Análise Multivariada - trabalho

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Programa de

Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

Trabalho de

Análise Multivariada Aplicada à Pesquisa

Prof. D. Jair Mendes Marques

Aluna

Marina Vargas R. P. G. Ferreira

Curitiba - PR 2010

Sumário

1 Lista 1 - Álgebra matricial, vetores aleatórios e amostras aleatórias 3

2 Lista 2 - Distribuição Normal Multivariada 33

3 Lista 3 - Inferência sobre o vetor de médias e MANOVA 48

4 Lista 4: Análise de Componentes Principais 75

5 Lista 5: Análise Fatorial 99

6 Lista 6: Análise Discriminante 121

7 Lista 7: Regressão Logística 135

8 Lista 8: Análise de Agrupamento 146

1

Lista 1 - Álgebra matricial, vetores aleatórios e amostras aleatórias

Resolver os problemas 1 até 16, com uso do MATLAB 1. Dadas as matrizes 𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −7 0 5 4 3 −3 −2 3 7 5 4 1 2 2 7 −3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐵 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 8 5 7 5 −1 −3 −3 −1 −1 3 −2 5 1 1 3 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ e 𝐶 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −5 5 0 −5 2 −3 2 2 2 3 −1 1 0 4 1 −3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , calcular: (a) 𝐴 + 𝐵; >> A+B ans = 1 5 12 9 2 -6 -5 2 6 8 2 6 3 3 10 3 (b) 𝐶 − 𝐵; >> C-B ans = -13 0 -7 -10 3 0 5 3 3 0 1 -4 -1 3 -2 -9 (c) −5 ⋅ 𝐵; >> (-5)*B ans = -40 -25 -35 -25 5 15 15 5 5 -15 10 -25 -5 -5 -15 -30

(d) 𝐴 + 3 ⋅ 𝐵 − 5 ⋅ 𝐶; >> A+3*B-5*C ans = 42 -10 26 44 -10 3 -21 -10 -6 -1 3 11 5 -15 11 30 (e) 𝐵 ⋅ 𝐴; >> B*A ans = 18 30 93 39 -25 -8 -18 -13 12 -9 16 -12 29 24 57 -8 (f) (𝐶 ⋅ 𝐴) ⋅ 𝐵; >> (C*A)*B ans = 425 75 525 -65 -106 15 -195 112 -62 20 -9 75 164 51 246 85 (g) 𝐴 ⋅ (𝐵 − 𝐶); >> A*(B-C) ans = -102 -12 -46 -14 57 -9 44 58 65 -3 22 80 -4 9 -9 15 (h) 𝐴−1_; >> inv(A) ans =

-0.0507 0.0941 0.0404 0.0400 0.0097 -0.2008 0.1365 -0.1423 0.0526 0.0658 -0.0132 0.1316 0.0955 0.0824 0.0872 -0.0945 (i) (𝐵 ⋅ 𝐶)−1 >> inv(B*C) ans = -0.0568 0.0389 0.0019 0.1170 0.0181 -0.0776 -0.0252 -0.0256 0.0487 -0.1005 0.0613 -0.1177 0.0393 -0.1723 -0.0316 -0.1184 (j) tr(𝐴); >> trace(A) ans = -9 (k) tr(𝐵 + 𝐶); >> trace(B+C) ans = -3 (l) 𝐵2_; >> B^2 ans = 57 51 42 100 -3 -6 5 -23 -4 -15 3 12 10 17 16 55 (m) 𝐶3_; >> C^3 ans = -285 570 -75 -440 114 -257 52 180

50 -44 -12 66 -84 197 -28 -142 (n) tr(𝐴 + 𝐵)−1_; >> trace(inv(A+B)) ans = -0.4004 (o) 𝐴′; >> A’ ans = -7 3 7 2 0 -3 5 2 5 -2 4 7 4 3 1 -3 (p) (𝐵 + 𝐴 − 𝐶′₎′_; >> (B+A-C’)’ ans = 6 -3 6 8 3 -3 6 1 10 -8 3 9 9 -2 5 6 (q) det(𝐵); >> det(B) ans = 613 (r) det(𝐴 − 𝐵). >> det(A-B) ans = -152

(a) 𝑢 ∙ 𝑣; 𝑢 ∙ 𝑣 = 28 (b) 𝑤 ∙ 𝑣; 𝑤 ∙ 𝑣 = 17 (c) 𝑢 ∙ (𝑣 + 𝑤); 𝑢 ∙ (𝑣 + 𝑤) = 38 (d) 𝑢 ∙ (𝑣 − 𝑤). 𝑢 ∙ (𝑣 − 𝑤) = 18 3. Dados os vetores: 𝑢1 = [2, −1, 3, 2], 𝑢2 = [−1, 3, 2, 1], 𝑢3 = [−4, 2, −6, −4] e 𝑢4 =

[6, −3, 9, 6], verifique se são L.D. ou L.I.: (a) 𝑢1 e 𝑢2; Como 𝑀 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 −1 −1 3 3 2 2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

e 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑀 𝐴) = 2, então os vetores 𝑢1 e 𝑢2 são Linearmente Independentes.

(b) 𝑢1 e 𝑢3; Como 𝑀 𝑀 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 −4 −1 2 3 −6 2 −4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

e 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑀 𝑀 ) = 1, então os vetores 𝑢1 e 𝑢3 são Linearmente Dependentes.

Como 𝑇 𝑇 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 −1 −4 −1 3 2 3 2 −6 2 1 −4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

e 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑇 𝑇 ) = 2, então os vetores 𝑢₁, 𝑢₂ e 𝑢₃ são Linearmente Dependentes. (d) 𝑢1, 𝑢3 e 𝑢4; Como 𝑇 𝐻 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 −4 6 −1 2 −3 3 −6 9 2 −4 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

e 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑇 𝐻) = 1, então os vetores 𝑢1, 𝑢3 e 𝑢4 são Linearmente Dependentes.

(e) 𝑢1, 𝑢2 , 𝑢3 e 𝑢4. Como 𝐺𝐺 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 −1 −4 6 −1 3 2 −3 3 2 −6 9 2 1 −4 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

e 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐺𝐺) = 2, então os vetores 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 e 𝑢4 são Linearmente Dependentes.

4. Calcular a norma ou comprimento de cada um dos vetores do item 2. - ∥𝑢∥ = 5.9161

- ∥𝑣∥ = 8.2462 - ∥𝑤∥ = 3.8730

5. Determinar os autovalores e autovetores normalizados das matrizes:

𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 9 −1 3 −1 5 1 3 1 7 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Matriz de autovetores

𝑒 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0.441225 0.374359 0.815583 0.687013 −0.725619 −0.0386051 −0.57735 −0.57735 0.57735 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Matriz de autovalores 𝐿 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3.51739 0 0 0 6.31158 0 0 0 11.171 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Assim Autovalores Autovetores 𝜆1 = 3.51739 𝑒1 = [0.441225 0.687013 -0.57735]’ 𝜆2 = 6.31158 𝑒2 = [0.374359 -0.725619 -0.57735]’ 𝜆3 = 11.171 𝑒3 = [0.815583 -0.0386051 0.57735]’ e 𝐵 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −3 5 1 3 5 −3 1 5 1 1 3 −4 3 5 −4 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Matriz de autovetores 𝑒 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0.627122 −0.598371 0.408248 0.286361 −0.76064 −0.340226 0.408248 0.372836 0.0667588 0.469299 0.816497 −0.329599 0.153909 0.553133 1.69362𝑒−017 _0.818752 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Matriz de autovalores 𝐿 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −8.22181 0 0 0 0 −3.71455 0 0 0 0 4 0 0 0 0 10.9364 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Assim

Autovalores Autovetores

𝜆1 = -8.2218 𝑒1 = [0.627122 -0.76064 0.0667588 0.153909]’

𝜆2 = -3.7146 𝑒2 = [ -0.598371 -0.340226 0.469299 0.553133]’

𝜆3 = 4.0000 𝑒3 = [0.408248 0.408248 0.816497 1.69362𝑒−017]’

𝜆4 = 10.9364 𝑒4 = [ 0.286361 0.372836 -0.329599 0.818752 ]’

6. Determine as matrizes 𝐴1/2 _{e 𝐵}1/2_{, se existirem, para as matrizes do item 5.}

>> A=[9 -1 3; -1 5 1; 3 1 7] A = 9 -1 3 -1 5 1 3 1 7 >> [e,L]=eig(A) e = 0.4412 0.3744 0.8156 0.6870 -0.7256 -0.0386 -0.5774 -0.5774 0.5774 L = 3.5174 0 0 0 6.3116 0 0 0 11.1710 >> AR=e*(sqrt(L))*e’ AR = 2.9404 -0.2192 0.5531 -0.2192 2.2130 0.2341 0.5531 0.2341 2.5767 ou >> AR=sqrtm(A) AR = 2.9404 -0.2192 0.5531 -0.2192 2.2130 0.2341 0.5531 0.2341 2.5767

𝐴1/2 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2.94042 −0.21917 0.553062 −0.21917 2.21295 0.234092 0.553062 0.234092 2.57669 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ >> B=[-3 5 1 3;5 -3 1 5;1 1 3 -4;3 5 -4 6] B = -3 5 1 3 5 -3 1 5 1 1 3 -4 3 5 -4 6 >> [e,L]=eig(B) e = 0.6271 -0.5984 0.4082 0.2864 -0.7606 -0.3402 0.4082 0.3728 0.0668 0.4693 0.8165 -0.3296 0.1539 0.5531 0.0000 0.8188 L = -8.2218 0 0 0 0 -3.7146 0 0 0 0 4.0000 0 0 0 0 10.9364

𝐵1/2 _{Não existe, pois 𝐵}1/2 ₌ ∑𝑘 𝑖=1

√

𝜆𝑖𝑒𝑖𝑒′𝑖 = 𝑃 Λ1/2𝑃′, dependendo assim dos autovalores,

onde dois deles são negativos.

7. Para a matriz B do item 6 verifique se é possível: (𝐵1/2₎−1_{= 𝑃 Λ}−1/2_𝑃′_.

Temos que(𝐴1/2)−1 =∑𝑘 𝑖=′ 1 √ 𝜆𝑖𝑒𝑖𝑒 ′

𝑖= 𝑃 Λ−1/2𝑃′, como existem autovalores negativos, não é

possível encontrar (𝐵1/2₎−1_.

8. Verificar se existe alguma matriz positiva definida entre as matrizes A e B do item 6. (a) Do item 6, temos

Autovalores A B 𝜆1 3.5174 -8.2218

𝜆2 6.3116 -3.7146

𝜆3 11.1710 4.0000

𝜆4 10.9364

A matriz 𝐴 é positiva definida, pois seus autovalores são positivos, já a matriz 𝐵 não é positiva definida.

9. Calcular o comprimento ou norma de cada vetor coluna das matrizes A e B do item 6. Matriz A >> A=[9 -1 3; -1 5 1; 3 1 7]; >> u1=[9 -1 -3] u1 = 9 -1 -3 >> u2=[-1 5 1] u2 = -1 5 1 >> u3=[3 1 7] u3 = 3 1 7 >> norm(u1) ans = 9.5394 >> norm(u2) ans = 5.1962 >> norm(u3) ans = 7.6811 >> B=[-3 5 1 3;5 -3 1 5;1 1 3 -4;3 5 -4 6]; >> u1=[-3 5 1 3] u1 =

-3 5 1 3 >> u2=[5 -3 1 5] u2 = 5 -3 1 5 >> u3=[1 1 3 -4] u3 = 1 1 3 -4 >> u4=[3 5 -4 6] u4 = 3 5 -4 6 >> norm(u1) ans = 6.6332 >> norm(u2) ans = 7.7460 >> norm(u3) ans = 5.1962 >> norm(u4) ans = 9.2736 Vetores Coluna A B 𝑢₁ 9.5394 6.6332 𝑢₂ 5.1962 7.7460 𝑢₃ 7.6811 5.1962 𝑢₄ 9.2736

10. Considere a matriz de covariância

Σ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 9 0 0 0 0 16 0 0 0 0 20 0 0 0 0 25 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ,

determine: (a) Σ−1_; >> sigma=[9 0 0 0;0 16 0 0;0 0 20 0;0 0 0 25] sigma = 9 0 0 0 0 16 0 0 0 0 20 0 0 0 0 25 >> InvSigma=inv(sigma) InvSigma = 0.1111 0 0 0 0 0.0625 0 0 0 0 0.0500 0 0 0 0 0.0400

(b) Os autovalores e autovetores normalizados de Σ; >> [e,L]=eig(sigma) e = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 L = 9 0 0 0 0 16 0 0 0 0 20 0 0 0 0 25 Autovalores Autovetores 𝜆₁ = 9 𝑒₁ = [1 0 0 0]’ 𝜆2 = 16 𝑒2 = [0 1 0 0]’ 𝜆₃ = 20 𝑒₃ = [0 0 1 0]’ 𝜆4 = 25 𝑒4 = [0 0 0 1 ]’

(c) os autovalores e autovetores normalizados de Σ−1. >> [einv,Linv]=eig(InvSigma) einv = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Linv = 0.0400 0 0 0 0 0.0500 0 0 0 0 0.0625 0 0 0 0 0.1111 Autovalores Autovetores 𝜆₁ = 0.0400 𝑒₁ = [0 0 0 1]’ 𝜆2 = 0.0500 𝑒2 = [0 0 1 0]’ 𝜆₃ = 0.0625 𝑒₃ = [0 1 0 0]’ 𝜆4 = 0.1111 𝑒4 = [1 0 0 0 ]’

11. Dada a matriz covariância

Σ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 4 −1 3 4 −1 5 2 1 3 2 4 5 4 1 5 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ determine:

(a) A matriz de correlação 𝜌;

>> Sigma=[4 -1 3 4;-1 5 2 1;3 2 4 5;4 1 5 5] >> V=diag(diag(Sigma)) V = 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 >> Vraiz=sqrtm(V)

Vraiz = 2.0000 0 0 0 0 2.2361 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.2361 >> IVraiz=inv(Vraiz) IVraiz = 0.5000 0 0 0 0 0.4472 0 0 0 0 0.5000 0 0 0 0 0.4472 >> Corre=IVraiz*Sigma*IVraiz Matriz de Correlação = 1.0000 -0.2236 0.7500 0.8944 -0.2236 1.0000 0.4472 0.2000 0.7500 0.4472 1.0000 1.1180 0.8944 0.2000 1.1180 1.0000 (b) Verifique a relação 𝑉1/2_𝜌𝑉1/2_{= Σ;} >> Corre=IVraiz*Sigma*IVraiz Corre = 1.0000 -0.2236 0.7500 0.8944 -0.2236 1.0000 0.4472 0.2000 0.7500 0.4472 1.0000 1.1180 0.8944 0.2000 1.1180 1.0000 >> Sigma=Vraiz*Corre*Vraiz Sigma = 4.0000 -1.0000 3.0000 4.0000 -1.0000 5.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 4.0000 5.0000 4.0000 1.0000 5.0000 5.0000 (c) Efetue a decomposição espectral de Σ

Sigma =

-1.0000 5.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 4.0000 5.0000 4.0000 1.0000 5.0000 5.0000 >> [e,L]=eig(Sigma) e = 0.0997 -0.7697 0.4143 0.4754 -0.1147 -0.3916 -0.8967 0.1715 0.7156 0.3704 -0.1434 0.5745 -0.6817 0.3421 0.0609 0.6438 L = -0.6656 0 0 0 0 0.2695 0 0 0 0 5.7140 0 0 0 0 12.6821 >> Auto=e*L*e’ Auto = 4.0000 -1.0000 3.0000 4.0000 -1.0000 5.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 4.0000 5.0000 4.0000 1.0000 5.0000 5.0000

Então, vê-se que 𝐴 = 𝑃 𝐴𝑃′_{. A= matriz dos Autovalores de sigma P= matriz dos}

Autovetores de sigma

𝑋 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 39 51 53 42 55 48 47 51 53 48 53 57 43 45 46 44 44 51 49 46 49 45 48 57 51 55 44 57 49 56 52 49 39 50 44 47 57 52 55 44 43 44 48 50 47 50 55 50 53 47 52 44 50 48 54 47 51 43 47 46 55 52 50 49 54 52 43 43 45 56 52 56 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(a) o vetor de médias;

>> X=[39 51 53 42 55 48;47 51 53 48 53 57; 43 45 46 44 44 51; 49 46 49 45 48 57;51 55 44 57 49 56;52 49 39 50 44 47;57 52 55 44 43 44;48 50 47 50 55 50;53 47 52 44 50 48;54 47 51 43 47 46;55 52 50 49 54 52;43 43 45 56 52 56] X = 39 51 53 42 55 48 47 51 53 48 53 57 43 45 46 44 44 51 49 46 49 45 48 57 51 55 44 57 49 56 52 49 39 50 44 47 57 52 55 44 43 44 48 50 47 50 55 50 53 47 52 44 50 48 54 47 51 43 47 46 55 52 50 49 54 52 43 43 45 56 52 56 >> mean(X) ans = 49.2500 49.0000 48.6667 47.6667 49.5000 51.0000 (b) a matriz covariância estimada 𝑆;

ans = 30.0227 6.4545 3.0000 -0.7273 -9.3182 -9.0909 6.4545 12.0000 2.8182 2.7273 2.7273 -1.3636 3.0000 2.8182 21.3333 -14.4848 4.6364 -4.6364 -0.7273 2.7273 -14.4848 24.6061 4.5455 12.8182 -9.3182 2.7273 4.6364 4.5455 19.1818 7.5455 -9.0909 -1.3636 -4.6364 12.8182 7.5455 21.0909 (c) a matriz de correlação 𝑅; >> M=diag(diag(S)) M = 30.0227 0 0 0 0 0 0 12.0000 0 0 0 0 0 0 21.3333 0 0 0 0 0 0 24.6061 0 0 0 0 0 0 19.1818 0 0 0 0 0 0 21.0909 >> raizM=sqrtm(M) raizM = 5.4793 0 0 0 0 0 0 3.4641 0 0 0 0 0 0 4.6188 0 0 0 0 0 0 4.9604 0 0 0 0 0 0 4.3797 0 0 0 0 0 0 4.5925 >> invRM=inv(raizM) invRM = 0.1825 0 0 0 0 0 0 0.2887 0 0 0 0 0 0 0.2165 0 0 0 0 0 0 0.2016 0 0 0 0 0 0 0.2283 0 0 0 0 0 0 0.2177 >> R=invRM*S*invRM R = 1.0000 0.3401 0.1185 -0.0268 -0.3883 -0.3613 0.3401 1.0000 0.1761 0.1587 0.1798 -0.0857 0.1185 0.1761 1.0000 -0.6322 0.2292 -0.2186 -0.0268 0.1587 -0.6322 1.0000 0.2092 0.5627 -0.3883 0.1798 0.2292 0.2092 1.0000 0.3751 -0.3613 -0.0857 -0.2186 0.5627 0.3751 1.0000

(d) a matriz desvio padrão 𝐷1/2_. >> DM=diag(diag(S)) DM = 30.0227 0 0 0 0 0 0 12.0000 0 0 0 0 0 0 21.3333 0 0 0 0 0 0 24.6061 0 0 0 0 0 0 19.1818 0 0 0 0 0 0 21.0909 >> DeM=sqrtm(DM) DeM = 5.4793 0 0 0 0 0 0 3.4641 0 0 0 0 0 0 4.6188 0 0 0 0 0 0 4.9604 0 0 0 0 0 0 4.3797 0 0 0 0 0 0 4.5925

13. O problema a seguir envolve áreas de plantio de trigo e feijão, com os resultados de imagens obtidas por satélite. A área de estudo compreendeu as regiões de Barretos e Guaíra, situadas no Estado de São Paulo. A tabela a seguir mostra as variáveis e as áreas de estudo (T = trigo e F = feijão) obtidas em 17/06/86, sendo consideradas 10 áreas para cada cultura. As siglas de identificação das 10 variáveis e seus significados são: CTM1, ... , CTM7 - correspondem, respectivamente, aos níveis de cinza nas bandas TM1, ... , TM7; COB - percentagem de cobertura do solo; IAF - índice de área foliar (definido como área total de folhas por área unitária de solo); CLT - clorofila total (quantidade de clorofila a e b (mg/10g)).

Áreas CTM1 CTM2 CTM3 CTM4 CTM5 CTM7 COB IAF CLT 1. T1 4.50 6.75 5.25 71.00 45.50 8.75 97.9 5.12 18.00 2. T2 8.75 9.50 11.50 43.50 53.75 14.50 52.4 1.91 15.22 3. T7 5.75 8.25 8.50 51.25 42.00 9.50 50.6 2.74 15.61 4. T14 7.75 9.75 11.75 50.25 41.25 10.25 49.3 0.89 14.44 5. T15 5.50 6.50 5.0 73.25 40.50 6.50 96.5 6.68 17.90 6. T22 9.50 12.00 28.50 31.50 61.75 31.25 11.1 0.27 12.73 7. T26 9.00 10.25 9.25 61.75 48.00 10.00 90.2 3.71 14.82 8. T28 6.75 7.75 6.25 82.00 44.50 6.75 96.7 5.36 17.32 9. T33 6.25 6.50 5.25 80.25 46.75 6.75 96.0 6.55 15.09 10. T43 8.50 10.00 8.25 74.75 55.50 10.50 97.9 2.05 16.28 11. F3A 9.00 11.50 20.50 43.75 58.00 22.25 19.7 0.81 10.25 12. F9 5.75 7.00 11.0 28.25 31.00 9.00 14.3 0.62 12.35 13. F10 6.25 7.50 17.5 22.00 31.00 13.50 4.2 0.15 8.26 14. F17 7.00 9.75 9.75 61.25 53.75 11.75 55.3 1.96 14.36 15. F18 8.25 10.50 9.0 83.00 60.00 11.75 85.8 6.64 11.39 16. F36 6.75 8.25 8.0 59.00 46.75 9.75 45.5 2.20 12.29 17. F6A 8.00 10.00 11.0 49.25 48.00 14.00 16.9 1.17 13.27 18. F40 6.75 8.00 10.75 43.75 42.00 10.00 38.1 1.58 14.40 19. F41 7.75 10.25 15.50 45.25 58.75 20.50 29.2 0.74 15.62 20. F42 8.25 11.00 16.75 31.25 46.75 18.25 21.5 9.63 10.37 (a) montar a matriz de dados X;

>> X=[4.50 6.75 5.25 71.00 45.50 8.75 97.9 5.12 18.00; 8.75 9.50 11.50 43.50 53.75 14.50 52.4 1.91 15.22;5.75 8.25 8.50 51.25 42.00 9.50 50.6 2.74 15.61;7.75 9.75 11.75 50.25 41.25 10.25 49.3 0.89 14.44;5.50 6.50 5.0 73.25 40.50 6.50 96.5 6.68 17.90;9.50 12.00 28.50 31.50 61.75 31.25 11.1 0.27 12.73;9.00 10.25 9.25 61.75 48.00 10.00 90.2 3.71 14.82;6.75 7.75 6.25 82.00 44.50 6.75 96.7 5.36 17.32;6.25 6.50 5.25 80.25 46.75 6.75 96.0 6.55 15.09;8.50 10.00 8.25 74.75 55.50 10.50 97.9 2.05 16.28;9.00 11.50 20.50 43.75 58.00 22.25 19.7 0.81 10.25;5.75 7.00 11.0 28.25 31.00 9.00 14.3 0.62 12.35;6.25 7.50 17.5 22.00 31.00 13.50 4.2 0.15 8.26;7.00 9.75 9.75 61.25 53.75 11.75 55.3 1.96 14.36;8.25 10.50 9.0 83.00 60.00 11.75 85.8 6.64 11.39;6.75 8.25 8.0 59.00 46.75 9.75 45.5 2.20 12.29;8.00 10.00 11.0 49.25 48.00 14.00 16.9 1.17 13.27;6.75 8.00 10.75 43.75 42.00 10.00 38.1 1.58 14.40;7.75 10.25 15.50 45.25 58.75 20.50 29.2 0.74 15.62;8.25 11.00 16.75 31.25 46.75 18.25 21.5 9.63 10.37] X = 4.50 6.75 5.25 71.00 45.50 8.75 97.90 5.12 18.00 8.75 9.50 11.50 43.50 53.75 14.50 52.40 1.91 15.22 5.75 8.25 8.50 51.25 42.00 9.50 50.60 2.74 15.61 7.75 9.75 11.75 50.25 41.25 10.25 49.30 0.89 14.44 5.50 6.50 5.00 73.25 40.50 6.50 96.50 6.68 17.90 9.50 12.00 28.50 31.50 61.75 31.25 11.10 0.27 12.73 9.00 10.25 9.25 61.75 48.00 10.00 90.20 3.71 14.82 6.75 7.75 6.25 82.00 44.50 6.75 96.70 5.36 17.32 6.25 6.50 5.25 80.25 46.75 6.75 96.00 6.55 15.09 8.50 10.00 8.25 74.75 55.50 10.50 97.90 2.05 16.28 9.00 11.50 20.50 43.75 58.00 22.25 19.70 0.81 10.25

5.75 7.00 11.00 28.25 31.00 9.00 14.30 0.62 12.35 6.25 7.50 17.50 22.00 31.00 13.50 4.20 0.15 8.26 7.00 9.75 9.75 61.25 53.75 11.75 55.30 1.96 14.36 8.25 10.50 9.00 83.00 60.00 11.75 85.80 6.64 11.39 6.75 8.25 8.00 59.00 46.75 9.75 45.50 2.20 12.29 8.00 10.00 11.00 49.25 48.00 14.00 16.90 1.17 13.27 6.75 8.00 10.75 43.75 42.00 10.00 38.10 1.58 14.40 7.75 10.25 15.50 45.25 58.75 20.50 29.20 0.74 15.62 8.25 11.00 16.75 31.25 46.75 18.25 21.50 9.63 10.37

(b) estimar o vetor de médias;

>> M=mean(X) M =

7.30 9.05 11.46 54.31 47.77 12.77 53.45 3.04 13.99

(c) estimar a matriz de covariâncias;

>> S=cov(X) S = 1.89 2.13 4.73 -4.94 8.22 5.53 -11.35 -0.72 -1.22 2.13 2.92 6.72 -8.54 10.94 8.06 -20.95 -0.90 -1.72 4.73 6.72 33.94 -80.04 16.73 33.67 -150.59 -6.78 -9.38 -4.94 -8.54 -80.04 352.20 40.52 -65.53 590.45 26.02 30.46 8.22 10.94 16.73 40.52 76.05 31.28 31.42 0.06 1.18 5.53 8.06 33.67 -65.53 31.28 37.74 -132.46 -5.62 -7.25 -11.35 -20.95 -150.59 590.45 31.42 -132.46 1160.39 51.43 63.90 -0.72 -0.90 -6.78 26.02 0.06 -5.62 51.43 7.30 1.41 -1.22 -1.72 -9.38 30.46 1.18 -7.25 63.90 1.41 6.91

(d) determinar os autovalores e autovetores da matriz de covariâncias; Matriz dos autovetores. Cada coluna é um autovetor.

>> [e,L]=eig(S) e = 0.71 0.23 0.58 0.31 -0.07 -0.01 0.05 -0.09 -0.01 -0.50 -0.50 0.64 0.24 -0.11 -0.01 0.04 -0.13 -0.02 -0.31 0.49 0.09 0.15 0.40 0.56 0.28 -0.26 -0.12 0.02 -0.01 0.07 -0.06 0.18 0.25 -0.78 -0.27 0.46 -0.10 0.19 -0.17 0.06 -0.28 -0.42 0.08 -0.81 0.03 0.37 -0.57 -0.09 -0.36 0.22 0.33 0.27 -0.41 -0.10 0.00 -0.03 -0.04 0.07 0.00 -0.00 0.47 0.08 0.87 -0.04 0.17 0.13 -0.42 -0.75 0.45 0.02 0.01 0.04 -0.09 0.23 0.43 -0.72 0.31 -0.37 0.06 0.02 0.05

A matriz de autovalores, onde estes se localizam na sua diagonal é: L = 0.15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7.40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 38.16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 109.79 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1514.51

(e) estimar a matriz de correlações.

>> X=[4.50 6.75 5.25 71.00 45.50 8.75 97.9 5.12 18.00; 8.75 9.50 11.50 43.50 53.75 14.50 52.4 1.91 15.22;5.75 8.25 8.50 51.25 42.00 9.50 50.6 2.74 15.61;7.75 9.75 11.75 50.25 41.25 10.25 49.3 0.89 14.44;5.50 6.50 5.0 73.25 40.50 6.50 96.5 6.68 17.90;9.50 12.00 28.50 31.50 61.75 31.25 11.1 0.27 12.73;9.00 10.25 9.25 61.75 48.00 10.00 90.2 3.71 14.82;6.75 7.75 6.25 82.00 44.50 6.75 96.7 5.36 17.32;6.25 6.50 5.25 80.25 46.75 6.75 96.0 6.55 15.09;8.50 10.00 8.25 74.75 55.50 10.50 97.9 2.05 16.28;9.00 11.50 20.50 43.75 58.00 22.25 19.7 0.81 10.25;5.75 7.00 11.0 28.25 31.00 9.00 14.3 0.62 12.35;6.25 7.50 17.5 22.00 31.00 13.50 4.2 0.15 8.26;7.00 9.75 9.75 61.25 53.75 11.75 55.3 1.96 14.36;8.25 10.50 9.0 83.00 60.00 11.75 85.8 6.64 11.39;6.75 8.25 8.0 59.00 46.75 9.75 45.5 2.20 12.29;8.00 10.00 11.0 49.25 48.00 14.00 16.9 1.17 13.27;6.75 8.00 10.75 43.75 42.00 10.00 38.1 1.58 14.40;7.75 10.25 15.50 45.25 58.75 20.50 29.2 0.74 15.62;8.25 11.00 16.75 31.25 46.75 18.25 21.5 9.63 10.37] X = 4.5000 6.7500 5.2500 71.0000 45.5000 8.7500 97.9000 5.1200 18.0000 8.7500 9.5000 11.5000 43.5000 53.7500 14.5000 52.4000 1.9100 15.2200 5.7500 8.2500 8.5000 51.2500 42.0000 9.5000 50.6000 2.7400 15.6100 7.7500 9.7500 11.7500 50.2500 41.2500 10.2500 49.3000 0.8900 14.4400 5.5000 6.5000 5.0000 73.2500 40.5000 6.5000 96.5000 6.6800 17.9000 9.5000 12.0000 28.5000 31.5000 61.7500 31.2500 11.1000 0.2700 12.7300 9.0000 10.2500 9.2500 61.7500 48.0000 10.0000 90.2000 3.7100 14.8200 6.7500 7.7500 6.2500 82.0000 44.5000 6.7500 96.7000 5.3600 17.3200 6.2500 6.5000 5.2500 80.2500 46.7500 6.7500 96.0000 6.5500 15.0900 8.5000 10.0000 8.2500 74.7500 55.5000 10.5000 97.9000 2.0500 16.2800 9.0000 11.5000 20.5000 43.7500 58.0000 22.2500 19.7000 0.8100 10.2500 5.7500 7.0000 11.0000 28.2500 31.0000 9.0000 14.3000 0.6200 12.3500 6.2500 7.5000 17.5000 22.0000 31.0000 13.5000 4.2000 0.1500 8.2600 7.0000 9.7500 9.7500 61.2500 53.7500 11.7500 55.3000 1.9600 14.3600 8.2500 10.5000 9.0000 83.0000 60.0000 11.7500 85.8000 6.6400 11.3900 6.7500 8.2500 8.0000 59.0000 46.7500 9.7500 45.5000 2.2000 12.2900 8.0000 10.0000 11.0000 49.2500 48.0000 14.0000 16.9000 1.1700 13.2700 6.7500 8.0000 10.7500 43.7500 42.0000 10.0000 38.1000 1.5800 14.4000 7.7500 10.2500 15.5000 45.2500 58.7500 20.5000 29.2000 0.7400 15.6200 8.2500 11.0000 16.7500 31.2500 46.7500 18.2500 21.5000 9.6300 10.3700 >> S=cov(X) S = 1.0e+003 * 0.0019 0.0021 0.0047 -0.0049 0.0082 0.0055 -0.0113 -0.0007 -0.0012 0.0021 0.0029 0.0067 -0.0085 0.0109 0.0081 -0.0209 -0.0009 -0.0017 0.0047 0.0067 0.0339 -0.0800 0.0167 0.0337 -0.1506 -0.0068 -0.0094 -0.0049 -0.0085 -0.0800 0.3522 0.0405 -0.0655 0.5905 0.0260 0.0305 0.0082 0.0109 0.0167 0.0405 0.0761 0.0313 0.0314 0.0001 0.0012 0.0055 0.0081 0.0337 -0.0655 0.0313 0.0377 -0.1325 -0.0056 -0.0072 -0.0113 -0.0209 -0.1506 0.5905 0.0314 -0.1325 1.1604 0.0514 0.0639 -0.0007 -0.0009 -0.0068 0.0260 0.0001 -0.0056 0.0514 0.0073 0.0014

-0.0012 -0.0017 -0.0094 0.0305 0.0012 -0.0072 0.0639 0.0014 0.0069 >> V=diag(diag(S)) V = 1.0e+003 * 0.0019 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0029 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3522 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0761 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0377 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.1604 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0073 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0069 >> RV=sqrtm(V) RV = 1.3755 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.7083 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.8255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18.7671 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8.7208 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.1435 0 0 0 0 0 0 0 0 0 34.0645 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.7021 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.6285 >> IRV=inv(RV) IRV = 0.7270 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5854 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1717 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0533 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1147 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1628 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0294 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3701 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3804 >> R=IRV*S*IRV R = 1.0000 0.9074 0.5897 -0.1913 0.6849 0.6546 -0.2421 -0.1940 -0.3388 0.9074 1.0000 0.6755 -0.2664 0.7343 0.7681 -0.3599 -0.1956 -0.3820 0.5897 0.6755 1.0000 -0.7321 0.3293 0.9408 -0.7588 -0.4304 -0.6124 -0.1913 -0.2664 -0.7321 1.0000 0.2476 -0.5683 0.9236 0.5131 0.6175 0.6849 0.7343 0.3293 0.2476 1.0000 0.5839 0.1058 0.0025 0.0513 0.6546 0.7681 0.9408 -0.5683 0.5839 1.0000 -0.6329 -0.3383 -0.4488 -0.2421 -0.3599 -0.7588 0.9236 0.1058 -0.6329 1.0000 0.5588 0.7137 -0.1940 -0.1956 -0.4304 0.5131 0.0025 -0.3383 0.5588 1.0000 0.1984 -0.3388 -0.3820 -0.6124 0.6175 0.0513 -0.4488 0.7137 0.1984 1.0000

[alturas pesos], resultando

Indivíduo Altura Peso

1 165 83 2 180 82 3 178 67 4 167 72 5 190 95 6 175 70 7 178 75 8 183 80 9 169 70 10 177 73 11 184 85 12 170 68

(a) Construir a matriz de dados;

>> X=[165 83;180 82; 178 67; 167 72;190 95; 175 70;178 75;183 80;169 70;177 73;184 85;170 68] X = 165 83 180 82 178 67 167 72 190 95 175 70 178 75 183 80 169 70 177 73 184 85 170 68

(b) calcular o vetor de médias;

>> EX=mean(X) EX =

176.3333 76.6667

165 170 175 180 185 190 65 70 75 80 85 90 95 Altura Peso

Resolver os problemas 15 até 21, sem uso do MATLAB.

15. Determinar os autovalores e autovetores normalizados da matriz 𝐴 = ⎡

⎣ 9 −3 −3 9

⎤ ⎦ . Seja 𝐴e = 𝜆e, então (𝐴 − 𝜆𝐼)e = 0, assim

∣ 𝐴 − 𝜆𝐼 ∣= 0 ⇒ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 9 − 𝜆 −3 −3 9 − 𝜆 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0 ⇒ (9 − 𝜆) 2_{− 9 = 0 ⇒ (𝜆 − 6)(𝜆 − 12) = 0} Para 𝜆1 = 6 Para 𝜆2= 12 ⎛ ⎝ 3 −3 −3 3 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 𝑒11 𝑒21 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ 0 0 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ −3 −3 −3 −3 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 𝑓11 𝑓21 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ 0 0 ⎞ ⎠ ⎧ ⎨ ⎩ 3𝑒11 − 3𝑒21 = 0 −3𝑒11 + 3𝑒21 = 0 ⎧ ⎨ ⎩ −3𝑓11 − 3𝑓21 = 0 −3𝑓11 − 3𝑓21 = 0 3𝑒11= 3𝑒21⇒ 𝑒11= 𝑒21 −3𝑓11= 3𝑓21 ⇒ 𝑓11= −𝑓21

Para autovetores normalizados, tem-se: Para autovetores normalizados, tem-se: √ (𝑒11)2+ (𝑒11)2 = 1 √ (𝑓11)2+ (−𝑓11)2 = 1 Assim 𝑒11= √1₂ e 𝑒21= √1₂ Assim 𝑓11= √1₂ e 𝑓21= −√1₂ 𝜆₁ = 6, autovetor e = ⎛ ⎝ √12 1 √ 2 ⎞ ⎠ _{𝜆2= 12, autovetor f =} ⎛ ⎝ √12 −√1 2 ⎞ ⎠

16. Pesquisar o que é uma pseudo-inversa. Exemplificar e dar suas propriedades.

Definição: Dada a matriz 𝐴 : 𝑚𝑥𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛 com 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐴) = 𝑟 e sua fatoração em de-composição em valores singulares (SVD), chama-se pseudo-inversa de Moore-Penrose de

𝐴, a matriz 𝐴+ _{∈ IR}𝑛𝑥𝑚_{, 𝐴}+ _{= 𝑉 Σ}+_𝑈𝑇_{, onde Σ}+ _{= 𝑑𝑖𝑎𝑔} Ã 1 𝜎1, ..._{𝜎𝑟,0...,0}1 ) ∈ IR𝑛𝑥𝑚, 𝑈 = [𝑢1, ..., 𝑢𝑚] e 𝑣 = [𝑣1, ..., 𝑣𝑛]. Se 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐴) = 𝑛, então 𝐴+ = (𝐴𝑇𝐴)−1𝐴𝑇. Se 𝑚 = 𝑛 = 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐴), então 𝐴+_{= 𝐴}−1_.

Teorema:(Pseudo-Inversa) Para toda matriz 𝐴 ∈ IR𝑚𝑥𝑛_{, existe uma única matriz}

𝐴+ _{∈ IR}𝑛𝑥𝑚_{, denominada pseudo-inversa de 𝐴, satisfazendo as condições de}

Moore-Penrose.

(a) 𝐴𝐴+_{𝐴 = 𝐴}

(b) (𝐴+𝐴)𝑇 = 𝐴+𝐴 (c) 𝐴+_𝐴𝐴+ _{= 𝐴}+

(d) (𝐴𝐴+)𝑇 = 𝐴𝐴+

Demonstração: Seja 𝐴 = 𝑈 Σ𝑉𝑇 uma SVD da matriz 𝐴. Sabemos que 𝐴+ = 𝑉 Σ+𝑈𝑇. Assim: (a) 𝐴𝐴+_{𝐴 = 𝑈 Σ𝑉}𝑇_{𝑉 Σ}+_𝑈𝑇_{𝑈 Σ𝑉}𝑇 _{= 𝑈 ΣΣ}+_Σ𝑉𝑇 _{= 𝑈 Σ𝑉}𝑇 _{= 𝐴} (b) (𝐴+_𝐴)𝑇 _{= (𝑉 Σ}+_𝑈𝑇_{𝑈 Σ𝑉}𝑇₎𝑇 _{= 𝑉 (Σ}+_Σ)𝑇_𝑉𝑇 _{= 𝑉 (Σ}+_Σ)𝑉𝑇 _{= 𝑉 Σ}+_𝑈𝑇_{𝑈 Σ𝑉}𝑇 ₌ 𝐴+_𝐴 (c) 𝐴+_𝐴𝐴+ _{= 𝑉 Σ}+_𝑈𝑇_{𝑈 Σ𝑉}𝑇_{𝑉 Σ}+_𝑈𝑇 _{= 𝑉 Σ}+_ΣΣ+_𝑈𝑇 _{= 𝑉 Σ}+_𝑈𝑇 _{= 𝐴}+ (d) (𝐴𝐴+₎𝑇 _{= (𝑈 Σ𝑉}𝑇_{𝑉 Σ}+_𝑈𝑇₎𝑇 _{= 𝑈 (ΣΣ}+₎𝑇_𝑈𝑇 _{= 𝑈 (ΣΣ}+_)𝑈𝑇 _{= 𝑈 Σ𝑉}𝑇_{𝑉 Σ}+_𝑈𝑇 ₌ 𝐴𝐴+

17. Dar um exemplo de uma matriz ortogonal 3 X 3 e calcular o determinante associado. Em Álgebra linear, uma matriz ortogonal é uma matriz real M cuja inversa coincide com a sua transposta, isto é: 𝑀−1 _{= 𝑀}𝑇_{, isto é, 𝑀 𝑀}𝑇 _{= 𝑀}𝑇_{𝑀 = 𝐼 Ex:}

- A matriz Identidade, 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 1. - 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 3 23 23 0 √1 2 − 1 √ 2 4 3√2 − 1 3√2 − 1 3√2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝑑𝑒𝑡(𝐵) = −1

(a) (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴

- O elemento (𝑖, 𝑗) da matriz 𝐴 é o elemento 𝑎𝑗𝑖.

- O elemento (𝑖, 𝑗) da matriz 𝐴𝑇 é o elemento 𝛼𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.

- Portanto, o elemento (𝑖, 𝑗) de (𝐴𝑇₎𝑇 _{é o elemento 𝛼} 𝑗𝑖= 𝑎𝑖𝑗

(b) (𝐴 + 𝐵)𝑇 _{= 𝐴}𝑇 _{+ 𝐵}𝑇

Seja 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 então 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗. Logo 𝑐𝑖𝑗 ∈ 𝐶𝑇 = (𝐴 + 𝐵)𝑇. Por outro lado,

𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐴𝑇 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝐵𝑇 ⎫ ⎬ ⎭= 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇. Logo 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗.

(c) (𝐴𝐵)𝑇 _{= 𝐵}𝑇_𝐴𝑇 _{Seja 𝐴 uma matriz 𝑚x𝑝 e 𝐵 uma matriz 𝑝x𝑛. O produto 𝐶 = 𝐴𝐵}

é uma matriz 𝑚x𝑛 e o seu elemento (𝑖, 𝑗) é dado por 𝑐𝑖𝑗 = 𝑝

∑

𝑘=1

𝑎_𝑖𝑘𝑏_𝑘𝑗. a matriz (𝐴𝐵)𝑇 _{é portanto uma matriz 𝑛x𝑚 e nela, o elemento 𝑐}

𝑖𝑗 ocupa a 𝑖-ésima

coluna e a 𝑗-ésima linha. Por outro lado, a matriz 𝐵𝑇_𝐴𝑇 _{também é de ordem 𝑛x𝑚.}

O elemento (𝑖, 𝑗) de 𝐴𝑇 _{é o elemento 𝛼}

𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖, assim como o elemento (𝑖, 𝑗) de 𝐵𝑇

é o elemento 𝛽𝑖𝑗 = 𝑏𝑗𝑖. Logo, o elemento de 𝐵𝑇𝐴𝑇 que ocupa a 𝑖-ésima coluna e a

𝑗-ésima linha é dado por

𝑝 ∑ 𝑘=1 𝛽𝑗𝑘𝛼𝑘𝑖= 𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑏𝑘𝑗𝑎𝑖𝑘 = 𝑐𝑖𝑗 (d) (𝑘𝐴)𝑇 _{= 𝑘𝐴}𝑇

Seja 𝐶 = 𝑘𝐴, logo o elemento (𝑖, 𝑗) de 𝐶 é dado por 𝑐𝑖𝑗 = 𝑘𝑎𝑖𝑗. Na matriz (𝑘𝐴)𝑇, o

elemento 𝑐𝑖𝑗 ocupa a 𝑖-ésima coluna e a 𝑗-ésima linha.

Por outro lado, o elemento (𝑖, 𝑗) de 𝐴𝑇 _{é o elemento 𝛼}

𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗. Logo, o elemento de

𝑘𝐴𝑇 _{que ocupa a 𝑖-ésima coluna e a 𝑗ésima linha é dado por}

𝑘𝛼𝑗𝑖= 𝑘𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗.

19. Provar as propriedades comutativa e associativa da adição de matrizes. (a) Comutativa ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ . . . 𝑎_1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑏₁₁ 𝑏₁₂ . . . 𝑏_1𝑛 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 . . . 𝑏𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , assim 𝐴 + 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11+ 𝑏11 𝑎12+ 𝑏12 . . . 𝑎1𝑛+ 𝑏1𝑛 𝑎21+ 𝑏21 𝑎22+ 𝑏22 . . . 𝑎2𝑛+ 𝑏2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1+ 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2+ 𝑏𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛+ 𝑏𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑏11+ 𝑎11 𝑏12+ 𝑎12 . . . 𝑏1𝑛+ 𝑎1𝑛 𝑏21+ 𝑎21 𝑏22+ 𝑎22 . . . 𝑏2𝑛+ 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑏_𝑚1+ 𝑎_𝑚1 𝑏_𝑚2+ 𝑎_𝑚2 . . . 𝑏_𝑚𝑛+ 𝑎_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝐵 + 𝐴, logo 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (b) Associativa ⇒ (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)

Dada as matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛, 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛 e 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛, tem-se:

𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ . . . 𝑎_1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑏₁₁ 𝑏₁₂ . . . 𝑏_1𝑛 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 . . . 𝑏𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ e 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑐11 𝑐12 . . . 𝑐1𝑛 𝑐21 𝑐22 . . . 𝑐2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑐𝑚1 𝑐𝑚2 . . . 𝑐𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , assim: (𝐴+𝐵)+𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11+ 𝑏11 𝑎12+ 𝑏12 . . . 𝑎1𝑛+ 𝑏1𝑛 𝑎21+ 𝑏21 𝑎22+ 𝑏22 . . . 𝑎2𝑛+ 𝑏2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎_𝑚1+ 𝑏_𝑚1 𝑎_𝑚2+ 𝑏_𝑚2 . . . 𝑎_𝑚𝑛+ 𝑏_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑐11 𝑐12 . . . 𝑐1𝑛 𝑐21 𝑐22 . . . 𝑐2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑐_𝑚1 𝑐_𝑚2 . . . 𝑐_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11+ 𝑏11+ 𝑐11 𝑎12+ 𝑏12+ 𝑐12 . . . 𝑎1𝑛+ 𝑏1𝑛+ 𝑐1𝑛 𝑎₂₁+ 𝑏₂₁+ 𝑐₂₁ 𝑎₂₂+ 𝑏₂₂+ 𝑐₂₂ . . . 𝑎_2𝑛+ 𝑏_2𝑛+ 𝑐_2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1+ 𝑏𝑚1+ 𝑐𝑚1 𝑎𝑚2+ 𝑏𝑚2+ 𝑐𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛+ 𝑏𝑚𝑛+ 𝑐𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =

= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ . . . 𝑎_1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑏₁₁+ 𝑐₁₁ 𝑏₁₂+ 𝑐₁₂ . . . 𝑏_1𝑛+ 𝑐_1𝑛 𝑏21+ 𝑐21 𝑏22+ 𝑐22 . . . 𝑏2𝑛+ 𝑐2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑏𝑚1+ 𝑐𝑚1 𝑏𝑚2+ 𝑐𝑚2 . . . 𝑏𝑚𝑛+ 𝑐𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) Portanto, (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)

20. Provar as propriedades comutativa, associativa e distributiva da multiplicação de escalar por matriz.

(a) Comutativa ⇒ 𝑘𝐴 = 𝐴𝑘

Seja 𝐴 uma matriz 𝑚x𝑛, tal que 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 . . . 𝑎_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

e seja 𝑘 ∈ IR, assim

𝑘𝐴 = 𝑘 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ . . . 𝑎_1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑘𝑎₁₁ 𝑘𝑎₁₂ . . . 𝑘𝑎_1𝑛 𝑘𝑎21 𝑘𝑎22 . . . 𝑘𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑘𝑎𝑚1 𝑘𝑎𝑚2 . . . 𝑘𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11𝑘 𝑎12𝑘 . . . 𝑎1𝑛𝑘 𝑎21𝑘 𝑎22𝑘 . . . 𝑎2𝑛𝑘 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1𝑘 𝑎𝑚2𝑘 . . . 𝑎𝑚𝑛𝑘 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝑘 = 𝐴𝑘 (b) Associativa ⇒ 𝑘1(𝑘2𝐴) = (𝑘1𝑘2)𝐴

Seja 𝐴 uma matriz 𝑚x𝑛, tal que 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ e seja 𝑘1, 𝑘2 ∈ IR, assim 𝑘1(𝑘2𝐴) = 𝑘1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑘2𝑎11 𝑘2𝑎12 . . . 𝑘2𝑎1𝑛 𝑘2𝑎21 𝑘2𝑎22 . . . 𝑘2𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑘₂𝑎_𝑚1 𝑘₂𝑎_𝑚2 . . . 𝑘₂𝑎_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑘1𝑘2𝑎11 𝑘1𝑘2𝑎12 . . . 𝑘1𝑘2𝑎1𝑛 𝑘1𝑘2𝑎21 𝑘1𝑘2𝑎22 . . . 𝑘1𝑘2𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑘₁𝑘₂𝑎_𝑚1 𝑘₁𝑘₂𝑎_𝑚2 . . . 𝑘₁𝑘₂𝑎_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =

= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ (𝑘₁𝑘₂) 𝑎₁₁ (𝑘₁𝑘₂) 𝑎₁₂ . . . (𝑘₁𝑘₂) 𝑎_1𝑛 (𝑘1𝑘2) 𝑎21 (𝑘1𝑘2) 𝑎22 . . . (𝑘1𝑘2) 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... (𝑘1𝑘2) 𝑎𝑚1 (𝑘1𝑘2) 𝑎𝑚2 . . . (𝑘1𝑘2) 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = (𝑘1𝑘2) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ . . . 𝑎_1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝑘1𝑘2𝐴 Logo 𝑘1(𝑘2𝐴) = (𝑘1𝑘2)𝐴 (c) Distributiva - 𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵

Dada as matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛, 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛 e 𝑘 ∈ IR tem-se:

𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11+ 𝑏11 𝑎12+ 𝑏12 . . . 𝑎1𝑛+ 𝑏1𝑛 𝑎21+ 𝑏21 𝑎22+ 𝑏22 . . . 𝑎2𝑛+ 𝑏2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎_𝑚1+ 𝑏_𝑚1 𝑎_𝑚2+ 𝑏_𝑚2 . . . 𝑎_𝑚𝑛+ 𝑏_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑘 (𝑎₁₁+ 𝑏₁₁) 𝑘 (𝑎₁₂+ 𝑏₁₂) . . . 𝑘 (𝑎_1𝑛+ 𝑏_1𝑛) 𝑘 (𝑎21+ 𝑏21) 𝑘 (𝑎22+ 𝑏22) . . . 𝑘 (𝑎2𝑛+ 𝑏2𝑛) .. . ... . .. ... 𝑘 (𝑎𝑚1+ 𝑏𝑚1) 𝑘 (𝑎𝑚2+ 𝑏𝑚2) . . . 𝑘 (𝑎𝑚𝑛+ 𝑏𝑚𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ (𝑘𝑎₁₁+ 𝑘𝑏₁₁) (𝑘𝑎₁₂+ 𝑘𝑏₁₂) . . . (𝑘𝑎_1𝑛+ 𝑘𝑏_1𝑛) (𝑘𝑎21+ 𝑘𝑏21) (𝑘𝑎22+ 𝑘𝑏22) . . . (𝑘𝑎2𝑛+ 𝑘𝑏2𝑛) .. . ... . .. ... (𝑘𝑎𝑚1+ 𝑘𝑏𝑚1) (𝑘𝑎𝑚2+ 𝑘𝑏𝑚2) . . . (𝑘𝑎𝑚𝑛+ 𝑘𝑏𝑚𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑘𝑎11 𝑘𝑎12 . . . 𝑘𝑎1𝑛 𝑘𝑎21 𝑘𝑎22 . . . 𝑘𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑘𝑎_𝑚1 𝑘𝑎_𝑚2 . . . 𝑘𝑎_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑘𝑏11 𝑘𝑏12 . . . 𝑘𝑏1𝑛 𝑘𝑏21 𝑘𝑏22 . . . 𝑘𝑏2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑘𝑏_𝑚1 𝑘𝑏_𝑚2 . . . 𝑘𝑏_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵. Portanto, 𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵 - (𝑘1+ 𝑘2)𝐴 = 𝑘1𝐴 + 𝑘2𝐴

Dada a matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛 e 𝑘1, 𝑘2 ∈ IR, tem-se:

(𝑘1+ 𝑘2)𝐴 = (𝑘1+ 𝑘2) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =

= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ (𝑘₁+ 𝑘₂)𝑎₁₁ (𝑘₁+ 𝑘₂)𝑎₁₂ . . . (𝑘₁+ 𝑘₂)𝑎_1𝑛 (𝑘1+ 𝑘2)𝑎21 (𝑘1+ 𝑘2)𝑎22 . . . (𝑘1+ 𝑘2)𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... (𝑘1+ 𝑘2)𝑎𝑚1 (𝑘1+ 𝑘2)𝑎𝑚2 . . . (𝑘1+ 𝑘2)𝑎𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ (𝑘1𝑎11+ 𝑘2𝑎11) (𝑘1𝑎12+ 𝑘2𝑎12) . . . (𝑘1𝑎1𝑛+ 𝑘2𝑎1𝑛) (𝑘1𝑎21+ 𝑘2𝑎21) (𝑘1𝑎22+ 𝑘2𝑎22) . . . (𝑘1𝑎2𝑛+ 𝑘2𝑎2𝑛) .. . ... . .. ... (𝑘1𝑎𝑚1+ 𝑘2𝑎𝑚1) (𝑘1𝑎𝑚2+ 𝑘2𝑎𝑚2) . . . (𝑘1𝑎𝑚𝑛+ 𝑘2𝑎𝑚𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ (𝑘1)𝑎11 (𝑘1)𝑎12 . . . (𝑘1)𝑎1𝑛 (𝑘1)𝑎21 (𝑘1)𝑎22 . . . (𝑘1)𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... (𝑘₁)𝑎_𝑚1 (𝑘₁)𝑎_𝑚2 . . . (𝑘₁)𝑎_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ (𝑘2)𝑎11 (𝑘2)𝑎12 . . . (𝑘2)𝑎1𝑛 (𝑘2)𝑎21 (𝑘2)𝑎22 . . . (𝑘2)𝑎2𝑛 .. . ... . .. ... (𝑘₂)𝑎_𝑚1 (𝑘₂)𝑎_𝑚2 . . . (𝑘₂)𝑎_𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = 𝑘1𝐴 + 𝑘2𝐴. Portanto, (𝑘1+ 𝑘2)𝐴 = 𝑘1𝐴 + 𝑘2𝐴.

21. Provar todas as propriedades da multiplicação de duas matrizes. (a) Distributividade da soma à direita, (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶

Seja 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 - elemento (𝑖, 𝑘) de 𝐷: 𝑑_𝑖𝑘 = 𝑎_𝑖𝑘+ 𝑏_𝑖𝑘 (1) - elemento (𝑖, 𝑗) da matriz ((𝐴 + 𝐵)𝐶) ((𝐴 + 𝐵)𝐶)𝑖𝑗 = (𝐷𝐶)𝑖𝑗 = 𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑑𝑖𝑘𝑐𝑘𝑗 = 𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑎𝑖𝑘𝑐𝑘𝑗+ 𝑏𝑖𝑘𝑐𝑘𝑗 (2)

- elemento (𝑖, 𝑗) da matriz (𝐴𝐶 + 𝐵𝐶) ≡ soma dos elementos (𝑖, 𝑗) das matrizes 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶. ((𝐴𝐶 + 𝐵𝐶))_𝑖𝑗 = (𝐴𝐶)_𝑖𝑗+ (𝐵𝐶)_𝑖𝑗 = Ã _𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑎_𝑖𝑘𝑐_𝑘𝑗 ) + Ã _𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑏_𝑖𝑘𝑐_𝑘𝑗 ) = 𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑎_𝑖𝑘𝑐_𝑘𝑗+ 𝑏_𝑖𝑘𝑐_𝑘𝑗 = ((𝐴 + 𝐵)𝐶)𝑖𝑗 (3) (b) Associatividade, 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 Seja 𝐷 = 𝐵𝐶

- elemento (𝑘, 𝑗) de 𝐷: 𝑑𝑘𝑗 = 𝑞 ∑ 𝑙=1 𝑏𝑘𝑙𝑐𝑙𝑗 (4) - elemento (𝑖, 𝑗) de 𝐴𝐷: (𝐴𝐷)_𝑖𝑗 = 𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑎_𝑖𝑘𝑑_𝑘𝑗 (5) Substituindo (4) em (5): (𝐴𝐷)𝑖𝑗 = 𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑝 ∑ 𝑙=1 𝑎_𝑖𝑘𝑏_𝑘𝑙𝑐_𝑙𝑗 (6) Seja 𝑍 = 𝐴𝐵 ≡ elemento (𝑖, 𝑗) de (𝐴𝐵)𝐶: ((𝐴𝐵)𝐶)𝑖𝑗 = (𝑍𝐶)𝑖𝑗 = 𝑞 ∑ 𝑙=1 𝑧𝑖𝑙𝑐𝑙𝑗 = 𝑞 ∑ 𝑙=1 Ã _𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑙 ) 𝑐𝑙𝑗 = 𝑞 ∑ 𝑙=1 𝑝 ∑ 𝑘=1 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑙𝑐𝑙𝑗 = (𝐴(𝐵𝐶))𝑖𝑗

2

Lista 2 - Distribuição Normal Multivariada

1. Utilizando a função Matlab (que gera amostras aleatórias normais multivariadas): 𝑋𝑖 =

mvnrnd(𝜇, Σ, 𝑛), 𝑖 = 1, 2, 3, . . . sendo: 𝜇 = [4.5 6.0 8.5 10.0 12.5 15.0] o vetor de médias,

Σ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 15.0000 1.5000 3.0000 2.3000 5.1000 0.9000 1.5000 13.0000 2.7000 3.6000 4.7000 2.8000 3.0000 2.7000 13.9000 5.2000 6.2000 3.2000 2.3000 3.6000 5.2000 25.0000 3.1000 5.2000 5.1000 4.7000 6.2000 3.1000 36.0000 4.8000 0.9000 2.8000 3.2000 5.2000 4.8000 48.0000 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

a matriz de covariâncias e 𝑛 o tamanho das amostras, gerar as amostras aleatórias normais multivariadas 𝑋₁, 𝑋₂e 𝑋₃ do vetor de médias 𝜇 e Σ a matriz de covariâncias com tamanho: (a) 𝑛 = 10, calculando em seguida, para 𝑋1, o vetor de médias amostrais (X) e a matriz

de covariâncias amostrais (S), comparando esses valores com os parâmetros 𝜇 e Σ. Discutir as diferenças.

>> MI=[4.5 6 8.5 10 12.5 15] MI =

>> Cov=[15 1.5 3.0 2.3 5.1 0.9; 1.5 13.0 2.7 3.6 4.7 2.8; 3.0 2.7 13.9 5.2 6.2 3.2; 2.3 3.6 5.2 25.0 3.1 5.2;5.1 4.7 6.2 3.1 36.0 4.8;0.9 2.8 3.2 5.2 4.8 48.0] Cov = 15.0000 1.5000 3.0000 2.3000 5.1000 0.9000 1.5000 13.0000 2.7000 3.6000 4.7000 2.8000 3.0000 2.7000 13.9000 5.2000 6.2000 3.2000 2.3000 3.6000 5.2000 25.0000 3.1000 5.2000 5.1000 4.7000 6.2000 3.1000 36.0000 4.8000 0.9000 2.8000 3.2000 5.2000 4.8000 48.0000 >> X1=mvnrnd(MI,Cov,10) X1 = 6.5824 1.3693 10.4200 14.0294 11.8459 9.3273 11.6026 17.5895 7.6237 7.1229 15.6737 16.4204 -4.2485 7.7255 9.8072 5.0986 13.0840 6.6432 7.8392 6.1079 14.9699 8.4866 17.3463 8.2866 5.7346 8.6856 10.9781 -2.5282 9.6254 13.2773 -0.5647 4.7588 11.0591 17.0322 11.5824 26.7321 2.8207 5.3871 10.6869 12.0000 11.7389 10.2523 5.8270 11.4728 8.6750 7.6792 17.8671 18.2602 18.3591 12.4369 13.2687 20.2792 25.2909 17.1399 15.2260 12.1528 8.7717 3.9651 23.1206 23.0164 >> mean(X1) ans = 6.9178 8.7686 10.6260 9.3165 15.7175 14.9356 >> S=cov(X1) S = 46.9874 18.2327 1.3555 6.9462 28.3493 12.9910 18.2327 22.2742 -4.3880 -7.6632 13.6887 10.4479 1.3555 -4.3880 4.7934 5.2097 1.4845 -4.0889 6.9462 -7.6632 5.2097 44.8926 9.2218 9.3750 28.3493 13.6887 1.4845 9.2218 27.2998 11.1871 12.9910 10.4479 -4.0889 9.3750 11.1871 43.5201

Para 𝑛 = 10, tanto o vetor de médias X como a matriz de covariâncias amostrais 𝑆 têm seus valores bem distantes dos valores originais do vetor de médias 𝜇 e da matriz

de covariâncias Σ, respectivamente.

(b) 𝑛 = 100, calculando em seguida, para 𝑋2, o vetor de médias amostrais (X) e a matriz

de covariâncias amostrais (S), comparando esses valores com os parâmetros 𝜇 e Σ. Discutir as diferenças. >> X2=mvnrnd(MI,Cov,100); >> mean(X2) ans = 4.5417 7.0864 8.6808 10.0058 13.0134 14.8672 >> S2=cov(X2) S2 = 14.6431 2.7541 3.6464 3.1158 5.3392 -1.2280 2.7541 13.6900 3.0848 3.5469 6.8503 0.3377 3.6464 3.0848 13.7587 6.0858 4.9247 5.7381 3.1158 3.5469 6.0858 26.5766 6.0904 6.3325 5.3392 6.8503 4.9247 6.0904 33.3137 2.5282 -1.2280 0.3377 5.7381 6.3325 2.5282 41.0911

Para 𝑛 = 100, o vetor de médias X tem seus valores bem próximos do vetor de médias𝜇, diferindo em apenas algumas unidades. Quanto a matriz de covariâncias amostrais 𝑆 seus valores estão bem distantes dos valores originais da matriz de covar-iâncias Σ.

(c) 𝑛 = 1000, calculando em seguida, para 𝑋3, o vetor de médias amostrais (X) e a

matriz de covariâncias amostrais (S), comparando esses valores com os parâmetros 𝜇 e Σ. Discutir as diferenças. >> X3=mvnrnd(MI,Cov,1000); >> mean(X3) ans = 4.4758 6.1065 8.5225 9.8296 12.4343 14.8078 >> S3=cov(X3) S3 = 14.4039 1.5281 2.7079 2.1403 3.7544 0.6423 1.5281 11.8247 2.6428 2.5697 4.0056 4.2034 2.7079 2.6428 12.7488 4.3487 5.2230 3.1401

2.1403 2.5697 4.3487 24.2446 2.5543 7.5897 3.7544 4.0056 5.2230 2.5543 32.5033 3.3190 0.6423 4.2034 3.1401 7.5897 3.3190 46.9719

Para 𝑛 = 1000, tanto o vetor de médias X como a matriz de covariâncias amostrais 𝑆 têm seus valores bem próximos dos valores originais do vetor de médias 𝜇 e da matriz de covariâncias Σ, respectivamente.

(d) Para os itens (a), (b) e (c) verificar a normalidade de cada amostra. Usar:

function [ d2,q2 ] = normult( x ) %d2 = distâncias quadráticas

%q2 = qui-quadrado

%x= amostra multivariada

%função destinada a averiguar a normalidade multivariada %Qual a dimensão de x?

[n,p]=size(x); m=mean(x); S=cov(x);

% cálculo das distâncias generalizadas, d2 for i=1:n d2(i)=(x(i,:)-m)*inv(S)*(x(i,:)-m)’; end %ordem crescente d2=sort(d2); %calculo dos q2 for i=1:n q2(i)=chi2inv(((i-0.5)/n),p); end q2 %grafico plot(d2,q2,’*K’) xlabel(’d^2’) ylabel(’chi^2’) grid

end

Para o item (a)

[ 𝑑2_𝑗, 𝜒2₆ Ã 𝑗 −1₂ 10 )] = q2 = 1.6354 2.6613 3.4546 4.1973 4.9519 5.7652 6.6948 7.8408 9.4461 12.5916 ans = 2.5302 3.3036 4.4551 4.8674 5.3506 5.6743 6.5874 6.6517 7.2706 7.3091 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 0 2 4 6 8 10 12 14 d2 chi 2 Para o item (b) [ 𝑑2_𝑗, 𝜒2₆ Ã 𝑗 −1₂ 100 )] = >> normult(X2); q2 = 0.6757 1.0160 1.2373 1.4140 1.5659 ... 14.4494 15.7774 18.5476 ans = 0.8834 0.9080 1.2236 1.6460 ... 13.0529 14.7759 16.1014 18.2444

0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 d2 chi 2 Para o item (c) [ 𝑑2_𝑗, 𝜒2₆ Ã 𝑗 −1₂ 1000 )] = q2 = 0.2994 0.4394 0.5266 0.5940 0.6504 ... 19.4271 20.2494 21.4857 24.1028 ans = 0.4914 0.6709 0.7719 0.7788 0.9040 ... 19.6546 20.1195 20.5514 20.7033 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 d2 chi 2

2. Uma amostra aleatória de 𝑛 = 70 indivíduos do vetor aleatório: X = [𝑋1, 𝑋2, 𝑋3]′, onde:

𝑋₁ 𝑋₂ 𝑋₃ 29 71 170 25 65 158 30 69 170 31 69 175 27 61 155 34 72 172 34 73 176 30 71 174 31 77 177 31 69 165 29 72 172 32 75 178 28 73 174 37 71 173 30 71 170 30 71 170 33 68 169 30 67 171 30 74 174 28 67 161 31 72 175 26 67 161 32 69 170 35 72 173 28 70 171 33 68 171 34 77 180 25 68 159 26 63 159 32 70 176 29 64 165

32 62 156 32 76 179 32 70 168 34 75 175 32 73 171 34 73 177 26 63 157 30 66 165 30 68 166 25 61 154 31 66 167 27 74 175 34 74 184 28 63 155 32 71 169 31 66 168 27 62 157 23 63 154 30 74 176 27 68 171 32 74 179 32 66 172 35 72 177 32 70 177 28 63 159 31 65 161 27 72 170 30 70 174 30 67 163 30 73 176 29 70 168 33 68 172 24 71 165

31 72 174 33 79 176 32 77 178 32 68 170 30 65 162 32 71 177

Verificar a normalidade do vetor aleatório X. 𝑑2 𝑗 𝜒23 Ã 𝑗 −1₂ 70 ) >> normult(X) d2 = Columns 1 through 11 0.2556 0.3173 0.3326 0.3326 0.4465 0.4606 0.6031 0.6491 0.7674 0.8370 1.0962 Columns 12 through 16 1.1121 1.1979 1.4144 1.5191 1.6057 Columns 17 through 27 1.6646 1.6969 1.7103 1.7106 1.7351 1.7416 1.7570 1.8258 1.8387 1.8826 1.9208 Columns 28 through 32 1.9396 1.9992 2.0073 2.0530 2.1582 Columns 33 through 43 2.3807 2.4055 2.4649 2.5009 2.5071 2.6760 2.7943 2.8713 2.9153 3.0750 3.0953 Columns 44 through 48 3.1039 3.1289 3.1679 3.1837 3.1871 Columns 49 through 59 3.2703 3.6031 3.6705 3.6872 3.7317 3.8597 3.9231 4.0450 4.2108 4.2481 4.5922 Columns 60 through 64 5.0297 5.3688 5.5681 5.6340 5.9425 Columns 65 through 70 6.0255 6.8449 7.7218 7.8503 9.3072 10.8191

0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 14 d2 chi 2

3. Os dados da tabela seguinte foram obtidos tomando-se 4 medidas diferentes de dureza, 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 e 𝑋4, de cada uma das 𝑛 = 50 bordas de chapas. A primeira medida envolve

a transmissão de uma onda de choque sobre as bordas, a segunda medida é determinada enquanto as bordas estão vibrando, e as últimas são obtidas a partir de testes estáticos.

>> Y=[1949 1842 1666 1437;1814 1719 1647 1388;1901 1893 1668 1527;2084 1916 1808 1489;1991 1894 1753 1481;2030 1919 1640 1491;2076 1934 1666 1586;1830 1816 1605 1444;1948 1855 1661 1436;1944 1782 1632 1415;1919 1799 1667 1523;1985 1903 1671 1571;2122 1912 1701 1592;1997 1881 1682 1447;2098 1913 1724 1517;1944 1807 1654 1457;2001 1849 1715 1500;1937 1842 1683 1450;2047 1937 1660 1482;1980 1882 1714 1474;2038 1977 1776 1569;2053 1920 1744 1607;1994 1820 1709 1488;2071 1944 1747 1517;2185 2017 1766 1597;2042 1942 1723 1501;1999 1924 1618 1576;2073 2009 1785 1586;2004 1875 1693 1448;1911 1859 1641 1444;2039 1923 1694 1565;2000 1871 1644 1507;1978 1993 1740 1534;2102 1950 1758 1470;2149 1921 1725 1547;1958 1963 1704 1532;2008 1921 1711 1483;1935 1804 1634 1424;2054 1964 1705 1521;1811 1848 1689 1406;2079 1904 1733 1516;2018 1917 1761 1519;2021 1906 1688 1558;2097 1901 1676 1528;1978 1946 1750 1486;1989 1893 1696 1558 1898 1865 1635 1500;1867 1783 1614 1450;1944 1833 1579 1495 2022 1929 1760 1494] Y = 1949 1842 1666 1437 1814 1719 1647 1388 1901 1893 1668 1527 2084 1916 1808 1489 1991 1894 1753 1481 2030 1919 1640 1491 2076 1934 1666 1586 1830 1816 1605 1444 1948 1855 1661 1436 1944 1782 1632 1415 1919 1799 1667 1523 1985 1903 1671 1571 2122 1912 1701 1592 1997 1881 1682 1447 2098 1913 1724 1517 1944 1807 1654 1457 2001 1849 1715 1500 1937 1842 1683 1450 2047 1937 1660 1482 1980 1882 1714 1474

2038 1977 1776 1569 2053 1920 1744 1607 1994 1820 1709 1488 2071 1944 1747 1517 2185 2017 1766 1597 2042 1942 1723 1501 1999 1924 1618 1576 2073 2009 1785 1586 2004 1875 1693 1448 1911 1859 1641 1444 2039 1923 1694 1565 2000 1871 1644 1507 1978 1993 1740 1534 2102 1950 1758 1470 2149 1921 1725 1547 1958 1963 1704 1532 2008 1921 1711 1483 1935 1804 1634 1424 2054 1964 1705 1521 1811 1848 1689 1406 2079 1904 1733 1516 2018 1917 1761 1519 2021 1906 1688 1558 2097 1901 1676 1528 1978 1946 1750 1486 1989 1893 1696 1558 1898 1865 1635 1500 1867 1783 1614 1450 1944 1833 1579 1495 2022 1929 1760 1494

Verificar a normalidade do vetor aleatório X = [𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4]′.

𝑑2 𝑗 𝜒24 Ã 𝑗 −1 2 50 ) d2 q2 0.7185 0.2971 1.1178 0.5351 1.1429 0.7107 1.3561 0.8616 1.3988 0.9987 1.5479 1.1268 1.5542 1.2488 1.5869 1.3665 1.6037 1.4810 1.8767 1.5933 1.9487 1.7039

1.9792 1.8136 2.1394 1.9226 2.2011 2.0313 2.2267 2.1402 2.2886 2.2494 2.3910 2.3593 2.4764 2.4701 2.5079 2.5821 2.5619 2.6955 2.5626 2.8106 2.5688 2.9277 3.0283 3.0469 3.1915 3.1687 3.4710 3.2933 3.6621 3.4209 3.7459 3.5521 3.8643 3.6871 4.2957 3.8265 4.4187 3.9706 4.5159 4.1201 4.5229 4.2755 4.9482 4.4377 5.0309 4.6074 5.0393 4.7857 5.1432 4.9738 5.2379 5.1730 5.3510 5.3853 5.6204 5.6127 5.8405 5.8581 5.9066 6.1251 5.9812 6.4185 6.0689 6.7449 6.9324 7.1137 7.0571 7.5390 7.3377 8.0434 7.5011 8.6664 7.5174 9.4877 9.1262 10.7119 9.8881 13.2767

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 12 14 d2 chi 2

4. Representar graficamente uma distribuição normal bivariada com vetor de médias 𝜇 = [10 15]′ _{e matriz covariância Σ =} ⎡ ⎣ 4 0 0 9 ⎤ ⎦ . Como 𝜇1= 10, 𝜇2 = 15, 𝜎1 = 2 e 𝜎2 = 3, temos 𝑓 (𝑥1) = 1 2√2𝜋𝑒 −(𝑥1− 10) 2 2 ⋅ 22 e 𝑓 (𝑥2) = 1 3√2𝜋𝑒 −(𝑥2− 15) 2 2 ⋅ 32

logo a f.d.p. conjunta é dada por:

𝑓 (𝑥1, 𝑥2) = 𝑓 (𝑥1) ⋅ 𝑓 (𝑥2) = 1 2√2𝜋𝑒 −(𝑥1− 10) 2 2 ⋅ 22 _⋅ 1 3√2𝜋𝑒 −(𝑥2− 15) 2 2 ⋅ 32 = 1 12𝜋𝑒 − ⎡ ⎣(𝑥1− 10) 2 8 + (𝑥₂− 15)2 18 ⎤ ⎦ >> x1=3:0.1:17; >> x2=10:0.1:24; >> [x1,x2]=meshgrid(x1,x2); >> z=(1/(12*pi))*exp(((-1/8)*(x1-10).^2)+(-(1/18)*(x2-15).^2)); >> mesh(x1,x2,z)

0 5 10 15 20 10 15 20 25 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 5. Seja 𝑋 ∼ 𝒩₃(𝜇, Σ) com 𝜇 = [−3, 1, 4]′ _{e Σ =} ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 −2 0 −2 5 0 0 0 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥

⎦. Quais das seguintes var-iáveis são independentes? Justifique.

Substituir a matriz de covariância pela matriz de correlação >> S=[1 -2 0;-2 5 0;0 0 2] S = 1 -2 0 -2 5 0 0 0 2 >> V=diag(diag(S)) V = 1 0 0 0 5 0 0 0 2 >> RV=sqrtm(V) RV = 1.0000 0 0 0 2.2361 0

0 0 1.4142 >> IRV=inv(RV) IRV = 1.0000 0 0 0 0.4472 0 0 0 0.7071 >> R=IRV*S*IRV R = 1.0000 -0.8944 0 -0.8944 1.0000 0 0 0 1.0000

A matriz de correlação nos dá justamente a relação de dependência entre as variáveis, logo (a) 𝑋1 e 𝑋2 são dependestes, pois 𝜌12= 𝜌21∕= 0.

(b) 𝑋2 e 𝑋3 são independentes, pois 𝜌23= 𝜌32 = 0.

6. Seja 𝑋 ∼ 𝒩3(𝜇, Σ) com 𝜇 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜇1 𝜇₂ 𝜇3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ e Σ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜎2 1 𝜎12 𝜎13 𝜎₂₁ 𝜎2 2 𝜎23 𝜎31 𝜎32 𝜎32 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. Determine a f.d.p. 𝑓 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) padronizada. Como 𝜌12= _𝜎𝜎12 1𝜎2 e 𝜌13= _𝜎𝜎13 1𝜎3 ∴ 𝜎12= 𝜎21= 𝜌12𝜎1𝜎2, 𝜎13= 𝜎31= 𝜌13𝜎1𝜎3

e 𝜎23= 𝜎32= 𝜌23𝜎2𝜎3, tem-se a matriz de correlação: 𝑅 =

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜎2 1 𝜌12𝜎1𝜎2 𝜌13𝜎1𝜎3 𝜌12𝜎1𝜎2 𝜎22 𝜌23𝜎2𝜎3 𝜌13𝜎1𝜎3 𝜌23𝜎2𝜎3 𝜎23 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑓 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = √ 1 (2𝜋)3_𝜎 1𝜎2𝜎3 exp à −1 2 3 ∑ 𝑖=1 ( 𝑥𝑖− 𝑢𝑖 𝜎𝑖 )₂) ou em notação matricial 𝑓 (𝑥) = √ 1 (2𝜋)3_∣Σ∣12 exp [ −1 2(𝑥 − 𝜇) ′_Σ−1_{(𝑥 − 𝜇)} ]

A fdp normal padronizada pode ser obtida fazendo-se 𝑧𝑖 = 𝑥𝑖_𝜎− 𝜇𝑖 𝑖

3

Lista 3 - Inferência sobre o vetor de médias e MANOVA

1. Para o problema 2 da lista 2, testar a hipótese: 𝐻0: 𝜇 = [30 60 170]′ contra a alternativa

𝐻1: 𝜇 ∕= [30 60 170]′_{, aos níveis de significância:}

(a) de 1%;

Temos que 𝐻₀: 𝜇 = [30 60 170]′_{, 𝐻1: 𝜇 ∕= [30 60 170]}′_{, 𝑛 = 70, assim}

>> X=[ 29 71 170; 25 65 158; 30 69 170;31 69 175; 27 61 155; 34 72 172; 34 73 176; 30 71 174; 31 77 177; 31 69 165; 29 72 172; 32 75 178; 28 73 174; 37 71 173; 30 71 170; 30 71 170; 33 68 169; 30 67 171; 30 74 174; 28 67 161; 31 72 175; 26 67 161; 32 69 170; 35 72 173; 28 70 171; 33 68 171; 34 77 180; 25 68 159; 26 63 159; 32 70 176; 29 64 165; 32 62 156; 32 76 179; 32 70 168; 34 75 175; 32 73 171; 34 73 177; 26 63 157; 30 66 165; 30 68 166; 25 61 154; 31 66 167; 27 74 175; 34 74 184; 28 63 155; 32 71 169; 31 66 168; 27 62 157; 23 63 154; 30 74 176; 27 68 171; 32 74 179; 32 66 172; 35 72 177; 32 70 177; 28 63 159; 31 65 161; 27 72 170; 30 70 174; 30 67 163; 30 73 176; 29 70 168; 33 68 172; 24 71 165; 31 72 174; 33 79 176; 32 77 178; 32 68 170; 30 65 162; 32 71 177]; >> mi=mean(X) mi = 30.2857 69.5286 169.4000

Sem o uso do computador usaríamos assim:

>> S=(1/2)*((X(1,:)-mi)’*(X(1,:)-mi)+(X(2,:)-mi)’*(X(2,:)-mi)+(X(3,:)-mi)’*(X(3,:)-mi))... Com o uso do Matlab, faz-se:

>> S=cov(X) S = 8.2070 6.1222 13.9855 6.1222 17.9340 27.0464 13.9855 27.0464 53.6638 >> InvS=inv(S) InvS = 0.2292 0.0494 -0.0846 0.0494 0.2430 -0.1354 -0.0846 -0.1354 0.1089 Logo >> T2=70*((mi-([30 60 170]))*InvS*(mi-([30 60 170]))’) T2 = 1.6779e+003

Como

>> F=(((70-1)*3)/(70-3))*finv(0.99,3,67) F =

12.6306

Como 𝑇2 _{é maior que 𝐹 então, rejeita-se 𝐻}

0, portanto 𝜇 é diferente de [30 60 170]′

(b) de 5%.

>> F=(((70-1)*3)/(70-3))*finv(0.95,3,67) F =

8.4702

Com 5% de significância, temos que, 𝐹 = 12.6306, logo 𝑇2_{> 𝐹}

2,1(0, 05), sendo assim,

rejeitamos a hipótese de que 𝜇 = 𝜇₀.

2. A transpiração de 20 mulheres sadias foram analisadas. Três componentes, 𝑋1 = taxa de

suor, 𝑋2= conteúdo de sódio e 𝑋3 = conteúdo de potássio, foram medidos, e os resultados,

aos quais chamamos “dados do suor”, são apresentados na tabela seguinte: Identificação 𝑋1 𝑋2 𝑋3 1 3.7 48.5 9.3 2 5.7 65.1 8 3 3.8 47.2 10.9 4 3.2 53.2 12 5 3.1 55.5 9.7 6 4.6 36.1 7.9 7 2.4 24.8 14 8 7.2 33.1 7.6 9 6.7 47.4 8.5 10 5.4 54.1 11.3 11 3.9 36.9 12.7 12 4.5 58.8 12.3 13 3.5 27.8 9.8 14 4.5 40.2 8.4 15 1.5 13.5 10.1

16 8.5 56.4 7.1 17 4.5 71.6 8.2 18 6.5 52.8 10.9 19 4.1 44.1 11.2 20 5.5 40.9 9.4

Testar a hipótese: 𝐻0: 𝜇 = [4 50 10]’ contra a alternativa 𝐻1: 𝜇 ∕= [4 50 10]’, ao nível de

significância de 1%. >> M=[3.7 48.5 9.3;5.7 65.1 8.0;3.8 47.2 10.9;3.2 53.2 12.0;3.1 55.5 9.7; 4.6 36.1 7.9;2.4 24.8 14.0;7.2 33.1 7.6;6.7 47.4 8.5;5.4 54.1 11.3; 3.9 36.9 12.7;4.5 58.8 12.3;3.5 27.8 9.8;4.5 40.2 8.4;1.5 13.5 10.1; 8.5 56.4 7.1;4.5 71.6 8.2;6.5 52.8 10.9;4.1 44.1 11.2;5.5 40.9 9.4]; M = 3.7000 48.5000 9.3000 5.7000 65.1000 8.0000 3.8000 47.2000 10.9000 3.2000 53.2000 12.0000 3.1000 55.5000 9.7000 4.6000 36.1000 7.9000 2.4000 24.8000 14.0000 7.2000 33.1000 7.6000 6.7000 47.4000 8.5000 5.4000 54.1000 11.3000 3.9000 36.9000 12.7000 4.5000 58.8000 12.3000 3.5000 27.8000 9.8000 4.5000 40.2000 8.4000 1.5000 13.5000 10.1000 8.5000 56.4000 7.1000 4.5000 71.6000 8.2000 6.5000 52.8000 10.9000 4.1000 44.1000 11.2000 5.5000 40.9000 9.4000 >> Vmi=mean(M)

Vmi = 4.6400 45.4000 9.9650 >> S=cov(M) S = 2.8794 10.0100 -1.8091 10.0100 199.7884 -5.6400 -1.8091 -5.6400 3.6277 >> InvS=inv(S) InvS = 0.5862 -0.0221 0.2580 -0.0221 0.0061 -0.0016 0.2580 -0.0016 0.4018 >> T2=20*((Vmi-H0)*InvS*(Vmi-H0)’) T2 = 9.7388 Sabendo que 𝐻0: 𝜇 = [4 50 10]′, 𝐻1: 𝜇 ∕= [4 50 10]′_, 𝑛 = 20, >> F=(((20-1)*3)/(20-3))*finv(0.99,3,17) F = 17.3850 Temos que (𝑛 − 1) ⋅ 𝑝 𝑛 − 𝑝 ℱ3,17(0.01) = 17.3850, logo 𝑇2< (𝑛 − 1) ⋅ 𝑝 𝑛 − 𝑝 ℱ3,17(0.01), sendo assim, aceita-se 𝐻0, ou seja, com 1% de significância aceitamos a hipótese de que 𝜇 = [4 50 10]′.

3. Os dados da tabela seguinte foram obtidos tomando-se 4 medidas diferentes de dureza, 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 e 𝑋4, de cada uma das 𝑛 = 30 bordas de chapas. A primeira medida envolve

a transmissão de uma onda de choque sobre as bordas, a segunda medida é determinada enquanto as bordas estão vibrando, e as últimas são obtidas a partir de testes estáticos.

1 1874 1722 1420 1371 2 1535 1393 1299 1220 3 1754 1566 1296 1309 4 2211 2069 1742 1599 5 1977 1903 1533 1545 6 2076 1832 1524 1513 7 2189 1972 1633 1620 8 1576 1376 1245 1184 9 1871 1732 1542 1408 10 1859 1520 1436 1382 11 1796 1687 1586 1417 12 1964 1783 1555 1550 13 2304 2083 1668 1651 14 1992 1874 1623 1605 15 2245 1997 1773 1711 16 1861 1669 1531 1339 17 2002 1717 1622 1422 18 1843 1553 1580 1378 19 2117 1856 1612 1542 20 1950 1775 1597 1479 21 2096 1848 1654 1584 22 2134 1829 1606 1519 23 1984 1857 1826 1525 24 2178 1909 1683 1585 25 2462 2203 1783 1758 26 2105 1892 1849 1614 27 1998 1781 1625 1544 28 2183 1986 1626 1622 29 2011 1792 1664 1445 30 1779 1496 1534 1389

Testar a hipótese: 𝐻0: 𝜇 = [2000 1700 1500 1400]’, ao nível de significância de 5%.

𝐻0: 𝜇 = [2000 1700 1500 1400]’, 𝐻1: 𝜇 ∕= [2000 1700 1500 1400]′_, 𝑛 = 30, >> Mi_O=mean(O) Media = 1.0e+003 * 1.9975 1.7891 1.5889 1.4943 >> S=cov(O) S = 1.0e+004 * 4.1962 3.8593 2.3421 2.6239 3.8593 3.9383 2.2569 2.5497 2.3421 2.2569 2.0993 1.6417 2.6239 2.5497 1.6417 1.8725 >> IS=inv(S) IS = 1.0e-003 * 0.2922 -0.1788 -0.0126 -0.1549 -0.1788 0.3241 0.0007 -0.1914 -0.0126 0.0007 0.1523 -0.1169 -0.1549 -0.1914 -0.1169 0.6336 >> T2=30*((Media-([2000 1700 1500 1400]))*IS*(Media-([2000 1700 1500 1400]))’) T2 = 132.1786 >> F=(((30-1)*4)/(30-4))*finv(0.95,4,26) F = 12.2362 Temos que (𝑛 − 1) ⋅ 𝑝 𝑛 − 𝑝 ℱ4,26(0.05) = 12.2362, logo 𝑇 2_> (𝑛 − 1) ⋅ 𝑝 𝑛 − 𝑝 ℱ4,26(0.05), sendo assim, rejeita-se 𝐻0, ou seja, com 5% de significância rejeitamos a hipótese de que 𝜇 = 𝜇₀.

4. As amostras de tamanhos 𝑛1= 60 e 𝑛2= 75 foram obtidas das avaliações de 4 disciplinas