Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 1 INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS: UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO MÉDIO
Lilian Milena Ramos Carvalho1 Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
lmrc25@yahoo.com.br
Edson Rodrigues Carvalho2 Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
ercarv@yahoo.com.br
Eliane Rodrigues da Silva3 Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD
elianematematica2007@yahoo.com.br
Jackeline Aparecida Aguiar da Rocha4 Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD
jacke-menininha@hotmail.com
Rodrigo Soares Rodrigues5 Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD
rodrigo.sro@hotmail.com
Resumo: A importância de trabalhar-se a investigação em matemática se mostra através da
necessidade de auxiliar os alunos a desenvolverem suas capacidades de resolução de problemas, por meio da pesquisa e investigação. Neste contexto, as investigações matemáticas constituem uma das atividades que os alunos podem realizar e que se relaciona, de muito perto, com a resolução de problemas. Assim, a realização de investigações por parte dos alunos deve ser uma atividade freqüente e regular na sala de aula. Mas, para que isso aconteça é importante que os professores concebam projetos de trabalho nas suas escolas onde a atividade investigativa possa assumir uma presença importante. Deste modo, neste estudo é possível concluir que a exploração de investigações é uma experiência com várias potencialidades à altura do ensino da Matemática, pois, motiva os alunos; ajuda a estabelecer um ambiente em que os mesmos participam ativamente; e facilita a compreensão vivida de processos, idéias matemáticas e de atividades matemáticas. O objetivo deste trabalho é apresentar alguns conceitos relacionados à investigação matemática, e a partir disso, aplicar estes conceitos a uma situação problema em sala de aula relacionada com alguns tópicos de Matemática Financeira.
Palavras-chave: Investigações matemáticas; Prática em sala de aula; Ensino e
aprendizagem de matemática. 1 Orientadora do PIBID/UFGD 2 Colaborador do PIBID/UFGD 3
Ex-Bolsista do PIBID/UFGD e professora do Programa Mais Educação do MEC
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Ex-Bolsista do PIBID/UFGD e professora do Programa Mais Educação do MEC
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 2 O que é Investigação Matemática?
Segundo (Ponte, 2005, pg.13) “Investigar é procurar conhecer o que não se sabe”. Assim, fala-se em investigação a propósito de atividades que envolvem uma procura de informação, por exemplo, fazer uma investigação ou pesquisa na Internet.
De acordo com os matemáticos profissionais, investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades. Nesse sentido, uma investigação matemática desenvolve-se usualmente em torno de um ou mais problemas. Pode mesmo dizer-se que o primeiro passo de qualquer investigação é identificar claramente o problema a resolver. Logo, não é de admirar que, em Matemática, exista uma relação estreita entre problemas e investigações. Ponte, (2003, p. 9) afirma que
Investigar não representa obrigatoriamente trabalhar com problemas difíceis. Significa, pelo contrário, trabalhar com questões que nos interpelam e que se apresentam no início de modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo organizado.
(Ponte, 2003, p. 9) Portanto, numa investigação matemática o objetivo é explorar todos os caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada situação. É um processo divergente. Sabe-se qual é o ponto de partida, mas não se sabe qual será o ponto de chegada.
De uma forma geral, o conceito de investigação se refere ao processo: o mais importante é o processo do que o conteúdo; a abertura: admitem várias possibilidades de exploração; a criatividade e o fato de constituírem exemplos do que é a verdadeira Matemática.
Investigação Matemática e o Ensino
A investigação matemática tem sido uma das maneiras encontradas para ensinar e aprender matemática, respeitando o conhecimento do aluno já inserido no processo de trabalho e nas práticas sociais, como também a possibilidade de acesso às diversas áreas do conhecimento articulado a tais práticas, que podem contribuir para a construção da cidadania.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 3 A importância de trabalhar-se a investigação em matemática se mostra através da necessidade de auxiliar os alunos a desenvolverem suas capacidades de resolução de problemas, através da pesquisa e investigação.
Trabalhos sobre investigação matemática são relevantes porque as atividades podem proporcionar grande desafio aos alunos, entretanto, também são apontados como desafio aos sistemas educativos atuais. É tornar acessível esse tipo de experiências, não apenas a uma minoria privilegiada, mas a generalidade dos alunos, independente do nível de ensino em que esteja.
(Ponte, 1998, p. 43)
Assim, podemos dizer que a realização de uma investigação matemática envolve quatro momentos principais. O primeiro envolve o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões. No segundo momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. Já no terceiro inclui a realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas. E, finalmente, o último diz respeito à argumentação, demonstração e avaliação do trabalho realizado. Estes momentos surgem, muitas vezes, em simultâneo: a formulação das questões e a conjectura inicial, ou a conjectura e o seu teste, etc. De acordo com Ponte (2005, p.21) Cada um destes momentos pode incluir diversas atividades como se indica na Tabela 1.
Exploração e formulação de questões
Reconhecer uma situação problemática
Explorar a situação problemática
Formular questões
Conjecturas Organizar dados
Formular conjecturas (e fazer afirmações sobre uma conjectura) Testes e reformulação Realizar testes
Refinar uma conjectura Justificação e avaliação Justificar uma conjectura
Avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio Tabela 1. Momentos na realização de uma investigação.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 4 Para que a realização de atividades de investigação na aula de Matemática constitua realmente um momento de aprendizagem significativa para os alunos, torna-se necessário que o professor invista bastante na preparação dessas aulas. Além de preparar a tarefa, é necessário pensar na estrutura das aulas, por exemplo, no modo de trabalho dos alunos.
Se o professor der informação a menos, os alunos podem sentir-se perdidos e sem saber por onde começar. Se der informação a mais, pode proporcionar pistas desnecessárias, que distraem os alunos do que realmente interessa. Se der a informação estritamente necessária, sem qualquer ambiguidade, dá indiretamente pistas para a resolução da tarefa. Nesse sentido, o professor tem de manter um diálogo com os alunos enquanto eles vão trabalhando na tarefa proposta, e no final cabe-lhe conduzir a discussão coletiva. Assim, ao longo de todo este processo, precisa criar um ambiente propício à aprendizagem, estimular a comunicação entre os alunos e assumir uma variedade de papéis que favoreçam a sua aprendizagem. E durante a realização de uma investigação, o professor procura apoiar os alunos a progredir seu trabalho. Para que isso ocorra é preciso considerar dois aspectos: a exploração matemática da tarefa proposta e a gestão da situação didática, promovendo a participação equilibrada dos alunos na atividade da aula. De acordo com Ponte (2005, p.25),
(...) pode sempre programar-se o modo de começar uma investigação, mas nunca se sabe como ela irá acabar. A variedade de percursos que os alunos seguem os seus avanços e recuos, as divergências que surgem entre eles, o modo como a turma reage às intervenções do professor são elementos largamente imprevisíveis numa aula de investigação.
(Ponte, 2005, p.25) No entanto, uma das maneiras de apoiar o progresso dos alunos na sua atividade é através de perguntas adequadas. Outro aspecto do trabalho do professor é proporcionar informação útil aos alunos, ajudando-os a recordar ou compreender conceitos matemáticos e formas de representação importantes.
Os momentos de reflexão e apreciação do trabalho realizado desempenham um papel importante no processo de ensino-aprendizagem e também nas atividades de investigação.
Portanto, as atividades de investigação podem se apresentar como um instrumento importante para desestabilizar o sistema de crenças que por vezes parece engessar o
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 5 desenvolvimento do pensamento matemático. Atividades de investigação trazem potencialmente a possibilidade de propiciar ao estudante ter experiências matemáticas o que justifica que se investigue acerca de estudantes fazendo investigações matemáticas.
Exemplo do processo de investigação matemática – Relato de uma experiência em sala de aula
Realizamos este trabalho no ano de 2010 na Escola Estadual Ministro João Paulo dos Reis Veloso com os alunos do terceiro ano do ensino médio.
Com a intenção de efetuar um trabalho de investigação matemática, nós, acadêmicos do curso de Matemática – Licenciatura, da Universidade Federal da Grande Dourados, bolsistas do Programa de Iniciação á Docência (PIBID) da UFGD, desenvolvemos uma aula direcionada aos alunos do 3° ano do ensino médio, sob orientação da professora Angela Rosa Ceolin Farias e supervisora do PIBID, expondo situações problemas a partir de informações reais voltadas para alguns tópicos de matemática financeira, especificamente Regra de Três Simples e Juros Simples.
1. Exploração e formulação de questões
Primeiramente, antes de trabalharmos com alguns tópicos de matemática financeira com os alunos em sala de aula, começamos a buscar algumas informações com a professora sobre os mesmos. Dentre essas informações, perguntamos sobre o número de alunos e se os mesmos já estudaram sobre o conteúdo citado acima. Para nossa surpresa, a professora nos informou que os alunos não tinham noção sobre matemática financeira e que iria iniciar o conteúdo após a experiência.
Assim, para que os alunos tivessem um estímulo melhor para desenvolver a atividade de investigação que seria proposta, e como uma forma de deixá-los informados, pedimos para que os mesmos levassem para a sala de aula panfletos de várias lojas de móveis e eletrodomésticos. Nesse sentido, nosso intuito com esse tema foi desenvolver uma atividade em que os alunos pudessem investigar alguns dos tópicos relacionados à ementa da disciplina de matemática, como a Matemática financeira, e também se
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 6 informasse sobre os valores reais de cada item dos panfletos. Após isso, fomos para a sala de aula trabalhar com os alunos.
Inicialmente, verificamos que os alunos levaram os panfletos, conforme o combinado, e que os mesmos discutiam entre si os preços dos produtos que mais lhes chamavam a atenção, como por exemplo, os meninos se mostraram interessados para os itens eletrônicos (celulares, vídeo-games...) e as meninas para itens de eletrodomésticos (microondas, geladeiras...). Desse modo, percebemos que os discentes já se mostravam motivados para desenvolver a atividade que seria proposta para a aula.
Isto posto, propusemos aos alunos a análise de uma tarefa de investigação em matemática financeira baseado nos dados dos panfletos. Assim, pedimos aos mesmos que analisassem os itens e comparassem os preços à vista e a prazo.
O trabalho dos alunos ocorreu em duas aulas de cinqüenta minutos cada. Na primeira aula, trabalharam em quatro grupos de cinco pessoas com o material e produziram um relatório escrito que foi entregue a nós e a professora para diagnóstico.
A segunda aula foi destinada a uma discussão com toda a turma baseada no relatório dos alunos. Essa discussão gerou as seguintes intervenções:
Perguntamos explicitamente aos alunos qual seria a vantagem de uma compra a prazo ou a vista de acordo com os valores e juros dos variados itens dos folhetos.
Como os mesmos expressariam essas diferenças matematicamente?
Em princípio, questões como estas não deveriam ser colocadas explicitamente. Do ponto de vista epistemológico, os alunos deveriam (eles próprios) tomar a iniciativa de colocarem estas questões.
Contudo, na prática, o professor tem de gerir uma situação onde há uma tensão entre tarefas demasiadamente estruturadas (as quais podem impedir os alunos de fazer as suas próprias explorações) e problemas muito abertos (os quais podem levar o aluno a não fazer nada ou apenas a uma exploração muito pobre). A decisão depende de vários fatores, nomeadamente, da experiência prévia dos alunos com investigações matemáticas.
(Fonseca, 1999, pg. 3) Assim, diante das intervenções, os alunos começaram a formular suas próprias teorias e fazerem analogias tendo por base os produtos dos folhetos das lojas.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 7 De fato, um dos grupos, liderado pelo aluno Jim, chegou à conclusão, analisando a primeira página do anúncio da loja X, que o desconto médio dos produtos daquela loja, caso a compra fosse a vista era de R$ 73,47.
2. Conjecturas, Testes e Reformulação
Para que realmente tivessem certeza de que a formulação da questão estava sendo interpretada coerentemente, o grupo mencionado anteriormente resolveu trabalhar apenas com um produto do folheto.
Assim, optaram pelo produto mais caro, no caso, um conjunto estofado e perceberam, por uma análise semelhante à anterior, que havia uma grande diferença na comparação entre o preço à vista e o preço a prazo6. A diferença em questão era de R$ 408,00, equivalente a um aumento de aproximadamente 52,3% do preço original do produto (R$780,00). A seguir, explicitamos os procedimentos desenvolvidos por este grupo particular a fim de ilustrar a metodologia proposta.
Considerando o valor da parcela a prazo em 12 × 99, 00, temos:
1188 99 12
Logo, concluímos que o valor do produto a prazo é de R$ 1.188,00.
Agora, vamos calcular a diferença entre o preço a prazo e o preço a vista do produto, sabendo que o preço à vista é de R$ 780,00. Assim, temos:
408 780 1188
Portanto, a diferença entre o preço a prazo e a vista do produto é de R$ 408,00. Aplicando Regra de Três Simples podemos encontrar a porcentagem da diferença entre o valor a prazo e a vista do produto:
R$ % 780,00 100 408,00 x
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 8 3 , 52 00 , 780 00 , 800 . 40 00 , 800 . 40 00 , 780 100 00 , 408 00 , 780 x x x x
Logo, temos que a diferença entre o preço a prazo e o preço a vista do produto equivale a um aumento de aproximadamente de 52,3%.
3. Justificação e avaliação
Considerando o trabalho desenvolvido pelos grupos de alunos do 3º. ano do ensino médio, observamos que os membros dos mesmos não tiveram grandes dificuldades em suas investigações, interagindo coletivamente na busca de suas próprias conclusões. Em particular, isto ficou evidente pela conclusão a que chegaram os membros do grupo liderado pelo aluno Jim, referindo-se ao produto mais caro da loja X:
Com essa diferença (R$408,00), poder-se-ia optar por 28 produtos do mesmo anúncio - em algumas situações podendo levar 2 produtos - demonstrando que, nesse caso, seria mais vantajoso a compra à vista, pois além de levar o produto em questão, poder-se-ia acrescentar até 2 produtos ao carrinho. Acontece que nem sempre tal escolha é viável, devido à renda de muitos compradores, que torna difícil a tarefa de poupar dinheiro para uma compra à vista.
Considerações Finais
Com o desenvolvimento deste trabalho, foi possível observar que as atividades investigativas podem desenvolver algumas competências como: conjecturar, argumentar, justificar e deduzir matematicamente. Nesse sentido, a realização de trabalho de cunho investigativo, constitui uma experiência tão fundamental para a aprendizagem matemática do aluno, como para o desenvolvimento profissional do professor. Desta maneira, pode-se dizer que as investigações, de maneira geral, quando adotadas dentro da sala de aula fazem com que os alunos e o professor entrem em concordância, transformando a aula num ambiente agradável a todos. Assim, a participação dos alunos na discussão do tema
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 9 abordado propiciou uma interação proveitosa de ensino-aprendizagem que resultou no êxito do empreendimento e na certeza de que os objetivos do trabalho foram atingidos. Portanto, esse exemplo de aula, mostra que é possível recorrer a novas metodologias e aplicá-las nas salas de aulas.
Referências Bibliográficas
FONSECA, H., & ABRANTES, P. (1999). Investigações em geometria realizadas pelos
alunos. In P. Abrantes, J. P. Ponte, H. Fonseca, & L. Brunheira (Eds.), Investigações
matemáticas na aula e no currículo (pp. 183-188). Lisboa: Projecto MPT e APM.PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula.Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLVIVEIRA, H. A aula de investigação. In:___.Investigações matemáticas na sala de aula. 1. ed. Belo Horizonte-MG: Autêntica,2005. p. 25-53.
PONTE, J. P.; BROCARDO, J. ; OLVIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de
aula. 1ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
PONTE, J. P.; OLIVEIRA, H.; VARANDAS, J. M.; BRUNHEIRA, L. O trabalho do
