Unidade 7 - Bases e dimens˜ao
A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
Nesta unidade introduziremos dois conceitos fundamentais no con-texto dos espa¸cos vetoriais: base e dimens˜ao. Esses dois conceitos esclarecem a estrutura desses espa¸cos e ao mesmo tempo simplificam as demonstra¸c˜oes de v´arios resultados sobre eles.
I Dizemos que um espa¸co vetorial V ´e finitamente gerado se existir um subconjunto finito S ⊂ V tal que V = G (S ). S˜ao exemplos de espacos vetoriais finitamente gerados:
1. R[x]n=G (1, x , x2, . . . , xn);
2. Rn´e gerado por S ={e1= (1, 0, . . . , 0), . . . , en= (0, . . . , 0, 1)};
3. M(m, n) ´e gerado pelas matrizes Ekl = (δ(k,l )ij )m×n, onde k =
1, . . . , m, l = 1 . . . , n e δ(k,l )ij =1 se (i , j ) = (k, l ) ou δ(k,l )ij =0 caso contr´ario.
Nem todos os espa¸cos vetoriais s˜ao finitamente gerados, veja exemplo abaixo:
Exemplo: Seja V = R[x] o espaco vetorial formado por todos os polinˆomios. Afirmamos que V n˜ao ´e finitamente gerado. De fato, note que R[x]n ⊂ R[x] para todo n ∈ N. Se R[x] fosse
fi-nitamente gerado existiriam polinˆomios p1(x ), p2(x ), . . . , pk(x ) tais
que V = G (p1(x ), p2(x ), . . . , pk(x )). Seja N o grau mais alto
den-tre os polinˆomios p1(x ), p2(x ), . . . , pk(x ). ´E evidente que xN+1 6∈
G (p1(x ), p2(x ), . . . , pk(x )), gerando uma contradi¸c˜ao.
Nosso objetivo principal ´e mostrar que em todo espa¸co vetorial finita-mente gerado V existe um subconjunto finito S tal que todo elemento de V ´e combina¸c˜ao linear, de uma ´unica maneira, desse subconjunto. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gere V e tal que todos os elementos sejam realmente necess´arios para gerar V .
Seja V 6={0} um espaco vetorial finitamente gerado. Uma base de V ´e uma sequˆencia de vetores linearmente independentes B ={v1, . . . , vn}
de V que tamb´em gera V , isto ´e, V = G (B). S˜ao exemplos de bases:
1. B ={1, x, x2, . . . , xn} ´e uma base de R[x]n;
2. B ={e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en= (0, . . . , 0, 1)} ´e base de Rn;
3. B = {Ekl = (δ (k,l )
ij )m×n}, onde k = 1, . . . , m, l = 1 . . . , n e
δ(k,l )ij = 1 se (i , j ) = (k, l ) ou δ(k,l )ij = 0 caso contr´ario, ´e uma base deM(m, n).
Os exemplos apresentam bases para alguns espa¸cos vetoriais mais co-mumente trabalhados, a pergunta natural ´e: todo espa¸co finitamente gerado possui uma base ?
O resultado a seguir responde `a pergunta.
Teorema F: Todo espaco vetorial V 6= {0} finitamente gerado ad-mite uma base.
Para provarmos o teorema acima, faremos uso do seguinte lema: Lema: Se os vetores v1, . . . , vm geram o espa¸co vetorial V , ent˜ao
qualquer conjunto com mais de m vetores em V ´e LD.
Id´eia da Dem.: Dados w1, . . . , wn em V , com n > m, para cada
j = 1, . . . , n temos wj = α1jv1 +· · · + αmjvm, pois os vetores vi0s
geram V . Para mostrar que os vetores wj0s s˜ao LD, devemos garantir a existˆencia de coeficientes x1, . . . , xn n˜ao todos nulos tais que vale a
igualdade x1w1+· · · + xnwn=0. Usando a express˜ao de cada wj, o
problema reduz-se a garantir a existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema linear homegˆeneo com m equa¸c˜oes e n vari´aveis. Sendo n > m, um tal sistema possui solu¸c˜ao diferente da solu¸c˜ao trivial.
Relativo ao lema anterior, temos a seguinte consequˆencia: qualquer conjunto de vetores de V LI tem no m´aximo m vetores.
Id´eia da prova do Teorema F: Como V e finitamente gerado existem v1, . . . , vn tais que V = G (v1, . . . , vn). Se{v1, . . . , vn} ´e LI,
ent˜ao esta sequˆencia ´e uma base de V . Caso contr´ario, podemos excluir vetores de{v1, . . . , vn} de modo a obtermos uma base.
Uma das principais consequˆencias da existˆencia de bases para espa¸cos vetoriais finitamente gerados ´e expressa na proposi¸c˜ao abaixo: Proposi¸c˜ao: Seja α ={v1, . . . , vn} uma base de V , ent˜ao cada vetor
v em V pode ser escrito de modo ´unico na forma v = a1v1+· · · + anvn.
Os n´umeros reais a1, . . . , an que aparecem no teorema anterior, s˜ao
chamados as coordenadas do vetor v na base α. A matriz [v ]α =
(a1. . . an)´e chamada a matriz das coordenadas de v na base α.
Exemplo: Determine as coordenadas do polinˆomio p(x ) = 1 + x + x2 na base α ={1, 1 + x, 1 + x2}. Sejam a, b, c tais que
1 + x + x2 =a · 1 + b · (1 + x ) + c · (1 + x2). Ent˜ao [p(x )]α= (−1 1 1).
Conhecida uma base do espa¸co vetorial V , fica relativamente mais simples inferir informa¸c˜oes sobre V . Contudo, todo espa¸co vetorial possui mais de uma base. Mudando de base as informa¸c˜oes obtidas s˜ao alteradas ? Algumas informa¸c˜oes sim, por exemplo as coordena-das do vetor. Por´em, outras informa¸c˜oes n˜ao. Vejamos teorema a seguir.
Teorema: Sejam α = {v1, . . . , vr} e α = {u1, . . . , us} duas bases de
um espa¸co vetorial V . Ent˜ao r = s.
Dem.: Como α gera V e β ´e LI, temos que s 6 r . Analogamente, segue que r 6 s. Da´ı, r = s.
Como consequˆencia deste resultado, a dimens˜ao (defini¸c˜ao a seguir) de um espa¸co vetorial est´a bem posta.
Defini¸c˜ao: O n´umero de elementos de uma base de um espa¸co ve-torial V ´e denominado a dimens˜ao de V , denotamos por dim V . Exemplos: dim R[x]n=n; dim Rn=n e dimM(m, n) = m · n.
