APLICAÇÃO DO MÉTODO SEM MALHA EM PROBLEMAS DE
TORÇÃO E TEMPERATURA
Ken Daigo
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica, Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro.
Orientador:
José Antonio Fontes Santiago
Rio de Janeiro Setembro de 2017
APLICAÇÃO DO MÉTODO SEM MALHA EM PROBLEMAS DE TORÇÃO E TEMPERATURA
Ken Daigo
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL SETEMBRO DE 2017
iii Daigo, Ken
Aplicação do Método sem Malha em Problemas de Torção e Temperatura/ Ken Daigo. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2017.
X, 62 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: José Antonio Fontes Santiago
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Civil, 2017.
Referências Bibliográficas: p. 61-62.
1. Métodos sem Malha. 2. Método dos Mínimos Quadrados Móveis. 3. Método de Colocação. 4. Torção de Saint-Venant. I. Santiago, José Antonio Fontes II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil III. Aplicação do Método sem Malha em Problemas de Torção e Temperatura.
iv
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, por tudo.
Ao Prof. Santiago por toda a atenção dispensada e paciência durante o desenvolvimento deste trabalho.
Ao Prof. Valeriano e à Prof.ª Maria Cascão. Aos amigos e colegas que me incentivaram.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Aplicação do Método sem Malha em Problemas de Torção e Temperatura
Ken Daigo
Setembro/2017
Orientador: José Antonio Fontes Santiago Curso: Engenharia Civil
Apesar do avançado estágio de desenvolvimento em que se encontram os métodos tradicionais usando malha, a geração automatizada de malhas tridimensionais e modelagens associadas às mudanças na forma do domínio tornam-se desafios para análises eficientes de problemas mais complexos de Engenharia.
Neste trabalho são apresentados brevemente os fundamentos dos Métodos sem Malha empregando a formulação integral em um método específico baseado no Método de Colocação e na aproximação de funções de forma pelo Método dos Mínimos Quadrados Móveis.
A influência de alguns parâmetros deste método é estudada por meio de sua aplicação nos seguintes problemas bidimensionais governados pela equação de Poisson: (a) distribuição de temperatura no estado estacionário em placas e (b) problema de torção em barra de seção não-circular pela Teoria de Saint-Venant.
Os resultados obtidos por aplicações numéricas são comparados às soluções analíticas para avaliar a formulação do método selecionado.
Palavras-chave: Métodos sem Malha, Método dos Mínimos Quadrados Móveis, Método
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Civil Engineer.
Application of Meshless Method to Torsion and Temperature Problems
Ken Daigo
September/2017
Advisor: José Antonio Fontes Santiago Course: Civil Engineering
In spite of the advanced state of development of traditional mesh-based methods, the automated generation of three-dimensional mesh and modeling associated with changes in the domain shape become hurdles for efficient analysis of more complex engineering problems.
In this paper, the fundamentals of Meshless Methods are briefly presented by employing the integral formulation in a specific method based on the Collocation Method and the approximation of shape functions by the Moving Least Squares.
The influence of some parameters of this method is studied through its application in the following two-dimensional problems governed by the Poisson equation: (a) steady-state temperature distribution in plates and (b) Torsion of non-circular cross section bar under St.Venant Theory.
The results obtained by numerical applications are compared to the analytical solutions to assess the formulation of the selected method.
Keywords: Meshless Methods, Meshfree Methods, Moving Least Squares, Collocation
vii
Sumário
Lista de Figuras ... viii
Lista de Tabelas ... x
1. Introdução ... 1
2. Teoria de Torção de Saint-Venant ... 7
2.1. Função empenamento de Saint-Venant ... 7
2.2. Função de tensões de Prandtl ... 12
2.3. Comparação entre as duas formulações do problema ... 14
3. Aproximação de funções ... 15
3.1. Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MLS) ... 15
3.2. Derivadas das funções de forma do MLS ... 18
3.3. Funções Peso ... 20
3.4. Exemplos de aproximação de função ... 25
4. Formulação forte para método sem malha ... 27
4.1. Método dos Resíduos Ponderados ... 27
4.2. Delta de Dirac ... 29
4.3. Método de Colocação ... 30
5. Implementação numérica... 33
6. Aplicações numéricas ... 35
6.1. Distribuição de temperatura no estado estacionário em placas ... 35
6.1.1. Problema de Dirichlet ... 35
6.1.2. Problema de condições mistas ... 43
6.2. Problema de torção de barra retangular maciça ... 47
7. Considerações finais ... 60
viii
Lista de Figuras
Figura 1.1: Problemas recorrentes na malha de elementos finitos: (a) elementos mal conectados; (b) elementos distorcidos; (c) variação súbita de tamanho entre elementos 2 Figura 1.2: (a) MDF: discretização do domínio em grade estruturada; (b) MEF:
discretização do domínio segundo uma malha; (c) Meshless: Representação do domínio
por distribuição de pontos (FONSECA, 2011) ... 2
Figura 1.3: Suporte local de um ponto x qualquer ... 3
Figura 1.4: Fluxograma do MEF e métodos sem malha. Traduzido de LIU e GU (2005) ... 5
Figura 2.1: Seções planas de uma barra de seção circular maciça submetida à torção (commons.wikimedia.org/wiki/File:Torsion_cylindre_generatrices.svg) ... 7
Figura 2.2: Seções não-planas de barra retangular submetida à torção ... 7
Figura 2.3: Sistema de eixos considerado ... 8
Figura 2.4: Rotação de corpo rígido de uma seção em 𝑧 (adaptado de SILVA(2005)) ... 8
Figura 2.5: Simplificação para pequenas rotações ... 8
Figura 2.6: Elemento no contorno da seção ... 10
Figura 3.1: Funções peso e aproximação de uma função pelo MLS (BARROS, 2002) 15 Figura 3.2: Suportes circulares ... 16
Figura 3.3. Exemplo de função peso gaussiana bem definida para um suporte de raio 2 ... 21
Figura 3.4: Exemplos de função peso gaussiana mal definida para um suporte de raio 2 ... 22
Figura 3.5. Função gaussiana normalizada de constante 𝑐 = 0.4𝑅𝑗 (𝑅𝑗 = 2) ... 23
Figura 3.6. Função gaussiana normalizada com constante 𝑐 = 0.2𝑅𝑗 (𝑅𝑗 = 2) ... 23
Figura 3.7. Gráfico da derivada 𝑤𝑥𝑥 da função spline 4ª ordem ... 24
Figura 3.8: Influência dos raios dos suportes na aproximação ... 25
Figura 3.9: Erros de aproximação para diferentes funções peso – 25 pontos ... 26
Figura 4.1: Definição do problema ... 27
Figura 4.2: Funções degrau ... 29
Figura 4.3: Função 𝐻𝑚x − x𝑖 ... 29
Figura 6.1: PVC de Dirichlet ... 35
Figura 6.2: Distribuição de temperaturas - solução analítica ... 35
Figura 6.3: Distribuições nodais utilizadas... 36
Figura 6.4: Resultados obtidos em base quadrática ... 37
Figura 6.5: Erro absoluto médio × N ... 37
Figura 6.6: Resultados da solução aproximada em base quadrática sobre o plano x =2.5 ... 38
Figura 6.7: Resultados da solução aproximada em base quadrática sobre o plano y = 1 38 Figura 6.8: Resultados da solução aproximada em base linear sobre o plano x =2.5 .... 39
Figura 6.9: Resultados da solução em base linear sobre o plano x =2.5 ... 39
Figura 6.10: Influência dos suportes na solução em base cúbica sobre o plano x =2.5 . 40 Figura 6.11: Influência dos suportes na solução em base cúbica sobre o plano y =1 .... 40
Figura 6.12: Influência dos suportes na solução em base quadrática sobre o plano x =2.5 ... 41 Figura 6.13: Influência dos suportes na solução em base quadrática sobre o plano y=1 41
ix
Figura 6.14: Influência das funções peso na solução em base quadrática (x =2.5) ... 42
Figura 6.15: Influência das funções peso na solução em base quadrática (y =1) ... 42
Figura 6.16: PVC de condições mistas ... 43
Figura 6.17: Distribuição de temperaturas - solução analítica ... 43
Figura 6.18: Distribuições nodais do segundo exemplo ... 44
Figura 6.19: Resultados para diferentes distribuições nodais... 45
Figura 6.20: Resultados sobre o plano x = 0.80 ... 45
Figura 6.21: Resultados sobre o plano y=0.80 ... 46
Figura 6.22: Erro absoluto médio × N ... 46
Figura 6.23: Exemplo numérico ... 47
Figura 6.24: Função de tensões de Prandtl para 𝜃 = 1 ... 48
Figura 6.25: Função de tensões no plano x = 0 ... 48
Figura 6.26: Função de tensões no plano y = 0.20 ... 49
Figura 6.27: Função de tensões no plano x = 0 para rotação relativa calculada ... 50
Figura 6.28: Função de tensões no plano y = 0.20 para rotação relativa calculada ... 50
Figura 6.29: Gráfico das tensões cisalhantes 𝜏𝑧𝑥 e 𝜏𝑧𝑦 ... 51
Figura 6.30: Distribuição de tensões cisalhantes em seção retangular maciça ... 51
Figura 6.31: Tensão de cisalhamento 𝜏𝑧𝑥 no plano x = 0 ... 52
Figura 6.32: Tensão de cisalhamento 𝜏𝑧𝑥 no bordo y = -0.30 da seção ... 52
Figura 6.33: Tensão de cisalhamento 𝜏𝑧𝑦 no bordo x = 0.12 da seção ... 53
Figura 6.34: Tensão de cisalhamento 𝜏𝑧𝑦 no plano y = 0 ... 53
Figura 6.35: Empenamento da seção ... 54
Figura 6.36: Empenamento no bordo x = 0.12 ... 55
Figura 6.37: Empenamento no bordo y = -0.30 ... 55
Figura 6.38: Tensão de cisalhamento 𝜏𝑧𝑥 no plano x = 0 ... 56
Figura 6.39: Tensão de cisalhamento 𝜏𝑧𝑥 no bordo y = -0.30 ... 56
Figura 6.40: Tensão de cisalhamento 𝜏𝑧𝑦 no bordo x = 0.12... 57
x
Lista de Tabelas
Tabela 3.1: Erros da aproximação para base quadrática e 25 pontos ... 26
Tabela 6.1: Erros absolutos máximo e médio... 38
Tabela 6.2: Erros absolutos máximo e médio para diferentes tamanhos de suporte ... 41
Tabela 6.3: Erros absolutos máximo e médio para diferentes funções peso ... 42
Tabela 6.4: Erros absolutos máximo e médio para cada distribuição nodal... 46
Tabela 6.5: Constante de torção e rotação específica para o momento aplicado ... 49
Tabela 6.6. Tensões máximas em cada direção e erros relativos ... 54
Tabela 6.7: Tensões máximas em cada direção e erros relativos ... 58
Tabela 6.8: Constantes para solução aproximada de torção em seção retangular maciça (Fonte: UGURAL e FENSTER, 2003) ... 58
1
1. Introdução
Modelos matemáticos de problemas de engenharia são frequentemente descritos por uma equação diferencial válida em um domínio e associada a um conjunto de condições em seus bordos, chamadas condições de contorno. Uma função que satisfaça tanto à equação diferencial em cada ponto do domínio, quanto às condições de contorno, é solução do problema. Um modelo definido desta forma recebe o nome de Problema de Valor de Contorno (PVC).
O problema de torção de barras é um exemplo de PVC que tem solução analítica bastante simples para seções circulares, mas se torna difícil ou impossível para outros tipos de seção.
Quando soluções analíticas são inviáveis, a alternativa pode ser buscar soluções aproximadas a partir de métodos numéricos. Atualmente, graças à grande disponibilidade de computadores de bom desempenho e baixo custo aliados a programas confiáveis, os métodos numéricos têm sido amplamente utilizados na Engenharia.
Na solução de PVC destacam-se o Método das Diferenças Finitas, o Método dos Elementos de Contorno, o Método dos Elementos Finitos e os Métodos sem Malha.
O Método das Diferenças Finitas (MDF) tem como principal vantagem a facilidade de implementação. No entanto, a grade estruturada necessária para a discretização uniforme do problema limita sua eficiência e eficácia a domínios de geometria simples.
O Método dos Elementos de Contorno (MEC) vem ganhando destaque na solução de problemas de domínio infinito ou semi-infinito (usuais em geotecnia) pela simplicidade da discretização, além de apresentar ótima precisão em problemas com altos gradientes, com concentração de tensões e em problemas de Mecânica da Fratura (SOUZA, 2007). No MEC apenas o contorno é discretizado em nós e elementos, e a solução da equação diferencial no domínio é determinada a partir da solução no contorno. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é o método numérico mais conhecido e utilizado para a solução de PVC. Estudos acerca do método desde a década de 1950 (KEE et al., 2006) contribuíram para permitir sua aplicação em uma grande variedade de situações e apresentar formas de contornar muitas de suas limitações.
Entretanto, dificuldades são encontradas quando o MEF é aplicado a problemas que envolvam grandes deslocamentos, geometrias muito complexas e problemas associados à frequente redefinição da malha, chamada remeshing (ZHANG et al., 2001), que é indicado, por exemplo, para lidar com as descontinuidades que surgem em problemas de propagação de trincas. Além disso, a geração automatizada de malhas tem alto custo computacional, e a falta de geradores de malha 3D robustos e eficientes torna difícil a solução de problemas tridimensionais (ZHANG et al., 2001).
A discretização do domínio em uma malha de elementos cujos nós apresentam relação de dependência ou conectividade é o fundamento do método dos elementos finitos, mas gerar uma malha que represente bem o problema e seja de boa qualidade numérica é uma de suas maiores dificuldades, além de consumir muito mais tempo que o restante das etapas do método (BELYTSCHKO, 1994). Esta qualidade é influenciada por muitos
2
fatores, sendo os mais comuns relacionados a elementos distorcidos, variação súbita de tamanho, e bordos mal conectados, como ilustrado na Figura 1.1. Devidos cuidados numéricos, intrínsecos aos métodos com malha, se negligenciados, podem resultar em modelagens numéricas desastrosas (FONTES JUNIOR, 2014).
Figura 1.1: Problemas recorrentes na malha de elementos finitos: (a) elementos mal conectados; (b) elementos distorcidos; (c) variação súbita de tamanho entre elementos
A principal desvantagem do MEF, a necessidade de geração de uma malha adequada, motivou a exploração e o desenvolvimento de novos métodos numéricos para solução de PVC formulados a partir de pontos nodais desconexos. Estes são chamados de Métodos sem Malha, Meshless Methods, ou ainda Meshfree Methods.
Figura 1.2: (a) MDF: discretização do domínio em grade estruturada; (b) MEF: discretização do domínio segundo uma malha; (c) Meshless: Representação do domínio
por distribuição de pontos (FONSECA, 2011)
Método sem Malha é qualquer método para solução de PVC no qual o domínio do problema é representado por pontos distribuídos aleatoriamente sem nenhuma relação de conectividade pré-estabelecida.
Acredita-se que o primeiro trabalho sobre métodos sem malha tenha sido publicado ao final da década de 1970 por GINGOLD e MONAGHAN (1977), e independentemente por LUCY (1977) na proposição de smoothed particle
hydrodynamics (SPH). No entanto, a quantidade de publicações a respeito de métodos
sem malha desde sua primeira publicação foi mínima até a década de 1990. Muitos autores acreditam que só após a publicação de diffuse element method (DEM) por
3
NAYROLES et al. (1992) a ideia de um método sem malha despertou interesse na comunidade científica (AGRAWAL et al., 2014).
Pode-se citar como exemplos de outros métodos sem malha além do DEM:
Element-free Galerkin method (EFG), proposto por BELYTSCHKO et al. (1994) como
um aprimoramento do DEM; reproducing kernel particle method (RKPM), proposto por LIU et al. (1995); finite point method (FP), proposto por ONATE et al. (1996);
hp-Meshless cloud method proposto por LISZKA et al. (1996); além de dezenas de outros
métodos publicados por diversos autores.
O procedimento de solução de um problema por um método sem malha pode ser descrito em quatro etapas:
1. Representação do domínio
Nesta etapa são distribuídos pontos sobre o domínio e sobre o contorno para representar a região do problema. Estes pontos são chamados de ponto campo, e carregam as variáveis de campo (ex.: deslocamento 𝑢𝑖 de um ponto campo 𝐱𝐢= (x𝑖, y𝑖) ). A densidade de pontos depende da precisão desejada e informações do problema.
2. Definição das funções de forma (aproximação/interpolação)
Seja um ponto de interesse x = (x, y) onde se deseja conhecer a variável de campo 𝑢(𝐱). Define-se uma pequena região de influência chamada de suporte local (ou nuvem) centrada em x, na qual 𝑢(𝐱) é interpolado (ou aproximado) a partir dos pontos campo contidos nesta região por uma expressão geralmente do tipo 𝑢(𝐱) = ∑𝑛𝑘=1𝜑𝑘(𝐱)𝑢𝑘, onde
n é o número de pontos campo pertencentes ao suporte de 𝐱, 𝑢𝑖 é a variável de campo e 𝜑𝑖(𝐱) é a função de forma do i-ésimo ponto campo pertencente ao suporte. Uma
ilustração do suporte de um ponto x qualquer se encontra na Figura 1.3
Figura 1.3: Suporte local de um ponto x qualquer
A técnica mais utilizada para definir funções de forma é o Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MLS), que será visto no Capítulo 3. Uma outra técnica relativamente popular é o método de interpolação de pontos usando funções de base radial (RPIM).
4 3. Montagem das equações do sistema
Seja a solução aproximada definida na etapa anterior. Ao aplicá-la na equação diferencial do problema, tem-se um resíduo R(x) devido à solução não ser exata. Utiliza-se então o Método dos Resíduos Ponderados para Utiliza-se minimizar o resíduo R(x) e obter um sistema de equações da forma 𝑨𝒖 = 𝒃 a ser resolvido para as variáveis de campo 𝒖. Este procedimento será visto detalhadamente no Capítulo 4.
Os métodos sem malha podem ser classificados em duas categorias principais de acordo com a formulação da equação diferencial que governa o problema: formulação integral (também chamada de formulação forte) ou formulação fraca.
Na formulação integral, a solução deve atender a equação diferencial em todo o domínio, além das condições de contorno. Em outras palavras, é o PVC expressado em sua forma “original” no qual a solução deve ser diferenciável até a ordem da equação diferencial.
Na formulação fraca a ordem das derivadas da equação diferencial é reduzida, e consequentemente é enfraquecida a classe de diferenciabilidade requerida para a solução. Este enfraquecimento é feito na equação dos resíduos ponderados por meio da técnica de integração por partes.
Apesar de dispensarem a malha para construção das funções de forma, quando se usa suporte global para o método sem malha, a integração decorrente deste procedimento exige uma malha de células para solução numérica. Por este motivo não são considerados métodos verdadeiramente sem malha.
Os diversos métodos sem malha propostos diferenciam-se principalmente em dois aspectos: definição das funções de forma e a escolha da função de teste utilizada no Método dos Resíduos Ponderados.
A maioria dos métodos de formulação forte são baseados no Método da Colocação, que corresponde à deltas de Dirac utilizados como funções de teste no Método dos Resíduos Ponderados, enquanto grande parte dos métodos sem malha de formulação fraca são baseados no Método de Galerkin, quando as próprias funções de forma podem ser as funções de teste, ou outras, tais como a função peso, função degrau, etc.
4. Solução do sistema de equações
A solução do sistema de equações pode geralmente ser feita utilizando os métodos convencionais como Eliminação de Gauss e Fatoração LU. Deve-se atentar ao fato de que a matriz de coeficientes em Métodos sem Malha não é necessariamente simétrica, diferente do que acontece no MEF.
Na Figura 1.4 é mostrado um fluxograma comparativo entre a análise de um PVC pelo MEF e por um Método sem Malha.
5
Figura 1.4: Fluxograma do MEF e métodos sem malha. Traduzido de LIU e GU (2005)
A principal característica dos métodos sem malha está no tipo de interpolação utilizada para aproximar a variável de interesse do problema. Ela deve ser capaz de ser construída através de um conjunto aleatório inicial de pontos, e caso seja necessária uma melhor representação do domínio do problema, mais pontos podem ser acrescentados sem dificuldade alguma. Essa abordagem é totalmente diferente dos métodos tradicionais com malha, onde as funções de interpolação são baseadas a priori no tipo de elemento conexo utilizado (elemento triangular, quadrilátero, tetraédrico, etc.), ou seja, as funções de interpolação já estão pré-definidas para o conjunto de pontos que forma o elemento. (FONTES JUNIOR, 2014, p. 2)
Isto permite que a etapa inicial de representação do domínio e o refinamento sejam tarefas extremamente simples quando comparados à geração de malhas.
A desvantagem dos métodos sem malha se encontra no custo computacional associado às inversões e demais operações matriciais, e na instabilidade devido ao estágio de desenvolvimento recente. Por este motivo ainda são poucos os programas comerciais disponíveis no mercado.
O objetivo deste trabalho é apresentar de forma simplificada a formulação forte de um Método sem Malha, e sua aplicação em um exemplo prático de torção em barra não-circular e distribuição de temperatura em placas.
No Capítulo 2 é apresentada a Teoria de Torção de Saint-Venant.
No Capítulo 3 é estudado o Método dos Mínimos Quadrados Móveis, principal técnica utilizada para a definição de funções de forma em métodos sem malha. Além disso são discutidas algumas das principais funções peso utilizadas.
O Capítulo 4 mostra como se chegar ao sistema de equações de um Método sem Malha formulado a partir do Método de Colocação e das funções de forma definidas pelo Método dos Mínimos Quadrados Móveis.
6
O algoritmo implementado para solução dos exemplos numéricos é descrito no Capítulo 5.
Exemplos numéricos de problemas de distribuição de temperatura e torção de barra não-circular são resolvidos por método sem malha e comparados às soluções analíticas no Capítulo 6.
7
2. Teoria de Torção de Saint-Venant
2.1. Função empenamento de Saint-Venant
O problema de torção pura em barras de seção circular maciça ou tubular é bastante simples por causa das seções transversais permanecerem planas e manterem sua forma circular, como mostra a Figura 2.1.
Figura 2.1: Seções planas de uma barra de seção circular maciça submetida à torção (commons.wikimedia.org/wiki/File:Torsion_cylindre_generatrices.svg)
Já em seções não-circulares, as seções transversais não permanecem planas e as hipóteses consideradas na solução do problema de seção circular não são aplicáveis, tornando o problema mais complexo. A esta deformação das seções na direção longitudinal se dá o nome de empenamento.
A Figura 2.2 ilustra o empenamento de uma barra retangular submetida à torção. Saint-Venant apresentou em 1853 uma formulação consistente para o problema de torção em barras de seção qualquer baseada na Teoria da Elasticidade. A solução do problema por esta formulação se dá pelo processo semi-inverso, quando o campo de deslocamentos é fixado a priori e verifica-se o atendimento das equações de equilíbrio da Elasticidade e das condições de contorno.
Figura 2.2: Seções não-planas de barra retangular submetida à torção Hipóteses da Teoria de Saint-Venant:
1. As seções sofrem rotação de corpo rígido 2. Rotação específica 𝜃 =𝑑𝜙(𝑧)𝑑𝑧 = constante;
8
Seja o problema de torção pura aplicada nos extremos de uma barra com empenamento livre, e o sistema de eixos xyz como mostrado na Figura 2.3.
Figura 2.3: Sistema de eixos considerado
Para uma seção qualquer como a exibida na Figura 2.4, um ponto P é deslocado para P∗ devido à rotação de corpo rígido. Assumindo pequenos valores para o ângulo 𝜙,
a rotação do ponto P pode ser simplificada como mostra a Figura 2.5.
Figura 2.4: Rotação de corpo rígido de uma seção em 𝑧 (adaptado de SILVA(2005))
9
Pode-se então expressar os deslocamentos da seção em 𝑧:
𝑢 = −𝑟 𝜙(𝑧) sin 𝛼 (2.1)
𝑣 = 𝑟 𝜙(𝑧) cos 𝛼 (2.2)
Mas sabe-se da Figura 2.4 que:
sin 𝛼 =𝑦 𝑟 cos 𝛼 =𝑥 𝑟
(2.3)
Fazendo as substituições e considerando a hipótese de rotação específica constante, pode-se expressar os deslocamentos transversais como:
𝑢 = −𝑦 𝜙(𝑧) = − 𝜃 𝑦 𝑧 (2.4)
𝑣 = 𝑥 𝜙(𝑧) = 𝜃 𝑥 𝑧 (2.5)
O deslocamento longitudinal foi arbitrado por Saint-Venant como:
𝑤 = 𝜃 𝜔(𝑥, 𝑦) (2.6)
onde 𝜔(𝑥, 𝑦) é a função empenamento de Saint-Venant.
Desta forma, pela Teoria de Saint-Venant o campo de deslocamentos para uma barra de seção qualquer sob torção pura é definido pelas equações (2.4), (2.5) e (2.6).
As deformações são dadas por: 𝜀𝑥= 𝜕𝑢 𝜕𝑥= 0, 𝜀𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦= 0, 𝜀𝑥= 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0 𝛾𝑥𝑦= 𝜕𝑢 𝜕𝑦+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥= 0 𝛾𝑧𝑥 =𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 = 𝜃 ( 𝜕𝜔 𝜕𝑥− 𝑦) 𝛾𝑧𝑦 =𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑧 = 𝜃 ( 𝜕𝜔 𝜕𝑦 + 𝑥) (2.7)
De modo que as únicas componentes de tensão não-nulas são: 𝜏𝑧𝑥 = 𝐺 𝜃 (𝜕𝜔 𝜕𝑥 − 𝑦) 𝜏𝑧𝑦 = 𝐺 𝜃 ( 𝜕𝜔 𝜕𝑦 + 𝑥) (2.8)
10
As tensões em (2.8) devem satisfazer as três equações diferenciais do equilíbrio: 𝜕𝜏𝑧𝑥 𝜕𝑧 = 0 (2.9) 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑧 = 0 (2.10) 𝜕𝜏𝑧𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑦 = 0 (2.11)
As equações (2.9) e (2.10) são satisfeitas automaticamente, enquanto (2.11) requer que: 𝜕²𝜔 𝜕𝑥² + 𝜕²𝜔 𝜕𝑦² = 0 (2.12)
Em outras palavras, a função empenamento de Saint-Venant deve satisfazer à equação de Laplace.
Pelo equilíbrio de forças de um elemento no contorno da seção, como apresentado na Figura 2.6, chega-se à seguinte equação:
𝜏𝑥𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 𝜏𝑦𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 0 (2.13)
Figura 2.6: Elemento no contorno da seção
Substituindo (2.8) em (2.13): (𝜕𝜔
𝜕𝑥 − 𝑦) cos 𝛽 𝑑𝑠 𝑑𝑧 + ( 𝜕𝜔
𝜕𝑦 + 𝑥) sin 𝛽 𝑑𝑠 𝑑𝑧 = 0 (2.14) A condição de contorno pode então ser expressa por:
𝜕𝜔
11
onde 𝜕𝜔𝜕𝑛 é a derivada normal ao contorno e 𝛽 é o ângulo do vetor normal ao contorno em relação a x.
Resolvido o PVC pode ser estabelecida a relação entre o momento de torção e a rotação específica:
𝑇 = ∫ (𝑥 𝜏𝑧𝑦− 𝑦 𝜏𝑧𝑥) 𝑑𝐴
𝐴 (2.16)
Substituindo (2.8) em (2.16):
𝑇 = 𝐺 𝜃 𝐽 (2.17)
onde 𝐽 é a constante de torção:
𝐽 = ∫ (𝑥2 + 𝑦²) + (𝑥𝜕𝜔
𝜕𝑦 − 𝑦 𝜕𝜔 𝜕𝑥) 𝑑𝐴
𝐴 (2.18)
Observa-se que no caso particular de uma seção circular, 𝐽 se reduz ao momento de inércia polar devido à função empenamento ser nula.
Resumindo, tem-se um PVC de Neumann governado pela equação de Laplace: • Equação do equilíbrio: 𝜕²𝜔 𝜕𝑥² + 𝜕²𝜔 𝜕𝑦² = 0 • Condições de contorno: 𝜕𝜔 𝜕𝑛 = 𝑦 cos𝛽 − 𝑥 sin𝛽 • Campo de deslocamentos: 𝑢 = − 𝜃 𝑦 𝑧 𝑣 = 𝜃 𝑥 𝑧 𝑤 = 𝜃 𝜔(𝑥, 𝑦) • Tensões: 𝜏𝑧𝑥 = 𝐺 𝜃 (𝜕𝜔 𝜕𝑥 − 𝑦) 𝜏𝑧𝑦 = 𝐺 𝜃 (𝜕𝜔 𝜕𝑦 + 𝑥) • Constante de torção: 𝐽 = ∫ (𝑥2+ 𝑦²) + (𝑥𝜕𝜔 𝜕𝑦 − 𝑦 𝜕𝜔 𝜕𝑥) 𝑑𝐴 𝐴
• Relação entre momento de torção e rotação específica: 𝑇 = 𝐺 𝜃 𝐽
12
2.2. Função de tensões de Prandtl
A função de tensões de Prandtl é uma maneira alternativa de se resolver o problema de torção pela Teoria de Saint-Venant. Foi apresentada por Prandtl em 1903.
O campo de deslocamentos nas direções x e y é definido da mesma forma: 𝑢 = − 𝜃 𝑦 𝑧
𝑣 = 𝜃 𝑥 𝑧
Prandtl define uma função de tensões 𝛹 de forma que ela se relaciona com a tensão pelas seguintes equações:
𝜏𝑧𝑥 = 𝜕𝛹 𝜕𝑦 𝜏𝑧𝑦 = −𝜕𝛹 𝜕𝑥 (2.19)
Substituindo (2.19) nas três equações diferenciais do equilíbrio, observa-se que as mesmas são atendidas automaticamente, como é esperado para uma função de tensões.
As tensões não-nulas são: 𝜏𝑧𝑥 = 𝐺 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧) = 𝐺 𝜕𝑤 𝜕𝑥 − 𝐺 𝜃 𝑦 𝜏𝑧𝑦 = 𝐺 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑧) = 𝐺 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝐺 𝜃 𝑥 (2.20)
Substituindo (2.19) em (2.20), obtêm-se as expressões: 𝐺𝜕𝑤 𝜕𝑥 = 𝜕𝛹 𝜕𝑦 + 𝐺 𝜃 𝑦 𝐺𝜕𝑤 𝜕𝑦 = − 𝜕𝛹 𝜕𝑥 − 𝐺 𝜃 𝑥 (2.21)
Derivando a primeira equação em relação a y e a segunda em relação a x: 𝐺 𝜕²𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝜕2𝛹 𝜕𝑦2 + 𝐺 𝜃 𝐺 𝜕²𝑤 𝜕𝑦𝜕𝑥= − 𝜕2𝛹 𝜕𝑥2 − 𝐺 𝜃 (2.22)
Como 𝑤𝑥,𝑦 = 𝑤𝑦,𝑥, tem-se a equação de compatibilidade:
𝜕²𝛹 𝜕𝑥² +
𝜕²𝛹
𝜕𝑦² = −2𝐺 𝜃
13
Ou seja, a função de tensões de Prandtl deve satisfazer a uma equação de Poisson. A condição no contorno é definida pela mesma equação do equilíbrio de forças em um elemento no bordo da seção, como mostrado na Figura 2.6. Substituindo (2.19) em (2.13) obtém-se:
𝑑𝛹 = 0 (2.24)
O que significa que no contorno 𝛹 = 𝛹0 = cte . Convenientemente pode-se assumir que no contorno 𝛹0 = 0.
O deslocamento longitudinal é obtido por substituição de (2.19) em (2.20): 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = − 1 𝐺 𝜕𝛹 𝜕𝑥 − 𝜃 𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑥 = 1 𝐺 𝜕𝛹 𝜕𝑦 + 𝜃 𝑦 (2.25)
O momento de torção pode ser obtido substituindo (2.19) em (2.16) 𝑇 = 2 ∫ 𝛹 𝑑𝐴
𝐴 (2.26)
E a constante de torção é dada por: 𝐽 = 𝑇
𝐺 𝜃 (2.27)
Resumindo, trata-se de um PVC de Dirichlet governado pela equação de Poisson: • Equação de compatibilidade: 𝜕²𝛹 𝜕𝑥² + 𝜕²𝛹 𝜕𝑦² = −2𝐺 𝜃 • Condições de contorno: 𝛹 = 0 • Campo de deslocamentos: 𝑢 = − 𝜃 𝑦 𝑧 𝑣 = 𝜃 𝑥 𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = − 1 𝐺 𝜕𝛹 𝜕𝑥 − 𝜃 𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑥 = 1 𝐺 𝜕𝛹 𝜕𝑦 + 𝜃 𝑦 • Tensões: 𝜏𝑧𝑥 =𝜕𝛹 𝜕𝑦 𝜏𝑧𝑦 = −𝜕𝛹 𝜕𝑥
14 • Constante de torção: 𝑇 = 2 ∫ 𝛹 𝑑𝐴 𝐴 • Constante de torção: 𝐽 = 𝑇 𝐺 𝜃
2.3. Comparação entre as duas formulações do problema
As formulações do problema de torção pela função empenamento de Saint-Venant e pela função de tensões de Prandtl são equivalentes. No entanto, cada uma possui suas vantagens e desvantagens.
A solução pela função de tensões de Prandtl oferece a facilidade de se definir as condições de contorno e em se determinar a constante de torção. No entanto, o processo de obtenção do deslocamento longitudinal é trabalhoso.
Já a solução pela função empenamento fornece de forma direta o deslocamento na direção longitudinal em troca de uma definição mais trabalhosa das condições de contorno. A determinação da constante de torção também é difícil se comparada à solução de Prandtl.
Pode-se dizer que as duas soluções são complementares já que a obtenção de todas as respostas a partir de apenas uma das soluções nem sempre é uma maneira eficiente de se enfrentar o problema.
Deve-se atentar ao fato de que as expressões apresentadas são válidas para o caso de empenamento livre e torção aplicada na extremidade da barra. O efeito do empenamento impedido ou torção em seção intermediária é pequeno em barras de seção fechada, mas pode ser bastante considerável em barras de seção aberta.
15
3. Aproximação de funções
3.1. Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MLS)
O Método dos Mínimos Quadrados Móveis, ou Moving Least-Squares (MLS), é uma variante do conhecido Método dos Mínimos Quadrados e foi inicialmente proposto por LANCASTER e SALKAUSKAS (1981).
NEALEN (2004) explica que a ideia do MLS é aplicar um Método dos Mínimos Quadrados Ponderados em torno de um ponto fixo arbitrário em ℝ𝑑 e então mover este ponto ao longo do domínio, de modo que um ajuste por Mínimos Quadrados Ponderados é calculado para cada ponto individualmente.
Ou seja, para cada ponto fixado (chamado ponto base), é atribuída uma função de ponderação (função peso) que tem a finalidade de subdividir o domínio em suportes locais e quantificar a influência dos pontos campo contidos no suporte no ajuste da aproximação.
Figura 3.1: Funções peso e aproximação de uma função pelo MLS (BARROS, 2002) A Figura 3.1 ilustra a aplicação do MLS para aproximar uma função qualquer. Observa-se que a aproximação 𝑢̃(x) não necessariamente passa pelos pontos conhecidos, o que descaracteriza uma interpolação. No entanto, é comum o emprego deste termo para se referir à aproximação pelo MLS.
A descrição do método é encontrada abundantemente na literatura.
Seja uma função conhecida em determinados pontos do domínio formando os pares [𝐱̅j, 𝑢(𝐱̅j)]. A função aproximada pelo MLS é escrita da forma
𝑢̃(𝐱) = ∑ 𝑝𝑖(𝐱) 𝑎𝑖(𝐱) 𝑚 𝑖=1 (3.1) ou matricialmente 𝑢̃(𝐱) = 𝒑𝑇(𝐱) 𝒂(𝐱) (3.2)
onde m é o número de termos da base polinomial, 𝐱 é o ponto base, 𝑝𝑖(𝐱) são monômios que constituem a base, e 𝑎𝑖(𝐱) são os coeficientes a serem determinados.
16
Alguns exemplos de bases comumente utilizadas são a base linear:
𝒑𝑇 = (1, 𝑥); 𝑚 = 2 em 1-D 𝒑𝑇 = (1, 𝑥, 𝑦); 𝑚 = 3 em 2-D
E a base quadrática:
𝒑𝑇 = (1, 𝑥, 𝑥2); 𝑚 = 3 em 1-D 𝒑𝑇 = (1, 𝑥, 𝑦, 𝑥2, 𝑥𝑦, 𝑦2); 𝑚 = 6 em 2-D
Definindo suporte como o subdomínio onde 𝑢̃ é interpolado a partir de pontos 𝐱̅ , j pode-se reescrever a função aproximada 𝑢̃(𝐱, 𝐱̅ ) como: 𝐣
𝑢̃(𝐱, 𝐱̅j) = ∑ 𝑝𝑖(𝐱̅j) 𝑎𝑖(𝐱)
𝑚
𝑖=1
(3.3) A cada ponto x do domínio está associado um suporte, que geralmente tem formato circular ou retangular. Observa-se que ocorre superposição dos suportes na maioria dos casos, como mostra a Figura 3.2.
Figura 3.2: Suportes circulares
Os coeficientes 𝑎𝑖(𝐱) para uma aproximação local são determinados considerando n pontos dentro do suporte compacto 𝛺𝑘 ⊂𝛺 e podem ser obtidos a partir
da minimização da função resíduo quadrático 𝐽(𝐱), escrita como 𝐽(𝐱) = ∑ 𝑤(𝐱 − 𝐱̅j)[𝑢̃(𝐱, 𝐱̅j) − 𝑢(𝐱̅j)]2 𝑛 𝑗=1 (3.4) sendo:
n o número de pontos do suporte;
𝑤(𝐱 − 𝐱̅j) a função peso;
𝑢(𝐱̅j) o valor conhecido de u(x) no ponto 𝐱̅ . j
Substituindo (3.3) em (3.4) e definindo a notação 𝑢̅ = 𝑢(𝐱̅𝑗 j), obtém-se:
𝐽(𝐱) = ∑ 𝑤(𝐱 − 𝐱̅j) 𝑛 𝑗=1 [∑ 𝑝𝑖(𝐱̅j) 𝑎𝑖(𝐱) − 𝑢̅𝑗 𝑚 𝑖=1 ] 2 (3.5)
17 Pode-se reescrever (3.5) na forma matricial
𝑱 = (𝑷 𝒂(𝐱) − 𝒖̅)𝑇 𝑾(𝐱) (𝑷 𝒂(𝐱) − 𝒖̅) (3.6) sendo: 𝑷 = [ 𝑝1(𝐱̅1) 𝑝1(𝐱̅1) ⋯ 𝑝𝑚(𝐱̅1) 𝑝1(𝐱̅2) 𝑝1(𝐱̅2) ⋯ 𝑝𝑚(𝐱̅3) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑝1(𝐱̅n) 𝑝1(𝐱̅n) ⋯ 𝑝𝑚(𝐱̅n) ] (3.7) 𝑾(𝐱) = [ 𝑤(𝐱 − 𝐱̅1) 0 ⋯ 0 0 𝑤(𝐱 − 𝐱̅2) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑤(𝐱 − 𝐱̅n) ] (3.8) 𝒖̅𝑇 = [ 𝑢̅ 1 𝑢̅2 … 𝑢̅𝑛 ] (3.9)
Os coeficientes de 𝒂 são aqueles que minimizam a função resíduo: 𝑑𝑱
𝑑𝒂= 0 (3.10)
Derivando, obtém-se a expressão
𝑷𝑇 𝑾(𝐱) 𝑷 𝒂(𝐱) − 𝑷𝑇 𝑾(𝐱) 𝒖̅ = 0 (3.11)
que pode ser reescrita como:
𝑨(𝐱) 𝒂(𝐱) − 𝑩(𝐱) 𝒖̅ = 0 (3.12)
onde:
𝑩(𝐱) = 𝑷𝑇 𝑾(𝐱) (3.13)
𝑨(𝐱) = 𝑩(𝐱) 𝑷 = 𝑷𝑇 𝑾(𝐱) 𝑷 (3.14)
sendo 𝑩 uma matriz (𝑚 × 𝑛) e 𝑨 uma matriz simétrica (𝑚 × 𝑚).
𝒂(𝐱) = 𝑨−𝟏(𝐱) 𝑩(𝐱) 𝒖̅ (3.15)
Substituindo (3.15) na equação (3.2), chega-se à expressão final para a função aproximada pelo MLS:
𝑢̃(𝐱) = 𝒑𝑇(𝐱) 𝑨−𝟏(𝐱) 𝑩(𝐱) 𝒖̅ (3.16)
Pode-se definir a função de forma (ou função de interpolação) 𝝋𝑇(𝑥) como:
18
e substituir (3.17) em (3.16), obtendo a expressão na forma matricial:
𝑢̃(𝐱) = 𝝋𝑇(𝐱) 𝒖̅ (3.18) ou na forma algébrica: 𝑢̃(𝐱) = ∑ 𝜑𝑘 𝑛 𝑘=1 (𝐱) 𝑢̅𝑘 (3.19)
Nota-se que a função de forma independe de 𝒖̅.
3.2. Derivadas das funções de forma do MLS
As derivadas de primeira e segunda ordem da função de forma 𝝋𝑇(𝐱) são necessárias para a solução de um PVC governado por equações diferenciais de até 2ª ordem pela formulação do método sem malha a ser utilizada neste trabalho.
A seguir poderá ser observado que a classe de diferenciabilidade da função de forma depende apenas da função peso.
A matriz P não depende de x, portanto: 𝜕𝑷 𝜕𝑥𝑘 = 𝜕²𝑷 𝜕𝑥𝑘2 = 0 (3.20) 𝜕𝑾(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 = [ 𝜕𝑤(𝐱 − 𝐱̅1) 𝜕𝑥𝑘 0 ⋯ 0 0 𝜕𝑤(𝐱 − 𝐱̅2) 𝜕𝑥𝑘 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜕𝑤(𝐱 − 𝐱̅n) 𝜕𝑥𝑘 ] (3.21) 𝜕²𝑾(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 = [ 𝜕²𝑤(𝐱 − 𝐱̅1) 𝜕𝑥𝑘2 0 ⋯ 0 0 𝜕²𝑤(𝐱 − 𝐱̅2) 𝜕𝑥𝑘2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜕²𝑤(𝐱 − 𝐱̅n) 𝜕𝑥𝑘2 ] (3.22)
19
Em seguida podem ser determinadas as derivadas das matrizes intermediárias. 𝜕𝑩 𝜕𝑥𝑘(𝐱) = 𝑷𝑇 𝜕𝑾 𝜕𝑥𝑘(𝐱) (3.23) 𝜕²𝑩 𝜕𝑥𝑘2(𝐱) = 𝑷𝑇 𝜕²𝑾 𝜕𝑥𝑘2 (𝐱) (3.24) 𝜕𝑨 𝜕𝑥𝑘(𝐱) = 𝑷 𝑇𝜕𝑾 𝜕𝑥𝑘(𝐱) 𝑷 = 𝜕𝑩 𝜕𝑥𝑘(𝐱) 𝑷 (3.25) 𝜕²𝑨 𝜕𝑥𝑘2(𝐱) = 𝜕²𝑩 𝜕𝑥𝑘2(𝐱) 𝑷 (3.26)
Finalmente, pode-se chegar às expressões das derivadas da função de forma: 𝜕𝝋𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 = 𝜕𝒑𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝑨−𝟏(𝐱) 𝑩(𝐱) + 𝒑𝑇(𝐱) 𝜕𝑨−𝟏(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝑩(𝐱) + 𝒑𝑇(𝐱) 𝑨−𝟏(𝐱)𝜕𝑩 𝜕𝑥𝑘(𝐱) (3.27) 𝜕²𝝋𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 = 𝜕²𝒑𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 𝑨−𝟏(𝐱) 𝑩(𝐱) + 𝒑𝑇(𝐱) 𝜕2𝑨−𝟏(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 𝑩(𝐱) + 𝒑𝑇(𝐱) 𝑨−𝟏(𝐱)𝜕2𝑩 𝜕𝑥𝑘2(𝐱) + 𝟐 [𝜕𝒑𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑨−𝟏(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝑩(𝐱) + 𝜕𝒑𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝑨−𝟏(𝐱) 𝜕𝑩 𝜕𝑥𝑘(𝐱) + 𝒑𝑇(𝐱)𝜕𝑨−𝟏(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑩 𝜕𝑥𝑘(𝐱)] (3.28)
Sendo as derivadas da matriz inversa 𝑨−𝟏 expressas como:
𝜕𝑨−𝟏(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 = −𝑨 −𝟏(𝐱)𝜕𝑨(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝑨 −𝟏(𝐱) (3.29) 𝜕²𝑨−𝟏(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 = −𝟐 𝜕𝑨−𝟏(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑨(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝑨 −𝟏(𝐱) − 𝑨−𝟏(𝐱)𝜕²𝑨(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 𝑨−𝟏(𝐱) (3.30)
As derivadas da solução aproximada podem ser expressas por: 𝜕𝑢̃(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 = 𝜕𝝋𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝒖̅ (3.31) 𝜕²𝑢̃(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 = 𝜕²𝝋𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 𝒖̅ (3.32)
20
3.3. Funções Peso
As funções peso são de grande importância para uma boa performance do método. Elas devem ser definidas de modo que sejam positivas, garantam que haja uma única solução 𝒂(𝐱), além de ter valores grandes para pontos 𝐱𝐣 próximos e valores pequenos para 𝐱𝐣 distantes. Ou seja, a função deve decrescer conforme a distância entre 𝐱 e 𝐱𝐣 aumentar. Por isso, consideram-se funções peso que dependam apenas da distância entre os dois pontos. (BELYTSCHKO et al., 1994)
𝑤𝑗 ≡ 𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) (3.33)
Desta forma, a aproximação ao redor de cada ponto base será bastante influenciada pelos pontos campo próximos, e menos influenciada conforme os pontos forem mais distantes. Isto garante o caráter local da aproximação.
Segundo GINGOLD e MONAGHAN (1982, apud BELYTSCHKO et al., 1996), as seguintes condições devem ser sempre respeitadas:
• 𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) > 0 no interior do suporte
• 𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) = 0 fora do suporte
• 𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) monótona decrescente a partir do ponto central 𝐱 • 𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) tem classe de diferenciabilidade suficiente
A definição do raio dos suportes é um parâmetro muito importante nos métodos sem malha, estando relacionado tanto à acurácia do método quanto à eficiência computacional. Na aproximação de funções por MLS o número de pontos no interior do suporte 𝑛 deve ser suficiente para garantir que a matriz 𝑨 seja inversível. Não há um valor teórico ótimo para 𝑛, e sua escolha depende do tipo de distribuição nodal e do número de termos da base polinomial 𝑚. A condição 𝑛 > 𝑚 é geralmente utilizada para garantir a existência de 𝑨−𝟏 e uma matriz 𝑨 bem condicionada. Suportes muito pequenos geram
matrizes singulares, enquanto suportes muito grandes geram resultados imprecisos e ineficientes devido à perda da localidade da interpolação. Sendo assim, busca-se o menor número de pontos no suporte que evite a geração de matrizes singulares (AMANI et al., 2012).
Sugere-se para cada suporte definir um raio inicial tal que 𝑛 = 𝑚, a ser aumentado gradualmente até que se obtenha uma matriz 𝑨 inversível e bem condicionada.
Uma das formas de se incrementar o raio até que este critério seja satisfeito é fazer
𝑅𝑗,novo = (1 + dr) 𝑅𝑗,anterior (3.34)
onde dr é uma constante.
A escolha da função peso é mais ou menos arbitrária desde que as condições supracitadas sejam respeitadas. Existem diversas funções peso recomendadas na literatura, sendo a seguir descritas algumas das mais comumente utilizadas.
21
Primeiramente define-se 𝑑𝑗 = 𝑑(𝐱 − 𝐱𝐣) como a distância euclidiana entre o
ponto base e um ponto campo:
𝑑𝑗 ≡ 𝑑(𝐱 − 𝐱𝐣) = √(x − xj)2+ (y − yj)2 (3.35) E 𝑅𝑗 o raio calculado para o suporte local de 𝐱.
• Função Gaussiana 𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) = {𝑒 −𝑑2𝜎 𝑗² se 𝑑 𝑗 ≤ 𝑅𝑗 0 se 𝑑𝑗 > 𝑅𝑗 (3.36) 𝜕𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥 = −(x − xj) 𝜎 ∙ 𝑒 −𝑑2𝜎 𝑗² (3.37) 𝜕²𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥² = [ 1 𝜎+ (x − xj)² 𝜎² ] ∙ 𝑒 −𝑑2𝜎 𝑗² (3.38) A constante 𝜎 deve ser definida de modo que 𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) seja uma função contínua.
Isto pode ser feito facilmente por meio de processo iterativo.
Seja por exemplo o suporte unidimensional de um ponto base 𝐱 centrado em x=0 e de raio 𝑅𝑗 = 2. A Figura 3.3 mostra uma função gaussiana cuja constante foi calculada por processo iterativo. Observa-se continuidade em todo o domínio e valores nulos somente para distâncias do centro a partir de 2, como se deseja para este suporte.
A Figura 3.4(a) mostra o gráfico de uma função peso gaussiana para a qual foi arbitrado um valor muito pequeno para a constante 𝜎, de modo que o suporte teve seu raio reduzido em mais da metade.
Já na Figura 3.4(b) utilizou-se um valor muito grande para 𝜎 , causando o surgimento de descontinuidades nos bordos do suporte.
22
Figura 3.4: Exemplos de função peso gaussiana mal definida para um suporte de raio 2
• Função Gaussiana Normalizada
𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) = { 𝑒−(𝑑𝑐 )𝑗 2 − 𝑒−( 𝑅𝑗 𝑐 ) 2 1 − 𝑒−( 𝑅𝑗 𝑐 ) 2 se 𝑑𝑗 ≤ 𝑅𝑗 0 se 𝑑𝑗 > 𝑅𝑗 (3.39)
A seguir definem-se as constantes:
𝑐1 = 1 1 − 𝑒−( 𝑅𝑗 𝑐 ) 2 (3.40) 𝑐2 = 𝑒−( 𝑅𝑗 𝑐 ) 2 1 − 𝑒−( 𝑅𝑗 𝑐 ) 2 (3.41)
As derivadas podem ser expressas por: 𝜕𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥 = −2 𝑐1 𝑐2(x − x𝑗)𝑒 −(𝑑𝑐 )𝑗 2 − 𝑐2 (3.42) 𝜕²𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥² = −2 𝑐1 𝑐4[𝑐2− 2(x − x𝑗)²]𝑒 −(𝑑𝑐 )𝑗 2 − 𝑐2 (3.43)
23
A constante c é geralmente tomada como 0.4𝑅𝑗 (KARUTZ, 2000 apud MOST e BUCHER, 2005).
De fato, para o mesmo suporte centrado em x = 0 e de raio 𝑅𝑗 = 2 do exemplo
anterior, a função gaussiana normalizada de constante 𝑐 = 0.4𝑅𝑗 é contínua em todo o
domínio e configura um suporte de raio 𝑅𝑗 = 2 como pode ser visto na Figura 3.5.
Figura 3.5. Função gaussiana normalizada de constante 𝑐 = 0.4𝑅𝑗 (𝑅𝑗 = 2) Valores menores que o sugerido por Karutz reduzem o raio do suporte, como pode ser observado na Figura 3.6.
Figura 3.6. Função gaussiana normalizada com constante 𝑐 = 0.2𝑅𝑗 (𝑅𝑗 = 2)
• Função spline cúbica
𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) = { 2 3− 4 ( 𝑑𝑗 𝑅𝑗) 2 + 4 (𝑅𝑑𝑗 𝑗) 3 se 𝑑𝑗 ≤ 𝑅𝑗 2 4 3− 4 𝑑𝑗 𝑅𝑗+ 4 ( 𝑑𝑗 𝑅𝑗) 2 −4 3( 𝑑𝑗 𝑅𝑗) 3 se 𝑅𝑗 2 < 𝑑𝑗 ≤ 𝑅𝑗 0 se 𝑑𝑗> 𝑅𝑗 (3.44)
24 𝜕𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥 = { −8(x − xj) 𝑅𝑗2 + 12(x − xj)𝑑𝑗 𝑅𝑗3 se 𝑑𝑗 ≤ 𝑅𝑗 2 −4(x − xj) 𝑅𝑗𝑑𝑗 + 8(x − xj) 𝑅𝑗2 − 4(x − xj)𝑑𝑗 𝑅𝑗3 se 𝑅𝑗 2 < 𝑑𝑗 ≤ 𝑅𝑗 0 se 𝑑𝑗 > 𝑅𝑗 (3.45) 𝜕²𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥² = { − 8 𝑅𝑗2+ 12 𝑅𝑗3 [𝑑𝑗+ (x − xj)² 𝑑𝑗 ] se 𝑑𝑗 ≤ 𝑅𝑗 2 −4(y − yj)² 𝑅𝑗𝑑𝑗3 + 8 𝑅𝑗2− 4 𝑅𝑗3[𝑑𝑗− (x − xj)² 𝑑𝑗 ]se 𝑅𝑗 2 < 𝑑𝑗 ≤ 𝑅𝑗 0 se 𝑑𝑗 > 𝑅𝑗 (3.46)
• Função spline 4º grau
𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) = {1 − 6 ( 𝑑𝑗 𝑅𝑗) 2 + 8 (𝑑𝑅𝑗 𝑗) 3 − 3 (𝑑𝑅𝑗 𝑗) 4 se 𝑑𝑗≤ 𝑅𝑗 0 se 𝑑𝑗> 𝑅𝑗 (3.47) 𝜕𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥 = 12(x − xj) 𝑅𝑗² {−1 + 2 𝑑𝑗 𝑅𝑗 − ( 𝑑𝑗 𝑅𝑗) 2 } (3.48) 𝜕²𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥² = 𝜕𝑤(𝐱 − 𝐱𝐣) 𝜕𝑥 1 (x − xj) +24(x − xj)²(𝑅𝑗 −𝑑𝑗) 𝑑𝑗𝑅𝑗4 (3.49)
Figura 3.7. Gráfico da derivada 𝑤𝑥𝑥 da função spline 4ª ordem
As funções spline possuem a vantagem de não requerer a prescrição de constantes como as funções gaussianas. No entanto, chama-se a atenção para a divisão por zero que ocorre no centro do suporte das derivadas de segunda ordem tanto na spline cúbica quanto
25
na spline de 4º grau, como pode ser visto na Figura 3.7. Um número grande deve ser arbitrado nestes pontos, que é a grande desvantagem das funções spline.
3.4. Exemplos de aproximação de função
Seja uma função f(x) = x(x − 4)(x + 2)² a ser aproximada no domínio [-3, 4] a partir de 12 pontos igualmente espaçados.
Deseja-se verificar a importância dos raios dos suportes na aproximação por MLS por meio de duas aproximações. Em uma delas o raio é calculado conforme sugerido no item 3.3 enquanto na outra aproximação é arbitrado um raio fixo para todos os suportes de valor maior que o intervalo de aproximação.
Em ambas as aproximações se utilizou base quadrática, função peso gaussiana normalizada e 12 pontos conhecidos da função f (x). Os resultados se encontram na Figura 3.8.
Figura 3.8: Influência dos raios dos suportes na aproximação
Observa-se que a aproximação referente aos suportes muito grandes perdeu o aspecto local e tende a um ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados.
Isto mostra a importância de se definir os suportes criteriosamente.
Seja a mesma função, agora a ser aproximada a partir de 25 pontos igualmente espaçados. Deseja-se verificar o comportamento das aproximações para diferentes funções peso.
As aproximações foram feitas em base quadrática e os raios dos suportes calculados conforme procedimento sugerido neste trabalho. Os erros foram plotados em um mesmo gráfico na Figura 3.9, e o erro máximo e médio se encontram na Tabela 3.1.
26
Figura 3.9: Erros de aproximação para diferentes funções peso – 25 pontos
Tabela 3.1: Erros da aproximação para base quadrática e 25 pontos
Como esperado, valores muito semelhantes são obtidos para as quatro aproximações.
gaussiana 0.1403 7.42E-03 0.0375
gauss. norm. 0.1403 7.42E-03 0.0319
spline cúbica 0.1403 7.42E-03 0.0330
spline 4º grau 0.1403 7.42E-03 0.0314
máx. erro absoluto
máx. erro relativo
Função peso média dos erros
27
4. Formulação forte para método sem malha
4.1. Método dos Resíduos Ponderados
Seja o PVC governado por uma equação diferencial aplicada em uma região Ω, envolvida pelo contorno Γ e sujeita às condições de contorno em Γ = Γd∪ Γn
𝔏[𝑢(𝐱)] = 𝑓(𝐱) (4.1)
a) Condições de Dirichlet em Γd (essenciais)
𝔇[𝑢(𝐱)] = 𝑓𝑑(𝐱) (4.2)
b) Condições de Neumann em Γn (naturais)
𝔑[𝑢(𝐱)] = 𝑓𝑛(𝐱) (4.3)
onde 𝔏[ ], 𝔇[ ] e 𝔑[ ] são operadores diferenciais.
Considerando-se uma distribuição de 𝑁𝛺 pontos sobre o domínio, 𝑁𝑑 pontos
sobre o contorno sujeitos à condição de Dirichlet e 𝑁𝑛 pontos sobre o contorno sujeitos à
condição de Neumann, de modo que o total de pontos 𝑁 é expresso por:
𝑁 = 𝑁𝛺+ 𝑁𝑑 + 𝑁𝑛 (4.4)
Figura 4.1: Definição do problema Adotando-se a seguinte solução aproximada:
𝑢̃(𝐱) = ∑ 𝜑𝑘(𝐱)
𝑛
𝑘=1
𝑢̂𝑘 (4.5)
onde 𝜑𝑘(𝐱) é a função de forma, que depende do método de interpolação/aproximação
28
Ao aplicar o operador diferencial na solução aproximada no domínio e no contorno, surgem resíduos devido à solução não ser exata:
𝑅𝛺(𝐱) = 𝔏[𝑢̃(𝐱)] − 𝑓(𝐱) em Ω (4.6)
𝑅𝑑(𝐱) = 𝔇[𝑢̃(𝐱)] − 𝑓𝑑(𝐱) em Γd (4.7)
𝑅n(𝐱) = 𝔑[𝑢̃(𝐱)] − 𝑓𝑛(𝐱) em Γn (4.8)
Substituindo a solução aproximada (4.5) na expressão dos resíduos, obtêm-se: 𝑅𝛺(𝐱) = 𝔏 [∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢̂𝑘] − 𝑓(𝐱) (4.9) 𝑅𝑑(𝐱) = 𝔇 [∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢̂𝑘] − 𝑓𝑑(𝐱) (4.10) 𝑅n(𝐱) = 𝔑 [∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢̂𝑘] − 𝑓𝑛(𝐱) (4.11)
Seja uma função de teste 𝑤𝑟(𝐱) definida por constantes 𝛽𝑖 e funções linearmente independentes 𝜓𝑖(𝐱) como mostrado em (4.12)
𝑤𝑟(𝐱) = ∑ 𝛽𝑖 𝜓𝑖(𝐱)
𝑁
𝑖=1
(4.12) O produto interno entre o resíduo e a função de teste deve ser nulo:
∫ 𝑅(𝐱) 𝑤𝑟(𝐱) = 0
(4.13) Substituindo as expressões dos resíduos em (4.13):
∫ [𝔏 (∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢̂𝑘) − 𝑓(𝐱)] 𝑤𝑟𝛺(𝐱)𝑑𝛺 = 0 𝛺 ∫ [𝔇(∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢 ̂𝑘) −𝑓𝑑(𝐱)] 𝑤𝑟𝑑(𝐱)𝑑𝛺 = 0 Γd ∫ [𝔑(∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢 ̂𝑘) −𝑓𝑛(𝐱)] 𝑤𝑟𝑛(𝐱)𝑑𝛺 = 0 Γn (4.14)
A escolha das funções de teste 𝑤𝑟𝛺(𝐱), 𝑤𝑟𝑑(𝐱), 𝑤𝑟𝑛(𝐱) é o que caracteriza os
diferentes métodos de resíduos de ponderados. Neste trabalho será utilizado o Método de Colocação, que utiliza deltas de Dirac na função de teste.
29
Foi evitada a utilização do termo “função de ponderação” para se referir às funções de teste do Método dos Resíduos Ponderados devido ao seu emprego no contexto do Método dos Mínimos Quadrados Móveis.
4.2. Delta de Dirac
O delta de Dirac pode ser definido a partir da função Heaviside (função degrau), como será visto a seguir.
Seja uma função definida pela subtração de duas funções degrau com saltos distantes de 𝜀 à esquerda e à direita do ponto x𝑖 como mostra a Figura 4.2.
𝐻𝑚(x − x𝑖) = 1 2𝜀[𝐻(x − (x𝑖 + 𝜀)) − 𝐻(x − (x𝑖+ 𝜀))] = { 0 se x < x𝑖 − 𝜀 1 2𝜀 se x𝑖− 𝜀 < x < x𝑖 + 𝜀 0 se x > xi+ 𝜀 (4.15)
Figura 4.2: Funções degrau
30
O delta de Dirac é dado pelo limite da função 𝐻𝑚 quando 𝜀 tende a zero: 𝛿(x −x𝑖) = lim
𝜀→∞𝐻𝑚(x − x𝑖) → {
∞ se x =x𝑖
= 0 se x ≠x𝑖 (4.16)
Seja uma função qualquer 𝑔(x) contínua em x𝑖, deseja-se estudar a seguinte
integral:
∫ 𝑔(x) 𝛿(x −x𝑖) 𝑑𝛺 𝛺
(4.17) Como 𝛿(x −x𝑖) é nula em todo o domínio exceto em x𝑖, pode-se reduzir o domínio de integração: ∫ 𝑔(x) 𝛿(x −x𝑖) 𝑑𝛺 =lim 𝜀→0∫ 𝑔(x) 𝛿(x −x𝑖) x𝑖+𝜀 x𝑖−𝜀 𝛺 𝑑𝑥 (4.18)
Sendo 𝑔(x) contínua em x𝑖, tem-se que lim
𝜀→0 𝑔(x𝑖−𝜀)= lim𝜀→0 𝑔(x𝑖+𝜀)= 𝑔(x𝑖), de maneira que: ∫x𝑖+𝜀𝑔(x) 𝛿(x −x𝑖) 𝑑𝑥 =𝑔(x𝑖) x𝑖−𝜀 ∫x𝑖+𝜀𝛿(x −x𝑖) 𝑑𝑥 x𝑖−𝜀 (4.19)
Pela Figura 4.3 é fácil visualizar geometricamente a primeira propriedade: ∫ 𝛿(x −xi) 𝑑𝛺 = lim 𝜀→0∫ 𝛿(x −x𝑖) x𝑖+𝜀 x𝑖−𝜀 𝑑𝑥= 1 Ω (4.20) Portanto, prova-se a segunda propriedade:
∫ 𝑔(x) 𝛿(x −x𝑖) 𝑑𝛺 = 𝑔(x𝑖) 𝛺
(4.21)
4.3. Método de Colocação
No Método de Colocação a equação (4.14) pode ser analisada considerando a mesma função de teste 𝑤𝑟(𝐱), da seguinte forma:
∫ [𝔏 (∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢 ̂𝑘) − 𝑓(𝐱)] 𝑤𝑟(𝐱)𝑑𝛺 = 0 𝛺 (4.22) ∫ [𝔇 (∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢 ̂𝑘) − 𝑓𝑑(𝐱)] 𝑤𝑟(𝐱)𝑑𝛺 = 0 Γd (4.23) ∫ [𝔑[∑𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢 ̂𝑘] − 𝑓𝑛(𝐱)] 𝑤𝑟(𝐱)𝑑𝛺 = 0 Γn (4.24)
31
O conceito do método é obter uma solução que necessariamente atenda à equação diferencial e às condições de contorno em determinados pontos, chamados pontos de colocação. As funções linearmente independentes que compõem a função de teste no Método de Colocação são deltas de Dirac aplicadas nos pontos de colocação 𝐱𝑖.
𝜓𝑖(𝐱) = 𝛿(𝐱 −𝐱𝑖) (4.25)
Considerando que todos os 𝑁 pontos campo distribuídos na região do problema serão pontos de colocação, pode-se reescrever (4.12):
𝑤𝑟(𝐱) = ∑ 𝛽𝑖 𝛿(𝐱 −𝐱𝑖) 𝑁 𝑖=1 (4.26) Substituindo (4.26) em (4.22): ∑𝛽𝑖 𝑁𝛺 𝑖=1 ∫ [𝔏 (∑ 𝜑𝑘(𝐱) 𝑛 𝑘=1 𝑢 ̂𝑘) − 𝑓(𝐱)]𝛿(𝐱 −𝐱𝑖)𝑑𝛺 = 0 𝛺 (4.27)
Aplicando a propriedade do delta de Dirac da equação (4.21) na equação (4.27), obtém-se: ∑𝛽𝑖 𝑁𝛺 𝑖=1 {∑ 𝔏[𝜑𝑘(𝐱𝑖)]𝑢̂𝑘− 𝑓(𝐱𝑖) 𝑛 𝑘=1 } = 0 (4.28)
Para que (4.28) seja válida para 𝛽𝑖 ≠ 0, é necessário que ∑ 𝔏[𝜑𝑘(𝐱𝑖)]𝑢̂𝑘− 𝑓(𝐱𝑖)
𝑛 𝑘=1
= 0, 𝑖 = 1, … ,𝑁𝛺 (4.29) ou na forma equivalente matricial:
𝔏[𝝋𝑇(𝐱
𝑖)]𝒖̂ = 𝑓(𝐱𝑖), 𝑖 = 1, … ,𝑁𝛺 (4.30)
Analogamente para as equações (4.23) e (4.24) referentes aos pontos do contorno: 𝔇[𝝋𝑇(𝐱
𝑖)]𝒖̂ =𝑓𝑑(𝐱𝑖), 𝑖 = 1, … ,𝑁𝑑 (4.31)
𝔑[𝝋𝑇(𝐱
𝑖)]𝒖̂ =𝑓𝑛(𝐱𝑖), 𝑖 = 1, … ,𝑁𝑛 (4.32)
Neste trabalho o método foi aplicado em problemas que envolvem distribuição de temperatura e torção pura, separadamente, governados pela equação de Poisson e sujeitas às condições de contorno de Dirichlet e Neumann.
32
Por conseguinte, substituindo os operadores diferenciais 𝔏[ ], 𝔇[ ] e 𝔑[ ] por (𝜕𝑥²𝜕² +𝜕𝑦²𝜕²), (1) e (𝜕𝑛𝜕), respectivamente nas equações (3.24) a (3.26) chega-se à seguinte equação diferencial: (𝜕²𝝋𝑇(𝐱𝑖) 𝜕𝑥² + 𝜕²𝝋𝑇(𝐱 𝑖) 𝜕𝑦² ) 𝒖̂ =𝑓(𝐱𝑖), 𝑖 = 1, … ,𝑁𝛺 (4.33) sujeita às condições de contorno:
𝝋𝑇(𝐱
𝑖)𝒖̂ = 𝑢̅(𝐱𝑖), 𝑖 = 1, … ,𝑁𝑑 (4.34)
𝜕𝝋𝑇(𝐱 𝑖)
𝜕𝑛 𝒖̂ = 𝑞̅(𝐱𝑖), 𝑖 = 1, … ,𝑁𝑛 (4.35) onde 𝑢̅(𝐱𝑖) e 𝑞̅(𝐱𝑖) são os valores prescritos, que foram substituídos em 𝑓𝑑(𝐱𝑖) e 𝑓𝑛(𝐱𝑖)
respectivamente.
Reunindo (4.33), (4.34) e (4.35) tem-se um sistema de 𝑁 equações e 𝑁 incógnitas da forma:
𝐊 𝒖̂ = 𝐟 (4.36)
Resolvido o sistema para as incógnitas 𝒖̂, é feito o pós-processamento pelo MLS por meio da equação
𝑢̃(𝐱) = 𝝋𝑇(𝐱)𝒖̂ (4.37)
de modo a se obter a solução aproximada para qualquer ponto 𝐱 do domínio a partir dos pontos campo.
As derivadas da solução aproximada também podem ser expressas em qualquer ponto 𝐱 do domínio pelas equações:
𝜕𝑢̃(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 = 𝜕𝝋𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘 𝒖̂ (4.38) 𝜕²𝑢̃(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 = 𝜕²𝝋𝑇(𝐱) 𝜕𝑥𝑘2 𝒖̂ (4.39)
33
5. Implementação numérica
O algoritmo descrito a seguir foi implementado em MATLAB (R2010a).
Dados de entrada:
- Número de pontos campo N; - Base polinomial da aproximação;
- Constante dr para incremento do raio dos suportes locais; - Número de pontos np no domínio (np >> N)
INÍCIO
Gerar o domínio de np pontos;
Distribuir N pontos campo sobre o domínio e o contorno do problema a ser estudado; Montar matriz P;
(MÉTODO SEM MALHA DE COLOCAÇÃO)
Declarar matriz K (N x N) de coeficientes e vetor f (N x 1) de termos independentes; PARA i = 1 até N, fazer:
(cada ponto campo é tomado como ponto base) PARA j =1 até N, fazer:
Calcular distâncias dj entre o ponto base e os demais pontos campo; FIM PARA
Raio inicial do suporte local Rj ← mínima distância > 0; Calcular número de pontos n dentro do suporte local;
ENQUANTO n < m (número de termos da base polinomial), fazer: Rj ← Rj (1 + dr);
FIM ENQUANTO; PARA j = 1 até N, fazer:
Calcular valor da função peso em cada ponto campo; FIM PARA
Montar matrizes p, W e A;
ENQUANTO A é uma matriz singular ou mal condicionada, fazer: Rj ← Rj (1 + dr);
Recalcular função peso em cada ponto campo, W e A; FIM ENQUANTO
Montar matriz B;
Ai ← matriz inversa de A;
SE o ponto base pertencer ao contorno, fazer: SE sujeito à condição de Dirichlet, fazer:
Calcular vetor da função de forma; Salvar função de forma na matriz K; Salvar condição de contorno no vetor f; FIM SE
SE sujeito à condição de Neumann, fazer:
Calcular derivadas normais de p, W, B, A e Ai; Calcular derivada normal da função de forma;
Salvar derivada normal da função de forma na matriz K; Salvar condição de contorno no vetor f;
FIM SE
SE NÃO (ponto pertencente ao domínio)
Calcular derivadas normais de p, W, B, A e Ai; Calcular derivadas normais da função de forma;
34
Aplicar os termos na equação diferencial; Salvar vetor da equação diferencial na matriz K; Salvar termo independente no vetor f;
FIM SE FIM PARA
Resolver sistema K u = f para u;
(PÓS-PROCESSAMENTO - APROXIMAÇÃO POR MLS) Declarar vetor U (np x 1) da solução aproximada;
PARA i = 1 até np, fazer:
(cada ponto do domínio é tomado como ponto base) PARA j =1 até N, fazer:
Calcular distâncias dj entre o ponto base e os pontos campo; FIM PARA
Raio inicial do suporte local Rj ← mínima distância > 0; Calcular número de pontos n dentro do suporte local;
ENQUANTO n < m (número de termos da base polinomial), fazer: Rj ← Rj (1 + dr);
FIM ENQUANTO; PARA j = 1 até N, fazer:
Calcular valor da função peso em cada ponto campo; FIM PARA
Montar matrizes p, W e A;
ENQUANTO A é uma matriz singular ou mal condicionada, fazer: Rj ← Rj (1 + dr);
Recalcular função peso em cada ponto campo, W e A; FIM ENQUANTO
Montar matriz B;
Ai ← matriz inversa de A;
Calcular a aproximação no ponto base e salvar no vetor U; FIM PARA
FIM
A etapa que exige mais atenção é a inversão da matriz A. Matrizes mal condicionadas podem gerar resultados aparentemente bons, mas que na realidade são totalmente inapropriados.
Neste trabalho foi utilizada a Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial para realizar a inversão, no qual o critério de bom condicionamento foi a exigência de que cada pivô apresentasse um valor mínimo arbitrado a fim de evitar a divisão por números muito próximos de zero.
35
6. Aplicações numéricas
6.1. Distribuição de temperatura no estado estacionário em placas
6.1.1. Problema de Dirichlet
A distribuição de temperatura no estado estacionário em placas é dada pela equação de Laplace: ∇2𝑢 =𝜕²𝑢 𝜕𝑥²+ 𝜕²𝑢 𝜕𝑦² = 0 (6.1)
Seja o seguinte PVC cuja temperatura nos bordos é conhecida (problema de Dirichlet), conforme ilustrado na Figura 6.1.
Figura 6.1: PVC de Dirichlet A solução analítica deste problema é:
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 8 sin ( 𝑛 𝜋 2 ) 𝑛²𝜋²sinh (3𝑛 𝜋2 ) sinh ( 𝑛 𝜋 2 𝑥) ∞ 𝑛=1 sin (𝑛 𝜋 2 𝑦) (6.2)
O gráfico desta solução se encontra na Figura 6.2.
36
Neste primeiro exemplo será estudada a influência de alguns fatores na convergência da solução pelo método sem malha.
São eles:
• Base da solução aproximada; • Tamanho do raio dos suportes; • Função peso;
Foram empregadas quatro distribuições nodais neste estudo. A primeira é composta por 16 pontos uniformemente distribuídos. As demais foram geradas adicionando-se fileiras de pontos entre cada duas fileiras existentes anteriormente, como ilustrado na Figura 6.3.
37
• Resultados para solução aproximada em base quadrática
- Foi empregada a função peso gaussiana normalizada;- Considerou-se o incremento para os raios dos suportes dr = 0.10 (raio cresce em progressão geométrica de razão 1.10 até que se satisfaça critério de parada).
Os gráficos das soluções aproximadas por método sem malha se encontram na Figura 6.4.
Figura 6.4: Resultados obtidos em base quadrática
Os erros absolutos máximo e médio em todo o domínio estão listados na Tabela 6.1. O gráfico da Figura 6.5 que relaciona o erro à quantidade de pontos mostra uma melhora substancial de qualidade quando esta é aumentada de 16 para 49. Nota-se que a solução aproximada começa a convergir para a analítica a partir de 625 pontos, sendo que a solução de 169 pontos já começa a apresentar resultados razoáveis.
Figura 6.5: Erro absoluto médio × N
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0 100 200 300 400 500 600 Er ro a bs ol ut o m éd io N
38
Tabela 6.1: Erros absolutos máximo e médio
Para facilitar as comparações entre a solução analítica e as soluções obtidas numericamente, serão plotados os resultados em dois planos, sendo um paralelo a x-z e o outro paralelo a y-z, como mostra a Figura 6.6 e a Figura 6.7.
Figura 6.6: Resultados da solução aproximada em base quadrática sobre o plano x =2.5
Figura 6.7: Resultados da solução aproximada em base quadrática sobre o plano y = 1
16 0.227 1.931E-02 49 0.1748 7.66E-03 169 0.0812 1.267E-03 625 0.0433 3.28E-04 máximo erro absoluto N erro absoluto médio
