Ensaios Econômicos
Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas N◦ 746 ISSN 0104-8910Amortização de Dívidas e Prestações
Con-stantes: Uma Análise Crítica
Clovis de Faro
Outubro de 2013
Os artigos publicados são de inteira responsabilidade de seus autores. As
opiniões neles emitidas não exprimem, necessariamente, o ponto de vista da
Fundação Getulio Vargas.
ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA Diretor Geral: Rubens Penha Cysne
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Vice-Diretores de Graduação: André Arruda Villela & Luis Henrique Bertolino Braido
de Faro, Clovis
Amortização de Dívidas e Prestações Constantes: Uma Análise Crítica/ Clovis de Faro – Rio de Janeiro : FGV,EPGE, 2013
30p. - (Ensaios Econômicos; 746)
Inclui bibliografia.
1
AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E PRESTAÇÕES CONSTANTES : UMA ANÁLISE
CRÍTICA
Clovis de Faro#
(Revisado, 23 de outubro de 2013)
2 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E PRESTAÇÕES CONSTANTES : Uma Análise Crítica
Clovis de Faro
1- Introdução
Indubitavelmente, inclusive em escala planetária, o sistema de amortização de dívidas mais frequentemente utilizado é o que se baseia no pagamento de prestações constantes.
Em especial, aqui no Brasil, mormente no caso de financiamentos habitacionais, que costumam ser de longo prazo, e mesmo para aquisição de bens duráveis, geralmente operações de curto a médio prazo, o esquema de prestações constantes é o mais popular. Sendo que, no âmbito do sistema Financeiro de Habitação, é dito ser segundo a Tabela Price. 1
Entretanto, por ser fundamentada no regime de juros compostos, a adoção de Tabela Price tem sido fulcro de repetidos questionamentos em nosso judiciário (veja-se, por exemplo, de Faro e Guerra, 2009). Isso porque, a meu ver equivocadamente, associa-se ao regime de juros compostos o que, no jargão jurídico, se denomina de anatocismo (que, segundo Houaiss, 2001, significa cobrança de juros sobre juros). Todavia, como formalmente discutido em de Faro (2013), muito embora anatocismo só ocorra no regime de juros compostos, a adoção deste regime de juros não implica, necessariamente, na presença de anatocismo. Tal é, exatamente, contrariamente ao entendimento de alguns autores, como Nogueira (2002), o caso da Tabela Price; conquanto esteja implícito o regime de juros compostos, se não houver prestação em atraso, não há a ocorrência de anatocismo.
1
Tal denominação, que não costuma ser empregada em outros países, afigura-se como tendo origem no trabalho Observations on Reversionary Payments, de autoria de Richard Price, originalmente publicado em 1771, na Inglaterra. Veja-se Wikipédia, agosto de 2013.
3 Como o assunto é objeto de polêmicas, não raras vezes têm sido promulgadas sentenças judiciais determinando que a amortização de financiamentos seja efetuada segundo os preceitos do regime de juros simples. Sendo que, em particular, usando uma denominação inadequada, tem ocorrido sentenças estipulando a adoção do que veio a ser chamado de “método de Gauss” (cf. Paulo Durigan – Advocacia, 2013). 1
Nosso objetivo no presente artigo é o de, com fundamento em um arcabouço teórico que suporta o que iremos denominar de condições de consistência (financeira), analisar criticamente tanto as características da Tabela Price, como também as associadas a alguns sistemas de amortização, com prestações constantes, que fazem uso do regime de juros simples.
2 – Estrutura Analítica
Para nossas finalidades, iremos considerar a situação onde um financiamento de valor F, deve ser amortizado mediante o pagamento de n prestações periódicas e postecipadas (isto é, com a primeira vencendo-se um período após a data de concessão do empréstimo), todas elas iguais ao valor constante P.
Ou seja, iremos considerar o fluxo de caixa cuja representação gráfica é:
Ainda mais, considerada a taxa periódica de juros i, seja ela de juros simples ou de juros compostos, suposta positiva, admitiremos, como adiante formalizado, haver equivalência financeira entre o valor financiado F, e a sequência formada pelas n prestações periódicas e iguais a P.
1
É aí mencionada sentença dos autos 2000.70.00.023505-4, às fls 227/262, da Vara Federal Especializada do Sistema Financeiro da Habitação de Curitiba, condenando instituições financeiras a substituir a Tabela Price pelo “método linear ponderado – ou de Gauss”. A propósito, o Instituto dos Mutuários e Defesa dos Consumidores de Produtos Financeiros, menciona, em sua página na Internet, despacho, de fevereiro de 2010, do Desembargador Paulo Hatanaka, do Tribunal de Justiça do estado de São Paulo, que “ ... Aplica-se, em substituição à Tabela Price, o método de cálculos simples, ou seja, o “Método de Gauss”; ficando ...”
1 P 2 períodos n P n-1 P P 3 0 P F
4 2.1- Definições
Define-se o total contábil de juros, que está embutido no financiamento e que será denotado por ˆJ , como:
ˆ .
J n PF (1)
com
ˆ 0
J , posto que supomos i0
Por outro lado, podemos sempre admitir que cada prestação seja composta de duas parcelas. Uma, dita de amortização (ou de redução do valor do principal F que foi financiado), e a outra, de juros (ou de remuneração pelo financiamento).
Denotando por Ak a parcela de amortização que está contida na k-ésima prestação, e por Jk a correspondente parcela de juros, temos que
, 1,2,... k k A J P k n (2) com 1 n k k A F
(3) e 1 ˆ . n k k J J n P F
(4)2.2 – Conceito de Consistência (Financeira)
Diremos que um sistema de amortização de dívidas é (financeiramente) consistente, se, denotando por Sk o saldo devedor (estado da dívida ou débito remanescente), logo após o pagamento da k-ésima prestação, para k = 1,2,...,n , o seu valor puder ser indistintamente determinado segundo qualquer um dos três seguintes procedimentos:
a) método retrospectivo
O que se deve é igual ao valor F do financiamento, subtraído da soma das parcelas de amortização já efetuadas.
Ou seja, formalmente, se:
1 k k S F A
(5) b) método prospectivoO saldo devedor na época k, é igual ao valor atual (como adiante definido) e à taxa
i do financiamento, das n - k prestações remanescentes. c) método de recorrência
5 O que se deve na época k, é igual ao que se deveria se nada houvesse sido pago (o que corresponde ao valor F financiado, acrescido de juros à taxa i , por k períodos), deduzido do montante (como adiante explicitado), na época k e à taxa i , das k prestações já pagas.
Adicionalmente, o conceito de consistência (financeira), aqui enunciado, completa-se com a interpretação de que a k-ésima parcela de juros, Jk, deva ser igual aos juros, por um período e à taxa i , seja ela de duros simples ou de juros compostos, relativos ao saldo devedor na época k-1.
Ou seja, formalmente, se:
1 0
. , 1, 2,..., , com
k k
J i S k n S F (6)
Observe-se também que, partindo da relação (5), como 1
k k k
S S A (5’) decorre da relação (4) que
1
k k k
S S P J
(5”)
ou, face à relação (6)
1
1 , 1, 2,...,k k
S i S P k n (7)
Em palavras, a relação (7), que não depende de que a taxa i seja de juros simples ou de juros compostos, pois que diz respeito a um único período, expressa o fato, como deveria ser de entendimento comum, de que o que se deve um período após a época k-1, é igual ao que se devia naquela época, acrescido de juros à taxa i , subtraído do pagamento da prestação que se venceu na época k.
Tendo presente o arcabouço teórico aqui apresentado, vejamos agora o que acontece quando se considera a taxa i como de juros compostos ou como de juros simples.
3 - O Caso do Regime de Juros Compostos (Tabela Price)
Na eventualidade em que seja especificado que a taxa i considerada é de juros compostos, o resultante sistema de prestações constantes reduz-se ao chamado método francês ou da Tabela Price. Sendo que, formalmente, a hipótese de equivalência financeira entre o valor F do financiamento e a sequência de n prestações iguais a P, quando se considera a data de concessão do financiamento, época zero, como data focal,1 se expressa como:
1 1 n j j F P i
(8)do que decorre que
1
Na realidade, como analiticamente mostrado em de Faro (2006, pp. 58-59), a propriedade de cindibilidade do prazo que se verifica no regime de juros compostos, implica que a relação (9) vale qualquer que seja a data focal.
6
. 1 1 n Pi F i (9) Como 1 . J i F (10) segue-se que
1 1 . 1 1 n A P J i F i (11)Por outro lado, considerando-se épocas k e k + 1, podemos escrever: 1 1 1 . k k k k k k P A J A i S A i F A
e 1 1 1 1 1 . k k k k k k P A J A i S A i F A
Logo, subtraindo-se membro a membro, vem:
1 1
k k
A i A (12)
Ou seja, no sistema de prestações constantes no regime de juros compostos à taxa
i, as parcelas de amortização evoluem segundo uma programação geométrica de razão 1+i, e termo inicial dado pela relação (11).
Por conseguinte, de acordo com o método retrospectivo, ter-se-á:
1 1
1
1
1
1
1
k k k S F A i A i A i i (13) ou, ainda
1 n 1 k
1
n 1
k S F i i i (13’)Por outro lado, considerando-se a determinação do saldo devedor pelos métodos prospectivo e de recorrência, tem-se, respectivamente, que:
1 1 1 1 n k j k n k j k S P i P i i
(14) ou
1 1 k n
1
1
n
k S F i i (14’) e
1 1 1 1 (1 1 k k k j k k k j S F i P i F i P i i
( 15) ou
1 k 1 k 1 1 1 n
k S F i i i (15’) Observando que a relação (14’), multiplicando-se o numerador e o denominador por
1i
n, reduz-se à relação (13’), conclui-se, de imediato, que há consistência (financeira) entre os métodos retrospectivo e prospectivo.7 Consequentemente, para constatar a total consistência (financeira) do sistema francês (Tabela Price), basta verificar se, por exemplo, os métodos de recorrência e prospectivo conduzem ao mesmo resultado para o saldo devedor Sk. Isto é, se as relações (14’) e (15’) conduzem ao mesmo resultado.
Isso é formalmente conseguido observando-se que a relação de equivalência financeira dada por (8), pode ser convenientemente reescrita como:
1 1 1 1 k n j j j j k F P i P i
(8’)Portanto, multiplicando-se ambos os membros de (8’) por
1i
k, constata-se, trivialmente, a consistência (financeira) entre os métodos prospectivo e de recorrência.4- O Caso do Regime de Juros Simples
Suponha-se agora que, como parece ser frequente em decisões judiciais, a taxa i considerada deva ser de juros simples. Como, no regime de juros simples, o prazo de aplicação é não cindível, a determinação do valor P da sequência das n prestações constantes, fica dependendo da escolha da chamada data focal.1
No que se segue, iremos considerar duas distintas possibilidades para a data focal. Respectivamente a época zero, que é a de concessão do empréstimo, e a época n, que é a de pagamento da última prestação.2
4.1- Época Zero como Data Focal
Em princípio, em sendo especificada a época zero como data focal, a relação de equivalência financeira entre o valor F do financiamento e a sequência formada pelas n prestações periódicas e constantes, dependerá, ainda, de que seja adotado o que se denomina de desconto racional, ou que seja estipulado o chamado desconto comercial (ou bancário).
4.1.1- Adotando-se o Desconto Racional
Nesta eventualidade, denotando-se por P o resultante valor da prestação constante, a equação de equivalência financeira entre o principal F e a sequência das n prestações periódicas e iguais a P , é escrita como:
11 . n j P F i j
(16) 1Em língua portuguesa, tal idiossincrasia já havia sido observada em de Faro (1969, pg. 33). 2
Essas duas datas focais não estão sendo arbitrariamente estipuladas, pois que são as que aparecem em sentenças judiciais.
8 Muito embora, computacionalmente, possa ser feito uso de recursão.
1 1 , 2, 3,... 1 . k k B B k k i (17) com
1 1 1 B i (18)a relação (16) é, à exceção do caso trivial onde n = 1, de crescentemente trabalhosa solução analítica, em função de n.
A título meramente ilustrativo, a Tabela I apresenta, em função de F e de i e para até 6 prestações, as correspondentes expressões para P .
Tabela I
Expressão Analítica de em Função de , de e de P F i n
Como ilustrado na Tabela I, o tratamento analítico, especialmente para valores elevados do número n de prestações, é proibitivo. Por isso mesmo, para evidenciar que a sistemática em questão não satisfaz nossa condição de consistência (financeira), lançaremos mão do expediente de um exemplo numérico.
Seja o caso onde F = 100.000 unidades de capital, a taxa i, de juros simples, é 2% por período, e o empréstimo deva ser liquidado mediante o pagamento de n = 5 prestações periódicas e constantes.
Quer lançando mão da recursão dada pelas relações (17) e (18), quer fazendo uso da expressão analítica apresentada na Tabela I, tem-se que o valor da prestação constante é P21.184,90 unidades de capital.
A Tabela II, em termos de unidades de capital, mostra a evolução do estado da dívida ao longo do prazo de 5 períodos que foi considerado. Sendo que, o que
P
2 2 3 2 2 3 4 2 3 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 5 6 2 3 4 5 1 1 3 2 2 3 1 6 11 6 3 12 11 1 10 35 50 24 4 30 70 50 1 15 85 225 274 120 5 60 255 450 274 1 21 175 735 1624 1764 720 6 105 700 2205 2348 1764 F i F i i i F i i i i i F i i i i i i i F i i i i i i i i i F i i i i i i i i i i i 9 consideramos como fundamental, fizemos, a cada período, uso das relações básicas (6) e (7), quando se substitui por P P.1
Tabela II
Evolução do Estado da Dívida no Caso do Desconto Racional
k Sk P Jk k 0 100.000,00 - - - 1 80.815,10 21.184,90 2.000,00 19.184,90 2 61.246,50 21.184,90 1.616,30 19.568,60 3 41.286,53 21.184,90 1.224,93 19.959,97 4 20.927,36 21.184,90 825,73 20.359,17 5 161,01 21.184,90 418,55 20.766,35 Totais - 105.924,50 6.085,51 99.838,99
Os resultados numéricos apresentados na Tabela II evidenciam que o critério de consistência (financeira) que adotamos como arcabouço teórico, não é satisfeito. Especificamente, à taxa de juros simples de 2% por período, o débito não é liquidado com o pagamento da quinta e última prestação. Ou seja, temos o colapso do método retrospectivo.
Muito embora se acredite, como veremos adiante, que a validade do método retrospectivo pudesse ser remediada, arbitrando-se as parcelas de amortização de tal modo que sua soma iguale o valor F do financiamento, restaria ainda a inconsistência, em termos de discrepância, com os métodos prospectivo e de recorrência.
Por exemplo, no caso da ilustração numérica, considerando-se o estado da dívida logo após o pagamento da terceira prestação, tem-se:
a) segundo o método prospectivo
5 3 4 1 1 21.184, 90 41.139, 61 u.c. 1 3 1 0, 02 1 2 0, 02 k P S i k
b) segundo o método de recorrência
3
3 1 1 0,02 3 1 0,02 3 106.000 21.184,90 1,04 1,02 1 41.174, 21 u.c. j S F P j
1Como consequência, as parcelas de amortização são obtidas, como resíduos, a partir da relação (2), substituindo P por P.
10 Podemos, pois, concluir que a adoção do regime de juros simples, considerando a data zero como data focal, e o princípio do desconto racional, é (financeiramente) inconsistente.
4.1.2- Adotando-se o Desconto Comercial
Mantida a especificação da data zero como data focal para a equação que exprime a equivalência financeira entre o valor F do financiamento, e a sequência de n prestações constantes, que agora denotaremos por ˆP, uma outra possibilidade, ainda no regime de juros simples à taxa i , é a adoção do que se denomina de desconto comercial (ou bancário).
Nesta eventualidade, que costuma ser empregada pelos bancos comerciais, especialmente em empréstimos de curto prazo, tem-se a seguinte equação de equivalência financeira:
1 ˆ 1 . n j F P i j
(19)Observando que devemos ter satisfeita a condição de que se tenha n1i, que pode ser entendida como a razão de que o desconto comercial só seja empregado em empréstimos de curto prazo, temos a seguinte solução analítica para a equação dada pela relação (19); solução esta que faz uso da soma dos n primeiros números naturais, que é igual a n n
1 2
ˆ 2 2 1
P F n i n (20)
Com o intuito de evidenciar que também não temos um sistema (financeiramente) consistente, e para efeito de comparação com o exemplo visto no caso de adoção do desconto racional, a Tabela III apresenta a correspondente Evolução do Estado da Dívida; como também expresso em unidades de capital.
Tabela III
Evolução do Estado da Dívida no Caso de Desconto Comercial
k Sk ˆP Jk k 0 100.000,00 - - - 1 80.723,40 21.276,60 2.000,00 19.276,60 2 61.061,27 21.276,60 1.614,47 19.612,13 3 41.005,89 21.276,60 1.221,23 20.055.37 4 20.549,41 21.276,60 820,12 20.456,48 5 -316,20 21.276,60 410,99 20.865,61 Totais - 106.383,00 6.066,81 100.316,19
11 Novamente, foi feito uso do entendimento básico que estabelece que o que se deve no fim do k-ésimo período, imediatamente após o pagamento da prestação que aí se vence, é igual ao saldo devedor no início deste k-ésimo período, época k - 1, acrescido de juros à taxa i pactuada, subtraído do pagamento efetuado. Ou seja, na nova notação para a prestação constante, foi feito uso da relação:
1
1 ˆk k
S i S P (7’)
Agora, diferentemente do caso anterior, quando foi considerado o desconto racional, temos, como mostrado na Tabela III, que teria sido amortizado mais do que o valor financiado. Pois que o resultante saldo devedor final, logo após o pagamento da quinta e última prestação, é negativo.
De qualquer modo, fica também evidenciado o colapso do método retrospectivo; no sentido de que a dívida não seja exatamente liquidada com o pagamento da última prestação.
Quanto ao cálculo do saldo devedor, por exemplo, na época 3, de acordo com o método prospectivo, teríamos:
5 3 4 ˆ 1 3 21.276,60 1 0,02 1 0,02 2 41.276,60 u.c. j S P i j
Sendo que, segundo o método de recorrência, o saldo devedor nessa mesma época 3, seria:1
3 3 1 ˆ 1 3 1 3 = 100.000 1 3 0,02 21.276,60 1 0,02 2 1 0,02 1 1 40.893,60 u.c. j S F i P i j
Por conseguinte, fica constatado que também no caso de adoção de desconto comercial, não é satisfeito o critério de consistência (financeira). Isso, mesmo no caso, como o do exemplo, de um empréstimo de curto prazo. Sendo que, como i = 2% por período, os prazos devem ser (significativamente) inferiores a 50 períodos.
1 Note-se que, incongruentemente, enquanto valores atuais estão sendo calculados segundo os ditames do desconto comercial, valores futuros estão sendo determinados com base na relação clássica do regime de juros simples, Cn C0
1i n.
. Entretanto, mesmo que valores futuros fossem calculados com base no entendimento de que se trataria de uma operação inversa à de desconto comercial, ou seja
1 .
N V i n , também seria constatada a inconsistência apontada. Posto que, com tal entendimento, o método de recorrência conduziria a
1
1
3 100.000 1 3 0, 02 21.276, 60 1 2 0, 02 1 0, 02 1 41.232, 44 u.c.
12 4.3 - Época do Último Pagamento como Data Focal
Correntemente, visto que nossos tribunais repudiam o que se denomina de anatocismo, que, equivocadamente, como já anteriormente mencionado, costuma ser entendido como estando necessariamente presente no emprego da Tabela Price, tem sido proposto (cf. Antonik e Assunção, 2006 e Nogueira, 2013), que amortizações de dívidas por meio de prestações constantes, sejam efetuadas com base no regime de juros simples e adotando-se o final do prazo do financiamento como data focal; época n.
Tal implica em que a equação de equivalência financeira entre o valor F do financiamento, e a sequência de n prestações constantes, cujo valor agora denotaremos por P, considerada a taxa periódica i de juros simples, seja escrita como:
1 1 . 1 n j F i n P i n j
(21)Preliminarmente, notemos que o valor de P costuma, aqui em terras brasílicas, ser dito estar sendo determinado de acordo com o “método de Gauss”.
Isso, aparentemente, por que, como a relação (21) envolve a soma dos n primeiros números naturais, o que também acontece na relação (19), faz-se uma homenagem ao grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Que, criança prodígio, consta que (cf. Wikipedia, 2013), ainda como aluno na escola elementar em sua cidade natal, Braunschweig, Alemanha, foi capaz de apresentar, quase de imediato, a solução numérica para a soma dos 100 primeiros números naturais.
Frizando que não é conhecida nenhuma referência de que Gauss tenha tido qualquer interesse pelo problema em questão, faz-se mister chama atenção de que a consideração da época n como data focal, conduz ao que, na língua inglesa (cf. Butcher e Nesbitt, 1977, pg. 195 e Kellison, 1991, pg. 252), se denomina de Merchant’s Rule. 1
Resolvendo-se para P a equação data pela relação (21), obtém-se a seguinte solução analítica:2
2 1 . 2 1
P F n i n i n (22)
Adicionalmente, os proponentes deste “método de Gauss”, como nas referências mencionadas, especificam que o total contábil de juros, agora dado por
1
Sendo que, em língua portuguesa e aqui no Brasil, com base em Ayres Jr. (1963), o assunto, com essa mesma terminologia, já era tratado em de Faro (1969, pg. 93). Com o objetivo sendo o de prover uma aproximação para a taxa de juros compostos que estaria implícita. Por outro lado, como apontado e reproduzido por Nogueira (2013, pgs. 127-147), essa abordagem já havia sido apresentada em Wilkies (1794, pgs. 35-46).
2
Segundo Vieira Sobrinho (2012, pg. 61), o primeiro autor brasileiro a apresentar a dedução dessa fórmula foi S. Thiago (1937, pg. 439).
13 . J n P F ou
. 1 2 1 J i F n i n (23)dividido pela soma dos n primeiros naturais, defina o que denominam de “índice de ponderação”, cuja expressão é:
2 . 2 1
I i F n i n (24)
A partir desse “índice de ponderação”, estipula-se que a k-ésima parcela de juros, que denotaremos por Jk
, seja dada por
1
, 1, 2,..., kJ n k I k n
(25)
Do que decorre que as parcelas de juros contábeis, segundo esse “método de Gauss”, decresçam segundo uma progressão aritmética de razão igual ao simétrico do “índice de ponderação”.
Ainda, mais estipula-se que a k-ésima parcela de amortização seja dada, residualmente, como
k k
A PJ (26)
com o saldo devedor logo após o pagamento da k-ésima prestação Pk
, sendo 1 k k j j S F
(27) para k1,2,...,nCom tais especificações, segue-se que, para o caso do exemplo considerado, onde
F=100.000 u.c., n = 5 períodos e i = 2% por período, a Evolução do Estado da Dívida seria
como apresentado na Tabela IV.
Tabela IV
Evolução do Estado da Dívida Segundo o “Método de Gauss”
k Sk P Jk k 0 100.000,00 - - - 1 80.769,23 21.153,85 1.923,08 19.230,77 2 61.153,85 21.153,85 1.538,46 19.615,38 3 41.153,85 21.153,85 1.153,85 20.000,00 4 20.769,23 21.153,85 769,23 20.384,62 5 0,00 21.153,85 384,62 20.769,23 Totais - 105.769,25 5.769,24 100.000,00
14 Um primeiro aspecto a destacar é que, aparentemente, a dívida foi efetivamente liquidada com o pagamento da última prestação. Tal, porém, é enganoso; pois que foi conseguido com o artificialismo embutido no conceito de “índice ponderado”.
Efetivamente, se forem devidamente levadas em conta as relações básicas, tais como dadas pela relação (6) e pela relação (7), com a substituição de P por P, comprova-se, como mostrado na Tabela V, a efetiva não conformidade com o método retrospectivo.
De qualquer maneira, configura-se a não congruência com os métodos prospectivo e de recorrência. Visto que, considerando-se o saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação, se tem:
a) segundo o método prospectivo
5 3 4 1 1 1 21.153,85 41.079,30 u.c. 1 3 1 0,02 1 2 0,02 j S P i j
b) segundo o método de recorrência
3
3 1 1 3 1 3 100.000 1 3 0,02 21.153,85 1,04 1,02 1 =106.000 - 64.730,77 41.269, 23 u.c. j S F i P j i
Tabela VEvolução do Estado da Dívida Levando em Conta as Relações Básicas
k Sk * P Jk k 0 100.000,00 - - - 1 80.846,15 21.153,85 2.000,00 19.153,85 2 61.309,23 21.153,85 1.616,92 19.536,92 3 41.381,57 21.153,85 1.226,18 19.927,66 4 21.055,35 21.153,85 827,63 20.326,21 5 322,62 21.153,85 421,11 20.732,74 Totais - 105.769,25 6.091,84 99.677,38
Destaque-se ainda que, como evidenciado na Tabela V, o débito não seria liquidado mesmo após o pagamento da quinta e última prestação.
15 5 - Comparação entre os Valores das Prestações
Antes de passarmos às conclusões, é conveniente que se proceda a uma comparação entre os respectivos valores das prestações constantes.
Em termos analíticos, como justificado no Apêndice, temos que, dados F, n e i, teremos:
a) para o caso de um único período
ˆ
P P P P
b) para o caso de mais de um período
ˆ
P P P P
Ou seja, contrariamente ao apregoado pelos detratores da Tabela Price, que advogam seja esta substituída por sistemas com base no regime de juros simples, pois que este conduziria a menores valores para as prestações, isto nem sempre é verdade. Temos exatamente o contrário, se for adotado o princípio de desconto comercial (ou bancário).
Resta ainda, entretanto, prover uma ideia quanto aos tamanhos, em termos numéricos, das diferenças entre os valores das prestações constantes, associados a cada um dos quatro distintos sistemas de amortização, aqui considerados.
Embora limitados a taxa de juros não superiores a 3% ao mês (o que corresponde a uma taxa efetiva, de juros compostos, de 42,58% ao ano), os resultados numéricos apresentados no Apêndice, dão margem a que se façam as seguintes inferências.
Na Tabela A.1, que se refere à menor das taxas de juros que foram consideradas, 0,5% por período, vemos que, para prazos que podem ser admitidos como curtos, não mais do que 24 períodos, as diferenças numéricas não são de maiores montas. Em particular, a prestação constante associada ao chamado “método de Gauss”, é somente 0,43% inferior à relativa à Tabela Price; isto para o caso limite superior, de 24 períodos.
No entanto, as diferenças crescem rapidamente, à medida que se aumenta a taxa de juros. Assim, se i = 3% por período e n = 24 períodos, vemos, da Tabela A.6, que a diferença acima mencionada passa a ser o nada desprezível valor de 9,76%.
Ainda mais, mesmo para taxas pequenas, as diferenças aumentam significativamente à medida que se dilata o prazo (como medido em número de períodos). Por exemplo, se i = 0,5% por período e n = 240 períodos, a diferença entre
e
16 Deve-se ainda observar que, como apontado diretamente nas Tabelas em questão, existem situações onde tanto P como P, sequer cobrem os juros, por um período, devidos ao capital emprestado (que é dado pelo produto .F i). O que tem como implicação o fato de que, mantido o valor da prestação, a dívida não seja amortizada por mais que se prorrogue o prazo.
6- Conclusão
Nossos tribunais têm sido pródigos em promulgar sentenças condenando o emprego do regime de juros compostos na amortização de dívidas. Isso por que, equivocadamente, nossos juízes acreditam que qualquer sistema de amortização que se fundamente no regime de juros compostos, implica na ocorrência do que se denomina de anatocismo.
Em particular, abomina-se a chamada Tabela Price; determinando-se que o cálculo das prestações seja efetuado com base no regime de juros simples, mediante o emprego de uma variante nominada como “método de Gauss”.
Fixando atenção no caso de prestações constantes, mostrou-se que qualquer das três variantes, fundamentadas no regime de juros simples, que foram aqui analisadas, não satisfazem condições básicas de consistência (financeira). Condições essas que são plenamente atendidas no caso da Tabela Price.
Ademais, com a exceção do caso do desconto comercial, as duas outras sistemáticas que se fundamentam no regime de juros simples, implicam em prestações constantes inferiores àquelas que, para os mesmos valores de taxa de juro e de prazo, se associam à Tabela Price. Como consequência, além de serem intrinsicamente inconsistentes, acarretando cálculos equivocados nas apurações de juros contábeis e de saldos devedores, implicam em que devedores se locupletem em detrimento de credores, quando sentenças judiciais determinam que a Tabela Price seja substituída por um deles, sem que se alterem prazos e taxas de juros.
Por outro lado, tais tipos de sentenças judiciais tendem a provocar um efeito perverso. Buscando precaverem-se das perdas que estariam sendo impostas, as instituições financeiras lançariam mão do expediente de, preventivamente, aumentar as taxas de juros especificadas nos contratos de financiamento.
Referências:
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- de Faro, C., Fundamentos da Matemática Financeira, Saraiva, 2006.
- de Faro, C., “Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Anatocismo”,
17 - de Faro, C. e Guerra, S., “Anatocismo: o Direito (a Justiça) e a Matemática Financeira”,
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- Durigan, P.-Advocacia, “SFH, Sistema Price, Anatocismo e Método de Gauss”, página na Internet, 2013.
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- Kellison, S.G., The Theory of Interest, Irwin, 2nd Ed., 1991.
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- Nogueira, J. J.M., Tabela Price: Mitos e Paradigmas, 3ª Ed., Millenium, 2013. - Price, R., Observations on Reversionary Payments, 2nd Ed., Cadell, 1772.
- S. Thiago, R. B. de, Mathematica Commercial e Financeira, Esc. Prof. Salesianas, 1937. - Wikipedia, página na Internet, 2013.
- Wilkie, D., Theory of Interest: Simple and Compound, P. Hill, 1794.
APÊNDICE
Comparação entre as Prestações.
Uma questão que se apresenta é saber como, dados F, n e i, se comparam as prestações constantes respectivamente associadas à cada uma das quatro sistemáticas que foram consideradas.
Para responder a indagação, iremos considerar dois enfoques. O primeiro, de cunho analítico, tem como consequência podermos ordenar, de uma maneira geral, os correspondentes valores das prestações constantes.
O segundo, de caráter numérico, tem o objetivo de buscar evidenciar, para algumas taxas de juros e um conjunto relevante de prazos, se são muito significativas, em termos práticos, as diferenças entre os respectivos valores das prestações constantes.
A.1- Resultados Analíticos
Dado que, no caso de um único período, não há distinção entre os regimes de juros simples e de juros compostos, iremos considerar, separadamente, os casos onde n =
1 e n > 1; com o prazo n medido em número de períodos da taxa i considerada.
a) Caso de um único período
Como, no caso de um único período, além de não haver distinção entre adotar-se o regime de juros simples ou o regime de juros compostos, não se fazendo presente, portanto, a questão da cindibilidade do prazo, tem-se que:
* 1
18 Por outro lado, como
ˆ 1 , para 1 0 PF i i (A.2) e
2
1 1 i 1 i i 1 i 0 (A.3)segue-se que a prestação obtida com base no desconto comercial será sempre dominante (no sentido de ser a maior).
b) Caso de mais de um período
Para o caso de maior interesse prático, onde n > 1 pode vir a ser um número bastante grande, como sói acontecer em financiamentos imobiliários, podemos estabelecer os seguintes resultados, de caráter geral.
Proposição I
*
ˆP P , para n = 1, 2, 3, .... Demonstração
Lembrando que, para a determinação de ˆP, deve ser obedecida a restrição 1– . 0n i , partindo-se das relações (20) e (21), tem-se:
* 2 2 1 . ˆ 2 1 2 1 F n i F P P n i n n i n
~2 2 1 = 0 2 1 2 1 F n i i n i n (A.4) Proposição II , para 1 PP n DemonstraçãoTendo em vista as relações (8) e (16), tem-se que
1 1 1 1 1 . n n j j j F P i P j i
ou19
1 1 1 1 . 1 n j n j j j i P P i
Por conseguinte, ter-se-á PP se (A.5)
1
1 1 1 . 1 n n j j j j i i
(A.6)Para comprovar a validade da desigualdade dada por (A.6), basta verificar que, considerando-se as respectivas j-ésimas parcelas e fazendo uso do binômio de Newton, se tem:
1 1 1 j i. 1 i j (A.7) pois que
2 0 1 1 . 1 2 ... 1 . j j k j k j i i j i j j i i j i k
(A.8) Proposição III * , se 1 PP n DemonstraçãoPartindo-se das relações (16) e (20), tem-se que
1 *
1 1 1 1 . 1 . n n j j i n j F P i j P i n
(A.9) ou
1 * 1 1 1 1 . 1 . n j n j i n j i n P P i j
(A.10)Por conseguinte, teremos PPse for verificada a desigualdade
1 1 1 1 1 . 1 . n n j j i n j i j i n
(A.11)20 Ora, comparando-se as respectivas j-ésimas parcelas da desigualdade expressa por (A.11), tem-se:
2 1 1 0 , 1 1 . 1 . 1 . 1 . i n j j n j i j n i n i j i j i n (A.12)o que comprova a proposição.
Proposição IV
Decorre diretamente das Proposições II e III que PP, se n1.
Proposição V
ˆ , para 1, 2,3,....
PP n
Demonstração
Para mostrar que as prestações constantes, obtidas com base no regime de juros simples à taxa periódica i, quando se faz uso de conceito do desconto comercial, superam as respectivamente obtidas com base no regime de juros compostos, à mesma taxa i, qualquer que seja o número n de prestações, observe-se que, a partir das relações (8) e (19), se tem:
1 1 ˆ 1 1 . , com 1 . 0 n n j j j F P i P i j i n
(A.13) ou
1 1 1 ˆ 1 . n j j n j i P P i j
(A.14) Logo, ˆPP se
1 1 1 1 . n n j j j i i j
(A.15)Comparando-se as correspondentes j-ésimas parcelas da desigualdade expressa por (A.15), tem-se:
21
0 1 1 1 . 1 1 . 1 1 1 1 . = 1 j k j k j j k k j j i j i k i i j i j i j i k i
(A.16)Com o numerador N da relação dada por (A.16) sendo:
1 1 1 1 1 . . . 1 . j k k j k k k j N j i j i i k j j j i j i i k k
(A.17) Ora: 1 1 1 1 1 1 . . 1 j j k k k j k k j j j j j i i j i j i j i k k k k
(A.18) Como
1 ! . ! ! 0 1 ! ! 1 ! 1 ! 1 ! ! j j j j j k j j k k k j k k j k k j k (A.19) decorre que N > 0 .Por conseguinte, (A.15) é verificada; o que assegura a validade da Proposição V. Sumariando, temos a seguinte ordenação para os valores das prestações constantes ˆ, ,P P PeP ˆ , se 1 ˆ , se 1 P P P P n P P P P n
A.2 - Resultados Numéricos1
Para que se tenha uma ideia das diferenças em termos dos respectivos valores numéricos, foram organizadas as Tabelas A.1, A.2, A.3, A.4 e A.5, que se referem, respectivamente, às taxas de juros de 05,%, 1%, 1,5%, 2%, 2,5% e 3% por período, para
22 um conjunto representativo de distintos prazos (como expressos em número de períodos), com F = 10.000 unidades de capital.1
Tabela A.1 (i = 0,5%) n P P ˆP P 1 10.050,00 10.050,00 10.050,25 10.050,00 2 5.037,53 5.037,47 5.037,78 5.037,41 3 3.366,72 3.666,61 3.367,00 3.366,50 4 2.531,33 2.531,17 2.531,65 2.531,02 5 2.030,10 2.029,90 2.030,46 2.029,70 6 1.695,95 1.695,71 1.696,35 1.695,47 7 1.457,29 1.457,00 1.457,73 1.456,72 8 1.278,29 1.277,96 1.278,77 1.277,64 9 1.139,07 1.138,71 1.139,60 1.138,34 10 1.027,71 1.027,30 1.028,28 1.026,89 11 936,59 936,14 937,21 935,70 12 860,66 860,18 861,33 859,69 24 443,21 442,24 444,24 441,29 36 304,22 302,79 306,09 301,40 48 234,85 232,96 237,42 231,17 60 193,33 190,99 196,66 188,82 120 111,02 106,59 119,47 102,76 180 84,39 78,04 101,47 75,92 240 71,64 63,52 n.a1 57,38 300 64,43 54,66 n.a 47,692 360 59,96 48,642 n.a 40,992 1 n < 1/0,005 = 200 períodos 2 F.i = 10.000 x 0,005 = 50 u.c 1
Deve ser levado em conta que, para a determinação de ˆP, é necessário que seja satisfeita a condição
1 /
23 Tabela A.2 (i = 1 %) n P P ˆP P 1 10.100,00 10.100,00 10.101,01 10.100,00 2 5.75,12 5.074,88 5.076,14 5.074,63 3 3.400,22 3.399,78 3.401,36 3.399,34 4 2.562,81 2.562,20 2.564,10 2.561,58 5 2.060,40 2.059,61 2.061,86 2.058,82 6 1.725,48 1.724,53 1.727,12 1.723,58 7 1.486,28 1.485,16 1.488,10 1.484,05 8 1.306,90 1.305,62 1.308,90 1.304,35 9 1.167,40 1.165,96 1.169,59 1.164,53 10 1.055,82 1.054,22 1.058,20 1.052,63 11 964,54 962,78 967,12 961,04 12 888,49 886,57 891,27 884,68 24 470,73 466,97 476,19 463,38 36 332,14 326,62 340,83 321,51 48 263,34 256,13 275,94 249,66 60 222,44 213,61 239,81 205,92 120 143,47 27,27 n.a1 114,94 180 120,02 97,432 n.a 82,092 240 110,11 81,952 n.a 64,542 300 105,32 72,332 n.a 53,442 360 102,86 65,702 n.a 45,722 1 n < 1/0,01 = 100 períodos 2 F.i = 10.000 x 0,01 = 100 u.c
24 Tabela A.3 (i = 1,5 %) n P P ˆP P 1 10.150,00 10.150,00 10.152,28 10.150,00 2 5.112,78 5.112,22 5.115,09 5.111,66 3 3.433,83 3.432,85 3.436,43 3.431,86 4 2.594,45 2.593,07 2.597,40 2.591,69 5 2.090,89 2.089,14 2.094,24 2.087,38 6 1.755,25 1.753,13 1.759,01 1.751,00 7 1.515,56 1.513,07 1.519,76 1.510,59 8 1.335,84 1.332,99 1.340,48 1.330,17 9 1.196,10 1.192,89 1.201,20 1.189,73 10 1.084,34 1.080,78 1.089,92 1.077,28 11 992,94 989,03 999,00 985,20 12 916,80 912,54 923,36 908,39 24 499,24 490,99 512,82 483,30 36 361,52 349,52 384,47 338,83 48 293,75 278,19 329,38 264,94 60 253,93 234,99 307,22 219,53 120 180,19 146,372 n.a1 123,292 180 161,04 115,132 n.a 87,752 240 154,33 98,672 n.a 68,642 300 151,74 88,312 n.a 56,542 360 150,71 81,082 n.a 48,152 1 n < 1/0,015 = 66,67 períodos 2 F.i = 10.000 x 0,015 = 150 u.c
25 Tabela A.4 (i = 2 %) n P P ˆP P 1 10.200,00 10.200,00 10.204,08 10.200,00 2 5.150,50 5.149,51 5.154,64 5.148,51 3 3.467,55 3.465,81 3.472,22 3.464,05 4 2.626,24 2.623,81 2.631,58 2.621,36 5 2.121,58 2.118,49 2.127,66 2.115,38 6 1.785,26 1.781,51 1.792,11 1.777,78 7 1.545,12 1.540,74 1.552,80 1.536,39 8 1.365,10 1.360,09 1.373,63 1.355,14 9 1.225,15 1.219,52 1.234,57 1.213,99 10 1.113,27 1.107,02 1.123,60 1.100,92 11 1.021,78 1.014,93 1.033,06 1.008,26 12 945,60 938,14 957,85 930,93 24 528,71 514,38 555,56 501,36 36 392,33 371,64 440,92 353,91 48 326,02 299,37 408,50 277,78 60 287,68 255,42 n.a1 230,61 120 220,48 164,37 n.a 129,382 180 205,83 131,732 n.a 91,602 240 201,74 114,312 n.a 71,292 300 200,53 103,232 n.a 58,482 360 200,16 95,452 n.a 49,622 1 n < 1/0,002 = 50 períodos 2 F.i = 10.000 x 0,02 = 200 u.c
26 Tabela A.5 (i = 2,5 %) n P P ˆP P 1 10.250,00 10.250,00 10.256,41 10.250,00 2 5.188,27 5.186,75 5.194,81 5.185,19 3 3.501,37 3.498,68 3.508,77 3.495,93 4 2.658,18 2.654,41 2.666,67 2.650,60 5 2.152,47 2.147,67 2.162,16 2.142,86 6 1.815,50 1.809,70 1.826,48 1.803,92 7 1.574,95 1.568,18 1.587,30 1.561,46 8 1.394,67 1.386,93 1.408,45 1.379,31 9 1.254,57 1.245,87 1.269,84 1.237,37 10 1.142,59 1.132,95 1.159,42 1.123,60 11 1.051,06 1.040,50 1.069,52 1.030,30 12 974,87 963,39 995,02 952,38 24 559,13 537,23 606,06 517,80 36 424,52 393,10 516,80 367,15 48 360,06 319,82 n.a1 288,71 60 323,53 275,08 n.a 39,812 120 263,62 181,562 n.a 34,002 180 252,97 147,532 n.a 94,382 240 250,67 129,182 n.a 73,152 300 250,03 117,422 n.a 59,812 360 200,16 109,102 n.a 50,622 1 n < 1/0,025 = 40 períodos 2 F.i = 10.000 x 0,025 = 250 u.c
27 Tabela A.6 (i = 3 %) n P P ˆP P 1 10.300,00 10.300,00 10.309,28 10.300,00 2 5.226,11 5.223,92 5.235,60 5.221,67 3 3.535,30 3.531,45 3.546,10 3.527,51 4 2.690,27 2.684,88 2.702,70 2.679,43 5 2.183,55 2.176,69 2.197,80 2.169,81 6 1.845,98 1.837,70 1.862,20 1.829,46 7 1.605,06 1.595,40 1.623,38 1.585,85 8 1.424,56 1.413,53 1.445,09 1.402,71 9 1.284,34 1.271,96 1.307,19 1.259,92 10 1.172,31 1.158,60 1.197,60 1.145,37 11 1.080,77 1.065,76 1.108,65 1.051,38 12 1.004,62 988,31 1.035,20 972,82 24 590,47 559,60 666,67 532,84 36 458,04 414,00 n.a1 378,87 48 395,78 339,67 n.a 298,142 60 361,33 294,112 n.a 247,572 120 308,90 198,102 n.a 137,642 180 301,47 162,712 n.a 96,492 240 300,25 143,472 n.a 74,522 300 300,04 131,052 n.a 60,772 360 300,01 122,232 n.a 51,342 1 n < 1/0,03 = 33,33 períodos 2 F.i = 10.000 x 0,03 = 300 u.c
Como ilustrado nos resultados numéricos, em qualquer um dos quatro sistemas de amortização aqui considerados, observada a restrição de que se tenha n1 /i para o cálculo de ˆP, as prestações decrescem à medida que se dilata o prazo n do financiamento.
Deve-se, no entanto, observar que
. lim lim . 1 1 n n n i F P i F i O que significa, financeiramente, que, para qualquer prazo finito n, as prestações constantes determinadas segundo a Tabela Price, sempre contêm uma parcela de
28 amortização. Pois que superam os juros, por um período, dados por .i F , devidos ao valor financiado F .
Por outro lado, tanto no caso da determinação de ˆP como no de P, o crescimento do prazo n de financiamento, pode acarretar, como também ilustrado em alguns dos resultados numéricos apresentados, que seus respectivos valores sejam inferiores ao produto .i F . O que faz com que, não sendo suficientes para sequer cobrirem os juros relativos ao primeiro período, acarretem amortizações sempre negativas. Como consequência, o estado da dívida torna-se crescente. Com isso, a dívida nunca será resgatada por mais que se prorrogue, mantidos os respectivos valores das prestações, o prazo do financiamento.
