Configurações centrais planares no problema de 5 corpos

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Configurações centrais planares no

problema de 5 corpos

Luis Fernando Mello

Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI

E-mail: lfmelo@unifei.edu.br

IX Encontro Mineiro de Equações Diferenciais UFSJ, 18 de Setembro de 2015

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Plano da Apresentação:

1 Problema de n corpos; 2 _{Soluções Homográficas;} 3 _{Configurações Centrais;}

4 _{Equações de Dziobek–Laura–Andoyer;} 5 _{Exemplos de Configurações Centrais.} 6 _{Teorema Principal.}

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1. Problema de n Corpos

Oproblema Newtoniano de n corposconsiste no estudo do movimento de n corpos de massas

m1, . . . ,mn,

localizados pelos vetores posições

r1, . . . ,rn ∈ Rd, d =2,3,

interagindo entre eles através das forças de atrações

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Equações de movimento

Asequações de movimentosão dadas por

mi¨ri = − n X j=1,j6=i Gmimj |ri−rj|2 ri−rj |ri−rj| ⇔ ¨ri = − n X j=1,j6=i mj r_ij3 (ri−rj), (1) para i =1,2, . . . ,n.

Aqui tomamos a constante gravitacional G=1;

rj é o vetor posição do corpo de massa mjem um referencial

inercial;

rij = |ri−rj|é a distância Euclidiana entre os corpos de massas mi e mj.

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Centro de massa

O centro de massa do sistema, dado por 1 M n X j=1 mjrj,

onde M =m1+ . . . +mné a massa total, será considerado a

origem do referencial inercial.

Tal referencial inercial é chamadoreferencial inercial baricêntrico.

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Comentário

Uma vez que soluções gerais do problema de n corpos não podem ser obtidas explicitamente, grande importância tem sido dada à procura de soluções particulares onde os n corpos satisfazem certas condições adicionais.

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Configurações

Uma configuração para os n corpos é um vetor r = (r1, . . . ,rn) ∈ Rnd − ∆,

onde

∆ = {ri =rj,i 6=j}

é o conjunto das colisões.

Duas configurações r = (r1, . . . ,rn)e r′ = (r₁′, . . . ,rn′)são

similaresse for possível passar de uma à outra fazendo apenas dilatações ou rotações de_Rd.

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2. Soluções Homográficas

Umasolução homográficado problema de n corpos é uma solução tal que a configuração dos n corpos em um instante t (com respeito ao referencial inercial baricêntrico) permanece similar a ela própria quando t varia.

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Euler

As primeiras três soluções homográficas foram encontradas por Euler em 1767 para o problema de 3 corpos.

Para essas três soluções as configurações dos 3 corpos são colineares.

L. Euler, De moto rectilineo trium corporum se mutuo

attahentium, Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop., 11 (1767), 144-151.

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Lagrange

Em 1772 Lagrange encontrou duas soluções homográficas adicionais no problema de 3 corpos.

Neste caso as configurações formadas pelos três corpos estão nos vértices de umtriângulo equilátero.

J. L. Lagrange, Essai sur le problème de trois corps, Oeuvres, vol 6, Gauthier–Villars, Paris, 1873.

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. .m c 1 m 2 m 3 m 3 : 2 : 1 : : ₂ ₃ 1 m m = m

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3. Configurações centrais

Em um dado instante t =t0a configuração dos n corpos é

centralse a aceleração gravitacional¨ri agindo sobre o corpo

de massa mi é proporcional à sua posição ri (com relação ao

referencial inercial baricêntrico), isto é, ¨

ri = λri, λ <0, (2)

para todo i =1, . . . ,n.

Pode ser provado que, neste caso,

λ = −U 2I, U = X 1≤i<j≤n mimj r_ij , I = n X i=1 mi|ri|2,

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Equações das configurações centrais

Assim, de (1) e de (2), temos λri = − n X j=1,j6=i mj r3 ij (ri−rj), (3) para i =1,2, . . . ,n.

A equação (3) é conhecida como equação das configurações centrais.

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Teorema de Laplace

Teorema. A configuração dos n corpos em uma solução homográfica é central em qualquer instante de tempo.

A. Wintner, The Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton University Press, 1941.

http://www.d.umn.edu/mhampton/threebodies123.gif http://www.d.umn.edu/mhampton/fourbodycollinear1234.gif

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Classes de configurações centrais

Dada uma configuração central, uma dilatação ou uma rotação (centrada no centro de massa) da mesma fornece uma outra configuração central.

Dizemos que duas configurações centrais estãorelacionadas se podemos passar de uma a outra através de uma dilatação e/ou uma rotação.

Assim, podemos estudar classes de configurações centrais definidas pela relação de equivalência acima.

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Importância das configurações centrais

Permitem construir soluções homográficas.

C. Vidal e G. Renildo, Homographic solutions in the n–body problem, Cubo, 6 (2004), 185–207.

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Importância das configurações centrais

Se os n corpos tendem a uma colisão simultânea então os corpos tendem a uma configuração central.

D. Saari, On the role and properties of central configurations, Cel. Mech., 21 (1980), 9–20.

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Importância das configurações centrais

Existe uma relação entre as configurações centrais e as bifurcações das hipersuperfícies de energia e momento angular constantes.

S. Smale, Topology and mechanics II: The planar n–body problem, Invent. Math., 11 (1970), 45–64.

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Configurações centrais planares

Nesta apresentação estaremos interessados apenas em configurações centrais planares não colineares.

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Conjectura de Wintner/Smale

Questão. No Problema de n Corpos, o número de classes de configurações centrais planares, para qualquer escolha de massas positivas m1, . . . ,mn, é finito?

S. Smale, Mathematical problems for the next century, Math. Intelligencer, 20 (1998), 7–15.

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Problema planar de 4 corpos

Hampton e Moeckel provaram o seguinte teorema.

Teorema. Se as massas são positivas, então existe apenas um número finito de classes de equivalência de configurações centrais planares para o problema de 4 corpos.

Os autores mostraram que este número está entre 32 e 8472. M. Hampton and R. Moeckel, Finiteness of relative equilibria of the four–body problem, Invent. Math., 163 (2006), 289-312.

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Problema planar de 5 corpos

Recentemente Albouy e Kaloshin provaram o seguinte teorema.

Teorema. O número de classes de equivalência de

configurações centrais é finito no problema planar de 5 corpos, exceto, possivelmente para um subconjunto de medida nula para as massas dos corpos.

A. ALBOUY AND V. KALOSHIN, Finiteness of central

configurations of five bodies in the plane, Ann. of Math., 176 (2012), 535–588.

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4. Equações de Dziobek–Laura–Andoyer

Para muitos propósitos, o mais conveniente conjunto de equações para as configurações centrais planares pode ser escrito como fij = n X k=1,k6=i,j mk(Rik −Rjk) ∆ijk =0, (4) para 1≤i<j ≤n, onde R_ij = 1 r_ij3, ∆ijk = (ri−rj) ∧ (ri−rk).

Y. Hagihara, Celestial Mechanics, vol 1, MIT Press, Massachusetts, 1970.

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Observações

Observe que em (4),∆ijk é o dobro da área orientada do

triângulo com vértices em ri, rj e rk, nesta ordem.

Assim,

∆ijk = ∆kij, ∆ijk = −∆ikj,

para todo i,j,k . É claro que

Rij =Rji,

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Teorema

Pode–se mostrar o seguinte teorema:

Teorema. Considere n corpos com massas m1,m2, . . . ,mn

num mesmo plano e não colineares, localizadas,

respectivamente, em r1,r2, . . . ,rn. Então, o sistema (3) é

equivalente ao sistema (4).

L.F. Mello, F.E. Chaves e A.C. Fernandes, Configurações centrais planares do tipo pipa, Revista Brasileira de Ensino de Física, 31 (2009), 1302–1307.

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5. Exemplos de configurações centrais: Lagrange

Considere 3 corpos não colineares de massas positivas. Das equações (4) temos

f12 =m3(R13−R23) ∆123 =0,

f13 =m2(R12−R23) ∆132 =0,

f23 =m1(R12−R13) ∆123 =0.

Como mi >0 e∆ijk 6=0 segue que R12 =R13=R23.

Em outras palavras, os corpos estão sobre os vértices de um triângulo equilátero.

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Teorema de Lagrange

Teorema. Considere 3 corpos não colineares de massas positivas. Estes três corpos formam uma configuração central se, e somente se, estão nos vértices de um triângulo

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Exemplo de Roberts

Considere 5 corpos de massas

m₁=m₃=1, m₂=m₄=m, m5=p,

nas posições

(1,0), (−1,0), (0,k), (0, −k), (0,0), respectivamente, de acordo com a figura a seguir.

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Exemplo de Roberts

O conjunto de equações (4) reduz a f12=0, a qual pode ser

escrita como (R13−R23)∆123+m(R14−R24)∆124+p(R15−R25)∆125=0, ou equivalentemente como m 2 c3 − 1 4k3 +p 1− 1 k3 + 1 4 − 2 c3 =0.

Para m=1 e p= −1/4 a equação acima é satisfeita para todo k ∈ R+

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Exemplo de Roberts

Teorema. No problema planar de 5 corpos para as massas (1,1,1,1, −1/4), existe uma família a um parâmetro de configurações centrais planares onde os quatro corpos com massas iguais estão posicionados nos vértices de um quadrilátero (losango) e o quinto corpo está no centro deste quadrilátero.

G. E. Roberts, A continuum of relative equilibria in the five–body problem, Physica D, 127 (1999), 141–145.

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Teorema da Reta Mediatriz

O Teorema da Reta Mediatriz, ou Teorema da Reta Perpendicular Bissetora, é um clássico da literatura. Teorema da reta perpendicular bissetora. Seja

r = (r1, . . . ,rn)uma configuração central planar e tome ri e rj, i 6=j, quaisquer duas de suas posições. Então, se um dos dois cones abertos determinados pela retaLatravés de ri e rj e a

sua reta perpendicular bissetoraBcontém pontos da

configuração, então o outro cone também deverá conter pontos da configuração (veja Figura a seguir).

R. Moeckel, On central configurations, Math. Z. 205 (1990), 499–517.

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Teorema da reta perpendicular bissetora

L B

r_j ri

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6. Teorema principal

Considere 5 corpos no plano dispostos de acordo com a seguinte figura. r1 r2 r3 r4 r5 1 1 1

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Configurações convexas

Temos o seguinte teorema.

Teorema 1

Existem posições r₁, r₂, r₃, r₄e r5e massas positivas m1, m2,

m3, m4e m5, de acordo com a Figura 5, as quais formam uma

configuração central convexa, mas não estritamente convexa no plano.

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Outras referências

K.-C. CHEN, J.-S. HSIAO, Convex central configurations of the n–body problem which are not strictly convex, J. Dyn. Diff. Equat., 24 (2012), 119–128.

M. GIDEA, J. LLIBRE, Symmetric planar central configurations of five bodies: Euler plus two, Celest. Mech. Dyn. Astr., 106 (2010), 89–107.

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FIM. OBRIGADO!