Polinômios sobre corpos finitos. Mailine Martins Moraes

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DE GOI ÁS - C ÂMPUS GOI ÂNIA

DEPARTAMENTO DE ´AREAS ACADˆEMICAS 2

Polinˆ

omios sobre corpos finitos

Por

Mailine Martins Moraes

ORIENTADORA:

Profa. Ms. Aline Mota de Mesquita Assis

Monografia de Especializa¸c˜ao em Matem´atica

GOI ˆANIA, GOI ´AS 2014

(2)

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇ ÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOI ÁS - C ÂMPUS GOI ÂNIA

Polinˆ

omios sobre corpos finitos

Por

Mailine Martins Moraes

´

Area de concentra¸c˜ao: ´Algebra

Orientadora: Profa_{. Ms. Aline Mota de Mesquita Assis}

GOI ˆANIA, GOI ´AS 2014

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A minha fam´ılia: Maria Zilmar, Rodimar, Iana e Pablo.

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A Deus, por ter me dado for¸ca para continuar e superar os obst´aculos da vida e chegar at´e aqui.

`

A Professora Mestre Aline Mota de Mesquita Assis pela grande aten¸cão, paciência, dedica¸cão que teve comigo durante as orienta¸cões e pela amizade que proporcionou que nossos momentos juntas fossem tão divertidos e prazerosos. Seu apoio foi fun-damental no meu desenvolvimento. Muito obrigada!

`

A minha famlia, em especial aos meus pais Maria Zilmar e Rodimar que sempre me apoiaram incondicionalmente, me incentivando a cada dia. À minha irmã, Iana, pelos momentos de risada, descontra¸cão e apoio. Eu os amo muito. Obrigada!

E ao meu namorado, Pablo, por sempre ter estado ao meu lado, ter me incetivado a continuar, não me deixando desanimar, me deu apoio, amor e carinho em todos os momentos e por ter sempre me auxiliado mesmo não sendo da mesma área. Eu te amo muito. Obrigada!

Aos meus amigos, Ana Lúcia, Brunna Brito, Kamila Andrade, Gabriella Barros, Pedro Rezende, Nara Reges, Igor Maciel que me apoiaram e me ampararam direta ou indiretamente e a todos os outros que se não citados aqui também estão sendo lembrados no cora¸cão. Muito obrigada!

Aos professores do Corpo Docente da Especializa¸c˜ao em especial aqueles com quem cursei alguma disciplina.

Aos meus colegas que, durante o per´ıodo de aula, tanto contribu´ıram para a minha forma¸c˜ao em momentos de estudo e nas conversas divertidas durantes os lanches da tarde.

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A Banca Examinadora pela disponibilidade e aten¸c˜ao dispensada ao meu traba-lho.

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Este trabalho tem por objetivo estudar polinômios sobre corpos finitos, classificá-los e, de acordo com a ordem, descobrir a quantidade de polinômios mônicos irredut´ıveis em um corpo finito. Sendo ele uma pesquisa bibliográfica, inicia-se relembrando conceitos básicos de álgebra necessários para seu desenvolvimento, como anéis, po-linômios, grupos c´ıclicos, entre outros. Inicialmente, é apresentado o conceito de polinômios com coeficientes em um anel, como esses elementos se comportam e quais suas propriedades. Depois passa-se para uma estrutura mais completa, o corpo, mais especificamente, corpo finito. Nessa nova estrutura os polinômios continuam sendo o foco. Verifica-se a existência de ra´ızes desses polinômios, bem como sua ordem, caracterizando-os em irredut´ıveis ou redut´ıveis. Por fim, é analisada a possibilidade de estender um corpo adjuntando novos elementos, a saber as ra´ızes de polinômios irredut´ıveis sobre este corpo, para ser poss´ıvel obter fatores dos polinômios antes irredut´ıveis que passam a ser redut´ıves na extensão do corpo.

Palavras-chave: Extensões de Corpos Finitos, Ordem de Polinômios, Polinômios Primitivos.

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Abstract

This work aims to study polynomials over finite fields, rank them, and, according to their order, find the amount of monic irreducible polynomials in a finite field. Since it is a literature review, we begin by recalling basic concepts of algebra necessary for its development, such as rings, polynomials, cyclic groups, among others. Initially, we present the concept of polynomials with coefficients in a ring, how these elements behave and what their properties are. After that, we go to a more complete struc-ture, the field, more specifically, the finite field. In this new strucstruc-ture, polynomials remain as the focus. We verify the existence of these polynomials’ roots as well as their order, characterizing them as irreducible or reducible. Finally, we examine the possibility of extending the field by adding new elements, namely the roots of irreducible polynomials over this field, in order to make it possible to obtain prior irreducible factors of polynomials which become reducible in the extension of the field.

Keywords: Extensions of Finite Fields, Order Polynomials, Primitive Polynomials.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Polinˆomios com Coeficientes em um Anel 3

1.1 Anéis . . . 3 1.2 Anel de Polinômio . . . 6 1.3 Classes Residuais de Polinômios . . . 10

2 Corpos Finitos e Extens˜oes de Corpos 12

2.1 Introdu¸cão a Corpos Finitos . . . 12 2.2 Tipos de Extensões . . . 19 3 Ordem de Polinômios e Polinômios Primitivos 23

Conclus˜ao 35

Referˆencias Bibliogr´aficas 36

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Introdu¸

c˜

ao

A Teoria dos corpos é um ramo da álgebra abstrata que estuda as propriedades dos corpos. Um corpo é uma estrutura algébrica em que a adi¸cão, a subtra¸cão, a multiplica¸cão e a divisão são bem-definidas.

Os corpos são importantes objetos de estudo na álgebra visto constitu´ırem uma generaliza¸cão útil de muitos sistemas de números, como os números racionais, os números reais e os números complexos. Em particular, as regras usuais de associa-tividade, comutatividade e distributividade valem.

O conceito de corpo foi usado implicitamente por Niels Henrik Abel e ´Evariste Galois em seus trabalhos sobre solubilidade de equa¸c˜oes.

De acordo com a hist´oria, temos:

• 1871: Richard Dedekind deu o nome de corpo a um conjunto de números reais ou complexos que são fechados para as quatro opera¸cões aritméticas.

• 1881: Leopold Kronecker definiu aquilo a que chamou dom´ınio de racionali-dade e que hoje ´e geralmente conhecido como corpo de polinˆomios.

• 1893: Heinrich Weber deu a primeira defini¸c˜ao clara de um corpo abstrato. • 1910: Ernst Steinitz publicou o influente artigo Algebraische Theorie der

Körper (alemão: Teoria Algébrica dos Corpos). Neste artigo ele estuda axi-omaticamente as propriedades dos corpos e define conceitos importantes da teoria dos corpos, como corpo primo, corpo perfeito e o grau de transcendência de uma extensão de corpo.

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Galois é reconhecido como o primeiro matemático a unificar a teoria dos grupos e a teoria dos corpos, originando a designa¸cão teoria de Galois. No entanto, foi Emil Artin quem primeiro desenvolveu a rela¸cão entre grupos e corpos de forma mais aprofundada 1928 - 1942.

O presente trabalho aborda, usando conceitos e propriedades da álgebra de anéis de polinômios e corpos finitos, o estudo de polinômios sobre corpos finitos, clas-sificando e quantificando os polinômios em cada corpo. Sendo este uma revisão bibliográfica de [4], o trabalho está organizado da seguinte forma. No Cap´ıtulo 1 é feito uma breve revisão sobre a estrutura de anéis, polinômios e suas principais propriedades que serão usados ao longo do trabalho. No Cap´ıtulo 2, apresentamos uma introdu¸cão a corpos finitos, verifica-se a existência de ra´ızes de polinômios e a possibilidade de extender um corpo adjuntando novos elementos. E no Cap´ıtulo 3 damos inicio ao estudo de polinômios sobre corpos finitos, classificando - os e, de acordo com a ordem, descobrindo a quantidade de polinômios mônicos irredut´ıveis em um corpo finito.

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Cap´ıtulo 1

Polinˆ

omios com Coeficientes em

um Anel

1.1 An´

eis

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto mu-nido de duas opera¸cões binárias (normalmente chamadas adi¸cão e multiplica¸cão, como veremos a seguir), onde cada opera¸cão combina dois elementos para formar um terceiro. Neste cap´ıtulo, apresentaremos, em especial, os anéis de polinômios, cujos elementos são polinômios na forma usual com coeficientes no anel dado. Apre-sentaremos também as propriedades e opera¸cões de tais elementos, formando assim resultados que serão utilizados ao longo do trabalho.

Defini¸cão 1.1. Um conjunto não vazio A é dito um anel se em A estão definidas duas opera¸cões, indicadas por + (chamada adi¸cão) e · (chamada multiplica¸cão), denotado por (A, +, ·), tais que para todo a, b, c ∈ A tem-se:

i) a + b ∈ A (A é fechado para a adi¸cão) ii) a + b = b + a (Comutatividade da adi¸cão)

iii) (a + b) + c = a + (b + c) (Associatividade da adi¸c˜ao)

iv) Existe 0 ∈ A tal que a + 0 = a, para todo a ∈ A (Elemento neutro da adi¸c˜ao)

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v) Existe −a ∈ A tal que a + (−a) = 0 (Elemento inverso da adi¸cão) vi) a · b ∈ A (A é fechado para a multiplica¸cão)

vii) a · (b · c) = (a · b) · c (Associatividade da multiplica¸c˜ao)

viii) a · (b + c) = a · b + a · c e (b + c) · a = b · a + c · a (Leis distributivas)

Da defini¸cão temos que A é um grupo abeliano com rela¸cão a adi¸cão (itens i ao v) e é um conjunto fechado com rela¸cão à multiplica¸cão (itens vi e vii). Se em rela¸cão à multiplica¸cão de A temos que a · b = b · a, para todo a, b ∈ A, então A é um anel comutativo e se existe 1 ∈ A tal que a · 1 = 1 · a = a, para todo a ∈ A, então A é um anel com elemento unidade.

Observa¸c˜ao 1.2. No que segue denotaremos a · b por ab, com a e b elementos de um anel.

Exemplo 1.3. A = Z é um anel comutativo com elemento unidade, com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸c˜_{ao dos inteiros, pois para todo a, b ∈ Z temos ab = ba} e o número 1, sendo o elemento neutro da multiplica¸cão, é o elemento unidade de Z.

Exemplo 1.4. A = {x; x = 2a, ∀a ∈ Z} é um anel comutativo mas não unitário, pois para todo x, y ∈ A, x = 2a e y = 2b com a, b ∈ Z, temos que

xy = (2a)(2b) = (2a)(b2) = 2(ab)2 = 2(ba)2 = (2b)(2a) = yx, uma vez que o anel dos inteiros ´e comutativo.

Defini¸cão 1.5. Se A é um anel comutativo, então a ∈ A, com a 6= 0, é dito um divisor de zero se existe b ∈ A, tal que ab = 0.

Exemplo 1.6. O anel comutativo Z6 =0, 1, 2, 3, 4, 5 tem o divisor de zero a = 2,

pois para b = 3 ∈ Z temos ab = 6 = 0 em Z6.

Defini¸cão 1.7. Um anel comutativo é um dom´ınio de integridade se não possui divisores de zero.

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5

Exemplo 1.8. O anel dos inteiros Z ´e um dom´ınio de integridade, pois ´e comutativo e n˜_{ao existem a, b ∈ Z}∗ tal que ab = 0.

Defini¸cão 1.9. Um anel A tal que A∗ é um grupo multiplicativo é dito anel de divisão.

Exemplo 1.10. O anel dos racionais Q é um anel de divisão, pois todo número racional não nulo possui o inverso em rela¸cão à multiplica¸c˜_{ao. Deste modo, Q}∗ é um grupo multiplicativo.

Defini¸cão 1.11. Seja (A, +, ·) um anel de divisão comutativo, dizemos que este anel é um corpo se, (A, +) e (A∗, ·) s˜_{ao grupos abelianos. Denotaremos por K um corpo.} Exemplo 1.12. São exemplos de corpos:

i) R, o corpo dos reais com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão.

ii) Q = {ab; a, b ∈ Z, b 6= 0} ´e o corpo dos racionais com as opera¸c˜oes usuais de

adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.

Defini¸cão 1.13. Seja (A, +, ·) um anel e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que I é um ideal de A se:

i) x + y ∈ I, para todo x, y ∈ I

ii) ax ∈ I, para todo x ∈ I e para todo a ∈ A.

Se além do item (ii) da Defini¸cão 1.13, também for satisfeito xa ∈ I, para todo x ∈ I e para todo a ∈ A, dizemos que I é um ideal bilateral.

Exemplo 1.14. Seja n ≥ 0 um inteiro. Ent˜ao o subconjunto nZ = {nz; z ∈ Z}

´_{e um ideal do anel dos inteiros Z, pois para quaisquer na, nb ∈ nZ e x ∈ Z temos,} na + nb = n(a + b) ∈ nZ e _{(na)x = n(ax) ∈ nZ.}

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1.2 Anel de Polinˆ

omio

Sabe-se que um monômio em uma variável é da forma axn_{, com a ∈ A e n ∈ Z} +,

sendo x a variável e A um anel. É através deste que é definido, a seguir, polinômio sobre uma variável e logo depois anel de polinômios.

Defini¸cão 1.15. Um polinômio em uma variável x é uma série finita de monômios em uma variável da forma

p(x) = anxn+ · · · + a1x + a0,

onde ai ∈ A, sendo A um anel.

Exemplo 1.16. Exemplos de polinˆomios em uma vari´avel sobre o anel dos inteiros: 1) p(x) = 3x4_{+ x}5_{+ x}2_{+ x + 1}

2) p(y) = 7y3+ 2y2+ 4y + 5.

Sejam A um anel e x uma variável. Um polinômio p(x) com coeficientes em A na variável x é uma expressão do tipo

p(x) =

n

X

i=0

aixi = a0+ a1x + · · · + anxn,

onde n é um inteiro não negativo e os ai são elementos de A.

O conjunto de todos os polinômios na variável x com coeficientes em A será denotado por A[x]. Note que A ⊂ A[x].

Se p(x) = n P i=0 aixi, q(x) = m P j=0

bjxj ∈ A[x], definem-se as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e

multiplica¸c˜ao em A[x], como se segue:

p(x) + q(x) = max{n,m} X i=0 (ai+ bi)xi, p(x) · q(x) = n+m X i=0 cixi,

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7 onde c0 = a0b0, c1 = a0b1+ a1b0, .. . ci = i X j=0 ajbi−j = a0bi+ a1bi−1+ · · · + aib0, .. . cn+m = anbm.

O polinômio p(x) + q(x) é chamado de soma de p(x) e q(x), enquanto que o polinômio p(x) · q(x), também denotado por p(x)q(x), é o seu produto. Note que essas opera¸cões, quando restritas a A, coincidem com a adi¸cão e multiplica¸cão em A. Então, é fácil ver que, com essas opera¸cões assim definidas, A[x] é um anel, chamado anel de polinômios.

Defini¸c˜ao 1.17. Seja A um anel e f (x) = anxn+ · · · + a1x + a0 ∈ A[x] com an6= 0.

O inteiro n se chama o grau de f (x) e denotaremos por gr(f (x)). O coeficiente an se chama o coeficiente l´ıder de f (x). Quando o coeficiente l´ıder for igual a 1, o

polinômio é dito mônico.

Exemplo 1.18. p(x) = x3_{+ 2x}2_{+ x + 1 ´}_{e um polinˆ}_{omio mˆ}_{onico de grau 3 em Z[x].}

Proposi¸cão 1.19. (Algoritmo da Divisão) Considere dois polinômios f (x), g(x) ∈ A[x], com g(x) 6= 0. Então existem dois únicos polinômios t(x), r(x) ∈ A[x] tais que

f (x) = t(x)g(x) + r(x), onde r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(g(x)).

Demonstração: Ver página 20 de [4].

Exemplo 1.20. Considere f (x) = 2x5_{+ x}4_{+ 4x + 3 ∈ Z}

5[x], g(x) = 3x2+ 1 ∈ Z5[x].

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modo que f = qg + r. Assim, divindo f por g encontramos q(x) = 4x3_{+ 2x}2_{+ 2x + 1}

e r(x) = 2x + 2, e obviamente gr(r(x)) < gr(g(x)).

Defini¸c˜ao 1.21. Um polinˆ_{omio p(x) ∈ K[x] ´e dito irredut´ıvel sobre K (ou irredut´ıvel} em K[x]) se p tem grau positivo e

p(x) = b(x)c(x)

com b, c ∈ K[x], implica que b ou c ´e um polinˆomio constante.

Observa¸cão 1.22. Para que um polinômio (de grau > 1) seja irredut´ıvel sobre um corpo K não é suficiente mas é necessário que ele não admita ra´ızes em K. Em linguagem simbólica:

irredutibilidade sobre K ⇒ n˜ao existˆencia de ra´ızes em K.

A rec´ıproca não é verdadeira. Considere dois polinômios quadráticos f (x), g(x) ∈ R[x] sem ra´ızes em R, onde

f (x) = x2+ 2 e g(x) = x2+ 1. Ent˜ao,

h(x) = f (x)g(x) = (x2+ 2)(x2+ 1) = x4+ 3x2+ 2

não admite ra´ızes reais e, no entanto, é redut´ıvel. A não equivalência da implica¸cão acima não a desfavorece teoricamente. É importante também ressaltar que para polinômios de grau 2 e 3 a implica¸cão acima torna-se uma equivalência, ou seja,

irredutibilidade sobre K ⇔ não existência de ra´ızes em K. Exemplo 1.23. O polinômio p(x) = x2 _{+ x + 1 ´}_{e irredut´ıvel em Z}

2[x], pois n˜ao

possui ra´ızes em Z2[x]. Com feito, p(0) = p(1) = 0.

Teorema 1.24. (Teorema da Fatora¸cão Única Para polinômios) Todo polinômio mˆ_{onico em K[x], não constante e não irredut´ıvel, se escreve como produto de} po-linˆ_{omios de K[x] irredut´ıveis e mônicos. Essa escrita é única a menos da ordem dos} fatores.

(18)

9

Corolário 1.25. Para todo polinˆ_{omio f (x) ∈ K[x]\K existem n ≥ 1 polinômios} mônicos irredut´ıveis distintos p1(x), . . . , pn(x), inteiros positivos α1, . . . , αn e a ∈ K∗

tais que

f (x) = p1(x)α1· · · pn(x)αn.

Essa escrita ´e ´unica a menos da ordem dos fatores.

Defini¸cão 1.26. Dois ou mais polinômios são relativamente primos se, quando fatorados, não possuem nenhum fator em comum.

Exemplo 1.27. Os polinˆomios

p(x) = 3x2_{+ 21x + 18} _e _{q(x) = 5x + 10}

pertencentes a R[x], podem ser fatorados como

p(x) = 3(x + 1)(x + 6) e q(x) = 5(x + 2),

assim p(x) e q(x) são relativamente primos, pois não possuem nenhum fator em comum quando fatorados. Já os polinômios

f (x) = x2− x − 2 e h(x) = 7x + 14 pertencentes a R[x], podem ser fatorados como

f (x) = (x + 1)(x − 2) e h(x) = 7(x + 1),

assim f (x) e h(x) não são relativamente primos, pois possuem o fator (x + 1) em comum quando são fatorados.

Proposi¸cão 1.28. Sejam A um anel, f (x) ∈ A[x] e α ∈ A. Então f (α) = 0, se e somente se, existe um polinômio t(x) ∈ A[x] tal que f (x) = (x − α)t(x).

Demonstração: Pela Proposi¸cão 1.19, sabemos que existem t(x), r(x) ∈ A[x] tais que f (x) = (x − α)t(x) + r(x) com grr(x) < gr(x − α) = 1 ou r(x) = 0, isto é, com r(x) uma constante. Então f (α) = (α − α)t(α) + r(α) = r(α) = r(x). Portanto f (α) = 0 se e somente se r(x) = 0 se e somente se f (x) = (x − α)t(x).

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Defini¸cão 1.29. Sejam A um anel, f (x) ∈ A[x], α ∈ A, e um inteiro s ≥ 1. Dizemos que α é uma raiz de f (x) de multiplicidade s se (x − α)s divide f (x) mas (x − α)s+1 não divide f (x). Quando s = 1 dizemos que α é uma raiz simples de f (x).

Exemplo 1.30. Seja p(x) = x2 _{+ 2x + 1 ∈ R[x]. Temos que α = −1 ´e ra´ız de}

multiplicidade s = 2 de p(x), pois (x − (−1))2 = (x + 1)2 divide p(x), mas (x + 1)3 n˜ao divide p(x).

1.3 Classes Residuais de Polinˆ

omios

Defini¸cão 1.31. Definimos a classe residual de um polinômio mônico p(x) de grau n em K[x] por:

Kp(x)[x] = {r(x) : r(x) ∈ K[x], com r(x) = 0 ou gr(r(x)) < n}.

Teorema 1.32. O anel Kp(x)[x] é um corpo se, e somente se, o polinômio p(x) é

irredut´ıvel.

Seja dado K = Zp, onde p é um número primo positivo. Se p(x) ∈ K[x] é um

polinˆomio irredut´ıvel de grau n, ent˜_{ao como K}p(x)[x] ´e formado pelas classes de

polinˆomios

i−1

P

i=0

aixi ∈ K[x] e dois polinˆomios de graus menores do que n d˜ao origem

a classes distintas, temos que o corpo Kp(x)[x] tem pn elementos.

Exemplo 1.33. Se K = Z2, então p(x) = x3+ x + 1 é um polinômio irredut´ıvel em

K[x]. Logo, podemos construir um corpo com 8 elementos, a saber: Kp(x)[x] = {0, 1, x, x2, 1 + x, 1 + x2, x + x2, 1 + x + x2}.

Nesse caso, temos que

0 = x3_{+ x + 1 = x}3_{+ x + 1.}

(20)

11

Tabela 1.1: Tabela da adi¸c˜ao

+ 0 1 x x2 _{1 + x} _{1 + x}2 _{x + x}2 _{1 + x + x}2 0 0 1 x x2 _{1 + x} _{1 + x}2 _{x + x}2 _{1 + x + x}2 1 1 0 1 + x 1 + x2 x x2 1 + x + x2 x + x2 x x 1 + x 0 x + x2 ₁ _{1 + x + x}2 _x2 _{1 + x}2 x2 _x2 _{1 + x}2 _{x + x}2 ₀ _{1 + x + x}2 ₁ _x _{1 + x} 1 + x 1 + x x 1 1 + x + x2 ₀ _{x + x}2 _{1 + x}2 _x2 1 + x2 _{1 + x}2 _x2 _{1 + x + x}2 ₁ _{x + x}2 ₀ _{1 + x} _x x + x2 _{x + x}2 _{1 + x + x}2 _x2 _x _{1 + x}2 _{1 + x} ₀ ₁ 1 + x + x2 _{1 + x + x}2 _{x + x}2 _{1 + x}2 _{1 + x} _x2 _x ₁ ₀

Tabela 1.2: Tabela da multiplica¸c˜ao

• 0 1 x x2 _{1 + x} _{1 + x}2 _{x + x}2 _{1 + x + x}2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 x x2 _{1 + x} _{1 + x}2 _{x + x}2 _{1 + x + x}2 x 0 x x2 1 + x x + x2 1 1 + x + x2 1 + x2 x2 0 x2 1 + x x + x2 1 + x + x2 x 1 + x2 1 1 + x 0 1 + x x + x2 1 + x + x2 1 + x2 x2 1 x 1 + x2 ₀ _{1 + x}2 ₁ _x _x2 _{1 + x + x}2 _{1 + x} _{x + x}2 x + x2 ₀ _{x + x}2 _{1 + x + x}2 _{1 + x}2 ₁ _{1 + x} _x _x2 1 + x + x2 ₀ _{1 + x + x}2 _{1 + x}2 ₁ _x _{x + x}2 _x2 _{1 + x}

(21)

Corpos Finitos e Extens˜

oes de

Corpos

Um corpo é uma estrutura algébrica em que a adi¸cão, a subtra¸cão, a multi-plica¸cão e a divisão são bem definidas. Neste cap´ıtulo apresentaremos os corpos finitos, que são corpos cujo conjunto dos seus elementos é finito; e também corpo de decomposi¸cão de um polinômio, que é uma extensão do corpo que contém os coeficientes do polinômio e é onde este polinômio se decompõe, ou seja, é fatorado.

2.1 Introdu¸

c˜

ao a Corpos Finitos

Lembremos que um anel A é um corpo se (A, ∗) e (A, +) são grupos abelianos. Defini¸c˜_{ao 2.1. Um corpo K é dito de caracter´ıstica 0 se pa 6= 0, onde a ∈ K}∗ e p ∈ Z∗+. E K tem caracter´ıstica finita p ∈ Z∗+ se pa = 0, ∀a ∈ K, onde p é o menor

inteiro tal que isso acontece.

Exemplo 2.2. Q ´e um corpo de caracter´ıstica 0, pois n˜ao existe um elemento a ∈ Q∗ e algum p ∈ Z∗+ tal que pa = 0.

Exemplo 2.3. Zp ´e um corpo finito com caracter´ıstica p, onde

Zp = {0, 1, 2, 3, . . . , p − 1} .

(22)

13

Tome a = 1 ∈ Zp, ent˜ao pa = p1 = 0.

Teorema 2.4. Seja A um anel comutativo com caracter´ıstica prima p. Ent˜ao: (a ± b)pn = apn ± bpn

para todo a, b ∈ A e n ∈ N.

Proposi¸cão 2.5. Todo corpo finito tem caracter´ıstica p, para algum p primo. Demonstração: Seja m 6= 0 a caracter´ıstica de um corpo finito e 1 a unidade desse corpo. Suponha que m = pq, com p e q inteiros, onde 1 < p ≤ q < m. Então m1 = 0, desenvolvendo o produto temos

m1 = p1 · q1 = 0,

assim p1 = 0 ou q1 = 0, o que é um absurdo, pois m é o menor valor tal que isso acontece. Então m não pode ser fatorado, ou seja, m é um número primo.

Lema 2.6. Seja K um corpo finito qualquer. Para cada n´umero natural n, existe pelo menos um polinˆ_{omio irredut´ıvel de grau n em K[x].}

Demonstração: A demonstra¸cão deste Lema é feita por indu¸cão sobre n, e pode ser encontrada em [2] página 70.

Proposi¸c˜ao 2.7. Para cada primo p e um inteiro positivo n, existe um corpo de ordem pn_.

Demonstrac¸˜ao: Para todo primo positivo p e todo inteiro positivo n, existe, pelo Lema 2.6, um polinˆ_{omio irredut´ıvel f (x) ∈ Z}p[x] de grau n; logo, o corpo

K = Zp[x]f (x) ´e um dos corpos procurados, pois tem pn elementos.

Proposi¸cão 2.8. Dois corpos finitos de mesma ordem são isomorfos. Demonstração: Ver página 72 de [2].

(23)

Defini¸c˜_{ao 2.9. F}q[x] é um corpo finito de polinômios em uma variável, onde q = pn,

p ´e um n´umero primo, e denotamos por:

Fq[x] = {αnxn+ αn−1xn−1+ · · · + α1x + α0 / αi ∈ Fq, 0 ≤ i ≤ n}.

Exemplo 2.10. O corpo finito constru´ıdo em 1.33 ´_{e o corpo F}8[x].

Teorema 2.11. Para cada corpo finito Fq o grupo multiplicativo F∗q de elementos

n˜_{ao nulos de F}q ´e c´ıclico.

Observa¸cão 2.12. Se um corpo é c´ıclico então ele é gerado por algum elemento, denotaremos por F∗q = hαi o corpo c´ıclico gerado por α.

Defini¸c˜_{ao 2.13. Seja K um corpo, F ⊆ K é um subcorpo de K quando F é um} subconjunto n˜_{ao vazio de K, tal que, (F, +) é um subgrupo de (K, +) e (F}∗, ·) é um subgrupo de (K∗, ·).

Defini¸c˜_{ao 2.14. Um corpo K é chamado uma extensão de F se F é um subcorpo de} K. E se um polinômio f (x) ∈ F[x] pode ser fatorado em produtos de fatores lineares em K, ou seja, se f (x) tem todas as ra´ızes em K, então dizemos que K é um corpo de decomposi¸c˜_{ao de f (x) sobre F.}

Seja K uma extensão de F e seja S um subconjunto de K. Denonte por K(S) o menor subcorpo de K que contém F e S. Esta é, evidentemente, a interseçcão de todos os subcorpos de K que contém F e S. O corpo F(S) é uma extensão de F e dizemos que ele é obtido pela adjun¸c˜_{ao de S a F.}

Sejam S e T subconjuntos de K. Ent˜ao:

F(S ∪ T ) = F(S)(T ) = F(T )(S).

Se S ´e um cojunto finito, digamos S = {a1, . . . , an}, denotaremos F(S) por F(a1, . . . , an).

Se K é uma extensão de F, então ele é um espa¸co vetorial sobre F. Este tem uma dimens˜_{ao sobre F, que pode ser infinita. Tal dimensão é chamada grau de K sobre} F e denotada por [K : F].

(24)

15

Teorema 2.15. Se L é uma extensão de F e K é uma extensão de L, então [K : F] = [L : F][K : L].

Demonstrac¸˜ao: Sejam a1, . . . , am elementos de K linearmente independentes

so-bre L e sejam b1, . . . , bnelementos de L linearmente independentes sobre F. Devemos

mostrar que os mn produtos aibj, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n s˜ao linearmente

inde-pendentes sobre F. Suponha que

m X i=1 n X j=1 cijaibj = 0,

onde cada cij ∈ F. Ent˜ao

m X i=1 n X j=1 cijbj ! ai = 0

e assim para cada i,

n X j=1 cijbj ∈ L, logo, n X j=1 cijbj = 0, i = 1, . . . , m.

Portanto, cij = 0 para cada i e cada j. Foi provado que a f´ormula do Teorema vale

sempre que [K : L] e [L : F] são infinitos. Suponha que ambos são finitos e que m = [K : L] e n = [L : F]. Então {a1, . . . , am} é a base de K sobre L e {b1, . . . , bn}

´_{e a base de L sobre F. Seja d ∈ K. Ent˜ao} d =

m

X

i=1

µiai,

onde cada µi ∈ L e para i = 1, . . . , m,

ei = n

X

j=1

ξijbj,

onde cada ξij ∈ F. Portanto,

d = m X i=1 n X j=1 ξijaibj,

(25)

e assim os mn produtos de aibi geram K como um espa¸co vetorial sobre F. Uma vez

que j´a foi mostrado que eles s˜_{ao linearmente independentes sobre F, eles formam} uma base de K sobre F.

Lema 2.16. Seja f (x) ∈ Fq[x] um polinˆomio irredut´ıvel sobre o corpo finito Fq e seja

α uma raiz de f na extens˜_{ao do corpo F}q. Ent˜ao para um polinˆomio h(x) ∈ Fq[x],

temos h(α) = 0, se e somente se, f divide h. Demonstração: Ver página 47 de [4].

Lema 2.17. Seja f (x) ∈ Fq[x] um polinˆomio irredut´ıvel sobre Fq de grau m. Ent˜ao

f (x) divide xqn _{− x, se e somente se, m divide n.}

Demonstração: Suponha que f (x) divide xqn− x. Seja α uma raiz de f no corpo de decomposi¸c˜_{ao de f sobre F}q. Então αq

n

= α, de modo que α ∈ Fqn. Segue-se que

Fq(α) ´e um subcorpo de Fqn. Mas, uma vez que [F_q(α) : F_q] = m e [F_qn : F_q] = n,

pelo Teorema 2.15 temos que m divide n. Reciprocamente, se m divide n, ent˜_{ao F}qn

cont´_{em F}qm como um subcorpo. Se α ´e uma ra´ız de f no corpo de decomposi¸c˜ao de

f sobre Fq, ent˜ao [Fq(α) : Fq] = m, de modo que Fq(α) = Fqm. Consequentemente,

temos α ∈ Fqn, por isso αq n

= α, e assim α ´e uma raiz de xqn

−x ∈ Fq(x). Deduzimos

do Lema 2.16 que f (x) divide xqn_{− x.}

Teorema 2.18. Se K ´e um corpo finito com p elementos, ent˜ao qualquer a ∈ K satisfaz ap = a.

Demonstração: A identidade ap = a é trivial para a = 0. Por outro lado, elementos n˜_{ao nulos de K formam um grupo em rela¸cão à multiplica¸cão, de ordem} p − 1. Assim ap−1_{= 1, para todo a ∈ K com a 6= 0, e multiplicando por a ambos os}

lados da igualdade obt´em-se ap = a.

Teorema 2.19. Se f (x) ´e um polinˆ_{omio irredut´ıvel em F}q[x] de grau m, ent˜ao f

tem uma raiz α em Fqm. Além disso, todas as ra´ızes de f são simples e são dadas

por m elementos distintos α, αq_{, α}q2

, . . . , αqm−1

(26)

17

Demonstração: Seja α uma raiz de f em Fq(α), o corpo de decomposi¸cão de f

sobre Fq. Ent˜ao [Fq(α) : Fq] = m, assim Fq(α) = Fqm, e em particular α ∈ F_qm. A

seguir mostramos que se β ∈ Fqm é uma raiz de f , então βq é também uma raiz de

f . Escreva f (x) = amxm+ · · · + a1x + a0 com ai ∈ Fq para 0 ≤ i ≤ m. Ent˜ao,

usando Teorema 2.18 e Teorema 2.4 temos:

f (βq) = amβqm+ · · · + a1βq+ a0

= aq_mβqm+ · · · + aq₁βq+ aq₀ = (amβm+ · · · + a1β + a0)q

= f (β)q = 0.

Deste modo, os elementos α, αq_{, α}q2_{, . . . , α}qm−1 _s˜_{ao ra´ızes de f . Resta provar que}

esses elementos s˜ao distintos. Suponha, por contradi¸c˜ao, que αqj

= αqk

para alguns inteiros j e k com 0 ≤ j < k ≤ m − 1. Elevando esta identidade a potˆencia qm−k_,

temos:

αqm−k+j = αqm = α.

Segue ent˜ao, a partir do Lema 2.16, que f (x) divide xqm−k+j

− x. Pelo Lema 2.17 isso só é poss´ıvel se m divide m − k + j. Mas temos 0 < m − k + j < m, o que resulta em uma contradi¸cão. Portanto, as ra´ızes α, αq_{, α}q2

, . . . , αqm−1

s˜ao distintas.

Corol´ario 2.20. Seja f (x) um polinˆ_{omio irredut´ıvel em F}q[x] com grau m. Ent˜ao

o corpo de decomposi¸c˜_{ao de f sobre F}q ´e dado por Fqm.

Demonstração: Pelo Teorema 2.19 temos que f decompõe-se em Fqm. Além

disso, Fq(α, αq, αq

2

, . . . , αqm−1

) = Fq(α) = Fqm para uma raiz α de f em F_qm, onde

a segunda identidade ´e feita a partir do Teorema 2.19.

Defini¸c˜_{ao 2.21. Seja F}qm uma extens˜ao de F_q e seja α ∈ F_qm. Ent˜ao os elementos

α, αq_{, α}q2

, . . . , αqm−1

(27)

Teorema 2.22. Os conjugados de α ∈ F∗q com rela¸c˜ao a qualquer subcorpo de Fq

tem a mesma ordem no grupo F∗q.

Demonstração: Primeiramente notemos que: em um grupo c´ıclico finito hai de ordem m, o elemento ak gera um subgrupo de ordem m/mdc(k, m). De fato, seja d = mdc(k, m). A ordem de ak_{é o menor inteiro positivo n tal que a}kn _{= e,}

sendo e o elemento neutro do grupo. A última identidade é válida, se e somente se, m divide kn, ou equivalentemente, se e somente se, m/d divide n. Então o menor inteiro positivo n com essa propriedade é n = m/d. Visto que pelo Teorema 2.11, F∗q é um grupo c´ıclico , pela afirma¸cão acima e o fato de que toda potência

da caracter´ıstica de Fq ´e relativamente prima com a ordem q − 1 de F∗q, temos que

α, αq_{, . . . , α}qm₋₁

tem ordem q − 1.

Defini¸c˜_{ao 2.23. Sejam K uma extensão de F e a ∈ K. Dizemos que a é algébrico} sobre F se existe um polinômio não-nulo f (x) ∈ F[x] talque, f (a) = 0.

Defini¸c˜_{ao 2.24. Se θ ∈ K é algébrico sobre F, então o polinômio mônico unicamente} determinado g(x) ∈ K[x] que gera o ideal J = {f ∈ K[x]; f (θ) = 0} de K[x] é chamado de polinômio minimal ou polinˆ_{omio irredut´ıvel de θ sobre K. Pelo grau de} θ sobre K temos o grau de g(x).

Defini¸c˜_{ao 2.25. O gerador do grupo c´ıclico F}∗_q ´e chamado elemento primitivo de Fq.

Defini¸c˜_{ao 2.26. Para α ∈ F = F}qm e K = F_q, a norma, N

F/K(α), e o tra¸co,

T r_F/K_{(α), de α sobre K s˜ao definidos, respectivamente, por:} i) N_F/K(α) = ααq_{· · · α}qm−1

= α(qm_{−1)/(q−1)}

; ii) T r_F/K(α) = α + αq+ · · · + αqm−1.

Defini¸c˜_{ao 2.27. Sejam K corpo finito e F uma extensão finita de K. Então as} duas bases {α1, . . . , αm} e {β1, . . . , βm} de F sobre K são ditas bases duais (ou

(28)

19

complementares) se para 1 ≤ i, j ≤ m, temos

T r_F/K(αiβj) =    0, se i 6= j 1, se i = j

2.2 Tipos de Extens˜

oes

Defini¸cão 2.28. Uma extens˜_{ao K de F é chamada extensão finita de F se [K : F] é} finito.

Se K é uma extensão finita de F e se {a1, . . . , an} é uma base de K sobre F, então

todo elemento de K pode ser escrito na forma

n

X

i=1

biai, b1, . . . , bn ∈ F.

Uma vez que essa soma est´_{a em F(a}1, . . . , an) temos K = F(a1, . . . , an).

Defini¸cão 2.29. Uma extens˜_{ao K de F é chamada uma extensão simples de F se} K = F(a) para algum a ∈ K.

Defini¸cão 2.30. Uma extens˜_{ao K de F é chamada extensão algébrica de F se cada} elemento de K é algébrico sobre F.

Teorema 2.31. Se K é uma extensão finita de F então K é uma extensão algébrica de F.

Demonstração: Seja [K : F] = n. Se a ∈ K então os n+1 elementos 1, a, a2, . . . , an de K são linearmente independentes sobre F. Portanto há elementos c0, c1, . . . , cn∈

F tal que c0 + c1a + · · · + cnan = 0 e pelo menos um dos ci é não-nulo. Então

f (x) = c0+ c1x + · · · + cnxné um polinômio não-nulo em F[x] tal que f (a) = 0.

Teorema 2.32. Seja K uma extensão de F e seja a ∈ K algébrico sobre F. Então existe um único polinômio mˆ_{onico irredut´ıvel p(x) ∈ F tal que p(a) = 0. Se g(x)} é um polinˆ_{omio qualquer em F[x] tal que g(a) = 0, então p(x) divide g(x). Além} disso, F(a) = F[a] e, de fato, todo elemento de F(a) pode ser escrito unicamente na forma r(a) onde r(x) ∈ F[x] e r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(p(x)).

(29)

Demonstração: Defina a aplia¸cão ψ de K[x] em K[a] por ψ(f (x)) = f (a). É fácil ver que ψ ´_{e um homomorfismo de K[x] em K[a]. Como a é algébrico sobre K, o} núcleo de ψ é um ideal n˜_{ao nulo de K[x]. Todo ideal de K[x] é um ideal principal,} portanto o núcleo de ψ é gerado por p(x), onde podemos supor que p(x) é mônico. Como K[x]/ hp(x)i é isomorfo a K[a], então ele é um dom´ınio de integridade. Por isso hp(x)i é um ideal primo, o que implica que p(x) é irredut´ıvel em K[x]; na verdade, p(x) é o único polinômio mônico irredut´ıvel no ideal hp(x)i. Uma vez que cada ideal primo diferente de zero de K[x] é maximal, K[x]/ hp(x)i é um corpo e o mesmo ´_{e verdadeiro para K[a]. Assim, K(a) = K[a]. Para completar a prova, basta ver} que todas as classes de res´ıduos h(x) + hp(x)i de (p(x)) em K[x] contém um único representante r(x) onde r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(p(x)).

Corol´_{ario 2.33. Seja K uma extensão de F e seja a ∈ K. Se a é algébrico sobre F} ent˜_{ao F(a)/F é finita e consequentemente algébrica.}

Demonstração: Seja n o grau do polinômio irredut´ıvel sobre F que tem a como ra´ız. Então pelo Teorema 2.32, 1, a, a2_{, . . . , a}n−1 _{formam uma base finita de F(a)}

sobre F. Portanto, F(a)/F é finita e pelo Teorema 2.31, é também algébrica.

Corol´_{ario 2.34. Seja K uma extens˜ao de F e suponha que a}1, . . . , an ∈ K s˜ao

alg´_{ebricos sobre F. Então F(a}1, . . . , an)/F é finita e consequentemente algébrica.

Demonstração: Por indu¸cão sobre n. Pelo Corolário 2.33 o resultado é verdadeiro quando n = 1. Suponha que n > 1 e que o Corolário é verdadeiro quando n é substitu´ıdo por n − 1. Ent˜_{ao [F(a}1, . . . , an−1) : F] é finita. Como ané algébrico sobre

F, e como F[x] ⊆ F(a1, . . . , an−1)[x], an ´e alg´ebrico sobre F(a1, . . . , an−1). Assim,

pelo Corol´_{ario 2.33, [F(a}1, . . . , an−1, an) : F(a1, . . . , an−1)] ´e finita. Mas usando o

Teorema 2.15, [F(a1, . . . , an) : F] = [F(a1, . . . , an) : F(a1, . . . , an−1)][F(a1, . . . , an−1) :

F]. Portanto, F(a1, . . . , an)/F ´e finita e alg´ebrica.

(30)

21

divis´ıvel por p e ξ uma raiz n-´_{esima primitiva da unidade sobre K. Ent˜ao o polinˆomio} Qn(x) =

n

Y

s=1

(x − ξs)

é chamado o n-ésimo polinômio ciclotˆ_{omico sobre K, onde o mdc(s, n) = 1.}

Defini¸cão 2.36. Seja n um inteiro positivo. O corpo de decomposi¸cão de xn− 1 sobre um corpo K é chamado n-ésimo corpo ciclotômico sobre K e é denotado por Kn. As ra´ızes de xn− 1 em Kn são chamadas ra´ızes n-ésimas da unidade sobre K. Defini¸c˜_{ao 2.37. Seja n ∈ Z}∗₊, a Fun¸cão ϕ de Euler, denotada por ϕ(n), é definida como sendo o número de inteiros positivos menores do que n que são relativamente primos com n, ou seja,

ϕ(n) = |{1 ≤ k < n; mdc(n, k) = 1}| .

Teorema 2.38. O corpo ciclotˆ_{omico K}n _´_{e uma extens˜}_{ao alg´}_{ebrica simples de K.}

Al´em disso:

i) Se K = Q, então o polinômio ciclotômico Qn é irredut´ıvel sobre K e

[Kn: K] = ϕ(n), onde ϕ(n) ´e a Fun¸c˜ao de Euler.

ii)Se K = Fq com mdc(q, n) = 1,então Qné fatorado em ϕ(n)/d polinômios mônicos

irredut´ıveis distintos em K[x] de mesmo grau d, Kn é um corpo de decomposi¸cão de fator irredut´ıvel sobre K e [Kn_{: K] = d, quando d é o menor inteiro positivo tal que}

qd≡ 1 mod n.

Demonstração: i) Ver página 61 de [4].

ii) Este é o item mais importante para os nossos propósitos, por isso ele será de-monstrado. Seja η uma raiz n-´_{esima primitiva da unidade sobre F}q. Então η ∈ Fqk,

se e somente se, ηqk = η, e a última identidade é equivalente a qk ≡ 1mod n. O menor inteiro positivo tal que isso acontece é k = d, e assim η est´_{a em F}_qd e não está

(31)

Fq tem grau d, desde que η seja uma raiz arbitr´aria de Qn, da´ı segue os resultados

(32)

Cap´ıtulo 3

Ordem de Polinˆ

omios e

Polinˆ

omios Primitivos

A teoria de polinômios sobre corpos finitos é importante para a investiga¸cão da estrutura algébrica sobre corpos finitos, assim como para muitas aplica¸cões. Sobre-tudo, polinômios irredut´ıveis - os elementos principais do anel de polinômios sobre um corpo finito - são indispensáveis para constru¸cão de corpos finitos e avalia¸cão dos elementos de um corpo finito. Apresentaremos a no¸cão de ordem de um po-linômio. E um importante fato é a liga¸cão entre polinômios minimais de elementos primitivos (chamado polinômios primitivos) e polinômios de maior ordem poss´ıvel para um determinado grau.

Lema 3.1. Seja f (x) ∈ Fq[x] um polinˆomio de grau m ≥ 1 com f (0) 6= 0. Ent˜ao

existe um inteiro positivo e ≤ qm_{− 1 tal que f (x) divide x}e_{− 1.}

Demonstrac¸˜ao: O anel da classe de res´ıduos

Fq[x] = {r + (f ); r ∈ F[x] e gr(r) < gr(f )}

cont´em qm_{− 1 res´ıduos n˜}_{ao nulos. As q}m _{classes de res´ıduos}

xj + (f ), j = 0, 1, . . . , qm− 1

(33)

s˜ao n˜ao nulas e assim existem inteiros r e s com 0 ≤ r < s ≤ qm _{− 1 tal que}

xs ≡ xr_{mod f (x). Visto que x e f (x) s˜}_{ao relativamente primos, temos que x}s−r _≡

1 mod f (x), ent˜ao f (x) divide xs−r_{− 1 e 0 < s − r ≤ q}m_{− 1. Portanto, e = s − r.}

Uma vez que um polinômio constante não nulo divide x − 1, este polinômio pode ser incluido na seguinte defini¸cão:

Defini¸c˜_{ao 3.2. Seja f ∈ F}q[x] um polinˆomio n˜ao nulo.

i) Se f (0) 6= 0, ent˜ao o menor inteiro positivo e para o qual f (x) divide xe− 1 ´e chamado a ordem de f e denotado por ord(f ) = ord(f (x)).

ii) Se f (0) = 0, ent˜ao f (x) = xh_{g(x), onde h ∈ Z}∗₊ _{e g ∈ F}q[x] com g(0) 6= 0 s˜ao

unicamente determinados e ord(f ) ´e definida como sendo a ord(g).

A ordem de um polinˆomio ´e algumas vezes chamada de per´ıodo ou expoente de f (x) e pode ser caracterizada seguindo maneiras alternativas.

Teorema 3.3. Seja f ∈ Fq[x] um polinˆomio irredut´ıvel sobre Fq de grau m e com

f (0) 6= 0. Ent˜ao ord(f ) ´e igual a ordem de uma raiz de f (x) no grupo multiplicativo F∗qm.

Demonstração: De acordo com o Corolário 2.20, Fqm é o corpo de decomposi¸cão

de f (x) sobre Fq. As ra´ızes de f (x) tem a mesma ordem no grupo F∗qm pelo Teorema

2.22. Seja α ∈ F∗qm uma raiz qualquer de f (x). Ent˜ao obtemos pelo Lema 2.16

αe _{= 1, se e somente se, f (x) divide x}e _{− 1. Os resultados seguem a partir da}

defini¸c˜_{ao da ord(f ) e da ordem de α no grupo F}∗_qm.

Corol´_{ario 3.4. Se f (x) ∈ F}q[x] ´e um polinˆomio irredut´ıvel sobre Fq de grau m,

ent˜ao ord(f ) divide qm− 1.

Demonstração: Se f (x) = cx com c ∈ F∗q, então ord(f ) = 1, pois pela Defini¸cão

3.2 f (0) = 0, assim g(x) = c, g(0) 6= 0 e g(x) divide xe_{− 1, onde e ´e o menor inteiro}

tal que isso acontece. Caso contr´ario, o resultado segue do Teorema 3.3, pelo fato de que F∗q ´e um grupo de ordem qm − 1, sendo α ∈ F

∗

qm, ord(α) divide qm − 1 e

(34)

25

Para polinômios redut´ıveis o Corolário 3.4 não é válido (veja o exemplo 3.10). O Teorema 3.3 leva a uma fórmula para o número de polinômios mônico irredut´ıveis de dado grau e dada ordem. Vamos usar ϕ para denotar a fun¸cão de Euler. A terminologia seguinte ser´_{a conveniente: se n ∈ Z}+ é relativamente primo com b ∈

Z, então o menor inteiro positivo k para o qual bk ≡ 1 mod n é chamado ordem multiplicativa de b módulo n.

Teorema 3.5. O n´umero de polinˆomios mˆ_{onico irredut´ıveis de grau m em F}q[x] e

ordem e ´e igual a:

i) ϕ(e)/m se e ≥ 2 e m ´e a ordem multiplicativa de q m´odulo e; ii) 2 se m = e = 1;

iii) 0 em todos os outros casos.

Em particular, o grau de um polinˆ_{omio irredut´ıvel em F}q[x] de ordem e deve ser

igual a ordem multiplicativa de q m´odulo e.

Demonstração: Seja f (x) um polinômio irredut´ıvel em Fq[x] com f (0) 6= 0.

Ent˜ao de acordo com o Teorema 3.3 temos ord(f ) = e, se e somente se, todas as ra´ızes de f (x) s˜_{ao ra´ızes primitivas da unidade sobre F}q. Em outras palavras,

temos ord(f ) = e, se e somente se, f (x) divide o polinˆomio ciclotˆomico Qe. Pelo

Teorema 2.38 qualquer fator mˆonico irredut´ıvel de Qetem o mesmo grau m, o menor

inteiro positivo tal que qm _{≡ 1 mod e, e o n´}_{umero destes fatores ´}_{e dado por ϕ(e)/m.}

Para m = e = 1, considerando o polinˆomio mˆonico irredut´ıvel f (x) = x obtemos o resultado.

Os valores da ord(f (x)) estão dispon´ıveis na forma de tabelas, pelo menos para polinômios irredut´ıveis. Uma vez que qualquer polinômio de grau positivo pode ser escrito como um produto de polinômios irredut´ıveis, o cálculo das ordens dos polinômios pode ser feito quando souber determinar como a ordem de uma potência de um polinômio irredut´ıvel e a ordem do produto de polinômios relativamente primos dois a dois. A discussão seguinte é dedicada a estas questões.

(35)

Lema 3.6. Seja c ∈ Z+. Ent˜ao o polinˆomio f (x) ∈ Fq[x] com f (0) 6= 0 divide

xc− 1, se e somente se, ord(f ) divide c.

Demonstração: Se e = ord(f ) divide c, então f (x) divide xe− 1 e xe− 1 divide xc_{− 1, logo f (x) divide x}c_{− 1. Inversamente, se f (x) divide x}c_{− 1, temos c ≥ e,}

logo podemos escrever c = me + r, com m ∈ N e 0 ≤ r < e. Como xc− 1 = (xme− 1)xr+ (xr− 1),

segue-se que f (x) divide xr _{− 1, que s´}_{o ´}_{e poss´ıvel para r = 0. Portanto, e divide}

c.

Corolário 3.7. Se e1 e e2 são inteiros positivos, então o máximo divisor comum

entre xe1_{− 1 e x}e2 _{− 1 em F}

q[x] é xd− 1, onde d é o máximo divisor comum de e1

e e2.

Demonstração: Seja f (x) (mônico) o máximo divisor comum de xe1− 1 e xe2− 1.

Como xd_{− 1 ´e um divisor comum de x}e1_{− 1 e x}e2_{− 1, segue que x}d_{− 1 divide f (x).}

Por outro lado, f (x) ´e um divisor comum de xe1− 1 e xe2− 1, e pelo Lema 3.6 temos

que a ord(f ) divide e1 e e2. Consequentemente, ord(f ) divide d e, portanto, f (x)

divide xd_{− 1 pelo Lema 3.6. Deste modo, s´}_{o podemos ter f (x) = x}d_{− 1.}

Já que as potências de x são obtidas com antecedência ao determinar a ordem de um polinômio, não precisamos considerar as potências de polinômios irredut´ıveis g(x) com g(0) = 0.

Teorema 3.8. Seja g(x) ∈ Fq[x] irredut´ıvel sobre Fq com g(0) 6= 0 e ord(g) = e e

seja f (x) = gb_{(x) com b ∈ Z}+. Seja t o menor inteiro positivo tal que pt ≥ b, onde

p ´_{e a caracter´ıstica de F}q. Ent˜ao ord(f ) = ept.

Demonstrac¸˜ao: Assumindo c = ord(f ), note que a divisibilidade de xc− 1 por f (x) implica na divisibilidade de xc_{− 1 por g(x), obtemos assim que e divide c pelo}

Lema 3.6. Al´em disso, g(x) divide xe_{− 1, assim, f (x) divide (x}e_{− 1)}b _{e, a fortiori}1_,

(36)

27

divide (xe_{− 1)}pt

= xe_pt_{− 1. De acordo com Lema 3.6, c divide ep}t_{. Segue, a partir}

do que foi mostrado até aqui, que c = epu com 0 ≤ u ≤ t. Nota-se que xe − 1 tem apenas ra´ızes simples, uma vez que e não é múltiplo de p pelo Corolário 3.4. Portanto, todas as ra´ızes de

xepu− 1 = (xe_{− 1)p}u

tem multiplicidade pu. Mas gb(x) divide xepu− 1, por isso comparando as multipli-cidades das ra´ızes pu _{≥ b, e u ≥ t. Deste modo tempos u = t e c = ep}t_.

Teorema 3.9. Sejam g1(x), . . . , gk(x) polinˆomios n˜ao nulos dois a dois

relativa-mente primos sobre Fq e seja f (x) = (g1· · · gk)(x). Ent˜ao ord(f ) ´e igual ao m´ınimo

m´ultiplo comum de ord(g1), . . . , ord(gk).

Demonstração: É fácil ver que, é suficiente considerar o caso quando g(0) 6= 0 para 1 ≤ i ≤ k. Fa¸ca e = ord(f ) e ei = ord(gi) para 1 ≤ i ≤ k, e seja

c = mmc(e1, . . . , ek). Ent˜ao cada gi(x), 1 ≤ i ≤ k, divide xei − 1, e ent˜ao gi(x)

divide xc_{− 1. Por g}

1, . . . , gk serem dois a dois relativamente primos, temos que f (x)

divide xc− 1. Uma aplica¸c˜ao do Lema 3.6 mostra que e divide c. Por outro lado, f (x) divide xe_{− 1, e assim cada g}

i(x), 1 ≤ i ≤ k, divide xe− 1. Novamente pelo

Lema 3.6, segue-se que cada ei, 1 ≤ i ≤ k, divide e e assim c divide e. Deste modo,

concluimos que e = c.

Usando o mesmo argumento que anteriormente, nós conseguimos, de fato, mos-trar que a ordem do m´ınimo múltiplo comum de alguns polinômios não nulos é igual ao m´ınimo múltiplo comum das ordens desses polinômios.

Exemplo 3.10. Vamos calcular a ordem do polinˆomio f (x) = x10+ x9+ x3+ x2_{+ 1 ∈ F}2[x].

Fatorando f (x) sobre F2 temos:

(37)

que nos d´a

f (x) = (x2 + x + 1)3(x4+ x + 1).

Denote g1(x) = x2+ x + 1 e g2(x) = x4+ x + 1. Primeiramente ser´a determinado a

ordem de g3

1. Note que ord(x2+ x + 1) = 3 e como a caracter´ıstica de F2 ´e dois,

temos pelo Teorema 3.8 que 2t ≥ 3 o que resulta em t = 2. Deste modo, ord((x2+ x + 1)3) = 3 · 22 = 12.

Al´em disso, ord(x4+ x + 1) = 15 pela Defini¸c˜ao 3.2. Sendo f = g₁3g2, pelo Teorema

3.9 temos que f = g3

1g2, ent˜ao

ord(f ) = mmc(ord(g1), ord(g2)),

isto ´e, ord(f ) = mmc(12, 15) = 60. Temos que ord(f ) n˜ao divide 210_{− 1,}

isso nos dá um contra-exemplo para o Corolário 3.4, no qual o polinômio precisa ser irredut´ıvel.

Com base nas informa¸cões fornecidas acima, chegamos a seguinte fórmula geral para a ordem de um polinômio. Basta considerar polinômios de grau positivo e com termo constante não nulo.

Teorema 3.11. Seja Fq um corpo finito com caracter´ıstica p e seja f ∈ Fq[x] um

polinˆomio de grau positivo e com f (0) 6= 0. Seja f = afb1

1 · · · fb

k

k uma fatora¸c˜ao

canˆ_{onica de f em F}q[x], onde a ∈ Fq, b1, . . . , bk ∈ N e f1, . . . , fk polinˆomios mˆonico

irredut´ıveis em Fq[x]. Então ord(f ) = ept, onde e é o m´ınimo múltiplo comum de

ord(f1), . . . , ord(fk) e t ´e o menor inteiro tal que pt ≥ max{b1, . . . , bk}.

H´a uma rela¸c˜ao ´ıntima entre as ordens de f (x) e f (−x). Desde que f (x) = f (−x) para um corpo de caracter´ıstica dois, basta considerar corpos finitos de caracter´ıstica ´ımpar.

(38)

29

Teorema 3.12. Para q ´ımpar, seja f ∈ Fq[x] um polinˆomio de grau positivo com

f (0) 6= 0. Sejam e e E as ordens dos polinômios f (x) e f (−x) respectivamente. Então E = e se e é múltiplo de 4 e E = 2e se e é ´ımpar. Se e é duas vezes um número ´ımpar, então E = e/2 se todo fator irredut´ıvel de f tem mesma ordem e E = e caso contrário.

Demonstrac¸˜ao: Como ord(f (x)) = e, f (x) divide x2e− 1 e f (−x) divide (−x)2e_{− 1 = x}2e_{− 1. Assim E divide 2e pelo Lema 3.6. Pelo mesmo argumento, e}

divide 2E, e assim E só pode ser 2e, e ou e/2. Se e é múltiplo de 4, então e e E são pares. Como f (x) divide xe_{− 1, f (−x) divide (−x)}e_{− 1 = x}e_{− 1 e ent˜}_{ao E divide}

e. Analogamente, e divide E e isso nos dá E = e. Se e é ´ımpar, então f (−x) divide (−x)e_{− 1 = −x}e_{− 1 e também x}e_{+ 1. Ent˜}_{ao f (−x) n˜}_{ao pode dividir x}e_{− 1, e por}

isso devemos ter E = 2e. No restante dos casos temos e = 2h, com h um inteiro ´ımpar. Seja f uma potˆencia de polinˆ_{omio irredut´ıvel em F}q[x]. Ent˜ao f (x) divide

(xh − 1)(xh_{+ 1) e f (x) n˜}_{ao divide x}h_{− 1 com ord(f ) = 2h. Mas x}h _{− 1 e x}h_{+ 1}

s˜ao relativamente primos e isso implica que f (x) divde xh _{+ 1. Consequentemente,}

f (−x) divide (−x)h + 1 = −xh + 1 e também xh− 1. Segue que E = e/2. Note que pelo Teorema 3.8 a potência de um polinômio irredut´ıvel tem ordem ´ımpar se e somente se o polinômio irredut´ıvel próprio tem ordem ´ımpar. Para f (x) geral, temos a fatora¸cão f = g1· · · gk, onde cada gi é uma potência de um polinômio irredut´ıvel

e g1, . . . , gk s˜ao dois a dois primos entre si. Al´em disso,

2h = mmc{ord(g1), . . . , ord(gk)}

de acordo com o Teorema 3.9. Organizamos os gi de tal forma que ord(gi) = 2hi,

para 1 ≤ i ≤ m e ord(gi) = hi para m + 1 ≤ i ≤ k, onde hi s˜ao inteiros ´ımpares com

mmc{h1, . . . , hk} = h. Pelo que j´a foi demonstrado, temos que ord(gi(−x)) = hi

para 1 ≤ i ≤ m e ord(gi(−x)) = 2hi para m + 1 ≤ i ≤ k. Ent˜ao pelo Teorema 3.9

temos

(39)

e assim E = h = e/2 se m = k e E = 2h = e se m < k. Essas fórmulas são equivalentes às dadas na última parte do enunciado.

Segue, a partir do Lema 3.1 e da Defini¸cão 3.2, que a ordem do polinômio de grau m ≥ 1 sobre Fq é no máximo qm − 1. Essa cota é atingida para uma classe

importante de polinômios, a saber, os chamados polinômios primitivos. A defini¸cão de polinômio primitivo é baseada na no¸cão de elemento primitivo introduzida na Defini¸cão 2.25.

Defini¸cão 3.13. Um polinˆ_{omio f (x) ∈ F}q[x] de grau m ≥ 1 é chamado polinômio

primitivo sobre Fq se for o polinˆomio minimal sobre Fq de um elemento primitivo

de Fqm.

Um polinˆ_{omio primitivo sobre F}qde grau m pode ser descrito como um polinˆomio

mˆonico que ´_{e irredut´ıvel sobre F}q e tem uma raiz α ∈ Fqm que gera o grupo

multi-plicativo de Fqm. Polinˆomios primitivos tamb´em podem ser caracterizados como se

segue.

Teorema 3.14. Um polinˆ_{omio f (x) ∈ F}q[x] de grau m ´e um polinˆomio primitivo

sobre Fq se, e somente se, f (x) ´e mˆonico, f (0) 6= 0, e ord(f ) = qm− 1.

Demonstração: Se f (x) é primitivo sobre Fq, então f é mônico e f (0) 6= 0. Como

f ´_{e irredut´ıvel sobre F}q, temos ord(f ) = qm − 1 pelo Teorema 3.3 e, de fato, f

tem um elemento primitivo de Fqm que ´e uma raiz. Reciprocamente, a propriedade

ord(f ) = qm _{− 1 implica que m ≥ 1. Logo, temos que f ´e irredut´ıvel sobre F} q.

Então f é uma potência de um polinômio ou ele pode ser escrito como produto de dois polinômios relativamente primos de grau positivo. No primeiro caso, temos f = gb_{, com g ∈ F}q[x] irredut´ıvel sobre Fq, g(0) 6= 0 e b ≥ 2. Então, de acordo

com o Teorema 3.8, ord(f ) ´_{e divis´ıvel pela caracter´ıstica de F}q, mas qm − 1 n˜ao ´e,

contradi¸cão! No segundo caso, temos f = g1g2 onde g1, g2 ∈ Fq[x] são polinômios

mˆonicos relativamente primos e de grau positivo m1 e m2, respectivamente. Se

(40)

31

ei ≤ qmi − 1, i = 1, 2, pelo Lema 3.1, consequentemente

ord(f ) ≤ (qm1 _{− 1)(q}m2 _{− 1) < q}m1+m2 _{− 1 = q}m_{− 1,}

contradi¸c˜ao! Portanto, f ´_{e irredut´ıvel sobre F}q e, pelo que diz o Teorema 3.3, f ´e

um polinˆ_{omio primitivo sobre F}q.

Exemplo 3.15. Tome o corpo finito

F8[x] = {0, 1, x, x2, 1 + x, 1 + x2, x + x2, 1 + x + x2}.

Pelo Teorema 3.14 temos que o polinômio mônico p(x) = x3+ x + 1 é o polinômio primitivo do corpo F8[x], pois p(0) = 1 6= 0 e ord(p(x)) = 23− 1 = 7 pela Defini¸cão

3.2.

Observamos que a condi¸cão f (0) 6= 0 no Teorema 3.14 só é necessária para excluir o polinômio não-primitivo f (x) = x no caso q = 2 e m = 1. Outra caracter´ıstica do polinômio primitivo é baseado no seguinte resultado auxiliar:

Lema 3.16. Seja f ∈ Fq[x] um polinˆomio de grau positivo com f (0) 6= 0. Seja r o

menor inteiro positivo para o qual xr _´_{e congruente a algum elemento de F}

q m´odulo

f (x), de modo que xr _{≡ a mod f (x), sendo a ∈ F}∗_q unicamente determinado. Ent˜ao ord(f (x)) = hr, onde h ´_{e a ordem de a no grupo multiplicativo F}∗_q.

Demonstração: Coloque e = ord(f ). Como xe ≡ 1 mod f (x), devemos ter e ≥ r. Então podemos escrever e = sr + t, com s ∈ N e 0 ≤ t ≤ r. Agora

1 ≡ xe ≡ xsr+t _{≡ a}s_xt_{mod f (x),} _(3.1)

logo xt_{≡ a}−s_{mod f (x) e por causa da defini¸c˜}_{ao de r, isso s´}_{o ´}_{e poss´ıvel se t = 0. A}

congruência (3.1) nos dá, em seguida, as ≡ 1 mod f (x), então as = 1 e assim s ≥ h e e ≥ hr. Por outro lado,

xhr ≡ ah _{≡ 1 mod f (x),}

(41)

Teorema 3.17. O polinômio mˆ_{onico f ∈ F}q[x] de grau m ≥ 1 é um polinômio

primitivo sobre Fq se, e somente se, (−1)mf (0) ´e um elemento primitivo de Fq e o

menor inteiro positivo r para o qual xr_´_{e congruente a algum elemento de F}

q m´odulo

f (x) ´e

r = (qm− 1)/(q − 1). No caso em que f (x) ´_{e primitivo sobre F}q temos

xr ≡ (−1)mf (0) mod f (x).

Demonstração: Se f (x) é primitivo sobre Fq, então f tem uma raiz α ∈ Fqm que

´_{e um elemento primitivo de F}qm. Calculando a norma N

Fqm/Fq(α), pelas Defini¸c˜oes

2.26 e 2.27, e observando que f ´_{e carcater´ıstica polinomial de α sobre F}q, chegamos

a identidade

(−1)mf (0) = α(qm−1)/(q−1). (3.2) Segue que a ordem de (−1)m_{f (0) em F}∗_q é q − 1, logo, (−1)mf (0) é um elemento primitivo de Fq. Uma vez que f é o polinômio minimal de α sobre Fq, a identidade

(3.2) implica que

x(qm−1)/(q−1)≡ (−1)m_{f (0)mod f (x)}

e assim, r ≤ (qm_{−1)/(q−1). Mas pelo Teorema 3.14 e Lema 3.16 temos que q}m_{−1 =}

ord(f (x)) ≤ (q − 1)r, logo r ≥ (qm− 1)/(q − 1). Portanto, r = (qm _{− 1)/(q − 1).}

Reciprocamente, suponha que as condi¸c˜oes do Teorema sejam satisfeitas. Segue que r = (qm− 1)/(q − 1)

e pelo Lema 3.16 temos que a ord(f )é relativamente prima com q. Então o Teorema 3.11 mostra que f pode ser fatorado na forma f = f1· · · fk, onde os fisão polinômios

mˆ_{onicos distintos irredut´ıveis sobre F}q se mi = gr(fi), logo ord(fi) divide qmi− 1,

para 1 ≤ i ≤ k de acordo com o Corol´ario 3.4. Agora, qmi − 1 divide

(42)

33

ent˜ao ord(fi) divide d para 1 ≤ i ≤ k. E assim, pelo Lema 3.6 tem-se f (x) divide

xd− 1 para 1 ≤ i ≤ k e assim f (x) divide xd_{− 1. Se k ≥ 2, ent˜}_ao

d < (qm1+···+mk_{− 1)/(q − 1) = (q}m_{− 1)/(q − 1) = r,}

contradizendo a defini¸c˜ao de r. Portanto, k = 1 e f ´_{e irredut´ıvel sobre F}q. Se β ∈ Fqm

´e uma raiz de f , segue, pelo argumento principal (3.2) que βr = (−1)mf (0), e assim xr ≡ (−1)m_{f (0)mod f (x).}

Uma vez que a ordem de (−1)mf (0) em F_q∗ ´e q − 1, resulta pelo Lema 3.16 que ord(f ) = qm_{− 1, deste modo, f ´e primitivo sobre F}

q pelo Teorema 3.14.

Observa¸cão 3.18. Nos Teoremas a seguir serão omitidas as demonstra¸cões, pois são demasiadamente longas. Tais demonstra¸cões podem ser encontradas em [4] nas páginas 87 e 88, respectivamente.

Teorema 3.19. Seja α um elemento da extens˜_{ao do corpo F}qm de F_q. Suponha que

o grau de α sobre Fq é d e que g(x) ∈ Fq[x] é o polinômio minimal de α sobre Fq.

Ent˜ao:

i) g(x) ´_{e irredut´ıvel sobre F}q e o grau d divide m

ii) Um polinˆ_{omio f (x) ∈ F}q[x] satisfaz f (α) = 0 se, e somente se, g divide f .

iii) Se f (x) ∈ Fq[x] é um polinômio mônico irredut´ıvel com f (α) = 0, então f = g.

iv) g(x) divide xqd

− x e xqm

− x.

v) As ra´ızes de g(x) s˜ao α, αq, . . . , αqd−1, e g ´e o polinˆ_{omio minimal sobre F}q de

todos esses elementos.

vi) Se α 6= 0, ent˜ao ord(g) ´_{e igual a ordem de α no grupo multiplicativo F}∗_qm.

vii) g(x) ´e um polinˆ_{omio primitivo sobre F}q se, e somente se, α ´e a ordem de qd− 1

em F∗qm.

Vamos descrever o princ´ıpio geral para obter um novo polinômio a partir dos primeiros conhecidos. Ele depende de um resultado auxiliar da teoria de números. Lembramos que se n é um inteiro positivo e um inteiro b é relativamente primo

(43)

com n, ent˜ao o menor inteiro positivo k para o qual bk _{≡ 1 mod n ´e chamado ordem}

multiplicativa de b m´odulo n. Notamos que essa ordem multiplicativa divide qualquer outro inteiro positivo h para o qual bh _{≡ 1 mod n.}

Lema 3.20. Seja s ≥ 2 e e ≥ 2 inteiros relativamente primos e seja m a ordem multiplicativa de s m´odulo e. Seja t ≥ 2 um inteiro cujo fatores primos divide e mas n˜ao divide (sm − 1)/e. Admita que sm _{≡ 1 mod 4 se t ≡ 0 mod 4. Ent˜}_{ao a}

ordem multiplicativa de s m´odulo et ´e igual a mt.

Teorema 3.21. Seja f1(x), . . . , fn(x) polinˆomios mˆonicos irredut´ıveis em Fq[x] de

grau m e ordem e e seja t ≥ 2 um inteiro cujos fatores primos divide e mas n˜ao divide (qm_{− 1)/e. Admita q}m _{≡ 1 mod 4 se t ≡ 0 mod 4. Ent˜}_{ao f}

1(xt), . . . , fn(xt)

(44)

Conclus˜

ao

Apresentamos, neste trabalho, como definir a ordem de um polinômio e a liga¸cão enre polinômios primitivos e polinômios de maior ordem poss´ıvel para um determi-nado grau. Vimos que a ordem de um polinômio pode ser caracterizada como a ordem de uma ra´ız deste polinômio. Aprendemos a quantificar polinômios mônico irredut´ıveis usando a Fun¸cão de Euler, calculamos a ordem de uma potência de um polinômio irredut´ıvel e a ordem do produto de polinômios relativamente primos dois a dois. Mostramos também que a ordem de um polinômio mônico escrito como pro-duto de polinômios irredut´ıveis é dada pelo minimo múltiplo comum das ordens dos polinômios irredutiveis. E por fim vimos que a ordem de um polinômio primitivo é no máximo qm− 1, onde m é o grau do polinômio e q a caracter´ıstica do corpo.

(45)

[1] GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de ´Algebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2008.

[2] HEFEZ, Abramo; VILLELA, Maria Lucia T. C´odigos Corretores de erros. Rio de Janeiro: IMPA, 2008.

[3] HERSTEIN, I. N. Topics in Algebra. New Jersey: Prentice-Hall, 1996. [4] LIDL, Rudolf; NIEDERREITER, Harald., Introduction to finite fields and

their applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1986. [5] McCarthy, Paul; Algebraic Extensions of Fields. New York, 1976.

[6] MESQUITA, Aline Mota; Teoria dos Códigos Corretores de Erros. Mono-grafia Especializa¸cão em Matemática. UFG, 2005.