Análise da Dinâmica do Modelo de um Trator com Excitação Periódica Vertical

Análise da Dinâmica do Modelo de um Trator com Excitação Periódica Vertical

Fábio Roberto Chavarette2, Ivan Rizzo Guilherme3

1 _{Departamento de Ciências Exatas, Unesp – Jaboticabal, Brasil, peruzzi@fcav.unesp.br} 2 _{Departamento de Matemática, UNESP - Ilha Solteira, Ilha Solteira, Brasil}

3 _{Departamento de Estatística e Matemática Aplicada e Computacional, Unesp - Rio Claro,Brasil,}

ivan@rc.unesp.br

Resumo: Sob certas condições do traçado e velocidade, o trator pode apresentar instabilidade e provocar vibrações que podem prejudicar os trabalhos no campo. Para compreender a dinâmica do trator no campo pode-se usar a modelagem matemática. Neste trabalho considerou-se um modelo matemático com excitação periódica externa e com dois graus de liberdade, obtido por [6], como o modelo do trator-campo. O objetivo foi analisar a dinâmica das vibrações de um trator durante o seu trabalho no campo. Nas simulações foram usados os parâmetros de controle: distância entre duas saliências consecutivas do solo e a velocidade do trator.

Palavras-chave: Dinâmica, modelagem, trator, excitação periódica.

1. Introdução

A agricultura é uma das principais atividades econômicas da sociedade moderna e, como em todas as áreas, a informatização tem sido incorporada nos processos de produção ao longo dos anos. A incorporação das tecnologias possibilitou a expansão da área cultivada e a aumento da produtividade.

Um crescimento ainda maior da produção agrícola depende, entre outros fatores, do nível de tecnologia em tratores usados na agricultura. Os tratores, para atenderem as exigências de custos e de produtividade, são ser operados de forma otimizada de modo que, seus operadores devem exigir destas máquinas o máximo desempenho nas tarefas do campo.

Sob certas condições do traçado e velocidade, o trator pode apresentar instabilidade e provocar vibrações que são prejudiciais ao operador ou, em casos mais extremos, o seu tombamento. Quanto maior a velocidade de deslocamento, mais intensamente se manifesta a ação dos processos

dinâmicos, que podem provocar o tombamento lateral de uma máquina [2].

A amplitude das oscilações tende a aumentar até que atingir um valor de estado estacionário (ciclo limite), dependendo de potência do trator e/ou das restrições geométricas do terreno. Para controlar as vibrações instáveis, normalmente, o operador do trator tende a reduzir, instantaneamente, a velocidade de operação. Podem ocorrer situações de operação mais extremas em que os movimentos se tornem caóticos impedindo a ação do operador. Nesta situação, o operador do trator pode, por exemplo, perder o contato com o assento e, consequentemente, o controle do veículo. Conforme [4], o estudo das forças em equilíbrio que agem sobre o chassi do trator ajuda na compreensão do desempenho dessas máquinas em sua utilização no campo.

Para obter uma melhor compreensão do trator em operação no campo pode-se usar a modelagem matemática. A análise de estabilidade de tratores durante os trabalhos no campo pode ser de grande importância para o desempenho satisfatório das máquinas agrícolas e para o conforto ergométrico e segurança de seus operadores.

Este trabalho tem como objetivo analisar numericamente a dinâmica das vibrações de um trator durante o seu trabalho no campo através do modelo matemático com excitação periódica externa e com dois graus de liberdade, obtido por [7]. Nas simulações computacionais foram usados como parâmetros de controle o sistema a distância entre duas saliências consecutivas e a velocidade horizontal do trator.

2. Modelo Matemático

Quando um trator está em operação no campo exige-se do sistema de suspensão alta performace de desempenho, para qualquer que seja adversidades e oscilações nos traçados no campo em que são submetidos. Durante o trabalho no

campo há relatos de que as rodas traseiras e dianteiras de um trator perdem o contato com o chão. A figura 1 mostra que o fenômeno do salto pode ocorrer de 3 modos: (b) somente as rodas dianteiras saem do chão (o trator empina a frente); (c) somente as rodas traseiras saem do chão (o trator empina a traseira); (d) as rodas traseiras e dianteiras saem do chão ao mesmo tempo (o trator salta).

Figura 1 - Comportamentos das rodas de um trator no campo: a) movimento normal (sem empinar); b) o trator empina a frente; c) o trator empina a traseira; d) o trator salta.

Uma característica da dinâmica do sistema trator-campo é a instabilidade, pois observa-se durante os trabalhos no campo solavancos, saltos e colisões que responsáveis por elevadas trocas de energia cinética e elástica. Desta forma pode-se considerar o sistema trator-campo como um sistema não linear vibratório com excitação periódica externa. O modelo “bouncing ball” para descrever as vibrações não lineares, mostradas na Figura (1), foi usado em [6].

A figura 2 mostra o modelo físico com o esquema das forças que atuam em um trator durante o trabalho no campo. O modelo com dois graus de liberdade considera apenas o deslocamento vertical e momento angular do centro de Massa do trator.

Figura 2 - Modelo físico do trator

Considerando as forças de equilíbrio na direção vertical e o momento angular do modelo e supondo que vibrações no trator são pequenas oscilações, então o modelo matemático é dado pelas equações [6]:     = + − = + − − 0 ) , , , ( ) , , , ( 0 ) , , , ( ) , , , ( 2 2 1 1 2 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ               y y F y y F J mg y y F y y F y m (1) onde, J é momento angular de inércia do centro de massa; F₁(⋅) e F₂(⋅) modelam as cargas dinâmicas nos pneus dianteiro e traseiro do trator, respectivamente.

Durante o traçado no campo F₁(⋅) e F₂(⋅) foram escritas como: )) ( ( )) ( ( ) ( _{1 1 1 1 1 1} 1 k y h t c y h t F _{⋅ =− +θ− − +θ}₋ (2) )) ( ( )) ( ( ) ( _{2 2 2 2 2 2} 2 k y h t c y h t F _{⋅ =− − θ− − − θ}₋ 

onde h₁(t) e h₂(t) são excitações periódicas que simulam os desníveis da superfície:

h1=a0+a1cos(ω )+at 2cos(2ω )+at 3sin(ω )+at 4sin( 2ω ) t

(3) h2=a0+a1cos(ωt−φ)+a2cos(2ωt−φ)+

a3sin(ωt−φ)+a4sin(2ωt−φ) com, L v π ω=2 e LB πω φ=2 .

Observando a dinâmica do movimento do trator na Figura (1) e as funções F₁(⋅) e F₂(⋅), pode-se verificar que o trator:

- empina para frente F₁(⋅)=0. Logo, k₁= c₁=0. - empina para traseira F₂(⋅)=0. Logo, k₂= c₂=0. - salta F₁(⋅)=F₂(⋅)=0. Logo, k₁=c₁=k₂=c₂=0.

3. Estudo da Dinâmica do Modelo

Para estudar computacionalmente a dinâmica do trator na direção vertical, durante o trabalho no campo, foi implementado um programa em código do Matlab® 6.5 que obteve a solução da equação diferencial (1) pelo integrador ODE45, onde considerou-se os valores dos parâmetros: k1=200000; k2=260000; c1=5500; c2=6690;

7

.

0

=





=

0

.

64

Nas simulações, o sistema foi excitado através das equações (3) de modo que foi usado como parâmetros de controle a distância entre duas saliências consecutivas (L) e a velocidade horizontal do trator (v).

Inicialmente, foi fixada a distância entre duas saliências consecutivas em L=0.6m e analisou-se a dinâmica do trator variando-se as velocidades: v=1m/s, v=2m/s, v=3m/s, v=6m/s e v=10m/s. Os históricos no tempo e planos de fase do sistema são mostrados nas Figuras (3 – 7).

O plano de fase que para a velocidade de operação do trator em v=1m/s apresenta o movimento vertical periódico e simples e a amplitude de oscilação vertical aproximadamente 5cm, Figura (3).

Figura 3 - Histórico no tempo e plano de fase para L=0.6m e

v=1m/s

Para as velocidades de operação do trator em v=2m/s e v=3m/s nota-se a duplicação do período, diminuição da amplitude e aumento da frequência das oscilações, Figuras (4 – 5)

Figura 4 - Histórico no tempo e plano de fase para L=0.6m e v=2m/s

A partir de v=6m/s observa-se que os movimentos entram numa rota para caos. De fato, para v=10m/s as simulações mostram que o sistema é incerto. A instabilidade do sistema pode ser observada nas Figuras (6 e 7).

Figura 5 - Histórico no tempo e plano de fase para L=0.6m e v=3m/s

Figura 6 - Histórico no tempo e plano de fase para L=0.6m e v=6m/s.

Figura 7 - Histórico no tempo e plano de fase para L=0.6m e v=10m/s.

Por outro lado, para estudar a influência do traçado terreno na dinâmica do sistema a velocidade de operação do trator foi fixada em v=1m/s e as condições do terreno alteradas

variando-se as distâncias entre duas saliências consecutivas, isto é, no modelo considerou-se o valor de L como sendo: L=0.6m, L=0.4m, L=0.3m e L=0.2m. Os históricos no tempo e planos de fase para estes valores são mostrados na Figura (3) acima e as Figuras (8 – 10).

Figura 8 - Histórico no tempo e plano de fase para L=0.4m e v=1m/s.

Figura 9 - Histórico no tempo e plano de fase para L=0.3m e v=1m/s

Figura 10 - Histórico no tempo e plano de fase para L=0.2m e v=1m/s

Comparando-se as dinâmicas do trator com velocidade constante de v=1m/s para diferentes desníveis da superfície, nota-se que os movimentos verticais não sofrem influência significativa com o aumento das saliências do traçado, permanecendo em movimento periódico e simples, porém com

diminuição das amplitudes e aumento da frequência das oscilações.

Finalmente, estudou-se a dinâmica do trator para a velocidade v=6m/s e distância entre duas saliências consecutivas com L=0.15m. O plano de fase e a FFT para este caso é mostrado na Figura (11). Pode-se notar a instabilidade no sistema com a presença de caos. Logo, esta é uma situação em que o veículo seria de difícil controle, devendo o operador evitá-la nos trabalhos de campo.

Figura 11 - plano de fase para L=0.15m e v=6m/s e a FFT

3. Conclusão

Este problema analisou a dinâmica do modelo de um trator durante o trabalho no campo. Nestas primeiras análises, o modelo representou

satisfatoriamente a relação entre a instabilidade do sistema e a velocidade de operação do trator e as condições do traçado.

No modelo o sistema foi excitado verticalmente por forças periódicas externas que simulavam diferentes desníveis da superfície e a dinâmica do modelo foi analisada através de simulações computacionais para as velocidades v=1m/s, v=2m/s, v=3m/s, v=6m/s e v=10m/s e distância entre duas saliências consecutivas: L=0.6m, L=0.4m, L=0.3m, L=0.2m e L=0.15m. Verificou-se nas simulações que, sob certas condições do traçado e velocidade, o trator poderá apresentar instabilidade nas vibrações prejudicando o controle por parte do operador. De fato, para velocidades acima de v=6m/s e sucessivos desníveis L=0.15m as simulações mostram movimentos caóticos.

4. Referências

[1] Bukta, A.J., Sakai, Sasao, A. “Shibusawa Free Play as a Source of Nonlinearity in Tractor-Implement System During Transport”, Transactions of the ASAE, v. 45(3):503:508, 2002.

[2] Khoury, J. K Jr, Dias, G. P., Cordeiro, R. R., Souza, C. M. A. “Modelagem da estabilidade de tratores agrícolas de pneus”. Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39, n.5, p.459-468, 2004.

[3] Nayfeh A, Mook, D. “Nonlinear Oscillations”, Willey- Interscience Publication, 1979.

[3] Meirovitch L, “Methods of Analytical Dynamics”, MacGraw-Hill Book Company, 1970.

[4] Mialhe, L.G. “Máquinas motoras na agricultura”. São Paulo: EPU/USP, 1980. v.2.

[5] Nayfeh, A, “Introduction to Perturbation Methods”, Willey- Interscience Publication, 1981.

[6] Sakai, K., “Nonlinear Dynamics and in Agricultural Systems”. Elsevier Science B.V. 2006.