Outras Realidades. Ou: Quão bem conhecemos as nossas operações elementares?

Outras Realidades

Ou: Quão bem conhecemos as nossas operações elementares ?

Operações Binárias

Todos conhecem

+ -

x ÷

Operações Binárias

Dado um conjunto

A

elementos de A num outro elemento de A: elementos de A num outro elemento de A: Θ : A x A
_{A ou}

Operações Binárias

Será que as nossas conhecidas operações são Operações Binárias ?

+ e x SIM !

- e ÷

?

Conjuntos Especiais

P - Conjunto de todos os Números Primos N - Conjunto dos Números Naturais

Z - Conjunto dos Números Inteiros Q - Conjunto dos Números Racionais Q - Conjunto dos Números Racionais R - Conjunto dos Números Reais

Operações Binárias

Para classificarmos uma aplicação de “Operação Binária” é necessário um conjunto...

A = {0, 1, 2, 3}

B = { -1, 0, 1}

A = {0, 1, 2, 3}

B = { -1, 0, 1}

N

Z

Q

R

Em quais destes conjuntos podemos dizer

que as nossas conhecidas operações +, -, x

e ÷ são operações binárias ?

Grupóide ?

Se uma aplicação Θ num conjunto A define uma operação binária diz-se que o par

(A, Θ)

Propriedades das Operações

• COMUTATIVIDADE

Sejam x, y quaisquer elementos de A Θ é comutativa em A se e só se

x Θ y = y Θ x Exemplos ?

Propriedades das Operações

• ASSOCIATIVIDADE

Sejam x, y, z quaisquer elementos de A Θ é associativa em A se e só se

(x Θ y) Θ z = x Θ (y Θ z) Exemplos ?

Propriedades das Operações

• UNIDADE

Seja u um elemento de A.

Diz-se que u é a UNIDADE ou ELEMENTO NEUTRO de Θ em A se e só se qualquer que seja x de A

de Θ em A se e só se qualquer que seja x de A x Θ u = u Θ x = x

Propriedades das Operações

• ELEMENTO OPOSTO

Seja x um elemento de A e u o elemento neutro de Θ em A.

Diz-se que x’ é o ELEMENTO OPOSTO de X Diz-se que x’ é o ELEMENTO OPOSTO de X

relativamente a Θ se e só se:

Coisas mais complicadas...

Outras realidades ... Parte Ι

Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}

a) Construam uma operação binária em A que seja comutativa

seja comutativa

b ) Construam uma operação binária em A que tenha elemento neutro, mas que não seja comutativa, nem garanta a existência de oposto para todos os elementos

Outras realidades ... Parte Ι

Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}

c) Construam uma operação binária em A que tenha elemento neutro, mas que não seja tenha elemento neutro, mas que não seja comutativa e que garanta a existência de oposto para todos os elementos

d) Investiguem se serão associativas as operações definidas em b) e c)

Outras realidades ... Parte ΙΙ

Considere o conjunto R e a aplicação:

x Θ y = x + y + 1

a) Justifique que é uma operação binária. a) Justifique que é uma operação binária.

b) Será comutativa? E associativa? Determine se admite elemento neutro e em caso afirmativo deduza a expressão do elemento oposto de x

c) Resolvam as equações: i) x Θ 3 = 2

Outras realidades ... Parte ΙΙΙ

a) Indique quais delas são operações binárias.

b) De entre as operações binárias, investigue quais as que são comutativas, associativas, as que admitem elemento neutro e as que admitem elemento oposto de para todos

Outras realidades ... Parte IV

E agora algo MUITO mais difícil:

Construa uma operação binária em R que seja associativa, admita elemento neutro e que garanta a existência de oposto para todos os garanta a existência de oposto para todos os elementos reais.

Proponha uma equação para ser resolvida por outro grupo.

Vencerá o grupo que resolver primeiro a equação fornecida pelo outro grupo

Coisas AINDA mais complicadas...

E se considerarmos duas operações num só conjunto ?

Exemplo: (R, + , x )

Nesse caso podemos definir estruturas muito mais complexas...

Coisas AINDA mais complicadas...

(A, Θ , φ )

Propriedades:

Comutatividade e Associatividade de Θ Elemento neutro de Θ (Zero - 0 )

Elemento neutro de Θ (Zero - 0 )

Elemento Oposto relativamente a Θ (Simétrico) Comutatividade e Associatividade de φ

Elemento neutro de φ (Unidade - 1)

Elemento Oposto relativamente a φ (Inverso) Distributividade de φ relativamente a Θ

Coisas AINDA mais complicadas...

Estruturas algébricas

O que vimos hoje foi uma pequena introdução ao estudo das estruturas algébricas.

A área da Matemática que estuda estas questões chama-se ÁLGEBRA e é uma das mais antigas áreas científicas e uma das bases fundamentais da Matemática moderna.