão, tal como ilustrado na figura seguinte:

Problema 12

Para o mesmo perfil alar do Probl. 8, calcular de novo os valores do coeficiente de pressão, mas utilizando agora a teoria potencial linearizada. Comparar os resultados agora obtidos com os anteriormente produzidos com base na teoria de choque-expansão.

Resolução:

De acordo com a Teoria Potencial Linearizada, o escoamento sobre o perfil alar evolui segundo uma série de expansões suaves, as quais podem ser consideradas expansões de Prandtl-Meyer. Em consequência deste facto, pode utilizar-se a Regra de Ackeret para calcular, de uma forma aproximada (e apenas para pequenas deflexões) o valor do coeficiente de pressão em função da deflexão local do escoamento θ , isto é:

1 2 2 ₋ = ∞ M p θ C

Aplicando aos dados do Probl. 8, por exemplo para x c =0.0, resulta:

rad 197 . 0 rad 180 31 . 11 31 . 11 0 . 0 ⇒ ₁= = × = = θ o π c x 0.228 = − × = − = ⇒ ∞ 2.0 1 197 . 0 2 1 2 2 2 1 1 M C_p θ

O procedimento é o mesmo para os restantes pontos usados na discretização do perfil alar. Apresenta-se abaixo uma tabela comparativa entre os valores obtidos através da Teoria de Choque-Expansão e os valores agora calculados com base na Teoria Potencial Linearizada:

c

x θ (º) C_p(ch. exp.) C_p(linear.) erro (%)

0.0 11.31 0.294 0.228 22.4 0.1 9.09 0.225 0.183 18.7 0.2 6.84 0.163 0.138 15.3 0.3 4.57 0.104 0.092 11.5 0.5 0.0 0.001 0.000 – 0.7 -4.57 -0.083 -0.092 10.8 0.8 -6.84 -0.117 -0.138 17.9 0.9 -9.09 -0.147 -0.183 24.5 1.0 -11.31 -0.175 -0.228 30.3

Note-se que o erro é naturalmente maior para maiores valores da deflexão local, os quais implicam também um maior afastamento da validade da Teoria Potencial Linearizada.