Lista 34 Radiciação II

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Lista 34

Radiciação II

Propriedades dos radicais, operações com

radicais e Radiciação

Propriedades dos radicais

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs 27 – 29. Adaptado.

Propriedade I

Considerando o radical 53 3, temos: 53 3 = 533 = 51 = 5 Da mesma forma: 54 4 = 5 e (-5)3 3 = -5 mas (-5)4 4 = 5, pois (-5)4_{= (-5) . (-5) . (-5) . (-5) = 625 e 625}4 = 5.

Ao calcular (-5)3 3, estamos extraindo uma raiz de índice ímpar de um número negativo, ou seja, -1253 . O resultado é um número negativo, -5, pois (-5)3 = -125.

Entretanto ao calcular (-5)4 4, extraímos a raiz de índice par de um número positivo, isto é 6254 , que é 5, positivo, pois 54 = 625.

De modo geral:

• Se n é um número natural ímpar, então an n

= a, sendo a um número real;

• Se n é um número natural par não nulo, então an n

= |a|, sendo a um número real.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 01: 23 3 = 2. Exemplo 02: 3 (-2)3

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@viviteajuda facebook.com/viviteajuda Exemplo 03: 52 = |5| = 5. Exemplo 04: (-5)2 = |-5| = 5.

Propriedade II

Observe: 38 12 = 3128 = 3 2 3 = 33 2 Assim: 12 38 = 12 : 4 38 : 4 = 33 2. Ou seja:

Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera, ou seja:

am

n

= n : p am : p_,

sendo a um número real positivo, m um número inteiro, n um número natural não nulo e p divisor de m e n.

Essa propriedade permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-los em radicais mais simples e equivalentes aos radicais dados.

Vamos, como exemplo, simplificar os seguintes radicais:

Exemplo 05: 12 29 = 12 : 3 29 : 3 = 24 3 Exemplo 06: 20 715 = 20 : 5 715 : 5 = 74 3 Exemplo 07: 1256 = 56 3 = 6 : 3 53 : 3 = 5 Escrevendo na forma de potência Simplificando a

fração do expoente Escrevendo na forma de raiz

Dividindo o índice e o expoente por 3, que é divisor de 12 e de 9

Decompondo 125 em fatores

Dividindo o índice e o

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Propriedade III

Observe: 3 . 5 = 3 . 5 12 = 3 1 2 . 5 1 2 = 3 . 5

Em geral, sendo a e b números reais positivos e n um número natural não nulo, temos:

a . b

n

= an

. bn

Ou seja, o radical de um produto é igual ao produto dos radicais.

Veja outros exemplos:

Exemplo 08: 4 . 33 = 43 . 33 Exemplo 09: 7 . 105 = 75 . 103

Propriedade IV

Observe: 2 3 = 2 3 1 2 = 2 1 2 312 = 2 3

Em geral, sendo a e b números reais positivos, b ≠ 0, e n um número natural não nulo, temos:

a b n = a n b n

Ou seja, o radical de um quociente é igual ao quociente dos radicais.

Veja outros exemplos:

Exemplo 10: 2₇ = 2₇ . Exemplo 11: 3 5 3 = 33 5 3 .

Operações com radicais

Adição e subtração

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs 30 e 31. Adaptado.

Acompanhe três formas de efetuar a adição e a subtração com radicais.

1ª forma

Substituímos as raízes por seus valores e fazemos os cálculos indicados. Por exemplo:

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Exemplo 13: 83 + 164 = 2 – 2 = 0.

Exemplo 14: - 5 0,1253 + 2 1,693 = -5 . 0,5 + 2 . 1,3 = -2,5 + 2,6 = 0,1.

2ª forma

Havendo radicais semelhantes, ou seja, com radicando e índice iguais, podemos somar seus coeficientes (números que estão o multiplicando) e conservar o(s) radical(is). Por exemplo:

Exemplo 15: 103 2 + 43 2 - 3 2 = (10 + 4 – 1) 3 2 = 133 2.

Exemplo 16: 3 5 + 2 7 - 5 5 + 7 + 4 7 = (3 – 5) 5 + (2 + 1 + 4) 7 = -2 5 + 7 7

A expressão -2 5 + 7 7 não pode mais ser reduzida, porque seus termos não têm radicais iguais. Contudo, se desejarmos ou, se necessário for, podemos encontrar um valor aproximado para ela.

Como 5 ≅ 2,2 e 7 ≅ 2,6, temos: -2 5 + 7 7 ≅ - 2 . 2,2 + 7 . 2,6 -2 5 + 7 7 ≅ 13,8.

3ª forma

Depois de simplificar os radicais, obtendo radicais semelhantes, procedemos como na 2ª forma.

Exemplo 17: 18 + 50 = 2 . 32 + 2 . 52 = 3 2 + 5 2 = 8 2.

Exemplo 18: 2 27 + 5 12 - 2 75 = 2 . 3 . 32 + 5 . 22 . 3 - 2 . 3 . 52 = 2 . 3 3 + 5 . 2 3 - 2 . 5 3 = 6 3 + 10 3 - 10 3 = 6 3.

Multiplicação

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Pág 32. Adaptado.

Para multiplicar radicais de mesmo índice, aplicamos a Propriedade III dos radicais:

a . b

n

= an

. bn ,

sendo n um número natural não nulo e a e b números reais positivos.

Logo, para multiplicar radicais de mesmo índice, devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando, sempre que possível, o resultado obtido. Veja os exemplos: Exemplo 19: 24 . 84 = 2 . 84 = 164 = 24 4 = 2. Exemplo 20: -5 3 . 3 2 = (-5 . 3) 3 . 2 = -15 6 Radicais semelhantes Somamos os

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@viviteajuda facebook.com/viviteajuda Exemplo 21: 2 . ( 2 + 2) = 4 + 2 2 = 2 + 2 2 Exemplo 22: (5 + 7) . (2 - 7) = 5 . 2 - 5 7 + 2 7 - 72 = 10 - 5 7 + 2 7 – 7 = 3 - 3 7

Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da multiplicação, reduzimos esses radicais a um mesmo índice. Veja, por exemplo, como fazemos a redução dos radicais 23 2 e 34 a um mesmo índice:

22 3 = 223 = 2 8 12 = 12 28 3 4 = 314 = 3 3 12 = 12 33

Então, multiplicamos esses dois radicais: 22

3

. 34 = 12 28 .12 33 = 12 28 . 33 = 691212

Observe que, no desenvolvimento acima, os números considerados são positivos. Mas também poderíamos ter, por exemplo:

Exemplo 23: -53 . 23 = (-5) . 23 _{= -10}3

.

Exemplo 24: -273 . -83 = (-27) . (-8)3 = 2163 = 6.

Divisão

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs 32 e 33. Adaptado.

Para dividir radicais de mesmo índice, aplicamos a Propriedade IV dos radicais: Aplicando a propriedade distributiva Aplicando a propriedade distributiva Escrevemos os radicais na forma de potência Determinamos, no expoente, frações equivalentes de mesmo denominador Escrevemos as potências na forma de radical

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@viviteajuda facebook.com/viviteajuda a b n = na b n ,

sendo n um número natural não nulo, a e b números reais positivos.

Logo, para dividir radicais de mesmo índice, devemos conservar o índice e dividir os radicandos, simplificando, sempre que possível, o resultado obtido.

Veja os exemplos:

Exemplo 25: 203 : 103 = 20 : 103 = 23 . Exemplo 26: 28 : 7 = 28 : 7 = 4 = 2.

Exemplo 27: 30 15 : 5 3 = (30 : 5) 15 : 3 = 6 5.

Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da divisão, reduzimos esses radicais a um mesmo índice.

Veja um exemplo:

Exemplo 28: 2 : 23 = 26 3 : 26 2 = 26 .

Potenciação

Observe: 3

5 4

= 35 . 35 . 35 . 35 = 3 . 3 . 3 . 35 = 35 4 Então 5 3 4 = 35 4.

Para elevar um radical a uma potência, basta elevar o radicando à potência indicada. Veja os exemplos: Exemplo 28: 2 3 = 23 = 22 . 2 = 2 2. Exemplo 29: 3 9 2 = 3 32 2 = 3 32 2 = 33 4 = 33 3 . 3 = 3 33 . Exemplo 30: 4 5 3 = 43_{. 5}3_{= 64 . 5}2_{. 5 = 64 . 5 5 = 320 5.}

Radiciação

Observe: 62 3 5 = 62 1 3 5 = 623 5 = 623 1 5 = 6152 = 15 62 75 4 3 = 75 1 4 3 = 754 3 = 754 1 2 3 = 758 3 = 758 1 3 = 7245 = 24 75

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Para extrair a raiz de um radical, devemos multiplicar os índices desses radicais e conservar o radicando, simplificando o radical obtido sempre que possível (considerando o radicando um número real positivo e os índices números naturais não nulos).

Veja alguns exemplos:

Exemplo 31: 3 7 = 2 . 3 7 = 76 Exemplo 32: 3 52 = 2 . 3 . 2 52 = 12 52 = 56 Exemplo 33: 4 2 53 = 3 23 . 5 4 = 4 . 2 . 38 . 5 = 24 40

Racionalização de denominadores

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Pág 38 e 39. Adaptado.

Considere o quociente de 2 por 3. Ele pode ser indicado por 2₃.

Um quociente não se altera quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número não nulo. Veja o que acontece quando multiplicamos os dois termos da expressão 2₃ por 3:

2 3 = 2 . 3 3 . 3 = 2 3 3 2 = 2 3 3

Obtemos uma expressão com denominador racional. A esse procedimento chamamos de racionalização de denominadores.

É mais fácil efetuar cálculos com radicais quando eles não estão no denominador. Por isso, quando necessário, racionalizamos o denominador de uma expressão fracionária.

Veja outros exemplos a seguir.

Exemplo 34: Racionalizaremos o denominador da expressão _{3 2}2 . Multiplicando os dois termos dessa expressão por 2, temos:

2 3 2 = 2 . 2 3 2 . 2 = 2 2 3 . 22 = 2 2 3 . 2 = 2 3 .

Exemplo 35: Racionalizaremos o denominador da expressão 2

72

5 .

Para multiplicar os dois termos da expressão, convém escolher um número que multiplicado por 75 2 resulte em 75 5, isto é, 7. Esse número é o quociente 75 5 : 75 2 = 75 3.

Logo, multiplicando os dois termos da expressão por 75 3, temos:

2 72 5 = 2 . 75 3 72 5 . 75 3 = 2 . 75 3 72 . 73 5 = 2 . 75 3 75 5 = 2 75 3 7 .

Exemplo 36: Racionalizaremos o denominador da expressão 2

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Neste caso convém aplicar o produto notável* (a + b)(a – b) = a2_{– b}2_.

Multiplicando os dois termos da expressão por 7 + 3, temos:

2 7 - 3 = 2 . ( 7 + 3) 7 - 3 . ( 7 + 3) = 2( 7 + 3) 7 2- 32 = 2( 7 + 3) 7 - 3 = 2( 7 + 3) 4 = 7 + 3 2 .

* Estudaremos este tema no sábado!

Exemplo 37: Simplificaremos a expressão abaixo.

2 7 + 2 - 7 7 - 2 = 2 . ( 7 – 2) - 7 . ( 7 + 2) ( 7 + 2) . ( 7 – 2) = 2 7 – 4 – 7 - 2 7 7 - 2 7 + 2 7 – 4 = -11 7 - 4 = - 11 3 .

Exercícios

Nos exercícios 1 – 39, efetue.

1. 81 + 64 + 100 2. 36 - 400 + 16 3. 643 + 273 + 83 + 13 4. 64 - 144 + 256 5. 169 - 81 + 36 6. 2 643 - 3 273 7. 4 3 - 7 3 + 9 3 - 3 8. 10 5 - 2 5 + 16 5 - 4 5 9. 4 23 + 12 23 - 8 23 + 2 23 10. 4 32 - 20 8 + 3 50 11. 2 20 - 9 45 + 3 605 12. 98 + 5 147 13. 3 - 2 27 + 363 14. 12 + 18 - 48 - 50 15. 20 + 5 - 3 16. 4 2 . 5 17. 3 . 8 18. 6 . 10 19. 8 . 2 20. 5 . 125 21. 3 3 . 93 22. 2 . (3 + 2) 23. 4 3 ( 3 + 2) 24. 2 5 . (1 - 5) 25. 6 2 . ( 2 - 3) 26. 12 3 27. 28₇ 28. 32 2 29. ₂₁₆6 30. 3 2 6 31. 3 4 2 32. 7 4 33. 5 6 34. 6 -2 35. 10 -4

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@viviteajuda facebook.com/viviteajuda 36. 5 37. 3 2 38. 4 3 7 39. 10

40. Racionalize o denominador das expressões: a. 6₃ b. 1 2 c. 2 3 5 d. _{2 3}3 e. 5 5 3 f. 4 25 8 41. Simplifique as expressões: a. 2 2 - 2 2 b. 1 3 + 2 - 1 3 - 2 c. 6 + 11 . 6 - 11 6 - 1 d. 2 3 + 1 2 3 + 1 - 4 3 13

42. (UFV) A expressão _{7+a- a}7 , em que a é um número real positivo,

equivale a: a. 7 b. 7+a + a c. 7 d. ₇7 e. 1 43. (UFMG) O valor de m = (2 8 + 3 5 - 7 2)( 72 + 20 - 4 2) é: a. 6 b. 6 6 c. 16 d. 18 e. 12 5

44. (PUC/MG) O valor da expressão y = 8 . 103 -3 . 5 . 10-3 é:

a. 40

b. 40 . 102

c. 40-2

d. 4 . 10-3

e. 40 . 10-3

45. (UNIFEI) Sejam A = x_y , B = 3 y_x2 e C = 6 x_y . Então, o produto A . B . C é

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@viviteajuda facebook.com/viviteajuda a. y3 b. x3 c. 3 x_y d. xy3

46. (UFPEL) O valor da expressão 1

4 0,5 ÷ 1 32 0,2 é: a. 0,125 b. 0,25 c. 0,5 d. 0,75 e. 1

47. (UECE) Considerando os números a = 5 + 3₂ e b = 5 - 3₂ , o valor de a2 –

b2 é:

a. 5 3 b. 2 3 c. 3

2 d.

3 4

48. (FUVEST) Qual é o valor da expressão 3 + 1_{3 - 1} + _{3 + 1}3 - 1 ?

a. 3 b. 4 c. 3 d. 2 _{e. 2} 49. (PUC/MG) Se x = 2 3 + 2 2 e y = 56 4 - 2 , então x + y é igual a: a. 22 b. 2 2 c. 8 2 d. 2 + 8 2 e. 160 + 4 2

50. (CESGRANRIO) Efetuando e simplificando 1

1 + x + 1 1 - x , obtemos: a. 1 1 – x2 b. 2 1 – x2 c. 1 1 – x d. 1 1 + x e. 2 1 - x

51. (PUC/RJ) Seja a = 12( 2 - 1), b = 4 2 e c = 3 3, então: a. a < c < b

b. c < a < b

c. a < b < c d. b < c < a

e. b < a < c

52. (PUC/RS) O valor numérico de 3₄ - x + 2x - 3₂ . 1 - 4x para x = ₁₂1 é:

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53. (UECE) Se p = 3 + 2 e q = 2 - 2, então, p . q – p é igual a: a. 1 - 2 2

b. 1 - 2

c. 1 + 2 d. 1 + 2 2

54. (FUVEST) Se a = 2 e b = 24 então, o valor de a . b é:

a. 84 b. 44 c. 8 d. 4 e. 48

55. (FCC/BA) Simplificando a expressão 9₂ - 2₉ , obtemos:

a. 3 – 2_{2 – 3} b. 7 2₆ c. 7 2₃ d. ₁₈2

Quer praticar um pouco mais?

Exercícios extras

Nos exercícios 56 – 96, efetue.

56. 25 + 273 + 814 57. 3 -64 + 64 + 646 58. 2 4,41 - 3 2,56 59. 6 103 - 2 103 - 3 103 + 103 60. 6 53 + 11 53 - 2 53 + 9 53 61. 3 2 - 2 23 - 13 23 + 44 23 62. 3 5 + 5 - 6 5 63. 4 2 + 6 3 - 2 2 + 9 3 64. 2 35 - 2 3 + 3 3 + 3 35 65. 3 + 2 + 7 - 5 2 66. 20 + 45 67. 4 63 - 7 68. 50 + 98 - 72 69. 12 + 75 + 108 70. 3 5 . 63 71. 2 . 8 72. 2 . 6 . 3 73. 5 . 10 74. 3 4 . 63 75. 2 . 53 76. 5 (1 + 5) 77. (3 2 - 2) . ( 2 + 3) 78. ( 3 + 2) . (2 3) 79. 12 : 3 80. 50 : 2 81. 12 -63 : 3 23

(12)

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@viviteajuda facebook.com/viviteajuda 82. 3 6 : 3 83. ( 15)2 84. 3 3 3 85. (3 7)2 86. 3 34 4 87. ( 10)3 88. 2 33 4 89. 10 90. 3 3 91. 2 92. 3 3 3 93. 6 53 94. 3 2 24 95. 154 96. 4 3 5

97. Racionalize os denominadores das frações seguintes.

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Lista 34

Gabarito

Exercícios

1. 27 2. -10 3. 10 4. 12 5. 10 6. -1 7. 5 3 8. 20 5 9. 10 23 10. -9 2 11. 10 5 12. 7 2 + 35 7 13. 6 3 14. -2 3 - 2 2 15. 3 5 - 3 16. 4 10 17. 24 = 2 6 18. 60 = 2 15 19. 16 = 4 20. 625 = 25 21. 3 27 = 3 22. 2 3 + 2 23. 12 + 4 6 24. 2 5 - 10 25. 12 - 6 6 26. 4 = 2 27. 4 = 2 28. 16 = 4 29. 1₃₆ = 1₆ 30. 4 31. 2 23 32. 49 33. 125 34. 1₆ 35. 1 100 36. 4 5 37. 12 2 38. 24 7 39. 16 10 40. a. 2 3 b. ₂2 c. 2 5₁₅ d. ₂3 e. 53 2 f. 2 28 3 41. a. ₂2 b. -2 2₇ c. 6 + 1 d. 13 42. B 43. D 44. D 45. B 46. E 47. A 48. B 49. A 50. E 51. A 52. D 53. A 54. A 55. B

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Exercícios extras

56. 11 57. 6 58. -0,6 59. 2 103 60. 24 53 61. 30 23 62. -2 5 63. 2 2 + 15 3 64. 5 35 + 3 65. 10 - 4 2 66. 5 5 67. 11 7 68. 6 2 69. 13 3 70. 3 30 71. 16 = 4 72. 36 = 6 73. 50 = 5 2 74. 3 24 = 2 33 75. 6 200 76. 5 + 5 77. 7 2 78. 6 + 4 3 79. 4 = 2 80. 25 = 5 81. 4 -33 82. 6 4₃ 83. 15 84. 3 85. 63 86. 243 87. 10 10 88. 48 33 89. 4 10 90. 6 3 91. 8 2 92. 18 3 93. 4 5 94. 2 95. 15 96. 8 45 97. a. ₅5 b. 3₃ c. _{2 2}1 d. _{2 7}9

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Lista 34

Bibliografia

• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.

• BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011.

• Apostila de Matemática: Volume 01. Editora Bernoulli: Belo Horizonte, 2012.