A lei de indução de Faraday

A lei de indução de Faraday

Considere uma curva fechada C, fronteira de uma superfície S. O uxo mag-nético através de C é dado por:

Φ =

ˆ

S

da ˆn · B.

Note que este uxo não depende da superfície S escolhida cuja fronteira é dada por C, pois

∇ · B = 0

em todo ponto (use o teorema da divergência de Gauss para ver isso). Se houver variação desse uxo no tempo, então aparecerá uma força eletromotriz induzida dada por:

Eind = −

dΦ dt.

Essa é a lei de indução de Faraday, obtida empiricamente por ele. Se um o condutor com resistência R formar uma espira fechada com a forma da curva C, então a força eletromotriz induzida nesse o resulta em uma corrente induzida:

Iind =

Eind

R .

O uxo magnético através de uma espira C pode variar no tempo se o campo B variar no tempo, se a espira se deformar ou se a espira estiver se movendo em uma região onde o campo B não for uniforme. No caso em que a espira ca parada e sem se deformar, vamos considerar que B = B (t). Nesse caso, temos:

dΦ dt = d dt ˆ S da ˆn · B = ˆ S da ˆn ·∂B ∂t .

A corrente induzida que atravessa a espira, como resultado dessa variação do uxo magnético, implica o aparecimento de um campo elétrico induzido na região em que o o se encontra, já que as cargas passam a se mover conforme o uxo magnético varia no tempo. Assim, a força eletromotriz induzida é expressa em termos do campo elétrico induzido como:

Eind =

˛

C

dr · Eind.

Como essa circuitação não é nula enquanto houver variação do uxo magnético através da espira, concluímos que Eind não pode ser um campo eletrostático,

pois, se fosse, sua circuitação seria sempre nula. Logo, se Eest é o campo

elet-rostático resultante na região ocupada pela espira, podemos escrever: Eind = ˛ C dr · (Eind+ Eest) = ˛ C dr · E,

onde E é o campo elétrico total calculado sobre a espira C. Pela lei de indução de Faraday, temos: ˛ C dr · E = − ˆ S da ˆn ·∂B ∂t. Usando o teorema de Stokes, podemos escrever:

ˆ S da ˆn · (∇ × E) = − ˆ S da ˆn ·∂B ∂t, ou seja, ˆ S da ˆn ·  ∇ × E +∂B ∂t  = 0.

Essa relação deve ser válida para qualquer espira. Inferindo que a variação tem-poral do campo B produz o campo não eletrostático Eind, independentemente

da presença do o condutor da espira, a equação acima vale para qualquer área S e, portanto,

∇ × E = −∂B

∂t.

Essa é a forma diferencial da lei de indução de Faraday. Veja que no caso estático Bé independente do tempo e, portanto, o rotacional do campo eletrostático é nulo, como deveria ser. O fato de haver um sinal de menos na lei de indução de Faraday é também conhecido como lei de Lenz.

Lei de Indução de Faraday quando o circuito se

deforma

Consideremos que o circuito C se deforma de forma que passa de C (t) ,

no instante t, para

em um instante posterior, t + ∆t. Assim, a variação do uxo magnético através do circuito muda de acordo com a equação:

dΦ (t) dt = d dt ˆ S(t) da ˆn · B (r, t) = lim ∆t→0 1 ∆t "ˆ S(t+∆t) da ˆn · B (r, t + ∆t) − ˆ S(t) da ˆn · B (r, t) # . Podemos usar a seguinte expansão:

B (r, t + ∆t) = B (r, t) + ∆t∂ ∂tB (r, t) + (∆t)2 2 ∂2 ∂t2B (r, t) + . . .

e a variação do uxo magnético agora se escreve como: dΦ (t) dt = ∆t→0lim 1 ∆t (ˆ S(t+∆t) da ˆn ·  B (r, t) + ∆t∂ ∂tB (r, t)  − ˆ S(t) da ˆn · B (r, t) ) = lim ∆t→0 1 ∆t (ˆ S(t+∆t) da ˆn · B (r, t) − ˆ S(t) da ˆn · B (r, t) ) + lim ∆t→0 ˆ S(t+∆t) da ˆn · ∂ ∂tB (r, t) = lim ∆t→0 1 ∆t (ˆ S(t+∆t) da ˆn · B (r, t) − ˆ S(t) da ˆn · B (r, t) ) + ˆ S(t) da ˆn · ∂ ∂tB (r, t) . Para cada ponto do circuito

C (t)

há a velocidade v em que o elemento de circuito dr se desloca, pois o circuito se move. A diferença entre as integrais sobre

S (t + ∆t) e S (t) ,

se o intervalo ∆t for sucientemente curto, é uma integral sobre uma tira estreita adjacente ao circuito

C (t) , isto é, é a integral de superfície sobre

S (t + ∆t) − S (t) . Assim, temos: dΦ (t) dt = ∆t→0lim 1 ∆t (ˆ S(t+∆t)−S(t) da ˆn · B (r, t) ) + ˆ S(t) da ˆn · ∂ ∂tB (r, t) .

Sobre essa tira, o elemento de área pode ser escrito como: da = |(v∆t) × dr|

e a normal compatível com o sentido da circuitação sobre C (t)

é dada por:

ˆ

n = (v∆t) × dr |(v∆t) × dr|. Dessa forma, o integrando ca:

da ˆn · B (r, t) = |(v∆t) × dr| (v∆t) × dr

|(v∆t) × dr|· B (r, t) = ∆t (v × dr) · B (r, t)

= −∆t [v × B (r, t)] · dr. Logo, a integral sobre a tira, no limite em que

∆t → 0,

torna-se uma integral de linha: lim ∆t→0 1 ∆t (ˆ S(t+∆t)−S(t) da ˆn · B (r, t) ) = − lim ∆t→0 (ˆ S(t+∆t)−S(t) [v × B (r, t)] · dr ) = − ˛ C(t) [v × B (r, t)] · dr. Portanto, quando o circuito se deforma, temos a expressão:

dΦ (t) dt = ˆ S(t) da ˆn · ∂ ∂tB (r, t) − ˛ C(t) [v × B (r, t)] · dr. Da discussão acima, temos a expressão:

∇ × E = −∂B ∂t. Assim, dΦ (t) dt = − ˆ S(t) da ˆn · (∇ × E) − ˛ C(t) [v × B] · dr. Em virtude do teorema de Stokes, concluímos que

dΦ (t)

dt = −

˛

C(t)

Quando o circuito se deforma ou se move em um campo B, a lei de Indução de Faraday,

Eind = −

dΦ (t) dt ,

implica na seguinte expressão para a força eletromotriz induzida: Eind =

˛

C(t)

[E+v × B] · dr.

Auto-Indutância

Em um circuito de corrente estacionária I, o uxo magnético que o atravessa devido a seu próprio campo magnético é proporcional à corrente, já que o campo Bgerado pelo circuito é proporcional à corrente. A constante de proporcional-idade, L, é chamada de "auto-indutância" do circuito:

Φ = LI.

No Sistema Internacional de unidades, a auto-indutância é medida em henries (H); um henry é igual a um volt vezes segundo por ampère.

Exemplo: toróide com N espiras

Um toróide com N espiras e de dimensões tais que o campo B em seu interior possa ser aproximado como uniforme, é tal que % é o raio da circunferência que passa pelo centro de todas as suas espiras. Usando a Lei de Ampère, temos que Bé aproximadamente dado por:

B = µ0N I 2π% ϕ.ˆ

Podemos, neste exemplo, supor que esse campo é praticamente uniforme em cada seção transversal do solenóide. Assim, o uxo magnético através de uma espira do solenóide é dado por:

Φ1 =

µ0N I

2π% πa

2_,

onde a é o raio de cada espira. Como temos N espiras, o uxo total no circuito do solenóide é dado por:

Φ = N Φ1

= µ0N

2_a2

2% I. Logo, a auto-indutância do solenóide é dada por:

L = µ0N

2_a2

2% .

Indutância Mútua

Se tivermos vários circuitos, cada um com sua corrente Ik, o uxo total sobre

um dos circuitos é devido aos campos dos demais: Φi =

X

k

Φik,

onde Φik é o uxo que o circuito k gera sobre o circuito i. Como

Φik =

ˆ

Si

daiˆni· Bk

e como Bk, que é o campo produzido pelo circuito k, é proporcional à corrente

Ik, vemos que Φik também é proporcional a Ik:

Φik = MikIk.

A constante de proporcionalidade, Mik, é chamada de "indutância mútua" entre

os circuitos i e k e também é medida em henries.

Exemplo: um toróide interno a outro toróide

Consideremos dois toróides: um com N1espiras de corrente I1 e outro com N2

espiras com corrente I2. Vamos supor que o toróide 1 esteja inserido no toróide

2, de forma que %1é o raio da circunferência que passa pelos centros das espiras

do toróide interno e %2 é o raio da circunferência que passa pelos centros das

espiras do toróide externo. Assim, o campo que o toróide 2 produz em seu interior é dado por:

B2 =

µ0N2I2

2π%2

ˆ ϕ.

Logo, como esse campo é para ser considerado, neste exemplo, como uniforme no interior dos toróides, o uxo que esse campo produz no toróide 1 é dado por:

Φ12 = N1

µ0N2I2

2π%2

πa2₁,

onde a1 é o raio de cada espira do toróide 1. Logo, a indutância mútua é dada

por:

M12 =

µ0N1N2a21

2%2

. Neste exemplo, é fácil vermos que M21= M12.

A fórmula de Neumann

Consideremos o uxo magnético sobre o circuito 1 devido ao circuito 2: Φ21 = µ0 4πI1 ˆ S2 "˛ C1 dr1× (r2− r1) |r2− r1| 3 # · ˆn2da2 = µ0 4πI1 ˆ S2  ∇2× ˛ C1 dr1 |r2− r1|  · ˆn2da2 = µ0 4πI1 ˛ C2 ˛ C1 dr1· dr2 |r2− r1| . Logo, M21 = µ0 4π ˛ C2 ˛ C1 dr1· dr2 |r2− r1| , que também mostra que

M21 = M12.

Energia Magnética

Consideremos um circuito em que temos, ligados em série, uma bateria pro-duzindo uma diferença de potencial V , um resistor de resistência R e um indutor de indutância L. Utilizando as regras de Kirchho, podemos escrever:

V = RI + LdI dt,

onde I é a corrente que atravessa o circuito. O trabalho realizado pela bateria para mover uma quantidade innitesimal de carga dq através do circuito é dado por: V dq = Vdq dtdt = V Idt =  RI2+ LIdI dt  dt.

Considerando que a variação do uxo magnético através do indutor é dada por dΦ dt = L dI dt, obtemos: V dq =  RI2+ IdΦ dt  dt.

Assim, agora sabemos que o trabalho fornecido pela bateria é utilizado de duas maneiras: para produzir calor,

dWcalor = RI2dt,

e para produzir o campo magnético no indutor, dWmag = I

dΦ dtdt = IdΦ.

Portanto, concluímos dessa análise que, para modicarmos o uxo magnético em um indutor, precisamos fornecer uma energia igual a IdΦ. Essa energia pode ser vista como armazenada no indutor, pois se desligarmos a bateria in-stantaneamente, após atingir uma corrente estacionária no circuito, a equação resultante ca:

0 = RI + LdI dt,

o que resulta em uma diminuição não abrupta da corrente: I (t) = I (0) e−Rt/L,

onde I (0) era a corrente presente circuito no instante em que a bateria fora desli-gada (t = 0). Se L = 0, a equação diferencial acima ca RI = 0, mostrando que a corrente se torna nula no instante em que a bateria é desligada se não hou-ver indutância no circuito, diferentemente da diminuição exponencial calculada acima para L 6= 0.

Caso de N circuitos rígidos e xos no espaço

Nesse caso, temos:

dMij

dt = 0.

Para modicarmos os uxos através dos circuitos, devemos fornecer a energia:

dU =

N

X

i=1

IidΦi.

Como estudamos anteriormente, dΦi =

N

X

j=1

MijdIj,

onde estamos usando a notação:

para k = 1, 2, . . . , N. k =. Assim, dU = N X i=1 IidΦi = N X i=1 Ii N X j=1 MijdIj = N X i=1 N X j=1 MijIidIj.

Pela fórmula de Neumann, Mij= Mjie temos:

2dU = N X i=1 N X j=1 MijIidIj+ N X i=1 N X j=1 MjiIidIj.

Como os índices i e j são mudos nas somas acima, podemos trocar i por j e j por i na segunda soma dupla acima para obter:

2dU = N X i=1 N X j=1 MijIidIj+ N X j=1 N X i=1 MijIjdIi = N X i=1 N X j=1 Mij(IidIj+ IjdIi) = N X i=1 N X j=1 Mijd (IiIj) . Logo, dU = d   1 2 N X i=1 N X j=1 MijIiIj  ,

mostrando que dU é uma diferencial exata, o que nos permite denir U como uma energia potencial. Tomando U = 0 quando não há correntes nos circuitos, podemos denir: U = 1 2 N X i=1 N X j=1 MijIiIj = 1 2 N X i=1 IiΦi,

já que Φi = N X j=1 MijIj.

Assim, para um conjunto de N circuitos rígidos e xos a energia potencial armazenada no campo magnético é dada por:

U = 1 2 N X i=1 IiΦi.

Podemos agora procurar generalizar essa denição de energia para o caso de uma distribuição qualquer de correntes, J (r). Portanto, consideremos a denição de uxo magnético na expressão para a energia:

U = 1 2 N X i=1 Ii ˆ Si dainˆi· B = 1 2 N X i=1 Ii ˆ Si dainˆi· (∇ × A) = 1 2 N X i=1 Ii ˛ Ci A · dri = 1 2 N X i=1 ˛ Ci A · (Iidri) = 1 2 N X i=1 ˆ Vi A (ri) · J (ri) d3ri.

Agora, dado que

J (r) = 0

em pontos do espaço que não pertencem a circuitos, podemos escrever:

U = 1

2 ˆ

V∞

A (r) · J (r) d3r,

onde a integral é sobre todos os pontos do espaço.

Podemos escrever a energia em termos apenas de campos. Para tanto, con-sideremos a Lei de Ampère:

∇ × H = J.

Com isso, temos:

U = 1

2 ˆ

V∞

Consideremos, agora, a relação vetorial: ∇ · (A × H) = H · (∇ × A) − A · (∇ × H) , ou seja, A · (∇ × H) = H · (∇ × A) − ∇ · (A × H) . Assim, U = 1 2 ˆ V∞ H (r) · [∇ × A (r)] d3r −1 2 ˆ V∞ ∇ · [A (r) × H (r)] d3_r.

Consideremos a segunda integral: ˆ V∞ ∇ · [A (r) × H (r)] d3_{r =} ˛ S∞ da ˆn · [A (r) × H (r)] .

Como vimos na aula 21, a primeira contribuição não nula para o potencial veto-rial é a dipolar, de forma que, para distâncias muito grandes de uma distribuição nita de correntes,

|A (r)| ∼ 1 r2.

Já o campo H, para distâncias muito grandes, varia como o rotacional do po-tencial vetorial, ou seja,

|H (r)| ∼ 1 r3.

Como o elemento de área da integral acima varia como r2_{, segue que, para}

grandes distâncias da distribuição de correntes, ˛

S(r)

da ˆn · [A (r) × H (r)] ∼ 1 r3.

Sobre a superfície no innito, S∞, portanto, temos:

˛ S∞ da ˆn · [A (r) × H (r)] = 0. Como B = ∇ × A, segue: U = 1 2 ˆ V∞ H (r) · B (r) d3r e a quantidade u (r) = 1 2H (r) · B (r)

é interpretada como a densidade de energia magnética armazenada em torno do ponto r.