FUNDAMENTOS DE ESTAT´ISTICA - M1020 EXERC´ICIOS – 2020/2021
Ficha 6 (Cap´ıtulo 6)
(*) Adaptado de: Samuels, Witmer & Schaffner (2012), Statistics for the Life Sciences, PrenticeHall
68. Suponha que se pretende testar a hip´otese H0 : µ = V E contra H1 : µ 6= V E nas
situa¸c˜oes descritas na tabela a seguir e usando um teste t . Para cada situa¸c˜ao determine a estat´ıstica do teste ts, o valor cr´ıtico c (e a regi˜ao de rejei¸c˜ao) e conclua se h´a ou n˜ao
evidˆencia estat´ıstica de H1 a um n´ıvel de significˆancia de 1%.
situa¸c˜ao V E tamanho da amostra m´edia da amostra desvio padr˜ao da amostra
(a) 1200 49 1269 145
(b) 35 36 31.7 8.8
(c) 0 32 2.5 0.6
69. Repita o exerc´ıcio anterior mas desta vez considerando em (a) e (c) as hip´oteses H0 : µ =
V E contra H1 : µ > V E, e em (b) as hip´oteses H0 : µ = V E contra H1 : µ < V E
70. (*) Para cada uma das seguintes situa¸c˜oes suponha que se est´a a testar H0 : µ1 = µ2
contra H1 : µ1 6= µ2. Indique se h´a ou n˜ao evidˆencia significativa de H1 nas situa¸c˜oes
seguintes:
(a) ts= 3.75 com 19 graus de liberdade, α = 0.01.
(b) valor P = 0.085, n´ıvel de significˆancia=0.10. (c) valor P = 0.065, n´ıvel de significˆancia=0.05.
71. Abaixo, est˜ao apresentadas as press˜oes sist´olicas (em mm Hg) de 12 pacientes submetidos a terapia medicamentosa para hipertens˜ao:
183, 152, 178, 157, 194, 163, 144, 114, 178, 152, 118, 158
Assumindo a normalidade da popula¸c˜ao, podemos concluir com base nestes dados e com significˆancia de 5% que a m´edia da popula¸c˜ao ´e menor que 165? Realize este exerc´ıcio usando o Excel. Qual o valor P do teste?
72. (*) Suponha que se pretende testar a hip´otese H0 : µ1 = µ2 contra H1 : µ1 6= µ2 a partir
de duas amostras independentes, usando um teste t. Em cada uma das situa¸c˜oes a seguir, conclua se h´a ou n˜ao evidˆencia estat´ıstica de H1 a um n´ıvel de significˆancia de 1%.
(a) amostra 1 amostra 2 n 8 5 ¯ y 100.2 108.2 s 5.4 6.1 (b) amostra 1 amostra 2 n 12 15 ¯ y 46.1 45.3 s 1.5 2.3
73. (*) Num estudo acerca da cigarra Magicicada septendecim foram medidos os comprimentos (em µm) da t´ıbia traseira em 110 indiv´ıduos. Os resultados relativos a machos e fˆemeas encontram-se na tabela abaixo:
grupo n m´edia desvio padr˜ao machos 60 78.42 2.87 fˆemeas 50 80.44 3.52
Pretendendo-se investigar se existe, nesta esp´ecie, uma associa¸c˜ao entre o comprimento da t´ıbia traseira e o g´enero,
(a) Estabele¸ca as hip´oteses nula e alternativa adequadas para conduzir um teste t; (b) Poder´a concluir, com base nesse teste, a um n´ıvel de significˆancia de 1% que existe
uma associa¸c˜ao entre essas duas vari´aveis?
74. Pretende-se avaliar se os dados recolhidos por investigadores evidenciam uma diferen¸ca nas m´edias dos n´ıveis de ´acido ´urico entre indiv´ıduos normais e indiv´ıduos com uma certa doen¸ca. O conjunto de dados consiste em medidas do ´acido ´urico (mg/100 ml) em 12 indiv´ıduos doentes e em 15 num grupo de controlo. As m´edias correspondentes s˜ao de 4.5 e 3.4 e os desvios padr˜ao de 1 e 1.5, respetivamente.
Supondo que as popula¸c˜oes respetivas s˜ao normais, use um teste t para fazer essa avalia¸c˜ao a um n´ıvel de significˆancia de 5%.
75. Doze pessoas que sofriam de diabetes tipo 2 participaram num estudo para avaliar a efic´acia do ch´a verde no controlo da concentra¸c˜ao de glicose no sangue. Cada pessoa recebeu um “teste de tolerˆancia `a glicose” em duas manh˜as sucessivas. Na primeira manh˜a, cada indiv´ıduo (em jejum) recebeu um copo de ´agua quente para beber, seguido ap´os 10 minutos de uma solu¸c˜ao contendo 75 g de glicose. Na segunda manh˜a, cada indiv´ıduo (em jejum) tomou um copo de ch´a verde, seguido ap´os 10 minutos de uma solu¸c˜ao contendo 75 g de glicose. Em ambas as manh˜as, foi medido o n´ıvel de glicose no sangue (em g/dm3) de cada
indiv´ıduo 60 minutos depois de beber a glicose. Os dados encontram-se na tabela abaixo:
indiv´ıduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
´
agua 1.6 1.1 1.2 1.7 1.7 1.5 1.6 1.0 1.1 1.3 1.3 1.6 ch´a verde 1.5 1.0 1.0 1.6 1.7 1.3 1.5 1.0 1.0 1.1 1.2 1.4
(a) Estabele¸ca as hip´oteses nula e alternativa adequadas para investigar se o ch´a verde aumenta significativamente a tolerˆancia `a glicose.
(b) Conduza um teste t (admite-se normalidade) a um n´ıvel de significˆancia de 1% para testar essas hip´oteses.
76. (*) Sejam µ1 e µ2 as m´edias de duas popula¸c˜oes normais. Suponha que (−7.4, −2.3) ´e um
intervalo de confian¸ca a 95% para µ1− µ2. Se testarmos H0 : µ1 = µ2 contra H1: µ1 6= µ2
o que se conclui a um n´ıvel de significˆancia de (a) 5%? (b) 10%?
77. O ficheiro Hema.csv disponibilizado no Moodle, cont´em os valores do hemat´ocrito (per-centagem de volume ocupada pelos gl´obulos vermelhos no volume total de sangue) de 94 adultos, 51 homens e 43 mulheres. Fa¸ca um teste-t (use o Excel para todos os c´alculos auxiliares) para investigar se existe evidˆencia estat´ıstica (a um n´ıvel de 5%) da associa¸c˜ao entre o hemat´ocrito e o g´enero em pessoas adultas.
M16. Para testar a hip´otese H0 : µ = 4 contra a hip´otese H1 : µ 6= 4 foi conduzido um teste t a
partir de uma amostra de tamanho 50 para a qual o valor da estat´ıstica foi ts= 2.02 e o
valor-P foi 0.048. Com base nestes valores pode ser retirada a seguinte conclus˜ao: (A) H´a evidˆencia estat´ıstica de H1 a um n´ıvel de significˆancia de 1%.
(B) Sob a hip´otese nula, a probabilidade de observarmos uma estat´ıstica de teste igual ou mais extrema que 2.02 ´e 0.048.
(C) A probabilidade da hip´otese H1 ser verdadeira ´e 0.048.
(D) A hip´otese H1 ´e falsa.
(E) A probabilidade de H1 ser verdadeira ´e 0.952.
M17. Dois grupos de frangos, escolhidos aleatoriamente e de modo independente, foram sub-metidos a duas dietas diferentes. Ap´os 2 semanas, observou-se o aumento de peso dos frangos, obtendo-se os seguintes valores em gramas:
Dieta 1 Dieta 2
n 10 15
¯
x 165 180
s 42 56
Para comparar as duas dietas use um teste t. Ao n´ıvel de significˆancia de 5%, pode-se afirmar que
(A) o aumento m´edio de peso com a dieta 2 ´e superior ao da dieta 1 com valor-p inferior a 0.05 mas superior a 0.01.
(B) o aumento m´edio de peso com a dieta 2 ´e superior ao da dieta 1 com valor-p inferior a 0.001.
(C) o aumento m´edio de peso com a dieta 1 ´e superior ao da dieta 2 com valor-p superior a 0.001.
(D) os dados n˜ao evidenciam uma diferen¸ca entre as duas dietas relativamente ao aumento de peso m´edio.
(E) os dados n˜ao permitem nenhuma conclus˜ao.
M18. Para testar a efic´acia de uma dieta na redu¸c˜ao de peso, 36 pacientes foram pesados antes e depois dessa dieta. A realizar-se um teste-t para se concluir se h´a ou n˜ao evidˆencia estat´ıstica de que a dieta ´e eficaz, o c´alculo do valor-p faz-se com a distribui¸c˜ao:
Solu¸
c˜
oes
Exerc´ıcio 68
(a) ts ≈ 3.331, regi˜ao de rejei¸c˜ao |ts| > 2.6822; h´a evidˆencia de H1 a um n´ıvel de significˆancia
de 1%.
(b) ts = −2.25, regi˜ao de rejei¸c˜ao |ts| > 2.7238; n˜ao h´a evidˆencia de H1 a um n´ıvel de
significˆancia de 1%.
(c) ts ≈ 23.57, regi˜ao de rejei¸c˜ao |ts| > 2.7440; h´a forte evidˆencia de H1 a um n´ıvel de
significˆancia de 1%. Exerc´ıcio 69
(a) ts≈ 3.331, regi˜ao de rejei¸c˜ao ts > 2.4066; h´a evidˆencia de H1 a um n´ıvel de significˆancia
de 1%.
(b) ts = −2.25, regi˜ao de rejei¸c˜ao ts < −2.4377; n˜ao h´a evidˆencia de H1 a um n´ıvel de
significˆancia de 1%.
(c) ts ≈ 23.57, regi˜ao de rejei¸c˜ao ts > 2.4528; h´a forte evidˆencia de H1 a um n´ıvel de
significˆancia de 1%. Exerc´ıcio 70
(a) h´a evidˆencia (b) h´a evidˆencia (c) n˜ao h´a evidˆencia . Exerc´ıcio 71
N˜ao. O valor P do teste ´e aproximadamente 0.157. Consultar ficheiro Ficha6.xlsx disponi-bilizado no Moodle.
Exerc´ıcio 72
(a) ts≈ −2.4026 e (b) ts≈ 1.0885. Em ambos os casos n˜ao h´a evidˆencia de H1 a um n´ıvel
de significˆancia de 1%. Exerc´ıcio 73
(a) Sendo µM e µF os comprimentos m´edios da t´ıbia traseira dos machos e das fˆemeas
respetivamente da esp´ecie Magicicada septendecim, as hip´oteses a testar s˜ao H0 : µM − µF = 0
contra H1: µM − µF 6= 0.
(b) O valor da estat´ıstica do teste ´e ts ≈ −3.255 e a regi˜ao de rejei¸c˜ao |ts| > 2.6221 (o
valor-P≈ 0.0015). Sendo assim, os dados evidenciam, a um n´ıvel de significˆancia de 1%, uma diferen¸ca nas m´edias dos dois grupos e portanto a existˆencia de uma associa¸c˜ao entre as duas vari´aveis.
[Nota: o n´umero de graus de liberdade ´e 108 que n˜ao consta da tabela. Recorreu-se ao Excel para obten¸c˜ao do valor cr´ıtico e do valor P]
Exerc´ıcio 74
O valor da estat´ıstica do teste ´e ts ≈ 2.277 e a regi˜ao de rejei¸c˜ao ´e |ts| > 2.0595
(conse-quentemente o valor-P < 0.05). Sendo assim, os dados evidenciam, a um n´ıvel de significˆancia de 5%, uma diferen¸ca nas m´edias dos n´ıveis de ´acido ´urico entre indiv´ıduos normais e indiv´ıduos com uma certa doen¸ca.
Exerc´ıcio 75
(a) Sendo µA e µC as m´edias dos n´ıveis de glicose no sangue ap´os a ingest˜ao de glicose
precedida da ingest˜ao de ´agua e ch´a respetivamente, as hip´oteses a testar s˜ao H0: µA− µC = 0
contra H1: µA− µC > 0.
(b) O valor da estat´ıstica do teste ´e ts≈ 5.63 e para um teste unilateral `a direita a regi˜ao de
rejei¸c˜ao ´e ts> 2.7181 (valor-P ≈ 7.656e − 05, obtido no Excel). Sendo assim, ´e poss´ıvel concluir
a um n´ıvel de 1% que o ch´a verde aumenta a tolerˆancia ´a glicose. Consultar ficheiro Ficha6.xlsx disponibilizado no Moodle. Exerc´ıcio 76
(a) Como o intervalo n˜ao cont´em 0, rejeita-se H0, isto ´e, h´a evidˆencia estat´ıstica de H1 a um
n´ıvel de significˆancia de 5%.
(b) Havendo evidˆencia estat´ıstica de H1 a um n´ıvel de significˆancia de 5%, h´a obviamente
tamb´em evidˆencia estat´ıstica de H1 a um n´ıvel de significˆancia de 10%.
Exerc´ıcio 77
Consultar ficheiro Ficha6.xlsx disponibilizado no Moodle. O valor da estat´ıstica do teste ´e ts≈ 5.55 e a regi˜ao de rejei¸c˜ao ´e |ts| > 1.99 (valor-P ≈ 2.692e − 07
Existe forte (valorP muito baixo) evidˆencia estat´ıstica um n´ıvel de significˆancia de 5% da associa¸c˜ao entre o hemat´ocrito e o g´enero em pessoas adultas, sendo poss´ıvel concluir, que o hemat´ocrito nos homens ´e superior ao das mulheres.
Exerc´ıcios Modelo Exame
