Análise em Potência em Circuitos CA

Potência Instantânea

A potência instantânea fornecida a qualquer dispositivo é dada pelo produto da tensão instantânea nos terminais deste dispositivo pela corrente que o

percorre.

p(t)=v(t)i(t).

Prof a_{: Virgínia Baroncini 2}

Em todo tempo t,

Potência Associada a Excitação Senoidal

Se no mesmo circuito RL, a fonte V for V_mcos(ωt), então

Termo Constante Termo do dobro da _{frequência aplicada}

onde:

Potência Média

Prof a_{: Virgínia Baroncini 4}

• A potência média em um intervalo arbitrário entre t₁ e t₂ é

• Quando a potência é periódica com um período T, a potência média é calculado em qualquer período como :

Potência Média no Regime Permanente Senoidal

• Se 𝑣 𝑡 = 𝑉_𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃 e 𝑖 𝑡 = 𝐼_𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 , então:

P =

1

2

V

I

cos(



−



)

• A potência média será

𝑃 = 1 𝑇න_𝑡 0 𝑡₀+𝑇 𝑉_𝑚𝐼_𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑑𝑡 𝑃 = 1 𝑇න_𝑡 0 𝑡₀+𝑇_𝑉 𝑚𝐼𝑚 2 cos 𝜃 − 𝜙 + 𝑐𝑜𝑠 2𝜔𝑡 + 𝜃 + 𝜙 𝑑𝑡

Prof a_{: Virgínia Baroncini 6}

1 – Dada a tensão, 𝑣 = 4𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 6 V no domínio do tempo, obtenha a potência média e uma Τ expressão para a potência instantânea que resulte da aplicação do fasor de tensão V=4|0° V correspondente na impedância Z =2|60° .

Potência Média dos Elementos Passivos

A potência média absorvida pelo resistor ideal R

• O ângulo de fase entre a corrente em um resistor e a tensão em seus terminais é nulo.

𝑃

=

𝐼

_𝑅

_ou

_𝑃

=

A potência média fornecida à qualquer rede inteiramente composta por indutores e capacitores é nula.

• Este é um resultado direto do ângulo de fase de 90° existente entre a tensão e a corrente.

Prof a_{: Virgínia Baroncini 8}

Determine a potência média fornecida a uma impedância Z_L = 8 - j11, por uma corrente I = 5ej20°_A.

1 – Determine a potência média absorvida por cada um dos três elementos passivos ilustrados na figura, bem como a potência média fornecida por cada fonte.

Superposição e Potência

Circuitos com mais de uma fonte:

Prof a_{: Virgínia Baroncini 10}

Por superposição, temos i = i₁ + i₂, onde i₁ e i₂

são as correntes em R devido a v_g1 e v_g2,

respectivamente.

Potência Instantânea:

Assim, a superposição não pode ser aplicada diretamente para a potência instantânea.

No caso de p(t) ser periódica com período T, a Potência Media será:

onde P₁ e P₂ são potências médias de v_g1 e v_g2 respectivamente, atuando

isoladamente.

A superposição para a potência média só se aplica se:

Exemplo:

₁ = 377 rad/s e ₂ = 0 rad/s → pode-se usar a superposição para a potência.

₁ = ₂ → Não podemos usar a superposição para a potência, mas podemos usar superposições de correntes.

Prof a_{: Virgínia Baroncini 14}

Deseja-se determinar a potência média absorvida pela impedância do circuito abaixo.

Para o circuito abaixo, deseja-se determinar a potência média total absorvida e a potência média total fornecida.

Máxima Transferência de Potência

• Uma fonte de tensão independente em série com uma impedância Z_th ou

uma fonte de corrente independente em paralelo com uma impedância Z_th

fornecem potência média máxima à carga cuja impedância é o conjugado

de Z_th, ou Z_L = Z_th*.

Prof a_{: Virgínia Baroncini 16}

Determinação da Máxima Transferência de

Potência

Primeiramente, resolva a potência da carga:

Claramente, P é maior quando X

+X

=0

=

| V

|

2

_R

L

Prof a_{: Virgínia Baroncini 18}

Um determinado circuito é composto pela associação em série de uma fonte de tensão 3 cos (100t-3°)V, um resistor de 500, um indutor de 30mH e uma impedância desconhecida. Se temos certeza de que a fonte está fornecendo uma potência média máxima à carga desconhecida qual é o valor desta

carga?

Para o circuito abaixo, deseja-se obter o valor de Z_L para a máxima

transferência de potência média. Além disso, deseja-se determinar o valor máximo da potência média transferida à carga.

Valores Eficazes de Tensão e de Corrente

• A mesma potência é entregue nos circuitos mostrados

Prof a_{: Virgínia Baroncini 20}

Valor Eficaz (RMS) de uma onda senoidal

• O valor eficaz é muitas vezes referido como o valor R(raiz) M(média) S(quadrado) ou RMS

• Para ondas senoidais

• A potência agora é...

Prof a_{: Virgínia Baroncini 21}



V

=

1

2

V

 0.707V

P = I

R

Potência Aparente

• Se 𝑣 𝑡 = 𝑉_𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃 e 𝑖 𝑡 = 𝐼_𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 , então a potência

média:

• A potência aparente é definida como V_effI_eff e é dada em unidades de

volt-ampere V.A

Prof a_{: Virgínia Baroncini 22}



P =

1

2

V

I

cos(



−



) = V

I

cos(



−



)

eff

eff

I

V

S =

Fator de Potência

O fator de potência é definido como:

• para uma carga resistiva, PF=1

• para uma carga puramente reativa, PF=0

• geralmente, 0  eff eff

I

V

P

aparente

potência

média

potência

PF

=

=

Fator de Potência: Atrasado ou Adiantado

• Como o fator de potência de ondas senoidais é 𝑃𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝜙

Os termos adiantado e atrasado representam a fase da corrente em relação à tensão.

• uma carga indutiva terá um FP atrasado, • uma carga capacitiva terá um FP adiantado

O fator de potência afeta grandemente a conta de eletricidade.

Calcule a potência média entregue a cada uma das cargas mostradas na figura abaixo, a potência aparente fornecida pela fonte e o fator de potência da combinação das cargas.

Potência Complexa

• Define-se a potência complexa S como:

Prof a_{: Virgínia Baroncini 26}



S = V

_eff

I

*

_eff

=V

_eff

I

_eff

e

j(



−



)

= P + jQ

• A parte real de S é P, potência média.

Potência Complexa em termos de um diagrama:

• Carga Indutiva (FP atrasado) 0 <   90°, Q > 0:

• Carga Capacitiva (FP adiantado) -90° <   0°, Q < 0:

Potência Complexa

• Potência complexa para cargas podem ser somadas

Prof a_{: Virgínia Baroncini 28}



Um consumidor industrial consome 88kW com um fp 0,707 em atraso de uma linha de 480V rms. A resistência da linha de transmissão desde o transformador da concessionária de energia até a planta é de 0,08. Seja a determinação da potência que deve ser fornecida pela concessionária de energia (a) nas condições apresentadas e (b) caso o fp seja, por alguma razão alterado para 0,90 em atraso. (Do ponto de vista econômico o fator de potência deve ser tão próximo da unidade quanto possível.)

Prof a_{: Virgínia Baroncini 30}

Para o circuito mostrado abaixo, obtenha a potência complexa absorvida (a)

pelo resistor 1 ; (b) pelo capacitor de –j10 ; (c) pela impedância de 5+j10 ;

(d) pela fonte.

Exercício para casa:

Resumo das Grandezas Associadas à Potência

Complexa

Grandeza Símbolo Fórmula Unidades

Potência Média P 𝑉_𝑒𝑓𝐼_𝑒𝑓𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝜙 Watt (W)

Potência Reativa Q 𝑉_𝑒𝑓𝐼_𝑒𝑓𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜙 Volt-ampèrerreativo (VAR)

Potência Complexa _{S 𝑺} 𝑃 + 𝑗𝑄

𝑉_𝑒𝑓𝐼_𝑒𝑓|(-)

𝑉_𝑒𝑓. 𝐼_𝑒𝑓∗

Volt-ampère (VA)

Prof a_{: Virgínia Baroncini 32}

Para o circuito mostrado abaixo:

a) Calcule as potências média, aparente e reativa e o fator de potência em cada ramo.

b) Calcule a potência total em watts, em volts-ampères reativos e em volts-ampères e calcule ainda o fator de potência do sistema. Desenhe o triangulo de potências.

c) Calcule a corrente I fornecida pela fonte.

Exercício:

(RMS)

Um consumidor industrial está operando um motor de indução de 50 kW

(67,1HP) com um FP atrasado de 0,8. A tensão da fonte é de 230 V rms. Para obter uma menor tarifação, o consumidor deseja elevar o FP para 0,95

atrasado. Especifique uma solução .

Correção de Fator de Potência

• Quando potência elétrica é fornecida a grandes consumidores industriais, a empresa concessionária de energia frequentemente inclui uma cláusula a respeito do FP em sua tarifação.

• De acordo com essa cláusula, um preço adicional é cobrado do

consumidor sempre que o FP cair abaixo de um determinado valor, em geral é 0,85 atrasado.

• Não é comum encontrar cargas industriais consumido potência com FP adiantado, devido a natureza das cargas.

• Uma maior corrente está associada à operação com um FP baixo em potência e tensão constante.

• A circulação de maiores correntes leva a maiores perdas nos sistemas de transmissão e distribuição.

Correção de Fator de Potência

A potência reativa é comumente ajustada por meio da instalação de capacitores de compensação em paralelo com a carga (tipicamente na subestação presente na parte externa da indústria).

Prof a_{: Virgínia Baroncini 36}

Correção de Fator de Potência

Por exemplo uma carga indutiva consome uma corrente I_L que possui uma componente real e uma imaginária.

Uma carga capacitiva foi conectada em paralelo com a carga original a fim de aumentar o fator de potência do

sistema a um valor próximo da unidade.

Observe que a carga continua a receber a mesma

Uma pequena usina geradora industrial alimenta 10kW de aquecedores e 20 KVA de motores de indução. Os elementos de aquecimento são considerados puramente resistivos (FP=1), e os motores possuem um fator de potência atrasado igual a 0,7. Se a fonte é de 1000 V(RMS) e 60Hz, determine a capacitância necessária para aumentar o fator de potência para 0,95. Compare os valores de corrente drenados da fonte de alimentação

Prof a_{: Virgínia Baroncini 38}

No circuito mostrado abaixo, uma carga cuja a impedância é 39+j26 é alimentada por uma fonte de tensão por meio de uma linha de impedância de 1+j4. O valor eficaz (rms) da fonte de tensão é 250V.

a) Calcule a corrente I_L e a tensão V_L.

b) Calcule a potência média e a potência reativa fornecida à linha. c) Calcule a potência média e a potência reativa fornecida pela fonte.

As duas cargas do circuito pode ser descritas da seguinte forma: carga 1 absorve uma potência de 8KW, com um fator de potência adiantado de 0,8. A carga 2 absorve 20KVA, com um fator de potência atrasado 0,6.

a) Determine o fator de potência das duas cargas em paralelo.

b) Determine a potência aparente necessária para alimentar as cargas, a amplitude da corrente I_f e a potência média dissipada na linha de transmissão.

c) Dado que a frequência da fonte é 60 Hz, calcule o valor do capacitor que corrigiria o fator de potência para 1, se colocado em paralelo com as duas cargas. Calcule novamente os valores em (b) para o fator de potência corrigido.

Medição de Potência

• Um wattímetro mede a potência real média P drenada por uma carga, e um varímetro fornece a leitura da

potência reativa média.

• Entretanto, é comum encontrar amas características no mesmo medidor, que muitas vezes, também pode medir a potência aparente e o fator de potência.

Prof a_{: Virgínia Baroncini 40}

Medidor de potência em forma de alicate produzido pela Amprobe

Wattímetro

O wattímetro digital usa circuitos eletrônicos sofisticados para medir a tensão e corrente, e pelo uso de um modulo de conversão

analógico-digital, mostra os resultados em forma digital.

Prof a_{: Virgínia Baroncini 42}

Determine a potência complexa fornecida pela fonte, o fator de potência da fonte e a tensão Vs(t). A frequência é de 60 Hz.

Exercício:

Calcule a tensão de entrada da fonte e o fator de potência na entrada

Exercício:

em atraso em atraso

Prof a_{: Virgínia Baroncini 44}

No circuito mostrado na figura abaixo uma carga é modelada por uma impedância de 4+j4 . Determine o valor da capacitância a ser conectada em paralelo com a carga de modo q corrigir o fator de potência da carga combinada com um capacitor para 0,95 em atraso. A frequência é f=60Hz.

Determine o valor da capacitância a ser conectada em paralelo com a carga do circuito mostrado na figura, de modo que o fator de potência da carga combinada com o capacitor seja à unidade. Calcule a potência complexa fornecida pela fonte após a correção do fator de potência para a unidade. A frequência é f = 60 Hz.

Exercício: