JOÃO CARLOS MOREIRA ARITMÉTICA

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A.

FUN

JOÃO CARLOS MOREIRA

ARITMÉTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

ARITMÉTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

ARITMÉTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

JOÃO CARLOS MOREIRA

Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A

Copyright © 2018 by João Carlos Moreira

CAPA: JOÃO CARLOS MOREIRA

EDITOR: JOÃO CARLOS MOREIRA

DIAGRAMAÇÃO: JOÃO CARLOS MOREIRA

DISTRIBUIÇÃO: EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A.

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁGEBRA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá

ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a

permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as

sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n

_9.610,

de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brazil / Printed in Brazil

Para todos os meus alunos, com carinho.

João Carlos Moreira

Prefácio

Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Álgebra, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Álgebra e suas Aplicações.

A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos.

Isso permite ao estudante um estudo profundo sobre as origens da matemática.

Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil.

Agradeço a Deus pela missão educacional a mim confiada.

Ituiutaba, setembro de 2018.

Símbolo Nome Exemplo Leitura

∈ pertence 2 ∈ A dois pertence ao conjunto A

⊂ contido 𝐴 ⊂ 𝐵 A está contido em B

ℕ conjunto

dos números

naturais

a ∈ ℕ a pertence ao conjunto dos

números naturais

𝐱∗ sucessor

de x

x∗ ∈ ℕ sucessor de x pertence ao conjunto dos números naturais

∃ existe ∃ 𝑥 ∈ A existe x pertencente ao

conjunto A

∃! existe um

único

∃! x∗ ∈ ℕ

existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais

= igual a = b a é igual a b

≝ igual por

definição

a≝ 𝑏 a é igual a b por definição

≠ diferente a≠ b a é diferente de b

∀ Para todo ∀ a ∈ ℕ para todo a pertencente a ℕ

{ , } chavetas

de conjunto

{1, 2, 3 } conjunto que consiste dos elementos 1, 2 e 3 ∑ 𝐧 𝐣=𝟏 somatória desde 1 até n ∑ 𝑥𝑖 n j=1 soma de n números 𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛 × produto

ℕ

ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

Organização da aprendizagem

1 Abordagem histórica

2 Abordagem algébrica

2.1 Construção dos números naturais

2.2 Aritmética dos números naturais

2.2.1 Operação de adição

2.2.2 Operação de multiplicação

2.2.3 Subtração

2.2.4 Divisibilidade

3 Abordagem geométrica

3.1 Representação geométrica dos números naturais

4 Abordagem computacional

4.1 Representação dos números naturais

4.2 Algoritmos

5 Abordagem prática

6 Abordagem avançada

1 Número é um conceito primitivo da matemática que remonta as origens da humanidade.

2 O mais antigo objeto da matemática de que se tem registro, o osso de Lebombo, data de aproximadamente 35.000 A.C. Esse objeto, uma fíbula de um babuíno, pode ter sido utilizado pelos bosquímanos para planejar as caças, contar suas presas, medir a passagem do tempo, ou como uma unidade de medida e foi descoberto dentro de uma caverna nas montanhas de Lebombo da Suazilândia.

Fig. 1. Osso de Lebombo

3 Há milênios, o ser humano usa números para contar coisas da natureza, daí o uso da expressão "números naturais".

4 De acordo com Euclides, número é a quantidade composta de unidades, e unidade é aquilo segunda a qual cada uma das

François Viète (1540-1603), foi um matemático francês.

Dentre suas contribuições, destacamos a álgebra simbólica,

que foi utilizada na sua principal obra Introduction to the

Analytic Art, de 1591.

CAPÍTULO 1

coisas existentes é dita uma.

5 Ao longo do tempo, vários símbolos foram utilizados para representar os números naturais, no entanto, os algarismos arábicos ou numerais indianos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ganharam maior destaque no mundo moderno, sendo considerado por muitos uma das maiores descobertas da matemática.

6 Existem dois tipos de sistema de numeração, o posicional e o não posicional. No sistema de numeração não posicional, a posição do algarismo não tem significado específico, por exemplo o sistema de numeração romano; já no sistema de numeração posicional, a posição de cada algarismo é importante e tem um significado específico.

7 O sistema de numeração hindu-arábico democratizou a aritmética elementar e trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática.

8 Com a aceitação do sistema de numeração hindu-arábico, o sistema decimal passou a ser um sistema posicional adotado internacionalmente para expressar medidas do cotidiano, ele utiliza a base dez; isto é, seus algarismos (ou dígitos) são elementos pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, … , 9}. Nesse sistema a posição ocupada por cada algarismo do número é importante, por exemplo, para o número natural 234; 4 informa que este número possui a quantidade de 4 unidades; 3 informa que este número possui a quantidade de 3 dezenas de unidades; 2 informa que este número possui a quantidade de 2 centenas de unidades.

9 Ao longo da história humana, bases diferentes foram utilizadas em diferentes regiões do planeta, mas com o desenvolvimento das línguas modernas a base dez ganha destaque. Os computadores atuais utilizam o sistema de numeração posicional cuja base é composta apenas dos dois algarismos {0, 1}; nesse sistema, qualquer número pode ser

expresso por combinações de zeros e uns.

10 Na antiguidade, o ser humano realizava as operações de adição e multiplicação com o auxílio de pedras, bastões entalhados, nós de cordas, regiões do corpo humano, tábuas de calcular, ábacos, dentre outras formas. Atualmente, utilizamos supercomputadores para fazer cálculos complexos. 11 No fim do século XVI, o matemático francês François Viète introduz letras para representar números e Johann Hudde as usa para representar tanto número negativo como positivo. A notação simbólica literal trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática.

12 Apenas no século XIX uma construção axiomática dos números naturais foi apresentada.

2.1 CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS NATURAIS

1 Uma construção axiomática para o conjunto dos números

naturais, simbolizada por ℕ,

(1858-1932)

CAPÍTULO 2

ABORDAGEM ALGÉBRICA

Giuseppe Peano (1858-1932), foi um matemático italiano.

Dentre suas principais contribuições destacamos os

fundamentos da matemática e o desenvolvimento de uma

linguagem lógica formal.

Definição 1. Um sistema matemático 𝑺 = (E, {φ, ψ}) é

chamado de sistema numérico se:

i) φ e ψ são operações binárias associativas; ii) φ e ψ são operações binárias comutativas; e iii) uma das operações é distributiva com relação à

outra.

Neste caso, um elemento desse sistema x ∈ E é chamado de

2 Axioma 1. Existe o número um e ele é um número natural. (∃ 1)(1 ∈ ℕ)

3 Axioma 2. Todo número natural possui um único sucessor. (∀ x)(∃! x∗₎

4 Axioma 3. O sucessor de qualquer número natural é diferente do número um.

(∀x)(x∗_{≠ 1)}

5 Axioma 4. O sucessor define uma relação unária injetora. (∀ x)(∀ y)((x∗_{= y}∗_{) → (𝑥 = 𝑦))}

6 Axioma 5. O conjunto dos números naturais é o menor conjunto que possui o um e a propriedade de que para todos os seus elementos o seu sucessor também pertence a ele.

ℕ ⇔ (𝜄𝑦)(∀ x)((𝑥 = 1) ∧ (x ∈ y → x∗_{∈ 𝑦))}

7 Desses axiomas, segue que

(∃ 1)(1 ∈ ℕ)

(∃ 1∗₎₍₍₁∗_{∈ ℕ) ∧ (1}∗_{≠ 1))}

(∃ (1∗₎∗₎₍₍₍₁∗₎∗_{∈ ℕ) ∧ ((1}∗₎∗_{≠ 1) ∧ ((1}∗₎∗_{≠ 1}∗₎₎

8 Esse processo continua indefinidamente; e portanto ℕ = {1, (1∗_{), (1}∗₎∗_{, … }.}

9 Os elementos desse conjunto 1, (1∗_{), (1}∗₎∗_{, … são chamados de}

números naturais são também denotados por 1, 2, 3, … e

recebem os nomes de um, dois, três, …, respectivamente. Esses números podem ser classificados como cardinais ou ordinais; um número natural é visto como cardinal se ele determina a

quantidade dos elementos constituintes de um determinado conjunto ou ordinal se ele representa a ordem que um determinado elemento ocupa dentro de um conjunto. Cantor denotou a quantidade de elementos do conjunto dos números naturais, #ℕ, por ℵ0 (lê-se: alef zero) e o classificou como um

número cardinal infinito.

2.2 ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

2.2.1 OPERAÇÃO DE ADIÇÃO

Definição 2. Uma operação binária sobre ℕ é uma aplicação

𝜑: ℕ × ℕ → ℕ.

Definição 3. A operação de adição sobre ℕ é uma operação

binária sobre ℕ, denotada por + ∶ ℕ × ℕ → ℕ, que a cada par ordenado (x , y) de números naturais associa o número natural x + y definido por

(∀ x)(∀ y) ((x + 1 = x∗ _{) ∨ (x + y}∗_{= (x + y)}∗ ₎₎

e chamado de soma de x e y, os números x e y são chamados de parcelas da soma.

Definição 4. Dados x1, x2 , … , xn∈ ℕ, n ∈ ℕ, definimos a sua

soma, recursivamente por

(∀n)(∀x₁)(∀x₂) ⋯ (∀x_n)((n > 2)) → ∑ x_j

n

j=1

Exemplo 3. Calcule a soma 2 + 3.

Exemplo 4. Calcule a soma 3 + 2.

1 + 1 ≝ 1∗= 2 2 + 2 = 2 + 1∗≝ (2 + 1)∗

≝

≝

Exemplo 5. Calcule a soma 3 + 2 + 1.

3 + 2 + 1 ≝ (3 + 2) + 1 ≝ (3 + 2)∗. (3 + 2)∗_{= 5}∗_{= 6.}

3 + 2 + 1 = 6∎

Definição 5. Dizemos que y é maior que x se existir um z tal que

y é a soma de x e z.

(y > x) ⇔ (∃z ) (y = x + z).

Neste caso, também dizemos que x é menor que y e denotamos por x < y.

Exemplo 6. Mostre que 5 > 2.

(∃3) (5 = 2 + 3).

Exemplo 7. Mostre que 3 < 5.

(∃2) (5 = 3 + 2).

Nota. Essa propriedade estabelece uma relação de ordem em ℕ.

Definição 6. Dizemos que x é menor ou igual a 𝑦 se 𝑥 for igual a 𝑦 ou se x for menor que 𝑦.

(x ≤ y) ⇔ (𝑥 = 𝑦) ∨ (𝑥 < 𝑦).

Neste caso, diremos também que y é maior ou igual a 𝑥 e denotamos y ≥ x. Notações: (a ≤ x ≤ b ) ⇔ (𝑎 ≤ 𝑥) ∧ (𝑥 ≤ 𝑏). (a < x ≤ b ) ⇔ (𝑎 < 𝑥) ∧ (𝑥 ≤ 𝑏). (a ≤ x < b ) ⇔ (𝑎 ≤ 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑏). (a < x < b ) ⇔ (𝑎 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑏).

Exemplo 8. Mostre que 2 ≤ 3.

2.2.2 Subtração

Definição 8. A subtração em ℕ é uma lei de composição − ∶ A → ℕ, que a cada par ordenado (x, y): (x > y) de números naturais associa o número natural z definido por

(x > y)

⇔

e chamado de diferença de x e y, denotado por 𝑧 = x − y. Os números x e y são chamados de minuendo e subtraendo, respectivamente.

Exemplo 9. Calcule 5 − 2.

(5 > 2) ⇔ (∃3) (5 = 2 + 3). 5 − 2 = 3.

Exemplo 10. Mostre que (∄ (2 − 5)).

(∃(2 − 5)) ↔ (∃z) (2 = 5 + z) → (2 > 5) ∧ (2 < 5).

Isso contraria e Lei da Tricotomia

2.2.3 Operação de multiplicação

Definição 9 A operação de multiplicação em ℕ é uma

aplicação binária ∙ ∶ ℕ × ℕ → ℕ , que a cada par ordenado (x , y) de números naturais associa o número natural x ∙ y, definido por

(∀x)(∀y) ((x

1 = x) ∨ (x

y

= x

y + x))

e chamado de produto de x e y, os números x e y são chamados de fatores do produto.

Dados x1, x2 , … , xn mais de dois números naturais, definimos o

seu produto, recursivamente por:

(∀n)(∀x1)(∀x2) ⋯ (∀xn)((n > 2)) → ∏ xi n

j=1

= (((x1∙ x2 ) ∙ ⋯ ∙ xn−1) ∙ xn )

Nota. Se os fatores forem iguais; xj= x para j = 1, … , n,

denotamos esse produto por xn_{. Na potência x}n_{, os números x}

e n são chamados de base e expoente, respectivamente. Se na soma x1+ x2 + ⋯ + xn os fatores forem iguais; xj= x, j =

1, … , n, esta soma se transforma no produto n ∙ x.

2 ∙ 2 ≝ 2 ∙ 1∗≝ 2 ∙ 1 + 2 ≝ 2 + 2 = 4. 2 ∙ 2 = 4∎

2 ∙ 3 ≝ 2 ∙ 2∗_{= 2 ∙ 2 + 2 ≝ 4 + 2 = 4 + 1}∗_{= (4 + 1)}∗_{= (4}∗₎∗_{= 6.} 2 ∙ 3 = 6∎ Exemplo 12. Calcule o produto 2 ∙ 3.

2 ∙ 3∗_{≝ 2 ∙ 3 + 2 ≝ 6 + 2 ≝ 6 + 1}∗_{= (6 + 1)}∗_{= (6}∗₎∗_{= 7}∗_{= 8.}

2 ∙ 4 = 8∎ Exemplo 13. Calcule o produto 2 ∙ 4.

23_{≝ 2 ∙ 2 ∙ 2 ≝ (2 ∙ 2) ∙ 2 = 4 ∙ 2 ≝ 4 ∙ 1}∗_{= 4 ∙ 1 + 4 = 4 + 4 = 8.}

23_{= 8∎}

2.2.4 Divisibilidade

Definição 10. Dados dois números naturais x e y, em

alguns casos, podemos obter número natural q tal que x = y ∙ q, denota-se x

y= q. Neste caso, diremos que y é um divisor

natural ou fator de x. Também diremos que x é um múltiplo natural de y. Denotamos

y|x quando

divisores naturais de 𝐱 e dos múltiplos naturais de 𝐱 ,

respectivamente. 15 = 15 ∙ 1, 15 = 5 ∙ 3, 15 = 3 ∙ 5 e 15 = 1 ∙ 15. D(15) = { 1, 3, 5, 15}∎ Exemplo 15. D(15) = { 1, 3, 5, 15}. 2 = 2 ∙ 1, 4 = 2 ∙ 2, 6 = 2 ∙ 3, …. M(2) = { 2, 4, 6, … }∎ Exemplo 16. M(2) = { 2, 4, 6, … }.

Definição 11. Um número 𝑎 ∈ ℕ, a ≠ 1 é primo se D(a) = {1, a};

Exemplo 17. O número 11 é primo.

11 = 11 ∙ 1 e 11 = 1 ∙ 11. D(11) = { 1, 11}.∎

3.1 Representação geométrica dos números naturais

Um número natural pode ser representado geometricamente por

O x

Os elementos do conjunto dos números naturais, podem ser representados geometricamente, por pontos igualmente espaçados à direita da origem O de uma reta orientada. Adotada uma unidade de medida, a medida do espaçamento, determina a escala (razão entre a medida do espaçamento adotado e a unidade de medida) do sistema de representação geométrico.

O 1 2 3 ⋯

René Descartes (1596-1650), foi um filósofo e matemático

francês. Dentre suas contribuições, destacamos a obra La

Géométrie (1637), que inclui a aplicação da álgebra na

geometria e inicia o que chamamos de geometria

cartesiana.

CAPÍTULO 3

De fato, temos que:

1cm 1Km= 1cm 105_cm= 1 105= 1 100000∎

Exemplo 18. Se a unidade de medida for Km e a medida do

espaçamento adotado for de 1 cm, então a escala será 1

4.1 Representação dos números naturais

Alan Turing (1912-1954), foi um matemático e cientista da

computação

britânico.

Dentre

suas

principais

contribuições, destacamos a máquina de Turing e a

formalização do conceito de algoritmos, que contribuíram

para o desenvolvimento dos computadores modernos.

CAPÍTULO 4

ABORDAGEM COMPUTACIONAL

Nota. Os elementos 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎0 pertencem ao conjunto

{0,1, … , 𝑥 − 1} e representam os dígitos ou algarismos de 𝑎, 𝑥 é chamada de base da representação e 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. Se 𝑥 = 10 , então denotamos (𝑎𝑛𝑎𝑛−1⋯ 𝑎0)𝑥 simplesmente por 𝑎𝑛𝑎𝑛−1⋯ 𝑎0.

4.2 Algoritmos

Apresentamos a seguir, um algoritmo, um esquema prático e um

Exemplo 19. O número natural 101001 tem seis dígitos na base 10.

Exemplo 20. O número natural (10101)2 tem cinco dígitos na

base 2.

Exemplo 21. O número natural (122)3 tem três dígitos na base 3.

Exemplo 22. O número natural (123)5 tem três dígitos na base 5.

Exemplo 23. (10101)2= 1 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 22+ 0 ∙ 23+ 1 ∙ 24 = 1 +

0 + 4 + 0 + 16 = 21.

Exemplo 24.

(

)

= 17.

Algoritmo da soma

Dados a = anan−1⋯ a0 e b = bnbn−1⋯ b0 números naturais, definimos a

soma c de a e b por:

a + b = anan−1⋯ a0+ bnbn−1⋯ b0= cn+1cncn−1⋯ c0= c,

onde cj , j = 0, … , n + 1, é obtido utilizando o seguinte procedimento:

a0+ b0= d0c0 .

(aj+ bj) + dj−1= djcj, j = 1, … , n,

cn+1= dn.

O resultado que procuramos será o número natural c = cn+1cncn−1⋯ c0.

Dados a = anan−1⋯ a0 e b = bmbm−1⋯ b0, se n > 𝑚, então definimos a

soma c de a e b, a + b = cn+1cncn−1⋯ c0, tomando b = 0 ⋯ 0bmbm−1⋯ b0

de forma que b fique com n + 1 dígitos e aplicamos o mesmo procedimento que n = m; se n < 𝑚, então definimos a soma c de a e b, a + b = cn+1cncn−1⋯ c0, tomando a = 0 ⋯ 0anan−1⋯ b0 de forma que a fique

com m + 1 dígitos e aplicamos o mesmo procedimento que n = m. Neste algoritmo, supomos conhecido o cálculo da soma de dois números naturais quaisquer com um dígito.

dndn−1dn−2⋯ d0 anan−1⋯ a1a0 + bnbn−1⋯ b1b0 cn+1cncn−1⋯ c1c0 Esquema prático

Pseudocódigo da Soma

Início

Defina a soma de dois números a e b com um dígito e a unidade dessa soma u[a+b]; Entre com o valor de n (n >0);

Entre com o valor de m (m > 0); Para i = 0, … , n, entre com o valor a[i]; Para i = 0, … , m, entre com o valor b[i]; Se n = m,

então

Se a[0] + b[0] < 10,

então faça d[0] = 0 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = u[a[0] + b[0]];

Para j = 1, … , n,

Se a[j] + b[j] < 9,

então faça d[j] = 0 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1],

caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1]; Faça c[n + 1] = d[n];

Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim; caso contrário,

Se n > m, então

Para i = 1, … , n − m faça b[m + i] = 0; Se a[0] + b[0] < 10,

então faça d[0] = 0 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = u[a[0] + b[0]];

Para j = 1, … , n,

Se a[j] + b[j] < 9,

então faça d[j] = 0 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1],

caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1]; Faça c[n + 1] = d[n];

Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim; caso contrário,

Se n < m, então

Para i = 1, … , m − n faça a[n + i] = 0; Faça n = m;

Se a[0] + b[0] < 10,

então faça d[0] = 0 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = u[a[0] + b[0]];

Para j = 1, … , n,

Se a[j] + b[j] < 9,

então faça d[j] = 0 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1],

caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1]; Faça c[n + 1] = d[n];

Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim.

Apresentamos a seguir, um algoritmo, um esquema prático e um pseudocódigo para calcular o produto de dois números naturais.

dnidn−1i dn−2i ⋯ doi anan−1 ⋯ a1a0 × bmbm−1⋯ b1b0 cn+10 cn0cn−10 ⋯ c10c00 + cn+11 cn1cn−11 cn−21 ⋯ c0101 ⋰ +cn+1m cnmcn−1m ⋯ c0m0102⋯ 0m cn+m+1cn+mcn+m−1⋯ c1c0 Algoritmo do produto Esquema Prático

Dados a = anan−1⋯ a0∈ ℕ e b = bmbm−1⋯ b0∈ ℕ, definimos o produto c

de a e b por:

a ∙ b = (anan−1⋯ a0) ∙ (bmbm−1⋯ b0) = cn+m+1cn+mcn+m−1⋯ c0= c,

onde cj , j = 0, … , n + m + 1 é obtido pelo seguinte procedimento:

Para i = 0, … , m, considere: bi∙ a0= d0ic0i (bi∙ aj) + dj−1i = djicji , j = 1, … , n, cn+1i = dni. c = cn+10 cn0cn−10 ⋯ c00+ cn+11 cn1cn−11 ⋯ c0101+ ⋯ + cn+1m cnmcmn−1⋯ c0m0102⋯ 0m, 0i= 0, ∀ i = 1, ⋯ , m.

O resultado que procuramos será o número natural c = cn+m+1cn+mcn+m−1⋯ c0.

Neste algoritmo, foi suposto que a soma de dois números naturais com um dígito é conhecida e o produto de dois números com um dígito é conhecido (tabuada de números naturais com um dígito).

Pseudocódigo do produto

Início

Defina a soma a+b e o produto a∙b de dois números a e b com um dígito, a unidade da soma us[a+b], a unidade do produto up[a∙b], a dezena da soma ds[a+b] e a dezena do produto dp[a∙b];

Entre com o valor de n (n >0); Entre com o valor de m (m > 0); Para i = 0, … , n, entre com o valor a[i]; Para i = 0, … , m, entre com o valor b[i]; Para i = 0, ⋯ , m

Faça d[0, i] = d[b[i] ∙ a[0]] e c[0, i] = u[b[i] ∙ a[0]] e

Para j = 1, ⋯ , n

Faça d[j, i] = dp[b[i] ∙ a[j]] + ds [up[b[i] ∙ a[j]] + d[j − 1, i]] e c[j, i] = us[up[b[i]a[j]] + d[j − 1, i]];

e

Faça c[n + 1, i]= d[n, i]; Para j = 0, ⋯ , m − 1 Para i = 0, ⋯ , n + 1 Faça a[i]=c[i,j],

Para k= 0, ⋯ , j faça b[k]=0 e b[i+j+1]=c[i,j+1]; Faça n = n+j+1 e m = n+j+2;

Para i = 1, … , m − n faça a[n + i] = 0; Faça n = m;

Se a[0] + b[0] < 10,

então faça d[0] = 0 e c[0] = us[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = us[a[0] + b[0]];

Para j = 1, … , n,

Se a[j] + b[j] < 9,

então faça d[j] = 0 e c[j] = us[(a[j] + b[j])] + d[j − 1],

caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = us[(a[j] + b[j])] + d[j − 1]; Faça c[n + 1] = d[n];

s[j] = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Imprima o produto é s[m − 1].

Temos que: a0= 7 e b0= 9 a0+ b0= 7 + 9 = 16. Daí, d0= 1 e c0=6. Temos que: a1= 1 e b1= 2 (a1+ b1) + d0= (1 + 2) + 1 = 3 + 1 = 4 =04. Daí, d1= 0 e c1=4 c2= d1=0. Assim, concluímos que:

17 + 29 =c2c1c0=046=46.

1 17 +29 46

Neste caso, observamos que 372 + 49 = 372 + 049. Daí, 𝑎0= 2 e 𝑏0= 9 𝑎0+ 𝑏0= 2 + 9 = 11= 𝑑0𝑐0 𝑎1= 7 e 𝑏1= 4 (𝑎1+ 𝑏1) + 𝑑0= (7 + 4) + 1 = 12= 𝑑1𝑐1 𝑎2= 7 e 𝑏2= 0 (𝑎₂+ 𝑏2) + 𝑑1= (3 + 0) + 1 =4= 04= 𝑑2𝑐2 𝑐3= 0.

Assim, concluímos que:

372 + 49 =𝑐3𝑐2𝑐1𝑐0=0421=421.

Exemplo 26. Calcule 17 + 29.

1 1 372 +49 421 1 12 × 15 60 + 120 180

Para i = 0, temos que:

b0∙ a0= 5 ∙ 2 = 10 = d00c00

(b0∙ a1) + d00= 5 ∙ 1 + 1 = 6 = 06 = d10c10,

c20= d10= 0.

Assim, concluímos que c20c10c00= 060 = 60. Para i = 1, temos que:

b1∙ a0= 1 ∙ 2 = 2 = d01c01

(b₁∙ a1) + d10= (1 ∙ 1) + 0 = 1 = d11c11

c21= 0.

Assim, concluímos que c21c11c01= 012 = 12. Portanto,

cn+1cncn−1⋯ c0= c20c10c00+ c21c11c010 = 060 + 120 = 180. Exemplo 28. Calcule 12 ∙ 15.

A seguir apresentamos três listas de exercícios, com níveis diferentes de dificuldades.

Nível 1: Abordagem algébrica

Usando a definição de soma de x e y e as propriedades da operação de adição, preencha a tabela:

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 8 16 9 18 Calcule: a) 1 + 2 + 3 b) 1 + 2 + 3 + 4 c) 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Usando a definição de produto de x e y e as propriedades da operação de multiplicação, preencha a tabela:

CAPÍTULO 5

ABORDAGEM PRÁTICA

Exercício 1

Exercício 2

∙ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 Calcule: a) 1 ∙ 2 ∙ 3 b) 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 c) 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 Calcule: a) 11 b) 22 c) 33 d) 44

Complete as lacunas abaixo, usando a propriedade indicada: a) ____ + 2 = ____ + 1 =___ (Comutativa) b) 1 + (____ + 3) = (____ + 2) + 3 = ____ + ____ = ____ (Associativa) c) 2 ∙ (____ + ____) = ____ ∙ 5 + ____ ∙ 3 = ____ (Distributiva) d) 2____2 (Tricotomia) e) 2____2 + 2 (Tricotomia) f) 2 + 1____2 (Tricotomia) Exercício 4 Exercício 5 Exercício 6

Complete as lacunas abaixo, usando a propriedade indicada: a) ____ ∙ 2 = ____ ∙ 1 = ____ (Comutativa) b) 1 ∙ (____ ∙ 3) = (____ ∙ 2) ∙ ____ = ____ ∙ ____ = ____ (Associativa) c) ____ ∙ (3 + ____) = 2 ∙ ____ + ____ ∙ 5 = ____ (Distributiva) d) 2____2 ∙ 3 (Tricotomia) e) 2 ∙ 3____3 + 3 (Tricotomia) f) 2 ∙ 2____2 + 2 (Tricotomia) Exercício 7

Nível 2: Abordagem algébrica

Usando a definição de soma de x e y e as propriedades da operação de adição, preencha a tabela:

+ (𝟏)𝟓 (𝟐)𝟓 (𝟑)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟏)𝟓 (𝟐)𝟓 (𝟐)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟑)𝟓 (𝟏)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟑)𝟓 Calcule: a) (1)5+ (2)5+ (1)5 b) (1)5+ (2)5+ (2)5+ (1)5 c) (1)5+ (2)5+ (3)5+(2)5+ (1)5

Usando a definição de produto de x e y e as propriedades da operação de multiplicação, preencha a tabela:

∙ (𝟏)𝟓 (𝟐)𝟓 (𝟑)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟏)𝟓 (𝟏)𝟓 (𝟐)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟑)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟏)𝟓 Calcule: a) (1)5∙ (2)5∙ (1)5 b) (1)5∙ (2)5∙ (2)5∙ (1)5 c) (1)5∙ (2)5∙ (3)5∙ (2)5∙ (1)5 Exercício 1 Exercício 4 Exercício 2 Exercício 3

Calcule: a) ((1)5)1 b) ((2)5)2 c) ((3)5)3 d) ((4)5)4

Diremos que um subconjunto H de um monoide G, contendo o elemento neutro com relação a uma lei de composição ∙, é um submonoide se x, y ∈ H ⇒ x ∙ y ∈ H. Mostre que se x ∈ ℕ, o conjunto {xn_{, n ∈ ℕ} é um submonoide de (ℕ,∙).}

Mostre que se x, y ∈ ℕ ⇒ x + y ∈ ℕ e x ∙ y ∈ ℕ.

(Transitiva) Mostre que ∀ x, y, z ∈ ℕ, x < y e y < z então x < z.

(Cancelamento) Mostre que: a) ∀ x, y, c ∈ ℕ, x < y ⇔ x + c < y + c. b) ∀ x, y, c ∈ ℕ, x = y ⇔ x + c = y + c. c) ∀ x, y, c ∈ ℕ , x < y ⇔ x ∙ c < y ∙ c. d) ∀ x, y, c ∈ ℕ, x = y ⇔ x ∙ c = y ∙ c. Mostre que se x < y e z < w, então x + z < y + w, ∀ x, y, z, w ∈ ℕ. (Relação de ordem) Mostre que:

Exercício 6 Exercício 8 Exercício 9 Exercício 11 Exercício 5 Exercício 7 Exercício 10

a) ∀ x ∈ ℕ, x ≤ x ,

b) ∀ x, y ∈ ℕ, x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y, c) ∀ x, y, z ∈ ℕ, x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z.

(Propriedades da subtração) Mostre que: a) ∀ x, y, z ∈ ℕ, x > y , então z ∙ (x − y) = z ∙ x − z ∙ y.

b) ∀ x, y, z ∈ ℕ, x > y e y > z , então x − (y − z) = (x + z) − y. (Regras de Potenciação) Mostre que:

a) 1𝑛_{= 1 ∀ 𝑛 ∈ ℕ.} b) xn_{∙ x}m_{= x}n+m_{, ∀ n, m ∈ ℕ.} c) xn∙m_{= (x}n₎m_{= (x}m₎n_{= x}m∙n_{, ∀ n, m ∈ ℕ.} d) (x ∙ y)n_{= x}n_{∙ y}n_{, ∀ n ∈ ℕ.} Exercício 13 Exercício 12

Nível 1: Abordagem geométrica

Sabendo que a unidade adotada é metro m e a escala ₁₀₀1 , represente geometricamente 100m, 200m, 300m, 400m e 500m.

Represente geometricamente os números naturais x tais que x < 6.

Represente geometricamente os números naturais x tais x > 2.

Represente geometricamente os números naturais x tais que 2 < x < 6.

Represente geometricamente os números naturais x tais que x ≤ 9.

Represente geometricamente os números naturais x tais que x ≥ 2. Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5 Exercício 6

Represente geometricamente os números naturais x tais que 2 < x ≤ 9.

Represente geometricamente os números naturais x tais que 2 ≤ x < 9.

Represente geometricamente os números naturais x tais que 2 ≤ x ≤ 9.

Exercício 7

Exercício 8

Nível 1: Abordagem computacional

Determine a quantidade de dígitos de cada número abaixo: a) 1 b) 12 c) 123 d) 1234 e) an−1⋯ a0

Usando o algoritmo da soma e do produto, calcule: a) 12 + 34 e 12 ∙ 34

b) 123 + 12 e 123 ∙ 12 c) 123 + 456 e 123 ∙ 456 d) 1324 + 5678 e 1234 ∙ 5678

Transforme o número natural dado abaixo na base x, para o número natural correspondente na base 10.

a) (12)3 b) (123)4 c) (1234)5 d) (12345)6 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 1

Nível 2: Abordagem computacional

No algoritmo da soma de dois números naturais (anan−1⋯ a0)x + (bnbn−1⋯ b0)x precisamos determinar as somas

a0+ b0= d0c0

(aj+ bj) + dj−1= djcj, j = 1, … , n

cn+1 = dn.

Isso justifica o famoso ″vai 0 ou 1″. Utilizando o Teorema 1 e as propriedades do conjunto dos números naturais, justifique a validade deste procedimento.

No algoritmo do produto de dois números naturais (anan−1⋯ a0)x + (bnbn−1⋯ b0)x precisamos determinar os produtos

bi∙ a0= d0ic0i

(bi∙ aj) + dj−1i = djicji , j = 1, … , n,

cn+1i = dni.

Isso justifica o famoso ″vai 0, 1, 2, … ,8″. Utilizando o Teorema 1 e as propriedades do conjunto dos números naturais, justifique a validade deste procedimento.

Elabore um programa, em qualquer linguagem de programação, para calcular a soma e o produto de dois números naturais.

Exercício 3 Exercício 1

Teorema 2 (Algoritmo da divisão)

(∀x)(∀y)(∃q)(∃r) (((x = y ∙ q + r) ∧ (r < q)) ∨ (x = y ∙ q))

Teorema 3 (Teorema Fundamental da Aritmética)

(∀a)(∃𝑝1)(∃𝑝2) ⋯ (∃𝑝𝑛)(∃𝑚1) ⋯ (∃𝑚𝑛) ((a = ∏ 𝑝𝑗 𝑚𝑗

𝑛

𝑗=1

) ∧ (D(𝑝𝑗) = {1, 𝑝𝑗}) ∨ (a = 1)) Teorema 1 (Sistema numérico dos naturais)

𝑆 = (ℕ, {+,∙}) é um sistema numérico.

CAPÍTULO 6

Referências Bibliográficas

[1] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo:

Atual, 1991.

[2] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002.

[3] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro:

Francisco Alves, 1914.

[4] WOODBURRY, G..Elementary Algebra. USA: Addison Wesley,

2009.

© 2018 João Carlos Moreira. Todos os direitos reservados

38

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em

matemática pela Unesp - SP, especialista em

matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática

aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela

UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na

UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é

Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola

de Cálculo do país com sede na Universidade Federal

de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA

ARITMÉTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA