Matemática e raciocínio lógico Prova comentada

Matemática e raciocínio lógico

Prova comentada

Questão 11

Classifique cada sentença abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F).

( ) O número de algarismos utilizados para numerar as primeiras 106 páginas de um livro é 210.

( ) Em 2000, aproximadamente 30 milhões de brasileiros viviam em zona rural. Se esse número corresponde a

17

3

da população brasileira naquele ano, então a população do Brasil, em 2000, era, aproximadamente, 170 milhões.

( ) A temperatura em uma cidade, num certo dia de inverno, era – 5º C, ás 6 horas da manhã. No período das 6 às 12 horas, a temperatura subiu 8 graus. A temperatura nessa cidade, às 12 horas desse dia, era 13º C.

( ) Sabe-se que três em cada grupo de 5.000 habitantes de uma cidade são médicos. Se essa cidade tem 60.000 habitantes, o número de médicos é 36.

Assinale a opção que apresenta a sequência correta. A) F, V, F, V. B) V, F, V, F. C) V, V, F, V. D) F, F, V, F. Resolução: 1ª sentença:

Observe que na sequência 1, 2, 3, 4,...,105, 106, temos:

Números de um algarismo: 1, 2, 3,..., 9 Números de dois algarismos: 10, 11, 12,..., 99 Números de três algarismos: 100, 101,..., 106 Analisando chegaremos ao resumo:

De 1 a 9

⇒

_{(9 – 1) + 1 = 9}

⇒

9.1 = 9 algarismos De 10 a 99

⇒

_{(99 – 10) + 1 = 90}

⇒

90.2 = 180 algarismos De 100 a 106

⇒

_{(106 – 100) + 1 = 7}

⇒

7.3 = 21 algarismos Total: 9 + 180 + 21 = 210 algarismos. Logo, a 1ª sentença é Verdadeira.

2ª sentença:

Em 2000, população da zona rural 30 mil que corresponde a

17

3

. Assim,

17

1

corresponde a 10 mil. Então,

17

17

(corresponde a população do Brasil) é de 17.10 = 170 mil.

Logo, a 2ª sentença é Verdadeira. 3ª sentença:

Temos que, às 6 horas da manhã a temperatura era de – 5º C.

Como a temperatura subiu 8 graus, a nova temperatura às 12 horas do mesmo dia é:

– 5º + 8º = 3º C.

Logo, a 3ª sentença é Falsa. 4ª sentença:

Temos que, três em cada grupo de 5.000 habitantes de uma cidade são médicos, logo uma razão de

5000

3

.

Assim, temos a proporção:

⇒

×

=

⇒

=

5000

x

3

60000

60000

x

5000

3

.

36

12

3

x

5000

60000

3

x

⇒

=

×

=

×

=

Logo, a 4ª sentença é Verdadeira. Portanto, V, V, F, V.

Questão 12

Há diversas maneiras de se calcular a dose infantil de um medicamento sendo conhecida a dose do adulto. Normalmente, esse cálculo é feito em função da idade da criança ou de seu peso. A regra de Young é definida por:

k

12

n

n

y

⋅

+

=

_{, onde y é a} dose infantil; n a idade da criança, em anos; e k a dose do adulto. Sabendo-se que a dose de sulfato de morfina para um adulto é 10 mg, é correto afirmar, com base na rega de Young, que a dose infantil para uma criança de 12 anos, pesando 30 kg é A) 4,5 mg. B) 5 mg C) 5,5 mg. D) 6 mg. Resolução:

A regra de Young é definida por:

k

12

n

n

y

⋅

+

=

. Se







=

=

mg

10

k

anos

12

n

, vem:

.

5

24

120

y

10

24

12

y

10

12

12

12

y

⋅

⇒

=

⋅

⇒

=

=

+

=

Portanto, a dose infantil para uma criança de 12 anos, pesando 30 kg é 5 mg.

(Alternativa B)

Questão 13

Uma pessoa, queixando-se de febre alta (40º), procura um pronto-socorro, onde lhe é administrada uma substância antipirética, a partir da qual se espera a queda rapidamente da temperatura e o retorno desta ao nível normal (cerca de 36,5º C). Admitindo que a curva de temperatura (em ºC) descrevendo o efeito do medicamento, nessa situação específica, seja f(t) = 40 – 8t + 5t2 – t3, onde t é o tempo, em horas, contado a partir da tomada do medicamento, é correto afirmar que a temperatura da pessoa, decorridos 30 minutos após o medicamento, é, aproximadamente, A) 38º C. B) 36,5º C. C) 37º C. D) 37,5º C. Resolução:

A temperatura (em ºC) descrevendo o efeito do medicamento é dada por: f(t) = 40 – 8t + 5t2 _{– t}3_,

em que t é o tempo, em horas. Se t = 30 min = 0,5 h, vem: 3 2

₍

₀

_,

₅

₎

)

5

,

0

(

5

)

5

,

0

(

8

40

)

5

,

0

(

f

=

−

⋅

+

⋅

−

)

125

,

0

(

)

25

,

0

(

5

4

40

)

5

,

0

(

f

=

−

+

⋅

−

C

125

,

37

125

,

0

25

,

1

4

40

)

5

,

0

(

f

=

−

+

−

=

o

Portanto, decorridos 30 minutos após ter tomado o medicamento, a temperatura da pessoa é de aproximadamente 37º C.

Questão 14

Num hospital, uma equipe médica que é composta por 5 membros, sendo três médicos e duas enfermeiras, será formada a partir de 8 médicos e 6 enfermeiras, sendo que o Dr. Moisés deverá pertencer à equipe. Dessa forma, o número de equipes que poderão ser formadas é

A) 315. B) 420. C) 840. D) 1680.

Resolução:

A equipe médica deve ter 5 membros.

Como o Dr. Moisés deverá pertencer à equipe. Devemos escolher:

2 médicos entre os 7 restantes:

C

27
2 enfermeiras entre as 6:

C

26

Pelo princípio fundamental da contagem escolheremos a equipe médica de:

.

315

2

5

6

1

2

6

7

C

C

!

4

!

2

!

6

!

5

!

2

!

7

C

C

2_{7 6}2 2_{7 6}2

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⇒

⋅

⋅

⋅

=

⋅

Portanto, a equipe médica pode ser formada de 315 maneiras diferentes.

(Alternativa A)

Questão 15

Um estudo revelou que o número de pessoas infectadas por uma gripe, em certa cidade, é dado por

N

=

3000

⋅

(

2

)

kt, sendo t, em dias, e k uma constante real. Sabendo-se que, após dois dias do início do estudo, havia 24.000 pessoas infectadas, é correto afirmar que o número de infectados pela gripe, após 16 horas do início do estudo, é

A) 4.000. B) 6.000. C) 8.000. D) 10.000.

Resolução:

OBS.: Nessa questão a função N = 3000.(2)kt não foi especificado o domínio. Será considerado para a solução abaixo, domínio t.

Como a quantidade de pessoas infectadas é dada por

N

(

t

)

=

3000

⋅

(

2

)

kt.

Sabendo que em dois dias do início do estudo, havia 24.000 pessoas infectadas, temos N(2) = 24.000. Então:

⇒

⋅

=

⇒

⋅

=

₃₀₀₀

₍

₂

₎

2k

₂₄₀₀₀

₃₀₀₀

₍

₂

₎

2k

)

2

(

N

⇒

=

⇒

=

⇒

=

2k 2k 3 k 2

₍

₂

₎

₈

₍

₂

₎

₂

3000

24000

)

2

(

.

2

3

k

3

k

2

=

⇒

=

Substituindo

2

3

k =

na função: 2t 3

)

2

(

3000

)

t

(

N

=

⋅

_.

Com a função plenamente determinada, podemos agora obter o número de pessoas infectadas após 16 horas do início do estudo.

Se t = 16 h =

24

16

=

3

2

dia (o tempo é dado em dias), vem: 3 2 2 3

)

2

(

3000

3

2

N

⋅

⋅

=













1

)

2

(

3000

)

16

(

N

=

⋅

000

.

6

2

3000

)

16

(

N

=

⋅

=

Portanto, decorridos 16 horas do início do estudo, o número de pessoas infectadas é de 6.000.

Questão 16

Com 4 médicos e 4 enfermeiras serão formadas comissões de 5 membros. A probabilidade de uma dessas comissões ser formada por dois médicos e três enfermeiras é de, aproximadamente

A) 49%. B) 40%. C) 46%. D) 43%.

Resolução:

Seja “n(U)” o número total de maneiras de escolher 5 membros comissão entre 8 pessoas (sendo 4 médicos e 4 enfermeiras), vem o cálculo:

.

56

1

2

3

6

7

8

C

!

3

!

5

!

8

C

)

U

(

n

5_{8 8}5

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⇒

⋅

=

=

Seja “A” o evento “uma dessas comissões ser formada por dois médicos e três enfermeiras”. Vem o cálculo:

A comissão deve ter 5 membros.

Devemos escolher:

2 médicos entre os 4:

C

24
3 enfermeiras entre as 4:

C

34

Pelo princípio fundamental da contagem escolheremos a comissão de:

.

24

1

4

1

2

3

4

C

C

!

1

!

3

!

4

!

2

!

2

!

4

C

C

2₄ 3₄ 2₄ 3₄

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⇒

⋅

⋅

⋅

=

⋅

Logo, a probabilidade desse evento é:

%.

43

%

85

,

42

4285714

,

0

56

24

)

U

(

n

)

A

(

n

)

A

(

P

=

=

=

=

≈

Portanto, a probabilidade de uma dessas comissões ser formada por dois médicos e três enfermeiras é de, aproximadamente 43%.

(Alternativa D)

Questão 17

O Dr. Marcos lanchou, em três plantões consecutivos, na lanchonete que funciona prócimo ao hospital em que trabalha. No primeiro plantão, consumiu dois sanduíches, cinco esfirras e dois sucos, pagando R$ 11,00; no segundo plantão, consumiu três sanduíches, seis esfirras e três sucos, pagando R$ 15,30; e, no terceiro plantão, consumiu dois sanduíches, dez esfirras e três sucos, pagando R$ 17,00. Nessas condições, é correto afirmar que o preço unitário do sanduíche é

A) R$ 1,00. B) R$ 0,80. C) R$ 1,50. D) R$ 2,00. Resolução: Fazendo: x = número de sanduíches; y = número de esfirras; z = número de sucos. Temos o sistema:











=

+

+

=

+

+

=

+

+

17

z

3

y

10

x

2

30

,

15

z

3

y

6

x

3

11

z

2

y

5

x

2

Cálculo da determinante da matriz incompleta do sistema. Vem:

3

24

60

45

60

30

36

10

2

6

3

5

2

3

10

2

3

6

3

2

5

2

D

=

=

+

+

−

−

−

=

−

Cálculo da determinante da matriz através da troca dos coeficientes de x (sanduíches) pelos termos independentes, na matriz incompleta. Vem:

⇒

=

10

17

6

3

,

15

5

11

3

10

17

3

6

3

,

15

2

5

11

D

_x

5

,

4

204

330

5

,

229

306

255

198

D

x

=

+

+

−

−

−

=

−

Logo:

5

,

1

3

5

,

4

D

D

x

x

=

−

−

=

=

_.

Portanto, o preço unitário do sanduíche é R$ 1,50. (Alternativa C)

Questão 18

Sabe-se que quanto mais elevado é o preço de um produto, mais baixa será a quantidade procurada por ele, e vice-versa. Suponha, então, que, quando o preço por unidade de um produto vale R$ 56,00, 4.200 unidades são vendidas por mês; quando o preço por unidade vale R$ 64,00, 38.000 unidades são vendidas por mês. Se o preço por unidade for R$ 68,00, a quantidade vendida por mês será A) 3.600.

B) 3.400. C) 3.200. D) 3.000.

Resolução:

De acordo com o enunciado, quanto mais elevado é o preço de um produto, mais baixa será a quantidade procurada por ele, e vice-versa.

Então, veja esquema abaixo:

Note que:

Quando o produto aumentou R$ 8,00 (passando de R$ 56,00 para R$ 64,00), a quantidade de unidades vendidas diminuiu 400 (4200 – 400 = 3800).

Como aumentamos o produto em R$ 4,00 (passando de R$ 64,00 para R$ 68,00), proporcionalmente a quantidade de unidades vendidas diminuiu

200

2

400

=

(passando a vender 3800 – 200 = 3600).

Portanto, se o preço por unidade for R$ 68,00, a quantidade vendida por mês será de 3.600.

(Alternativa A)

Questão 19

Num posto de combustível, os reservatórios têm a forma de um cilindro reto com 2 m de diâmetro da base e 6 m de comprimento. Se um desses reservatórios, inicialmente cheio, depois de um certo tempo, contiver

5

4

de sua capacidade total, é correto afirmar que a quantidade de gasolina retirada do reservatório, em litros, será de (obs:

π

=

3

,

14

) A) 3.768. B) 3.834. C) 4.046. D) 4.192. Resolução:

OBS.: Nessa questão não ficou claro se esse comprimento mencionado é da circunferência ou da altura do cilindro. Será considerado para solução altura do cilindro 6 m.

O volume de combustível que o reservatório cheio pode conter é dado por:

3 2 2

m

6

V

6

1

V

h

r

V

=

π

⇒

=

π

⋅

⋅

∴

=

π

Fazendo

π

=

3

,

14

, vem: 3

m

40

,

18

V

14

,

3

6

V

=

⋅

∴

=

Como 1 m3 = 1000 ℓ, temos:

l

18840

V

1000

40

,

18

V

=

⋅

⇒

=

_.

Assim, a quantidade de gasolina retirada do reservatório é

5

1

5

4

5

5

4

1

=

−

=

−

do volume do reservatório. Logo:

₁₈₈₄₀

₃₇₆₈

l

5

1

V

5

1

=

⋅

⇒

⋅

_.

Portanto, a quantidade de gasolina retirada do reservatório é de 3.768 litros.

Questão 20

Os primeiros casos de Dengue notificados em Natal/RN foram no ano de 1996. Nesse ano, houve 1.339 notificações. Analisando o gráfico a seguir que representa o número de casos registrados, anualmente, no período de 2001 a 2010, julgue as afirmações em Verdadeiras (V) ou Falsas (F).

( ) No período, houve dois surtos epidêmicos de dengue notificados no município de Natal.

( ) No período, não houve dois anos consecutivos de decrescimento no número de casos de dengue notificados.

( ) No ano de 2009, ocorreu uma redução de 90%, aproximadamente, no número de casos de dengue em relação ao ano anterior.

( ) No ano de 2010, houve um incremento de 165%, aproximadamente, em relação ao ano anterior no número de casos de dengue notificados. Assinale a opção que apresenta a sequência correta. A) V, V, V, F. B) F, V, F, V. C) F, F, V, F. D) V, V, V, V. Resolução: 1ª afirmação:

(Verdadeira) No ano 2001 e 2008, foram registrados 19.221 e 15.584 casos de dengue, respectivamente. Houve dois surtos epidêmicos. OBS.: Nessa afirmação, será considerado surto epidêmico, quando o número de casos registrados ultrapassarem 15.000.

2ª afirmação:

(Verdadeira) No período de 2001 e 2010, não houve dois anos consecutivos de decrescimento no número de casos de dengue notificados.

3ª afirmação:

(Verdadeira) Houve um decrescimento de 14.031 casos que corresponde a aproximadamente 90%.

4ª afirmação:

(Verdadeira) Houve um incremento (acréscimo) 2.559 casos que corresponde a aproximadamente 165%.

%.

165

6477784

,

1

1553

2559

1553

1553

4112

≈

=

=

−

Portanto, V, V, V, V. (Alternativa D)