n. 15 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

n. 15 – EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Seja A (x1, y1, z1) um ponto que pertence ao plano π e 𝑛⃗ = a 𝑖 + b 𝑗 + c 𝑘⃗ , sendo 𝑛⃗ ≠ (0, 0, 0) um vetor ortogonal ao plano.

O plano π pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do espaço, tais que o vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ é ortogonal a 𝑛⃗ .

O ponto P pertence a

𝜋

se, e somente se: 𝑛⃗ . 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 Seja 𝑛⃗ = (a, b, c) e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = P – A = (x, y, z) – ( x1, y1, z1) = (x – x1, y – y1, z – z1) Logo, 𝑛⃗ . 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 (a, b, c) . (x – x1, y – y1, z – z1) = 0 a (x – x1) + b (y – y1) + c(z – z1) = 0 a x – a x1 + b y – b y1 + c z – c z1 = 0 Fazendo: – a x1 – b y1 – c z1 = d Temos:

a x + b y + c z + d = 0 que é a equação geral do plano ou equação cartesiana do plano

 d é o termo independente, uma constante que influencia na interseção entre o plano e os eixos cartesianos.

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO: a x + b y + c z + d = 0

Equação vetorial do plano

Seja A (x0, y0, z0) um ponto do plano π e 𝑢⃗ = (a1, b1, c1) e 𝑣 = (a2, b2, c2) dois vetores não paralelos pertencentes a esse plano.

Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano π, se e somente se, existem números reais h e k tais que:

𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗ = h 𝑢⃗ + k 𝑣

(adição de vetores pela construção do paralelogramo)

Escrevendo a equação em coordenadas temos: 𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗ = h 𝑢⃗ + k 𝑣

P – A = h (a1, b1, c1) + k (a2, b2, c2) P = A + h (a1, b1, c1) + k (a2, b2, c2)

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h (a1, b1, c1) + k(a2, b2, c2)  equação vetorial do plano

(x, y, z) = (x0 + h a1 + k a2, y0 + h b1 + k b2, z0 + h c1 + k c2)  equação vetorial do plano

Os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 são chamados de vetores diretores do plano 𝜋.

Equações paramétricas do plano

{

𝑥 = 𝑥₀ + 𝑎₁ℎ + 𝑎₂ 𝑘 𝑦 = 𝑦₀ + 𝑏₁ℎ + 𝑏₂ 𝑘 𝑧 = 𝑧₀ + 𝑐₁ℎ + 𝑐₂ 𝑘

Exercícios:

1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, – 5) e é ortogonal ao vetor 𝑛⃗ = (1, 2, 6) R: α: x + 2 y + 6 z + 19 = 0 2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A (– 3, 2, 0) e é paralelo ao plano α: 4 x + 5 y – 7 z + 8 = 0. R: π: 4 x + 5 y – 7 z + 2 = 0 3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (– 1, 3, – 5) e é paralelo

aos vetores 𝑢⃗ = (2, 4, 6) e 𝑣 = (1, 0, 3). R: α: 3 x – z – 2 = 0 4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, – 1, 4)

e B (4, – 3, – 2). R: α: x – y – 3z – 2 = 0 5. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1,

3) e é paralelo aos vetores 𝑢⃗ = (– 3, – 3, 1) e 𝑣 = (2, 1, – 2).

6. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4).

7. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é paralelo ao plano: α: 2 x – 3 y + z – 6 = 0 R: 𝜋: 2 x – 3 y + z + 1 = 0 8. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é

ortogonal à reta 𝑟: {

𝑥 = −4 + 3𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡

𝑧 = 𝑡

R: δ: 3 x + 2 y + 1 z - 6 = 0

9. São dadas as equações paramétricas de um plano 𝛼: {

𝑥 = 1 − 2𝑢 + 𝑣 𝑦 = 2 + 𝑢 − 2 𝑣

𝑧 = 3 + 𝑢

Encontre a equação geral. 𝑅: 𝛼: 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 13 = 0 10. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 3, 2) e têm à direção do vetor 𝑣 = ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x – y + z + 3 = 0 11. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao

vetor 𝑣 = ( - 2, 3, 1). R: – 2x + 3y + z + 9 = 0 12. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0 R: 𝑛⃗ = ( 2 √6 , 1 √6 , − 1 √6 )

13. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 2x + 11y + 8z = 27. R: a = 1 14. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa

pelos pontos A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2). R: π: x + y – z – 1 = 0 e 𝜋: {

𝑥 = 4 − 5 𝑢⃗ − 𝑣 𝑦 = −2 + 3 𝑢⃗ + 2 𝑣

𝑧 = 1 − 2 𝑢⃗ + 𝑣 15. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo

16. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é ortogonal à reta: 𝑥 − 1 −2 = 𝑦 + 1 1 = 𝑧 − 2 −1 R: π: – 2 x + y – z + 9 = 0

17. Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores 𝑢⃗ = (- 2, 0,1) e 𝑣 = (- 1, - 2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0). R: π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0 18. Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos 𝑀 (1

2 , 0, 0), 𝑁 (0,1 2 , 0) e 𝑂 (0, − 1 2 , 1 2) R: α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0

19. Calcule o valor de k para que os planos π: 3x – y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y

– z – 2 = 0 sejam ortogonais. R: 𝑘 = 4 3

Resolução dos exercícios:

1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, – 5) e é ortogonal ao vetor 𝑛⃗ = (1, 2, 6)

Equação geral: a x + b y + c z + d = 0 (a, b, c) é o vetor normal

(x1, y1, z1) é o ponto que pertence ao plano: A (3, 4, – 5) d = – a x1 – b y1 – c z1

∴ 1 x + 2 y + 6 z + [– 1 (3) – 2 (4) – 6 (– 5) ] = 0 ∴ 1 x + 2 y + 6 z + [– 3 – 8 + 30 ] = 0

2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A (– 3, 2, 0) e é paralelo ao plano α: 4 x + 5 y – 7 z + 8 = 0.

Se π é paralelo ao plano α, um vetor normal é (4, 5, – 7)

Então a equação do plano é: 4 x + 5 y – 7 z + [– 4 (– 3) – 5 (2) + 7 (0)] = 0 4 x + 5 y – 7 z + 12 – 10 = 0

4 x + 5 y – 7 z + 2 = 0

3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (– 1, 3, – 5) e é paralelo aos vetores 𝑢⃗ = (2, 4, 6) e 𝑣 = (1, 0, 3).

O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre 𝑢⃗ e 𝑣 , ou seja, 𝑛⃗ = (𝑢⃗ x 𝑣 ) = | 𝑖 𝑗 𝑘 2 4 6 1 0 3 | = (12 - 0) i – (6 – 6) j + (0 – 4)k = 12 i – 4 k = (12, 0, - 4) ∴ a equação do plano é: 12 x + 0 y – 4 z + [- 12 (- 1) – 0 (3) – (- 4) (- 5) ] = 0 12 x – 4 z + 12 – 20 = 0 12 x – 4 z – 8 = 0 α: 3 x – z – 2 = 0

4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, – 1, 4) e B (4, – 3, – 2).

O plano mediador de AB é o plano ortogonal a AB e que contém seu ponto médio.

Logo, um vetor normal a este plano é 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = B – A = (4, – 3, – 2) – (2, – 1, 4) = (2, – 2, – 6)

𝐴 + 𝐵 2 = 2 + 4 2 , − 1 +(−3) 2 , 4 +(−2) 2 = 6 2 , − 4 2 , 2 2 = (3 , − 2 , 1) ∴ a equação do plano é: 2 x – 2 y – 6 z + [– 2 (3) – (– 2) (– 2) – (– 6) (1) ] = 0 2 x – 2y – 6 z – 6 – 4 + 6 = 0 2 x – 2y – 6 z – 4 = 0 x – y – 3z – 2 = 0

5. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1, 3) e é paralelo aos vetores 𝑢⃗ = (– 3, – 3, 1) e 𝑣 = (2, 1, – 2).

{ 𝑥 = 𝑥₀ + 𝑎₁ℎ + 𝑎₂𝑘 𝑦 = 𝑦₀ + 𝑏₁ℎ + 𝑏₂𝑘 𝑧 = 𝑧₀ + 𝑐₁ℎ + 𝑐₂𝑘 { 𝑥 = 2 − 3ℎ + 2𝑘 𝑦 = 1 − 3ℎ + 1𝑘 𝑧 = 3 + 1ℎ − 2𝑘

Se quisermos um ponto de plano, basta atribuir valores quaisquer para h e k. Por exemplo: se h = 5 e k = 1, temos

{

𝑥 = 2 − 3(5) + 2(1) → 𝑥 = −11 𝑦 = 1 − 3(5) + 1(1) → 𝑦 = −13

𝑧 = 3 + 1(5) − 2(1) → 𝑧 = 6 Logo, B (- 11, - 13, 6) é um ponto do plano.

Para descobrir a equação geral do plano:

O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre 𝑢⃗ e 𝑣 , ou seja, 𝑛⃗ = (𝑢⃗ x 𝑣 ) = | 𝑖 𝑗 𝑘 −3 −3 1 2 1 −2 | = (6-1) i – (6 – 2) j + (-3+6)k = 5i – 4j +3 k = (5,- 4,3) ∴ a equação do plano é: 5 x – 4 y + 3 z + [– 5 (2) – (– 4) (1) – 3 (3) ] = 0 5 x – 4 y +3z +[ – 10 +4 -9) = 0 5 x – 4 y +3 z – 5 = 0 α: 5 x – 4y +3z – 5 = 0

6. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4).

Primeiro descobrir se os pontos são colineares ou não. Logo, det = 0  colinearidade.

[

5 7 −2 5 7

8 2 −3 8 2

1 2 4 1 2

] = 40 − 21 − 32 + 4 + 30 − 224 = −277 + 74 = −203

Três pontos não colineares determinam um plano, assim: 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = B – A = (8, 2, - 3) – (5, 7, - 2) = (3, - 5, - 1) 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = C – A = (1, 2, 4) – (5, 7, - 2) = (- 4, - 5, 6)

Logo, as paramétricas desse plano, utilizando o ponto A são: {

𝑥 = 5 + 3ℎ − 4𝑘 𝑦 = 7 − 5ℎ − 5𝑘 𝑧 = −2 − 1ℎ + 6𝑘

7. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é paralelo ao plano: α: 2 x – 3 y + z – 6 = 0

Se os dois planos são paralelos então o vetor normal (ortogonal) ao plano α também é ortogonal ao plano π, logo 𝑛⃗ = ( 2, - 3, 1).

Então a equação do plano π pode ser escrita como: 2 x – 3 y + z + d = 0 Descobrindo d:

d = – 2 ( 3) – (–3) . (1 ) – 1 (– 4) + d = – 6 + 3 + 4

d = 1

Logo a equação do plano π é: 2 x – 3 y + z + 1 = 0

8. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é ortogonal à reta 𝑟: {

𝑥 = −4 + 3𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡

𝑧 = 𝑡

Se o plano δ é ortogonal a reta r, então o vetor diretor de r será um vetor ortogonal ao plano δ, logo, 𝑛⃗ = (3, 2, 1) então, a equação do plano pode ser escrita como:

δ: 3 x + 2 y + 1 z + d = 0 3 (2) + 2 (1) + 1 (– 2) + d = 0 6 + 2 – 2 + d = 0

d = – 6

Logo, a equação do plano δ é: δ: 3 x + 2 y + 1 z – 6 = 0

9. São dadas as equações paramétricas de um plano: {

𝑥 = 1 − 2𝑢 + 𝑣 𝑦 = 2 + 𝑢 − 2 𝑣

𝑧 = 3 + 𝑢

Encontre a equação geral.

Os vetores 𝑢⃗ = (−2, 1, 1) e 𝑣 = (1, −2, 0) são vetores diretores do plano. O vetor 𝑢⃗ 𝑥 𝑣 (produto externo) é o vetor normal ao plano, logo:

𝑢⃗ 𝑥 𝑣 = [ 𝑖 𝑗 𝑘 ⃗ −2 1 1 1 −2 0 ] = 2 𝑖 + 1 𝑗 + 3 𝑘⃗ = 𝑢⃗ 𝑥 𝑣 = (2, 1, 3) Ponto do plano: A (1, 2, 3)

Descobrindo o termo independente “d”: d = – 1 . (2) – 2 . (1) – 3 . (3)

d = – 13

Logo, a equação geral do plano é: 2 x + y + 3 z – 13 = 0

10. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 3, 2) e têm à direção do vetor 𝑣 = ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x – y + z + 3 = 0 AB = B – A = (-1, 3, 2) – (0, 4, 1) = ( - 1, - 1, 1) = u

Outro vetor do plano: v = (-1, 3, 5)

𝑢⃗ 𝑥 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘 −1 − 1 1 −1 3 5 | = (−5 − 3)𝑖 − (−5 + 1) 𝑗 + (−3 − 1)𝑘 = (− 8, 4, −4) 𝑛⃗ = ( - 8, 4, - 4) utilizando o ponto A

𝑑 = −(−8)(0) − 4 (4) − (−4) (1) 𝑑 = −16 + 4

d = - 12

Logo, π: 2 x – y + z + 3 = 0

11. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao vetor 𝑣 = ( - 2, 3, 1). R: π: – 2x + 3y + z + 9 = 0

d = - (-2) (4) – 3 (- 1) – (1) 2 d = 8 + 3 - 2

d = 9

Logo, a equação do plano é π: – 2x + 3y + z + 9 = 0

12. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0 𝑛⃗ = (2, 1, -1) |𝑛⃗ | = √22 _{+ 1}2 _{+ (−1)}2 _{= √6} 𝑢⃗ ′ = 𝑛⃗ |𝑛⃗ | = ( 2 √6 , 1 √6, − 1 √6 )

13. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 2x + 11y + 8z = 27. R: a = 1

Lembrando que: d = – a x1 – b y1 – c z1

d = - 2 x0 – 11 y0 – 8 z0

- 27 = - 2 a – 11 (3) – 8 (-1) 2 a = - 33 + 8 + 27

2 a = 2 a = 1

14. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2). 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = B – A = (-1, 1, -1) – (4, - 2 , 1) = (- 5, 3, - 2) = 𝑢⃗ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = C – A = (3, 0, 2) – (4, - 2 , 1) = (- 1, 2, 1) = 𝑣 𝑢⃗ 𝑥 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘 −5 3 −2 −1 2 1 | = 7 𝑖 + 7 𝑗 − 7𝑘 = (7, 7, −7) → 𝑛⃗ = (7, 7, −7)

Encontrando d pelo ponto A d = - 7 (4) – 7 (- 2) – (-7) 1 d = - 28 + 14 + 7

d = - 7

Logo, a equação geral é π: x + y – z – 1 = 0

Vetorial pelo ponto A: 𝜋: {

𝑥 = 4 − 5 𝑢⃗ − 𝑣 𝑦 = −2 + 3 𝑢⃗ + 2 𝑣 𝑧 = 1 − 2 𝑢⃗ + 𝑣 R: π: x + y – z – 1 = 0 e 𝜋: { 𝑥 = 4 − 5 𝑢⃗ − 𝑣 𝑦 = −2 + 3 𝑢⃗ + 2 𝑣 𝑧 = 1 − 2 𝑢⃗ + 𝑣

15. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo ao plano yOz. R: π: x – 1 = 0

Como é paralelo ao yOz (eixo y, origem e o eixo z) e a normal é ortogonal ao plano temos:

𝑛⃗ = (𝑥, 0, 0)

x pode ser qualquer valor, então tomamos x como 1

Logo, para x = 1, pois 1 é o valor no eixo x para que o ponto pertença ao plano, temos: 𝑛⃗ = ( 1,0, 0)

𝑛⃗ = (1, 0, 0) e P = (1, 2, –3 ) d = – 1 (1) – 0 (2) – 0 (– 3) d = – 1

Portanto, π: x – 1 = 0

16. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é ortogonal à reta: 𝑥 − 1 −2 = 𝑦 + 1 1 = 𝑧 − 2 −1

Vetor diretor da reta: (– 2, 1, – 1)

d = 6 + 1 + 2 d = 9

Portanto, π: – 2 x + y – z + 9 = 0 R: π: – 2 x + y – z + 9 = 0

17. Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores 𝑢⃗ = (– 2, 0,1) e 𝑣 = (– 1, – 2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0).

Como 𝑢⃗ e 𝑣 não são paralelos fazemos produto externo:

𝑢⃗ 𝑥 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘 −2 0 1 −1 −2 1 | = 2 𝑖 − (−2 + 1)𝑗 + 4𝑘 = 2 𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 = (2, 1, 4) 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑛⃗ = (2, 1, 4) A (1, 1, 0) d = – 2 (1) – 1 (1) – 4 (0) d = – 2 – 1 d = – 3 π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0 R: π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0

18. Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos 𝑀 (1

2 , 0, 0), 𝑁 (0,1 2 , 0) e 𝑂 (0, − 1 2 , 1 2)

Como 3 pontos determinam um plano, então com os 3 pontos dados obtemos os vetores: 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = N – M =(0,1 2 , 0) − ( 1 2 , 0, 0) = (− 1 2 , 1 2, 0) = 𝑢 𝑀𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = O – M =(0, −1 2 , 1 2) − ( 1 2 , 0, 0) = (− 1 2, − 1 2 , 1 2) = 𝑣 𝑢⃗ 𝑥 𝑣 = _|| 𝑖 𝑗 𝑘 −1 2 1 2 0 − 1 2 − 1 2 1 2 | | ₌ 1 4 𝑖 + 1 4 𝑗 + 1 2 𝑘 = ( 1 4 , 1 4, 1 2) → 𝑛⃗ = ( 1 4 , 1 4, 1 2)

Encontrando o d a partir do ponto M (1

2 , 0, 0): d = − 1 4 ( 1 2) − 1 4(0) − 1 2 (0) d = − 1 8 Logo, 1 4 𝑥 + 1 4 𝑦 + 1 2 𝑧 − 1

8 = 0  multiplicando tudo por 8: α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0

19. Calcule o valor de k para que os planos π: 3x – y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y

– z – 2 = 0 sejam ortogonais.

produto interno = zero (3, -1, 1) . (k, 3, -1) = 0

3 k – 3 – 1 = 0 3 k = 4

𝑘 = 4 3

Referências Bibliográficas

BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.

NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.

STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990. VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949.