A Geometria dos Castelos

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A Geometria dos

Castelos

Adérito Araújo

Departamento de Matemática

Universidade de Coimbra

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“Olinda não é certamente a única cidade a crescer em círculos

concêntricos […]. Mas, nas outras cidades permanece bem no meio o velho círculo das muralhas bem estreito […]. Em Olinda não: as velhas muralhas dilatam-se

levando consigo os bairros antigos”

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Sumário

1. Evolução arquitectónica 2. A matemática dos castelos

M. Aigner & G.M. Ziegler “Proofs from THE BOOK” Springer, 2003

C.J. Budd & C.J. Sangwin “Mathematics Galore!” Oxford UP, 2001

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1. Evolução arquitectónica

As primeiras fortificações foram desenhadas para defender cidades inteiras.

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Um Castro é tipo de povoado existente nas montanhas do noroeste da Península Ibérica, característico da Idade do Ferro e declaradamente defensivo com estruturas predominantemente circulares.

Castro de Romariz, Portugal

Uma Citânia é um castro de

maiores dimensões e importância, habitado continuadamente.

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☺

1. Visibilidade

2. Vantagem psicológica

3. Tempo para preparar a defesa 4. É difícil subir a montanha

5. Arremesso de pedras

6. Locais menos pantanosos

1. Dificuldade em obter água durante um cerco

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Um Castelo (diminutivo de castro) é uma estrutura

arquitectónica fortificada, com funções defensiva e residencial, típica da Idade Média.

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Na Idade Média dizia-se “fazer vila” o acto de cercar de muralhas uma povoação.

Óbidos, Portugal

A organização defensiva do castelo era semelhante à da vila e tinha comandamento sobre ela devido à posição mais alta e às muralhas mais fortes.

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Marvão, Portugal

Pátio central

Casas da guarnição encostadas às muralhas

Adarve _{ou caminho da ronda,} defendido por um muro ameiado, cuja largura variava entre 1 a 4 metros

Duas portas: uma para a

povoação (porta da vila); a outra, para o terreno exterior (porta da traição)

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Com o final da Idade Média genaralizou-se o uso de canhões e armas de fogo nos cercos aos castelos e, como tal, a sua arquitectura sofreu alterações.

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De entre as fortalezas construídas nessa altura aquela cuja arquitectura se revelou mais eficiente foi a que se chamou baluarte ou bastião.

Lindoso, Portugal

Em relação aos castelos medievais, constitui-se numa defesa mais baixa e larga, melhor adaptada ao

emprego de artilharia, que se desenvolveu em arquitectura de fortificação, a partir do século XIV.

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2. A matemática dos castelos

Questão 1: Qual a vantagem das formas simétricas?

Questão 2: Como defender a entrada de um castelo?

Questão 3: Como é que a evolução da forma permitiu melhorar a segurança? Questão 4: Como defender o interior de um castelo?

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Vamos supor que pretendemos construir uma paliçada e temos à nossa disposição um número finito de paus. Queremos uma vedação com área o maior possível, pois é necessário que o forte albergue o maior número possível de pessoas.

Questão 1: Qual a vantagem das formas simétricas?

Questão 1.1: De entre as curvas simples, fechadas, do plano, com um determinado comprimento, qual é a que delimita a maior área possível?

Jakob Steiner (1796-1863)

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2º: O conjunto máximo deve ser convexo.

A

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3º: Qualquer diâmetro do conjunto máximo divide a área em duas partes iguais.

A B

S1

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4º: Se A e B forem dois pontos em lados opostos de um diâmetro e C um ponto qualquer da curva, então o ângulo

q

_{mede exactamente 90º.}

A

B C

q

Exercício: Mostre que:

1 _{sin .}

2

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A B C

O

.

BO

=

OC

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Exercício [Lei dos Cossenos]: A B C a O 2 2 2

2 cos .

OC

=

BC

+

BO

−

BC BO

α

q

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Bibliografia

1. C.J. Budd & C.J. Sangwin “Mathematics Galore!” Oxford UP, 2001 2. V.M. Tikhomirov, “Stories About Maxima and Minima”, AMS, 1990 3. G. Lawlor, “A new area maximization proof for the circle”,

Mathematical Inteligencer 20 (1998) 29-31

4. P.D. Lax, “A short path to the shortest path”, American Mathematical Monthly, 158-159, Feb. 1995

5. T.M. Madeira, “O Problema Isoperimétrico Clássico”, DMUC, 2005

Web

1. http://www.cut-the-knot.org/

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“The isoperimetric theorem, deeply rooted in our experience and intuition, so easy to conjecture, but not so easy to prove, is an inexhaustible source of inspiration.”

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Uma entrada melhor é aquela que obriga o atacante a permanecer muito tempo próximo da linha de defensiva se quiser entrar na fortificação.

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Josué 6:3 Dai uma volta em torno da cidade, vós e todos os homens de

guerra. Fareis isso durante seis dias.

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Meiden Castle, Reino Unido

Um processo efectivo pode ser o de criar entradas em forma de labirinto.

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Questão 2.1: Fixada uma determinada área, como desenhar curvas com um

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Floco de Neve de Koch

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2 2 3 1 3 1 . 4 3 3 L L A = _ + _ =   2 3 1 1 4 1 . 4 3 3 9 L A=  + +       

Questão 2.2: Mostre que o perímetro total P da estrela é 4L a a sua área é

Questão 2.3: Mostre que o perímetro total P=16L/3 e que a sua área é

Questão 2.4: Mostre que figura fractal (Floco de Neve de Koch), a sua área é

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Questão 3.1: Como defender as muralhas?

Questão 3: Como é que a evolução da forma permitiu melhorar a segurança?

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Sébastien Le Prestre, marquês de Vauban (1633-1707)

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Questão 4. Como defender o interior de um castelo?

Questão 4.1. Qual a

vantagem de desenhar as

escadas em espiral no sentido horário?

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Questão 4.2: Quantos guardas são necessários para defender o interior dum castelo?

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Teorema de Chvátal (1975): Para qualquer castelo com n paredes são necessários n/3 guardas. Se n não for múltiplo de 3, o número de

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Exercício: Mostre que qualquer figura poligonal plana, simples, com n vértices admite uma triangulação (sem a inclusão de vértices adicionais) com n-2 triângulos.

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Consideremos n-3 diagonais que se não intersectam até obter uma triangulação da figura.

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3º: Os vértices do polígono podem ser coloridos apenas com três cores sem que ocorram vértices com a mesma cor unidos por uma aresta.

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Se n=3 o resultado está demonstrado.

Se n>3, considerem-se dois vértices ao acaso (digamos u e v).

Por indução, concluimos que é possível colorir os arestas do grafo apenas com três cores.

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Conjectura [Toussaint (1981)]: [n/4] guardas são suficientes em todas as circunstâncias, sendo n o número de paredes.

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Bibliografia

1. M. Aigner & G.M. Ziegler “Proofs from THE BOOK” Springer, 2003 2. J. Urrutia, "Art Gallery and Illumination Problems" Handbook on

Computational Geometry, Elsevier Science Publishers, J.R. Sack and J. Urrutia eds. pp. 973-1026, 2000

3. N. Do, “Mathellaneous”, Australian Mathematical, Gazette, 288-294, Nov. 2004

Web