Cálculo diferencial e integral via extensão de Zadeh e equações diferenciais fuzzy

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C´

alculo diferencial e integral via extens˜

ao de Zadeh e equa¸

c˜

oes

diferenciais fuzzy

Luciana T. Gomes, La´ecio C. Barros,

Depto de Matem´atica Aplicada, IMECC, UNICAMP, 13083-859, Campinas, SP

E-mail: ra024408@ime.unicamp.br, laeciocb@ime.unicamp.br.

Resumo: Definimos os conceitos de derivada e de integral de fun¸cões fuzzy utilizando o princ´ıpio de extensão de Zadeh sobre os operadores clássicos correspondentes. Apresentamos algumas de suas propriedades e enunciamos uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para fun¸cões fuzzy e asseguramos a existência de solu¸cão de um problema de valor inicial fuzzy sob determi-nadas condi¸cões. Um método de resolu¸cão de problema de valor inicial fuzzy é apresentado e uma aplica¸cão de um modelo de decaimento é resolvido e interpretado sob um contexto fuzzy. Palavras-chave: Cálculo Fuzzy, Equa¸cões Diferenciais Fuzzy, Extensão de Zadeh.

1 Introdu¸

c˜

ao

Desde que come¸cou a ser consagrada por sua aplicabilidade, a teoria de conjuntos fuzzy sempre teve grande papel em áreas como teoria de informa¸cão, inteligência artificial, controle, proces-samento de imagem, ao representar em linguagem matemática a incerteza proveniente de falta de conhecimento de condi¸cões de contorno, de simplifica¸cões, falta de precisão na defini¸cão de conceitos lingu´ısticos, etc. Observa-se também que sua influência em modelagem de fenômenos f´ısicos, biológicos, qu´ımicos tem sido crescente, refletindo no interesse sobre o cálculo fuzzy e as equa¸cões diferenciais fuzzy (EDF).

Diversas propostas de integra¸cão e deriva¸cão para a teoria de cálculo diferencial e integral de fun¸cões fuzzy podem ser encontradas na literatura. Puri e Ralescu [16] se basearam na integral de Aumann e na derivada de Hukuhara, criadas para o cálculo de multifun¸cões, para desenvolver uma teoria para o cálculo diferencial e integral de fun¸cões com valores em conjuntos fuzzy. Posteriormente, Kaleva [12] aprofundou esse estudo e desenvolveu uma teoria para EDF. Vários outros trabalhos seguem essa linha de abordagem de cálculo fuzzy, em que a derivada e a interal são definidas explicitamente para fun¸cões fuzzy, de modo a obter igualdades a serem resolvidas no processo de resolu¸cão de EDFs [12], [18], [7], [3], [8], [13].

Em se tratando de EDFs, há outra abordagem que não se baseia em uma defini¸cão de fato de derivadas de fun¸cões fuzzy. É utilizada a teoria clássica de inclusões diferenciais para se obter um método de resolu¸cão das EDFs, de modo a não utilizar uma identidade expl´ıcita entre a derivada da variável de estado e o campo de dire¸cões considerado fuzzy, mas sim inclusões. Neste caso, cada α-n´ıvel da solu¸cão de uma EDF é constru´ıdo a partir de uma fam´ılia de trajetórias clássicas (solu¸cões das inclusões). Essa abordagem pode ser encontrada em trabalhos como [2], [9], [10], entre outros.

Neste trabalho introduzimos um novo conceito de derivada e integral fuzzy, baseado no princ´ıpio de extensão de Zadeh aplicado sobre os operadores derivada e integral clássicos. Para tanto, lidamos com fun¸cões fuzzy cujos espa¸cos base são formados por fun¸cões clássicas. Desse modo, na resolu¸cão de EDFs obtemos identidades expl´ıcitas. As solu¸cões, por sua vez, assim como as obtidas por meio da teoria de inclusões, são constru´ıdas a partir de conjuntos ating´ıveis de uma fam´ılia de trajetórias clássicas.

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2 C´

alculo fuzzy e equa¸

c˜

oes diferenciais fuzzy

2.1 Nota¸c˜ao e alguns conceitos

Seja E um espa¸co topológico. Um subconjunto fuzzy de E é definido através de uma fun¸cão ϕE : E → [0, 1], denominada fun¸cão de pertinência, que associa cada elemento de E a um

valor no intervalo [0, 1]. Essa fun¸cão generaliza o conceito de fun¸cão caracter´ıstica de conjuntos clássicos, permitindo pertinências parciais. Denotamos por F (E) o espa¸co dos subconjuntos fuzzy de E e por FK(E) a fam´ılia de conjuntos fuzzy u de E cujos α-n´ıveis

[u]α=

{x ∈ E : u(x) ≥ α}, se α > 0 cl{x ∈ E : u(x) > 0}, se α = 0 s˜ao subconjuntos compactos n˜ao vazios de E.

Denotando por E([0, T ]; Rn) = {x : [0, T ] → Rn} o espa¸co de fun¸cões em que cada elemento x(·) tem algumas propriedades (p. ex., é cont´ınua), apresentamos a nota¸cão para espa¸cos de fun¸cões fuzzy utilizada neste trabalho:

1) F (E([0, T ]; Rn)) ´e a classe de subconjuntos fuzzy de E([0, T ]; Rn), i.e., X(·) ∈ F (E([0, T ]; Rn)) apenas se [X(·)]α⊂ E([0, T ]; Rn_{), ∀α ∈ [0, 1] e}

2) E([0, T ]; F (Rn)) = {X : [0, T ] → F (Rn)}.

O conceito de derivada aqui introduzido é definido para as fun¸cões fuzzy contidas no espa¸co definido em 1), enquanto que os elementos do espa¸co 2) são usados para definir solu¸cões de equa¸cões diferenciais fuzzy.

Observemos que, para cada fun¸c˜ao fuzzy W ∈ F (E([0, T ]; Rn)), podemos definir os conjuntos ating´ıveis fuzzy no tempo t, W (t), cujos α-n´ıveis s˜ao

[W (t)]α= [W ]α(t) = {w(t) : w ∈ [W ]α}.

Sob condi¸cões adequadas é poss´ıvel mostrar que, se W ∈ FK(E([0, T ]; Rn)), então [W (t)]α

satisfaz o Teorema de Representa¸c˜ao 1 abaixo. Ent˜ao, para cada W ∈ FK (E([0, T ]; Rn)), temos

uma fun¸c˜ao fuzzy do tipo W : [0, T ] → FK(Rn) que, para cada t ∈ [0, T ], associa o conjunto

ating´ıvel fuzzy W (t).

Teorema 1. Teorema da Representa¸c˜ao [14]

Seja {Aα ⊂ Rn: 0 ≤ α ≤ 1} uma fam´ılia de subconjuntos n˜ao vazios satisfazendo

· Aα⊆ Aβ for all 0 ≤ β ≤ α ≤ 1;

· Aα= ∩∞i=1Aαi para qualquer sequˆencia n˜ao-decrescente αi→ α ∈ (0, 1].

· ∪α∈0,1]Aα= A0

Então existe um conjunto fuzzy u de Rn, cuja fun¸cão de pertinência é semicont´ınua superi-ormente e tal que [u]α= Aα. Ou seja, existe um conjunto fuzzy u ∈ FK(Rn) tal que [u]α= Aα.

Defini¸c˜ao 2. [11] Seja f : Rn → F (Rn_{) uma fun¸}_c˜_{ao. Para cada u ∈ F (R}n_{) definimos a}

extens˜ao de Zadeh da fun¸c˜ao f como b

f (u)(y) = sup

x∈Rn

{f (x)(y) ∧ u(x)}. (1)

Um caso particular ocorre quando f : Rn _{→ R}n_:

b

f (u)(y) =

sup_s∈f−1_(y)u(s), se f−1(y) 6= ∅

0, se f−1(y) = ∅ . (2)

Para este último caso, o seguinte resultado é válido:

Teorema 3. [6, 15] Seja f : Rn → Rn _{uma fun¸}_c˜_{ao cont´ınua. Ent˜}_{ao b}_{f : F}

K(Rn) → FK(Rn)

est´a bem definida e

[ bf (u)]α= f ([u]α) para todo α ∈ [0, 1].

(3)

Usaremos D para designar o operador deriva¸c˜ao, isto ´e, Df (·) = f0(·); R f = R f (s)ds a integral indefinida de f e R_abf =R_abf (s)ds a sua integral definida no intervalo [a, b].

Particularmente, estamos interessados no espa¸co das fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas, AC([0, T ]; Rn_{), i.e., no espa¸}_{co fuzzy F (AC([0, T ]; R}n_)).

2.2 Integral

Defini¸c˜ao 4. Integral de fun¸c˜ao fuzzy [5]

Seja W ∈ F (AC([0, T ]; Rn_{)) uma fun¸}_c˜_{ao fuzzy. A integral de W ´}_{e dada por b}_{R W , em que b}R ´

e a extens˜ao de Zadeh do operador integral R , de acordo com a f´ormula (2).

Uma vez que o operadorR ´e cont´ınuo, com base no Teorema 3 ´e poss´ıvel afirmar que: Teorema 5. Se W ∈ F (AC([0, T ]; Rn)), h b R (W )iα =R ([W ]α) =R w(·) : w ∈ [W ]α⊂ AC([0, T ]; Rn) , para todo α ∈ [0, 1]. 2.3 Derivada

Usaremos D para representar o operador derivada, i.e.,

D : AC([0, T ]; Rn₎ _{→ L}∞_{([0, T ]; R}n₎

w → Dw = w0

em que w0 é a derivada no sentido de distribui¸cões (ver [1] e [17]). Então, existe Dw(t) q.t.p., em [0, T ].

Defini¸c˜ao 6. Derivada de fun¸c˜ao fuzzy [4]

Seja W ∈ F (AC([0, T ]; Rn)). A derivada de W é dada por bDW , em que bD é a extensão de Zadeh do operador D, de acordo com a fórmula (2).

Em [4] encontra-se a demonstra¸c˜ao do Teorema a seguir. Teorema 7. [4] Seja W ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)), ent˜ao

[ bD(W )]α= D([W ]α) = {Dw(·) : w ∈ [W ]α} = {w0 ∈ AC([0, T ]; Rn) : ϕW(w) ≥ α},

para todo α ∈ [0, 1].

2.4 Teorema Fundamental do C´alculo Teorema 8. Teorema Fundamental do C´alculo

Seja W ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)). Nessas condi¸c˜oes,

b DR Wb = W, ou seja, h b DR Wb iα = [W ]α, para todo α ∈ [0, 1].

(4)

Prova.

Uma vez que W ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)), podemos utilizar os Teoremas 5 e 7:

h b DR Wb iα = DhR Wb iα = D R [W ]α_{= D R w : w ∈ [W ]}α_{= {D R w : w ∈ [W ]}α_{} = [W ]}α_. Ou seja, bD(bR W ) = W .

Corol´ario 9. Seja X ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)). Ent˜ao para todo t ∈ [0, T ] a integral Y (t) =

b Rt

0X(s)ds est´a bem definida, assim como bDY (t). Al´em disso, bDY (t) = X(t).

Recordemos que Y (t) ´e o conjunto fuzzy ating´ıvel de Y no tempo t, assim como bDY (t) ´e o conjunto fuzzy ating´ıvel de bDY no tempo t.

2.5 Equa¸c˜ao diferencial fuzzy

Seja F : [0, T ] × F (Rn) → F (Rn) cont´ınua e X₀ ∈ FK(Rn). Considere o problema de valor

inicial fuzzy (PVIF)

b

DX(t) = F (t, X(t)) X(0) = X0

(3) Uma solu¸cão para (3) é uma fun¸cão fuzzy X(·) ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)) que satisfaz (3) q.t.p.

em [0, T ].

Teorema 10. Seja F : [0, T ] × F (Rn) → F (Rn) tal que toda f (·, ·) ∈ [F (·, ·)]α é cont´ınua, para todo α ∈ [0, 1]. Então X ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)) é solu¸cão do problema de valor inicial (3) se e

somente se X satisfaz a equa¸c˜ao integral

X(t) = X0+ b Rt 0F (s, X(s))ds (4) para todo t ∈ [0, T ]. Nota Interpretamos a soma X(t) = X₀+ bRt 0F (s, X(s))ds

como o conjunto fuzzy de α-n´ıveis definidos pela uni˜ao de elementos n x0+ Rt 0f (s, x(s))ds : x0 = x(0) ∈ [X0] α _{e f (·, x(·)) ∈ [F (·, X(·))]}αo_. em que x0+ Rt

0f (s, x(s))ds corresponde a uma solu¸c˜ao do PVI cl´assico associado

Dx(t) = f (t, x(t)) x(0) = x0

(5) Prova.

Seja X ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)) e satisfazendo (4). Ent˜ao, para cada α ∈ [0, 1],

[ bDX(t)]α = [ bD(X0+ b Rt 0F (s, X(s))ds] α = D[X₀+ bRt 0F (s, X(s))ds)] α = nD(x0+ Rt 0f (s, x(s))ds) : x0 = x(0) ∈ [X0] α_{, f (·, x(·)) ∈ [F (·, X(·))]}αo = {f (t, x(t)) : x0= x(0) ∈ [X0]α, f (·, x(·)) ∈ [F (·, X(·))]α} = [F (t, X(t))]α. (6)

(5)

Partindo de (4), em t = 0 temos [X(0)]α = X₀+ cR0 0F (s, x(s))ds α = n x0+ R0 0f (s, x(s))ds : x0= x(0) ∈ [X0]α, f (·, x(·)) ∈ [F (·, X(·))]α o = {x₀+ 0 : x₀= x(0) ∈ [X₀]α, f (·, x(·)) ∈ [F (·, X(·))]α} = [X₀]α Ou seja, X ´e solu¸c˜ao de (3).

Agora suponhamos que X ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)) é solu¸cão de (3). Então

b DX(t) = F (t, X(t)) b Rt 0 b DX(s)ds = bRt 0F (s, X(s))ds X₀+ bRt 0 b DX(s)ds = X₀+ bRt 0F (s, X(s))ds (7) em que X₀+ bRt 0 b DX(s)ds α = nx₀+Rt 0Dx(s)ds : x0= x(0) ∈ [X0] α_{, x(·) ∈ [X(·)]}αo ₍₈₎ Portanto, X0+ b Rt 0 b DX(s)ds α = nx(0) +R₀tDx(s)ds : x(0) ∈ [X0]α e x(·) ∈ [X(·)]α o = {x(t) : x(0) ∈ [X0]α e x(·) ∈ [X(·)]α} = [X(t)]α, (9) de onde obtemos X0+ bR₀tF (s, X(s))ds = X(t). (10)

2.6 M´etodo de resolu¸c˜ao de EDFs

Pelo Teorema 7, em α-n´ıveis, (3) ´e equivalente `a fam´ılia de PVIs D[X]α_{(t) = [F (t, X(t))]}α [X(0)]α = [X0]α (11) para todo α ∈ [0, 1]. Agora, D[X]α(t) = [F (t, X(t))]α ⇔ {Dx(t) : x ∈ [X]α} = [F (t, X(t))]α.

Então, X ∈ FK(AC([0, T ]; Rn)) é uma solu¸cão de (3) se e somente se seus α-n´ıveis [X(·)]α

são dados pela fam´ılia de solu¸cões das inclusões diferenciais

Dx(t) ∈ [F (t, X(t))]α

x(0) ∈ [X₀]α (12)

De acordo com a teoria desenvolvida em [4], se as inclus˜oes

Dx(t) ∈ [F (t, x(t))]α

x(0) ∈ [X₀]α (13)

tem solu¸c˜ao X(·) e se [F (t, x)]α⊂ [F (t, X)]α_{, X(·) tamb´}_{em ´}_{e uma solu¸}_c˜_{ao do PVIF (3) proposto}

(6)

3 Aplica¸

c˜

ao

Considere o PVIF b DX(t) = −λX(t) X(0) = x0 (14) com λ ∈ FK(R). Suponha tamb´em que [λ]α= [λα1, λα2] e λα1 > 0, para todo α ∈ [0, 1].

Uma interpreta¸cão f´ısica para o sistema (14) é de modelo de desintegra¸cão radioativa, em que X(t) representa a quantidade de uma substância radioativa no instante t e o número de desintegra¸coes por unidade de tempo é proporcional à quantidade de substância presente em cada instante. λ representa o coeficiente de proporcionalidade, o qual não é conhecido com precisão, sendo portanto interpretado em um contexto fuzzy. Tal imprecisão pode ser proveniente da coleta dos dados para estimar tal parâmetro (o aparelho de medi¸cão pode apresentar certo grau de imprecisão); a estimativa pode ser uma média de valores divergentes presentes na literatura; outras variáveis presentes no ambiente podem influenciar no decaimento, de modo que todas estão “resumidas” neste único parâmetro a ser estimado. No caso, a condi¸cão inicial, por sua vez, é clássica, ou seja, sabe-se com exatidão o valor inicial a partir do qual se aplica o modelo. O problema satisfaz a hipótese do Corolário 5.2 de [4] e, de acordo com (13), (14) tem uma solu¸cão dada por

Dx(t) ∈ [−λx(t)]α = [−λα₂, −λα₁]x(t) x(0) = x0∈ R

. (15)

Agora, Gα(x) = [−λα2, −λα1]x é uma t´ıpica multifun¸cão parametrizada (ver [1]) e a solu¸cão

de (15) tem conjuntos ating´ıveis dados por

Dx(t) = min{γx(t), γ ∈ [−λα₂, −λα₁]}, x(0) = x0

Dx(t) = max{γx(t), γ ∈ [−λα₂, −λα₁]}, x(0) = x0

. Então, os α-n´ıveis da solu¸cão de (14) são os intervalos

[X(t)]α = x0[e−λ

α

2t_{, e}−λα1t_]

para cada α ∈ [0, 1].

A partir desse resultado, constata-se que o decaimento leva a quantidade da substância radioativa a zero, com uma certeza cada vez maior, uma vez que o diâmetro de cada α-n´ıvel da solu¸cão diminui com o passar do tempo, tendendo ao ponto o zero. O resultado se mostra coerente com o modelo proposto, tendo em vista que, se uma substância sofre decaimento, a ´

unica certeza que temos é que o valor da variável vai se aproximar da origem, independentemente da constante de proporcionalidade ser ou não incerta. Os α-n´ıveis tenderem todos ao ponto zero, diminuindo cada vez mais a incerteza da solu¸cão, verificam essa expectativa.

4 Conclus˜

ao

Os conceitos de derivada e de integral fuzzy foram definidos a partir da extensão de Zadeh sobre os respectivos operadores clássicos. Sob determinadas hipóteses, propriedades que se verificam com os operadores clássicos também foram verificados para os operadores fuzzy, como o Teorema Fundamental do Cálculo. Um teorema a respeito de solu¸cão de PVIFs também foi apresentado, bem como um método de resolu¸cão. No caso das EDFs, o método aqui apresentado resulta em uma identidade expl´ıcita a ser resolvida (como em [12]), mas se mostra mais próxima da abordagem através de inclusões diferenciais, apresentada em [10] e [9]. Por fim, um PVIF representando um modelo de decaimento radioativo com constante de proporcionalidade incerta foi resolvido, constatando o resultado esperado de que a incerteza do parâmetro fuzzy não diminui a certeza da tendência da solu¸cão ao valor zero. Ressaltamos que neste mesmo problema poder´ıamos considerar a condi¸cão inicial X0 também incerta. Neste caso, a informa¸cão que

(7)

Agradecimentos

Os autores agradecem o suporte do CNPq (processos no. 306872/2009-9 e 140798/2010-2).

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