Experimentos com o ressonador de Helmholtz.

Experimentos com o ressonador de Helmholtz.

Prof. Niels Fontes Lima

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia

Determinação da frequência natural e do fator de qualidade de um Ressonador de Helmholtz.

O ressonador de Helmholtz é um sistema simples composto por um volume de ar confinado e um gargalo, como uma garrafa. O ar contido no gargalo oscila em primeira aproximação como um oscilador harmônico amortecido. As equações do movimento do ar contido no gargalo são facilmente derivadas a partir de conhecimentos básicos de teoria dos fluidos e mecânica e são

análogas às equações de um sistema massa-mola amortecido. A frequência própria ou natural do oscilador e o tempo de relaxação ou fator de qualidade dependem de parâmetros geométricos, como volume do ressonador,

comprimento e diâmetro do gargalo, e da velocidade do som, e podem ser calculados a partir das relações deduzidas em “O Ressonador de Helmholtz” (LIMA, 2006). O applet “RessonadorDeHelmholtz” (LIMA, 2006) é uma demonstração animada do ressonador como oscilador linear e calcula os parâmetros característicos do oscilador (frequência natural, tempo de

decaimento e fator de qualidade), podendo ser usado como uma “calculadora especializada” nas atividades aqui propostas.

Nestes experimentos, um microfone colocado dentro de uma garrafa PET

transduz a pressão em seu interior em função do tempo, e seu sinal é gravado em arquivo de áudio e analisado com os próprios recursos do programa editor de som, podendo também ser exportado para outros programas de tratamento e apresentação de dados. A pressão no interior da garrafa está diretamente relacionada ao deslocamento do centro de massa do ar no gargalo e, portanto, o sinal do microfone gravado é um registro indireto da posição do oscilador em função do tempo, representando assim a própria equação horária da posição. A frequência natural e o tempo de relaxação, ou o fator de qualidade, do ressonador são determinados de duas maneiras diferentes, representando importantes aspectos do movimento do oscilador harmônico amortecido e sua descrição matemática. Da primeira maneira, estuda-se a equação horária do oscilador harmônico amortecido, em duas condições: i) oscilando

espontaneamente após ser retirado do equilíbrio e ii) sujeito a uma força externa senoidal de frequência definida. O sinal gravado pelo microfone é comparado com a equação horária de um oscilador harmônico amortecido, e seus parâmetros são determinados. Além das determinações quantitativas, no caso do oscilador forçado podem ser observados os regimes transiente e

permanente e suas propriedades.

Da segunda maneira, estuda-se a curva de ressonância do oscilador, gravando-se o sinal do microfone num ressonador sujeito a um som de

frequência variável e analisando-se a dependência da amplitude da oscilação em função da frequência do som. A frequência de ressonância e o fator de qualidade são determinados pela posição e pela largura em frequência da curva de ressonância.

O material e os procedimentos básicos utilizados nos diversos experimentos propostos são os mesmos, e são descritos a seguir.

Material utilizado

Computador multimídia padrão, com caixas de som padrão, com um dos alto-falantes fora da caixa.

Programa “CoolEdit”.

Microfone para computador padrão, de uso dedicado à montagem.

Garrafa de dimensões conhecidas (volume total, comprimento e diâmetro do gargalo) com o microfone instalado em seu interior.

Procedimento

Instalar o microfone e o alto-falante na placa de som ou na saída das caixas amplificadas.

Gerar ou abrir arquivo de som no programa “CoolEdit”. Abrir arquivo para gravar microfone (“CoolEdit”).

Iniciar gravação do microfone.

Iniciar reprodução do som no alto-falante.

quando decorrido tempo necessário. Salvar arquivo gravado. Analisar o arquivo gravado.

1. Equação horária do ressonador de Helmholtz Introdução

Neste experimento estudamos a equação horária do movimento de um ressonador de Helmholtz, um oscilador harmônico amortecido oscilando espontaneamente ou sujeito a um som de frequência definida. O objetivo do experimento é determinar os parâmetros dinâmicos (frequência de oscilação e tempo de decaimento) do ressonador a partir do sinal gravado pelo microfone no interior da garrafa, e compará-los com os valores previstos teoricamente, verificando experimentalmente a equação horária do oscilador harmônico amortecido (OHA). Vamos, além disso, estudar a equação horária do ressonador forçado e verificar as duas partes da solução, transiente e permanente, do oscilador harmônico amortecido sujeito à força externa periódica (OHAF) da forma F(t) = Fcos(ωt).

A equação horária de um OHA é

X(t) = X₀exp(-t/2τ)cos[ω't - φ₀]

onde X₀ e φ₀ são determinados pelas condições iniciais e ω' = ω₀(1 - 1/4Q2₎1/2

é a frequência de oscilação amortecida. A frequência angular natural é ω0, τ é

o tempo de decaimento e o fator de qualidade é definido como Q = ω₀τ. Para valores de Q >> 1 a frequência da oscilação amortecida é praticamente igual à frequência natural.

A solução da equação do movimento do OHAF é a soma da solução geral da equação homogênea do OHA com uma solução particular da equação não homogênea com o termo forçado

X(t) = X₀exp(-t/2τ)cos[ω't - φ0] + X(ω)cos[ωt - φ(ω)].

O primeiro termo, que depende das condições iniciais, é o transiente que decai para zero quando t >> τ, e o segundo é o termo permanente, responsável pelo comportamento a longo prazo do oscilador forçado. A amplitude da oscilação forçada X(ω) e a diferença de fase entre o movimento e a força externa φ(ω dependem da frequência da força externa.

Espera-se que, assim que a excitação sonora externa seja interrompida, o movimento do ressonador de Helmholtz torne-se uma oscilação amortecida,

como o primeiro termo da equação horária do OHAF, na qual as condições iniciais X₀ e φ₀ dependem apenas da posição e da velocidade no instante da interrupção da força externa. Vale ressaltar que essa oscilação não depende da frequência da oscilação forçada anterior, já que toda a memória do sistema dinâmico está na posição e velocidade do ressonador no momento da

interrupção do som externo. Como muitos estudantes relutam em aceitar esse fato, são utilizadas três frequências distintas para a excitação do ressonador de Helmholtz para confirmá-lo.

Na situação experimental que vamos implementar, o ressonador será sujeito a uma força oscilante devido a um som de frequência conhecida, durante certo tempo, ao fim do qual o som será interrompido. O registro da equação horária do movimento do ressonador, através do sinal do microfone no interior da garrafa, deverá permitir a identificação dos intervalos de tempo no qual o movimento se dá nos regimes transiente, enquanto as condições iniciais ainda são importantes, permanente, depois disso, e de decaimento espontâneo, quando a força externa é interrompida.

O estudo do regime permanente, em particular do fenômeno conhecido por ressonância, será feito na segunda parte deste experimento (Curva de

Ressonância). Aqui estudaremos qualitativamente a superposição das soluções transiente e permanente, e determinaremos os parâmetros dinâmicos do OHA: frequência natural f₀ = ω0/2π, tempo de decaimento τ e fator de qualidade Q =

ω₀τ, a partir da análise do sinal gravado pelo microfone no decaimento

espontâneo. Esses parâmetros são dados pela teoria linear do ressonador de Helmholtz a partir dos parâmetros físicos e geométricos do ressonador (LIMA, 2006) e podem ser verificados experimentalmente. Os dados para determinar os parâmetros do oscilador também podem ser obtidos produzindo-se sons curtos e intensos, como estalos, próximo à boca da garrafa, ou por pequenas pancadas em seu corpo.

Procedimento

Inicie o programa "Cool Edit". Aparecerá uma janela para você escolher quais recursos do programa estarão disponíveis na sessão, e você vai marcar a

primeira (Save, External Clipboard... etc.) e a quinta (Amplify, Envelope...etc.) opções.

Com o programa iniciado, crie um novo arquivo na opção New no item de menu

File; isso abrirá a janela New Waveform

(mostrada ao lado), na qual devem ser definidas as seguintes opções: Sample Rate = 48000, Channels = Mono e

Resolution = 16-bit; pressione OK. Salve o arquivo com um nome adequado no formato Windows PCM (extensão .wav). Esse arquivo será usado para gravar o sinal do microfone.

Inicie a gravação do microfone pressionando o botão Record no canto inferior esquerdo da janela do editor. Para começar, estale os dedos ou dê piparotes na boca e no corpo da garrafa, e grave o sinal do microfone dentro da garrafa. Interrompa a gravação e visualize o sinal gravado. Observe que, excetuando algumas gravações com transitórios muito estranhos, grande parte ou alguns dos eventos gravados exibem uma oscilação amortecida típica. Para esses eventos, é possível determinar a frequência de oscilação a partir da medida da duração de alguns ciclos completos, e o tempo de decaimento a partir da

medida da variação da amplitude registrada ao longo de alguns ciclos, da forma como é descrita no item "Análise dos Resultados" para o procedimento mais completo, com cujos resultados podem ser comparados.

ii) Criar arquivos com sons senoidais de frequências definidas

Para fazer o estudo da equação horária do oscilador harmônico amortecido forçado periodicamente (OHAF), serão usados sons de frequência e duração definidas para excitar o ressonador de Helmholtz. Crie um novo arquivo no programa editor de som, escolhendo New Instance no item de menu File, no qual serão gerados sinais senoidais de 2,0 s de duração e frequência igual à definida pelo professor (no caso aqui mostrado, essa frequência é de 170 Hz). No ítem de menu Generate escolha Tones.... Ao fazer isso pela primeira vez no arquivo, a janela New Waveform abrirá, e deve-se escolher as mesmas opções que as do arquivo do microfone no item anterior. Após isso, será aberta a janela Generate Tones, que permite gerar composições de sons harmônicos e outras formas de onda. Certifique-se que a opção escolhida é "Lock to these settings only". Em Base Frequency, escreva o valor 170 (Hz) e no meio da parte de baixo da janela , no quadro "General", escolha Flavor = Sine e Duration = 2 (s). A janela com as opções corretas marcadas é mostrada na Figura 1.

Salve o arquivo com um nome adequado no formato Windows PCM

(extensão .wav). Repita isso para as duas outras frequências determinadas (neste exemplo, 185 e 200 Hz).

Figura 1. Gerar um som senoidal de 170 Hz e 2,0 s de duração. iii) Registrar a equação horária do OHAF

Comece a gravar o sinal do microfone. Reproduza, pressionando o botão Play, os sons gerados em cada arquivo; faça isso duas ou três vezes, enquanto grava o sinal do microfone na garrafa, para cada uma das três frequências. Após 2 s do fim da última reprodução de som, interrompa a gravação

pressionando o botão Stop, e salve o arquivo. Pode ser necessário ajustar o volume de reprodução do som, de forma que o sinal gravado seja

suficientemente alto mas não ultrapasse o limite máximo de amplitude de gravação. O nível de gravação pode ser monitorado pelo indicador do nível de gravação (barra vermelha), que não deve ultrapassar a marca de 0 dB.

Observe que a intensidade sonora no interior da garrafa é significativamente maior na frequência intermediária (185 Hz, neste exemplo) do que para as outras duas frequências.

Análise dos resultados

Usando os recursos de zoom e de navegação ao longo do intervalo de tempo gravado, observe os sinais gravados nas diversas situações. Identifique em cada gravação os intervalos nos quais

i) o transiente é importante;

ii) o regime permanente já foi estabelecido;

iii) o oscilador oscila espontaneamente após o som ser suspenso. Para cada frequência de excitação, você deverá determinar a frequência de oscilação no regime permanente e na oscilação espontânea (após o som de frequência determinada ser suspenso) e o tempo de decaimento da oscilação espontânea, da forma que é descrita no próximo item.

A Figura 2 mostra como exemplo o sinal do microfone em função do tempo, registrado em experimento realizado no laboratório didático do Cefet-Ba, com uma frequência de excitação de 170 Hz. O gráfico mostra, na sua parte inicial, a oscilação forçada do ressonador com a frequência de excitação, enquanto ele está submetido ao som gerado, e, a partir de determinado instante, a oscilação amortecida, quando o som externo é interrompido.

A frequência da oscilação forçada, a frequência própria e o tempo de

decaimento da oscilação são determinados através do tratamento e análise dos sinais gravados em cada experimento, parte dos quais pode ser feita no

próprio programa editor e o restante exportando-se os dados para programas mais avançados de tratamento e apresentação de dados.

a) Determinação das frequências de oscilação

Considerando que o fator de qualidade Q é suficientemente alto, podemos tomar a frequência de oscilação do oscilador amortecido como

aproximadamente igual à frequência natural. A frequência de oscilação pode ser determinada de algumas formas, mas a mais imediata delas, usando os recurso do próprio editor de som, é pela determinação da duração total de um certo número conhecido de ciclos, e o cálculo da frequência como a razão entre o número de ciclos no intervalo e a duração total do intervalo. Para isso,

seleciona-se o intervalo do sinal que contém os ciclos contados e a duração do intervalo é mostrada em "Time:". Para melhor precisão, deve ser usada a

escala de tempo "Samples" do aplicativo (escolhida clicando-se com o botão direito do mouse sobre a escala de tempo), medida em intervalos de duração de 1s/48000 (escolhida ao criar o arquivo).

Na Figura 4, como exemplo, mostramos seis ciclos completos de oscilação, num intervalo no qual o movimento é de oscilação espontânea, com duração de 1585 unidades de tempo (neste caso, é a duração total do arquivo

mostrado). Dessa forma, a frequência de oscilação determinada

experimentalmente na situação da Figura 3 é f = [1585*(1s/48000)/6]-1 ₌

181,7 Hz. Você é capaz de avaliar a imprecisão desse resultado?

A partir dos sinais obtidos nas três situações experimentais, determine as frequências da oscilação forçada e da oscilação espontânea para cada frequência de excitação utilizada, e preencha as Tabelas 1 e 2.

Tabela 1. Frequência das oscilações forçadas. Frequência de excitação (Hz) Duração (s/48000) n° de ciclos Frequência na oscilação forçada (Hz)

Tabela 2. Frequência das oscilações espontâneas. Frequência de

Compare os valores obtidos nas três determinações. A frequência de oscilação amortecida depende da frequência de excitação inicial? Compare esses valores com a estimativa teórica, calculada com base nos parâmetros geométricos do ressonador no item "Frequência natural e fator de qualidade do ressonador de Helmholtz" (vide também applet "RessonadorDeHelmholtz").

b) Determinação do Tempo de Decaimento τ

Para a obtenção do tempo de decaimento (τ) devem ser tomadas as

coordenadas cartesianas, tempo e amplitude, dos pontos de máximo e de mínimo dos gráficos, nos intervalos considerados no item anterior de oscilação espontânea. Com tais dados deverá ser levantada a curva módulo da

amplitude máxima em função do tempo, que é a envoltória da equação horária do oscilador harmônico amortecido.

Figura 3: A janela "Statistics...", do item de menu "Analyze", mostra o máximo e o mínimo do sinal gravado no intervalo selecionado. Ao se clicar num dos botões "->" o cursor é levado

para o instante de tempo no qual tal extremo ocorreu.

Os dados de amplitude e tempo são obtidos com o auxílio da ferramenta "Statistics..." disponível no ítem de menu "Analyze". Essa janela mostra os valores do máximo e do mínimo no trecho do sinal selecionado, e os botões disponíveis ao lado dos campos com os valores extremos ("->") levam o cursor

ao instante no qual o sinal assume tal valor máximo ou mínimo. No caso

apresentado na Figura 3, o máximo do intervalo selecionado ("Maximum Sample Value" é A = 22673.

Clicando-se num dos botões ao lado de cada valor extremo (Figura 3), a janela é fechada e o cursor é levado ao instante que corresponde ao extremo

registrado, cujo valor é mostrado, nas unidades escolhidas, no campo "Beg:. Essa situação é mostrada na Figura 4, obtida após se clicar no botão do

máximo da Figura 3. Neste caso, tal valor é de 132 unidades de 1s/48000. As coordenadas de amplitude e tempo do máximo mostrado na Figura 4 são, portanto, (22673, 132/48000), em unidades arbitrárias de amplitude e tempo em segundos.

Figura 4: A figura mostra seis ciclos completos de oscilação com duração total de 1585 unidades de tempo ("Time:"). A posição do cursor ("Beg:") O cursor mostra que o máximo do

intervalo selecionado na Figura 3 ocorre no instante t = 132 (em unidades s/48000). Repetindo-se esse procedimento para todos os máximos e mínimos do

intervalo considerado (tomando o módulo da amplitude) obtém-se uma tabela A x t que define a envoltória da oscilação amortecida. Com esses dados o

tempo de decaimento τ pode ser calculado por regressão linear do gráfico ln(A) x t, por sua identificação com o negativo do inverso do dobro do coeficiente angular da reta ajustada: τ = -1/2α , e de forma a obter também sua

τ = 0,0363 ± 0,0006 s.

A partir dos sinais obtidos nas três situações experimentais, determine o tempo de decaimento e o fator de qualidade do ressonador para cada frequência de excitação utilizada, e preencha a Tabela 3.

Compare os valores obtidos nas três determinações. O fator de qualidade determinado experimentalmente depende da frequência de excitação inicial? Compare esses valores com a estimativa teórica, calculada com base nos parâmetros geométricos do ressonador no item "Frequência natural e fator de qualidade do ressonador de Helmholtz" (vide também applet

"RessonadorDeHelmholtz").

Tabela 3. Tempos de decaimento e fatores de qualidade obtidos experimentalmente (Q =

ωτ

= 2

π

f

τ

)

Frequência de excitação (Hz) Tempo de decaimento τ(s) Fator de qualidade Q

2. Curva de ressonância Introdução

Como foi visto na introdução teórica do experimento anterior, um oscilador harmônico amortecido sujeito a uma força externa periódica acaba por oscilar na frequência da força externa, com amplitude e fase em relação à força externa que dependem da frequência e da intensidade (a amplitude) da força externa:

X(ω)cos[ωt - φ(ω)] onde a amplitude é dada por

e a diferença de fase é

onde usamos a “frequência reduzida” u ≡

ω

/

ω

₀, p_ω é a amplitude de variação da pressão sonora na boca da garrafa e M é a inertância acústica do ressonador. Quando a frequência do som é igual à frequência própria ou natural do

oscilador, acontece o que se chama ressonância: a amplitude de oscilação torna-se muito grande (é máxima numa frequência próxima da ressonância), a diferença de fase entre a velocidade e a força externa é zero e o acoplamento força-oscilador é máximo. A curva de ressonância mostra que a amplitude de oscilação de um OHAF é uma função bastante concentrada da frequência, sendo significativamente diferente de zero apenas num intervalo de

frequências estreito centrado na frequência natural (assumindo Q >> 1). A frequência de ressonância é determinada pela localização do máximo da amplitude em função da frequência do som.

A largura da curva de ressonância é definida como o intervalo de frequência dentro do qual a amplitude da oscilação é maior ou igual a 2-1/2 _{(~71%) da}

amplitude máxima (o que corresponde a valores de potência maiores ou iguais a 50% da potência máxima dissipada). Para valores do fator de qualidade suficientemente grandes, a largura da curva de ressonância é

aproximadamente ∆f = 1/2πτ, e essa relação permite determinar o tempo de decaimento através do levantamento da curva de ressonância. A figura 5, determinada para o caso Q = 10, traz a comparação entre a curva de

ressonância (em azul) com o intervalo previsto (em cinza claro) e mostra a validade da aproximação adotada. Os gráficos interativos das curvas de ressonância de osciladores mecânico e elétrico (RLC), bem como do

ressonador de Helmholtz, podem ser visualizados nos applets acessíveis aqui (LIMA, 2007).

Neste experimento, geramos um som com frequência crescente (rampa de frequência) com o editor de som e o reproduzimos no sistema de som do PC, enquanto gravamos o sinal do microfone dentro da garrafa. Se a frequência de ressonância estiver no intervalo gerado, a amplitude do sinal gravado nessa frequência será muito maior do que no resto, evidenciando-se o fenômeno da ressonância, como claramente mostrado no exemplo da Figura 8.

Figura 5. O gráfico acima mostra a amplitude da oscilação em unidade arbitrárias, em função da frequência da força externa no intervalo entre ω = 0 e ω = 2ω0. O retângulo mostrado está

centralizado em ω0 com altura igual a 0,71 da amplitude máxima e largura igual a ω0/Q; neste

caso aqui mostrado, Q = 10. A posição em frequência do máximo de amplitude praticamente coincide com a frequência natural ω0.

Procedimento

Como no experimento anterior, crie no editor de áudio um arquivo para gravar o sinal do microfone e um outro no qual será gerado um som com frequência variável.

i) Criar arquivo para gravar o sinal do microfone Como no experimento anterior.

Figura 7. Parâmetros finais da rampa de frequência.

Crie um novo arquivo no programa editor de som, escolhendo New Instance no item de menu File, e defina os parâmetros como feito no experimento anterior. Nesse arquivo, abra a janela Generate Tones, (disponível no item de menu

Generate > Tones...) e desmarque a opção "Lock to these settings only". Em

Base Frequency escreva o valor 0 (Hz), no quadro "General" escolha Flavor = Sine e Duration = 100 (s), e certifique-se que as outras opções escolhidas são como as da Figura 6.

Na janela Generate Tones abra a aba Final Settings e copie os dados da situação inicial pressionando o botão Copy from Initial Settings e modifique o valor de Base Frequency para 500 Hz. Clique em OK e salve o arquivo com um nome

adequado no format Windows PCM (extensão .WAV). iii) Registrar o sinal do microfone

Comece a gravar o sinal do microfone, pressionando o botão "Record" no arquivo do microfone. Alterne para o arquivo da rampa de frequência e

reproduza o som gerado pressionando o botão "Play". O nível de gravação deve ser monitorado pelo indicador do nível de gravação (barra vermelha

horizontal), que não deve ultrapassar a marca de 0 dB. Observe que a intensidade sonora no interior da garrafa será significativamente maior na frequência de ressonância, e talvez seja necessário ajustar o volume de reprodução do som, de forma que o sinal gravado seja suficientemente alto mas não ultrapasse o limite máximo de amplitude de gravação. Após o fim da reprodução da rampa de frequência, interrompa a gravação pressionando o botão "Stop", e salve o arquivo.

Análise dos resultados

Os resultados mostrados aqui como exemplo foram obtidos em experimento apresentado em relatório de iniciação científica (ROCHA, 2006) e em aulas práticas da disciplina Física Geral e Experimental II dos cursos de engenharia industrial do Cefet-Ba.

A Figura 8 mostra um arquivo gravado a partir de uma rampa de frequência de 0 a 500 Hz com 100 s de duração (5Hz/s). Como a escala de tempo da figura é muito maior do que a do período das oscilações, a área verde da figura mostra a envoltória das oscilações. A existência de uma frequência para a qual a

amplitude de vibração do ar é máxima é muito evidente, e sua posição está marcada na figura.

Figura 8. Sinal do microfone na garrafa com som de frequência variável. A posição do máximo de amplitude está selecionada.

a) Determinação da frequência de ressonância

A frequência de ressonância pode ser obtida a partir do arquivo gravado de algumas formas diferentes, como pela contagem do número de oscilações num intervalo de tempo ou pela determinação do instante de ocorrência do máximo (conhecendo-se a frequência externa em função do tempo). Para uma

determinação rápida da frequência (porém não muito controlada, com incerteza desconhecida e resultados às vezes diferentes dos obtidos pelos outros métodos) pode-se usar o analisador de frequências do próprio CoolEdit. Posicionando-se o cursor sobre o ponto desejado do sinal gravado, como

mostrado na Figura 8, é possível fazer a análise em frequência do sinal, em torno da posição ou no trecho selecionado, e determinar a frequência

dominante. Isso é feito usando-se a opção "Frequency Analysis" disponível no item de menu "Analyze" na barra superior do aplicativo. A janela que se abre quando se escolhe esta opção é vista na Figura 7, que mostra o espectro de frequências e a frequência dominante (no campo "Frequency").

Figura 9. Espectro na região da curva mostrada na Figura 8. A frequência do máximo de amplitude está mostrada em “Frequency”, neste caso igual a 181,23 Hz.

Podemos notar aqui o comportamento não linear do sinal gravado. A Figura 9 mostra a coexistência das frequências múltiplas da frequência de oscilação, que são mais importantes quando a amplitude da oscilação é maior. Em outra situação, apesar da escala reduzida da figura 2, pode-se observar que o sinal na oscilação forçada não é simétrico, afastando-se da forma senoidal. O surgimento dessas frequências harmônicas têm origem em alguma não-linearidade do sistema, e pode ser interessante fazer uma investigação mais profunda desse comportamento.

b) Determinação do fator de qualidade e do tempo de decaimento O fator de qualidade e o tempo de decaimento do oscilador harmônico

amortecido são determinados pela medida da largura da curva de ressonância. A largura em frequência da curva de ressonância, medida a 71% da amplitude máxima, é proporcional ao inverso do tempo de decaimento, ∆f = 1/2πτ.

Para determinar a largura da curva de ressonância, siga o seguinte procedimento:

• Salve em um novo arquivo só a parte do sinal gravado que contém o pico de ressonância;

• Usando a utilidade "Normalize..."; disponível no item de menu "Transform > Amplitude", normalize o sinal fazendo com que o máximo do sinal

corresponda à amplitude de 100% (Figura 10). Caso o sinal tenha alguma polarização (média diferente de zero), isso pode ser corrigido com o auxílio da caixa "DC bias adjust"; (por tentativa e erro...).

• Determine a largura (em tempo) da faixa na qual a amplitude do sinal gravado é maior do que 70% do máximo (Figura 11).

• Conhecendo a inclinação da rampa de frequência utilizada, em Hz/s, determine a largura em frequência ∆f da curva de ressonância.

Figura 10: Sinal da curva de ressonância normalizado.

No caso mostrado na Figura 11, o intervalo selecionado tem uma duração total de 48305 unidades de tempo (s/48000) que, com a rampa de frequência de 4 Hz/s utilizada, correspondem à largura da curva ∆f = (48305/48000)*4 Hz = 4,03 Hz, o que resulta no fator de qualidade Q = f0/∆f = 181,2/4,03 = 44,9 e tempo de decaimento τ = 1/2π∆f = 0,0395 s. Como você estimaria a

Figura 11: Intervalo no qual a amplitude é maior ou igual a 70% da amplitude normalizada.

3. Frequência natural e fator de qualidade do ressonador de Helmholtz A teoria linear do ressonador de Helmholtz permite calcular os parâmetros do oscilador harmônico amortecido, a frequência natural e o fator de qualidade, ou o tempo de relaxação, a partir dos parâmetros geométricos da garrafa PET utilizada e da velocidade do som no ar no momento do experimento.

Conforme mostrado em “O Ressonador de Helmholtz” (LIMA, 2006), a frequência natural é dada por

Onde c é a velocidade do som, S a área da seção reta do gargalo, V o volume da garrafa e L o comprimento efetivo do gargalo.

Os parâmetros geométricos das garrafas utilizadas foram obtidas em experimento (ROCHA, 2006), e são os seguintes:

Volume interno da garrafa V = 642 x 10-6 _m3

Diâmetro do gargalo d = 21,3 x 10-3 _m

Comprimento do gargalo l = 30,8 x 10-3 _m

Área da secção reta do gargalo S = 356 x 10-6_m2

Comprimento efetivo do gargalo L = l + 0,85d = 49,0 x 10-3 _m

Na ocasião da determinação da curva de ressonância da Figura 8, foi feita a medida da velocidade do som, para a qual se encontrou c = 345,5 ± 3,5 m/s (conforme medido por ressonância numa mangueira). Usando tal valor,

obtemos para o valor esperado da frequência natural o valor de 185 ± 2 Hz, o que também pode ser verificado com o applet "RessonadorDeHelmholtz".

Usando os valores da viscosidade do ar η= 1,83 x 10-5 _Ns/m2 _{e da densidade}

do ar ρ = 1,29 kg/m3 _{encontramos para o valor do tempo de decaimento τ =}

0,3065 s.

A comparação dos resultados obtidos nos dois experimentos, nos exemplos aqui apresentados, entre si e com os valores esperados mostra o seguinte: a concordância do valor medido da frequência natural do oscilador nos dois

experimentos, i) 181,7 Hz e ii) 181,23 Hz, entre si e com o valor esperado 185 ± 2 Hz é notável; por outro lado, a concordância do tempo de relaxação nos dois experimentos entre si é razoável, i) 0,0363 ± 0,0006 s e ii) 0,0395 s, levando em conta que a determinação no segundo método é sujeita a variações grandes pela própria forma de determinação da semi-largura da curva, mas a comparação com o valor esperado é muito insatisfatória. O tempo de relaxação medido é quase dez vezes menor que o esperado, mostrando que há algum processo de dissipação de energia no ressonador estudado que foi grandemente subestimado. A investigação da razão para essa discordância pode ser um bom tema para pesquisa teórica e experimental.